Universidade Tecnológica Federal do ParanáEquações Diferenciais Ordinárias
Profa.: Patrícia Massae KitaniI Lista de Exercícios
1) Resolver as equações diferenciais separáveis abaixo:
a)dy
dx= cos7x
b) dx+ e3xdy = 0
c)dx
dy=
x2y2
1 + x
d) e2xdy
dx= 2x
e) (y − yx2)dy
dx= (y + 1)2
f)dy
dx=
xy + 3x− y − 3
xy − 2x+ 4y − 8
g)dy
dx=
2x
y + x2y
h)dy
dx=
xy3√1 + x2
2) Resolver as equações diferenciais separáveis sujeitas às condições iniciais indicadas:
a)dy
dx+ xy = y, y(3) = 1;
b) ydy = 4x√y2 + 1dx, y(0) = 1
c) x2dy
dx= y − xy, y(−1) = −1;
d)dy
dx=
3x2 − ex
2y − 5, y(0) = 1;
3) Resolver as equações homogêneas abaixo:
a) xdx+ (y − 2x)dy = 0
b) (y2 + yx)dx− x2dy = 0
c)dy
dx=
x+ 3y
3x+ y
d) xdy
dx− y =
√x2 + y2
e) (x2e−y/x + y2)dx = xydy
f) (x2 + xy − y2)dx− xydy = 0
4) Resolver a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada:
a) xy2dy
dx= y3 − x3, y(1) = 2;
b) 2x2dy
dx= 3xy + y2, y(1) = −2;
c) (x+ yey/x)dx− xey/xdy = 0, y(1) = 0;
d) y2dx+ (x2 + xy + y2)dy = 0, y(0) = 1.
5) Em cada um dos problemas abaixo, verifique que a equação diferencial dada é exata e então resolva-a:
1
a) (2x+ 3y)dx+ (3x+ 2y)dy = 0;
b) (3x2 + 2y2)dx+ (4xy + 6y2)dy = 0;
c) (x3 +y
x)dx+ (y2 + lnx)dy = 0;
d) (cosx+ lny)dx+ (x
y+ ey)dy = 0;
e) xdy
dx= 2xex − y + 6x2;
f) (x2y3 − 1
1 + 9x2)dx
dy+ x3y2 = 0.
6) Encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata:
a) (y3+kxy4−2x)dx+(3xy2+20x2y3)dy = 0;
b) (2xy2 + yex)dx+ (2x2y + kex − 1)dy = 0;
c) (2x − ysen(xy) + ky4)dx − (20xy3 +xsen(xy))dy = 0;
d) (6xy3 + cosy)dx+ (kx2y2− xsen(y))dy = 0.
Respostas:
1a) y =1
7sen(7x) + c;
1b) y =1
3e−3x + c;
1c) −3 + 3xln|x| = xy3 + cx;
1d) y = −xe−2x − e−2x
2;
1e) (y + 1)−1 + ln|y + 1| = 1
2ln|x+ 1|x− 1
+ c
1f) y − 5ln|y + 3| = x− 5ln|x+ 4|+ c
1g) y2 = 2ln|1 + x2|+ c;
1h) − 1
2y2=√1 + x2 + c
2a) y = ex−x2
2+ 3
2 ou lny = x− x2
2 + 32
2b)√
y2 + 1 = 2x2 +√2
2c) xy = e−(1+ 1x)
2d) y2 − 5y = x3 − ex − 3
3a) (x− y)ln|x− y| = x+ c(x− y)
3b) x+ yln|x| = cy
3c) ln|x| = 3
2ln|x+y
x−y | −1
2ln|1− x2
y2|+ c
3d) ln|x| = ln| yx +√
y2
x2 + 1|+ c
3e) ln|x| = yx · e
y/x − ey/x + c
3f) y + x = cx2ey/x
4a) y3 + 3x3ln|x| = 8x3;
4b) y2 = 4x(x+ y)2;
4c) ln|x| = ey/x − 1;
4d) (x+ y)ln|y|+ x = 0
5a) x2 + 3xy + y2 = c;
5b) x3 + 2xy2 + 2y3 = c;
5c) 3x4 + 4y3 + 12ylnx = c;
5d) senx+ xlny + ey = c;
5e) xy − 2xex + 2ex − 2x3 = c;
5f) x3y3 − arctg(3x) = c.
6a) k = 10;
6b) k = 1;
6c) k = −5;
6d) k = 9.
2
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