Prof. Nelson Luiz Reyes Marques

Mecânica Analítica

REVISÃO

Dinâmica Lagrangiana

Vínculos

São limitações às possíveis posições e velocidades das partículas de um

sistema mecânico, restringindo a priori o seu movimento.

• É importante salientar que os vínculos são limitações de ordem

cinemática impostas ao sistema mecânico.

• As restrições antecedem a dinâmica e precisam ser levadas em conta na

formulação das equações de movimento do sistema.

• Restrições de natureza dinâmica – decorrentes, portanto das equações

de movimento – não são vínculos.

Dinâmica Lagrangiana

Exemplo 1: Um pêndulo duplo oscila num plano vertical fixo. As equações de

vinculo são

𝑥2 + 𝑦2 − 𝑙12 = 0, 𝑥2 − 𝑥1

2+ 𝑦2 − 𝑦12 − 𝑙2

2 = 0

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑙12

𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

2 = 𝑙22

Dinâmica Lagrangiana

Exemplo 2: Escreva as equações de transformação o pêndulo duplo

𝑥1 = 𝑙1 s𝑖𝑛 𝜃1

𝑦1 = 𝑙1 cos 𝜃1

𝑥2 = 𝑙1 sin 𝜃1 + 𝑙2 sin 𝜃2

𝑦2 = 𝑙1 cos 𝜃1 + 𝑙2 cos 𝜃2

O sistema tem apenas 2 grau de

liberdade com coordenadas

generalizadas q1 = θ1 e q2 = θ2

Dinâmica Lagrangiana

Exemplo 3: Um cilindro rola sem deslizar ao longo de uma linha reta. Sendo x

a posição do centro de massa do cilindro e o ângulo de rotação do centro de

massa, a condição de rolar sem deslizar é representada por

𝑥 = 𝑅𝜙 → 𝑥 − 𝑅𝜙 = 0

onde R é o raio do cilindro.

Dinâmica Lagrangiana Dinâmica Lagrangiana

A função de Lagrange ou, simplesmente, lagrangiano 𝐿 por: 𝐿 = 𝑇 − 𝑉

onde 𝑘 = 1,… , 𝑛.

As equações de movimento do sistema podem ser escritas na forma

d

dt

𝜕L

𝜕q k−

𝜕L

𝜕qk= 0 Equações de Lagrange

Se o sistema não for conservativo d

dt

𝜕L

𝜕q k−

𝜕L

𝜕qk= 𝑄𝑘

Dinâmica Lagrangiana

Exemplo 4: Considere uma partícula numa região onde existe um certo potencial

de interação.

A lagrangiana é dada por:

d

dt

𝜕L

𝜕𝑥 𝑖−𝜕L

𝜕𝑥𝑖= 0

𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =1

2𝑚𝑣2 − V 𝑟 Solução:

Tomando as coordenadas generalizadas como coordenadas cartesianas, temos:

→ 𝜕L

𝜕𝑥𝑖= −

𝜕𝑉

𝜕𝑥𝑖 →

d

dt

𝜕L

𝜕𝑥 𝑖=

𝑑

𝑑𝑡𝑚𝑥 𝑖 = 𝑚𝑥 𝑖

O que faz com que a equação de Euler-Lagrange forneça:

d

dt

𝜕L

𝜕𝑥 𝑖−𝜕L

𝜕𝑥𝑖= 0 →

d

dt

𝜕L

𝜕𝑥 𝑖=𝜕L

𝜕𝑥𝑖 → 𝒎𝒙 = −

𝝏𝑽

𝝏𝒙𝒊

que é a segunda lei de Newton para forças conservativas. Força

Dinâmica Lagrangiana

Exemplo 5: Obtenha a Lagrangiana para um projetil (livre da resistência do ar)

em termos de suas coordenadas cartesianas (𝑥, 𝑦, 𝑧) , com 𝑧 medido

verticalmente para cima. Determine as três equações de Lagrange.

A energia cinética e a energia potencial:

A lagrangiana fica:

As equações de movimento:

d

dt

𝜕L

𝜕𝑥 −𝜕L

𝜕𝑥= 0

d

dt

𝜕L

𝜕𝑦 −𝜕L

𝜕𝑦= 0

d

dt

𝜕L

𝜕𝑧 −𝜕L

𝜕𝑧= 0

𝟎 = 𝒎𝒙 𝟎 = 𝒎𝒚 −𝒎𝒈 = 𝒎𝒛 que corresponde a F=mg.

𝑇 =1

2𝑚(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2) 𝑉 = 𝑚𝑔𝑧

𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =1

2𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 −mgz

Solução:

Dinâmica Lagrangiana

Exemplo 6: Obtenha a Lagrangiana para uma partícula movendo-se em uma

dimensão ao longo do eixo x sujeita à força 𝐹 = − 𝑘𝑥 (com 𝑘 positivo).

Determine a equação de Lagrange do movimento.

𝐹 = −𝑘𝑥 → 𝑉 =1

2𝑘𝑥2 → 𝑇 =

1

2𝑚𝑥 2

𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =1

2𝑚𝑥 2 −

1

2𝑘𝑥2

Solução:

A energia cinética e a energia potencial:

A lagrangiana fica:

As equações de movimento:

d

dt

𝜕L

𝜕𝑥 −𝜕L

𝜕𝑥= 0 −𝒌𝒙 = 𝒎𝒙

Dinâmica Lagrangiana

Exemplo 7: Considere uma massa 𝑚 movendo-se em duas dimensões com

energia potencial 𝑉 𝑥, 𝑦 = −1

2𝑘𝑟2 , onde 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2. Obtenha a

lagrangeana, usando as coordenada 𝑥 e 𝑦, e determine as equações de

movimento de Lagrange.

𝑇 =1

2𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 → 𝑉 = −

1

2𝑘 𝑥2 + 𝑦2

Solução:

A energia cinética e a energia potencial:

𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =1

2𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 +

1

2𝑘 𝑥2 + 𝑦2 A lagrangiana fica:

As equações de movimento:

d

dt

𝜕L

𝜕𝑥 −𝜕L

𝜕𝑥= 0

−𝒌𝒙 = 𝒎𝒙

d

dt

𝜕L

𝜕𝑦 −𝜕L

𝜕𝑦= 0

−𝒌𝒙 = 𝒎𝒚

Dinâmica Lagrangiana

Exemplo 8: Considere uma massa 𝑚 movendo-se em uma rampa, sem atrito, que

tem uma declividade 𝛼 com a horizontal. Obtenha a Lagrangiana em termos da

coordenada 𝑥, medida horizontalmente através da rampa, e da coordenada 𝑦,

medida para baixo da rampa. (Trate o sistema como bidimensional, mas inclua a

energia potencial gravitacional). Determine as duas equações de Lagrange e

justifique se elas são as mesmas que você esperava.

𝑇 =1

2𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 → 𝑉 = 𝑚𝑔𝑦 = 𝑚𝑔𝑦 sin 𝛼

Solução:

A energia cinética e a energia potencial:

𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =1

2𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑚𝑔𝑦 sin 𝛼 A lagrangiana fica:

As equações de movimento:

d

dt

𝜕L

𝜕𝑥 −𝜕L

𝜕𝑥= 0 → 0 = 𝒎𝒙

d

dt

𝜕L

𝜕𝑦 −𝜕L

𝜕𝑦= 0 → 𝒎𝒈sin𝜶 = 𝒎𝒚

Dinâmica Lagrangiana

Exemplo 9: Determine a Lagrangiana e a equação de movimento de um pêndulo

simples em coordenadas polares de raio fixo r=a e θ é a única coordenada

livre.

𝑇 =1

2𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 =

1

2𝑚𝑎2𝜃 2

Solução:

A energia cinética e a energia potencial:

𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =1

2𝑚𝑎2𝜃 2 +𝑚𝑔𝑎 cos 𝜃

A lagrangiana fica:

𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 → 𝑦 = 𝑎 sin 𝜃

𝑥 = −𝑎𝜃 sin 𝜃 → 𝑦 = 𝑎𝜃 cos 𝜃

𝑉 = −𝑚𝑔𝑥 = −𝑚𝑔𝑎 cos 𝜃

Dinâmica Lagrangiana

𝐿 =1

2𝑚𝑎2𝜃 2 +𝑚𝑔𝑎 cos 𝜃

A equação de movimento:

d

dt

𝜕L

𝜕𝜃 −𝜕L

𝜕𝜃= 0

d

dt𝑚𝑎2𝜃 + 𝑚𝑔𝑎 sin 𝜃 = 0

𝑚𝑎2𝜃 = −𝑚𝑔𝑎 sin 𝜃

𝑎𝜃 = −𝑔 sin 𝜃

Dinâmica Lagrangiana

Exemplo 10: Deduza as equações de Lagrange, para uma partícula que se

move em um campo conservativo bidimensional, em coordenadas

a) cartesianas

b) Polares

c) cilíndricas

Dinâmica Lagrangiana

Solução: a)

A energia cinética e a energia potencial: 𝑇 =1

2𝑚(𝑥 2 + 𝑦 2) 𝑉 = 𝑉 𝑥, 𝑦

A lagrangiana fica:

As equações de movimento: d

dt

𝜕L

𝜕𝑥 −𝜕L

𝜕𝑥= 0

𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =1

2𝑚 𝑥 2 + 𝑦 2 − V 𝑥; 𝑦

𝜕L

𝜕𝑦= −

𝜕𝑉

𝜕𝑦= 𝐹𝑦 →

𝜕L

𝜕𝑦 = −

𝜕𝑇

𝜕𝑦 = 𝑚𝑦 → 𝐹𝑦 = 𝑚𝑦

𝜕L

𝜕𝑥= −

𝜕𝑉

𝜕𝑥= 𝐹𝑥 →

𝜕L

𝜕𝑥 = −

𝜕𝑇

𝜕𝑥 = 𝑚𝑥 → 𝐹𝑥 = 𝑚𝑥

𝑭 = 𝒎𝒂

Dinâmica Lagrangiana

Solução: b) A energia cinética e a energia potencial:

𝑇 =1

2𝑚𝑣2 =

1

2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜙 2 𝑉 = 𝑉 𝑟, 𝜙

A lagrangiana fica:

A equações de movimento:

d

dt

𝜕L

𝜕𝑟 −𝜕L

𝜕𝑟= 0

𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =1

2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜙 2 − V 𝑟, 𝜙

𝑣𝑟 = 𝑟 → 𝑣𝜙 = 𝑟𝜙

d

dt𝑚𝑟 − 𝑚𝑟𝜙 2 −

𝜕𝑉

𝜕𝑟= 0

𝑚𝑟 = −𝑚𝑟𝜙 2 −𝜕𝑉

𝜕𝑟

𝑭𝒓 = 𝒎(𝒓 − 𝒓𝜽 𝟐)

Dinâmica Lagrangiana

d

dt

𝜕L

𝜕𝜙 −𝜕L

𝜕𝜙= 0

𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =1

2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜙 2 − V 𝑟, 𝜙

d

dt𝑚𝑟2𝜙 − −

𝜕𝑉

𝜕𝜙= 0

𝒎𝒓𝟐𝝓 = −𝝏𝑽

𝝏𝝓

Momento angular

Torque

Dinâmica Lagrangiana

Solução: c) A energia cinética e a energia potencial:

𝑇 =1

2𝑚𝑣2 =

1

2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 + 𝑧 2

𝑉 = 𝑉 𝑟, 𝜃, 𝑧

A lagrangiana fica:

𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =1

2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 + 𝑧 2 − V 𝑟, 𝜃, 𝑧

𝑣𝑟 = 𝑟 → 𝑣𝜙 = 𝑟𝜃 → 𝑣𝑧 = 𝑧

Dinâmica Lagrangiana 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =1

2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 + 𝑧 2 − V 𝑟, 𝜃, 𝑧

d

dt

𝜕L

𝜕𝜃 −𝜕L

𝜕𝜃= 0

d

dt

𝜕L

𝜕𝑟 −𝜕L

𝜕𝑟= 0

d

dt𝑚𝑟 − (m𝑟𝜃 2

𝜕𝑉

𝜕𝑟) = 0 → 𝑚 𝑟 − 𝑟𝜃 2 = −

𝜕𝑉

𝜕𝑟

𝐹 𝑟

d

dt𝑚𝑟2𝜃 +

𝜕𝑉

𝜕𝜃= 0 → 𝑚

𝑑

𝑑𝑡𝑟2𝜃 = −

𝜕𝑉

𝜕𝜃

Torque

d

dt

𝜕L

𝜕𝑧 −𝜕L

𝜕𝑧= 0

d

dt𝑚𝑧 +

𝜕𝑉

𝜕𝑧= 0 → 𝑚𝑧 = −

𝜕𝑉

𝜕𝑟

𝐹 𝑧

Dinâmica Lagrangiana Dinâmica Lagrangiana

Exemplo 11: Determine a equação de Lagrange e as equações de movimento

para um pêndulo com suporte livre (a massa M pode se mover livremente sem

atrito no plano horizontal, enquanto o pêndulo oscila no plano vertical).

Refazendo o desenho e tomando o

nível de referencia na origem, temos

Dinâmica Lagrangiana

𝑇 =1

2𝑀𝑥 2 +

1

2𝑚 𝑋 2 + 𝑌 2 𝑉𝑀 = 0 𝑒 𝑉𝑚 = −𝑚𝑔𝑌, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑉 = −𝑚𝑔𝑌

𝑋 = 𝑥 + 𝑙 sin 𝜃 → 𝑋 = 𝑥 + 𝑙𝜃 cos 𝜃

𝑌 = 𝑙 cos 𝜃 → 𝑌 = −𝑙𝜃 sin 𝜃

𝑋 2 + 𝑌 2 = 𝑥 2 + 𝑙2𝜃 2 + 2𝑙𝑥 𝜃 cos 𝜃

Podemos escrever as energias cinética e potencial

Como

Logo

𝑇 = 𝑚 +𝑀

2𝑥 2 +

𝑚𝑙2

2𝜃 2 +𝑚𝑙𝑥 𝜃 cos 𝜃 𝑉 = −𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃

Podemos reescrever as energias cinética e potencial como

A lagrangiana fica 𝑳 = 𝑻 − 𝑽 = 𝒎 +𝑴

𝟐𝒙 𝟐 +

𝒎𝒍𝟐

𝟐𝜽 𝟐 +𝒎𝒍𝒙 𝜽 𝐜𝐨𝐬𝜽 +𝒎𝒈𝒍𝒄𝒐𝒔𝜽

Dinâmica Lagrangiana

Podemos, agora, determinar as equações de movimento

d

dt

𝜕L

𝜕𝑥 −𝜕L

𝜕𝑥= 0

𝐿 = 𝑚 +𝑀

2𝑥 2 +

𝑚𝑙2

2𝜃 2 +𝑚𝑙𝑥 𝜃 cos 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃

d

dt𝑚 +𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 0 = 0

𝑚+𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃 = 0

d

dt

𝜕L

𝜕𝜃 −𝜕L

𝜕𝜃= 0

d

dt𝑚𝑙2𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 − −𝑚𝑙𝑥 𝜃 sin 𝜃 − 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0

𝑚𝑙2𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝑥 𝜃 sin 𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 𝜃 sin 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0

𝑚𝑙2𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0

Dinâmica Lagrangiana

1º) Se m = 0 𝑚+𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃 = 0

0 +𝑀 𝑥 = 0 → 𝒙 = 𝟎 → 𝑀 𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒

Como as equações de movimento são difíceis de resolver (equações não lineares – não existe um

método geral de resolução, cada caso é um caso), vamos analisar alguns casos limites

(particulares) afim de verificarmos se essas equações estão corretas.

2º) Se M 𝑚+𝑀 𝑥 + 𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃 − 𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃 = 0

Divide-se todos os termos por M 𝑚 +𝑀 𝑥

𝑀+𝑚𝑙𝜃 cos 𝜃

𝑀−𝑚𝑙𝜃 2 sin 𝜃

𝑀= 0 → 𝑥 = 0

Substituindo 𝑥 = 0 na segunda equação de movimento

𝑚𝑙2𝜃 + 𝑚𝑙𝑥 cos 𝜃 + 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0 e dividindo por 𝑚𝑙2, obtemos

𝜽 +𝒈

𝒍𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝟎

que corresponde a equação do pêndulo simples com ponto de suspensão fixo.

Dinâmica Lagrangiana

Exemplo 12: Uma partícula de massa m move-se em um campo de força conservativo. Ache

(a) a função lagrangiana, (b) as equações do movimento em coordenadas cilíndrica

𝑟, 𝜃, 𝑧 .

Solução: (a) A energia cinética total em coordenadas

cilíndricas

𝑇 =1

2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 + 𝑧 2

A energia potencial 𝑉 = 𝑟, 𝜃, 𝑧 . Então a função

lagrangiana é

𝐿 = 𝑇 − 𝑉 =1

2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 + 𝑧 2 − 𝑉 𝑟, 𝜃, 𝑧

(b) As equações de Lagrange são

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑟 −𝜕𝐿

𝜕𝑟= 0 →

𝑑

𝑑𝑡𝑚𝑟 − 𝑚𝑟𝜃 2 −

𝜕𝑉

𝜕𝑟= 0 → 𝑚 𝑟 − 𝑟𝜃 2 = −

𝜕𝑉

𝜕𝑟

Dinâmica Lagrangiana

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝜃 −𝜕𝐿

𝜕𝜃= 0 →

𝑑

𝑑𝑡𝑚𝑟2𝜃 +

𝜕𝑉

𝜕𝜃= 0 → 𝑚

𝑑

𝑑𝑡𝑟2𝜃 = −

𝜕𝑉

𝜕𝜃

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑧 −𝜕𝐿

𝜕𝑧= 0 →

𝑑

𝑑𝑡𝑚𝑧 +

𝜕𝑉

𝜕𝑧= 0 → 𝑚𝑧 = −

𝜕𝑉

𝜕𝑧

(b) As equações de Lagrange são

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝑟 −𝜕𝐿

𝜕𝑟= 0 →

𝑑

𝑑𝑡𝑚𝑟 − 𝑚𝑟𝜃 2 −

𝜕𝑉

𝜕𝑟= 0 → 𝑚 𝑟 − 𝑟𝜃 2 = −

𝜕𝑉

𝜕𝑟

Dinâmica Lagrangiana

Exemplo 13: Considere um pêndulo plano formado por uma haste inextensível de

comprimento 𝑙 e massa desprezível tendo na sua extremidade uma partícula

pontual de massa 𝑚. Escreva as equações de movimento da partícula em

coordenadas polares 𝑟 e 𝜃.

Solução:

;

A lagrangiana fica:

𝑇 =1

2𝑚𝑟 2 +

1

2𝑚𝑟2𝜃 2

𝑉 = 𝑚𝑔𝑧 = 𝑚𝑔𝑟 1 − cos 𝜃

𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =1

2𝑚𝑟 2 +

1

2𝑚𝑟2𝜃 2 −𝑚𝑔𝑟 1 − cos 𝜃

Dinâmica Lagrangiana ;

As equações de movimento são: :

𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =1

2𝑚𝑟 2 +

1

2𝑚𝑟2𝜃 2 −𝑚𝑔𝑟 1 − cos 𝜃

;

d

dt

𝜕L

𝜕𝑟 −𝜕L

𝜕𝑟= 0

d

dt𝑚𝑟 − [𝑚𝑟𝜃 2 −𝑚𝑔 1 − cos 𝜃 ] = 0

𝑚𝑟 = 𝑚𝑟𝜃 2 −𝑚𝑔 1 − cos 𝜃

𝒓 = 𝒓𝜽 𝟐 − 𝒈 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝜽

Dinâmica Lagrangiana ;

As equações de movimento são:

𝐿 = 𝑇 − 𝑉 → 𝐿 =1

2𝑚𝑟 2 +

1

2𝑚𝑟2𝜃 2 −𝑚𝑔𝑟 1 − cos 𝜃

;

d

dt

𝜕L

𝜕𝜃 −𝜕L

𝜕𝜃= 0 →

d

dt𝑚𝑟2𝜃 − 𝑚𝑔𝑟 sin 𝜃 = 0

𝑚𝑟2𝜃 + 2𝑚𝑟𝑟 𝜃 = 𝑚𝑔𝑟 sin 𝜃

𝒍𝜽 = 𝒎𝒈 sin𝜽 → 𝜽 =𝒈

𝒍sin𝜽

Como, 𝑟 = 𝑙 e 𝑟 = 0 :

temos:

Dinâmica Lagrangiana

Exemplo 14:

Dinâmica Lagrangiana

Dinâmica Lagrangiana

Dinâmica Lagrangiana

Dinâmica Lagrangiana

Dinâmica Lagrangiana

Momentos generalizados (canônicos)

𝒑 𝒊 =𝝏𝑳

𝝏𝒒𝒊 𝒑𝒊 =

𝝏𝑳

𝝏𝒒 𝒊

Estas equações podem ser chamadas de equação de movimento de Lagrange

Equações de Hamilton

Se um sistema for conservativo, o hamiltoniano 𝐻 pode ser interpretado como

a energia total (cinética e potencial) do sistema. 𝑯 = 𝑻 + 𝑽

𝑯 𝒒, 𝒑, 𝒕 = 𝒒 𝒊𝒑𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

− 𝑳 𝒒, 𝒒 , 𝒕 O hamiltoniano 𝐻 𝑞, 𝑝, 𝑡 definida por:

Equações de movimento de Hamilton

𝒒 𝒊 =𝝏𝑯

𝝏𝒑𝒊 𝒑 𝒊 = −

𝝏𝑯

𝝏𝒒𝒊

Dinâmica Hamiltoniana

Exemplo 15: A lagrangiana de um oscilador harmônico é dada por

𝐿 =𝑚𝑥 2

2−𝑘𝑥2

2

a) o momento conjugado

, determine:

𝑝𝑥 = 𝑚𝑥 → 𝑥 =𝑝𝑥𝑚

b) A hamiltoniana

𝐻 = 𝑥 𝑝𝑟 − 𝐿 =𝑝𝑥2

𝑚−𝑚

2

𝑝𝑥𝑚

2

+𝑘𝑥2

2

Dinâmica Hamiltoniana

Exemplo 16: A partícula livre em coordenadas esféricas. O vetor velocidade é

dado por 𝒓 = 𝒓 𝒓 + 𝒓𝜽 𝜽 + 𝒓𝝓 sin 𝜽𝝓 , determine:

a) a lagrangiana

𝐿 = 𝑇 + 𝑉 = 𝑇 =1

2𝑚𝑣2 =

1

2𝑚 𝑟 2 + 𝑟2𝜃 2 + 𝑟2𝜙 2𝑠𝑖𝑛2𝜃

b) Os momentos conjugados

𝑝𝑟 = 𝑚𝑟

𝑝𝜃 = 𝑚𝑟2𝜃

𝑝𝜙 = 𝑚𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃𝜙 →

𝑟 =𝑝𝑟𝑚

𝜃 =𝑝𝜃𝑚𝑟2

𝜙 =𝑝𝜙

𝑚𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃

Dinâmica Hamiltoniana

c) a hamiltoniana

𝐻 𝑞, 𝑝, 𝑡 = 𝑞 𝑖𝑝𝑖

𝑛

𝑖=1

− 𝐿 𝑞, 𝑞 , 𝑡

𝐻 = 𝑟 𝑝𝑟 + 𝜃 𝑝𝜃 + 𝜙 𝑝𝜙 − 𝐿

𝐻 =𝑝𝑟2

𝑚+

𝑝𝜃2

𝑚𝑟2+

𝑝𝜙2

𝑚𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃−𝑚

2

𝑝𝑟𝑚

2

−𝑚𝑟2

2

𝑝𝜃𝑚𝑟2

2

−𝑚𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃

2

𝑝𝜙

𝑚𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃

2

𝑯 =𝟏

𝟐𝒎𝒑𝒓𝟐 +

𝒑𝜽𝟐

𝒓𝟐+

𝒑𝝓𝟐

𝒓𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽

Dinâmica Hamiltoniana

Exemplo 17: Maquina de Atwood

Pelos dados da figura, temos

𝑇 =1

2𝑚1𝑥

2 +1

2𝑚2𝑥

2 𝑉 = −𝑚1𝑔𝑥 −𝑚2𝑔 𝑙 − 𝑥

𝑉 = −𝑚1𝑔𝑥 −𝑚2𝑔𝑥

Desprezando o termo constante, temos

𝐿 = 𝑇 − 𝑉 𝐿 =1

2𝑚1 +𝑚2 𝑥 2 + 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥

𝐻 = 𝑞 𝑖𝑝𝑖 − 𝐿 = 𝑝𝑥 − 𝐿

A expressão do hamiltoniano é dada por

𝐻 = 𝑝𝑥 − 𝐿 = 𝑝𝑥 −1

2𝑚1 +𝑚2 𝑥 2 + 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥

A expressão do lagrangiano fica

Dinâmica Hamiltoniana

𝐻 = 𝑝𝑥 − 𝐿 = 𝑝𝑥 −1

2𝑚1 +𝑚2 𝑥 2 + 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥

O hamiltoniano deve ser escrito apenas em termos de coordenadas e momentos,

eliminando as velocidades.

𝑝 =𝜕𝐿

𝜕𝑥 = (𝑚1 +𝑚2)𝑥

Substituindo a equação

𝐻 = 𝑝𝑥 −1

2𝑚1 +𝑚2 𝑥 2 + 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥

𝑝 =𝜕𝐿

𝜕𝑥 = (𝑚1 +𝑚2)𝑥

no hamiltoniano

obtemos 𝐻 =𝑝2

2 𝑚1 +𝑚22+ 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥

Dinâmica Hamiltoniana

Calculando as equações de Hamilton

𝐻 =𝑝2

2 𝑚1 +𝑚22+ 𝑚1 −𝑚2 𝑔𝑥

𝑞 𝑖 =𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑖→ 𝑥 =

𝜕𝐻

𝜕𝑝=

𝑝

𝑚1 +𝑚2

𝑝 𝑖 = −𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑖 → 𝑝 = −

𝜕𝐻

𝜕𝑥= 𝑚1 −𝑚2 𝑔

Combinando as duas expressões, obtemos a expressão para a aceleração

com que as massas se deslocam

𝑥 =𝑚1 −𝑚2

𝑚1 +𝑚2𝑔

Dinâmica Hamiltoniana

Exemplo18:

Dinâmica Hamiltoniana

Dinâmica Hamiltoniana

Dinâmica Hamiltoniana

Dinâmica Hamiltoniana