Estabilidade Uma caracterstica importante para o sistema de controle que ele seja estvel. Sem ela qualquer outra caracterstica, como a de um bom desempenho, no faz sentido.
Para sistemas lineares, as caractersticas de estabilidade podem ser definidas em termos de plos e zeros da funo de transferncia de malha fechada. DEFINIO E ESTABILIDADE Um sistema pode ser dito estvel, se entradas limitadas (finitas) geram sadas limitadas .
Por exemplo: Um sistema estvel , quando sujeito a uma entrada em impulso a sada tende ao valor
inicial a medida que o tempo tende a infinito . Um sistema instvel se a sada tende a infinito quando o tempo tende a infinito. Um sistema criticamente estvel se a sada no tende ao valor inicial nem a infinito,
mas tende a um finito diferente do inicial. EQUAO CARACTERSTICA Como ponto de partida para anlise de estabilidade, consideremos diagrama de blocos em malha fechada.
Em malha fechada, temos:
Y s G G GG G G G
Y sG
G G G Gd sc f p
c f p msp
d
c f p m 1 1
De forma simplificada, temos:
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Y s G G GG
Y sGG
d sc f pol
spd
ol 1 1
Onde: GOL a funo de transferncia em malha aberta (Open Loop).
G s
Y sY s
G G G GOLm
spc f p m( )
Malha aberta - o sistema onde a entrada no depende da sada. Considerando o problema servo, temos
Y sY s
G G GG
G ssp
c f p
ol 1
O denominador um polinmio onde as razes so obtidas da equao chamada Equao Caracterstica .
1 0 Gol
PLOS E ZEROS
A funo de Transferncia em malha fechada G s de um sistema pode ser representada por:
G sK s a s a s a s a
s b s b s b s b
mm
mm
m
nn
nn
n
11
22
1 0
11
22
1 0
e se as razes do denominador e do numerador so conhecidas:
G s Ks z s z s z
s p s p s pm
n
1 2
1 2
Onde:
Zeros - so as razes do numerador ( , , , ) z z zm1 2 Plos - so as razes do denominador p p pn1 2, , , Ganho - constante ou ganho do sistema (K)
Os zeros so os valores de s para os quais a funo de transferncia zero.
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Os plos so os valores de s para os quais a funo de transferncia infinito, isto , o denominador zero. Em geral os plos e zeros podem ser escritos como:
s j Onde:
- a parte real j - a parte complexa ou imaginria DIAGRAMA DE PLOS E ZEROS
Os plos e zeros de uma funo de transferncia podem ser representado em um diagrama de plos e zeros. A figura a seguir mostra os eixos deste tipo de diagrama.
Eixo x - Parte real (Re) do plo ou zero Eixo y - Parte imaginria (Im) do plo ou zero Plo - Marcado com x Zero - Marcado com ESTABILIDADE E PLOS Critrio geral de estabilidade
O sistema de controle feedback estvel se e somente se, todas as razes da equao caracterstica (1+Gol) tem parte real negativa.
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Comportamento do sistema em funo das razes (resposta ao Degrau) Raiz real negativa - Estvel
Raiz real positiva - Instvel
Razes complexas com parte real negativa - Estvel
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Razes complexas com parte real positiva - Instvel
Raiz real na origem - Criticamente Estvel
CRITRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH - HURWITZ A determinao da estabilidade requer o conhecimento das razes da equao caracterstica. Atualmente as razes do polinmio so obtidos facilmente por meios computacionais, mas existe um mtodo simples que permitem determinar o nmero de razes com parte real positiva, que conhecido como Teste de Routh.
A maior utilidade permitir um clculo rpido de um determinado parmetro (ex: kc , que coloca a malha fechada no limite de estabilidade).
O teste no se aplica a sistemas com o tempo morto. Procedimento 1. Expandir a equao caracterstica na forma polinomial.
1 011
1 0 G a s a s a s aOL n n n n Onde:
an 0
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2. Se algum coeficiente for negativo ou zero, pelo menos uma raiz possui parte real positiva, portanto o sistema instvel.
3. Se todos os coeficientes forem positivos, existe a possibilidade de ter raizes com parte real
positiva, ento monta-se a matriz de Routh.
ssss
sss
a a a a a aa a a a a ab b b b bc c c c
x x xy yz
n
n
n
n
n n n n
n n n n
n
1
2
3
2
1
0
2 4 6 2 0
1 3 5 7 3 1
1 2 3 4 1
1 2 3 4
1 2 2
1 2
1
00 0
0 0 00 0 0 0
0 0 0 0 0
A C
B DE
E CAB
D
Onde:
b aaa
ann
nn1 2
13
b aaa
ann
nn2 4
15
b aaa
ai n in
nn i i
2 1 2 1
c aab
bnn
1 31
12
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c aab
bnn
2 51
13
c aab
bi n in
i
2 1
1
11
z xxy
y1 21
12
4. Se algum dos coeficientes da primeira coluna for negativo,ento h razes com parte real
positiva, portanto o sistema instvel EXEMPLOS: 1) Determinar a estabilidade de um sistema com a equao caracterstica.
s s s4 3 25 3 1 0 Soluo:
Representando a forma completa, temos:
s s s s4 3 25 3 0 1 0
O sistema instvel, pois tem um coeficiente igual a zero
2) Determinar a faixa de valores que o parmetro kc pode ter, enquanto mantm a estabilidade.
Soluo:
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Equao Caracterstica
11
2 11
5 11
10 k s s sc
10 17 8 1 03 2s s s kc
Todos os coeficientes so positivos, desde que 1+Kc >0
1 0 1 k kc c A matriz de Routh :
ssss
Kbc
c
3
2
1
01
1
10 817 1
00
b k k kc c c1 8 1017 1 0 10 1 17 8 12 6 ,
c kb
k kc c c11
117
0 0 1 0 1
Para o sistema ser estvel:
1 12 6kc , MTODO DE SUBSTITUIO DIRETA No limite de estabilidade as razes da equao caracterstica est sobre o eixo imaginrio. Neste ponto o sistema estar oscilando permanentemente com freqncia.
u u
Esta freqncia u e o ganho ltimo (Kcu) podem ser determinados reconhecendo que as razes, no limite so da forma s j u .
Substituindo s j u na equao caracterstica e igualando a zero as partes real e imaginria resultantes, obtm-se duas equaes algbricas que permitem a determinao de k ecu u .
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EXEMPLO Use o mtodo de substituio direta para determinar o Kc mximo do sistema com equao caracterstica.
10 17 8 1 03 2s s s kc Soluo: Substituindo s j u na equao caracterstica temos:
10 17 8 1 03 2j j j ku u u cu
10 17 8 1 03 2j j ku u u cu Separando as partes real e imaginria, temos: 1 17 8 10 02 3 k jcu u u u
Re Im
A equao acima satisfeita, se:
1 17 02 kcu u (I)
8 10 03 u u (II) Resolvendo ( II ), temos:
u u(8 ) 10 02
8 10 02 u
u 2 0 8 ,
u 0 894, u 0 894, Substituindo em u (I), temos:
1 17 0 8 0 kcu ,
kcu 12 6, Conclumos que kc 12 6, para o sistema ser estvel.
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Em kcu 12 6, temos uma oscilao de freqncia u = 0,894 rad /min, se a unidade da constante de tempo for em min. Correspondendo a um perodo.
Pu 20 894 7 03
,, min
ESTABILIDADE RELATIVA
O critrio de estabilidade de Routh fornece a resposta questo de estabilidade absoluta.
Em muitos casos no suficiente, freqentemente necessrio saber quo prximo um
sistema estvel est de se tornar instvel, isto , de sua estabilidade relativa.
Um mtodo til de examinar a estabilidade relativa deslocar o eixo do plano s e aplicar o critrio de estabilidade de Routh em relao ao novo eixo.
Ou seja, substitumos:
s s onde cons te tan
na equao caracterstica, escrever o polinmio em termos de s e depois aplicamos o teste de Routh para o novo polinmio.
O deslocamento do eixo para - significa que, no denominador da funo de transferncia, todos os valores de s esto substitudos por s Esquematicamente:
EXEMPLO:
O sistema, que tem uma funo de transferncia com denominador abaixo, tem alguma raiz mais prxima do eixo 0 do que -1?
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s s s3 24 8 4 0
Soluo: Verificando a estabilidade absoluta
ssss
3
2
1
0
1 84 47 04 0
O sistema Estvel
Verificando a estabilidade relativa Deslocando o eixo para -1
s s s 1 4 1 8 1 4 03 2 s s s s s s3 2 23 3 1 4 2 1 8 1 4 0
s s s3 2 3 1 0 Aplicando o teste de Routh
ssss
3
2
1
0
1 31 14 01 0
O sistema Instvel
Existe apenas uma raiz direita do eixo -1.