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Estabilidade Uma caracterstica importante para o sistema de controle que ele seja estvel. Sem ela qualquer outra caracterstica, como a de um bom desempenho, no faz sentido.

Para sistemas lineares, as caractersticas de estabilidade podem ser definidas em termos de plos e zeros da funo de transferncia de malha fechada. DEFINIO E ESTABILIDADE Um sistema pode ser dito estvel, se entradas limitadas (finitas) geram sadas limitadas .

Por exemplo: Um sistema estvel , quando sujeito a uma entrada em impulso a sada tende ao valor

inicial a medida que o tempo tende a infinito . Um sistema instvel se a sada tende a infinito quando o tempo tende a infinito. Um sistema criticamente estvel se a sada no tende ao valor inicial nem a infinito,

mas tende a um finito diferente do inicial. EQUAO CARACTERSTICA Como ponto de partida para anlise de estabilidade, consideremos diagrama de blocos em malha fechada.

Em malha fechada, temos:

Y s G G GG G G G

Y sG

G G G Gd sc f p

c f p msp

d

c f p m 1 1

De forma simplificada, temos:

Estabilidade

Sistemas de Controle Prof. Josemar dos Santos

54

Y s G G GG

Y sGG

d sc f pol

spd

ol 1 1

Onde: GOL a funo de transferncia em malha aberta (Open Loop).

G s

Y sY s

G G G GOLm

spc f p m( )

Malha aberta - o sistema onde a entrada no depende da sada. Considerando o problema servo, temos

Y sY s

G G GG

G ssp

c f p

ol 1

O denominador um polinmio onde as razes so obtidas da equao chamada Equao Caracterstica .

1 0 Gol

PLOS E ZEROS

A funo de Transferncia em malha fechada G s de um sistema pode ser representada por:

G sK s a s a s a s a

s b s b s b s b

mm

mm

m

nn

nn

n

11

22

1 0

11

22

1 0

e se as razes do denominador e do numerador so conhecidas:

G s Ks z s z s z

s p s p s pm

n

1 2

1 2

Onde:

Zeros - so as razes do numerador ( , , , ) z z zm1 2 Plos - so as razes do denominador p p pn1 2, , , Ganho - constante ou ganho do sistema (K)

Os zeros so os valores de s para os quais a funo de transferncia zero.

Estabilidade


55

Os plos so os valores de s para os quais a funo de transferncia infinito, isto , o denominador zero. Em geral os plos e zeros podem ser escritos como:

s j Onde:

- a parte real j - a parte complexa ou imaginria DIAGRAMA DE PLOS E ZEROS

Os plos e zeros de uma funo de transferncia podem ser representado em um diagrama de plos e zeros. A figura a seguir mostra os eixos deste tipo de diagrama.

Eixo x - Parte real (Re) do plo ou zero Eixo y - Parte imaginria (Im) do plo ou zero Plo - Marcado com x Zero - Marcado com ESTABILIDADE E PLOS Critrio geral de estabilidade

O sistema de controle feedback estvel se e somente se, todas as razes da equao caracterstica (1+Gol) tem parte real negativa.

Estabilidade


56

Comportamento do sistema em funo das razes (resposta ao Degrau) Raiz real negativa - Estvel

Raiz real positiva - Instvel

Razes complexas com parte real negativa - Estvel

Estabilidade


57

Razes complexas com parte real positiva - Instvel

Raiz real na origem - Criticamente Estvel

CRITRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH - HURWITZ A determinao da estabilidade requer o conhecimento das razes da equao caracterstica. Atualmente as razes do polinmio so obtidos facilmente por meios computacionais, mas existe um mtodo simples que permitem determinar o nmero de razes com parte real positiva, que conhecido como Teste de Routh.

A maior utilidade permitir um clculo rpido de um determinado parmetro (ex: kc , que coloca a malha fechada no limite de estabilidade).

O teste no se aplica a sistemas com o tempo morto. Procedimento 1. Expandir a equao caracterstica na forma polinomial.

1 011

1 0 G a s a s a s aOL n n n n Onde:

an 0

Estabilidade


58

2. Se algum coeficiente for negativo ou zero, pelo menos uma raiz possui parte real positiva, portanto o sistema instvel.

3. Se todos os coeficientes forem positivos, existe a possibilidade de ter raizes com parte real

positiva, ento monta-se a matriz de Routh.

ssss

sss

a a a a a aa a a a a ab b b b bc c c c

x x xy yz

n

n

n

n

n n n n

n n n n

n

1

2

3

2

1

0

2 4 6 2 0

1 3 5 7 3 1

1 2 3 4 1

1 2 3 4

1 2 2

1 2

1

00 0

0 0 00 0 0 0

0 0 0 0 0

A C

B DE

E CAB

D

Onde:

b aaa

ann

nn1 2

13

b aaa

ann

nn2 4

15

b aaa

ai n in

nn i i

2 1 2 1

c aab

bnn

1 31

12

Estabilidade


59

c aab

bnn

2 51

13

c aab

bi n in

i

2 1

1

11

z xxy

y1 21

12

4. Se algum dos coeficientes da primeira coluna for negativo,ento h razes com parte real

positiva, portanto o sistema instvel EXEMPLOS: 1) Determinar a estabilidade de um sistema com a equao caracterstica.

s s s4 3 25 3 1 0 Soluo:

Representando a forma completa, temos:

s s s s4 3 25 3 0 1 0

O sistema instvel, pois tem um coeficiente igual a zero

2) Determinar a faixa de valores que o parmetro kc pode ter, enquanto mantm a estabilidade.

Soluo:

Estabilidade


60

Equao Caracterstica

11

2 11

5 11

10 k s s sc

10 17 8 1 03 2s s s kc

Todos os coeficientes so positivos, desde que 1+Kc >0

1 0 1 k kc c A matriz de Routh :

ssss

Kbc

c

3

2

1

01

1

10 817 1

00

b k k kc c c1 8 1017 1 0 10 1 17 8 12 6 ,

c kb

k kc c c11

117

0 0 1 0 1

Para o sistema ser estvel:

1 12 6kc , MTODO DE SUBSTITUIO DIRETA No limite de estabilidade as razes da equao caracterstica est sobre o eixo imaginrio. Neste ponto o sistema estar oscilando permanentemente com freqncia.

u u

Esta freqncia u e o ganho ltimo (Kcu) podem ser determinados reconhecendo que as razes, no limite so da forma s j u .

Substituindo s j u na equao caracterstica e igualando a zero as partes real e imaginria resultantes, obtm-se duas equaes algbricas que permitem a determinao de k ecu u .

Estabilidade


61

EXEMPLO Use o mtodo de substituio direta para determinar o Kc mximo do sistema com equao caracterstica.

10 17 8 1 03 2s s s kc Soluo: Substituindo s j u na equao caracterstica temos:

10 17 8 1 03 2j j j ku u u cu

10 17 8 1 03 2j j ku u u cu Separando as partes real e imaginria, temos: 1 17 8 10 02 3 k jcu u u u

Re Im

A equao acima satisfeita, se:

1 17 02 kcu u (I)

8 10 03 u u (II) Resolvendo ( II ), temos:

u u(8 ) 10 02

8 10 02 u

u 2 0 8 ,

u 0 894, u 0 894, Substituindo em u (I), temos:

1 17 0 8 0 kcu ,

kcu 12 6, Conclumos que kc 12 6, para o sistema ser estvel.

Estabilidade


62

Em kcu 12 6, temos uma oscilao de freqncia u = 0,894 rad /min, se a unidade da constante de tempo for em min. Correspondendo a um perodo.

Pu 20 894 7 03

,, min

ESTABILIDADE RELATIVA

O critrio de estabilidade de Routh fornece a resposta questo de estabilidade absoluta.

Em muitos casos no suficiente, freqentemente necessrio saber quo prximo um

sistema estvel est de se tornar instvel, isto , de sua estabilidade relativa.

Um mtodo til de examinar a estabilidade relativa deslocar o eixo do plano s e aplicar o critrio de estabilidade de Routh em relao ao novo eixo.

Ou seja, substitumos:

s s onde cons te tan

na equao caracterstica, escrever o polinmio em termos de s e depois aplicamos o teste de Routh para o novo polinmio.

O deslocamento do eixo para - significa que, no denominador da funo de transferncia, todos os valores de s esto substitudos por s Esquematicamente:

EXEMPLO:

O sistema, que tem uma funo de transferncia com denominador abaixo, tem alguma raiz mais prxima do eixo 0 do que -1?

Estabilidade


63

s s s3 24 8 4 0

Soluo: Verificando a estabilidade absoluta

ssss

3

2

1

0

1 84 47 04 0

O sistema Estvel

Verificando a estabilidade relativa Deslocando o eixo para -1

s s s 1 4 1 8 1 4 03 2 s s s s s s3 2 23 3 1 4 2 1 8 1 4 0

s s s3 2 3 1 0 Aplicando o teste de Routh

ssss

3

2

1

0

1 31 14 01 0

O sistema Instvel

Existe apenas uma raiz direita do eixo -1.

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