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Laboratório de Matemática
Vinicius Carvalho Beck
1 - Escala Cuisenaire
A Escala Cousenaire é um material composto por barrinhas coloridas de
diferentes tamanhos utilizadas na aprendizagem da aritmética elementar. Foi criada e
experimentada durante mais de duas décadas pelo professor belga Émile-Georges
Cuisenaire, que após observar a dificuldade de um de seus alunos na aprendizagem das
primeiras ideias aritméticas do primário, cortou algumas réguas de madeira em dez
tamanhos distintos e pintou cada conjunto de réguas do mesmo tamanho de uma cor,
com o objetivo de que os tamanhos fossem também diferenciados pela cor.
Depois de vinte e três anos de uso do seu material em escolas da Bélgica,
Cuisenaire se encontrou com o professor egípcio radicado na Inglaterra Caleb Gattegno
(POWELL, 2007), que o divulgou na Europa e o tornou conhecido mundialmente.
Figura 1 - Escala Cousenaire.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
Na Figura 1 é apresentado um exemplo de kit da Escala Cuisenaire. Ele pode ser
utilizado no ensino do sistema de numeração decimal e das operações aritméticas
elementares (CUISENAIRE e GATTEGNO, 1954). Paulus (1998) sugere várias
atividades didáticas que podem ser realizadas com a Escala Cuisenaire.
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2 - Ábaco
O ábaco é um instrumento utilizado para realizar cálculos aritméticos. Antes da
invenção do computador, e mais recentemente, da calculadora eletrônica pessoal, era o
dispositivo de cálculo mais utilizado para resolver mecanicamente cálculos
matemáticos.
Têm-se registros de uso de variados tipos de ábaco pelos povos antigos. Na
mesopotâmia, no Egito, na Grécia, em Roma, na América, na Índia, na China, no Japão,
na Rússia, enfim, em vários lugares do mundo o ábaco foi utilizado (BOYER, 2003). Os
tipos de ábaco mais populares, nos quais são baseados muitos dos ábacos pedagógicos
produzidos nos dias de hoje, são: o japonês, o chinês e o russo. O ábaco da Figura 2 é
bastante similar ao russo. Na União Soviética, este tipo de ábaco foi utilizado nas
escolas, lojas e restaurantes até a década de 1990 (ALMEIDA, 1990), quando foi
largamente substituído pela calculadora eletrônica.
Figura 2 - Ábaco.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
Atualmente, devido aos avanços tecnológicos, o ábaco não tem mais sido
utilizado como um instrumento de cálculo nas escolas, mas o contato com ele na
infância pode auxiliar na construção do conceito de número e na compreensão do
funcionamento do sistema de numeração decimal. Também destaca-se o uso do ábaco
3
no ensino de Matemática para estudantes deficientes visuais. Gerhardt (2007) descreve
algumas atividades que podem ser realizadas com o ábaco na construção do conceito de
número e no aprendizado das operações aritméticas elementares. Na internet é possível
encontrar réplicas digitais do ábaco. O website Nosso Clubinho (2015), por exemplo,
disponibiliza um ábaco virtual.
3 - Calculadoras Eletrônicas
As calculadoras são máquinas utilizadas para facilitar cálculos aritméticos,
principalmente quando a ordem de grandeza dos números envolvidos é demasiado
elevada para a resolução por cálculo mental.
O ábaco foi o primeiro modelo de calculadora da história. Como já foi
comentado, o ábaco foi utilizado em praticamente todas as partes do mundo nos
primórdios da civilização.
A partir do século XVII, começaram a surgir calculadoras mecânicas,
inicialmente desenvolvidas por matemáticos, tais como Blaise Pascal e Gottfried
Wilhelm Von Leibniz, para uso estritamente científico ou comercial. Ainda na década
de 1970 este tipo de calculadora existia, sendo inclusive comercializado. Desde então,
seu uso ficou obsoleto com o advento das calculadoras eletrônicas.
A partir da década de 1960, a indústria eletrônica passou por consideráveis
mudanças, sobretudo devido à invenção do transístor, e ao encapsulamento deste
componente em circuitos integrados, que abrigavam em um espaço físico muito
reduzido uma grande quantidade de componentes. Além disso, nesta época o germânio,
utilizado até então como semicondutor, foi substituído pelo silício, o que barateou o
custo de fabricação de equipamentos eletrônicos. Foi neste cenário favorável, que a
calculadora eletrônica foi introduzida para uso pessoal.
O uso deste equipamento em sala de aula tem sido motivo de vários debates nas
últimas décadas (KUMAYAMA, 1999; CHIFFL, 2006; GIRALDO, 2011; OLIVEIRA,
2013). Alguns educadores defendem que o uso precoce da calculadora pode gerar um
comportamento de passividade dos estudantes e desmotivar o uso do raciocínio lógico
de forma autônoma. Outros defendem que a calculadora é uma tecnologia utilizada em
vários contextos da vida cotidiana, e por isso seu uso na escola deve ser estimulado.
Controvérsias a parte, o certo é que pelo menos os profissionais que ensinam
Matemática precisam dominar o uso deste equipamento e discutir suas possibilidades
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pedagógicas. Tendo isso em vista, a seguir são apresentados alguns modelos de
calculadoras simples que representam boa parte dos modelos comercializados
atualmente.
Figura 3 - Kenko KK-808V.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
Além das operações aritméticas elementares, as calculadoras simples também
dispõem de algumas funções de memória em suas teclas que podem ser úteis,
especialmente para cálculos longos. No caso do modelo Kenko KK-808V as funções
são descritas no próximo parágrafo. Este modelo de calculadora comporta oito dígitos
no visor.
A tecla desliga a máquina. A tecla serve para ligar a
máquina. A tecla apaga o último número registrado, corrigindo um valor
digitado por engano. A tecla tem a função de limpar o visor. A tecla
limpa a memória. A tecla transfere para o visor o número que
estiver armazenado na memória. A tecla subtrai da memória o número que
OFF ON
CE
C
MC
CM
MR
M-
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estiver no visor. A tecla soma à memória da máquina o número que estiver
registrado no visor. A tecla equivale a
.
Figura 4 - Mitsuca DT-328.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
O modelo Mitsuca DT-328 tem oito dígitos no visor, bateria solar e
autodesligamento de oito minutos. É um modelo bastante similar à Kenko KK-808V,
com algumas diferenças apenas na localização das teclas.
A tecla desliga a máquina. A tecla equivale a
. A tecla
limpa a memória. A tecla transfere para o visor o número que
estiver armazenado na memória. A tecla subtrai da memória o número que
estiver no visor. A tecla soma à memória da máquina o número que estiver
registrado no visor. A tecla serve para atribuir sinal aos números digitados
no visor, sendo que se não for acionada o número é considerado positivo. A tecla
apaga o último número registrado, corrigindo um valor digitado por engano.
A tecla serve para ligar a máquina. A tecla limpa o visor.
M+
%
OFF %
MC
CM
MR
M-
M+
+/-
CE
ON C
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Figura 5 - Caston ST-100B.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
O modelo Caston ST-100B apresenta 12 dígitos no visor, possibilita calcular
várias operações aritméticas e obter a soma de todos os resultados utilizando apenas
uma tecla, apresenta a opção de eliminar dígitos no visor, e ainda, possui uma tecla com
zero duplo, facilitando a digitação de múltiplos de dez.
A tecla serve para ligar a máquina e limpar o visor. A tecla
apaga o último número registrado, corrigindo um valor digitado por engano.
A tecla desliga a máquina. A tecla elimina dígitos do visor. A
tecla transfere para o visor o número que estiver armazenado na memória e
limpa a memória logo após a transferência do número para o visor. A tecla
subtrai da memória o número que estiver no visor. A tecla soma à memória
da máquina o número que estiver registrado no visor. A tecla calcula o
AC
CE
OFF →
MRC
M-
M+
GT
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Grand Total, ou em português, a Soma Total, que é a soma dos resultados de várias
operações aritméticas realizadas em sequência. A tecla equivale a
.
4 - Tangram
O Tangram é um quebra-cabeça de origem chinesa. O tipo de Tangram mais
comum possui sete peças (cinco triângulos, um quadrado e um paralelogramo).
Também existem variações com número diferente de peças e com outras formas
geométricas na sua composição.
Existem muitas histórias sobre o surgimento do Tangram, sendo que o único
consenso é o fato de que surgiu na Antiguidade Oriental. Uma das lendas diz que o
Tangram foi criado após uma pedra preciosa ter se quebrado em sete pedaços. Outra diz
que um antigo imperador da China deixou cair um espelho quadrado que se quebrou em
sete pedaços, que poderiam ser rearranjados para formar vários tipos de figuras. Outra
lenda ainda afirma que um servo de um imperador chinês deixou cair um vaso de barro,
que depois foi colado e entregue ao imperador, e em seguida, inspirado pelas formas
que apareceram espontaneamente enquanto juntava os pedaços do vaso, o servo
resolveu criar um quebra-cabeça, o qual recebeu o nome Tangram.
%
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Figura 6 - Tangram.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
A Figura 6 apresenta um exemplo de Tangram clássico. Ele pode ser utilizado
no ensino do conceito de fração e das operações entre frações, e também na
identificação de formas geométricas planas (MUMBACH, WOLKMER e
PREUSSLER, 2013; SOUZA, DINIZ, PAULO e OCHI, 1995; BERGER, 2013).
5 - Discos de Frações
O disco de frações é um material didático-pedagógico composto por vários
discos recortados em partes iguais. Um disco é repartido ao meio, outro é repartido em
três partes, outro em quatro, e os outros em seis e oito partes. É uma forma concreta de
representar frações numéricas (MARANHÃO e IMENES, 1985).
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Figura 7 - Disco de Frações.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
Na Figura 7 é apresentado um exemplo de kit com discos de frações. Ele pode
ser utilizado na construção do conceito de fração, no ensino da equivalência de frações e
das operações elementares entre números racionais (DAVID e FONSECA, 1997;
GRANDO, 2004).
6 - Blocos Lógicos
O kit blocos lógicos é um material didático-pedagógico criado pelo matemático
húngaro Zoltán Pál Dienes nos anos 1950 (DIENES, 1974). É composto por 48 peças
que se diferenciam entre si por características sensoriais tais como cor, tamanho e
espessura.
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Figura 8 - Blocos Lógicos.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
Na Figura 8 é apresentado um exemplo de kit com blocos lógicos, o qual pode
ser utilizado principalmente para desenvolver nas crianças a habilidade de classificar
objetos (ARAÚJO e LINS, 2012). Várias atividades envolvendo os blocos lógicos
podem ser encontradas em Simons (2003) e Damas (2005).
7 - Torre de Hanói
A Torre de Hanói é um jogo lançado pela primeira vez em 1883 pelo
matemático francês Édouard Lucas. Sabe-se que ele já era bastante popular na China, no
Japão e no Vietnã antes de ser comercializado. O nome é inspirado nas características
arquitetônicas de prédios muito conhecidos do Vietnã.
Outro matemático chamado Henri De Parville, na mesma época em que o jogo
foi lançado na França, ajudou a popularizar uma antiga lenda da cultura hindu sobre a
Torre de Hanói. Segundo esta lenda, debaixo do centro do mundo, existe uma placa de
bronze muito fina na qual estão fixados três longos bastões de diamante. Quando Deus
criou o mundo, ele deixou 64 discos de ouro em um dos bastões, de tal maneira que o
tamanho de cada disco decrescia de baixo para cima. Monges seriam encarregados de
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transferir os discos de um bastão para o outro, de acordo com duas leis: 1) não poderiam
mover mais do que dois discos por vez; 2) não poderia haver um disco maior sobre um
menor. Segundo a lenda, no momento em que os 64 discos fossem completamente
transferidos pelos monges para outro bastão, tudo seria transformado em pó e o mundo
desapareceria.
Édouard Lucas ofereceu um milhão de francos para quem resolvesse o problema
das torres com 64 anéis. Ninguém recebeu o prêmio, pois ainda que uma pessoa levasse
um segundo para realizar cada movimento, levaria cerca de 600 bilhões de anos. Mais
detalhes sobre a lenda da Torre de Hanói podem ser encontrados em Manoel (2015).
Apesar de ter sido lançada há mais de um século, a Torre de Hanói é um jogo
muito eficaz para o desenvolvimento de raciocínios associados com recursividade e
inclusão hierárquica de classes. Bairral (2001) apresenta algumas atividades didáticas
utilizando a Torre de Hanói. Na Figura 9 tem-se um exemplo de Torre de Hanói para
uso escolar.
Figura 9 - Torre de Hanói.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
O número de movimentos necessários para resolver a Torre de Hanói depende
do número de anéis a serem transferidos. Com 2 anéis o número mínimo de movimentos
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é 3, com 3 anéis o número mínimo é 7, com 4 anéis o número mínimo é 15, e
generalizando, com anéis o número mínimo de movimentos é .
Hefez (2009) apresenta uma demonstração desta fórmula. É importante frisar
que nesta relação entre as grandezas anéis e número de movimentos, estamos nos
referindo ao número mínimo de movimentos, pois um jogador pode levar uma
quantidade maior para mover os anéis de um bastão à outro. Uma Torre de Hanói virtual
pode ser encontrada no website Gameson (2015)
8 - Damas
O jogo de Damas é praticado desde o início da civilização. Embora não se saiba
ao certo quando e onde tenha surgido, os registros em pinturas e os tabuleiros
encontrados em túmulos são evidências de que no Egito Antigo o jogo já era conhecido
com regras muito semelhante às atuais. Os primeiros livros contendo aspectos teóricos
das estratégias utilizadas em jogos de damas cujo registro resistiu aos dias atuais datam
do século XVI, e são espanhóis. A Federação Mundial de Damas foi fundada em 1948,
ainda que já tenham sido realizados vários campeonatos oficiais antes desta data,
inclusive mundiais. O primeiro campeão mundial foi o austríaco Isidore Weiss, em
1895.
Figura 10 - Tabuleiro de Damas.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
A Figura 10 mostra um tabuleiro de jogo de damas oficial. Ele possui 64 casas,
alternadamente claras e escuras. Ele possui uma grande diagonal que deve ficar sempre
à esquerda de cada jogador. O objetivo do jogo é imobilizar ou capturar todas as peças
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do adversário. O jogo é praticado sempre por 2 jogadores, cada um contendo 12 peças
em cada lado, as quais só podem ocupar as casas escuras. As peças brancas sempre
começam. As seguintes regras devem ser cumpridas (DAMAS CIÊNCIAS, 2015):
1) São consideradas jogadas a captura de peças do adversário e o movimento nas
casas do tabuleiro;
2) A captura pode ser realizada quando o jogador tem uma peça sua em frente a
uma peça do seu adversário (na diagonal, na linha ou na coluna), devendo ocupar a casa
imediatamente posterior a do adversário;
3) Todas as peças só podem realizar uma jogada (captura ou movimento nas
casas) por lance;
4) Mais do que uma peça pode ser capturada no mesmo lance (neste caso,
chama-se captura múltipla);
5) A captura é obrigatória (se o jogador que deve capturar não perceber a
posição de captura, então ele deve ser avisado por seu oponente);
6) A dama é uma peça especial, que pode movimentar-se no tabuleiro quantas
casas quiser por lance, desde que não saia da mesma diagonal;
7) Inicialmente, não há damas no jogo, mas qualquer pedra pode se tornar dama
se conseguir alcançar a última linha do tabuleiro, onde inicialmente se localizam as
peças adversárias (as casas desta linha são chamadas de casas de coroação);
8) As peças só podem se movimentar para frente (com exceção da dama, que
também pode se movimentar para trás);
9) A dama não pode ultrapassar uma peça de mesma cor;
10) A pedra e a dama podem capturar para frente ou para trás;
11) É obrigatória a captura do maior número de peças;
12) A peça que passa pela casa de coroação, num lance de captura múltipla, sem
que sua posição final seja na casa de coroação, não será promovida à dama;
13) Casos de empate: a) 20 lances sucessivos de damas sem captura ou
deslocamento de pedras, b) 2 damas contra 2 damas, c) 2 damas contra 1 dama e 1 pedra
após 5 lances sucessivos e d) 2 damas contra 1 dama após 5 lances sucessivos.
O jogo de damas, além de ser um passatempo de longa data, também pode ser
utilizado como uma ferramenta para o desenvolvimento cognitivo (DAMAS
CIÊNCIAS, 2015). Conforme destaca Grando (2000), o uso de jogos potencializa
aprendizagem da Matemática, por isso vale a pena experimentar o jogo de damas como
estratégia para motivar o uso do raciocínio lógico dos estudantes.
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9 - Xadrez
O xadrez é um jogo muito praticado em todas as partes do mundo. A origem
precisa deste jogo é desconhecida. No entanto, sabe-se que o xadrez que se joga nos
dias atuais é resultado de uma série de modificações de jogos mais primitivos, as quais
se iniciaram em meados do século XV e cessaram, até assumir a forma conhecida hoje
por volta de 1850. Os historiadores divergem se as primeiras mudanças em direção ao
xadrez moderno começaram a ocorrer na Espanha ou na Itália.
Entretanto, sabe-se que o xadrez é derivado do jogo chaturanga, muito popular
na Índia Antiga. Reza a lenda, que este jogo foi inventado por um brâmane que
pretendia dar de presente para um poderoso rajá que havia perdido seu filho, e por isso
se sentia entediado em seu palácio. Logo após jogar e gostar muito, o rajá insistiu em
oferecer uma recompensa ao brâmane, que lhe pediu simplesmente que lhe fosse pago
em trigo, sendo que um trigo fosse colocado na primeira casa do tabuleiro do jogo que
inventara, e o número fosse multiplicado por 2 para cada casa do tabuleiro. Inicialmente
o rajá se surpreendeu com o pedido, por acha-lo muito simples. No entanto, quando os
funcionários foram fazer os cálculos, descobriram que se tratava de uma enorme
quantidade de trigo, já que o tabuleiro possuía 64 casas. Com isso, uma grande dívida
que o brâmane possuía naquele reino foi perdoada, e ainda, ele passou a ser o
conselheiro oficial do rajá dali em diante.
Na mitologia grega, acreditava-se que Ares, deus da guerra, havia inventado o
jogo de xadrez para testar táticas de combate, sendo que cada peça representaria uma
parte de seu exército. Segundo este mito, Ades teria ensinado ao seu filho mortal os
fundamentos do jogo, sendo este o motivo de o xadrez ter chegado ao conhecimento dos
humanos.
Um famoso torneio em São Petersburgo em 1914 fez crescer a vontade de
muitos jogadores em criar uma entidade internacional para organizar torneios de xadrez
em nível mundial. A Federação Internacional de Xadrez (FIDE) foi fundada em Paris,
no ano de 1924. Atualmente, ela é responsável por dirigir campeonatos profissionais de
alto nível, e também se dedica à promoção do xadrez escolar, divulgando este esporte
intelectual, e ao mesmo tempo, recrutando novos talentos.
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Figura 11 - Tabuleiro de Xadrez.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
A Figura 11 mostra um tabuleiro de jogo de xadrez. Ele possui 64 casas,
alternadamente claras e escuras, e uma grande diagonal que deve ficar sempre à
esquerda de cada jogador. A seguir são apresentadas as peças do jogo, bem como suas
funções. O objetivo do jogo é capturar o rei adversário, sendo qualquer movimento de
ameaça ao rei chamado de xeque. A captura do adversário refere-se à retirada de uma
peça adversária da casa onde está e a ocupação desta casa. Todas as peças do jogo
podem capturar ou ser capturadas, mas a maneira como são feitas as capturas dependem
da forma como podem se movimentar no tabuleiro. A seguir são apresentadas as peças
do jogo de xadrez e é explicada brevemente a forma como cada peça deve se
movimentar no tabuleiro.
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Figura 12 - Rei.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
O rei pode movimentar-se para todas as direções pela diagonal, pela vertical ou
pela horizontal. Os dois jogadores devem protegê-lo ao máximo da captura adversária,
pois caso seja capturado, o jogo termina imediatamente, com a derrota daquele que
perdeu o rei. O último jogo do lance, que imobiliza o rei, é chamado xeque-mate.
Figura 13 - Rainha.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
A rainha é a peça mais poderosa do jogo, pois pode se movimentar em todas as
direções quantas casas desejar. Depois do rei, é a peça que deve ser mais protegida.
Algumas vezes também é chamada de dama.
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Figura 14 - Bispo.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
O bispo pode movimentar-se apenas na diagonal, quantas casas desejar. Cada
jogador possui dois bispos. Em termos de importância, o bispo está abaixo de várias
outras peças, exceto do cavalo e do peão.
Figura 15 - Cavalo.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
O cavalo realiza movimentos que lembram a letra “L” do alfabeto latino, isto é,
ele movimenta-se sempre duas casas para frente e uma casa para a esquerda ou direita.
O cavalo é a única peça que pode pular sobre outras, não importando se as peças são do
próprio jogador ou do jogador adversário. Em termos de importância, só está acima do
peão, praticamente no mesmo patamar do bispo.
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Figura 16 - Torre.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
A torre pode movimentar-se na horizontal ou vertical, quantas casas desejar.
Depois do rei e da rainha, é considerada a peça mais forte do jogo, estando acima do
bispo, do cavalo e do peão em termos de importância.
Figura 17 - Peão.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
O peão pode movimentar-se apenas uma casa para frente (exceto no primeiro
lance do jogo, onde ela pode se movimentar até duas casas para frente). O peão não
pode se movimentar para trás no tabuleiro. Ele pode capturar qualquer peça que esteja
em qualquer casa imediatamente na diagonal.
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Além do uso recreativo do xadrez, ele pode ser também utilizado com intenções
pedagógicas, no sentido de desenvolver habilidades de raciocínio lógico, em qualquer
nível de ensino (SÁ, 1988; REZENDE, 2005; OLIVEIRA, 2015).
10 - Sólidos Geométricos
Chama-se sólido geométrico uma região do espaço limitada por uma superfície.
Em outras palavras, são figuras tridimensionais. Os sólidos geométricos podem ser
classificados em dois grandes grupos: os poliedros e os não poliedros. Os poliedros são
sólidos limitados por superfícies planas. Quando ao menos uma das faces de um sólido
não está contida em um plano, este sólido é classificado como não poliedro.
Na Figura 18 é apresentado um exemplo de kit com 10 sólidos geométricos para
uso pedagógico. Os sólidos são: cubo, paralelepípedo, esfera, cilindro, cone, prisma
triangular, prisma hexagonal, pirâmide triangular, pirâmide quadrangular e pirâmide
hexagonal. Existem outras configurações de kit, e também kits com diferentes
quantidades. Por exemplo, existem kits com 20 sólidos, com 5 sólidos, etc.
Figura 18 - Sólidos Geométricos.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
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Uma das possibilidades de uso do kit é na exploração da identificação e
classificação de figuras geométricas. Também é recomendável, sobretudo nos anos
iniciais escolares, que as formas dos sólidos sejam comparadas com embalagens de
formato semelhantes. Outra possibilidade é na abordagem de grandezas e medidas, já
que normalmente nos kits deste tipo os sólidos dispõem de uma tampa para entrada de
água, o que permite medir o volume que o sólido comporta. Pode-se explorar diferentes
unidades de medida para avaliar a grandeza volume. É possível também explorar o
cálculo de áreas laterais, áreas de base, áreas totais e volumes, a partir das medições das
arestas, raios, ápotemas e geratrizes. A seguir, tendo como referência Dolce e Pompeo
(1997), Lima (1991) e Araújo (1998), são feitas descrições e são fornecidas algumas
informações relevantes sobre cada um dos sólidos do kit considerado.
Figura 19 - Cubo.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
Um cubo é um hexaedro regular, ou seja, é uma figura tridimensional com seis
faces iguais. A área total do cubo é e o volume é , onde é o
comprimento de cada aresta.
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Figura 20 - Paralelepípedo.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
Um paralelepípedo é um hexaedro com paralelogramos nas faces, ou seja, é uma
figura tridimensional com seis faces, onde em cada face há um paralelogramo. Quando
os paralelogramos das faces são losangos, o paralelepípedo é chamado de rômbico, pois
em algumas áreas do conhecimento é mais comum denominar os losangos por rombos.
Quando os paralelogramos das faces são retângulos, o paralelepípedo é chamado de
cubóide. Este é o caso do paralelepípedo da Figura 20, na qual a área total é calculada
por e o volume por , onde , e são os
comprimentos das três medidas distintas das arestas do cubóide. Quando os
paralelogramos das faces são quadrados, o paralelepípedo é um cubo.
Figura 21 - Esfera.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
Uma esfera é um sólido constituído por uma superfície curva e contínua
composta pelos pontos equidistantes do centro do mesmo sólido. A distância de
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qualquer ponto até o centro é chamada de raio. A área total da esfera é e o
volume é
, onde é o raio da esfera.
Figura 22 - Cilindro.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
Um cilindro é um sólido constituído por uma superfície alongada, contínua e
limitada composta por infinitas elipses sobrepostas. Quando a reta que liga o centro da
elipse superior até o centro da elipse da base é perpendicular ao plano da base, então o
cilindro é chamado reto. Caso contrário, ele é chamado oblíquo. Quando a elipse da
base e a elipse superior são círculos, então o cilindro é chamado de circular. Num
cilindro circular e reto, como o da Figura 22, a área da base é , a área lateral é
, a área total e o volume é , onde é o raio do
círculo e é a altura do cilindro.
Figura 23 - Cone.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
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Um cone é um sólido constituído por uma superfície alongada, contínua e
limitada composta por uma base elíptica e um ponto na outra extremidade, chamado
vértice superior. Quando a reta que liga o vértice superior até o centro da elipse da base
é perpendicular ao plano da base, então o cone é chamado reto. Quando o cone não é
reto, dizemos que ele é oblíquo. Quando a elipse da base é um círculo, dizemos que o
cone é circular. E ainda, quando a medida da geratriz de um cone circular e reto é igual
à medida do diâmetro do círculo da base, então dizemos que o cone é equilátero. O cone
da Figura 23 é circular e reto. Neste caso, a área da base do cone é , a área
lateral é , a área total e o volume é
, onde é o
raio, é a altura e é a geratriz.
Figura 24 - Prisma Triangular.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
Um prisma é um poliedro com duas faces congruentes paralelas, chamadas
bases, e cujas demais faces, chamadas faces laterais, são paralelogramos. Quando a
base de um prisma é um triângulo, dizemos que o prisma é triangular. No prisma da
Figura 24 o triângulo é equilátero. Neste caso, a área da base do prisma triangular é
, a área lateral é , a área total e o volume é
, onde é a medida dos lados do triângulo da base, é a altura do triângulo da
base e é a altura do prisma.
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Figura 25 - Prisma Hexagonal.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
Quando a base de um prisma é um hexágono, dizemos que o prisma é
hexagonal. No prisma da Figura 25 o hexágono é regular. Neste caso, a área da base do
prisma é √
, a área lateral é , a área total é √ e o
volume é √
, onde é a medida de cada lado do hexágono da base e é a
altura do prisma.
Figura 26 - Pirâmide Triangular.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
Uma pirâmide é um poliedro com uma face poligonal, chamada de base, e as
demais faces triangulares, chamadas faces laterais. Quando a base de uma pirâmide é
um triângulo, dizemos que a pirâmide é triangular. A área da base da pirâmide
triangular é
, a área lateral é
, a área total
e o
25
volume é
, onde é a medida do lado do triângulo, é a altura do triângulo,
é o apótema da pirâmide e é a altura da pirâmide.
Figura 27 - Pirâmide Quadrangular.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
Quando a base de uma pirâmide é um quadrado, dizemos que a pirâmide é
quadrangular. A área da base da pirâmide quadrangular é , a área lateral é
, a área total e o volume é
, onde é o lado do
quadrado, é o apótema da pirâmide e é a altura da pirâmide.
Figura 28 - Pirâmide Hexagonal.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
Quando a base de uma pirâmide é um hexágono, dizemos que a pirâmide é
hexagonal. Na Figura 28 o hexágono é regular. Neste caso, a área da base da pirâmide
hexagonal é √
, a área lateral é , a área total
√
e o
26
volume é √
, onde é o lado do hexágono, é o apótema da pirâmide e é a
altura da pirâmide.
11 - Geoplano
O Geoplano é um material didático-pedagógico que pode auxiliar no ensino de
geometria plana. Foi criado pelo professor de matemática egípcio radicado na Inglaterra
Caleb Gattegno em 1961. Originalmente era composto por uma tábua de madeira com
pregos cravados na sua superfície.
Figura 29 - Geoplano.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
A Figura 29 apresenta um geoplano usualmente utilizado para fins pedagógicos.
Este material pode ser utilizado para o desenvolvimento dos conceitos de perímetro e
área, e também na identificação das figuras planas e seus elementos (MARIÑO, 2000;
KNIJNIK, BASSO e KLÜSENER, 2004). O website da Universidade de Córdoba
(UCO, 2015) disponibiliza um geoplano virtual.
12 - Mosaicos Geométricos
O kit Mosaicos Geométricos é um material constituído por 100 peças,
geralmente confeccionado em plástico colorido. Seu uso enquanto objeto didático-
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pedagógico é relativamente recente, e tem como base a íntima relação que existe entre a
matemática e as artes plásticas, particularmente na estrutura de construção dos mosaicos
(BARBOSA, 1998; ALVES e DALCIN, 1999; OLSSON, 1999).
Figura 30 - Mosaicos Geométricos.
Foto: Vinicius Carvalho Beck.
Na Figura 30 é possível visualizar um exemplo deste kit. Ele pode ser utilizado
na construção do conceito de fração, no ensino das operações entre frações e também
pode ser utilizado de forma recreativa, na elaboração de formas geométricas a partir dos
mosaicos.
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