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Laboratório de Matemática

Vinicius Carvalho Beck

1 - Escala Cuisenaire

A Escala Cousenaire é um material composto por barrinhas coloridas de

diferentes tamanhos utilizadas na aprendizagem da aritmética elementar. Foi criada e

experimentada durante mais de duas décadas pelo professor belga Émile-Georges

Cuisenaire, que após observar a dificuldade de um de seus alunos na aprendizagem das

primeiras ideias aritméticas do primário, cortou algumas réguas de madeira em dez

tamanhos distintos e pintou cada conjunto de réguas do mesmo tamanho de uma cor,

com o objetivo de que os tamanhos fossem também diferenciados pela cor.

Depois de vinte e três anos de uso do seu material em escolas da Bélgica,

Cuisenaire se encontrou com o professor egípcio radicado na Inglaterra Caleb Gattegno

(POWELL, 2007), que o divulgou na Europa e o tornou conhecido mundialmente.

Figura 1 - Escala Cousenaire.

Foto: Vinicius Carvalho Beck.

Na Figura 1 é apresentado um exemplo de kit da Escala Cuisenaire. Ele pode ser

utilizado no ensino do sistema de numeração decimal e das operações aritméticas

elementares (CUISENAIRE e GATTEGNO, 1954). Paulus (1998) sugere várias

atividades didáticas que podem ser realizadas com a Escala Cuisenaire.

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2 - Ábaco

O ábaco é um instrumento utilizado para realizar cálculos aritméticos. Antes da

invenção do computador, e mais recentemente, da calculadora eletrônica pessoal, era o

dispositivo de cálculo mais utilizado para resolver mecanicamente cálculos

matemáticos.

Têm-se registros de uso de variados tipos de ábaco pelos povos antigos. Na

mesopotâmia, no Egito, na Grécia, em Roma, na América, na Índia, na China, no Japão,

na Rússia, enfim, em vários lugares do mundo o ábaco foi utilizado (BOYER, 2003). Os

tipos de ábaco mais populares, nos quais são baseados muitos dos ábacos pedagógicos

produzidos nos dias de hoje, são: o japonês, o chinês e o russo. O ábaco da Figura 2 é

bastante similar ao russo. Na União Soviética, este tipo de ábaco foi utilizado nas

escolas, lojas e restaurantes até a década de 1990 (ALMEIDA, 1990), quando foi

largamente substituído pela calculadora eletrônica.

Figura 2 - Ábaco.


Atualmente, devido aos avanços tecnológicos, o ábaco não tem mais sido

utilizado como um instrumento de cálculo nas escolas, mas o contato com ele na

infância pode auxiliar na construção do conceito de número e na compreensão do

funcionamento do sistema de numeração decimal. Também destaca-se o uso do ábaco

3

no ensino de Matemática para estudantes deficientes visuais. Gerhardt (2007) descreve

algumas atividades que podem ser realizadas com o ábaco na construção do conceito de

número e no aprendizado das operações aritméticas elementares. Na internet é possível

encontrar réplicas digitais do ábaco. O website Nosso Clubinho (2015), por exemplo,

disponibiliza um ábaco virtual.

3 - Calculadoras Eletrônicas

As calculadoras são máquinas utilizadas para facilitar cálculos aritméticos,

principalmente quando a ordem de grandeza dos números envolvidos é demasiado

elevada para a resolução por cálculo mental.

O ábaco foi o primeiro modelo de calculadora da história. Como já foi

comentado, o ábaco foi utilizado em praticamente todas as partes do mundo nos

primórdios da civilização.

A partir do século XVII, começaram a surgir calculadoras mecânicas,

inicialmente desenvolvidas por matemáticos, tais como Blaise Pascal e Gottfried

Wilhelm Von Leibniz, para uso estritamente científico ou comercial. Ainda na década

de 1970 este tipo de calculadora existia, sendo inclusive comercializado. Desde então,

seu uso ficou obsoleto com o advento das calculadoras eletrônicas.

A partir da década de 1960, a indústria eletrônica passou por consideráveis

mudanças, sobretudo devido à invenção do transístor, e ao encapsulamento deste

componente em circuitos integrados, que abrigavam em um espaço físico muito

reduzido uma grande quantidade de componentes. Além disso, nesta época o germânio,

utilizado até então como semicondutor, foi substituído pelo silício, o que barateou o

custo de fabricação de equipamentos eletrônicos. Foi neste cenário favorável, que a

calculadora eletrônica foi introduzida para uso pessoal.

O uso deste equipamento em sala de aula tem sido motivo de vários debates nas

últimas décadas (KUMAYAMA, 1999; CHIFFL, 2006; GIRALDO, 2011; OLIVEIRA,

2013). Alguns educadores defendem que o uso precoce da calculadora pode gerar um

comportamento de passividade dos estudantes e desmotivar o uso do raciocínio lógico

de forma autônoma. Outros defendem que a calculadora é uma tecnologia utilizada em

vários contextos da vida cotidiana, e por isso seu uso na escola deve ser estimulado.

Controvérsias a parte, o certo é que pelo menos os profissionais que ensinam

Matemática precisam dominar o uso deste equipamento e discutir suas possibilidades

4

pedagógicas. Tendo isso em vista, a seguir são apresentados alguns modelos de

calculadoras simples que representam boa parte dos modelos comercializados

atualmente.

Figura 3 - Kenko KK-808V.


Além das operações aritméticas elementares, as calculadoras simples também

dispõem de algumas funções de memória em suas teclas que podem ser úteis,

especialmente para cálculos longos. No caso do modelo Kenko KK-808V as funções

são descritas no próximo parágrafo. Este modelo de calculadora comporta oito dígitos

no visor.

A tecla desliga a máquina. A tecla serve para ligar a

máquina. A tecla apaga o último número registrado, corrigindo um valor

digitado por engano. A tecla tem a função de limpar o visor. A tecla

limpa a memória. A tecla transfere para o visor o número que

estiver armazenado na memória. A tecla subtrai da memória o número que

OFF ON

CE

C

MC

CM

MR

M-

5

estiver no visor. A tecla soma à memória da máquina o número que estiver

registrado no visor. A tecla equivale a

.

Figura 4 - Mitsuca DT-328.


O modelo Mitsuca DT-328 tem oito dígitos no visor, bateria solar e

autodesligamento de oito minutos. É um modelo bastante similar à Kenko KK-808V,

com algumas diferenças apenas na localização das teclas.

A tecla desliga a máquina. A tecla equivale a

. A tecla

limpa a memória. A tecla transfere para o visor o número que

estiver armazenado na memória. A tecla subtrai da memória o número que

estiver no visor. A tecla soma à memória da máquina o número que estiver

registrado no visor. A tecla serve para atribuir sinal aos números digitados

no visor, sendo que se não for acionada o número é considerado positivo. A tecla

apaga o último número registrado, corrigindo um valor digitado por engano.

A tecla serve para ligar a máquina. A tecla limpa o visor.

M+

%

OFF %

MC

CM

MR

M-

M+

+/-

CE

ON C

6

Figura 5 - Caston ST-100B.


O modelo Caston ST-100B apresenta 12 dígitos no visor, possibilita calcular

várias operações aritméticas e obter a soma de todos os resultados utilizando apenas

uma tecla, apresenta a opção de eliminar dígitos no visor, e ainda, possui uma tecla com

zero duplo, facilitando a digitação de múltiplos de dez.

A tecla serve para ligar a máquina e limpar o visor. A tecla

apaga o último número registrado, corrigindo um valor digitado por engano.

A tecla desliga a máquina. A tecla elimina dígitos do visor. A

tecla transfere para o visor o número que estiver armazenado na memória e

limpa a memória logo após a transferência do número para o visor. A tecla

subtrai da memória o número que estiver no visor. A tecla soma à memória

da máquina o número que estiver registrado no visor. A tecla calcula o

AC

CE

OFF →

MRC

M-

M+

GT

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Grand Total, ou em português, a Soma Total, que é a soma dos resultados de várias

operações aritméticas realizadas em sequência. A tecla equivale a

.

4 - Tangram

O Tangram é um quebra-cabeça de origem chinesa. O tipo de Tangram mais

comum possui sete peças (cinco triângulos, um quadrado e um paralelogramo).

Também existem variações com número diferente de peças e com outras formas

geométricas na sua composição.

Existem muitas histórias sobre o surgimento do Tangram, sendo que o único

consenso é o fato de que surgiu na Antiguidade Oriental. Uma das lendas diz que o

Tangram foi criado após uma pedra preciosa ter se quebrado em sete pedaços. Outra diz

que um antigo imperador da China deixou cair um espelho quadrado que se quebrou em

sete pedaços, que poderiam ser rearranjados para formar vários tipos de figuras. Outra

lenda ainda afirma que um servo de um imperador chinês deixou cair um vaso de barro,

que depois foi colado e entregue ao imperador, e em seguida, inspirado pelas formas

que apareceram espontaneamente enquanto juntava os pedaços do vaso, o servo

resolveu criar um quebra-cabeça, o qual recebeu o nome Tangram.

%

8

Figura 6 - Tangram.


A Figura 6 apresenta um exemplo de Tangram clássico. Ele pode ser utilizado

no ensino do conceito de fração e das operações entre frações, e também na

identificação de formas geométricas planas (MUMBACH, WOLKMER e

PREUSSLER, 2013; SOUZA, DINIZ, PAULO e OCHI, 1995; BERGER, 2013).

5 - Discos de Frações

O disco de frações é um material didático-pedagógico composto por vários

discos recortados em partes iguais. Um disco é repartido ao meio, outro é repartido em

três partes, outro em quatro, e os outros em seis e oito partes. É uma forma concreta de

representar frações numéricas (MARANHÃO e IMENES, 1985).

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Figura 7 - Disco de Frações.


Na Figura 7 é apresentado um exemplo de kit com discos de frações. Ele pode

ser utilizado na construção do conceito de fração, no ensino da equivalência de frações e

das operações elementares entre números racionais (DAVID e FONSECA, 1997;

GRANDO, 2004).

6 - Blocos Lógicos

O kit blocos lógicos é um material didático-pedagógico criado pelo matemático

húngaro Zoltán Pál Dienes nos anos 1950 (DIENES, 1974). É composto por 48 peças

que se diferenciam entre si por características sensoriais tais como cor, tamanho e

espessura.

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Figura 8 - Blocos Lógicos.


Na Figura 8 é apresentado um exemplo de kit com blocos lógicos, o qual pode

ser utilizado principalmente para desenvolver nas crianças a habilidade de classificar

objetos (ARAÚJO e LINS, 2012). Várias atividades envolvendo os blocos lógicos

podem ser encontradas em Simons (2003) e Damas (2005).

7 - Torre de Hanói

A Torre de Hanói é um jogo lançado pela primeira vez em 1883 pelo

matemático francês Édouard Lucas. Sabe-se que ele já era bastante popular na China, no

Japão e no Vietnã antes de ser comercializado. O nome é inspirado nas características

arquitetônicas de prédios muito conhecidos do Vietnã.

Outro matemático chamado Henri De Parville, na mesma época em que o jogo

foi lançado na França, ajudou a popularizar uma antiga lenda da cultura hindu sobre a

Torre de Hanói. Segundo esta lenda, debaixo do centro do mundo, existe uma placa de

bronze muito fina na qual estão fixados três longos bastões de diamante. Quando Deus

criou o mundo, ele deixou 64 discos de ouro em um dos bastões, de tal maneira que o

tamanho de cada disco decrescia de baixo para cima. Monges seriam encarregados de

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transferir os discos de um bastão para o outro, de acordo com duas leis: 1) não poderiam

mover mais do que dois discos por vez; 2) não poderia haver um disco maior sobre um

menor. Segundo a lenda, no momento em que os 64 discos fossem completamente

transferidos pelos monges para outro bastão, tudo seria transformado em pó e o mundo

desapareceria.

Édouard Lucas ofereceu um milhão de francos para quem resolvesse o problema

das torres com 64 anéis. Ninguém recebeu o prêmio, pois ainda que uma pessoa levasse

um segundo para realizar cada movimento, levaria cerca de 600 bilhões de anos. Mais

detalhes sobre a lenda da Torre de Hanói podem ser encontrados em Manoel (2015).

Apesar de ter sido lançada há mais de um século, a Torre de Hanói é um jogo

muito eficaz para o desenvolvimento de raciocínios associados com recursividade e

inclusão hierárquica de classes. Bairral (2001) apresenta algumas atividades didáticas

utilizando a Torre de Hanói. Na Figura 9 tem-se um exemplo de Torre de Hanói para

uso escolar.

Figura 9 - Torre de Hanói.


O número de movimentos necessários para resolver a Torre de Hanói depende

do número de anéis a serem transferidos. Com 2 anéis o número mínimo de movimentos

12

é 3, com 3 anéis o número mínimo é 7, com 4 anéis o número mínimo é 15, e

generalizando, com anéis o número mínimo de movimentos é .

Hefez (2009) apresenta uma demonstração desta fórmula. É importante frisar

que nesta relação entre as grandezas anéis e número de movimentos, estamos nos

referindo ao número mínimo de movimentos, pois um jogador pode levar uma

quantidade maior para mover os anéis de um bastão à outro. Uma Torre de Hanói virtual

pode ser encontrada no website Gameson (2015)

8 - Damas

O jogo de Damas é praticado desde o início da civilização. Embora não se saiba

ao certo quando e onde tenha surgido, os registros em pinturas e os tabuleiros

encontrados em túmulos são evidências de que no Egito Antigo o jogo já era conhecido

com regras muito semelhante às atuais. Os primeiros livros contendo aspectos teóricos

das estratégias utilizadas em jogos de damas cujo registro resistiu aos dias atuais datam

do século XVI, e são espanhóis. A Federação Mundial de Damas foi fundada em 1948,

ainda que já tenham sido realizados vários campeonatos oficiais antes desta data,

inclusive mundiais. O primeiro campeão mundial foi o austríaco Isidore Weiss, em

1895.

Figura 10 - Tabuleiro de Damas.


A Figura 10 mostra um tabuleiro de jogo de damas oficial. Ele possui 64 casas,

alternadamente claras e escuras. Ele possui uma grande diagonal que deve ficar sempre

à esquerda de cada jogador. O objetivo do jogo é imobilizar ou capturar todas as peças

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do adversário. O jogo é praticado sempre por 2 jogadores, cada um contendo 12 peças

em cada lado, as quais só podem ocupar as casas escuras. As peças brancas sempre

começam. As seguintes regras devem ser cumpridas (DAMAS CIÊNCIAS, 2015):

1) São consideradas jogadas a captura de peças do adversário e o movimento nas

casas do tabuleiro;

2) A captura pode ser realizada quando o jogador tem uma peça sua em frente a

uma peça do seu adversário (na diagonal, na linha ou na coluna), devendo ocupar a casa

imediatamente posterior a do adversário;

3) Todas as peças só podem realizar uma jogada (captura ou movimento nas

casas) por lance;

4) Mais do que uma peça pode ser capturada no mesmo lance (neste caso,

chama-se captura múltipla);

5) A captura é obrigatória (se o jogador que deve capturar não perceber a

posição de captura, então ele deve ser avisado por seu oponente);

6) A dama é uma peça especial, que pode movimentar-se no tabuleiro quantas

casas quiser por lance, desde que não saia da mesma diagonal;

7) Inicialmente, não há damas no jogo, mas qualquer pedra pode se tornar dama

se conseguir alcançar a última linha do tabuleiro, onde inicialmente se localizam as

peças adversárias (as casas desta linha são chamadas de casas de coroação);

8) As peças só podem se movimentar para frente (com exceção da dama, que

também pode se movimentar para trás);

9) A dama não pode ultrapassar uma peça de mesma cor;

10) A pedra e a dama podem capturar para frente ou para trás;

11) É obrigatória a captura do maior número de peças;

12) A peça que passa pela casa de coroação, num lance de captura múltipla, sem

que sua posição final seja na casa de coroação, não será promovida à dama;

13) Casos de empate: a) 20 lances sucessivos de damas sem captura ou

deslocamento de pedras, b) 2 damas contra 2 damas, c) 2 damas contra 1 dama e 1 pedra

após 5 lances sucessivos e d) 2 damas contra 1 dama após 5 lances sucessivos.

O jogo de damas, além de ser um passatempo de longa data, também pode ser

utilizado como uma ferramenta para o desenvolvimento cognitivo (DAMAS

CIÊNCIAS, 2015). Conforme destaca Grando (2000), o uso de jogos potencializa

aprendizagem da Matemática, por isso vale a pena experimentar o jogo de damas como

estratégia para motivar o uso do raciocínio lógico dos estudantes.

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9 - Xadrez

O xadrez é um jogo muito praticado em todas as partes do mundo. A origem

precisa deste jogo é desconhecida. No entanto, sabe-se que o xadrez que se joga nos

dias atuais é resultado de uma série de modificações de jogos mais primitivos, as quais

se iniciaram em meados do século XV e cessaram, até assumir a forma conhecida hoje

por volta de 1850. Os historiadores divergem se as primeiras mudanças em direção ao

xadrez moderno começaram a ocorrer na Espanha ou na Itália.

Entretanto, sabe-se que o xadrez é derivado do jogo chaturanga, muito popular

na Índia Antiga. Reza a lenda, que este jogo foi inventado por um brâmane que

pretendia dar de presente para um poderoso rajá que havia perdido seu filho, e por isso

se sentia entediado em seu palácio. Logo após jogar e gostar muito, o rajá insistiu em

oferecer uma recompensa ao brâmane, que lhe pediu simplesmente que lhe fosse pago

em trigo, sendo que um trigo fosse colocado na primeira casa do tabuleiro do jogo que

inventara, e o número fosse multiplicado por 2 para cada casa do tabuleiro. Inicialmente

o rajá se surpreendeu com o pedido, por acha-lo muito simples. No entanto, quando os

funcionários foram fazer os cálculos, descobriram que se tratava de uma enorme

quantidade de trigo, já que o tabuleiro possuía 64 casas. Com isso, uma grande dívida

que o brâmane possuía naquele reino foi perdoada, e ainda, ele passou a ser o

conselheiro oficial do rajá dali em diante.

Na mitologia grega, acreditava-se que Ares, deus da guerra, havia inventado o

jogo de xadrez para testar táticas de combate, sendo que cada peça representaria uma

parte de seu exército. Segundo este mito, Ades teria ensinado ao seu filho mortal os

fundamentos do jogo, sendo este o motivo de o xadrez ter chegado ao conhecimento dos

humanos.

Um famoso torneio em São Petersburgo em 1914 fez crescer a vontade de

muitos jogadores em criar uma entidade internacional para organizar torneios de xadrez

em nível mundial. A Federação Internacional de Xadrez (FIDE) foi fundada em Paris,

no ano de 1924. Atualmente, ela é responsável por dirigir campeonatos profissionais de

alto nível, e também se dedica à promoção do xadrez escolar, divulgando este esporte

intelectual, e ao mesmo tempo, recrutando novos talentos.

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Figura 11 - Tabuleiro de Xadrez.


A Figura 11 mostra um tabuleiro de jogo de xadrez. Ele possui 64 casas,

alternadamente claras e escuras, e uma grande diagonal que deve ficar sempre à

esquerda de cada jogador. A seguir são apresentadas as peças do jogo, bem como suas

funções. O objetivo do jogo é capturar o rei adversário, sendo qualquer movimento de

ameaça ao rei chamado de xeque. A captura do adversário refere-se à retirada de uma

peça adversária da casa onde está e a ocupação desta casa. Todas as peças do jogo

podem capturar ou ser capturadas, mas a maneira como são feitas as capturas dependem

da forma como podem se movimentar no tabuleiro. A seguir são apresentadas as peças

do jogo de xadrez e é explicada brevemente a forma como cada peça deve se

movimentar no tabuleiro.

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Figura 12 - Rei.


O rei pode movimentar-se para todas as direções pela diagonal, pela vertical ou

pela horizontal. Os dois jogadores devem protegê-lo ao máximo da captura adversária,

pois caso seja capturado, o jogo termina imediatamente, com a derrota daquele que

perdeu o rei. O último jogo do lance, que imobiliza o rei, é chamado xeque-mate.

Figura 13 - Rainha.


A rainha é a peça mais poderosa do jogo, pois pode se movimentar em todas as

direções quantas casas desejar. Depois do rei, é a peça que deve ser mais protegida.

Algumas vezes também é chamada de dama.

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Figura 14 - Bispo.


O bispo pode movimentar-se apenas na diagonal, quantas casas desejar. Cada

jogador possui dois bispos. Em termos de importância, o bispo está abaixo de várias

outras peças, exceto do cavalo e do peão.

Figura 15 - Cavalo.


O cavalo realiza movimentos que lembram a letra “L” do alfabeto latino, isto é,

ele movimenta-se sempre duas casas para frente e uma casa para a esquerda ou direita.

O cavalo é a única peça que pode pular sobre outras, não importando se as peças são do

próprio jogador ou do jogador adversário. Em termos de importância, só está acima do

peão, praticamente no mesmo patamar do bispo.

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Figura 16 - Torre.


A torre pode movimentar-se na horizontal ou vertical, quantas casas desejar.

Depois do rei e da rainha, é considerada a peça mais forte do jogo, estando acima do

bispo, do cavalo e do peão em termos de importância.

Figura 17 - Peão.


O peão pode movimentar-se apenas uma casa para frente (exceto no primeiro

lance do jogo, onde ela pode se movimentar até duas casas para frente). O peão não

pode se movimentar para trás no tabuleiro. Ele pode capturar qualquer peça que esteja

em qualquer casa imediatamente na diagonal.

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Além do uso recreativo do xadrez, ele pode ser também utilizado com intenções

pedagógicas, no sentido de desenvolver habilidades de raciocínio lógico, em qualquer

nível de ensino (SÁ, 1988; REZENDE, 2005; OLIVEIRA, 2015).

10 - Sólidos Geométricos

Chama-se sólido geométrico uma região do espaço limitada por uma superfície.

Em outras palavras, são figuras tridimensionais. Os sólidos geométricos podem ser

classificados em dois grandes grupos: os poliedros e os não poliedros. Os poliedros são

sólidos limitados por superfícies planas. Quando ao menos uma das faces de um sólido

não está contida em um plano, este sólido é classificado como não poliedro.

Na Figura 18 é apresentado um exemplo de kit com 10 sólidos geométricos para

uso pedagógico. Os sólidos são: cubo, paralelepípedo, esfera, cilindro, cone, prisma

triangular, prisma hexagonal, pirâmide triangular, pirâmide quadrangular e pirâmide

hexagonal. Existem outras configurações de kit, e também kits com diferentes

quantidades. Por exemplo, existem kits com 20 sólidos, com 5 sólidos, etc.

Figura 18 - Sólidos Geométricos.


20

Uma das possibilidades de uso do kit é na exploração da identificação e

classificação de figuras geométricas. Também é recomendável, sobretudo nos anos

iniciais escolares, que as formas dos sólidos sejam comparadas com embalagens de

formato semelhantes. Outra possibilidade é na abordagem de grandezas e medidas, já

que normalmente nos kits deste tipo os sólidos dispõem de uma tampa para entrada de

água, o que permite medir o volume que o sólido comporta. Pode-se explorar diferentes

unidades de medida para avaliar a grandeza volume. É possível também explorar o

cálculo de áreas laterais, áreas de base, áreas totais e volumes, a partir das medições das

arestas, raios, ápotemas e geratrizes. A seguir, tendo como referência Dolce e Pompeo

(1997), Lima (1991) e Araújo (1998), são feitas descrições e são fornecidas algumas

informações relevantes sobre cada um dos sólidos do kit considerado.

Figura 19 - Cubo.


Um cubo é um hexaedro regular, ou seja, é uma figura tridimensional com seis

faces iguais. A área total do cubo é e o volume é , onde é o

comprimento de cada aresta.

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Figura 20 - Paralelepípedo.


Um paralelepípedo é um hexaedro com paralelogramos nas faces, ou seja, é uma

figura tridimensional com seis faces, onde em cada face há um paralelogramo. Quando

os paralelogramos das faces são losangos, o paralelepípedo é chamado de rômbico, pois

em algumas áreas do conhecimento é mais comum denominar os losangos por rombos.

Quando os paralelogramos das faces são retângulos, o paralelepípedo é chamado de

cubóide. Este é o caso do paralelepípedo da Figura 20, na qual a área total é calculada

por e o volume por , onde , e são os

comprimentos das três medidas distintas das arestas do cubóide. Quando os

paralelogramos das faces são quadrados, o paralelepípedo é um cubo.

Figura 21 - Esfera.


Uma esfera é um sólido constituído por uma superfície curva e contínua

composta pelos pontos equidistantes do centro do mesmo sólido. A distância de

22

qualquer ponto até o centro é chamada de raio. A área total da esfera é e o

volume é

, onde é o raio da esfera.

Figura 22 - Cilindro.


Um cilindro é um sólido constituído por uma superfície alongada, contínua e

limitada composta por infinitas elipses sobrepostas. Quando a reta que liga o centro da

elipse superior até o centro da elipse da base é perpendicular ao plano da base, então o

cilindro é chamado reto. Caso contrário, ele é chamado oblíquo. Quando a elipse da

base e a elipse superior são círculos, então o cilindro é chamado de circular. Num

cilindro circular e reto, como o da Figura 22, a área da base é , a área lateral é

, a área total e o volume é , onde é o raio do

círculo e é a altura do cilindro.

Figura 23 - Cone.


23

Um cone é um sólido constituído por uma superfície alongada, contínua e

limitada composta por uma base elíptica e um ponto na outra extremidade, chamado

vértice superior. Quando a reta que liga o vértice superior até o centro da elipse da base

é perpendicular ao plano da base, então o cone é chamado reto. Quando o cone não é

reto, dizemos que ele é oblíquo. Quando a elipse da base é um círculo, dizemos que o

cone é circular. E ainda, quando a medida da geratriz de um cone circular e reto é igual

à medida do diâmetro do círculo da base, então dizemos que o cone é equilátero. O cone

da Figura 23 é circular e reto. Neste caso, a área da base do cone é , a área

lateral é , a área total e o volume é

, onde é o

raio, é a altura e é a geratriz.

Figura 24 - Prisma Triangular.


Um prisma é um poliedro com duas faces congruentes paralelas, chamadas

bases, e cujas demais faces, chamadas faces laterais, são paralelogramos. Quando a

base de um prisma é um triângulo, dizemos que o prisma é triangular. No prisma da

Figura 24 o triângulo é equilátero. Neste caso, a área da base do prisma triangular é

, a área lateral é , a área total e o volume é

, onde é a medida dos lados do triângulo da base, é a altura do triângulo da

base e é a altura do prisma.

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Figura 25 - Prisma Hexagonal.


Quando a base de um prisma é um hexágono, dizemos que o prisma é

hexagonal. No prisma da Figura 25 o hexágono é regular. Neste caso, a área da base do

prisma é √

, a área lateral é , a área total é √ e o

volume é √

, onde é a medida de cada lado do hexágono da base e é a

altura do prisma.

Figura 26 - Pirâmide Triangular.


Uma pirâmide é um poliedro com uma face poligonal, chamada de base, e as

demais faces triangulares, chamadas faces laterais. Quando a base de uma pirâmide é

um triângulo, dizemos que a pirâmide é triangular. A área da base da pirâmide

triangular é

, a área lateral é

, a área total

e o

25

volume é

, onde é a medida do lado do triângulo, é a altura do triângulo,

é o apótema da pirâmide e é a altura da pirâmide.

Figura 27 - Pirâmide Quadrangular.


Quando a base de uma pirâmide é um quadrado, dizemos que a pirâmide é

quadrangular. A área da base da pirâmide quadrangular é , a área lateral é

, a área total e o volume é

, onde é o lado do

quadrado, é o apótema da pirâmide e é a altura da pirâmide.

Figura 28 - Pirâmide Hexagonal.


Quando a base de uma pirâmide é um hexágono, dizemos que a pirâmide é

hexagonal. Na Figura 28 o hexágono é regular. Neste caso, a área da base da pirâmide

hexagonal é √

, a área lateral é , a área total

√

e o

26

volume é √

, onde é o lado do hexágono, é o apótema da pirâmide e é a

altura da pirâmide.

11 - Geoplano

O Geoplano é um material didático-pedagógico que pode auxiliar no ensino de

geometria plana. Foi criado pelo professor de matemática egípcio radicado na Inglaterra

Caleb Gattegno em 1961. Originalmente era composto por uma tábua de madeira com

pregos cravados na sua superfície.

Figura 29 - Geoplano.


A Figura 29 apresenta um geoplano usualmente utilizado para fins pedagógicos.

Este material pode ser utilizado para o desenvolvimento dos conceitos de perímetro e

área, e também na identificação das figuras planas e seus elementos (MARIÑO, 2000;

KNIJNIK, BASSO e KLÜSENER, 2004). O website da Universidade de Córdoba

(UCO, 2015) disponibiliza um geoplano virtual.

12 - Mosaicos Geométricos

O kit Mosaicos Geométricos é um material constituído por 100 peças,

geralmente confeccionado em plástico colorido. Seu uso enquanto objeto didático-

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pedagógico é relativamente recente, e tem como base a íntima relação que existe entre a

matemática e as artes plásticas, particularmente na estrutura de construção dos mosaicos

(BARBOSA, 1998; ALVES e DALCIN, 1999; OLSSON, 1999).

Figura 30 - Mosaicos Geométricos.


Na Figura 30 é possível visualizar um exemplo deste kit. Ele pode ser utilizado

na construção do conceito de fração, no ensino das operações entre frações e também

pode ser utilizado de forma recreativa, na elaboração de formas geométricas a partir dos

mosaicos.

Referências

ALMEIDA, Maria Hermínia Tavares de. Kautsky na praça vermelha?. Revista Novos

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