MAT. – 5
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 1 – TIPO A
MATEMÁTICA
Questões de 05 a 12
05. Um dos vértices de um triângulo equilátero é o ponto )1,0(P do plano cartesiano e os outros dois estão sobre a reta 01: =++ yxr .
Faça o que se pede nos itens abaixo:
A) Calcule a área desse triângulo.
B) Encontre as coordenadas dos outros dois vértices.
MAT. – 6
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 1 – TIPO A
A B
M
D C
N
O P
. . . .
. . . .
.
.
.
V
K
.
06. Seja VABCD uma pirâmide quadrangular regular de altura igual a 1 metro e vértice V com base no quadrado ABCD , também de lado medindo 1 metro. Seja MNOP o quadrado obtido pela intersecção da pirâmide com um plano paralelo à sua base pelo ponto médio da altura. Ligando-se MNOP ao centro K do quadrado ABCD , obtemos uma nova pirâmide quadrangular regular conforme a figura.
Faça o que se pede nos itens abaixo.
A) Mostre que o lado da base dessa nova pirâmide é 2
1 m.
MAT. – 7
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 1 – TIPO A
B) Pode-se construir uma terceira pirâmide dentro da segunda da mesma forma que se construiu a segunda dentro da primeira. Repetindo-se essa construção sucessivamente, pergunta-se: qual é o volume e a área da superfície lateral da
ª10 pirâmide?
MAT. – 8
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 1 – TIPO A
07. Simplifique a expressão aritmética abaixo, escrevendo-a na forma αir + , onde r é um número racional e α é real:
2008453
26
27
2
3
)1,1(....)2727,0(
)2(.)3
283(cos8.)9(log
++−
−+ −−
iπ
MAT. – 9
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 1 – TIPO A
08. Considere um ângulo θ , com o900 ≤≤ θ , cuja representação em radianos é o
número real x , com 2
0π≤≤ x . Suponha que x satisfaça às equações
−=
−=
43
1sec
mtgx
mx
onde m é um número inteiro positivo.
Faça o que se pede nos itens abaixo. A) Mostre que 1sec 22 += xtgx , para qualquer valor real de x no domínio comum
das funções envolvidas.
B) Encontre os valores de m para os quais as equações acima, na incógnita x , sejam de fato compatíveis e, para tais valores, calcule x e o correspondente ângulo θ , com o900 ≤≤ θ .
MAT. – 1
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
MATEMÁTICA
Questões de 01 a 12
01. Quantos números compreendidos entre 1000 e 2000 são divisíveis por 3 e por 7 ao mesmo tempo?
MAT. – 2
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
02. Seja f a função definida no conjunto [1,0[]1,10[ ∪−−=A por .4
4)(
2 += xxf Com
base nesses dados, resolva os itens a seguir:
A) Esboce o gráfico dessa função e encontre seu conjunto imagem.
B) Encontre a função inversa de f , incluindo seu domínio e sua imagem.
MAT. – 3
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
03. Sendo i21− raiz de 10432)( 234 −++−= xxxxxp , encontre as outras raízes de )(xp .
MAT. – 4
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
04. Calcule o algarismo das unidades do número 20083 .
MAT. – 5
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
05. Lançando-se dois dados, um amarelo e outro vermelho, qual a probabilidade de se obter 8 como soma de suas faces superiores?
MAT. – 6
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
06. Nas Olimpíadas de 2008, em Pequim, o Comitê Olímpico Norte-Americano, para justificar sua desvantagem olímpica em relação à China, enalteceu o total de medalhas obtidas pelos seus atletas (110), maior do que o total obtido pelos chineses (100). Argumentação parecida fez o presidente do Comitê Olímpico Brasileiro para valorizar o desempenho do Brasil (adaptado da matéria “COB faz malabarismo numérico e declara Pequim melhor da história brasileira”, publicada em 24 ago. 2008).
Observe os dados reais da tabela abaixo e responda ao que se segue.
Brasil China Cuba EUA
Ouro 3 51 2 36
Prata 4 21 11 38
Bronze 8 28 11 36
Total 15 100 24 110
Classificação 23o 1o 28o 2o
População aproximada (em milhões)
191 1331 11 303
Fonte: www.uol.com.br, 24 ago. 2008 e Almanaque Abril 2007.
A) Suponhamos que fossem atribuídos pesos às medalhas: 1 para a de bronze e 3 para a de prata. Haveria possibilidades de peso inteiro e maior do que 3 para a medalha de ouro de modo que os Estados Unidos ficassem melhor classificados do que a China? E para que Cuba ficasse melhor classificada do que o Brasil?
B) Qual dos países acima tem o maior número de medalhas por habitante? E de medalhas de ouro por habitante?
MAT. – 7
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
07. Considere as funções f e g dadas por 2)( xxf = e xxg −= 3)( , com domínios restritos ao conjunto }0|R{ ≥∈ xx . Nessas condições, resolva o que se pede nos itens abaixo:
A) Faça, num mesmo plano cartesiano, um esboço dos gráficos de f e de g .
B) Com base no item anterior, explique por que a equação xx −= 32 possui uma única solução α e esta satisfaz 10 << α .
C) Represente, em termos de α , o conjunto dos números reais não negativos que são soluções da inequação xx −≤ 32 .
MAT. – 8
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
08. Dado um triângulo ABC , construímos um outro triângulo, PQR , unindo os pontos médios de seus lados. Com base nessas informações, faça o que se pede abaixo:
A) Mostre que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo PQR .
B) Dado um triângulo de área 21m , construímos um outro triângulo da forma descrita no item (A). Repetindo o processo neste segundo triângulo, obtemos um terceiro triângulo. Prosseguindo-se desse modo, qual será a área do º30 triângulo obtido?
MAT. – 9
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
09. Uma circunferência de centro no ponto )2,1(C contém o ponto )6,4(P . Com base nesses dados, resolva os itens abaixo:
A) Encontre a equação da reta t , tangente à circunferência pelo ponto P .
B) Considere o quadrado circunscrito à circunferência com um de seus lados sobre a reta do item (A). Calcule a medida de sua diagonal.
MAT. – 10
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
10. Simplifique a expressão aritmética abaixo, escrevendo-a na forma αir + , onde r é um número racional e α é real.
( ) 200843
26
27
2
3
)1,1...).(2727,0(
)2(3
283cos8.9log
++−
−
+ −
i
π
MAT. – 11
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
11. Considere um ângulo θ , com o900 ≤≤ θ , cuja representação em radianos é o
número real x , com 2
0π≤≤ x . Suponha que x satisfaça às equações:
−=
−=
43
1sec
mtgx
mx
onde m é um número inteiro positivo.
Faça o que se pede nos itens abaixo.
A) Mostre que 1sec 22 += xtgx , para qualquer valor real de x no domínio comum das funções envolvidas.
B) Encontre os valores de m para os quais as equações acima, na incógnita x , sejam de fato compatíveis e, para tais valores, calcule x e o correspondente ângulo θ , com o900 ≤≤ θ .
MAT. – 12
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 5 – TIPO A
12. Na circunferência representada a seguir, A é o ponto )0,1( , α e β são os ângulos centrais associados, respectivamente, aos arcos AM e AP , onde M e P são pontos variáveis da circunferência, estando sujeitos à condição º60=− βα e tendo N e Q respectivamente como projeções ortogonais sobre o eixo das abcissas.
Nessas condições, mostre que ( ) ( ) 322
=+++ PQMNONOQ .
A
M
P
X
Y
O N Q
MAT. – 9
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 6 – TIPO A
MATEMÁTICA
Questões de 07 a 12
07. Números inteiros ímpares são precisamente aqueles que podem ser escritos na forma 12 +k , onde k é um número inteiro. Por exemplo, se 4=k , então a expressão
12 +k é o ímpar 9.
Faça o que se pede nos itens a seguir:
A) Mostre que o quadrado de um número inteiro ímpar é ímpar.
B) Mostre que o quadrado de um número inteiro par é múltiplo de 4 .
C) Dados dois números inteiros ímpares, mostre que a soma de seus quadrados não é um quadrado perfeito.
MAT. – 10
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 6 – TIPO A
08. Lançando-se três dados, um amarelo, um vermelho e um azul, de quantas maneiras pode-se obter 9 como soma dos números obtidos nas suas faces superiores?
MAT. – 11
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 6 – TIPO A
09. Nas Olimpíadas de 2008, em Pequim, o Comitê Olímpico Norte-Americano, para justificar sua desvantagem olímpica em relação à China, enalteceu o total de medalhas obtidas pelos seus atletas (110), maior do que o total obtido pelos chineses (100). Argumentação parecida fez o presidente do Comitê Olímpico Brasileiro para valorizar o desempenho do Brasil (adaptado da matéria “COB faz malabarismo numérico e declara Pequim melhor da história brasileira”, publicada em 24 ago. 2008).
Observe os dados reais da tabela abaixo e responda ao que se segue.
Brasil China Cuba EUA
Ouro 3 51 2 36
Prata 4 21 11 38
Bronze 8 28 11 36
Total 15 100 24 110
Classificação 23o 1o 28o 2o
População aproximada (em milhões)
191 1331 11 303
Fonte: www.uol.com.br, 24 ago. 2008 e Almanaque Abril 2007.
A) Suponhamos que fossem atribuídos pesos às medalhas: 1 para a de bronze e 3 para a de prata. Haveria possibilidades de peso inteiro e maior do que 3 para a medalha de ouro de modo que os Estados Unidos ficassem melhor classificados do que a China? E para que Cuba ficasse melhor classificada do que o Brasil?
B) Qual dos países acima tem o maior número de medalhas por habitante? E de medalhas de ouro por habitante?
MAT. – 12
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 6 – TIPO A
10. A parábola abaixo representa o gráfico de uma função quadrática. Determine que função é essa e encontre seu conjunto imagem.
x
-5
y
5 -1
MAT. – 13
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 6 – TIPO A
11. Dado um triângulo ABC , construímos um outro triângulo, PQR , unindo os pontos médios de seus lados. Com base nessas informações, faça o que se pede abaixo:
A) Mostre que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo PQR .
B) Dado um triângulo de área 21m , construímos um outro triângulo da forma descrita no item (A). Repetindo o processo neste segundo triângulo, obtemos um terceiro triângulo. Prosseguindo-se desse modo, qual será a área do º30 triângulo obtido?
MAT. – 14
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 6 – TIPO A
12. Uma circunferência de centro no ponto )2,1(C contém o ponto )6,4(P . Com base nesses dados, resolva os itens abaixo:
A) Encontre a equação da reta t , tangente à circunferência pelo ponto P .
B) Considere o quadrado circunscrito à circunferência com um de seus lados sobre a reta t do item (A). Calcule a medida de sua diagonal.
MAT. – 7
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 7 – TIPO A
MATEMÁTICA
Questões de 09 a 12
09. Nas Olimpíadas de 2008, em Pequim, o Comitê Olímpico Norte-Americano, para justificar sua desvantagem olímpica em relação à China, enalteceu o total de medalhas obtidas pelos seus atletas (110), maior do que o total obtido pelos chineses (100). Argumentação parecida fez o presidente do Comitê Olímpico Brasileiro para valorizar o desempenho do Brasil (adaptado da matéria “COB faz malabarismo numérico e declara Pequim melhor da história brasileira”, publicada em 24 ago. 2008).
Observe os dados reais da tabela abaixo e responda ao que se segue.
Brasil China Cuba EUA
Ouro 3 51 2 36
Prata 4 21 11 38
Bronze 8 28 11 36
Total 15 100 24 110
Classificação 23o 1o 28o 2o
População aproximada (em milhões)
191 1331 11 303
Fonte: www.uol.com.br, 24 ago. 2008 e Almanaque Abril 2007.
A) Suponhamos que fossem atribuídos pesos às medalhas: 1 para a de bronze e 3 para a de prata. Haveria possibilidades de peso inteiro e maior do que 3 para a medalha de ouro de modo que os Estados Unidos ficassem melhor classificados do que a China? E para que Cuba ficasse melhor classificada do que o Brasil?
B) Qual dos países acima tem o maior número de medalhas por habitante? E de medalhas de ouro por habitante?
MAT. – 8
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 7 – TIPO A
10. Uma circunferência de centro no ponto )2,1(C contém o ponto )6,4(P . Nessas condições, resolva o que se pede:
A) Encontre a equação da reta t , tangente à circunferência pelo ponto P .
B) Considere o quadrado circunscrito à circunferência e que tem um de seus lados sobre a reta t do item (A). Calcule a medida de sua diagonal.
MAT. – 9
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 7 – TIPO A
11. Considere um tetraedro regular ABCD com as arestas medindo l . Há quatro cones congruentes circunscritos a este tetraedro; por exemplo, o cone circular reto que tem vértice no ponto A e cuja base é a circunferência circunscrita à base BCD do tetraedro. Determine, em função de l , a área S da superfície lateral de qualquer um desses cones.
MAT. – 10
1º VESTIBULAR UFOP 2009
GRUPO 7 – TIPO A
12. Considere um ângulo θ , com o900 ≤≤ θ , cuja representação em radianos é o
número real x , com 2
0π≤≤ x . Suponha que x satisfaça às equações:
−=
−=
43
1sec
mtgx
mx
onde m é um número inteiro positivo.
Faça o que se pede nos itens abaixo.
A) Mostre que 1sec 22 += xtgx , para qualquer valor real de x no domínio comum das funções envolvidas.
B) Encontre os valores de m para os quais as equações acima, na incógnita x , sejam de fato compatíveis e, para tais valores, calcule x e o correspondente ângulo θ , com o900 ≤≤ θ .