Medidas de Tendência Central e Dispersão

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Medidas de Tendência Central e Dispersão


• Formato de sino onde a maioria dos valores se concentram em torno

da média.

• É uma distribuição simétrica em relação a média

• Variável quantitativa

σσσσ = 1

µµµµ = 0

Distribuição normal



Por que é importante que as variáveis possam ser descritas por uma distribuição normal?

Para utilizar uma gama modelos estatísticos mais robustos e utilização de testes paramétricos



População (N) | Média: µµµµ | Variância: σσσσ2

Se a distribuição da população for normal e a amostra

retirada aleatoriamente for maior que 30 casos, vale afirmar

que a distribuição da amostra também será normal

Amostra (n) | Média: x | Variância: s2


Bernoulli (1654-1705)

Moivre(1667-1754)

Gauss (1777-1855)Teorema binomial (Ars conjectandi, Bernoulli 1713)

Approximatio ad summam terminorum binomii (Moivre, 1733)

0

5

10

15

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

% y

Acontecimentos favoráveis

x

Distribuição binomial simétrica Distribuição normal

Distribuição binomial tende para a normal quando a amostra > 30

Histograma: (p=q=0,5) n=31, ou seja, (0,5 + 0,5)31

*Probabilidade de sucesso: p e Probabilidade de falha q=1-p



MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU DE POSIÇÃO

Representação por meio de um valor único ou central, determinado conjunto de informações

que variam

Valor central = “abstração”

Medidas mais utilizadas em análise estatística

Média Aritmética

Mediana

Moda

Quartis

Conceitos


soma de um conjunto de observações (∑∑∑∑ x) dividida

pelo número de observações (n)

∑∑∑∑ xnx =

x

xX1+X2+X3+...+Xn

=

n

Média Aritmética ou Média ( )


Centro de gravidade – ponto de equilíbrio

Média Aritmética

19, 4, 14, 4, 25, 4, 10, 12, 14, 4, 16, 3, 20, 21, 4

Média = 12


É o valor que divide a distribuição ordenada da amostra em duas partes iguais

~

Mediana

50%50%

Mediana (x)



Mediana

12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4

Mediana = 12



Mediana

Média = 16Moda = 4Mediana = 12Amplitude = 46

12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4

19, 4, 14, 4, 25, 4, 10, 12, 14, 4, 16, 3, 20, 21, 4Média = 12Moda = 4Mediana = 12Amplitude = 22


• Não sofre influência quando temos no conjunto

valores discrepantes (tanto para mais como para

menos)

• Para definir a mediana os dados devem estar

ordenados (crescente ou decrescente)

• A mediana é o ponto central da distribuição

• Quando o total de observações for um número par a

mediana é a média aritmética dos valores centrais

Propriedades da mediana


ComparaçãoMÉDIA X MEDIANA


Simetria

MÉDIA<MEDIANA<MODA

MÉDIA=MEDIANA=MODA

MÉDIA>MEDIANA>MODA


• Valor mais freqüente em uma distribuição

• Única medida de tendência central que pode ser utilizada para variáveis categóricas

• Uma distribuição pode ser modal, bimodal ou polimodal

Moda

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


Estatura em 213 estudantes universitários da UFRGS (Callegari-Jacques)

Moda

0

5

10

15

20

25

30

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0

5

10

15

20

25

30

Mulheres (n=140 – Média 164) Homens (n=73 – Média 177)


Quartis

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Q1Q3

P25P75

Q2

P50

Mediana

Valores que dividem uma série ordenada de dados em quatro

grupos, cada um reunindo 25%.

• A distância interquartílica (Q3 – Q1) representa melhor uma

distribuição assimétrica, quando comparada ao desvio-padrão

ou amplitude.


MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE

Amplitude de VariaçãoVariância

Desvio PadrãoQuartis e Percentis

Distância Interquartílica

Conceitos


Definição:

Diferença entre o mais alto e o mais baixo escore em uma distribuição

A = S – I

S – escore mais alto

I – escore mais baixo

Amplitude


• Vantagens:

• Rápido e fácil

• Desvantagens:

• Índice aproximado da variabilidade de uma distribuição

• Sensível a um único valor

Amplitude


Exemplo de Amplitude

Turm a Idade Am plitude

A 1 3 4 5 6 7 8 8 – 1 = 7

B 2 4 5 6 6 7 9 9 – 2 = 7

C 1 2 3 3 4 4 4 – 1 = 3

D 1 2 3 3 4 13 13 – 1 = 12


Centro de gravidade – ponto de equilíbrioMédia = 16Moda = 4Mediana = 12Amplitude = 46

12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4

19, 4, 14, 4, 25, 4, 10, 12, 14, 4, 16, 3, 20, 21, 4Média = 12Moda = 4Mediana = 12Amplitude = 22

Amplitude da variação


Variância

Média = 16Moda = 4Mediana = 12Amplitude = 46

12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4

Desvio = X - X

Exemplo: 49 – 16 = 33


Variância

Média = 15,857Moda = 4Mediana = 12Amplitude = 46

12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4

Total12-15,85712

49-15,857494-15,8574

26-15,857254-15,8574

25-15,857264-15,8574

12-15,857123-15,8573

30-15,857304-15,8574

25-15,857254-15,8574

20-15,857204-15,8574

ResX-XXResX-XX

Quanto > desvio > distância da média


Variância


12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4

0Total-3,85712-15,85712

33,14349-15,85749-11,8574-15,8574

10,14326-15,85725-11,8574-15,8574

9,14325-15,85726-11,8574-15,8574

-3,85712-15,85712-12,8573-15,8573

14,14330-15,85730-11,8574-15,8574

9,14325-15,85725-11,8574-15,8574

4,14320-15,85720-11,8574-15,8574

ResX-XXResX-XX

Soma dos desvios acima da média éigual a soma dos desvios abaixo da média


Variância


12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4

2483,714Total14,8764512-15,85712

1098,45849-15,85749140,58844-15,8574

102,880426-15,85725140,58844-15,8574

83,5944525-15,85726140,58844-15,8574

14,8764512-15,85712165,30243-15,8573

200,024430-15,85730140,58844-15,8574

83,5944525-15,85725140,58844-15,8574

17,1644520-15,85720140,58844-15,8574

ResX-XXResX-XX ΣΣΣΣ(x – x)2

Limitação: neste formato só é possível comparar conjuntos de dados com tamanhos idênticos (mesmo número de observações)


ΣΣΣΣ(x – x)2

(n-1)

n

i=l

s2 =

Variância

2483,714Total14,8764512-15,85712

1098,45849-15,85749140,58844-15,8574

102,880426-15,85725140,58844-15,8574

83,5944525-15,85726140,58844-15,8574

14,8764512-15,85712165,30243-15,8573

200,024430-15,85730140,58844-15,8574

83,5944525-15,85725140,58844-15,8574

17,1644520-15,85720140,58844-15,8574

ResX-XXResX-XX

=2.483,714

14= 177,4082


• Vantagens:

• Valores absolutos

• Dá maior ênfase aos valores extremos (>sensibilidade ao grau de desvio na distribuição)

• Desvantagens:

• Dificuldade na interpretação devido a alteração da medida (elevado ao quadrado)

• Valores elevados

• Apresenta unidade de medida igual ao quadrado da unidade de medida dos dados originais

Ex: variável medida em metros, a variância será expressa em m2

Variância


Desvio Padrão

vs2s = Vantagens

• Apresenta as propriedades da variância

• Tem a mesma unidade de medida dos dados originais


vs2s = s= 13

X=16

Desvio Padrão


Relação entre a média e desvio padrão em uma distribuição normal

vs2s =

Desvio Padrão


+-1s

+-1,96 s

+-2,58 s

Relação entre a média e desvio padrão em uma distribuição normal

Desvio Padrão


Comparações


Exercício

Um treinador deseja selecionar, dentre os jovens que estão prestando

serviço militar no quartel Q, aqueles com uma estatura de no mínimo 180

cm, para formar um time de basquete. Que percentagem é esperada de

jogadores em potencial, sabendo-se que a estatura tem distribuição

normal e, nesses jovens, a média é 175 cm e o desvio padrão, 6 cm?


ResultadoPara X = 175, z = (x - µ)/σ = 175 – 175) / 6 = 0

Para x = 180, z = (x - µ)/σ = 180 – 175) / 6 = 0,83

A área entre z = 0 e z = 0,83 é 0,2967 e a área além de 0,83 é (0,5 – 0,2967) = 0,2033

175 180

Portanto, 20,33% dessa população são constituídos de indivíduos com estatura igual ou superior a 180 cm.

0,830 Z (variável padronizada)

(estatura)


Exercício

Se 140 jovens estão prestando serviço militar no quartel Q o número

esperado de rapazes que pode ser convidado para participar do time de

basquete é?


Resultado

175 180

Portanto, 20,33% de 140 = 0,2033 x 140 = 28,46, isto é 28 jovens.

0,830 Z (variável padronizada)

(estatura)


Tela do Epi Info


“Nós (epidemiologistas) usamos a

estatística da mesma maneira que um

bêbado usa um poste de luz: muito

mais para suporte do que para

iluminação”

Winifred Castle


• www.famat.ufu.br/ednaldo/ednaldo.htm

• Jekel, James F. Epidemiologia, bioestatística e medicina preventiva — Porto

Alegre: Artes Médicas Sul, 1999

• Beiguelman, Bernardo. Curso prático de bioestatística — Ribeirão Preto, SP:

Fundação de Pesquisas Científicas de Ribeirão Preto, 2002

• Métodos quantitativos em medicina / Eduardo Massad... [et al.] — Barueri, SP:

Manole, 2004

• Leão, Ennio, et al. Pediatria ambulatorial — 3ª ed. Belo Horizonte: COOPEMED,

1998

• Triola, Mario. Introdução à Estatística. LTC – Livros Técnicos e Científicos

Editora S.A., 1999

• Epi Info 6.04d Manual

• Sidia M. Callegari-Jacques. Bioestatística – Princípios e Aplicações – Editora Artmed.

Referências

Technology

Medidas de Tendência Central e Dispersão