7 Resultados
Neste capítulo, primeiramente, será feita uma análise geral do banco de
dados utilizando estatísticas descritivas e histograma. A partir daí será feita uma
análise sobre a distribuição de S, custo total de sinistros, utilizando o princípio da
restrição à Poisson Composta, onde seus parâmetros dão possibilidade ao
cálculo de aproximações para a distribuição de S, tais como Normal, Gama
Transladada e Normal Power.
Além das aproximações, para observar o comportamento teórico da
distribuição de S e criar uma análise comparativa com as aproximações, será
utilizado o método recursivo de Panjer para o cálculo da mesma. Para tanto,
associar-se-ão probabilidades discretizadas de uma Gama e Log-Normal, com
parâmetros provindos da Poisson Composta. Para testar a aderência de tais
distribuições aos dados será utilizado o teste de aderência Qui-Quadrado como
ferramenta de análise. Além disso, para análise em longo prazo, considerar-se-á
que a distribuição de X, denotada por V(x), não se altera ao longo do tempo.
E finalmente, será feita uma análise individual para cada cobertura de
resseguro utilizando o cálculo da distribuição do custo total de sinistros retidos
pela seguradora ( S~
) através de aproximações e, quando possível, através do
cálculo recursivo de Panjer. Onde em tal análise será levado em consideração à
probabilidade de ruína de modo discreto e finito, em um horizonte de 1 ano
( )1,(~ Uψ ) e de 5 anos ( )5,(~ Uψ ), e de modo contínuo, pelo limite superior t > ∞
( )(UΨ ). Para o cálculo das probabilidades em um horizonte discreto, onde t ≥ 1,
será considerado um crescimento de dez por cento na ocorrência de sinistros
anual, baseado em informações contidas no banco de dados referentes ao
prêmio ganho anual.
Também será feita uma análise comparativa entre estes métodos de
cálculo de ruína, fazendo um levantamento da necessidade de capital de cada
limite de retenção para cada método de cálculo. Vale ressaltar que, para esta
dissertação, o prêmio será calculado como ( ) )()1()(1~
SESEP((
δδ −−+= , e
Resultados 60
inicialmente os carregamentos de prêmio serão: δ = 0,2 e δ(
= 0,3, de maneira
a ilustrar o fato de que, geralmente, δ < δ(
.
Finalizando o capítulo, será feita uma análise de sensibilidade de alguns
fatores, tais como: os carregamentos do prêmio do segurador (δ ) e do
ressegurador (δ(
); e o fator de crescimento de sinistro ao longo dos 5 anos
analisados. Para tanto, primeiramente será considerado δ = δ(
= 0,2 para o
caso em que a seguradora não obtém lucros, nem perdas em comissão,
significativos no seu cálculo de prêmio retido. E também será considerado um
crescimento de 0% no número de sinistros ocorridos anual. Com isso, espera-se
ver o quão sensível são os resultados perante as mudanças desses fatores.
7.1. Resultados Gerais
Para os cálculos e análises das metodologias citadas foi utilizada uma
base de dados de uma companhia de seguros não identificada. Esses dados são
compostos apenas pelos valores de sinistros ocorridos e avisados em um
período de um ano, juntamente com um histórico de quatro anos do número de
ocorrências de sinistros anual e também do prêmio ganho anual. No entanto, os
aqui feitos não consideram a reserva run-off15 da seguradora. A seguir foi feito
uma estatística descritiva completa da variável X.
15
Provisão constante de contratos de resseguro pela qual o ressegurador fica responsável, após o
seu encerramento ou rescisão, por todos os riscos em vigor após a data pactuada, até a expiração
do último risco ressegurado.
Resultados 61
Média 30.343,36
Erro padrão 2.305,04
Mediana 14.379,59
Moda 120
Desvio padrão 47.798,35
Variância da amostra 2.284.682.591,51
Curtose 18,60
Assimetria 3,73
Intervalo 415.404,70
Mínimo 80
Máximo 415.485
Soma 13.047.646,21
Contagem 430
Estatística Descritiva de X
Fonte: Dados próprios
Tabela 11 Estatística Descritiva de X – valor individual do sinistro
Figura 5 Histograma da distribuição empírica de X
Resultados 62
Na figura 5 é possível ver uma breve estatística descritiva e o
comportamento da variável aleatória X, valor do sinistro individual. Restringiu-se
então a distribuição de S, total custo com sinistros, a uma Poisson Composta de
parâmetro λ. Ou seja, ·, onde V(x) é a distribuição de
probabilidade da variável aleatória X. Isto foi feito, pois uma Poisson Composta
implementa freqüência e severidade, possui resultados teórica e algumas
propriedades que facilitam os cálculos.
Nesse estudo, o parâmetro λ, referente à variável aleatória N, número total
de sinistros no tempo analisado, foi calculado através de um histórico dos
últimos quatro anos do número total de sinistros, excluindo os sinistros com
valores iguais à zero.
Semestre de Número de
ocorrência sinistros
2000-1 45
2000-2 59
2001-1 99
2001-2 125
2002-1 72
2002-2 35
2003-1 50
2003-2 31
Total - 516
Número de sinistro, por
semestre e ano
Fornte: Dados Próprios
Total por ano
104
224
107
81
Tabela 12 Número de sinistro, por semestre e ano
Desta análise foi escolhido o máximo entre os valores anuais de sinistros,
ou seja, foi considerado λ = 224. Com isso foi possível calcular os parâmetros
sobre a distribuição de S, utilizando a Poisson Composta em questão e as suas
propriedades, obteve-se a tabela 13 a seguir.
Resultados 63
λλλλ = 224
Média 6.796.913
Variância 716.819.951.960
E(S2) 46.914.851.371.913
Parâmetros da
distribuição de S
Coeficiente de
Assimetria0,23678626
Fonte: Dados próprios Tabela 13 Parâmetros da distribuição de S
Com tais parâmetros as aproximações de S podem ser calculadas, tais
como a Normal, Gama Transladada e Normal Power.
A distribuição de S também foi calculada de forma recursiva pelo método
de Panjer. É sabido que esse método de cálculo só é possível se a distribuição
de X for discreta, logo se associaram probabilidades discretizadas de uma Gama
e uma Log-Normal à X. Tais distribuições foram escolhidas pois, de acordo com
Kaas (2008), são boas representantes do comportamento do custo de sinistros
individuais e por se adequarem bem ao cálculo da distribuição de S por Panjer.
Na escolha das distribuições a serem associadas, utilizou-se o teste de
aderência Qui-Quadrado, pois este determina se um conjunto de dados, uma vez
tratados em freqüência, adere suficientemente a uma distribuição de
probabilidade teórica.
80 41620 345 329,697 0,7103 80 41620 345 332,733 0,4523
41620 83161 46 55,406 1,5967 41620 83161 46 42,958 0,2154
83161 124701 20 23,054 0,4046 83161 124701 20 17,871 0,2537
124701 166242 5 10,784 3,1022 124701 166242 5 9,714 2,2875
166242 207782 8 5,324 1,3446 166242 207782 8 6,039 0,6370
207782 249323 2 2,713 0,1873 207782 249323 2 4,078 1,0585
249323 290863 1 1,411 0,1197 249323 290863 1 2,914 1,2568
290863 332404 2 0,745 2,1160 290863 332404 2 2,170 0,0133
332404 373944 0 0,397 332404 373944 0 1,668
373944 415485 0 0,214 373944 415485 0 1,315
Total 9,5814 Total 6,1744
Valor Crítico 11,070 Valor Crítico 11,070
Valor Observado 9,581 Valor Observado 6,174
Poder do teste (1-
ββββ)8,8%
Poder do teste (1-
ββββ)29,0%
Fonte: Dados Próprios Fonte: Dados Próprios
Limite inferior Limite superior o(i) e(i) Teste χχχχ2
Teste Qui-Quadrado para a aderência do
dados à distribuição Gama
Teste Qui-Quadrado para a aderência do dados
à distribuição LogNormal
Limite inferiorLimite
superioro(i) e(i) Teste χχχχ2
Tabela 14 Teste de aderência Qui-Quadrado
Resultados 64
Figura 6 Distribuição de freqüências acumuladas dos dados observados e das
distribuições em análise
Pela tabela 14 e figura 16 nota-se que o tanto a Gama, quanto a
LogNormal, aderem-se muito bem a variável aleatório X, tornando plausível dizer
que X pode ser distribuído por tais distribuições.
Pela figura 7 observa-se o comportamento da variável ‘custo total de
sinistros’, sendo possível notar uma comparação da distribuição S, em sua
totalidade, entre os seus diferentes métodos de cálculos: aproximações pela
Normal, Gama Transladada e Normal Power; e o cálculo recursivo de Panjer.
Resultados 65
Figura 7 Comportamento comparativo entre a densidade de S e suas diferentes formas
de cálculo
Neste momento é pertinente a análise específica para resseguros. Do
ponto de vista de qualquer contrato de resseguro, é possível então reescrever X
da seguinte maneira: , onde representa a parte dos sinistros
individuais retida pela seguradora, e a parte cedida a resseguradora. Como o
foco deste trabalho é a necessidade de capital da seguradora em relação ao
limite de retenção, logo se tem maior interesse em estudar a variável X da
maneira desmembrada, principalmente na parcela retida pela seguradora.
Como já mencionado, para se utilizar o método de Panjer no cálculo de S,
foram associadas probabilidades discretizadas de uma Gama e uma LogNormal
ao X, o mesmo deveria ser feito a e . No entanto, dizer que e seguem
uma LogNormal com parâmetros específicos, não implica que
também seguirá uma LogNormal. Já a distribuição Gama possui uma série de
propriedades que garantem tal afirmação. Dentre elas, útil para o caso do
resseguro proporcional: Para qualquer κ > 0 tem-se que se ,
logo .
Já no caso do resseguro não proporcional, terá que ser feito um
truncamento na distribuição Gama, separando a parte retida pela seguradora e a
parte repassada a resseguradora. No entanto, tal cálculo e fundamento serão
mais bem ilustrados na seção referente aos resseguros não proporcionais.
Resultados 66
Da mesma maneira que se desmembrou X, é possível desmembrar S:
, onde é a parte total dos sinistros retidos pela seguradora, e a
parte cedida a resseguradora.
No entanto, S, S~
e S(
devem ser tratados e calculados de maneira
separada, pois sabemos que somo de Poisson Composta independentes resulta
numa Poisson Composta com seus parâmetros somados, já se a somo for
dependente nada pode ser afirmado.
Para fins comparativos, decidiu-se utilizar em todos os cálculos ao longo
desse estudo a distribuição de calculada por Panjer somente com as
probabilidades discretizadas da Gama.
7.2. Análise dos resultados
A partir dessa parte do estudo considerar-se-á que o capital inicial da
seguradora poderia variar entre $500.000 e $4.000.000. O valor das várias
formas de cálculo de probabilidade de ruína será calculado variando a cobertura
de resseguro e seu limite de retenção.
Para o cálculo das probabilidades em um horizonte discreto considerando t
= 1, 2, 3, 4 e 5, a fins ilustrativos, fixaram-se as ruínas de cada ano de acordo
com as normas legislativas da Inglaterra, onde, de acordo com Claus (2006),
estas determinam que a ruína máxima anual permitida deve seguir o seguinte
comportamento: 5,0*)( tRuínaMáxP t = , onde t representa o tempo discreto.
Com isso então, foram fixadas ruínas em um horizonte de 5 anos, e a partir
daí foram calculadas os capitais mínimos necessários para evitar a extrapolação
das ruínas máximas estipuladas.
Resultados 67
1 0,05
2 0,10
3 0,15
4 0,20
5 0,25
ΨΨΨΨtt
Tabela 15 Ruínas fixadas de acordo com a legislação da Inglaterra
E também, por fim, serão fixados o capital inicial e a probabilidade de
ruína, no caso contínuo, dando a possibilidade de encontrar um limite de
retenção correspondente.
7.2.1. Quota-Parte
Como já foi citado, este é um tipo de resseguro proporcional no qual a
seguradora repassa ao ressegurador uma quota fixa percentual dos seus
negócios, e o ressegurador se responsabiliza pela mesma proporção em cada
um dos sinistros ocorridos.
7.2.1.1. Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 1
No horizonte de apenas 1 ano, pelas figuras 8, 9 e 10, é possível notar que
não existem grandes discrepâncias entre os três tipos de aproximação, todas
levaram a mesma conclusão. Foi possível observar dois cenários diferentes e
dependentes do capital inicial da seguradora. Primeiramente, com valores de
capital baixos, implicar em reter o máximo possível para diminuir a probabilidade
de ruína. Isso, pois o prêmio de resseguro faz com que o prêmio total retido pela
seguradora seja muito baixo, podendo até ser negativo. Desta maneira, contratar
um resseguro alto é arriscado, podendo até levar a ruína. No outro caso, quando
o capital da seguradora é mais elevado, evidencia-se um comportamento mais
linear entre a ruína e o limite de retenção, onde quanto mais se retém maior
seria a probabilidade de ruína.
Resultados 68
Figura 8 Relação entre o limite de retenção e probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Normal (Quota-Parte)
Figura 9 Relação entre o limite de retenção e probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Gama Transladada (Quota-Parte)
Resultados 69
Figura 10 Relação entre o limite de retenção e probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Normal Power (Quota-Parte)
Da mesma forma, o uso do método recursivo de Panjer para construir a
distribuição do custo total de sinistros retidos pela seguradora se deu como
possível, primeiramente, pela propriedade da distribuição Gama, já citada
anteriormente, e também por que o cálculo recursivo é feito sobre , o qual, no
Quota-Parte, consiste apenas em uma proporção de retenção fixa para todos as
apólices, ou seja, .
Portanto, foram selecionadas algumas retenções e capitais iniciais para
que fosse possível fazer as devidas comparações, pois a construção da
distribuição é feita sobre de cada limite de retenção estipulado.
Resultados 70
Figura 11 Relação entre o limite de retenção e probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Panjer (Quota-Parte)
É possível notar que o comportamento entre o capital inicial, o limite de
retenção e a probabilidade de ruína se manteve praticamente o mesmo daquele
observado na caso das aproximações, ou seja, para capitais iniciais baixos
implicaria em reter o máximo possível para diminuir a probabilidade de se obter
ruína, e para capitais iniciais mais altos, quanto mais se retém maior vai ser a
probabilidade de ruína.
Um fator fundamental nos resultados obtidos até agora é a relação entre
os carregamentos de prêmio, e isso será evidenciado nos futuros cálculos e,
posteriormente, através da análise de sensibilidade dos carregamentos.
7.2.1.2. Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 5
Utilizando o método de cálculo discreto da probabilidade de ruínas, foram
feitos os mesmos procedimentos anteriores, sendo que se considerou um
horizonte de 5 anos, ou seja, tem-se a probabilidade da ruína ocorrer até o
quinto ano.
Resultados 71
Figura 12 Relação entre o limite de retenção e probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Normal (t = 5) (Quota-Parte)
Figura 13 Relação entre o limite de retenção e probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Gama Transladada (t = 5) (Quota-Parte)
Resultados 72
Figura 14 Relação entre o limite de retenção e probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Normal Power (t = 5) (Quota-Parte)
Pelas figuras 12, 13 e 14 a cima, é possível notar, exceto com o capital de
$500.000, que a partir da retenção de 75% a probabilidade de ruína tende a
crescer. No entanto, fica evidente que para todos os casos, exceto do capital
incial de $4.000.000, adota um limite de retenção baixo implica também em uma
probabilidade de ruína bem próxima de 1,0.
Ainda por estas figuras verifica-se que quanto maior é o capital inicial, mais
controlado é o comportamento da probabilidade de ruína em relacão aos limites
de retenção. Por exemplo, com um capital inicial de $4.000.000 a seguradora
teria a liberdade de assumir qualquer limite de retenção e mesmo assim ainda
manteria sua probabilidade de ruína sendo menos, ou igual, a 0,01. Logo, quanto
menor o capital inicial da seguradora, mais sensível será a probabilidade de
ruína em relação ao limite de retenção adotado.
Ao contrário do resultado encontrado considerando apenas um ano, aqui
foi possível notar um aumento geral na probabilidade de ruína, principalmente as
referentes aos limites de retenção baixos, independente do capital inicial, como
foi mencionado anteriormente.
Com o mesmo princípio anterior, a mesma metodologia foi usada na
distribuição construída recursivamente por Panjer e os resultados podem ser
vistos na tabela 16 e figura 15.
Resultados 73
500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000
0,05 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999232 0,118521 0,004279
0,25 0,973877 0,628273 0,184909 0,030691 0,006419 0,004376 0,004282 0,004280
0,50 0,089500 0,017941 0,006264 0,004569 0,004338 0,004309 0,004306 0,004305
0,75 0,033007 0,009862 0,005327 0,004618 0,004522 0,00451 0,004509 0,004509
0,99 0,036648 0,019475 0,014501 0,013263 0,012987 0,012929 0,012917 0,012915
Probabilidade de ruína em t = 5 para cada capital inicial e limite
de retenção - Panjer
Limite de
Retenção
Fonte: Dados Próprios
U0
Tabela 16 Probabilidade de ruína t = 5 para cada capital inicial e limite de retenção –
Panjer (Quota-Parte)
Figura 15 Relação entre o limite de retenção e probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Panjer (t = 5) (Quota-Parte)
Levando em consideração que a recursão de Panjer foi calculada em cima
de cinco limites de retenção α, seu gráfico é menos suave. Logo, pela figura 15,
é possível notar um comportamento semelhante ao encontrado nas
aproximações, evidenciando até a diferença entre os capitais iniciais,
principalmente quando estes são bem mais altos. Tal comportamento
provavelmente se relaciona especificamente com a forma de retenção. Ficou
claro que com o passar do tempo, assumir um limite de retenção baixo não é
favorável, até mesmo para quando se tem capitais iniciais grandes.
Não tanto através da figura 15, mas sim pela tabela 16, pôde-se notar que
existe um ponto mínimo de ruína, ou seja, se decidir reter mais do que tal ponto
Resultados 74
implica numa ruína com tendência crescente. Neste caso particular, esse ponto é
o de α = 0,75, ou seja, reter 75% dos sinistros totais tem uma probabilidade
menor do que se retesse 99%, por exemplo.
Apesar de comportamentos semelhantes entre as aproximações e o
cálculo da distribuição por Panjer, apenas nesta foi possível evidenciar com
clareza tal ponto de mínimo para o Quota-Parte.
7.2.1.3. Probabilidade de ruína discreta e fixa, em um horizonte 1≤t ≤5, de acordo com a legislação da Inglaterra
Novamente foram utilizadas algumas aproximação sobre a distribuição de
e o cálculo recursivo da mesma por Panjer, porém nesse caso foi necessário
fazer o cálculo inverso das probabilidades, ou seja, dada uma probabilidade
pergunta-se o evento da mesma.
Fixando a ruína dos cinco anos subsequentes de acordo como mostra a
tabela 15, tem como objetivo determinar o capital necessário para sustentar tais
exigências até o final do quinto ano. Logo, ao observar o comportamento do
capital inicial ao longo dos 5 anos, é possível dizer que o capital inicial maior é
aquele que sustentaria as probabilidades de ruína fixas pela legislação da
Inglaterra.
Figura 16 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Aproximação Normal (1 ≤ t ≤ 5) (Quota-Parte)
Resultados 75
Figura 17 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Aproximação Gama Transladada (1 ≤ t ≤ 5) (Quota-Parte)
Figura 18 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Aproximação Normal Power (1 ≤ t ≤ 5) (Quota-Parte)
Fica evidente pelas figuras 16, 17 e 18 o impacto do carregamento prêmio
ao longo do tempo, sendo possível ver que a necessidade gradual de capital ao
longo dos 5 anos segue um padrão diferente do esperando, porém, é
Resultados 76
conseqüência do cálculo de prêmio utilizado. Com isso, é claro ver que as
aproximações mantêm um mesmo comportamento ao longo dos cinco anos,
mostrando uma necessidade maior de possuir um capital inicial grande quando
se retém consideravelmente pouco. É possível ver que quanto maior a retenção
menor será a necessidade de capital ao longo dos cinco anos.
Além disso, nota-se que a partir de certo nível de retenção a necessidade
de capital se torna negativa, por que o lucro diante do resseguro é tão grande
que não há necessidade de capital.
Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5
0,05 647.563,28 1.292.041,92 1.992.177,13 2.757.961,90 3.597.729,86
0,15 582.779,29 1.020.842,90 1.476.444,44 1.965.491,43 2.495.341,89
0,30 485.540,75 638.695,06 786.125,22 928.611,69 1.070.642,25
0,45 386.639,38 390.505,77 373.149,97 342.940,05 307.416,23
0,60 291.837,23 209.822,41 120.674,36 39.488,92 -38.277,96
0,75 193.824,48 47.778,44 -82.619,57 -196.961,81 -297.377,15
0,90 97.543,68 -103.475,57 -273.064,73 -412.758,96 -534.315,89
0,99 39.224,00 -150.521,58 -353.781,36 -537.715,90 -672.061,17
Fonte: Dados Próprios
Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa - Aproximação Normal
Tabela 17 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa – Aproximação Normal (Quota-Parte)
Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5
0,05 650.029,88 1.292.990,28 1.992.192,48 2.757.524,58 3.596.791,27
0,15 590.223,22 1.023.686,27 1.476.705,98 1.964.449,98 2.493.593,44
0,30 502.581,12 653.383,12 797.224,24 939.723,48 1.080.695,19
0,45 411.735,37 415.852,72 396.333,34 364.616,79 327.130,89
0,60 319.198,70 238.438,65 145.388,60 58.245,99 -24.141,36
0,75 231.996,15 82.952,40 -59.512,78 -183.003,19 -288.541,49
0,90 144.593,86 -65.508,40 -246.497,74 -398.351,67 -529.291,15
0,99 91.927,71 -151.673,28 -355.405,94 -524.453,50 -668.023,54
Fonte: Dados Próprios
Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa - Aproximação Gama Transladada
Tabela 18 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa – Aproximação Gama Transladada (Quota-Parte)
Resultados 77
Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5
0,05 650.152,45 1.292.942,58 1.992.247,61 2.757.553,19 3.596.820,51
0,15 592.112,35 1.023.913,81 1.476.871,89 1.964.570,28 2.493.684,53
0,30 503.337,02 653.879,56 797.620,76 940.056,29 1.080.984,11
0,45 413.713,45 417.850,59 397.123,58 365.424,20 327.907,00
0,60 324.894,55 240.331,75 146.578,78 59.379,98 -23.080,46
0,75 233.874,33 84.563,62 -57.809,54 -180.684,00 -287.307,80
0,90 146.740,02 -65.959,85 -244.743,27 -396.695,16 -527.837,37
0,99 94.270,30 -149.630,21 -353.751,50 -522.648,20 -666.410,12
Fonte: Dados Próprios
Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa - Aproximação Normal Power
Tabela 19 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa – Aproximação Normal Power (Quota-Parte)
Através das tabelas 17, 18 e 19, fica mais evidente a pouca diferença entre
os três métodos de aproximação de , além de evidenciar os pontos onde não
há necessidade de capital para uma dada retenção e probabilidade de ruína fixa.
Além disso, é possível notar, em azul, a necessidade de capital mínimo para que
a probabilidade de ruína máxima siga as normas legislativas da Inglaterra.
Tanto pelas figuras, quanto pelas tabelas, é possível notar que assumir
uma retenção de cerca de 50% acarreta uma necessidade de capital quase que
invariante ao longo dos 5 anos, podendo até dizer que se garante a ruína
máxima pré-estabelecida com o mesmo capital inicial ao longo de cada ano.
Da mesma maneira, os cálculos foram feitos em cima da distribuição
construída recursivamente pelo método de Panjer, e assim obtiveram-se os
seguintes resultados.
Resultados 78
Figura 19 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Panjer (1 ≤ t ≤ 5) (Quota-Parte)
Pela figura 19, nota-se um comportamento semelhante ao já encontrado,
mostrando que quanto mais se retém menos capital é necessário para sustentar
as ruínas fixas de acordo com a legislação inglesa, evidenciando o impacto dos
carregamentos de prêmio no cálculo. Também percebe-se que com um limite de
retenção alto não há necessidade de capital para alcançar as probabilidades de
ruína fixadas.
Da mesma maneira que as aproximações, ainda é possível notar que reter
cerca de 50% dos sinistros, implica numa necessidade de capital pouco variante
ao longo dos 5 anos de ruína pré-estabelicida.
Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5
0,05 618.867,64 1.244.743,29 1.918.617,26 2.647.102,48 3.438.289,35
0,25 500.940,00 727.277,02 954.199,68 1.174.146,53 1.398.985,07
0,50 354.175,27 323.792,44 281.063,30 220.983,03 160.083,01
0,75 208.109,89 52.827,79 -101.101,20 -233.513,71 -343.857,73
0,99 70.894,68 -168.512,08 -351.101,72 -518.500,61 -610.728,12
Fonte: Dados Próprios
Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa - Panjer
Tabela 20 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa – Panjer (Quota-Parte)
Resultados 79
Comparando Panjer e as aproximações, mais claramente visto pelas
tabelas, nota-se pouca diferença entra os valores de capital inicial necessários, e
constata-se mais uma vez um padrão no comportamento do mesmo.
7.2.1.4. Probabilidade de ruína contínua, considerando o intervalo superior t> ∞
E por último, por motivos de comparação, considerou-se também a ruína
de maneira contínua, ou seja, a ruína considerada agora é aquela que abrange
todo o tempo futuro, ou seja, t > ∞.
Da maneira que foi mostrado na parte metodológica desse estudo, a
maneira de cálculo contínua da retenção resulta numa equação do segundo grau
com duas raízes. Logo, a raiz escolhida é aquela que está compreendida entre
zero e um, caso ambas pertençam a esse intervalo, a maior retenção é a
escolhida.
Figura 20 Relação entre probabilidade de ruína continua e o limite de retenção para cada
capital inicial (t > ∞) (Quota-Parte)
Resultados 80
500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000
0,0 43,6% 39,7% 38,0% 37,0% 36,4% 35,9%
0,1 39,4% 36,9% 35,8% 35,3% 34,9% 34,7% 34,5%
0,2 44,2% 37,2% 35,7% 35,0% 34,7% 34,4% 34,3% 34,1%
0,3 40,0% 36,1% 35,0% 34,6% 34,3% 34,1% 34,0% 33,9%
0,4 37,9% 35,3% 34,6% 34,3% 34,1% 33,9% 33,9% 33,8%
0,5 36,6% 34,8% 34,3% 34,0% 33,9% 33,8% 33,7% 33,7%
0,6 35,6% 34,4% 34,0% 33,9% 33,7% 33,7% 33,6% 33,6%
0,7 34,9% 34,1% 33,8% 33,7% 33,6% 33,6% 33,5% 33,5%
0,8 34,3% 33,8% 33,6% 33,6% 33,5% 33,5% 33,5% 33,4%
0,9 33,8% 33,6% 33,5% 33,4% 33,4% 33,4% 33,4% 33,4%
1,0 33,4% 33,4% 33,3% 33,3% 33,3% 33,3% 33,3% 33,3%
Fonta: Dados Próprios
U0Probabilidade
de Ruína
Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua
para cada capital inicial
Tabela 21 Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua para
cada capital inicial (Quota-Parte)
Pela figura 20 e tabela 21, chega a ser possível dizer que para cada linha
de capital inicial, existe uma retenção ótima. Tal retenção ótima é aquela que
possui menos probabilidade de ruína, pois nota-se que a partir de certo ponto a
ruína pode chegar a variar até 100%. Por exemplo, com um capital inicial de
$4.000.000, tem-se uma ruína de 1% para a retenção de 36%, e a partir daí,
reter menos, pode variar a ruína de 10% até 100% (fato esse que fica claro pela
linha contínua que cruza o gráfico praticamente numa vertical). Logo, tem-se que
o ponto de máximo de todas as linhas de capital inicial é o ponto ótimo de
retenção.
Da mesma maneira, ainda fica claro o impacto do cálculo do prêmio nos
resultados, onde reter mais tende a diminuir a probabilidade de ruína em longo
prazo, e também, é possível notar que possuir um capital inicial grande dá
liberdade à seguradora de reter menos se necessário.
Por se tratar de um método de cálculo que abrange todo tempo contínuo
futuro, ele indica que você deve reter menos do que se comparado ao método
que considera o tempo discreto, levando a resultados mais conservadores.
Resultados 81
7.2.2. Excedente de Responsabilidade
O Excedente de Responsabilidade é um resseguro do tipo proporcional,
que determina uma proporção de retenção para cada apólice, baseando-se na
importância segurada da mesma em relação a um limite de retenção m. Logo,
esse tipo de cobertura é um pouco mais delicado e complicado, portanto não é
tão trivial quanto outras coberturas de resseguro proporcionais.
Como já foi mencionado, o banco de dados desse estudo possui apenas o
valor dos sinistros ocorridos em um ano, tal cobertura de resseguro necessita a
importância segurada de cada apólice para que o cálculo da retenção possa ser
feito. Para tanto, simularam-se 430 valores entre 0 (zero) e 1 (um), para
representar a variável grau de sinistro ( ), onde . Com isso, foi possível
calcular a importância segurada de cada apólice, dado que .
7.2.2.1. Aplicação de Panjer a esse tipo de cobertura
Foi encontrada uma limitação no cálculo recursivo através do método de
Panjer, pois este calcula a distribuição de decomposta entre N e , sob a
hipótese que as variáveis aleatórias são independentes e identicamente
distribuídas (iids). No entanto, como cada apólice sobre essa cobertura possui
uma retenção diferente, logo também possui momentos diferentes, e
conseqüentemente, parâmetros diferentes para a distribuição associada.
Para melhor compreensão desta limitação observe que poderia ser
representada pela soma de certo número de ’s, onde cada representaria o
sinistro retido referente à retenção i e seria associado a um específico. Sabe-
se também que somas de Poisson Composta independentes é Poisson
Composta, sendo que, neste caso particular, a distribuição dos ’s se
modificaria para cada retenção. Logo:
Resultados 82
Assim é possível notar que essa cobertura de resseguro consiste em uma
“soma de vários Quota – Partes”, dessa maneira a aplicação de Panjer fica um
tanto quanto inviável, dado que associar as probabilidades aos ’s seria
demasiadamente complicado e trabalhoso. E isso faz com que o método perca
sua funcionalidade em relação ao tempo/resultados obtidos em questão, dado
que existem aproximações de boa qualidade com aplicações diretas e que
possuem comportamentos bem fiéis ao comportamento da distribuição teórica de
.
No entanto, uma saída para ainda utilizar o método, considerando os ’s
iguais para todo i, seria calcular recursivamente cada atrelado a sua retenção,
e daí utilizar um método de convolução para somar todas as possibilidades de
retenção. Logo, seria necessário convoluir n distribuições para cada limite de
retenção m estipulado. Porém, mais uma vez, seguir com essa alternativa não
compensaria o tempo gasto em tal cálculo, dado que existem as aproximações
mencionadas.
Portanto, para dar continuidade as análises comparativas, foram utilizadas
apenas as aproximações para a distribuição do custo total de sinistros retidos
pela seguradora ( ).
7.2.2.2. Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 1
Da mesma maneira, primeiro considerou-se a probabilidade de ruína de
maneira discreta no horizonte de apenas 1 ano, obtendo os resultados
apresentados a seguir nas figuras 21, 22 e 23.
Resultados 83
Figura 21 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade ruína para cada capita
inicial – Aproximação Normal (Excedente de Responsabilidade)
Figura 22 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade ruína para cada capita
inicial – Aproximação Gama Transladada (Excedente de Responsabilidade)
Resultados 84
Figura 23 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade ruína para cada capita
inicial – Aproximação Normal (Excedente de Responsabilidade)
Nesta cobertura de resseguro, a diferença entre as aproximações é mais
aparente, onde na aproximação Normal apresenta para algumas combinações
de limite de retenção e capital inicial uma probabilidade de ruína inferior as
outras aproximações. Como a Normal apenas considera os dois primeiros
momentos da distribuição, supõem se este seja o motivo para tal diferença. É
importante salientar que caso aproximação normal seja utilizada o analista
estaria subestimando a probabilidade de ruína. De qualquer maneira, o
comportamento geral das variáveis se manteve o mesmo, levando as mesmas
conclusões.
Pelas figuras 21, 22 e 23 ainda fica evidente o impacto do cálculo do
prêmio nos resultados, e pode-se notar que possuir um limite de retenção
pequeno, ou seja, possuir uma proporção de retenção pequena, pode então
acarretar em altas probabilidades de ruína apenas se for acompanhado de um
capital inicial consideravelmente baixo, o que mais uma vez evidencia o impacto
do cálculo do prêmio nos resultados. No entanto, existe um ponto mínimo de
ruína para tais capitais baixos, onde assumir um limite de retenção maior, ou
menor, faz com que a probabilidade de ruína tenha uma tendência crescente.
Onde, para este caso, se a seguradora possuir um capital inicial de $500.000, é
possível notar que assumir um limite de retenção m = 65.000 garante uma
probabilidade de ruína mínima possível.
Olhando para os capitais iniciais mais altos, também nota-se uma relação
mais linear entre as variáveis: probabilidade de ruína e limite de retenção, onde
quanto maior é o limite de retenção, maior será a probabilidade de ruína atrelada
Resultados 85
a este. No entanto, é válido ressaltar que o aumento no capital inicial de
$500.000 para $1.000.000 resultou numa significante redução na probabilidade
de ruína, chegando a uma ruína praticamente nula quando se tem capitais
iniciais maiores que $1.000.000.
Ao se comparar os resultados aqui obtidos com aqueles no caso do Quota-
Parte, observa-se que a probabilidades de ruína serão inferiores no caso de
Excedente de Responsabilidade. Uma melhor análise dessa diferença será feita
nas conclusões.
7.2.2.3. Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 5
Agora considerando um horizonte de 5 anos, foram obtidos os resultados
apresentados nas figuras a seguir.
Figura 24 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade ruína para cada capita
inicial – Aproximação Normal (t = 5) (Excedente de Responsabilidade)
Resultados 86
Figura 25 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade ruína para cada capita
inicial – Aproximação Gama Transladada (t = 5) (Excedente de Responsabilidade)
Figura 26 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade ruína para cada capita
inicial – Aproximação Normal Power (t = 5) (Excedente de Responsabilidade)
Nota-se novamente uma pequena diferença entre a Normal e as outras
aproximações, principalmente quando se tem um aumento nas retenções, onde
a amplitude dos valores da probabilidade de ruína da figura 24 são menores se
comparadas com as figuras 25 e 26.
Com o passar do tempo, em t = 5, fica evidente, assim como no Quota-
Parte, que assumir um limite de retenção pequeno pode levar a ruína certa,
devido ao impacto do calculo do prêmio nos resultados, e também fica claro o
impacto do cálculo do prêmio nos resultados. Dessa maneira, observa-se que a
Resultados 87
partir de certo ponto a probabilidade de ruína tende a crescer, evidenciando que
para cada linha de capital inicial existe um limite de retenção ótimo, que leva a
uma probabilidade de ruína mínima possível.
Evidencia-se que quanto maior for o capital inicial da seguradora menor vai
ser a sua probabilidade de ruína. Onde em casos extremos, como por exemplo,
um capital inicial de $4.000.000, a variação na probabilidade de se obter ruína é
tão pequena que o limite de retenção deixa de ser determinante da mesma,
sendo possível assumir qualquer valor para o limite de retenção m.
A relação limite de retenção versus probabilidade de ruína é crescente
para quase todos os capitais iniciais considerados, sendo diferenciada apenas
pela velocidade de tal crescimento. No entanto, para capitais iniciais menores,
nota-se que reter mais leva a um aumento na probabilidade de ruína.
Comparando com o resultado encontrado em t = 1, foi possível ver um
aumento no quadro geral de ruína, principalmente quando a seguradora assume
limites de retenção mais baixos. Em relação ao Quota-Parte, notou-se que as
probabilidade de ruína são menores no Excedente de Responsabilidade.
7.2.2.4. Probabilidade de ruína discreta e fixa, em um horizonte 1≤t ≤5, de acordo com a legislação da Inglaterra
Agora fixando as probabilidades de ruína ao longo dos cinco anos, de
maneira a cumprir as exigências legislativas da Inglaterra, onde esta fixa, num
horizonte de 5 anos, o máximo de ruína permitido para cada um desses anos,
ficando possível então determinar a necessidade de capital para sustentar essas
exigências.
Resultados 88
Figura 27 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Aproximação Normal (1 ≤ t ≤ 5) (Excedente de Responsabilidade)
Figura 28 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Aproximação Gama Transladada (1 ≤ t ≤ 5) (Excedente de Responsabilidade)
Resultados 89
Figura 29 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Aproximação Normal Power (1 ≤ t ≤ 5) (Excedente de Responsabilidade)
Pelas figuras 27, 28 e 29, nota-se que reter pouco exige um capital maior,
e este é crescente ao longo dos anos. Já, por outro lado, reter mais implica
numa menor necessidade de capital, e este decresce ao longo dos cinco anos.
Também, é possível notar que a partir de certo ponto de limite de retenção a
necessidade de capital pouco se altera.
Da mesma maneira, pode-se notar que, dependendo do limite de
retenção assumido, a necessidade de capital fica negativa, indicando que na
verdade não há necessidade de capital inicial para alcançar a probabilidade
máxima de ruína fixada anteriormente.
Resultados 90
Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5
15.000 463.899,32 743.508,01 1.065.196,70 1.424.940,36 1.824.608,88
30.000 329.869,42 345.555,90 369.428,99 383.188,24 404.569,53
250.000 24.672,74 -184.220,18 -331.119,40 -445.089,35 -542.041,32
500.000 45.680,90 -218.151,91 -405.235,03 -551.533,12 -678.464,43
750.000 40.269,86 -247.583,20 -437.854,68 -590.577,03 -719.741,82
1.000.000 37.460,76 -251.204,26 -450.778,45 -606.039,17 -738.049,69
1.250.000 39.774,42 -252.353,37 -454.387,66 -611.503,99 -745.127,31
1.500.000 42.327,17 -256.139,93 -455.150,73 -614.161,77 -748.763,27
Fonte: Dados Próprios
Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção,
mantendo a ruína fixa – Aproximação Normal
Tabela 22 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa – Aproximação Normal (Excedente de Responsabilidade)
Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5
15.000 467.617,53 744.719,54 1.065.221,27 1.424.008,54 1.822.856,18
30.000 335.574,18 350.642,80 369.481,14 389.246,18 410.700,37
250.000 57.045,45 -168.076,17 -322.973,67 -445.243,45 -545.585,03
500.000 97.569,58 -191.481,45 -392.880,00 -551.514,42 -679.921,68
750.000 90.399,22 -218.783,99 -424.901,76 -590.793,33 -725.903,67
1.000.000 88.802,79 -223.018,38 -437.128,61 -606.365,25 -744.346,71
1.250.000 92.424,59 -227.786,58 -440.352,49 -611.807,73 -751.515,21
1.500.000 96.022,12 -225.489,67 -441.312,07 -614.388,20 -755.222,35
Fonte: Dados Próprios
Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção,
mantendo a ruína fixa – Aproximação Gama Transladada
Tabela 23 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa – Aproximação Gama Transladada (Excedente de Responsabilidade)
Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5
15.000 467.410,71 744.781,96 1.065.291,11 1.424.085,32 1.822.936,80
30.000 336.312,72 350.819,69 369.618,32 389.406,92 410.891,00
250.000 57.185,02 -167.205,89 -322.183,26 -444.513,75 -544.931,95
500.000 99.755,26 -188.630,69 -390.956,85 -549.899,50 -678.452,82
750.000 92.561,39 -215.641,39 -422.970,20 -589.163,56 -724.425,54
1.000.000 90.971,08 -225.431,49 -435.275,34 -604.721,82 -742.865,93
1.250.000 94.657,17 -224.517,07 -438.359,20 -610.125,08 -749.989,47
1.500.000 98.319,30 -222.193,31 -439.258,17 -612.656,57 -753.651,15
Fonte: Dados Próprios
Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção,
mantendo a ruína fixa – Aproximação Normal Power
Tabela 24 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa – Aproximação Normal Power (Excedente de Responsabilidade)
Pela tabela 22, 23 e 24 é possível ver em destaque a necessidade de
capital inicial mínima dado que as probabilidades de ruína toleradas foram fixas
anteriormente. Evidenciando o impacto do cálculo do prêmio nos resultados, pois
Resultados 91
a necessidade de capital inicial tende a diminuir conforme se aumenta o limite de
retenção adotado pela seguradora.
Adotando um limite de retenção de mais ou menos m = 30.000 é possível
notar que existe pouca variação na necessidade de capital ao longo dos anos,
podendo dizer que com praticamente o mesmo capital inicial para cada um dos 5
anos é possível atingir a probabilidade de ruína máxima exigida pela legislação
inglesa.
Também, pela análise comparativa entre métodos através da tabelas,
notou-se pouca diferença entre os métodos de aproximação utilizados, onde
esses acabam levando ao mesmo tipo de resultados e conclusões.
7.2.2.5. Probabilidade de ruína contínua, considerando o intervalo superior t> ∞
E por fim, foi considerada a ruína com tempo contínuo, ou seja, a
probabilidade de ruína abrange qualquer tempo futuro, continuando com o
mesmo princípio de variar a linha de capital inicial, e compará-la com a
probabilidade de ruína, e o limite de retenção atrelado a ela.
Pelo método que considera o tempo contínuo e infinito, é possível notar
que os limites de retenção atrelados aos capitais iniciais selecionados são, em
geral, menores que aqueles do método de tempo discreto e finito. Apesar de
também ficar evidente o impacto do cálculo do prêmio nos resultados, aqui estes
foram tão conservadores quanto aqueles do Quota-Parte.
Figura 30 Relação entre probabilidade de ruína contínua e o limite de retenção para cada
capital inicial (t > ∞) (Excedente de Responsabilidade)
Resultados 92
No entanto, ainda é possível notar que para cada linha de capital inicial
possui-se um limite de retenção ótimo, onde este leva a uma probabilidade de
ruína mínima.
500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000
0,0 112.774,59 98.509,66 94.981,11 93.341,84 92.439,30 91.850,44 91.438,04 91.131,83
0,1 98.166,57 93.243,50 91.766,60 91.063,85 90.661,49 90.370,77 90.199,43 90.066,96
0,2 95.180,89 91.933,42 90.956,31 90.485,69 90.205,99 90.021,15 89.890,57 89.792,87
0,3 93.491,40 91.209,48 90.492,11 90.141,50 89.933,63 89.795,88 89.697,84 89.624,33
0,4 92.408,24 90.703,83 90.162,82 89.897,70 89.739,74 89.634,66 89.559,65 89.503,41
0,5 91.575,16 90.313,76 89.908,94 89.708,75 89.588,91 89.509,05 89.452,02 89.409,26
0,6 90.914,62 89.999,44 89.702,43 89.554,35 89.465,50 89.406,27 89.364,25 89.332,97
0,7 90.369,64 89.736,68 89.528,20 89.423,83 89.361,34 89.320,13 89.290,92 89.269,03
0,8 89.907,37 89.510,40 89.377,52 89.311,37 89.272,27 89.246,21 89.227,60 89.213,65
0,9 89.508,13 89.311,45 89.246,00 89.213,55 89.194,07 89.181,07 89.171,78 89.164,82
1,0 89.154,94 89.136,03 89.129,53 89.126,21 89.124,20 89.122,85 89.121,88 89.121,15
Fonta: Dados Próprios
U0Probabilidade
de Ruína
Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua para
cada capital inicial
Tabela 25 Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua para
cada capital inicial (Excedente de Responsabilidade)
E também, pela tabela 25, pode-se notar que, a partir de um ponto, o limite
de retenção pouco se altera, fazendo com que a probabilidade de ruína varie de
0,5 a 0,99 com praticamente o mesmo limite de retenção.
Como por exemplo, para a linha de capital inicial de $4.000.000, para ter
uma ruína de probabilidade 0,5 assume-se um limite de retenção de m = 89.409;
e para ter uma ruína de 0,99 de probabilidade assume-se um limite de retenção
de m = 89.121. Logo, é possível notar que a diferença do limite de retenção é
muito pequena, ainda mais se levar em consideração que esse limite determina
uma proporção de retenção, fazendo com que essa diferença influencie muito
pouco no total retido pela seguradora.
7.2.3. Excesso de Danos
Começando agora a análise das coberturas de resseguros não
proporcionais, o Excesso de Danos consiste fixar um valor máximo de
responsabilidade para cada sinistro ocorrido, considerado como o limite de
retenção dessa cobertura. Se o custo do sinistro exceder o limite de retenção
Resultados 93
adotado, este excedente é repassado a resseguradora; caso contrário, a
seguradora retém o custo do sinistro em sua totalidade.
7.2.3.1. Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 1
Continuando o formato utilizado até o momento, primeiramente foi
considerada a probabilidade de ruína discreta em um horizonte de apenas 1 ano.
Para tanto, consideraram-se limites de retenção que variam de 81, próximo ao
mínimo de custo individual de sinistro observado nos dados, a 415.000, o
máximo observado. Utilizou-se r = 81 como limite de retenção mínimo, pois
valores inferiores a este a seguradora não retém nada.
Figura 31 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Normal (Excesso de Danos)
Resultados 94
Fazendo uma ligeira comparação entre as aproximações, nota-se que a
Gama Transladada e a Normal Power são praticamente idênticas pelos gráficos,
já a aproximação pela Normal apresentou pelo gráfico uma ruína um pouco
diferente, onde as curvas de capital inicial estão menos dispersas, assim como
foi observado no Excedente de Responsabilidade. No geral, as três
aproximações apresentaram o mesmo tipo de comportamento, o que acabou
levando as mesmas conclusões a seguir.
Olhando para as figuras 31, 32 e 33, ainda é evidente que adquirir um
limite de retenção maior faz com que a probabilidade de ruína aumente também,
porém, possuir um capital inicial consideravelmente grande, faz com que a
Figura 32 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Gama Transladada (Excesso de Danos)
Figura 33 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Normal Power (Excesso de Danos)
Resultados 95
probabilidade de ruína cresça de maneira bem mais lenta. Tal crescimento
chega a ser quase imperceptível se o capital inicial da seguradora é grande,
como por exemplo, um capital inicial de $4.000.000.
Mais uma vez, fica claro que reter pouco também não é aconselhado a
esse tipo de cálculo de prêmio retido dado que o capital inicial da seguradora é
pequeno, pois retendo pouco do total de sinistros, significa reter pouco do prêmio
pago à seguradora, e que, em alguns casos, não é suficiente para cobrir o
prêmio de resseguro.
Para esse tipo de cobertura, o cálculo da distribuição de S~
pelo método
recursivo de Panjer se tornou possível pelo fato de que essa cobertura consiste
apenas em um truncamento da variável aleatória X, custo individual de sinistro,
logo foi necessário também fazer um truncamento, no ponto de retenção, na
distribuição discretizada Gama que foi associada a X~
. Então, com isso foram
obtidos os resultados a seguir.
Para o cálculo de Panjer foram considerados nove limites de retenção,
variando de r = 81 até r = 415.000, e com isso notou-se o mesmo
comportamento, ou seja, possuir um capital inicial pequeno implica em um
considerável aumento na probabilidade de ruína, e dependendo do limite de
retenção adotado a probabilidade de ruína pode chegar bem próxima a 1,0. Aqui,
ficou mais claro que adotar um limite de retenção de r = 60.000 faz com que se
Figura 34 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Panjer (Excesso de Danos)
Resultados 96
alcance o mínimo possível na probabilidade de ruína quando a seguradora
possui um capital inicial de $500.000.
Olhando os maiores capitais iniciais, o limite de retenção aumenta com a
probabilidade de ruína. E para o capital inicial como $4.000.000 esse
crescimento é quase nulo, podendo-se dizer que independente do limite de
retenção adotado, a probabilidade de ruína é sempre bem próxima de 0 (zero).
7.2.3.2. Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 5
Expandindo o horizonte de análise para 5 anos, e ainda considerando a
probabilidade de ruína de maneira discreta, obtiveram-se os seguintes
resultados.
Figura 35 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Normal (t = 5) (Excesso de Danos)
Resultados 97
Da mesma maneira, considerou-se o limite de retenção a partir de r = 81. É
possível notar que ao passar dos anos fica mais arriscado assumir um limite de
retenção consideravelmente baixo, principalmente para as capitais iniciais mais
baixos, aonde a probabilidade de ruína chega bem perto de 1,0. Para os capitais
iniciais grandes, principalmente o de $4.000.000, nota-se que não importa o
limite de retenção adotado, a probabilidade de ruína é muito próxima de zero,
Figura 36 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Gama Transladada (t = 5) (Excesso de Danos)
Figura 37 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Normal Power (t = 5) (Excesso de Danos)
Resultados 98
dando a seguradora com tal capital inicial, a liberdade de reter a quantidade que
desejar dos sinistros sem apresentar maiores riscos de ruína.
É possível notar que o comportamento após cinco anos, é praticamente
idêntico ao comportamento encontrado no primeiro ano apenas. Logo, também
nota-se uma relação crescente entre a probabilidade de ruína e limite de
retenção, onde tal relação fica bem mais amena quando se possui um capital
inicial consideravelmente alta. Portanto, é possível até dizer que o Excesso de
Danos é mais estável ao longo dos anos, quando se considera a probabilidade
de ruína de maneira discreta.
Mais uma vez, para o cálculo de Panjer foram considerados nove limites
de retenção, variando de r = 81 até r = 415.000, vide tabela 26 a seguir onde é
possível notar um comportamento semelhante ao encontrado nas aproximações
calculadas. Nota-se que a probabilidade de ruína é bem alta quando o capital
inicial é menor que $1.000.000 e o limite de retenção é menor que r = 10.000. No
geral, a probabilidade de ruína cresce com o aumento do limite de retenção.
Figura 38 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial - Panjer (t = 5) (Excesso de Danos)
Resultados 99
500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000
81 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,004343
10.000 0,999956 0,892691 0,234098 0,009248 0,000048 0,000000 0,000000 0,000000
60.000 0,006405 0,000346 0,000014 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000
120.000 0,010445 0,001506 0,000168 0,000016 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000
180.000 0,015609 0,003202 0,000567 0,000094 0,000015 0,000003 0,000000 0,000000
240.000 0,018783 0,004510 0,000922 0,000168 0,000030 0,000007 0,000004 0,000003
300.000 0,020992 0,005422 0,001207 0,000244 0,000053 0,000019 0,000014 0,000013
360.000 0,022259 0,005967 0,001388 0,000299 0,000071 0,000031 0,000024 0,000023
415.000 0,022958 0,006268 0,001490 0,000331 0,000082 0,000038 0,000030 0,000029
Probabilidade de ruína em t = 5 para cada capital inicial e limite de
retenção - Panjer
Limite de
Retenção
Fonte: Dados Próprios
U0
Tabela 26 Probabilidade de ruína em t = 5 para cada capital inicial e limite de retenção –
Panjer (Excesso de Danos)
Na mesma tabela 26, fica claro que reter apenas 81 leva a seguradora a
uma probabilidade de ruína de quase 1,0, exceto se ela possuir um capital inicial
de $4.000.000. Além disso, para os capitais iniciais grandes, nota-se que para
alguns limites de retenção a probabilidade de ruína é quase nula, e adotando r =
180.000 o segurador retém o máximo possível com probabilidade de ruína quase
nula. Para todos os capitais iniciais analisados existe um determinado limite de
retenção que levaria a uma probabilidade de ruína mínima, onde esta é bem
próxima de zero para todos os casos.
7.2.3.3. Probabilidade de ruína discreta e fixa, em um horizonte 1≤t ≤5, de acordo com a legislação da Inglaterra
Analisando a necessidade de capital de uma seguradora, dadas fixas as
probabilidades de ruína máximas ao longo dos 5 anos, obteve-se os seguintes
resultados.
Resultados 100
Figura 39 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Aproximação Normal (1 ≤ t ≤ 5) (Excesso de Danos)
Figura 40 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Aproximação Gama Transladada (1 ≤ t ≤ 5) (Excesso de Danos)
Resultados 101
Pelas figuras 39, 40 e 41, nota-se uma diferença entre a aproximação
Normal com a Gama Transladada e Normal Power. Tal diferença fica bem mais
perceptível quando se aumenta o limite de retenção, principalmente a partir de
r = 180.000, onde pela Normal o capital necessário é negativo, e já pelas outras
aproximações ele é positivo e consideravelmente maior. No entanto, o
comportamento geral apresentado pelos gráficos é bem similar para as três
aproximações.
É possível notar um comportamento bem diferente do encontrado para os
resseguros proporcionais. Mostrando que para controlar a probabilidade de ruína
como estipulado, adotando um limite de retenção maior, faz com que a
necessidade de capital aumente de acordo com o limite de retenção. Chegando
a ter limites de retenção que não necessitam de capital inicial, e limites de
retenção maiores já necessitam de um capital positivo e considerável.
Além disso, calculou-se a necessidade de capital para o limite de retenção
r = 15.000, mostrando que para este limite a necessidade de capital se mantém
quase invariante ao longo dos 5 anos em questão, podendo até dizer que adotar
tal limite de retenção implica em cumprir a limitação de ruína em todos os anos
em questão, pois o capital máximo encontrado seria, aproximadamente, igual
para todos os anos.
Figura 41 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Aproximação Normal Power (1 ≤ t ≤ 5) (Excesso de Danos)
Resultados 102
Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5
10.000 366.822,39 505.978,18 673.085,04 863.573,88 1.077.244,20
60.000 -43.280,07 -198.830,71 -303.786,67 -386.998,03 -458.224,24
120.000 -82.830,83 -301.096,18 -453.019,05 -571.889,77 -673.665,98
180.000 -61.881,12 -312.619,45 -487.600,92 -626.168,65 -744.706,50
240.000 -27.445,57 -300.633,47 -488.768,37 -638.757,20 -763.835,45
300.000 -232,77 -285.931,93 -482.750,89 -638.277,96 -769.830,53
360.000 17.685,95 -275.437,49 -477.233,09 -635.957,46 -769.678,96
415.000 31.505,64 -265.164,92 -453.432,01 -634.580,83 -769.010,25
Fonte: Dados Próprios
Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção,
mantendo a ruína fixa – Aproximação Normal
Tabela 27 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa – Aproximação Normal (Excesso de Danos)
Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5
10.000 369.711,92 507.671,83 673.888,07 863.574,75 1.076.072,94
60.000 -30.650,06 -190.937,52 -301.291,50 -387.278,05 -460.363,62
120.000 -56.576,03 -290.341,11 -448.659,46 -572.671,25 -677.959,20
180.000 -21.097,69 -296.775,31 -481.001,69 -627.100,69 -750.078,10
240.000 13.254,06 -278.507,29 -482.078,19 -638.307,06 -769.719,06
300.000 46.020,96 -265.428,13 -475.238,32 -638.734,82 -776.095,51
360.000 67.991,82 -247.258,88 -465.691,94 -636.467,78 -776.932,32
415.000 85.200,67 -236.946,53 -458.398,26 -632.982,94 -775.673,31
Fonte: Dados Próprios
Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção,
mantendo a ruína fixa – Aproximação Gama Transladada
Tabela 28 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa – Aproximação Gama Transladada (Excesso de Danos)
Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5
10.000 369.761,31 507.713,69 673.934,03 863.628,44 1.076.126,07
60.000 -30.394,29 -190.648,87 -301.065,07 -387.081,44 -460.195,16
120.000 -55.926,81 -289.665,48 -448.092,38 -572.177,55 -677.536,54
180.000 -20.046,48 -297.751,01 -480.147,04 -628.992,62 -749.400,11
240.000 14.637,07 -278.059,34 -480.830,76 -637.278,58 -768.797,01
300.000 47.756,97 -262.152,17 -474.135,28 -637.390,88 -774.925,62
360.000 69.991,37 -245.550,47 -463.924,44 -634.958,66 -775.571,46
415.000 87.460,05 -234.867,16 -456.401,24 -631.280,97 -774.134,07
Fonte: Dados Próprios
Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção,
mantendo a ruína fixa – Aproximação Normal Power
Tabela 29 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa – Aproximação Normal Power (Excedente de Responsabilidade)
Através das tabelas acima, fica mais fácil identificar a diferença entra os
três métodos de aproximação, notando a grande diferença a partir do limite de
retenção r = 180.000. Além disso, é possível ver o ponto específico onde a
necessidade de capital começa a crescer com o aumento do limite de retenção.
Resultados 103
E também, assumir um limite de retenção de r = 15.000 afeta muito pouco na
diferença da necessidade de capital durante os 5 anos de análise.
Da mesma maneira, os cálculos foram feitos sobre a distribuição
construída recursivamente pelo método de Panjer, com os seguintes resultados.
Pela figura 42, é possível notar uma diferença para o limite de retenção r =
60.000, onde este apresentou uma necessidade de capital um pouco maior pelo
método de Panjer, do que pelas aproximações. No entanto, esse método ainda
se mantém comparável com as aproximações por ter apresentado o mesmo tipo
de comportamento, sendo bem parecido com a aproximação Gama Transladada
e a Normal Power.
Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5
10.000 415.409,89 675.712,27 932.607,89 1.201.931,76 1.485.760,08
60.000 20.404,65 -116.266,10 -224.837,33 -316.517,10 -392.161,73
120.000 -35.964,26 -236.187,06 -403.879,87 -538.001,61 -648.143,74
180.000 -20.062,12 -220.155,33 -398.217,63 -542.981,11 -665.408,63
240.000 19.422,97 -222.198,78 -418.805,37 -577.212,04 -710.964,17
300.000 40.593,67 -204.197,97 -405.093,58 -570.329,75 -710.315,24
360.000 45.058,98 -197.470,37 -401.042,65 -564.626,45 -708.116,01
415.000 59.027,26 -189.981,77 -397.032,22 -561.270,68 -706.333,19Fonte: Dados Próprios
Necessidade de capital relacionada ao limite retenção, mantendo a ruína fixa -
Panjer
Tabela 30 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa – Panjer (Excesso de Danos)
Figura 42 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Panjer (1 ≤ t ≤ 5) (Excesso de Danos)
Resultados 104
Ainda é possível notar que assumir um limite de retenção de r = 120.000
requer o menos capital necessário, dada as probabilidades de ruína fixas de
acordo com a legislação da Inglaterra. E a partir de certo ponto, a necessidade
de capital tende a aumentar quando se aumenta o limite de retenção adotado.
Pela tabela 30, fica mais clara a diferença entre o Panjer e as
aproximações, principalmente para o limite de retenção r = 10.000, onde a
necessidade de capital sofreu um aumento de quase 50% se comparado com as
aproximações calculadas.
Uma grande semelhança entre os métodos de cálculo se encontra no fato
de que a partir do limite de retenção r = 120.000, a necessidade de capital a
partir do segundo ano se mantém, praticamente, inalterada para todos os limites
de retenção, tendo apenas uma maior diferença no primeiro ano.
7.2.3.4. Probabilidade de ruína contínua, considerando o intervalo superior t> ∞
E por fim, também se levou em consideração a ruína de maneira contínua,
ou seja, a ruína considerada agora é aquela que abrange todo o tempo futuro.
Novamente, como foi visto anteriormente para esse método, tem-se para
cada capital inicial um limite de retenção que leva a seguradora a uma
probabilidade de ruína mínima.
Figura 43 Relação entre probabilidade de ruína contínua e o limite de retenção para cada
capital inicial (t > ∞) (Excesso de Danos)
Resultados 105
Nota-se também que quanto maior for o capital inicial, menor é a variação
no limite de retenção para probabilidades de ruína entre 0 (zero) e 1 (hum). Por
exemplo, com capital inicial de $4.000.000 é possível ver que a probabilidade de
ruína varia bastante mantendo o limite de retenção quase invariante, evidenciado
pelo comportamento verticalizado da figura 43. Em contra partida, possuir um
capital inicial de $500.000 faz com que o limite de retenção adotado dê uma
maior variação na probabilidade de ruína.
500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000
0,0 29.057,56 17.031,50 15.879,16 15.409,27 15.145,31 14.986,16 14.876,41 14.795,90
0,1 16.902,52 15.366,65 14.963,86 14.781,09 14.672,67 14.602,63 14.545,33 14.512,04
0,2 15.950,16 15.005,35 14.747,42 14.633,28 14.551,87 14.504,00 14.470,11 14.444,84
0,3 15.456,45 14.815,31 14.626,80 14.535,30 14.481,32 14.445,69 14.420,40 14.401,52
0,4 15.135,67 14.681,77 14.540,91 14.472,03 14.431,21 14.404,19 14.384,96 14.370,63
0,5 14.911,60 14.580,17 14.474,93 14.423,22 14.392,45 14.372,05 14.357,57 14.346,74
0,6 14.736,84 14.498,42 14.421,56 14.383,56 14.360,95 14.345,94 14.335,24 14.327,22
0,7 14.589,47 14.430,32 14.376,80 14.350,30 14.334,46 14.323,91 14.316,42 14.310,81
0,8 14.474,36 14.372,10 14.338,43 14.321,64 14.311,61 14.304,95 14.300,19 14.296,62
0,9 14.371,07 14.321,41 14.304,82 14.296,55 14.291,58 14.288,27 14.285,90 14.284,13
1,0 14.280,96 14.276,60 14.275,02 14.274,21 14.273,72 14.273,39 14.273,15 14.272,97
Fonta: Dados Próprios
Probabilidad
e de Ruína
U0
Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua para
cada capital inicial
Tabela 31 Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua para
cada capital inicial (Excedente de Responsabilidade)
Pela tabela 31, é possível ver que conforme a probabilidade de ruína
aumenta, os limites de retenção tendem a ficar mais próximos, independendo do
capital inicial adotado. Por exemplo, olhando uma probabilidade de ruína de
aproximadamente 1 (hum), o limite de retenção variou de r = 14.280 para r =
14.272, com capitais iniciais respectivamente de $500.000 e $4.000.000. Já para
uma probabilidade de ruína de aproximadamente 0 (zero), o limite de retenção
chegou a variar de r = 29.057 para r = 14.795, com capitais iniciais
respectivamente de $500.000 e $4.000.000, variação esta bem considerável,
chegando a ser um pouco mais que o dobro.
Resultados 106
7.2.4. Stop-Loss
Dando continuidade às coberturas de resseguros não proporcionais, o
Stop-Loss é similar ao Excesso de Danos, no entanto este é aplicado sobre o
custo total de sinistros (S) diretamente, ao contrário de ser aplicado no custo
individual de sinistros.
Logo, o Stop-Loss consiste fixar um limite máximo de responsabilidade
para o total dos sinistros ocorridos no ano. Portanto, se o custo total dos sinistros
do ano exceder o limite de retenção adotado, o valor excedente é repassado a
resseguradora; caso contrário, a seguradora retém o custo total do sinistro do
ano sozinha.
Dada essa definição, conclui-se que só existirá ruína em tempo discreto
para a seguradora, se o resultado prêmio retido mais capital inicial ( UP +~
) for
menor que o limite de retenção adotado. Isso se dá pela definição de ruína ser
aplicada a esse tipo de cobertura. Logo, se o limite de retenção foi menor que
UP +~
, a probabilidade de ruína )~~
( UPSP +> passa a ser responsabilidade da
resseguradora, pois a seguradora só assumirá a responsabilidade até d do custo
total de sinistros no ano.
Figura 44 Região da possível ruína na distribuição de S~
sob a cobertura de Stop-Loss
Resultados 107
Então, caso aconteça o oposto, a probabilidade de ruína é nula, como está
representado na figura 45 a seguir.
Figura 45 Região sem ruína na distribuição de S~
sob a cobertura de Stop-Loss
Com isso, considerou-se a probabilidade de ruína, se existir, como
)~~
( dSUPP ≤≤+ .
A escolha dos limites de retenção a serem analisados aqui foi baseada na
soma total observada de sinistros no ano do banco de dados disponível. Tal
soma é aproximadamente 13.000.000, vide tabela 11 na seção 7.1.
Através da figura abaixo, ficam evidenciados os limites de retenção sobre a
distribuição de S calculada por Panjer.
Resultados 108
Pela figura 46, percebe-se que quanto mais se retém, mais risco é
assumido, risco esse que vai ser medido pela área entre d e ( UP +~
)
observados, se estiver no caso abrangido pela figura 45.
7.2.4.1. Aplicação das aproximações a esse tipo de cobertura
Por definição, vide seção 6.3 desse estudo, as aproximações utilizadas
servem para estimar a distribuição total de sinistros retidos em um ano, e para
isto é necessário saber os parâmetros de S~
calculados pela restrição da mesma
a uma Poisson Composta.
No entanto, para esta cobertura, o cálculo da aplicação do resseguro é
feito diretamente em cima da variável S~
, dificultando o cálculo das
aproximações. Isto se dá por que para utilizar os parâmetros de S~
, calculados
pelas propriedades da Poisson Composta, é necessário saber de antemão os
três primeiros momentos de X~
. Como no Stop-Loss a retenção é aplicada
diretamente na variável S, inviabiliza o conhecimento de X~
por essa cobertura
de resseguro.
Figura 46 Distribuição de S evidenciando os pontos de retenção sob Stop-Loss
Resultados 109
De acordo com Kaas (2008), existem aproximações que podem ser
utilizadas para o cálculo dos parâmetros de S~
sobe uma cobertura de Stop-
Loss. No entanto, estaria se utilizando uma aproximação para viabilizar o cálculo
de outra aproximação. Portanto, decidiu-se fazer o cálculo de S~
apenas
utilizando o cálculo recursivo por Panjer, dado que este apresenta o
comportamento teórico da variável em questão.
7.2.4.2. Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 1
Como já foi dito, consideraram-se os limites de retenção, variando entre
100.000 e 12.000.000, logo se tem os seguintes resultados considerando a
probabilidade de ruína discreta para 1 ano apenas.
Pela figura 47, é possível notar que esse tipo de cobertura possui um
comportamento bem diferente dos já vistos até agora. Isso ocorre pelo fato da
área de ruína ser truncada e consideravelmente diminuída pelo limite de
retenção adotado. Com isso, é possível ver que a probabilidade de ruína é
praticamente nula para os limites de retenção altos, oferecendo risco nenhum ao
segurador.
Adotar um limite de retenção de apenas d = 100.000 leva a seguradora a
uma probabilidade de ruína próxima de 1 (hum) se esta possuir um capital inicial
de $500.000, isso se dá pelo modo que prêmio retido foi calculado, e pelos
Figura 47 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Panjer (Stop-Loss)
Resultados 110
carregamentos de prêmio considerados, ou seja, como o carregamento de
prêmio do ressegurador é maior que da seguradora, isso faz com que o prêmio
retido seja negativo, dado que o montante repassado pela seguradora é muito
grande, e tendo um capital inicial insuficiente para cobrir tal “prejuízo”, faz com
que o resultado do prêmio retido mais capital inicial seja negativo, indicando
ruína, como a definição apresentada no capítulo 4.
Com exceção do caso citado acima, o risco de ruína só volta a aparecer a
partir de d = 8.000.000, sendo mais evidente para os capitais iniciais baixos, isso
se deu por que o Stop-Loss é aplicado diretamente no custo total de sinistros,
logo para os limites de retenção pequenos o resultado do prêmio retido mais
capital inicial superou o limite de retenção, tirando completamente a seguradora
da área do risco de ruína, vide ilustrações 2 e 3 na seção 7.2.4.
500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000
100.000 1,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000
500.000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000
2.000.000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000
4.000.000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000
6.000.000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000
8.000.000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000
10.000.000 0,01775509 0,00417846 0,00043157 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000
12.000.000 0,01836637 0,00478974 0,00104285 0,00019160 0,00002989 0,00000385 0,00000025 0,00000000
Probabilidade de ruína em t = 1 para cada capital inicial e limite de retenção - Panjer
Limite de
Retenção
U0
Fonte: Dados Próprios Tabela 32 Probabilidade de ruína em t = 1 para cada capital inicial e limite de retenção –
Panjer (Stop-Loss)
Pela tabela 32 fica evidenciada a baixa probabilidade de ruína que essa
cobertura ocasiona, mostrando apenas algum tipo de risco de ruína para os
limites de retenção maiores atrelados a um capital inicial pequeno.
7.2.4.3. Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 5
Para manter o mesmo de padrão nas análises, agora foi considerada a
probabilidade de ruína discreta depois de 5 anos, no entanto, ao calcular a
probabilidade condicional de ano a ano, vide seção 6.2.2, utilizou-se a
convolução de 1
~S com
2
~S ,
1
~S e
2
~S com
3
~S , e assim por diante. Isso se deu,
pois nada se sabe a respeito da soma de Poisson Compostas truncadas devido
a esse tipo de cobertura de resseguro. Logo, com isso obtiveram-se os seguintes
resultados.
Resultados 111
Pela figura 48, é possível ver que depois de 5 anos a ruína aumentou
consideravelmente, principalmente para os capitais iniciais menores. Agora, uma
seguradora com capital inicial de $500.000 encontra-se com uma probabilidade
de ruína muito alta se esta adotar um limite de retenção de d = 500.000 ou
menor. O mesmo foi visto para os capitais maiores, exceto o de $4.000.000,
onde a probabilidade é próxima de 1,0 para o limite de retenção de d = 100.000.
Mais uma vez, esses dois casos, são decorrentes da escolha do método do
cálculo de prêmio e dos carregamentos adotados, pois por mais que a área de
ruína seja muito pequena, uma vez que o resultado da seguradora se encontra
negativo, já é um forte indicativo de ruína.
Para este caso, notou-se uma ausência de ruína entre os limites de
retenção de d = 2.000.000 e d = 8.000.000, pelo mesmo motivo já explicado na
seção anterior, ou seja, o resultado do prêmio retido mais capital inicial superou
o limite de retenção.
A partir do limite de retenção de d = 10.000.000 observa-se um aumento
na probabilidade de ruína, no entanto, esta é bem estável, podendo ser
praticamente constante, para os limites de retenção superiores a 10.000.000.
Figura 48 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial - Panjer (t = 5) (Stop-Loss)
Resultados 112
500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000
100.000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,000000
500.000 1,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000
2.000.000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000
4.000.000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000
6.000.000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000
8.000.000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000
10.000.000 0,019982 0,005344 0,000998 0,000279 0,000134 0,000058 0,000022 0,000006
12.000.000 0,020301 0,005805 0,001540 0,000452 0,000156 0,000058 0,000020 0,000005Fonte: Dados Próprios
Limite de
Retenção
U0
Probabilidade de ruína em t = 5 para cada capital inicial e limite de retenção - Panjer
Tabela 33 Probabilidade de ruína em t = 5 para cada capital inicial e limite de retenção –
Panjer (Stop-Loss)
Pela tabela 33, fica clara a pouca diferença na ruína quando se adota o
limite de retenção d = 10.000.000 e d = 12.000.000. Além disso, ressalta que,
mesmo depois de 5 anos, a probabilidade de ruína contínua baixa em quase
todos os casos sob esse tipo de cobertura.
7.2.4.4. Probabilidade de ruína discreta e fixa, em um horizonte 1≤t ≤5, de acordo com a legislação da Inglaterra
Aqui será feita a análise da necessidade de capital para garantir
probabilidades de ruínas máximas, fixas pela Inglaterra, ao longo de 5 anos.
No entanto, a cobertura de resseguro Stop-Loss por sua aplicabilidade ser
diretamente em cima da variável S, faz com que a probabilidade de ruína fique
limitada pela região mencionada na seção 7.2.4, ou seja, para muitos limites de
retenção considerados aqui, a probabilidade de ruína é sempre nula, ou não
chega ao máximo fixado pela legislação inglesa ao longo de 5 anos.
Pela figura 43, já é possível perceber que esse método só é aplicável aos
limites de retenção maiores, pois eles truncam a distribuição de S mais a direita,
fazendo com que a área de ruína entre d e UP +~
seja grande o suficiente para
analisar a necessidade de capital atrelada a uma probabilidade de ruína fixa ao
longo dos anos.
Essa limitação pode ser considerada algo a favor da prevenção de ruína
de uma seguradora, ficando mais clara com os resultados a seguir.
Resultados 113
A figura 49 reafirma o que foi dito anteriormente, que o fato de que a área
de ruína seja reduzida pelo d e UP +~
faz com que a ruína não exista, e se existir
não chegue ao máximo exigido pela legislação inglesa, justificando a ausência
no gráfico de algumas curvas.
Porém, nota-se que a necessidade de capital referente aos limites de
retenção de d = 10.000.000 e d = 12.000.000 são praticamente iguais, onde,
pela figura, tem-se uma curva sobreposta a outra.
Como já mencionado, quanto maior a retenção, maior a região de ruína,
mesmo com isso, a necessidade de capital é muito pequena se comparada com
as outras coberturas de resseguro já analisadas, chegando a permitir um
“prejuízo” considerável para alguns casos.
Figura 49 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa - Panjer (1 ≤ t ≤ 5) (Stop-Loss)
Resultados 114
Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5
100.000 -- -- -- -- --
500.000 -- -- -- -- --
2.000.000 -- -- -- -- --
4.000.000 -- -- -- -- --
6.000.000 -1.250.891 -1.544.458 -- -- --
8.000.000 -480.017 -592.350 -794.788 -916.059 -1.028.402
10.000.000 68.078 -189.270 -483.315 -658.173 -806.773
12.000.000 66.443 -185.886 -478.430 -652.999 -808.037
Fonte: Dados Próprios
Necessidade de capital relacionada ao limite retenção,
mantendo a ruína fixa - Panjer
Tabela 34 Necessidade de capital relacionada ao limite retenção, mantendo a ruína fixa
– Panjer (Stop-Loss)
Olhando para a tabela 34, fica evidenciada a necessidade de capital para
alguns dos limites de retenções, e também é possível notar que apesar da
necessidade de capital entre d = 10.000.000 e d = 12.000.000 serem quase
iguais, d = 12.000.000 apresentou uma necessidade de capital mais baixa. Logo,
é possível dizer que o limite de retenção que exige mais capital sob as condições
inglesas é o de d = 10.000.000.
7.2.4.5. Probabilidade de ruína contínua, considerando o intervalo superior t> ∞
E para finalizar a análise dessa cobertura de resseguro, também se
considerou a probabilidade de ruína de maneira contínua, abrangendo t > ∞.
Resultados 115
Da mesma maneira que as outras coberturas de resseguro, o Stop-Loss
apresentou um comportamento bem padrão para esse caso, onde todos os
capitais iniciais selecionados tendem a convergir para uma retenção em comum
conforme a probabilidade de ruína aumenta.
No entanto, quanto menor for o capital inicial, nota-se que o limite de
retenção tende a variar mais com o aumento da probabilidade de ruína. Em
contra partida, possuir um capital inicial de $4.000.000 mostra pouca variação
em d, onde com limites de retenção bem próximos a probabilidade ruína pode
variar de 0,2 a 1,0.
500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000
0,0 2.941.275 2.689.620 2.576.419 2.512.121 2.469.965 2.437.612
0,1 4.629.439 2.689.621 2.502.378 2.433.719 2.395.838 2.373.429 2.356.222 2.343.815
0,2 3.005.960 2.519.412 2.423.298 2.378.117 2.354.268 2.338.684 2.327.814 2.320.377
0,3 2.718.059 2.444.263 2.379.444 2.349.190 2.330.726 2.320.119 2.312.048 2.306.057
0,4 2.576.546 2.398.411 2.351.050 2.328.604 2.315.510 2.306.916 2.300.852 2.296.342
0,5 2.483.669 2.364.005 2.327.540 2.312.952 2.303.205 2.296.788 2.292.243 2.288.856
0,6 2.415.321 2.337.082 2.312.416 2.300.394 2.293.294 2.288.602 2.285.271 2.282.785
0,7 2.366.437 2.313.711 2.298.243 2.289.948 2.285.018 2.281.750 2.279.425 2.277.687
0,8 2.326.647 2.296.711 2.286.220 2.281.028 2.277.928 2.275.867 2.274.398 2.273.298
0,9 2.293.593 2.280.876 2.275.800 2.273.261 2.271.736 2.270.720 2.269.994 2.269.450
1,0 2.270.657 2.267.062 2.266.625 2.266.392 2.266.248 2.266.150 2.266.079 2.266.025
Fonta: Dados Próprios
Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua para cada
capital inicial
Probabilidade
de Ruína
U0
Tabela 35 Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua para
cada capital (Stop-Loss)
Figura 50 Relação entre probabilidade de ruína contínua e o limite de retenção para cada
capital inicial (t > ∞) (Stop-Loss)
Resultados 116
Pela tabela 35, fica mais claro a pouca variação no limite de retenção para
os capitais iniciais mais altos, e mostra uma maior variação para os capitais
iniciais mais baixos. Com isso, um limite de retenção adequado, seria aquele que
levasse a menor probabilidade de ruína possível.
Onde se tem os exemplos: possuir um capital inicial de $500.000, faz com
que se adquira um limite de retenção de d = 4.629.439 para que a ruína seja de
no máximo 0,1; com um capital de $2.000.000, faz com que se adquira um limite
de retenção de d = 2.689.620 para que a ruína seja quase nula; e por fim com
um capital de $4.000.000, faz com que se adquira um limite de retenção de d =
2.437.612 para que a ruína seja também quase nula.
7.3. Análise de sensibilidade
Essa seção tem como objetivo fazer uma análise de sensibilidade de
alguns fatores, tais como: os carregamentos do prêmio; e o fator de crescimento
de sinistro ao longo dos 5 anos analisados. Como foi visto que as aproximações
são bem parecidas entre si, escolheu-se apenas uma para ser comparada com o
método recursivo de Panjer, quando este for viável.
7.3.1. Sensibilidade dos carregamentos do prêmio
Como já foi dito, até então se utilizou o carregamento da resseguradora
(δ(
) sendo maior que o carregamento da seguradora (δ ), onde δ(
= 0,3 e δ =0,2.
Para a análise de sensibilidade, será considerado o mesmo carregamento para a
resseguradora e seguradora, de maneira que δ(
= 0,2 e δ =0,2.
7.3.1.1. Quota-Parte
7.3.1.1.1. Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 1
Primeiramente, como tem sido feito até então, considerou-se a
probabilidade de ruína de maneira discreta em 1 ano.
Resultados 117
A diferença mais evidente aqui, é que a probabilidade de ruína para os
capitais iniciais pequenos não é alta quando se admite um limite de retenção
baixo, pelo contrário, para os limites de retenção baixos a probabilidade de ruína
é quase nula independente do capital inicial possuído.
Em uma visão geral, a probabilidade de ruína é bem menor quando os
carregamentos são iguais, além disso, a relação entre a ruína e o limite de
Figura 51 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Normal Power (Quota-Parte, sensibilidade dos carregamentos)
Figura 52 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Panjer (Quota-Parte, sensibilidade dos carregamentos)
Resultados 118
retenção continua sendo crescente, e dependendo do capital inicial possuído, a
relação é mais forte.
Aqui, Panjer apresentou uma probabilidade de ruína mais alta, sendo mais
evidente para os capitais iniciais maiores, como de $4.000.000, onde na
aproximação a probabilidade foi quase nula, e já por Panjer esta chegou a quase
0,0025.
7.3.1.1.2. Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 5
Considerando agora a probabilidade de ruína discreta depois de 5 anos,
obtiveram-se os seguintes resultados.
Figura 53 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Normal Power (t = 5) (Quota-Parte, sensibilidade dos
carregamentos)
Resultados 119
Da mesma maneira que na seção anterior, é possível ver a ausência de
altas probabilidades para os limites de retenções pequenos, onde estes
apresentaram probabilidades de ruína menores do que os limites grandes,
independente do capital inicial possuído.
A probabilidade de ruína, em geral, aqui é bem menor do que quando se
adota carregamentos diferentes, em especial δ(
> δ . Além disso, considerando
os carregamentos iguais aqui, mostrou que depois de 5 anos a probabilidade de
ruína sofreu um ligeiro aumento, mais evidente até para os capitais iniciais altos,
tais como o de $4.000.000. Onde a relação entre a ruína e limite de retenção se
mostrou ser mais forte e evidente.
Aqui, a diferença entre a aproximação e Panjer é mais evidente,
principalmente pelo fato de que por Panjer a probabilidade mínima encontrada
foi de aproximadamente 0,005, e já pela aproximação a probabilidade mínima foi
quase nula. Além disso, mais uma vez a diferença também é mais evidente para
os capitais iniciais maiores.
7.3.1.1.3. Probabilidade de ruína discreta e fixa, em um horizonte 1≤t ≤5, de acordo com a legislação da Inglaterra
Agora fixando as probabilidades de ruína ao longo dos cinco anos, de
maneira a cumprir as exigências legislativas da Inglaterra.
Figura 54 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Panjer (t = 5) (Quota-Parte, sensibilidade dos carregamentos)
Resultados 120
Figura 56 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa - Panjer (1 ≤ t ≤ 5) (Quota-Parte, sensibilidade dos carregamentos)
Figura 55 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Aproximação Normal Power (1 ≤ t ≤ 5) (Quota-Parte, sensibilidade dos
carregamentos)
Resultados 121
Neste caso, nota-se que a necessidade de capital é muito menor do que
quando se adota carregamentos diferentes, e em especial δ(
> δ . Até mesmo
quando se retém bastante a necessidade de capital não chega a $100.000.
É possível notar também que, aqui, a necessidade de capital tende a
aumentar quanto se aumenta o limite de retenção, apesar de o aumento ser bem
pequeno se comparado quando se assumia os carregamentos diferentes. Além
disso, se tem que assumir um limite de retenção de α = 0,05 implica que a
necessidade de capital, dadas as ruínas fixas ao longo dos 5 anos, é
praticamente constante e bem próxima de zero.
Para esse método não houve grandes diferenças entre Panjer e a
aproximação, onde ambas apresentaram o mesmo tipo de comportamento,
levando as mesmas necessidades de capital.
7.3.1.1.4. Probabilidade de ruína contínua, considerando o intervalo superior t> ∞
Para o caso dos carregamentos serem iguais, Straub (1980) afirma que
existe um tratamento especial. Como foi visto na seção 6.1.1,
2
)1)((
α
αδδδα −−+=
(
q e como δ(
= δ , tem-se que q
q δαα
δ =⇒= . Logo α
só seria válido quando q≤δ , caso contrário α > 1 o que não é possível. Como q
é uma função inversamente dependente de U e da probabilidade de ruína
)(Uψε = (vide seção 5.1) encontra-se uma limitação para esse método.
Sabendo disso, obteve-se o seguinte resultado levando em consideração o
comportamento da função q em questão.
Resultados 122
Pela figura 57, nota-se uma grande diferença do que foi analisado na
seção 7.2.1.4, mostrando que com o tempo contínuo e infinito a probabilidade de
ruína só pôde ser calculada para os capitais iniciais mais baixos, para os demais
α foi maior que 1, portanto estas foram desconsiderados, evidenciando a
limitação desse método .
Figura 57 Relação entre probabilidade de ruína continua e o limite de retenção para cada
capital inicial (t > ∞) (Quota-Parte, sensibilidade dos carregamentos)
Resultados 123
500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000
0,001 27,5% 54,9% 82,4% -- -- -- -- --
0,006 37,0% 74,0% -- -- -- -- -- --
0,011 42,0% 83,9% -- -- -- -- -- --
0,016 45,8% 91,5% -- -- -- -- -- --
0,021 49,0% 97,9% -- -- -- -- -- --
0,026 51,8% -- -- -- -- -- -- --
0,031 54,4% -- -- -- -- -- -- --
0,036 56,9% -- -- -- -- -- -- --
0,041 59,2% -- -- -- -- -- -- --
0,046 61,4% -- -- -- -- -- -- --
0,051 63,5% -- -- -- -- -- -- --
0,055 65,6% -- -- -- -- -- -- --
0,060 67,6% -- -- -- -- -- -- --
0,065 69,5% -- -- -- -- -- -- --
0,070 71,4% -- -- -- -- -- -- --
0,075 73,3% -- -- -- -- -- -- --
0,080 75,2% -- -- -- -- -- -- --
0,085 77,0% -- -- -- -- -- -- --
0,090 78,8% -- -- -- -- -- -- --
0,095 80,6% -- -- -- -- -- -- --
0,100 82,4% -- -- -- -- -- -- --
Fonta: Dados Próprios
U0Probabilidade
de Ruína
Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua
para cada capital inicial
Tabela 36 Relação entre probabilidade de ruína continua e o limite de retenção para
cada capital inicial (t > ∞) (Quota-Parte, sensibilidade dos carregamentos)
Pela tabela 36 é possível analisar melhor o comportamento do limite de
retenção em relação ao capital inicial e a probabilidade de ruína continua infinita,
ou seja, calculada pelo intervalo superior t > ∞.
Diferente do resultado encontrado na seção 7.2.1.4, aqui a probabilidade
de ruína tende a crescer quando se aumenta o limite de retenção, além de
evidenciar a grande diferença, em termos de ruína e retenção, quando se
aumenta o capital inicial da seguradora, ou seja, possuir um capital de $500.000
permite a seguradora reter cerca de 82% dos sinistros com uma probabilidade
Resultados 124
de ruína de 0,1, já com um capital de $1.000.000 retém-se 83% dos sinistros
com uma probabilidade de ruína de 0,01.
7.3.1.2. Excedente de Responsabilidade
7.3.1.2.1. Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 1
Analisando primeiramente a probabilidade discreta em apenas um ano,
chegou-se ao resultado a seguir para essa cobertura de resseguro.
Mais uma vez, é possível ver que manter os carregamentos dos prêmios
iguais evita que exista uma alta probabilidade de ruína para os limites de
retenções menores atrelados a capitais iniciais baixos.
Observou-se também que a probabilidade de ruína em geral é muito baixa,
chegando a ser quase nula para todos os limites de retenção, exceto quando se
tem um capital inicial maior que $1.500.000. Apesar das baixas probabilidades
de ruína, é possível notar que estas crescem ao se aumentar o limite de
retenção a ser adotado.
Figura 58 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Normal Power (Excedente de Responsabilidade, sensibilidade dos
carregamentos)
Resultados 125
7.3.1.2.2. Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 5
Agora, será analisada a ruína discreta no quinto ano, com isso foi obtido o
seguinte resultado.
Pela figura 59, nota-se quase nenhuma diferença aquela referente ao
primeiro ano, mostrando que aqui esse contrato de resseguro se mostrou muito
estável ao longo do tempo, tendo quase nenhuma variação na probabilidade de
ruína ao longo de 5 anos.
7.3.1.2.3. Probabilidade de ruína discreta e fixa, em um horizonte 1≤t ≤5, de acordo com a legislação da Inglaterra
Calculando a necessidade de capital com as ruínas fixas ao longo de 5
anos foi possível chegar ao seguinte resultado.
Figura 59 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Normal Power (t = 5) (Excedente de Responsabilidade,
sensibilidade dos carregamentos)
Resultados 126
Pela figura 60, é possível ver que a necessidade de capital para esse tipo
de cobertura diminui consideravelmente. Tendo um diferencial do Quota-Parte,
sendo a necessidade maior de capital ao assumir um limite de retenção
pequeno.
Além disso, nota-se que quanto mais se retém, mais as necessidades de
capital ficam próximas ao longo dos 5 anos, isso pode ser visto através da
distância entre as curvas no gráfico, estas tendem a diminuir com o aumento do
limite de retenção
7.3.1.2.4. Probabilidade de ruína contínua, considerando o intervalo superior t> ∞
Para essa cobertura ainda é possível utilizar um tratamento especial, dado
que os carregamentos são iguais. Como foi visto na seção 6.1.2,
)(
))(1)(()()2(
)1()1(
mW
mWmWq
−−+=
δδδ(
e como δδ =(
, tem-se que )(
)()2(
)1(
mW
mWq
δ= . É
sabido que .
Figura 60 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Aproximação Normal Power (1 ≤ t ≤ 5) (Excedente de Responsabilidade,
sensibilidade dos carregamentos)
Resultados 127
Além disso, Straub (1980) diz que q pode ser aproximado da seguinte
maneira: q
mWδ
≈)()1( , logo
)()1(
mWq
δ≈ .
Analisando a função acima, podemos dizer que q tem seu valor mínimo
possível igual à δ = 0,2, quando )()1( mW =1, ou seja, m é grande o suficiente
para indicar que se retém praticamente toda a importância segurada.
Para continuar a comparação, olhe a forma que q é defina por Straub
(1980):
−=
2
ln)(
)( εSv
U
SEq
Logo, q pode assumir valores de zero a infinito, de maneira que ao
aumentar U e ε, q tende a se aproximar de zero. Com isso existe um problema,
pois considerar um U grande, tal como $4.000.000, faz com que o q se aproxime
de zero, tornando impossível achar um m que satisfaça a igualdade proposta por
)()1(
mWq
δ≈ . Em outras palavras, a análise da probabilidade de ruína em
relação ao limite de retenção e capital inicial possuído, fica limitada nesse
método quando os carregamentos do prêmio são iguais.
Sabendo dessa deficiência, calcularam-se os limites de retenção
associados às probabilidades de ruína e aos capitais iniciais que fizeram com
que q não fosse inferior a 0,2, para que assim fosse possível utilizar esse
método.
Figura 61 Relação entre probabilidade de ruína continua e o limite de retenção para cada
capital inicial (t > ∞) (Excedente de Responsabilidade, sensibilidade dos carregamentos)
Resultados 128
Para que a análise da figura 55 ficasse mais clara, construiu-se a tabela a
seguir.
500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000
0,001 64.333 253.569 -- -- -- -- -- --
0,006 108.353 599.919 -- -- -- -- -- --
0,011 137.134 1.225.248 -- -- -- -- -- --
0,016 164.262 2.235.274 -- -- -- -- -- --
0,021 192.210 3.209.455 -- -- -- -- -- --
0,026 218.712 4.204.387 -- -- -- -- -- --
0,031 247.499 -- -- -- -- -- -- --
0,036 277.679 -- -- -- -- -- -- --
0,041 309.847 -- -- -- -- -- -- --
0,046 340.888 -- -- -- -- -- -- --
0,051 373.721 -- -- -- -- -- -- --
0,055 410.521 -- -- -- -- -- -- --
0,060 446.598 -- -- -- -- -- -- --
0,065 482.823 -- -- -- -- -- -- --
0,070 521.334 -- -- -- -- -- -- --
0,075 573.919 -- -- -- -- -- -- --
0,080 637.051 -- -- -- -- -- -- --
0,085 707.126 -- -- -- -- -- -- --
0,090 811.164 -- -- -- -- -- -- --
0,095 924.800 -- -- -- -- -- -- --
0,100 1.072.050 -- -- -- -- -- -- --
Fonta: Dados Próprios
U0Probabilidade
de Ruína
Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua para
cada capital inicial
Tabela 37 Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua para
cada capital inicial (Excedente de Responsabilidade, sensibilidade dos carregamentos)
Com a limitação mencionada, só foi possível calcular limite de retenção
referente aos capitais iniciais de $500.000 e $1.000.000 com probabilidades de
ruína inferiores a 0,1.
Com isso, é possível ver uma grande diferença entre os dois capitais
mencionados, mostrando que possuir um capital mais alto permite que
seguradora retenha bem mais, mesmo assim mantendo uma probabilidade de
ruína baixa. E ao contrário do contrato Quota-Parte, neste caso, quanto mais se
retém, maior é a probabilidade de ruína associada.
Resultados 129
7.3.1.3. Excesso de Danos
7.3.1.3.1. Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 1
Aqui também, será iniciada a análise de sensibilidade dos carregamentos
considerando primeiramente a probabilidade de ruína discreta em 1 ano.
Figura 62 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Normal Power (Excesso de Danos, sensibilidade dos
carregamentos)
Figura 63 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Panjer (Excesso de Dano, sensibilidade dos carregamentos)
Resultados 130
No geral, é possível ver que pela aproximação e por Panjer o
comportamento foi o mesmo, apesar de Panjer tem apresentado probabilidades
de ruína menores. Mostrando com isso, mais uma vez, que considerar os
carregamentos de prêmio sendo iguais faz com que reter pouco, mesmo com
capital inicial baixo, implique numa baixa probabilidade de ruína, sendo está
quase nula.
Apesar das probabilidades de ruína serem consideravelmente baixas, a
diferença entre o cenário de uma seguradora com apenas $500.000 e outra com
mais de $2.000.000 é bem evidente, nota-se que a redução na probabilidade de
ruína é bem relevante. No entanto, nota-se que ao assumir um limite de retenção
maior faz com que a probabilidade de ruína aumente também.
7.3.1.3.2. Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 5
Continuando a análise, agora considerando a probabilidade de ruína
discreta após 5 anos.
Figura 64 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Normal Power (t = 5) (Excesso de Danos, sensibilidade dos
carregamentos)
Resultados 131
Mais uma vez, existe pouca diferença no cálculo feito pela aproximação e
por Panjer. É possível notar também que, após 5 anos, houve um ligeiro
aumento nas probabilidades de ruína, sendo este mais perceptível para o cálculo
baseado na recursão de Panjer.
Ainda nota-se um grande aumento na probabilidade de ruína para os
capitais iniciais mais baixos, sendo ainda visível a grande diferente entre capitais
de $500.000 e os maiores de $2.000.000. E também é possível ver que adotar
um limite de retenção maior, implica em um amento na probabilidade de ruína.
7.3.1.3.3. Probabilidade de ruína discreta e fixa, em um horizonte 1≤t ≤5, de acordo com a legislação da Inglaterra
Agora será analisada a necessidade de capital de uma seguradora, dadas
fixas as probabilidades de ruína máximas ao longo dos 5 anos.
Figura 65 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Panjer (t = 5) (Excesso de Danos, sensibilidade dos carregamentos)
Resultados 132
Pelas figuras 66 e 67 acima, observa-se um comportamento praticamente
idêntico entre elas, mostrando que a aproximação é bem fiel ao método
recursivo de Panjer nessa análise.
Figura 66 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Aproximação Normal Power (1 ≤ t ≤ 5) (Excesso de Danos, sensibilidade dos
carregamentos)
Figura 67 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Panjer (1 ≤ t ≤ 5) (Excesso de Danos, sensibilidade dos carregamentos)
Resultados 133
Aqui é possível constatar, mais uma vez, que adotar os carregamentos de
prêmio como sendo iguais, diminui consideravelmente a necessidade de capital
para sustentar as ruínas fixas ao longo dos 5 anos em questão.
Também nota-se que quanto mais se retém, maior é a necessidade de
capital, no entanto, para os limites de retenção grandes a necessidade de capital
tende a ser bem próximo, fato este evidenciado pelas curvas que tendem a se
aproximar com o aumento do limite de retenção.
7.3.1.3.4. Probabilidade de ruína contínua, considerando o intervalo superior t> ∞
Para essa cobertura também existe a possibilidade de utilizar um
tratamento especial, dado que os carregamentos são iguais. Como foi visto na
seção 6.1.3, )(
))(1)(()()2(
)1()1(
rV
rVrVq
−−+=
δδδ(
, onde . E como já
foi mencionado, q pode ser aproximado por: )(
)1( rVq
δ≈ . E da mesma maneira,
a função acima tem seu valor mínimo possível igual à δ =0,2, quando )()1( rV =1,
ou seja, r é bem grande o suficiente para indicar que se retém praticamente todo
o custo individual dos sinistros. Além disso, a função q, que não depende da
cobertura de resseguro, continua podendo assumir valores de zero a infinito.
Logo, a limitação ainda persiste para esse tipo de cobertura.
Da mesma maneira, calcularam-se os limites de retenção associados às
probabilidades de ruína e aos capitais iniciais que fizeram com que q não fosse
inferior a 0,2, para que assim fosse possível utilizar esse método.
Resultados 134
Pela tabela 38 a seguir os resultados podem ficar mais claros, dada a
limitação desse método de cálculo para com esse tipo de cobertura.
Figura 68 Relação entre probabilidade de ruína continua e o limite de retenção para cada
capital inicial (t > ∞) (Excesso de Danos, sensibilidade dos carregamentos)
Resultados 135
500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000
0,001 38.510 101.779 -- -- -- -- -- --
0,006 58.660 163.124 -- -- -- -- -- --
0,011 70.279 219.735 -- -- -- -- -- --
0,016 79.362 280.947 -- -- -- -- -- --
0,021 87.007 364.215 -- -- -- -- -- --
0,026 94.030 477.122 -- -- -- -- -- --
0,031 100.524 -- -- -- -- -- -- --
0,036 106.529 -- -- -- -- -- -- --
0,041 112.745 -- -- -- -- -- -- --
0,046 118.342 -- -- -- -- -- -- --
0,051 125.120 -- -- -- -- -- -- --
0,055 132.188 -- -- -- -- -- -- --
0,060 139.809 -- -- -- -- -- -- --
0,065 147.488 -- -- -- -- -- -- --
0,070 154.537 -- -- -- -- -- -- --
0,075 161.185 -- -- -- -- -- -- --
0,080 168.166 -- -- -- -- -- -- --
0,085 174.588 -- -- -- -- -- -- --
0,090 187.487 -- -- -- -- -- -- --
0,095 198.706 -- -- -- -- -- -- --
0,100 210.896 -- -- -- -- -- -- --
Fonta: Dados Próprios
Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua
para cada capital inicial
Probabilidade
de Ruína
U0
Tabela 38 Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua para
cada capital inicial (Excedente de Responsabilidade, sensibilidade dos carregamentos)
Aqui também só foi possível calcular o limite de retenção para os capitais
iniciais de $500.000 e $1.000.000 com probabilidades de ruína menores que 0,1.
E mais uma vez observou-se que possuir um capital inicial maior, permite a
seguradora a reter mais dos sinistros a uma probabilidade de ruína
consideravelmente baixa. E também, quanto mais se retém, mais risco se
assume e maior é a probabilidade de ruína neste caso.
Resultados 136
7.3.1.4. Stop-Loss
7.3.1.4.1. Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 1
Analisando primeiramente a probabilidade discreta em apenas um ano,
obtiveram-se os resultados a seguir.
Mais uma vez, a diferença mais evidente ao considerar esse tipo de
carregamentos do prêmio é a baixa probabilidade de ruína para os limites de
retenção pequenos, até mesmo quando a seguradora possui um capital inicial
baixo.
Também é possível notar que no geral a probabilidade de ruína é menor,
no entanto, ainda mostrando a grande diferença nas probabilidades entre os
capitais iniciais mais altos e os mais baixos.
7.3.1.4.2. Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 5
Agora estendendo o horizonte de análise para 5 anos, mantendo a
probabilidade de ruína do tipo discreta.
Figura 69 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Panjer (Stop-Loss, sensibilidade dos carregamentos)
Resultados 137
Aqui também é possível notar a baixa probabilidade de ruína para os
limites de retenção pequenos, onde esta é nula para todos os limites de retenção
menores que d = 10.000.000, independente do capital inicial possuído pela
seguradora.
No geral, a probabilidade de ruína sofreu uma pequena diminuição em
relação ao outro tipo de carregamentos de prêmio, também mostrando que
quanto mais se retém, maior será área de ruína e, conseqüentemente, maior a
probabilidade de ruína.
7.3.1.4.3. Probabilidade de ruína discreta e fixa, em um horizonte 1≤t ≤5, de acordo com a legislação da Inglaterra
Considerando agora a probabilidades de ruína fixas de acordo com a
legislação inglesa, e levando em consideração que a área de ruína para essa
cobertura de resseguro é limitada, foi possível obter os seguintes resultados.
Figura 70 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Panjer (t = 5) (Stop-Loss, sensibilidade dos carregamentos)
Resultados 138
Pela figura 71 acima, nota-se um comportamento praticamente idêntico ao
observado anteriormente com os carregamentos do prêmio diferentes,
mostrando que só existe a necessidade de capital quanto se retém mais que d =
6.000.000.
Além disso, é possível observar que a necessidade de capital tende a
convergir para o mesmo ponto quando se aumenta o limite de retenção, isso
pode ser constatado pela proximidade da curva referente a d = 10.000.000 e a d
= 12.000.000.
7.3.1.4.4. Probabilidade de ruína contínua, considerando o intervalo superior t > ∞
Mais uma vez, essa cobertura também apresenta um tratamento especial,
dado que os carregamentos são iguais. Como foi visto na seção 6.1.4,
)(
))(1)(()()2(
)1()1(
dF
dFdFq
−−+=
δδδ(
, onde . E q pode ser
aproximado por: )(
)1( dFq
δ≈ . E mais uma vez, a função acima tem seu valor
mínimo possível igual à δ =0,2, quando )()1( dF =1, ou seja, d é bem grande o
suficiente para indicar que se retém praticamente todo o custo individual dos
sinistros. Além disso, a função q, que não depende da cobertura de resseguro,
Figura 71 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Panjer (1 ≤ t ≤ 5) (Stop-Loss, sensibilidade dos carregamentos)
Resultados 139
continua podendo assumir valores de zero a infinito. Portanto, a limitação
continua a persistir para a cobertura de resseguro Stop-Loss.
A figura 72 se torna mais clara ao transformá-la em uma tabela que pode
ser analisada a seguir.
Figura 72 Relação entre probabilidade de ruína continua e o limite de retenção para cada
capital inicial (t > ∞) (Stop-Loss, sensibilidade dos carregamentos)
Resultados 140
500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000
0,001 1.896.217 3.792.128 -- -- -- -- -- --
0,006 2.553.536 5.113.312 -- -- -- -- -- --
0,011 2.896.455 5.815.823 -- -- -- -- -- --
0,016 3.156.847 6.479.103 -- -- -- -- -- --
0,021 3.379.197 7.442.797 -- -- -- -- -- --
0,026 3.568.020 8.261.505 -- -- -- -- -- --
0,031 3.749.896 -- -- -- -- -- -- --
0,036 3.919.949 -- -- -- -- -- -- --
0,041 4.080.444 -- -- -- -- -- -- --
0,046 4.233.512 -- -- -- -- -- -- --
0,051 4.380.724 -- -- -- -- -- -- --
0,055 4.523.259 -- -- -- -- -- -- --
0,060 4.662.044 -- -- -- -- -- -- --
0,065 4.797.848 -- -- -- -- -- -- --
0,070 4.931.337 -- -- -- -- -- -- --
0,075 5.063.123 -- -- -- -- -- -- --
0,080 5.193.800 -- -- -- -- -- -- --
0,085 5.323.971 -- -- -- -- -- -- --
0,090 5.454.280 -- -- -- -- -- -- --
0,095 5.585.446 -- -- -- -- -- -- --
0,100 5.718.306 -- -- -- -- -- -- --
Fonta: Dados Próprios
Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua
para cada capital inicial
Probabilidade
de Ruína
U0
Tabela 39 Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua para
cada capital inicial (Stop-Loss, sensibilidade dos carregamentos)
Portanto, pela tabela 39 a cima é possível notar que a probabilidade de
ruína máxima que pôde ser calculada foi de 0,1, referente apenas aos capitais
iniciais de $500.000 e $1.000.000.
A diferença entre os dois capitais iniciais aqui é bem clara, onde possuir
um capital inicial de $1.000.000 permite o segurador reter cerca de $8.261.505
do custo total de sinistros com uma probabilidade de ruína de 0,026, onde com o
capital de $500.000 o segurador só reteria $3.568.020 com a mesma
probabilidade de ruína.
Resultados 141
7.3.1. Sensibilidade do fator de crescimento de sinistro anual
Até em tão se considerou um crescimento anual de sinistros de 10%,
baseando-se em informações contidas no banco de dados, tais como o prêmio
ganho anual, onde este crescia cerca de 10% ao ano.
Portanto, aqui será analisada a sensibilidade desse fator, o considerando
agora como 0%, ou seja, supondo que não exista crescimento significante no
número de sinistros anuais.
7.3.1.1. Quota-Parte
Considerando a cobertura de resseguro Quota-Parte, foi obtido o seguinte
resultado.
Figura 73 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Normal Power (t = 5) (Quota-Parte, sensibilidade do crescimento do
λ)
Resultados 142
Primeiramente, calculando a probabilidade de ruína relacionada a cada
limite de retenção e capital inicial depois de 5 anos, logo, pelas figuras 73 e 74 a
cima foi possível notar que a principal diferença se encontra no capital inicial de
$4.000.000, onde este apresentou uma probabilidade de ruína mais baixa.
Comparando a aproximação utilizada com o método de Panjer, é possível ver
que ambos os métodos apresentaram resultados bem semelhantes, lembrando
que a recursão de Panjer foi calculada em cima de cinco limites de retenção α, já
a aproximação foi calculada em cima de cinqüenta limites de retenção, por isso o
gráfico de Panjer é menos suave.
Com isso, é possível mostrar que o crescimento do número de sinistros
anuais não influencia muito no resultado para a probabilidade de ruína discreta,
pois ao diminuir o crescimento de λ implica em um menor prêmio retido pela
seguradora, pois este é calculado em cima do custo total de sinistros anuais.
Logo, diminuir o λ faz que o prêmio retido diminua, e aumentar o λ faz com
que o prêmio retido aumente, logo essa troca acaba se compensando,
ocasionando uma grande diminuição no impacto desse fator no resultado final.
A seguir será considerado o método que fixa as probabilidades de ruína
ao longo de 5 anos de acordo com a legislação inglesa, e calcula a necessidade
de capital referente a certo limite de retenção.
Figura 74 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Panjer (t = 5) (Quota-Parte, sensibilidade do crescimento do λ)
Resultados 143
Figura 75 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Aproximação Normal Power (1 ≤ t ≤ 5) (Quota-Parte, sensibilidade do
crescimento do λ)
Figura 76 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Panjer (1 ≤ t ≤ 5) (Quota-Parte, sensibilidade do crescimento do λ)
Resultados 144
Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5
0,05 650.394,38 1.233.304,90 1.809.338,87 2.381.704,92 2.951.487,83
0,15 591.210,18 980.807,44 1.350.491,13 1.711.377,86 2.068.212,58
0,30 500.979,65 639.569,79 761.787,28 874.289,98 976.966,93
0,45 411.644,42 415.760,86 402.669,82 377.800,89 347.290,10
0,60 325.426,27 246.790,46 162.485,36 80.309,20 5.290,70
0,75 235.823,42 93.692,34 -38.290,54 -157.374,14 -259.154,61
0,90 148.598,99 -51.884,92 -226.403,81 -372.034,52 -500.734,46
0,99 99.275,99 -137.949,07 -333.329,17 -497.709,41 -639.150,21
Fonte: Dados Próprios
Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa - Aproximação Normal Power
Tabela 40 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa – Aproximação Normal Power (Quota-Parte, sensibilidade do crescimento do λ)
Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5
0,05 618.584,62 1.163.184,44 1.700.133,67 2.231.691,86 2.761.721,49
0,25 503.058,11 681.919,67 849.153,29 1.006.335,10 1.156.470,62
0,50 356.559,65 316.781,27 267.864,03 213.979,92 159.001,28
0,75 201.317,72 56.334,88 -78.781,48 -195.674,90 -301.562,01
0,99 69.156,63 -164.439,92 -355.678,37 -516.268,43 -650.884,84
Fonte: Dados Próprios
Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa - Panjer
Tabela 41 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa – Panjer (Quota-Parte, sensibilidade do crescimento do λ)
Pelas figuras 75 e 76 é possível ver que ambos os métodos produziram
resultados com comportamentos bem semelhantes, levando então ao mesmo
tipo de conclusão. Com isso, nota-se que a necessidade de capital aqui só
apresentou uma diferença considerável para os limites de retenção muito baixos,
tais como α = 0,05 e α = 0,15, e também para o limite de retenção mais alto α =
0,99.
Como foi mencionado, o prêmio retido da seguradora depende do custo
total de sinistros esperado, e também do custo total de sinistros repassados
esperado, logo reter pouco diminui muito o prêmio retido, necessitando um
capital mais alto para controlar a probabilidade de ruína de acordo com a
legislação inglesa.
O mesmo acontece quando se adotou um limite de retenção que é quase
igual a 100%, onde o custo total de sinistros repassados esperado fica bem
reduzido, aumentando consideravelmente o prêmio retido, fazendo com que a
necessidade de capital seja menor.
Portanto, foi possível ver que a mudança no crescimento do número de
sinistros só é sensível para a necessidade de capital quando se considera um
limite de retenção muito alto ou muito baixo.
Resultados 145
7.3.1.2. Excedente de Responsabilidade
Analisando agora a sensibilidade do crescimento do número de sinistro
para a cobertura de resseguro Excedente de Responsabilidade.
Da mesma maneira que o Quota-Parte, a principal diferença encontrada
aqui foi na baixa retenção relacionada aos capitais iniciais mais altos, onde aqui
se mostra que possuir um capital inicial maior ou igual que $3.000.000 implica
que a probabilidade de ruína do segurador após 5 anos é quase nula.
No entanto, para o restante dos capitais iniciais considerados, o
comportamento geral da figura 77 a cima é bem similar do observado na seção
7.2.2.3, mostrando aqui também que ao considerar um crescimento nulo no
número de sinistros ocasionaram-se poucas mudanças nos resultados para a
probabilidade de ruína discreta após 5 anos.
Fixando agora as ruína ao longo de 5 anos, de acordo com a legislação
inglesa, foram produzidos os seguintes resultados.
Figura 77 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Normal Power (t = 5) (Excedente de Responsabilidade,
sensibilidade do crescimento do λ)
Resultados 146
Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5
15.000 467.346,71 709.422,91 966.034,47 1.228.664,24 1.494.280,03
30.000 335.890,89 341.937,42 349.327,04 356.870,61 364.498,48
250.000 60.542,41 -167.371,01 -321.718,62 -443.528,33 -543.356,02
500.000 100.987,01 -188.723,15 -390.652,01 -548.777,33 -676.537,41
750.000 93.038,65 -215.903,96 -422.618,29 -587.970,52 -722.418,19
1.000.000 91.187,51 -225.776,54 -434.904,36 -603.497,97 -740.816,24
1.250.000 94.765,54 -224.910,67 -437.995,07 -608.891,03 -747.915,26
1.500.000 98.394,58 -222.609,61 -438.904,69 -611.419,12 -751.562,06
Fonte: Dados Próprios
Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção,
mantendo a ruína fixa – Aproximação Normal Power
Tabela 42 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa – Aproximação Normal Power (Excedente de Responsabilidade, sensibilidade do
crescimento do λ)
Já neste caso, a única grande diferença se encontra nos limites de
retenção pequenos, tais como m = 5.000 e m = 15.000. Como essa cobertura de
resseguro depende diretamente da importância segurada para calcular a
proporção da apólice a ser retida pela seguradora, a diferença não foi
encontrada nos extremos, como foi visto para o Quota-Parte.
Logo, é possível concluir que ao considerar um crescimento nulo no
número de sinistros anuais ocasionou pouco impacto na necessidade de capital
sob esse tipo de cobertura de resseguro, isso se dá pelo modo que o prêmio
Figura 78 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Aproximação Normal Power (1 ≤ t ≤ 5) (Excedente de Responsabilidade,
sensibilidade do crescimento do λ)
Resultados 147
retido é diretamente dependente do custo total de sinistros esperados,
ponderado por um carregamento de prêmio.
7.3.1.3. Excesso de Danos
Fazendo o mesmo tipo de análise para esta cobertura de resseguro não
proporcional, obtiveram-se os seguintes resultados.
Figura 79 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Aproximação Normal Power (t = 5) (Excesso de Danos, sensibilidade do
crescimento do λ)
Figura 80 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Panjer (t = 5) (Excesso de Danos, sensibilidade do crescimento do λ)
Resultados 148
Pelas figuras 79 e 80 a cima nota-se que o comportamento da
aproximação e da recursão de Panjer é bem semelhante, podendo levar aos
mesmos tipos de análises e conclusões, relembrando que o método de Panjer foi
calculado em cima de nove limites de retenção r, já a aproximação foi calculada
em cima de cinqüenta limites de retenção, por isso o gráfico de Panjer é menos
suave.
Em geral, aqui se observou um resultado bastante parecido com o
resultado apresentado na seção 7.2.3.2, exceto para os capitais iniciais maiores
e iguais a $3.000.000, onde aqui apresentaram uma probabilidade de ruína
quase nula após 5 anos para os limites de retenção consideravelmente baixos.
Mais uma vez, foi possível notar o pouco impacto que o crescimento no
número anual de sinistros tem sobre o resultado geral da probabilidade de ruína
calculada de maneira discreta após 5 anos.
Considerando agora a necessidade de capital, dado o novo padrão de
crescimento do número de sinistros e as ruínas fixas de acordo com a legislação
inglesa, os resultados encontram-se nas figuras e tabelas a seguir.
Figura 81 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Aproximação Normal Power (1 ≤ t ≤ 5) (Excesso de Danos, sensibilidade do
crescimento do λ)
Resultados 149
Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5
10.000 369.818,76 485.274,50 613.363,73 748.623,17 887.415,69
60.000 -30.866,71 -192.896,66 -303.785,39 -390.049,32 -463.294,43
120.000 -56.670,27 -290.422,40 -449.354,63 -573.746,49 -679.247,27
180.000 -18.665,37 -294.305,52 -473.720,54 -628.433,91 -748.649,38
240.000 16.413,69 -278.052,10 -479.936,68 -636.247,97 -767.399,55
300.000 49.889,11 -264.911,19 -472.375,55 -636.024,78 -773.065,19
360.000 71.146,01 -245.140,71 -463.030,14 -633.490,18 -773.445,93
415.000 87.482,00 -235.189,20 -456.012,32 -630.020,34 -772.029,21
Fonte: Dados Prórprios
Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção,
mantendo a ruína fixa - Aproximação Normal Power
Tabela 43 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa – Aproximação Normal Power (Excesso de Danos, sensibilidade do crescimento do
λ)
Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5
10.000 415.509,00 636.993,47 842.009,86 1.042.688,44 1.239.049,46
60.000 20.078,66 -110.955,09 -216.545,60 -305.101,69 -381.434,46
120.000 -35.964,73 -230.831,99 -388.153,39 -514.678,39 -623.272,66
180.000 -20.140,25 -182.345,99 -340.235,73 -487.050,58 -602.033,10
240.000 20.257,24 -212.132,20 -400.652,90 -561.348,85 -692.014,05
300.000 34.639,89 -194.743,62 -389.387,70 -555.735,36 -688.484,02
360.000 45.378,25 -185.693,81 -381.169,90 -550.178,00 -685.020,20
415.000 55.361,47 -183.836,87 -377.358,21 -544.676,22 -683.071,93Fonte: Dados Próprios
Necessidade de capital relacionada ao limite retenção, mantendo a ruína fixa -
Panjer
Tabela 44 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa – Panjer (Excesso de Danos, sensibilidade do crescimento do λ)
Figura 82 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Panjer (1 ≤ t ≤ 5) (Excesso de Danos, sensibilidade do crescimento do λ)
Resultados 150
Os resultados apresentados pela aproximação e pelo método recursivo de
Panjer aqui também são bem similares, levando a um mesmo tipo de conclusão
e análise.
Para este caso, a diferença de considerar um crescimento, ou não, no
número de sinistros anuais é quase inexistente, o a necessidade de capital para
sustentar as ruínas fixas pela legislação da Inglaterra é irrisória para todos os
limites de retenção considerados. No entanto, para o limite de retenção r =
10.000 a diferença é um pouco maior do que dos outros limites de retenção,
porém ainda pode ser considerada muito pequena.
7.3.1.4. Stop-Loss
Continuando com a análise de sensibilidade em questão, considerou-se
agora a cobertura de resseguro Stop-Loss.
Figura 83 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital
inicial – Panjer (t = 5) (Stop-Loss, sensibilidade do crescimento do λ)
Resultados 151
500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000
100.000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000
500.000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000
2.000.000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000
4.000.000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000
6.000.000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000
8.000.000 0,0016288 0,0001886 0,0000162 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000
10.000.000 0,0195949 0,0048738 0,0006705 0,0000758 0,0000223 0,0000061 0,0000015 0,0000015
12.000.000 0,0202026 0,0054837 0,0012813 0,0002673 0,0000522 0,0000099 0,0000018 0,0000018
Probabilidade de ruína em t = 5 para cada capital inicial e limite de retenção - Panjer
Limite de
Retenção
U0
Fonte: Dados Próprios Tabela 45 Probabilidade de ruína em t = 5 para cada capital inicial e limite de retenção –
Panjer (Stop-Loss, sensibilidade do crescimento do λ)
No caso da probabilidade de ruína ser contínua após 5 anos, foi possível
encontrar algumas diferenças do que foi apresentado na seção 7.2.4.3, aqui se
encontrou uma diminuição na probabilidade de ruína para os capitais a partir de
$3.000.000 e limites de retenção baixos. Em contra partida, observou-se também
um aumento na probabilidade de ruína referente ao limite de retenção de d =
8.000.000, onde na seção 7.2.4.3 era nula, e aqui chegou a 0,0016 para o
capital inicial de $500.000.
No geral, as probabilidades de ruína são bem próximas, porém um pouco
menores quando se considera esse comportamento de crescimento do número
de sinistros anuais.
Portanto, para essa cobertura de resseguro, a alteração no crescimento do
λ teve um impacto mais relevante no cálculo da probabilidade de ruína em t = 5
do que as coberturas de resseguro analisadas até então.
Da mesma maneira, considerou-se o comportamento da necessidade de
capital dada tal mudança no λ, com isso obtiveram-se os seguintes resultados.
Figura 84 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de
ruína fixa – Panjer (1 ≤ t ≤ 5) (Stop-Loss, sensibilidade do crescimento do λ)
Resultados 152
Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5
100.000 -- -- -- -- --
500.000 -- -- -- -- --
2.000.000 -- -- -- -- --
4.000.000 -- -- -- -- --
6.000.000 -1.252.750 -1.523.060 -2.168.215 -2.633.558 -3.129.453
8.000.000 -480.562 -540.047 -760.262 -883.011 -1.003.275
10.000.000 56.426 -178.914 -477.424 -651.158 -800.334
12.000.000 68.839 -171.704 -477.424 -652.160 -800.333Fonte: Dados Próprios
Necessidade de capital relacionada ao limite retenção,
mantendo a ruína fixa - Panjer
Tabela 46 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína
fixa – Panjer (Stop-Loss, sensibilidade do crescimento do λ)
Pela figura 84 e tabela 46 foi possível notar uma grande diferença do que
já foi observado na seção 7.2.4.4. Como já foi mencionada, essa cobertura de
resseguro possui um tratamento diferente, dado que este é aplicado diretamente
em cima da variável aleatória S, limitando a área de ruína pelo limite de retenção
d e o resultado ( UP +~
) obtido pela seguradora. Como se diminuiu o número de
sinistro anua ao longo de 5 anos, fez com que o prêmio retido pela seguradora
diminui-se também, fazendo com que UP +~
fosse menor, aumentando assim a
área de ruína.
Então aqui foi possível calcular a necessidade de capital referente ao limite
de retenção d = 6.000.000 de maneira completa, indicando que ouve realmente
um aumento na área de ruína. No entanto, a necessidade de capital em si é
bem parecida do encontrado na seção 7.2.4.4, mostrando que apesar do prêmio
retido ter sofrido uma diminuição, o numero de sinistros também sofreu uma
diminuição fazendo com que um fato amenizasse o outro.