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Professor: Dr. Wilfredo Falcón Urquiaga
Professor Titular
Engenheiro em Telecomunicações e Eletrônica
Doutor em Ciências Técnicas
Email: [email protected]
Aula # 10
Medidas de Tendência Central e Medidas de
Dispersão
ESTATÍSTICA
DESCRITIVA INFERENCIAL
É o ramo da estatística que em
base ao estudo de uma mostra
representativa de uma
população, faz afirmações de
todo o universo da população.
É o ramo da estatística que
descreve e sumariza um conjunto
de dados de uma população, sim
fazer conclusões ou inferências da
população completa.
Objetivo: organizar, sumarizar
dados ao invés de usar os dados
em aprendizado sobre a população.
MEDIDAS USADAS PARA DESCREVER UM
CONJUNTO DE DADOS
MEDIDAS DE
TENDÊNCIA CENTRAL
MEDIDAS DE
DISPERSÃO
Dispersão é sinônimo de
variação ou variabilidade.
Valor que representa a
tendência dos dados.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Medida de tendência central é um valor
único que tenta descrever as
características de um conjunto de dados,
identificando uma posição central
(tendência) dentro do conjunto de dados.
TIPOS DE MEDIDAS DE TENDÊNCIA
CENTRAL
MÉDIA
MEDIANA
MODA
MÉDIA
A média, conhecida como média aritmética, é a medida de
tendência central mais utilizada.
Calcula-se como a soma de todos os valores de um grupo
de dados não agrupados, dividida pelo número de dados. Ou
seja, a media aritmética de uma amostra é um número que,
levando em conta o total de elementos da amostra, pode
representar a todos.
EXEMPLO DE CÁLCULO DA MÉDIA
Calcular a média dos lançamentos convertidos.
MÉDIA PARA DADOS AGRUPADOS OU EM CLASSES
Numa distribuição de frequências em que os dados se
encontram distribuídos por classes, é necessário determinar o
ponto médio de cada classe, também designado por marca,
habitualmente assinalado como a variável xi. Posteriormente
as marcas multiplicam-se pelas respectivas frequências
absolutas, resultando a média, da soma destes valores
divididos entre o total de indivíduos.
Idade xi ni Ni
[0-10) 10/2=5 3 3
[10-20) 30/2=15 6 9
[20-30) 50/2=25 7 16
[30-40) 70/2=35 12 28
[40-50] 90/2=45 3 31
EXEMPLO:
MEDIANA
A mediana tem a característica de dividir um conjunto
ao meio. Isto é, a mediana de um conjunto o separa em duas
partes de modo que 50 % dos valores sejam menores que ela
e 50 % dos valores sejam maiores que ela, ou seja, em um
conjunto onde seus elementos estão dispostos em ordem
crescente ou decrescente a mediana é o termo central desse
conjunto ou o elemento que está bem no meio.
Quando os dados estão ordenados, e o número de dados
(n) é um número ímpar, a mediana é o valor central das
observações. Quando o número de dados é par, a mediana é
a media aritmética dos dois valores do meio.
EXEMPLOS DE CÁLCULO DA MEDIANA
Para se calcular a mediana de um conjunto de dados deve-se fazer:
1. Ordenar os dados de maior ao menor ou crescentemente.
2. Verificar se há um número par ou ímpar de valores no conjunto.
3. Se for ímpar a mediana será o valor que ocupa a posição central, e se
fora par será a media aritmética dos dois valores centrais.
EXEMPLOS
MEDIDAS DE CENTRALIDADE
Há uma série de medidas de posição semelhantes na sua
concepção à mediana, embora não sejam medidas de
tendência central.
A mediana divide a distribuição em duas partes iguais
quanto ao número de elementos de cada parte.
Os quartis permitem dividir a distribuição em quatro
partes iguais quanto ao número de elementos de cada uma.
Os decis em dez partes.
Os centis em cem partes iguais.
Quartis
Decis
Percentis
QUARTIS
Dado um conjunto ordenado (ordem crescente) de valores,
o primeiro quartil, Q1, é o valor que divide o conjunto em
duas partes tais que um quarto ou 25 % dos valores sejam
menores do que ele e três quartos ou 75 % dos restantes
sejam maiores.
O segundo quartil Q2, é o valor que divide ao meio ao
conjunto, ficando um 50 % dos valores menores a ele e um
50 % maior que ele. Q2 é igual à MEDIANA.
O terceiro quartil, Q3, é o valor que divide o conjunto em
duas partes tais que um quarto ou 25 % dos valores sejam
maiores do que ele e três quartos ou 75 % dos restantes
sejam menores.
QUARTIS
Os quartis calculam-se pela fórmula .
Onde n é o número de elementos do conjunto e i é o quartil
que vou a calcular (1, 2 ou 3).
Se o valor obtido Qi é um número inteiro então o valor do
quartil procurado é a Media Aritmética do valor Qi do
conjunto e do valor Qi+1.
Se o valor obtido Qi é um número rial então o valor do
quartil procurado é o valor do conjunto correspondente à
posição “parte inteira de Qi somando 1”.
EXEMPLO QUARTIS
Calcular os três quartis do conjunto: 9, 11, 7, 12, 11, 14, 3, 16.
1. Organizar o conjunto: 3, 7, 9, 11, 11, 12, 14, 16 (n = 8)
EXEMPLO QUARTIS
Calcular os três quartis do conjunto: 9, 11, 7, 12, 11, 14, 3.
1. Organizar o conjunto: 3, 7, 9, 11, 11, 12, 14 (n=7)
EXEMPLO QUARTIS
Conjunto: 3, 7, 9, 11, 11, 12, 14 (n=7)
12
Decis e Centis
Para o cálculo dos decis (9 valores) e dos centis (99
valores) utiliza-se a mesma fórmula, só que no
denominador para o cálculo dos decis coloca-se 10 e para
o cálculo dos centis coloca-se 100.
MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS OU EM CLASSES
Para calcular a mediana (Me) o primeiro que devemos
fazer é identificar a classe mediana. Para elo procuramos
o intervalo no que se encontra N / 2.
Me – Mediana
L(inferior) – Limite Inferior da classe mediana (20)
N(cme-1) – Frequência Absoluta Acumulada da classe anterior à classe mediana (9)
n(cme) - Frequência Absoluta da classe mediana (7)
MODA
Embora a palavra “moda” possa estar
relacionada a desfiles e roupas em geral, em um
sentido mais amplo, significa uma acção, uma
atitude ou um pensamento que é mais praticado
ou frequente.
A moda é o valor que ocorre com mais
frequência em determinada amostra.
EXEMPLOS DE CÁLCULO DA MODA
Moda: Engenharia
MODA PARA DADOS AGRUPADOS OU EM CLASSES
A Moda (Mo) numa tabela de frequência em classes está
na classe modal (classe com maior valor de frequência
absoluta). Se tenho duas classes modais, tenho duas
modas e a distribuição de frequência é bimodal.
Mo – Moda
L(inferior) – Limite Inferior da classe modal (30)
n(cmo) - Frequência Absoluta da classe modal (12)
n(cmo-1) – Frequência Absoluta da classe anterior à classe modal (7)
n(cmo-1) – Frequência Absoluta da classe posterior à classe modal (3)
MEDIDAS DE DISPERSÃO
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Medida de dispersão é um conceito que
visa determinar a variabilidade (ou
dispersão) dos dados em relação à
medida de localização do centro da
amostra em análise.
TIPOS DE MEDIDAS DE DISPERSÃO
Amplitude
Variância
Desvio Padrão
AMPLITUDE
A amplitude é definida como sendo a diferença entre o
maior e o menor valor do conjunto de dados.
EXEMPLOS
AMPLITUDE
No entanto, na prática a amplitude não é uma
medida muito boa. Ela tem a vantagem de ser
simples e rápida de calcular. Porém tem a
desvantagem de depender apenas de dois valores
de toda a distribuição (o menor valor e o maior
valor). Com isso, ela pode ser claramente
influenciada por um único valor. Precisamos então
de medidas que levem em conta todos os valores
da distribuição. Essas medidas são a Variância e o
Desvio Padrão.
CONCEITO DE DESVIO
Desvio é a distância de um valor arbitrário ao valor
médio da variável. Pode-se disser também como a
diferença entre cada valor e a media.
EXEMPLO
NOTA: A soma dos desvios é sempre igual a zero.
VARIÂNCIA
É uma medida para verificar se os valores
apresentados em um conjunto de dados estão
dispersos ou não.
Dado um conjunto de dados, a variância (S2) é uma
medida de dispersão que mostra o quão distante cada
valor desse conjunto está do valor central (médio).
A variância de uma amostra de N elementos é
definida como: a soma ao quadrado dos desvios de
cada elemento em relação a sua média, dividido por
(N-1).
EXEMPLO DE CALCULO DE VARIÂNCIA
A variância considera todos os valores da
distribuição, oferecendo uma vantagem sobre
amplitude que considera somente dois valores. Por
isso ela é mais sensível ao grau de desvio da
distribuição.
Um problema da variância é a sua interpretação
difícil. Como no numerador da fórmula, os valores
dos desvios são elevados ao quadrado, a unidade
original de medida acaba sendo alterada. Por
exemplo: de idade, para idade ao quadrado.
Para corrigir esse problema, podemos utilizar a
medida de desvio padrão.
CONCLUSÕES
É uma medida também para verificar se os valores
apresentados em um conjunto de dados estão
dispersos ou não.
Consiste na raiz quadrada da variância e é usada
simplesmente para colocar o valor da variabilidade na
unidade original.
DESVIO PADRÃO
EXEMPLO DE CALCULO DE DESVIO PADRÃO
EXERCICIO
A seguinte tabela presenta a informação da nota de
Matemática de uma mostra de 6 alunos. Calcule:
média, mediana, moda, amplitude, variância e
desvio padrão.
Aluno Nota Exame
Matemática
João 7
Manuel 12
Edith 16
Clarissa 8
Alberto 3
Mauro 11
BIBLIOGRAFÍA Cramer, H.; “MATHEMATICAL METHODS OF STATISTICS”, Vol. I e II, McGraw-
Hill,1946.
Murteira, B. et all;”INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA”, 2da Edição, McGraw-Hill,
2007.
https://falconugs.wordpress.com/ Blog. Wilfredo Falcón Urquiaga (pass:enginf).
Reis, E.; ESTATÍSTICA DESCRITIVA; Sílabo, 2000, 5ª ed..
Reis, Elizabeth, P. Melo, R. Andrade & T. Calapez, ESTATÍSTICA APLICADA (Vols. 1
e 2), 2003, 5ª edição, Ed. Sílabo.
Reis, E.; Melo, P.; Andrade, R.; Calapez, T, EXERCÍCIOS - ESTATÍSTICA
APLICADA (Vols. 1 e 2), 2003, Ed. Sílabo.
Feller, W.; “AN INTRODUTION TO PROBABILITY THEORY AND ITS
APPLICATION”, Vol. I, J. Willey & Son.
Murteira, B.,; “DECISÃO ESTATÍSTICA PARA GESTORES”, Edição UAL.
Murteira, B.,;”PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA”, Vol. I e II, McGraw-Hill,1990.
