1Exerccios de EDO

Professor: Alexandre Lima

1. Encontre a solucao geral da equacao diferencial dada:

(a) y+ 3y = t+ e2t

(b) y+ y = t+ et + 1

(c) y 2y = 3et

(d) y+ (1

t)y = 3cos2t

2. Considere o problema de valor inicial

y+ 2

3y = 1 1

2t, y(0) = y0.

Encontre o valor de y0 para o qual a solucao toca, mas nao cruza, o eixo dos t.

3. Mostre que, se a e sao constantes positivas e se b e um numero real arbitrario,

entao toda solucao da equacao

y+ ay = bet

tem a propriedade de que y 0 quando t.

4. Mostre que, o angulo que um pendulo de comprimento L e massa m oscilando faz

com a vertical, satisfaz a equacao

d2

dt2+g

Lsen = 0

5. Resolva a equacao diferencial dada:

(a) y=x2

y

(b) y+ y2senx = 0

(c) y= (cos2x)(cos22y)

(d) xy= (1 y2) 12

6. Resolva o problema de valor inicial

2y=

2 ex3 + 2y

, y(0) = 0

7. Algumas vezes e possvel resolver uma equacao nao linear fazendo uma mudanca

da variavel dependente que a transforma em uma equacao linear. O exemplo mais

importamte de tal equacao e da forma

y+ p(t)y = q(t)yn

e e chamada de equacao de Bernoulli.

(a) Resolva a equacao de Bernoulli quando n = 0 e n = 1.

(b) Mostre que, se n 6= 0 e n 6= 1, entao a substituicao v = y1n reduz a equacaode Bernoulli a uma equacao linear.

8. Para cada equacao abaixo determine se e exata, se for, encontre a solucao.

(a) (2x+ 3) + (2y 2)y = 0

(b) (2xy2 + 2y) + (2x2y + 2x)y= 0

(c) (exseny + 3y)dx (3x exseny)dy = 0

9. Mostre que qualquer equacao separavel

M(x) +N(y)y= 0

tambem e exata.

10. Para cada uma das equacoes abaixo mostre que nao e exata, mas torna-se exata

quando multiplicada por um fator integrante (t). Depois resolva a equacao.

(a) x2y3 + x(1 + y2)y= 0, (t) = 1

xy3

(b) ydx+ (2x yey)dy = 0, (t) = y

11. Na teoria de aprendizagem, supoe-se que a taxa segundo a qual um assusto e mem-

orizado e proporcional a` quantidade a ser memorizada. Suponha que M denote a

quantidade total de um assunto a ser memorizado e A(t) a quantidade memorizada

no instante t. Determine uma equacao diferencial para a quantidade A(t).

12. Ache a solucao particular da equacao

3xy (senx)y = 0

no intervalo (0,) que passa pelo ponto (1,1).

13. Suponha que um buraco tenha sido feito atraves do centro da Terra, atravessando-a

de ponta a ponta, e uma bola de boliche com massa m seja jogada no buraco, con-

forme a figura abaixo. Construa um modelo matematicoque descreva o movimento

da bola. Denote por r a distancia do centro da Terra ate a massa no instante t,M ,

a massa da Terra, Mr, a massa da parte da Terra dentro de uma esfera de raio r e

, a densidade constante da Terra.