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Unidade I: Av. Mascote, 913 - Vila Mascote - S.P. - Fone: (11) 5564 3466 - CEP: 04363-001
Dominus Junior: R. Palacete das Águias, 666 - Vl. Alexandria - S.P. - Fone: (11) 5031 7108 - CEP: 04365-023.
LISTA DE RECUPERAÇÃO – ÁLGEBRA – 2º ANO – 1º TRIMESTRE
1. (G1 - ifce) Considere um relógio analógico de doze horas. O ângulo obtuso formado entre os
ponteiros que indicam a hora e o minuto, quando o relógio marca exatamente 5 horas e 20 minutos, é
a) 330°.
b) 320°.
c) 310°.
d) 300°.
e) 290°.
2. (Unesp) A figura mostra um relógio de parede, com 40 cm de diâmetro
externo, marcando 1 hora e 54 minutos.Usando a aproximação 3,π a medida,
em cm, do arco externo do relógio determinado pelo ângulo central agudo
formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horário mostrado, vale
aproximadamente
a) 22.
b) 31.
c) 34.
d) 29.
e) 20.
3. (Ufscar) O gráfico em setores do círculo de centro O representa a
distribuição das idades entre os eleitores de uma cidade. O diâmetro
AB mede 10 cm e o comprimento do menor arco AC é 5
3
π
cm.O
setor x representa todos os 8000 eleitores com menos de 18 anos, e o
setor y representa os eleitores com idade entre 18 e 30 anos, cujo
número é
a) 12000
b) 14800
c) 16000
d) 18000
e) 20800
4. (Ufjf) O valor de y = sen2 10
° + sen
2 20
° + sen
2 30
° + sen
2 40
° + sen
2 50
° + sen
2 60
° + sen
2 70
° +
sen2 80
° + sen
2 90
° é:
a) -1.
b) 1.
c) 2.
d) 4.
e) 5.
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5. (G1 - ifal) O valor da expressão sen 30 tg 225
cos sen ( 60 )2
π
é
a) 1.
b) 1
.2
c) 3.
d) 3.
e) 1
.2
6. (Fatec) Se x é um arco do 30. quadrante e cosx = -4/5, então cossecx é igual a
a) -5/3
b) -3/5
c) 3/5
d) 4/5
e) 5/3
7. (G1 - ifsc) Se 12 3
cos (x) , x e x (3º quadrante),13 2
ππ
então é CORRETO afirmar que o
valor de tg (x) é:
a) –5/13.
b) –5/12.
c) 5/13.
d) 5/12.
e) 0,334.
8. (Uel) Se x é tal que 3
x2
ππ e sec x 5, então o valor de sen x é
a) 5
5
b) 2 5
5
c) 5
5
d) 2 5
5
e) 30
5
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9. (Mackenzie) Se sen x = 4/5 e tg x < 0, então tg 2x vale:
a) 24/7.
b) - 24/7.
c) - 8/3.
d) 8/3.
e) - 4/3.
10. (Ucs) Qual é o valor de sen(2 )α para α tal que 1
sen( )4
α e .2
πα π Dado: para todo número
real x vale a identidade trigonométrica sen(2x) 2sen(x)cos(x).
a) 15
4
b) 15
8
c) 15
8
d) 3
4
e) 15
4
11. (Pucrj) Sabendo que 3
x2
ππ e
1sen (x) ,
3 é correto afirmar que sen (2x) é:
a) 2
3
b) 1
6
c) 3
8
d) 1
27
e) 4 2
9
12. (Uel) O triângulo ABC é retângulo em A. Se cosB = 0,6, então cotgC é igual a
a) 5/3
b) 4/3
c) 3/4
d) 3/5
e) 1/2
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13. (Pucrj) Se 7
cos225
θ e θ pertence ao primeiro quadrante, então cosθ é igual a:
a) 4
5
b) 3
5
c) 5
3
d) 5
7
e) 3
2
14. (Uel) Seja x um número real pertencente ao intervalo [0,2
]. Se secx =
3
2, então tgx é igual a
a) 2
3
b) 2
3
c) 1
2
d) 5
2
e) 3
2
15. (Uft) Se 5 3
sen e , ,13 4
então o valor de tg(2 ) é:
a) 12
13
b) 120
119
c) 120
119
d) 1
e) 3
3
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16. (G1 - ifce) O valor de cos(105 ) é
a) 3
.2
b) 2 6
.4
c) 2 6
.2
d) 2 6
.2
e) 2 6
.4
17. (Eear) O valor de cos 735 é
a) 1
4
b) 3
4
c) 2 6
4
d) 2 6
8
18. (Udesc) O grado é uma unidade de medida de ângulos em que uma das vantagens é facilitar as
operações envolvendo ângulos retos. Neste sistema, a circunferência é dividida em 400 partes iguais
e cada parte é denominada 1gon. Na figura abaixo, observa-se a divisão dos quatro quadrantes
usando este sistema.
Desta forma, o seno do ângulo de 350
gon3
é igual a:
a) 3
2
b) 2 6
4
c) 2 3
4
d) 2 6
2
e) 2 6
2
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19. (Ueg) Considerando-se que 2
sen(5 ) ,25
tem-se que cos(50 ) é
a) 2
( 621 2)50
b) 2
( 621 2)50
c) 2
(1 621)50
d) 2
( 621 1)50
20. (Espcex (Aman)) O cosseno do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 14
horas e 30 minutos vale
a)
3 1
2
b)
2 1
2
c) 1 2
4
d)
6 2
4
e) 2 3
4
21. (Ucpel) Sendo x 0, 2π e 22sen x 3cosx 0, então x vale
a) 3
π
b) 2
3
π
c) 2
5
π
d) 3
4
π
e) 5
6
π
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22. (Espcex (Aman)) A soma das soluções da equação cos(2x) cos(x) 0, com x [0, 2 ),π é igual a
a) 5
3
π
b) 2π
c) 7
3
π
d) π
e) 8
3
π
23. (Ucs) Suponha que, em determinado lugar, a temperatura média diária T, em °C, possa ser
expressa, em função do tempo t , em dias decorridos desde o início do ano, por
2 (t 105)T(t) 14 12sen .
364
π
Segundo esse modelo matemático, a temperatura média máxima nesse lugar, ocorre, no mês de
a) julho.
b) setembro.
c) junho.
d) dezembro.
e) março.
24. (Acafe) A área da região que tem como vértices as extremidades dos arcos que verificam a
equação sen2x senx 0 no intervalo de [0, ],π em unidades de área, é:
a) 3
2
b) 3
4
c) 3
d) 3 3
4
25. Julgue os itens a seguir em V(verdadeiro) ou F (falso),
a) ( ) Desenvolvendo-se a expressão (sen 15° + cos 15°)2 obtém-se 0,5.
b) ( ) O valor de
14tg.31tg1
14tg31tg é igual a 1.
c) ( ) O valor de sen 17° . cos 13° + cos 17° . sen 13° é igual a 2
3.
d) ( ) O valor de cos 73° . cos 17° – sen 73° . sen 17° é igual a zero.
26. (Fuvest) Ache todas as soluções da equação sen3x cos x - 3 senx cos
3x = 0 no intervalo [0,2π).
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Gabarito:
Resposta da questão 1: [B]
O ângulo percorrido pelo ponteiro das horas em 20 minutos corresponde a 20
10 .2
Desse modo, o
menor ângulo formado pelos ponteiros dos minutos e das horas, às 5 horas e 20 minutos, é igual a
30 10 40 . Em consequência, o maior ângulo formado por esses ponteiros é igual a 360 40 320 .
Observação: Dizemos que um ângulo α é obtuso se 90 180 .α
Resposta da questão 2: [B]
Cada minuto do relógio corresponde a 6o, portanto, 60 6 66 .α
Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se desloca 60min, o
ponteiro das horas se desloca 30°, temos:
60min 30
54min
β
Logo, 27 ,β portanto o arco pedido mede 66° + 27° = 93°.
Calculando, em centímetros, o comprimento do arco de 93°, temos:
93 2 2031cm (considerando, 3)
360
ππ
Resposta da questão 3: [C]
Resposta da questão 4: [E]
Resposta da questão 5: [D]
Calculando: 1 1sen30 tg225 sen 30 tg 45 3 2 3 32 3
cos 90 sen ( 60 ) 23 3 3 30cos sen( 60 )22
π
Resposta da questão 6: [A]
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Resposta da questão 7: [D]
No terceiro quadrante senos e cossenos são negativos. Utilizando a relação fundamental, temos:
sen2(x) + cos
2(x) = 1
22 212 144 25 5
sen (x) 1 sen (x) 1 sen(x) sen(x) .13 169 169 13
Como o arco x tem extremidade no terceiro quadrante, temos: 5
sen(x) .13
Calculado a tangente de x. 5
sen(x) 513tg(x) .12cos(x) 12
13
Resposta da questão 8: [D]
Resposta da questão 9: [A]
Resposta da questão 10: [B]
Considerando todos os ângulos no primeiro quadrante, pode-se escrever:
2
21 15cos( ) 1 cos( )
4 4
1 15 15sen(2 ) 2sen( )cos( ) 2 sen(2 )
4 4 8
α α
α α α α
Porém, como ,2
πα π ou seja, segundo quadrante, 2α estará no terceiro ou quarto quadrante e,
portanto, seu seno tem sinal negativo. Logo, 15
sen(2 ) .8
α
Resposta da questão 11: [E]
2
21 8 2 2cosx 1 cos x cosx
3 9 3
Como 3
x ,2
ππ temos:
2 2cosx
3
Portanto: sen2x 2senx cosx
1 2 2 4 2sen2x 2
3 3 9
Resposta da questão 12: [B]
Resposta da questão 13: [A]
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Resposta da questão 14: [D]
Resposta da questão 15: [B]
cos2 = 1 – sen
2
cos2 = 1 -
2
13
5
cos2 =
169
144
cos= 13
12 (segundo quadrante)
cos = 13
12
tg = 12
5
13
12
13
5
cos
sen
119
120
144
119
12
10
12
51
12
5.2
1
.22
22
tg
tgtg
Resposta da questão 16: [E]
cos105 cos(60 45 )
cos105 cos60 cos45 sen60 sen45
1 2 3 2cos105
2 2 2 2
2 6cos105
4
Resposta da questão 17: [C]
735 2 360 15
Portanto, cos735 cos15 cos(45 30 )
cos45 cos30 sen45 sen30
2 3 2 1 6 2
2 2 2 2 4
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Resposta da questão 18: [B]
Desde que 350 350 7
gon rad rad,3 3 200 12
π π
temos
7 5sen sen
12 12
sen4 6
sen cos sen cos4 6 6 4
6 2.
4
π π
π π
π π π π
Resposta da questão 19: [B]
22 2 621
cos 5 1 cos525 25
2 621 2 2 2cos50 cos 45 5 cos45 cos5 sen45 sen5 621 2
2 25 2 25 50
Resposta da questão 20: [D]
Considere a figura ao lado.
O arco compreendido entre quaisquer dois pontos consecutivos
indicados, sobre a circunferência, na figura, vale 360
30 .12
Logo,
4 30 120 .α Por outro lado, o deslocamento do ponteiro das horas,
em 30 minutos, é 30
15 .2
θ
Portanto, o resultado pedido é dado por: cos( ) cos105
cos(45 60 )
cos45 cos60 sen45 cos60
2 1 2 3
2 2 2 2
2 6
4
6 2.
4
α θ
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Resposta da questão 21:[A]
2
2
2
2
2 (1 cos x) 3 cosx 0
2
2se
2cos x 3 cosx 0
2cos x 3 cosx 2 0
n x 3cosx 0
Resolvendo a equação do segundo grau na incógnita cosx, temos:
1
cosx ou cosx 2 (não convém)2
Portanto, o valor pedido é x .3
π
Resposta da questão 22: [B]
2 2
2 2
2
cos(2x) cos(x) 0
cos x sen x cosx 0
cos x (1 cos x) cosx 0
2cos x cosx 1 0
1 3cosx
4
1cosx 1 ou cosx
2
Logo,
2x
3
π ou
4x
3
π ou x 0.
Portanto, a soma das raízes da equação será dada por: 2 4
0 23 3
π ππ
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Resposta da questão 23: [A]
A temperatura média máxima ocorre quando
2 (t 105) 2 (t 105)sen 1 sen sen
364 364 2
2 (t 105)2k
364 2
t 105 91 364k
t 196 364k, k .
π π π
π ππ
Assim, tomando k 0, concluímos que a temperatura média máxima ocorre 196 dias após o início
do ano, ou seja, no mês de julho.
Resposta da questão 24: [A]
Desenvolvendo a equação dada:
sen2x senx 0
2 senx cosx senx 0
senx 2 cosx 1 0
Portanto, as raízes possíveis da equação são: sen x 0 x 180 rad ou x 0 0 rad
21cosx x 120 rad2 3
π
π
Percebe-se que há três raízes possíveis dentro do intervalo [0, ].π
Desenhando as extremidades dos arcos que resolvem a equação
numa circunferência de raio igual a 1, tem-se a figura ao lado:
Assim, a área delimitada pelos vértices das extremidades dos arcos
que verificam a equação é um triângulo retângulo em B. Sua área
pode ser escrita como sendo: b h (1 1) h
S S h2 2
Analisando o triângulo COB, percebe-se que este é equilátero e que sua altura h é correspondente
altura do triângulo retângulo ABC. Logo, sua altura será dada por:
L 3 3h h
2 2
Assim, a área da região que tem como vértices as extremidades dos arcos que verificam a equação
dada é igual a 3 2.
Resposta da questão 26:
a) F b) V c) F d) V
Resposta da questão 22:
S = {0; π/3; π/2; 2π/3; π; 4π/3; 3π/2; 5π/3}