EscoamentoMultifásico Isotérmico

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R788e Rosa, Eugênio S. Escoamento multifásico isotérmico : modelos de multifluidos e de mistura / Eugênio S. Rosa. – Porto Alegre : Bookman, 2012. xx, 260 p. : il. ; 18 x 25 cm.

ISBN 978-85-407-0070-3

1. Mecânica dos fluídos. 2. Escoamento simultâneo – Gás e líquido. I. Título.

CDU 532

Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052

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EscoamentoMultifásico Isotérmico

2012

Prof. Eugênio S. Rosa

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Reservados todos os direitos de publicação, em língua portuguesa, àARTMED® EDITORA S.A.(BOOKMAN® COMPANHIA EDITORA é uma divisão da ARTMED® EDITORA S. A.)Av. Jerônimo de Ornelas, 670 – Santana90040-340 – Porto Alegre – RSFone: (51) 3027-7000 Fax: (51) 3027-7070

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© 2012, Artmed Editora S.A.

Capa: Maurício Pamplona

Gerente editorial – CESA: Arysinha Jacques Affonso

Assistente editorial: Viviane Borba Barbosa

Editoração eletrônica: Techbooks

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O Autor

Eugênio Spanó Rosa é professor da Faculdade de Engenharia Mecânica da Universi-dade Estadual de Campinas (Unicamp) desde 1982. Graduou-se em engenharia me-cânica em 1980 pela Unicamp e obteve o título de PhD em 1989 pela Case Western Reserve University, nos Estados Unidos. Desde 1992 trabalha em projetos de pes-quisa com a Petrobras na área de produção e elevação de petróleo. Endereço do CV: http://lattes.cnpq.br/5295563566350138.

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Apresentação

Desde a sua criação, a Petrobras sempre buscou proporcionar uma sólida capacita-ção técnica aos seus profissionais. Tal objetivo tem sido alcançado por meio de seus centros de desenvolvimento de recursos humanos, assim como por acordos de coope-ração com universidades brasileiras e estrangeiras, onde profissionais da companhia participam de programas de especialização, mestrado e doutorado.

Professores e pesquisadores dessas universidades, bem como de centros de pes-quisas de alto nível, têm participado deste processo de aprimoramento da força de trabalho e constituem parte integrante da rede que suporta o desenvolvimento tecno-lógico da companhia.

O Prof. Dr. Eugênio Spanó Rosa, integrante do quadro de professores e pesqui-sadores da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), autor deste livro, cons-titui elo importante na qualificação técnica de nossos profissionais, que trabalham com os grandes desafios de escoamento das reservas do pré-sal brasileiro. A postura proativa, a rigorosa fundamentação teórica e experimental e a contagiante vibração na obtenção dos resultados nos projetos fazem do Prof. Eugênio um parceiro na solução dos desafios de escoamento multifásico e separação submarina.

Esta obra contempla os principais modelos utilizados nos simuladores de es-coamento bifásico transiente, com uma análise mais aprofundada dos processos de obtenção das médias no espaço e no tempo das variáveis de escoamento. Representa um marco na literatura técnica brasileira, reunindo o conhecimento acumulado desde a década de 1940, disperso em várias publicações.

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viii Apresentação

Com a publicação deste livro por meio do Programa de Editoração de Livros Didáticos da Universidade Petrobras, a companhia incentiva a preservação do conhe-cimento e continua a investir na capacitação de seus profissionais. Ao mesmo tempo, disponibiliza para a comunidade científica e acadêmica envolvida com a formação de novos quadros para a indústria do petróleo a experiência acumulada nos desafios vencidos no escoamento de fluidos em ambientes e situações adversos.

Nereu Carlos Milani De RossiConsultor Sênior na Área de Elevação e Escoamento

Recursos Humanos / Universidade PetrobrasPetróleo Brasileiro S/A - Petrobras

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Prefácio

Escoamentos em que duas ou mais fases ocorrem simultaneamente constituem um desafio à compreensão e à modelagem dos fenômenos físicos envolvidos. Estudos com base científica nesta área tiveram início no começo do século XX. Medidas ex-perimentais e modelos correlacionais constituíram a principal fonte de conhecimento. Na década de 1940, surgiram as primeiras abordagens para modelar escoamentos multifásicos utilizando processos de médias, mas esta metodologia só foi formalizada nas décadas de 1960 e 1970 e é conhecida atualmente por modelo de dois fluidos e modelo de mistura.

Os modelos de dois fluidos e de mistura, dada a sua relativa simplicidade e ca-pacidade de simular situações reais de campo, ganharam grande popularidade. Atual-mente, estes modelos e suas variantes são largamente empregados em simuladores de escoamentos multifásicos. Eles baseiam-se em processos de médias que condensam a influência da interface para alguns termos extras nas equações de transporte. Apesar da simplicidade dos termos resultantes, sua interpretação física é obscurecida pelos processos de média. O objetivo deste livro é a apresentação dos modelos de dois fluidos e de mistura enfatizando os aspectos físicos e matemáticos de suas estruturas com vistas à sua aplicação em escoamentos multifásicos. Estes aspectos são consi-derados fundamentais para o desenvolvimento de novos cenários de aplicações e à incorporação de dados experimentais aos modelos, uma vez que estes procedimentos requerem conhecimento aprofundado sobre a representação física de cada termo dos modelos. De forma complementar, procurou-se tornar o desenvolvimento da teoria destes modelos o mais genérico possível para aplicações em sistemas gás-líquido, líquido-sólido, gás-sólido e líquido-líquido. Além disto, a teoria desenvolvida tam-

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x Prefácio

bém permite estender a aplicação para sistemas com três fases presentes, sendo esta a razão da palavra “multifluidos” no título do livro.

A motivação desta obra foi reunir num único documento informações que estão espalhadas em diversas fontes e apresentá-las em linguagem acessível. O processo de média, extensivamente utilizado nos modelos, é tratado em grande parte das referên-cias existentes em língua portuguesa de modo superficial ou incompleto. Buscando uma abrangência maior neste tópico, o livro traz uma revisão dos processos de média baseados no tempo, volume e conjunto e trata das suas aplicações no Teorema de Gauss e na Regra de Leibniz. Também introduz a teoria de funções generalizadas para desenvolver o conceito de média em funções descontínuas, que é largamente empregado para obter as equações médias de transporte.

O livro contém dez capítulos e apresenta, em detalhes, a forma transiente 3D e 1D dos modelos de dois fluidos e de mistura, assim como os modelos de fases sepa-radas, homogêneo e de escorregamento (slip). Além disto, são introduzidas relações cinemáticas, incluindo relação de deslizamento de Zuber e Findlay. Seu conteúdo apóia-se em parte em trabalhos originalmente publicados durante as décadas de 1970 a 1990, entretanto outra parte significativa apóia-se nas pesquisas realizadas junto ao grupo de escoamento multifásico da Unicamp, que tiveram início durante a década de 1990. Apesar dos modelos terem capacidade de representar sistemas bifásicos em geral, isto é, gás-líquido, gás-sólido, líquido-sólido, por exemplo, a sua forma final é definida em função das equações constitutivas de fechamento que, por sua vez, dependem da natureza das fases e do padrão do escoamento. Neste sentido, o escopo das aplicações dos modelos apresentados é restrito ao escoamento de gás-líquido.

O conteúdo de cada capítulo é apresentado de forma resumida a seguir. Uma introdução ao assunto de modelagem e aos padrões de escoamento é realizada no Capítulo 1. No Capítulo 2, são apresentadas as equações locais e instantâneas das fases. Os processos de média no tempo, no espaço e conjunto são introduzidos no Capítulo 3. A caracterização da interface e o conceito de densidade de área interfacial são dados no Capítulo 4. As equações da massa e da quantidade de movimento para um campo 3D são deduzidas no Capítulo 5 em função do produto dos termos médios, a partir dos Teoremas de Gauss e de Leibniz. O Capítulo 6 apresenta o modelo de dois fluidos 3D com suas equações de fechamento. A versão 1D do modelo de dois fluidos é apresentada no Capítulo 7 juntamente com sua especialização conhecida por mode-lo de fases separadas. Associados aos Capítulos 2 a 7, há seis apêndices cuja exten-são é comparável ao texto principal. Os Apêndices A e B têm por finalidade dar um embasamento ao leitor na teoria de funções generalizadas e introduzir o Teorema de Gauss e a Regra de Leibniz para funções descontínuas e sua aplicação nos processos de médias. Estes tópicos foram abordados no apêndice com o intuito de apresentar a teoria matemática dos processos de médias para funções descontínuas. Os Apêndices C, D e E tratam das forças em partículas e de seus coeficientes empíricos. Eles apli-cam-se em escoamentos dispersos. Finalmente, no Apêndice F é apresentado o pro-

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Prefácio xi

cesso de média na seção transversal para se obter a forma diferencial das equações de transporte. O conceito de mistura multifásica e a determinação de suas propriedades, assim como as definições das velocidades da mistura em relação ao centro de massa e ao centro de volume, são apresentadas no Capítulo 8. As equações de transporte para o modelo de mistura num campo 3D são apresentadas no Capítulo 9. Esse modelo é expresso por equações de conservação em termos das variáveis dependentes: veloci-dade de mistura, fração de vazios e pressão, juntamente com um estudo de ordem de grandeza dos termos das equações de transporte para se chegar ao modelo homogê-neo. Uma simplificação significativa no modelo de mistura é realizada no Capítulo 10 onde as variações espaciais na direção transversal ao escoamento são condensadas de forma que a equação de transporte resultante passa a ser 1D e transiente. O modelo 1D de mistura é apresentado em termos das variáveis de mistura e por variáveis pri-mitivas: velocidade das fases, pressão e fração de vazios. Estas formulações formam a base dos simuladores comerciais.

O autor agradece ao professor Donald Drew pelas discusões relativas às inter-pretações dos termos resultantes dos processos de média e também aos professores Jader R. Barbosa Jr. e Angela O. Nieckele pelas inúmeras sugestões na obra. Agra-dece ainda o apoio recebido da Petrobras para publicação desta obra e também ao seu corpo de engenheiros, com quem em convívio nos últimos 20 anos muito pôde aprender sobre escoamento multifásico.

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Nomenclatura

A – área da seção transversal (m2)a

i – densidade de área interfacial (1/m)

c – concentração mássica ou título C

D – coeficiente de arrasto de uma partícula

Cf – fator de atrito de Fanning

C0 – parâmetro de distribuição das fases

Dk – tensor deformação da fase k (1/s)

Dp – diâmetro da partícula (sólida, líquida ou gás) (m)

Eo – número de Eotvosf – função genérica ou fator de atrito de Darcyg – aceleração da gravidade (m/s2)G – fluxo de massa (kg/s/m2)H – função degrau unitário HeavisideI – tensor identidadeJ – tensor genérico de segunda ordemj – velocidade superficial ou fluxo volumétrico da mistura (m/s)jk – velocidade superficial ou fluxo volumétrico da fase k (m/s)

M – número de amostrasm· – vazão mássica (kg/s)M

ki – densidade de força interfacial da fase k (N/m3)

Mo – número de Mortonm

p – massa da partícula

– vetor normal

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xiv Nomenclatura

ND – grupo adimensional de deslizamento

Nph

– grupo adimensional de mudança de faseP – pressão (Pa)q – vazão volumétrica (m3/s)Re

k – Reynolds da fase k

s – área da interface (m2)S – perímetro do tubo (m)S

G – perímetro molhado pela fase gás (m)

Si – perímetro da interface (m)

SL – perímetro molhado pela fase líquido (m)

t – tempo (s)T – tensor das tensões (Pa)v – velocidade (m/s)v

k,j – velocidade de deslizamento da fase k em relação ao volume (m/s)

k,j – velocidade média de deslizamento na seção transversal (m/s)

vk,m

– velocidade de difusão da fase k em relação a mistura (m/s)

m – velocidade de mistura média na seção transversal (m/s)

∀ – volume de amostragem (m3)X

k – função indicadora da fase k

We – número de Weber

Gregos

α – concentração volumétrica da fase ou fração de vaziosδ – função delta de Diracρ – massa específica (kg/m3)μ – viscosidade dinâmica (Ns/m2)σ – tensão superficial (N/m)Γ – vazão mássica devido à mudança de fase (kg/s/m3)ψ – variável genérica na equação de transporte

Sub e Superíndices

C – média de conjuntof – fluido (gás ou líquido) usualmente a fase contínuaG – fase gási – interfacek – fase

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Nomenclatura xv

L – fase líquidom – misturap – partícula (gás, líquido ou sólido) usualmente a fase dispersaT – média temporal∀ – média de volume

Operadores

ψ— – barra superior, operador generalizado de média (tempo, volume ou conjunto)< > – operador de média na seção transversal< >α – operador de média ponderada em α na seção transversal

Definições dos operadores de média

– identidade fundamental relacionada à média

– média ponderada pela função indicadora de fase

– média ponderada pela função indicadora de fase e densidade

– média na seção transversal

– média na seção transversal ponderada pela função indicadora de fase

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Sumário

Capítulo 1 Conceitos Básicos em Escoamentos Multifásicos ...................1

1.1 Grandezas e notação em escoamentos multifásicos .................. 41.2 Problema fundamental em escoamento multifásico .................. 71.3 Métodos de análise .................................................................. 13

Capítulo 2 Equações de Transporte Locais e Instantâneas ....................17

2.1 Salto na interface ..................................................................... 172.2 Sumário das equações de transporte e condição de salto na

interface ................................................................................... 19

Capítulo 3 A Função Indicadora da Fase e os Processos de Média .......21

3.1 Classificação dos dados aleatórios .......................................... 213.2 Função indicadora da fase, X

k ................................................. 24

3.3 Médias ponderadas .................................................................. 263.4 Comentários finais .................................................................. 35

Capítulo 4 Representação da Interface ...................................................37

4.1 Superfície, velocidade e deslocamento da interface ................ 374.2 Função indicadora da fase para média temporal ..................... 404.3 Função indicadora da fase para média de volume ................... 414.4 Função indicadora da fase para média de conjunto ................. 424.5 Densidade de área interfacial .................................................. 434.6 Quadro comparativo ................................................................ 46

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xviii Sumário

Capítulo 5 Equações Médias de Transporte ...........................................47

5.1 Equação média de transporte .................................................. 475.2 Definição de variáveis médias e a decomposição

de Reynolds ............................................................................. 505.3 Equação de transporte em função dos termos médios ............. 535.4 Comentários finais .................................................................. 56

Capítulo 6 Modelo de Dois Fluidos 3D e suas Equações Constitutivas ..59

Equação da conservação da massa ................................................... 60Equação da quantidade de movimento ............................................. 606.1 Equações constitutivas para o tensor das tensões .................... 616.2 Arranjo espacial das fases e os termos interfaciais ................. 636.3 Equação constitutiva para o termo de mudança de fase .......... 656.4 Equação constitutiva para o termo de força interfacial –

forma canônica ........................................................................ 666.5 Equação constitutiva para a força interfacial –

padrão disperso ....................................................................... 666.6 Equação constitutiva para a força interfacial –

padrão estratificado ................................................................. 736.7 Outros termos interfaciais ....................................................... 756.8 Outras aplicações do modelo de dois fluidos .......................... 776.9 Comentários finais .................................................................. 79

Capítulo 7 Modelo de Dois Fluidos 1D ....................................................81

7.1 Modelo de fases separadas ...................................................... 867.2 Modelo de fases separadas – padrão estratificado ................... 897.3 Modelo de fases separadas – padrão anular ............................ 997.4 Comentários finais ................................................................ 107

Capítulo 8 Propriedades de Misturas e Conceitos Cinemáticos ............109

8.1 Definições de velocidades ..................................................... 112

Capítulo 9 Modelo de Mistura 3D ..........................................................117

9.1 Equação de conservação da massa da mistura ...................... 1199.2 Equação de conservação da massa da fase k ......................... 1209.3 Equação de quantidade de movimento da mistura ................ 1229.4 Equações de transporte para o modelo de mistura ................ 1239.5 Equações constitutivas para a velocidade de deslizamento

(duas fases) ............................................................................ 1259.6 Equação constitutiva para o tensor de tensões da mistura ..... 131

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Sumário xix

9.7 Análise de escala do modelo de mistura ............................... 1349.8 Modelo homogêneo ............................................................... 1369.9 Comentários finais ................................................................ 139

Capítulo 10 Modelo de Mistura 1D ..........................................................141

10.1 Definição das médias na seção transversal ............................ 14210.2 Relações cinemáticas ............................................................ 14310.3 Equações de transporte para o modelo de mistura 1D .......... 14810.4 Equações de transporte para o modelo

Drift Flux 1D ......................................................................... 14910.5 Equações constitutivas para o modelo Drift Flux 1D ............ 15410.6 Sumário do Modelo Drift Flux .............................................. 16210.7 Forma alternativa ao modelo de mistura 1D – TACITE ........ 16510.8 Comentários finais ................................................................ 167

Apêndice A Funções Generalizadas .......................................................171

A.1 A função delta ....................................................................... 172A.2 Operações com a função delta ............................................... 173A.3 Função generalizada .............................................................. 174A.4 Derivada de uma função escalar com salto ........................... 177A.5 Operações da função delta no espaço 3D .............................. 179

Apêndice B Teorema de Gauss e Leibniz para Funções Descontínuas .183

B.1 Regra de Leibniz ................................................................... 184B.2 Teorema de Gauss ................................................................. 190B.3 Sumário: Regra de Leibniz e Teorema de Gauss ................... 194

Apêndice C Forças em Partículas ...........................................................197

C.1 Equação do movimento de uma única partícula num fluido em movimento ............................................................ 199

C.2 Força interfacial média por unidade de volume para uma População de partículas ......................................................... 207

C.3 Forma alternativa à força interfacial média ........................... 208C.4 Análise de casos .................................................................... 209

Apêndice D Coeficientes Empíricos ........................................................215

D.1 Força de basset em em uma única partícula .......................... 215D.2 Força de massa aparente em uma única partícula ................. 217D.3 Força de sustentação em uma única partícula ....................... 218D.4 Força de parede ..................................................................... 222

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xx Sumário

D.5 Força de arrasto em uma única partícula ............................... 224D.6 Efeito da concentração nas forças interfaciais ...................... 231

Apêndice E Velocidade Relativa de uma Única Partícula .......................235

E.1 Velocidade relativa de uma única partícula em um tubo ....... 239

Apêndice F Equação de Transporte 1D ..................................................241

F.1 Parâmetro de distribuição, Cψ,v .............................................. 244

Referências .............................................................................................247

Índice .......................................................................................................257

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