• Medidas de dispersão.
Para preparar uma festa anual são necessários alguns dias. O Sr. António, que faz parte da comissão de festas há já alguns anos, anotou, em dez anos consecutivos, os dias necessários para os preparativos.
Os dados são os seguintes:
Indique os valores extremos, isto é, os valores máximo e mínimo.
Chama-se amplitude de um conjunto de dados à diferença entre o maior e o menor desses valores.
Calcule a amplitude do conjunto de dados.
O que é amplitude?
Amplitude de um conjunto de dadosDuas das medidas da variabilidade de um conjunto de dados
são a amplitude e a amplitude interquartil.
Chama-se amplitude e representa-se por R (Range) de um conjunto de dados, x1 , x´2, … , xi, … , xn , à
diferença entre o máximo e o mínimo do conjunto de dados.
Se os dados estão agrupados em classes, faz-se uma estimativa para a amplitude calculando a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira.
Vejamos: A amplitude interquartil é outra medida de variabilidade que vamos estudar para
além da amplitude (R) .
Ao contrário da amplitude, a amplitude interquartil (IQR) é uma medida resistente.
Já que é definida à custa de medidas resistentes que são os quartis e é representada pela diferença entre o 3.° e o 1.° quartil.
Amplitude interquartil
Amplitude interquartis
Amplitude interquartis é a diferença entre o 3.o quartil e o 1.o quartil, isto é, igual a 3.o quartil – 1.o quartil
Desvio médio
Existem duas expressões para representar a variância. Ambas são obtidas a partir da soma dos quadrados dos desvios relativamente à média. São elas:
A variância não é geralmente utilizada como medida de dispersão mas é o suporte para o cálculo do desvio-padrão.
ou
Quando se utiliza s2 ?Quando se utiliza δ2?
Quando x1 , x2 , … , xn representam uma amostra.
Quando x1 , x2 , … , xn representam uma população.
A interpretação do significado da variância, em situações concretas, levanta problemas. Por exemplo, se estivermos a estudar a altura de um grupo de pessoas em centímetros, a média das alturas ainda se exprime em centímetros, mas a variância exprime-se em centímetros
quadrados.
O desvio-padrão representa-se por s ou s conforme a variância seja s2 ou δ2 e é igual à raiz quadrada positiva da variância.
Propriedades do desvio-padrão
1. O desvio-padrão é sempre não negativo.
3. Se o desvio-padrão é igual a zero é porque não existe variabilidade, isto é, osdados são todos iguais.
2. Quanto maior for o desvio-padrão maior será a dispersão dos dados em relaçãoà média.
O processo de cálculo do desvio-padrão para dados agrupados em classes ou em
tabelas de frequência é o mesmo que para os dados simples.
Utilizar a calculadora gráfica para determinar o desvio-padrão
Pode provar-se, tal como se verifica no exemplo anterior, que:
Ao adicionarmos a cada dado a constante k , a média vem adicionada dessa constante e o desvio-padrão não se altera.
Utilizar a calculadora gráfica para determinar o desvio-padrão
Pode provar-se, tal como se verifica no exemplo anterior, que:
Ao multiplicar cada dado por uma constante diferente de zero, k ,a média e o desvio-padrão vêm multiplicados por essa constante.
• Essencial
O ESSENCIAL
Define-se amplitude e representa-se por R (Range) como sendo a diferença entre os valores maior e menor das observações. Por exemplo:
O ESSENCIAL
A amplitude interquartis = Q3 - Q1 . Por exemplo:
amplitude interquartis = 184 - 163 = 21
O ESSENCIAL
Sendo x1 , x2 , … , xn os n valores observados de uma variável quantitativa a sua média, chama-se desvio médio, e representa-se por d , ao valor assim obtido:
x
Para dados simples:Para dados agrupados
em tabelas de frequências:
Se os dados estão agrupados em classes, xi e fi são, respectivamente, o ponto médio e a frequência absoluta da classe i ; k é o número de classes.
O ESSENCIAL
Define-se variância, e representa-se por s2 , como sendo a medida que se obtém adicionando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra menos 1 .
O ESSENCIAL
A variância envolve a soma de quadrados.Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados da amostra, calcula-se a raiz quadrada positiva da variância e obtém-se o desvio-padrão.
• Medidas de dispersão.