Necessidade de Capital em Fun o do Resseguro) · Da mesma maneira que se desmembrou X, é possível desmembrar S: , onde é a parte total dos sinistros retidos pela seguradora, e

7 Resultados

Neste capítulo, primeiramente, será feita uma análise geral do banco de

dados utilizando estatísticas descritivas e histograma. A partir daí será feita uma

análise sobre a distribuição de S, custo total de sinistros, utilizando o princípio da

restrição à Poisson Composta, onde seus parâmetros dão possibilidade ao

cálculo de aproximações para a distribuição de S, tais como Normal, Gama

Transladada e Normal Power.

Além das aproximações, para observar o comportamento teórico da

distribuição de S e criar uma análise comparativa com as aproximações, será

utilizado o método recursivo de Panjer para o cálculo da mesma. Para tanto,

associar-se-ão probabilidades discretizadas de uma Gama e Log-Normal, com

parâmetros provindos da Poisson Composta. Para testar a aderência de tais

distribuições aos dados será utilizado o teste de aderência Qui-Quadrado como

ferramenta de análise. Além disso, para análise em longo prazo, considerar-se-á

que a distribuição de X, denotada por V(x), não se altera ao longo do tempo.

E finalmente, será feita uma análise individual para cada cobertura de

resseguro utilizando o cálculo da distribuição do custo total de sinistros retidos

pela seguradora ( S~

) através de aproximações e, quando possível, através do

cálculo recursivo de Panjer. Onde em tal análise será levado em consideração à

probabilidade de ruína de modo discreto e finito, em um horizonte de 1 ano

( )1,(~ Uψ ) e de 5 anos ( )5,(~ Uψ ), e de modo contínuo, pelo limite superior t > ∞

( )(UΨ ). Para o cálculo das probabilidades em um horizonte discreto, onde t ≥ 1,

será considerado um crescimento de dez por cento na ocorrência de sinistros

anual, baseado em informações contidas no banco de dados referentes ao

prêmio ganho anual.

Também será feita uma análise comparativa entre estes métodos de

cálculo de ruína, fazendo um levantamento da necessidade de capital de cada

limite de retenção para cada método de cálculo. Vale ressaltar que, para esta

dissertação, o prêmio será calculado como ( ) )()1()(1~

SESEP((

δδ −−+= , e

DBD

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Resultados 60

inicialmente os carregamentos de prêmio serão: δ = 0,2 e δ(

= 0,3, de maneira

a ilustrar o fato de que, geralmente, δ < δ(

.

Finalizando o capítulo, será feita uma análise de sensibilidade de alguns

fatores, tais como: os carregamentos do prêmio do segurador (δ ) e do

ressegurador (δ(

); e o fator de crescimento de sinistro ao longo dos 5 anos

analisados. Para tanto, primeiramente será considerado δ = δ(

= 0,2 para o

caso em que a seguradora não obtém lucros, nem perdas em comissão,

significativos no seu cálculo de prêmio retido. E também será considerado um

crescimento de 0% no número de sinistros ocorridos anual. Com isso, espera-se

ver o quão sensível são os resultados perante as mudanças desses fatores.

7.1. Resultados Gerais

Para os cálculos e análises das metodologias citadas foi utilizada uma

base de dados de uma companhia de seguros não identificada. Esses dados são

compostos apenas pelos valores de sinistros ocorridos e avisados em um

período de um ano, juntamente com um histórico de quatro anos do número de

ocorrências de sinistros anual e também do prêmio ganho anual. No entanto, os

aqui feitos não consideram a reserva run-off15 da seguradora. A seguir foi feito

uma estatística descritiva completa da variável X.

15

Provisão constante de contratos de resseguro pela qual o ressegurador fica responsável, após o

seu encerramento ou rescisão, por todos os riscos em vigor após a data pactuada, até a expiração

do último risco ressegurado.

DBD


Resultados 61

Média 30.343,36

Erro padrão 2.305,04

Mediana 14.379,59

Moda 120

Desvio padrão 47.798,35

Variância da amostra 2.284.682.591,51

Curtose 18,60

Assimetria 3,73

Intervalo 415.404,70

Mínimo 80

Máximo 415.485

Soma 13.047.646,21

Contagem 430

Estatística Descritiva de X

Fonte: Dados próprios

Tabela 11 Estatística Descritiva de X – valor individual do sinistro

Figura 5 Histograma da distribuição empírica de X

DBD


Resultados 62

Na figura 5 é possível ver uma breve estatística descritiva e o

comportamento da variável aleatória X, valor do sinistro individual. Restringiu-se

então a distribuição de S, total custo com sinistros, a uma Poisson Composta de

parâmetro λ. Ou seja, ·, onde V(x) é a distribuição de

probabilidade da variável aleatória X. Isto foi feito, pois uma Poisson Composta

implementa freqüência e severidade, possui resultados teórica e algumas

propriedades que facilitam os cálculos.

Nesse estudo, o parâmetro λ, referente à variável aleatória N, número total

de sinistros no tempo analisado, foi calculado através de um histórico dos

últimos quatro anos do número total de sinistros, excluindo os sinistros com

valores iguais à zero.

Semestre de Número de

ocorrência sinistros

2000-1 45

2000-2 59

2001-1 99

2001-2 125

2002-1 72

2002-2 35

2003-1 50

2003-2 31

Total - 516

Número de sinistro, por

semestre e ano

Fornte: Dados Próprios

Total por ano

104

224

107

81

Tabela 12 Número de sinistro, por semestre e ano

Desta análise foi escolhido o máximo entre os valores anuais de sinistros,

ou seja, foi considerado λ = 224. Com isso foi possível calcular os parâmetros

sobre a distribuição de S, utilizando a Poisson Composta em questão e as suas

propriedades, obteve-se a tabela 13 a seguir.

DBD


Resultados 63

λλλλ = 224

Média 6.796.913

Variância 716.819.951.960

E(S2) 46.914.851.371.913

Parâmetros da

distribuição de S

Coeficiente de

Assimetria0,23678626

Fonte: Dados próprios Tabela 13 Parâmetros da distribuição de S

Com tais parâmetros as aproximações de S podem ser calculadas, tais

como a Normal, Gama Transladada e Normal Power.

A distribuição de S também foi calculada de forma recursiva pelo método

de Panjer. É sabido que esse método de cálculo só é possível se a distribuição

de X for discreta, logo se associaram probabilidades discretizadas de uma Gama

e uma Log-Normal à X. Tais distribuições foram escolhidas pois, de acordo com

Kaas (2008), são boas representantes do comportamento do custo de sinistros

individuais e por se adequarem bem ao cálculo da distribuição de S por Panjer.

Na escolha das distribuições a serem associadas, utilizou-se o teste de

aderência Qui-Quadrado, pois este determina se um conjunto de dados, uma vez

tratados em freqüência, adere suficientemente a uma distribuição de

probabilidade teórica.

80 41620 345 329,697 0,7103 80 41620 345 332,733 0,4523

41620 83161 46 55,406 1,5967 41620 83161 46 42,958 0,2154

83161 124701 20 23,054 0,4046 83161 124701 20 17,871 0,2537

124701 166242 5 10,784 3,1022 124701 166242 5 9,714 2,2875

166242 207782 8 5,324 1,3446 166242 207782 8 6,039 0,6370

207782 249323 2 2,713 0,1873 207782 249323 2 4,078 1,0585

249323 290863 1 1,411 0,1197 249323 290863 1 2,914 1,2568

290863 332404 2 0,745 2,1160 290863 332404 2 2,170 0,0133

332404 373944 0 0,397 332404 373944 0 1,668

373944 415485 0 0,214 373944 415485 0 1,315

Total 9,5814 Total 6,1744

Valor Crítico 11,070 Valor Crítico 11,070

Valor Observado 9,581 Valor Observado 6,174

Poder do teste (1-

ββββ)8,8%

Poder do teste (1-

ββββ)29,0%

Fonte: Dados Próprios Fonte: Dados Próprios

Limite inferior Limite superior o(i) e(i) Teste χχχχ2

Teste Qui-Quadrado para a aderência do

dados à distribuição Gama

Teste Qui-Quadrado para a aderência do dados

à distribuição LogNormal

Limite inferiorLimite

superioro(i) e(i) Teste χχχχ2

Tabela 14 Teste de aderência Qui-Quadrado

DBD


Resultados 64

Figura 6 Distribuição de freqüências acumuladas dos dados observados e das

distribuições em análise

Pela tabela 14 e figura 16 nota-se que o tanto a Gama, quanto a

LogNormal, aderem-se muito bem a variável aleatório X, tornando plausível dizer

que X pode ser distribuído por tais distribuições.

Pela figura 7 observa-se o comportamento da variável ‘custo total de

sinistros’, sendo possível notar uma comparação da distribuição S, em sua

totalidade, entre os seus diferentes métodos de cálculos: aproximações pela

Normal, Gama Transladada e Normal Power; e o cálculo recursivo de Panjer.

DBD


Resultados 65

Figura 7 Comportamento comparativo entre a densidade de S e suas diferentes formas

de cálculo

Neste momento é pertinente a análise específica para resseguros. Do

ponto de vista de qualquer contrato de resseguro, é possível então reescrever X

da seguinte maneira: , onde representa a parte dos sinistros

individuais retida pela seguradora, e a parte cedida a resseguradora. Como o

foco deste trabalho é a necessidade de capital da seguradora em relação ao

limite de retenção, logo se tem maior interesse em estudar a variável X da

maneira desmembrada, principalmente na parcela retida pela seguradora.

Como já mencionado, para se utilizar o método de Panjer no cálculo de S,

foram associadas probabilidades discretizadas de uma Gama e uma LogNormal

ao X, o mesmo deveria ser feito a e . No entanto, dizer que e seguem

uma LogNormal com parâmetros específicos, não implica que

também seguirá uma LogNormal. Já a distribuição Gama possui uma série de

propriedades que garantem tal afirmação. Dentre elas, útil para o caso do

resseguro proporcional: Para qualquer κ > 0 tem-se que se ,

logo .

Já no caso do resseguro não proporcional, terá que ser feito um

truncamento na distribuição Gama, separando a parte retida pela seguradora e a

parte repassada a resseguradora. No entanto, tal cálculo e fundamento serão

mais bem ilustrados na seção referente aos resseguros não proporcionais.

DBD


Resultados 66

Da mesma maneira que se desmembrou X, é possível desmembrar S:

, onde é a parte total dos sinistros retidos pela seguradora, e a

parte cedida a resseguradora.

No entanto, S, S~

e S(

devem ser tratados e calculados de maneira

separada, pois sabemos que somo de Poisson Composta independentes resulta

numa Poisson Composta com seus parâmetros somados, já se a somo for

dependente nada pode ser afirmado.

Para fins comparativos, decidiu-se utilizar em todos os cálculos ao longo

desse estudo a distribuição de calculada por Panjer somente com as

probabilidades discretizadas da Gama.

7.2. Análise dos resultados

A partir dessa parte do estudo considerar-se-á que o capital inicial da

seguradora poderia variar entre $500.000 e $4.000.000. O valor das várias

formas de cálculo de probabilidade de ruína será calculado variando a cobertura

de resseguro e seu limite de retenção.

Para o cálculo das probabilidades em um horizonte discreto considerando t

= 1, 2, 3, 4 e 5, a fins ilustrativos, fixaram-se as ruínas de cada ano de acordo

com as normas legislativas da Inglaterra, onde, de acordo com Claus (2006),

estas determinam que a ruína máxima anual permitida deve seguir o seguinte

comportamento: 5,0*)( tRuínaMáxP t = , onde t representa o tempo discreto.

Com isso então, foram fixadas ruínas em um horizonte de 5 anos, e a partir

daí foram calculadas os capitais mínimos necessários para evitar a extrapolação

das ruínas máximas estipuladas.

DBD


Resultados 67

1 0,05

2 0,10

3 0,15

4 0,20

5 0,25

ΨΨΨΨtt

Tabela 15 Ruínas fixadas de acordo com a legislação da Inglaterra

E também, por fim, serão fixados o capital inicial e a probabilidade de

ruína, no caso contínuo, dando a possibilidade de encontrar um limite de

retenção correspondente.

7.2.1. Quota-Parte

Como já foi citado, este é um tipo de resseguro proporcional no qual a

seguradora repassa ao ressegurador uma quota fixa percentual dos seus

negócios, e o ressegurador se responsabiliza pela mesma proporção em cada

um dos sinistros ocorridos.

7.2.1.1. Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 1

No horizonte de apenas 1 ano, pelas figuras 8, 9 e 10, é possível notar que

não existem grandes discrepâncias entre os três tipos de aproximação, todas

levaram a mesma conclusão. Foi possível observar dois cenários diferentes e

dependentes do capital inicial da seguradora. Primeiramente, com valores de

capital baixos, implicar em reter o máximo possível para diminuir a probabilidade

de ruína. Isso, pois o prêmio de resseguro faz com que o prêmio total retido pela

seguradora seja muito baixo, podendo até ser negativo. Desta maneira, contratar

um resseguro alto é arriscado, podendo até levar a ruína. No outro caso, quando

o capital da seguradora é mais elevado, evidencia-se um comportamento mais

linear entre a ruína e o limite de retenção, onde quanto mais se retém maior

seria a probabilidade de ruína.

DBD


Resultados 68

Figura 8 Relação entre o limite de retenção e probabilidade de ruína para cada capital

inicial – Aproximação Normal (Quota-Parte)


inicial – Aproximação Gama Transladada (Quota-Parte)

DBD


Resultados 69


inicial – Aproximação Normal Power (Quota-Parte)

Da mesma forma, o uso do método recursivo de Panjer para construir a

distribuição do custo total de sinistros retidos pela seguradora se deu como

possível, primeiramente, pela propriedade da distribuição Gama, já citada

anteriormente, e também por que o cálculo recursivo é feito sobre , o qual, no

Quota-Parte, consiste apenas em uma proporção de retenção fixa para todos as

apólices, ou seja, .

Portanto, foram selecionadas algumas retenções e capitais iniciais para

que fosse possível fazer as devidas comparações, pois a construção da

distribuição é feita sobre de cada limite de retenção estipulado.

DBD


Resultados 70


inicial – Panjer (Quota-Parte)

É possível notar que o comportamento entre o capital inicial, o limite de

retenção e a probabilidade de ruína se manteve praticamente o mesmo daquele

observado na caso das aproximações, ou seja, para capitais iniciais baixos

implicaria em reter o máximo possível para diminuir a probabilidade de se obter

ruína, e para capitais iniciais mais altos, quanto mais se retém maior vai ser a

probabilidade de ruína.

Um fator fundamental nos resultados obtidos até agora é a relação entre

os carregamentos de prêmio, e isso será evidenciado nos futuros cálculos e,

posteriormente, através da análise de sensibilidade dos carregamentos.


Utilizando o método de cálculo discreto da probabilidade de ruínas, foram

feitos os mesmos procedimentos anteriores, sendo que se considerou um

horizonte de 5 anos, ou seja, tem-se a probabilidade da ruína ocorrer até o

quinto ano.

DBD


Resultados 71


inicial – Aproximação Normal (t = 5) (Quota-Parte)


inicial – Aproximação Gama Transladada (t = 5) (Quota-Parte)

DBD


Resultados 72


inicial – Aproximação Normal Power (t = 5) (Quota-Parte)

Pelas figuras 12, 13 e 14 a cima, é possível notar, exceto com o capital de

$500.000, que a partir da retenção de 75% a probabilidade de ruína tende a

crescer. No entanto, fica evidente que para todos os casos, exceto do capital

incial de $4.000.000, adota um limite de retenção baixo implica também em uma

probabilidade de ruína bem próxima de 1,0.

Ainda por estas figuras verifica-se que quanto maior é o capital inicial, mais

controlado é o comportamento da probabilidade de ruína em relacão aos limites

de retenção. Por exemplo, com um capital inicial de $4.000.000 a seguradora

teria a liberdade de assumir qualquer limite de retenção e mesmo assim ainda

manteria sua probabilidade de ruína sendo menos, ou igual, a 0,01. Logo, quanto

menor o capital inicial da seguradora, mais sensível será a probabilidade de

ruína em relação ao limite de retenção adotado.

Ao contrário do resultado encontrado considerando apenas um ano, aqui

foi possível notar um aumento geral na probabilidade de ruína, principalmente as

referentes aos limites de retenção baixos, independente do capital inicial, como

foi mencionado anteriormente.

Com o mesmo princípio anterior, a mesma metodologia foi usada na

distribuição construída recursivamente por Panjer e os resultados podem ser

vistos na tabela 16 e figura 15.

DBD


Resultados 73

500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000

0,05 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,999232 0,118521 0,004279

0,25 0,973877 0,628273 0,184909 0,030691 0,006419 0,004376 0,004282 0,004280

0,50 0,089500 0,017941 0,006264 0,004569 0,004338 0,004309 0,004306 0,004305

0,75 0,033007 0,009862 0,005327 0,004618 0,004522 0,00451 0,004509 0,004509

0,99 0,036648 0,019475 0,014501 0,013263 0,012987 0,012929 0,012917 0,012915

Probabilidade de ruína em t = 5 para cada capital inicial e limite

de retenção - Panjer

Limite de

Retenção

Fonte: Dados Próprios

U0

Tabela 16 Probabilidade de ruína t = 5 para cada capital inicial e limite de retenção –

Panjer (Quota-Parte)


inicial – Panjer (t = 5) (Quota-Parte)

Levando em consideração que a recursão de Panjer foi calculada em cima

de cinco limites de retenção α, seu gráfico é menos suave. Logo, pela figura 15,

é possível notar um comportamento semelhante ao encontrado nas

aproximações, evidenciando até a diferença entre os capitais iniciais,

principalmente quando estes são bem mais altos. Tal comportamento

provavelmente se relaciona especificamente com a forma de retenção. Ficou

claro que com o passar do tempo, assumir um limite de retenção baixo não é

favorável, até mesmo para quando se tem capitais iniciais grandes.

Não tanto através da figura 15, mas sim pela tabela 16, pôde-se notar que

existe um ponto mínimo de ruína, ou seja, se decidir reter mais do que tal ponto

DBD


Resultados 74

implica numa ruína com tendência crescente. Neste caso particular, esse ponto é

o de α = 0,75, ou seja, reter 75% dos sinistros totais tem uma probabilidade

menor do que se retesse 99%, por exemplo.

Apesar de comportamentos semelhantes entre as aproximações e o

cálculo da distribuição por Panjer, apenas nesta foi possível evidenciar com

clareza tal ponto de mínimo para o Quota-Parte.

7.2.1.3. Probabilidade de ruína discreta e fixa, em um horizonte 1≤t ≤5, de acordo com a legislação da Inglaterra

Novamente foram utilizadas algumas aproximação sobre a distribuição de

e o cálculo recursivo da mesma por Panjer, porém nesse caso foi necessário

fazer o cálculo inverso das probabilidades, ou seja, dada uma probabilidade

pergunta-se o evento da mesma.

Fixando a ruína dos cinco anos subsequentes de acordo como mostra a

tabela 15, tem como objetivo determinar o capital necessário para sustentar tais

exigências até o final do quinto ano. Logo, ao observar o comportamento do

capital inicial ao longo dos 5 anos, é possível dizer que o capital inicial maior é

aquele que sustentaria as probabilidades de ruína fixas pela legislação da

Inglaterra.

Figura 16 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de

ruína fixa – Aproximação Normal (1 ≤ t ≤ 5) (Quota-Parte)

DBD


Resultados 75


ruína fixa – Aproximação Gama Transladada (1 ≤ t ≤ 5) (Quota-Parte)


ruína fixa – Aproximação Normal Power (1 ≤ t ≤ 5) (Quota-Parte)

Fica evidente pelas figuras 16, 17 e 18 o impacto do carregamento prêmio

ao longo do tempo, sendo possível ver que a necessidade gradual de capital ao

longo dos 5 anos segue um padrão diferente do esperando, porém, é

DBD


Resultados 76

conseqüência do cálculo de prêmio utilizado. Com isso, é claro ver que as

aproximações mantêm um mesmo comportamento ao longo dos cinco anos,

mostrando uma necessidade maior de possuir um capital inicial grande quando

se retém consideravelmente pouco. É possível ver que quanto maior a retenção

menor será a necessidade de capital ao longo dos cinco anos.

Além disso, nota-se que a partir de certo nível de retenção a necessidade

de capital se torna negativa, por que o lucro diante do resseguro é tão grande

que não há necessidade de capital.

Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

0,05 647.563,28 1.292.041,92 1.992.177,13 2.757.961,90 3.597.729,86

0,15 582.779,29 1.020.842,90 1.476.444,44 1.965.491,43 2.495.341,89

0,30 485.540,75 638.695,06 786.125,22 928.611,69 1.070.642,25

0,45 386.639,38 390.505,77 373.149,97 342.940,05 307.416,23

0,60 291.837,23 209.822,41 120.674,36 39.488,92 -38.277,96

0,75 193.824,48 47.778,44 -82.619,57 -196.961,81 -297.377,15

0,90 97.543,68 -103.475,57 -273.064,73 -412.758,96 -534.315,89

0,99 39.224,00 -150.521,58 -353.781,36 -537.715,90 -672.061,17


Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína

fixa - Aproximação Normal

Tabela 17 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína

fixa – Aproximação Normal (Quota-Parte)

Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

0,05 650.029,88 1.292.990,28 1.992.192,48 2.757.524,58 3.596.791,27

0,15 590.223,22 1.023.686,27 1.476.705,98 1.964.449,98 2.493.593,44

0,30 502.581,12 653.383,12 797.224,24 939.723,48 1.080.695,19

0,45 411.735,37 415.852,72 396.333,34 364.616,79 327.130,89

0,60 319.198,70 238.438,65 145.388,60 58.245,99 -24.141,36

0,75 231.996,15 82.952,40 -59.512,78 -183.003,19 -288.541,49

0,90 144.593,86 -65.508,40 -246.497,74 -398.351,67 -529.291,15

0,99 91.927,71 -151.673,28 -355.405,94 -524.453,50 -668.023,54



fixa - Aproximação Gama Transladada


fixa – Aproximação Gama Transladada (Quota-Parte)

DBD


Resultados 77

Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

0,05 650.152,45 1.292.942,58 1.992.247,61 2.757.553,19 3.596.820,51

0,15 592.112,35 1.023.913,81 1.476.871,89 1.964.570,28 2.493.684,53

0,30 503.337,02 653.879,56 797.620,76 940.056,29 1.080.984,11

0,45 413.713,45 417.850,59 397.123,58 365.424,20 327.907,00

0,60 324.894,55 240.331,75 146.578,78 59.379,98 -23.080,46

0,75 233.874,33 84.563,62 -57.809,54 -180.684,00 -287.307,80

0,90 146.740,02 -65.959,85 -244.743,27 -396.695,16 -527.837,37

0,99 94.270,30 -149.630,21 -353.751,50 -522.648,20 -666.410,12



fixa - Aproximação Normal Power


fixa – Aproximação Normal Power (Quota-Parte)

Através das tabelas 17, 18 e 19, fica mais evidente a pouca diferença entre

os três métodos de aproximação de , além de evidenciar os pontos onde não

há necessidade de capital para uma dada retenção e probabilidade de ruína fixa.

Além disso, é possível notar, em azul, a necessidade de capital mínimo para que

a probabilidade de ruína máxima siga as normas legislativas da Inglaterra.

Tanto pelas figuras, quanto pelas tabelas, é possível notar que assumir

uma retenção de cerca de 50% acarreta uma necessidade de capital quase que

invariante ao longo dos 5 anos, podendo até dizer que se garante a ruína

máxima pré-estabelecida com o mesmo capital inicial ao longo de cada ano.

Da mesma maneira, os cálculos foram feitos em cima da distribuição

construída recursivamente pelo método de Panjer, e assim obtiveram-se os

seguintes resultados.

DBD


Resultados 78


ruína fixa – Panjer (1 ≤ t ≤ 5) (Quota-Parte)

Pela figura 19, nota-se um comportamento semelhante ao já encontrado,

mostrando que quanto mais se retém menos capital é necessário para sustentar

as ruínas fixas de acordo com a legislação inglesa, evidenciando o impacto dos

carregamentos de prêmio no cálculo. Também percebe-se que com um limite de

retenção alto não há necessidade de capital para alcançar as probabilidades de

ruína fixadas.

Da mesma maneira que as aproximações, ainda é possível notar que reter

cerca de 50% dos sinistros, implica numa necessidade de capital pouco variante

ao longo dos 5 anos de ruína pré-estabelicida.

Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

0,05 618.867,64 1.244.743,29 1.918.617,26 2.647.102,48 3.438.289,35

0,25 500.940,00 727.277,02 954.199,68 1.174.146,53 1.398.985,07

0,50 354.175,27 323.792,44 281.063,30 220.983,03 160.083,01

0,75 208.109,89 52.827,79 -101.101,20 -233.513,71 -343.857,73

0,99 70.894,68 -168.512,08 -351.101,72 -518.500,61 -610.728,12



fixa - Panjer


fixa – Panjer (Quota-Parte)

DBD


Resultados 79

Comparando Panjer e as aproximações, mais claramente visto pelas

tabelas, nota-se pouca diferença entra os valores de capital inicial necessários, e

constata-se mais uma vez um padrão no comportamento do mesmo.

7.2.1.4. Probabilidade de ruína contínua, considerando o intervalo superior t> ∞

E por último, por motivos de comparação, considerou-se também a ruína

de maneira contínua, ou seja, a ruína considerada agora é aquela que abrange

todo o tempo futuro, ou seja, t > ∞.

Da maneira que foi mostrado na parte metodológica desse estudo, a

maneira de cálculo contínua da retenção resulta numa equação do segundo grau

com duas raízes. Logo, a raiz escolhida é aquela que está compreendida entre

zero e um, caso ambas pertençam a esse intervalo, a maior retenção é a

escolhida.

Figura 20 Relação entre probabilidade de ruína continua e o limite de retenção para cada

capital inicial (t > ∞) (Quota-Parte)

DBD


Resultados 80

500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000

0,0 43,6% 39,7% 38,0% 37,0% 36,4% 35,9%

0,1 39,4% 36,9% 35,8% 35,3% 34,9% 34,7% 34,5%

0,2 44,2% 37,2% 35,7% 35,0% 34,7% 34,4% 34,3% 34,1%

0,3 40,0% 36,1% 35,0% 34,6% 34,3% 34,1% 34,0% 33,9%

0,4 37,9% 35,3% 34,6% 34,3% 34,1% 33,9% 33,9% 33,8%

0,5 36,6% 34,8% 34,3% 34,0% 33,9% 33,8% 33,7% 33,7%

0,6 35,6% 34,4% 34,0% 33,9% 33,7% 33,7% 33,6% 33,6%

0,7 34,9% 34,1% 33,8% 33,7% 33,6% 33,6% 33,5% 33,5%

0,8 34,3% 33,8% 33,6% 33,6% 33,5% 33,5% 33,5% 33,4%

0,9 33,8% 33,6% 33,5% 33,4% 33,4% 33,4% 33,4% 33,4%

1,0 33,4% 33,4% 33,3% 33,3% 33,3% 33,3% 33,3% 33,3%

Fonta: Dados Próprios

U0Probabilidade

de Ruína

Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua

para cada capital inicial

Tabela 21 Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua para

cada capital inicial (Quota-Parte)

Pela figura 20 e tabela 21, chega a ser possível dizer que para cada linha

de capital inicial, existe uma retenção ótima. Tal retenção ótima é aquela que

possui menos probabilidade de ruína, pois nota-se que a partir de certo ponto a

ruína pode chegar a variar até 100%. Por exemplo, com um capital inicial de

$4.000.000, tem-se uma ruína de 1% para a retenção de 36%, e a partir daí,

reter menos, pode variar a ruína de 10% até 100% (fato esse que fica claro pela

linha contínua que cruza o gráfico praticamente numa vertical). Logo, tem-se que

o ponto de máximo de todas as linhas de capital inicial é o ponto ótimo de

retenção.

Da mesma maneira, ainda fica claro o impacto do cálculo do prêmio nos

resultados, onde reter mais tende a diminuir a probabilidade de ruína em longo

prazo, e também, é possível notar que possuir um capital inicial grande dá

liberdade à seguradora de reter menos se necessário.

Por se tratar de um método de cálculo que abrange todo tempo contínuo

futuro, ele indica que você deve reter menos do que se comparado ao método

que considera o tempo discreto, levando a resultados mais conservadores.

DBD


Resultados 81

7.2.2. Excedente de Responsabilidade

O Excedente de Responsabilidade é um resseguro do tipo proporcional,

que determina uma proporção de retenção para cada apólice, baseando-se na

importância segurada da mesma em relação a um limite de retenção m. Logo,

esse tipo de cobertura é um pouco mais delicado e complicado, portanto não é

tão trivial quanto outras coberturas de resseguro proporcionais.

Como já foi mencionado, o banco de dados desse estudo possui apenas o

valor dos sinistros ocorridos em um ano, tal cobertura de resseguro necessita a

importância segurada de cada apólice para que o cálculo da retenção possa ser

feito. Para tanto, simularam-se 430 valores entre 0 (zero) e 1 (um), para

representar a variável grau de sinistro ( ), onde . Com isso, foi possível

calcular a importância segurada de cada apólice, dado que .

7.2.2.1. Aplicação de Panjer a esse tipo de cobertura

Foi encontrada uma limitação no cálculo recursivo através do método de

Panjer, pois este calcula a distribuição de decomposta entre N e , sob a

hipótese que as variáveis aleatórias são independentes e identicamente

distribuídas (iids). No entanto, como cada apólice sobre essa cobertura possui

uma retenção diferente, logo também possui momentos diferentes, e

conseqüentemente, parâmetros diferentes para a distribuição associada.

Para melhor compreensão desta limitação observe que poderia ser

representada pela soma de certo número de ’s, onde cada representaria o

sinistro retido referente à retenção i e seria associado a um específico. Sabe-

se também que somas de Poisson Composta independentes é Poisson

Composta, sendo que, neste caso particular, a distribuição dos ’s se

modificaria para cada retenção. Logo:

DBD


Resultados 82

Assim é possível notar que essa cobertura de resseguro consiste em uma

“soma de vários Quota – Partes”, dessa maneira a aplicação de Panjer fica um

tanto quanto inviável, dado que associar as probabilidades aos ’s seria

demasiadamente complicado e trabalhoso. E isso faz com que o método perca

sua funcionalidade em relação ao tempo/resultados obtidos em questão, dado

que existem aproximações de boa qualidade com aplicações diretas e que

possuem comportamentos bem fiéis ao comportamento da distribuição teórica de

.

No entanto, uma saída para ainda utilizar o método, considerando os ’s

iguais para todo i, seria calcular recursivamente cada atrelado a sua retenção,

e daí utilizar um método de convolução para somar todas as possibilidades de

retenção. Logo, seria necessário convoluir n distribuições para cada limite de

retenção m estipulado. Porém, mais uma vez, seguir com essa alternativa não

compensaria o tempo gasto em tal cálculo, dado que existem as aproximações

mencionadas.

Portanto, para dar continuidade as análises comparativas, foram utilizadas

apenas as aproximações para a distribuição do custo total de sinistros retidos

pela seguradora ( ).


Da mesma maneira, primeiro considerou-se a probabilidade de ruína de

maneira discreta no horizonte de apenas 1 ano, obtendo os resultados

apresentados a seguir nas figuras 21, 22 e 23.

DBD


Resultados 83

Figura 21 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade ruína para cada capita

inicial – Aproximação Normal (Excedente de Responsabilidade)


inicial – Aproximação Gama Transladada (Excedente de Responsabilidade)

DBD


Resultados 84


inicial – Aproximação Normal (Excedente de Responsabilidade)

Nesta cobertura de resseguro, a diferença entre as aproximações é mais

aparente, onde na aproximação Normal apresenta para algumas combinações

de limite de retenção e capital inicial uma probabilidade de ruína inferior as

outras aproximações. Como a Normal apenas considera os dois primeiros

momentos da distribuição, supõem se este seja o motivo para tal diferença. É

importante salientar que caso aproximação normal seja utilizada o analista

estaria subestimando a probabilidade de ruína. De qualquer maneira, o

comportamento geral das variáveis se manteve o mesmo, levando as mesmas

conclusões.

Pelas figuras 21, 22 e 23 ainda fica evidente o impacto do cálculo do

prêmio nos resultados, e pode-se notar que possuir um limite de retenção

pequeno, ou seja, possuir uma proporção de retenção pequena, pode então

acarretar em altas probabilidades de ruína apenas se for acompanhado de um

capital inicial consideravelmente baixo, o que mais uma vez evidencia o impacto

do cálculo do prêmio nos resultados. No entanto, existe um ponto mínimo de

ruína para tais capitais baixos, onde assumir um limite de retenção maior, ou

menor, faz com que a probabilidade de ruína tenha uma tendência crescente.

Onde, para este caso, se a seguradora possuir um capital inicial de $500.000, é

possível notar que assumir um limite de retenção m = 65.000 garante uma

probabilidade de ruína mínima possível.

Olhando para os capitais iniciais mais altos, também nota-se uma relação

mais linear entre as variáveis: probabilidade de ruína e limite de retenção, onde

quanto maior é o limite de retenção, maior será a probabilidade de ruína atrelada

DBD


Resultados 85

a este. No entanto, é válido ressaltar que o aumento no capital inicial de

$500.000 para $1.000.000 resultou numa significante redução na probabilidade

de ruína, chegando a uma ruína praticamente nula quando se tem capitais

iniciais maiores que $1.000.000.

Ao se comparar os resultados aqui obtidos com aqueles no caso do Quota-

Parte, observa-se que a probabilidades de ruína serão inferiores no caso de

Excedente de Responsabilidade. Uma melhor análise dessa diferença será feita

nas conclusões.


Agora considerando um horizonte de 5 anos, foram obtidos os resultados

apresentados nas figuras a seguir.


inicial – Aproximação Normal (t = 5) (Excedente de Responsabilidade)

DBD


Resultados 86


inicial – Aproximação Gama Transladada (t = 5) (Excedente de Responsabilidade)


inicial – Aproximação Normal Power (t = 5) (Excedente de Responsabilidade)

Nota-se novamente uma pequena diferença entre a Normal e as outras

aproximações, principalmente quando se tem um aumento nas retenções, onde

a amplitude dos valores da probabilidade de ruína da figura 24 são menores se

comparadas com as figuras 25 e 26.

Com o passar do tempo, em t = 5, fica evidente, assim como no Quota-

Parte, que assumir um limite de retenção pequeno pode levar a ruína certa,

devido ao impacto do calculo do prêmio nos resultados, e também fica claro o

impacto do cálculo do prêmio nos resultados. Dessa maneira, observa-se que a

DBD


Resultados 87

partir de certo ponto a probabilidade de ruína tende a crescer, evidenciando que

para cada linha de capital inicial existe um limite de retenção ótimo, que leva a

uma probabilidade de ruína mínima possível.

Evidencia-se que quanto maior for o capital inicial da seguradora menor vai

ser a sua probabilidade de ruína. Onde em casos extremos, como por exemplo,

um capital inicial de $4.000.000, a variação na probabilidade de se obter ruína é

tão pequena que o limite de retenção deixa de ser determinante da mesma,

sendo possível assumir qualquer valor para o limite de retenção m.

A relação limite de retenção versus probabilidade de ruína é crescente

para quase todos os capitais iniciais considerados, sendo diferenciada apenas

pela velocidade de tal crescimento. No entanto, para capitais iniciais menores,

nota-se que reter mais leva a um aumento na probabilidade de ruína.

Comparando com o resultado encontrado em t = 1, foi possível ver um

aumento no quadro geral de ruína, principalmente quando a seguradora assume

limites de retenção mais baixos. Em relação ao Quota-Parte, notou-se que as

probabilidade de ruína são menores no Excedente de Responsabilidade.


Agora fixando as probabilidades de ruína ao longo dos cinco anos, de

maneira a cumprir as exigências legislativas da Inglaterra, onde esta fixa, num

horizonte de 5 anos, o máximo de ruína permitido para cada um desses anos,

ficando possível então determinar a necessidade de capital para sustentar essas

exigências.

DBD


Resultados 88


ruína fixa – Aproximação Normal (1 ≤ t ≤ 5) (Excedente de Responsabilidade)


ruína fixa – Aproximação Gama Transladada (1 ≤ t ≤ 5) (Excedente de Responsabilidade)

DBD


Resultados 89


ruína fixa – Aproximação Normal Power (1 ≤ t ≤ 5) (Excedente de Responsabilidade)

Pelas figuras 27, 28 e 29, nota-se que reter pouco exige um capital maior,

e este é crescente ao longo dos anos. Já, por outro lado, reter mais implica

numa menor necessidade de capital, e este decresce ao longo dos cinco anos.

Também, é possível notar que a partir de certo ponto de limite de retenção a

necessidade de capital pouco se altera.

Da mesma maneira, pode-se notar que, dependendo do limite de

retenção assumido, a necessidade de capital fica negativa, indicando que na

verdade não há necessidade de capital inicial para alcançar a probabilidade

máxima de ruína fixada anteriormente.

DBD


Resultados 90

Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

15.000 463.899,32 743.508,01 1.065.196,70 1.424.940,36 1.824.608,88

30.000 329.869,42 345.555,90 369.428,99 383.188,24 404.569,53

250.000 24.672,74 -184.220,18 -331.119,40 -445.089,35 -542.041,32

500.000 45.680,90 -218.151,91 -405.235,03 -551.533,12 -678.464,43

750.000 40.269,86 -247.583,20 -437.854,68 -590.577,03 -719.741,82

1.000.000 37.460,76 -251.204,26 -450.778,45 -606.039,17 -738.049,69

1.250.000 39.774,42 -252.353,37 -454.387,66 -611.503,99 -745.127,31

1.500.000 42.327,17 -256.139,93 -455.150,73 -614.161,77 -748.763,27


Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção,

mantendo a ruína fixa – Aproximação Normal


fixa – Aproximação Normal (Excedente de Responsabilidade)

Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

15.000 467.617,53 744.719,54 1.065.221,27 1.424.008,54 1.822.856,18

30.000 335.574,18 350.642,80 369.481,14 389.246,18 410.700,37

250.000 57.045,45 -168.076,17 -322.973,67 -445.243,45 -545.585,03

500.000 97.569,58 -191.481,45 -392.880,00 -551.514,42 -679.921,68

750.000 90.399,22 -218.783,99 -424.901,76 -590.793,33 -725.903,67

1.000.000 88.802,79 -223.018,38 -437.128,61 -606.365,25 -744.346,71

1.250.000 92.424,59 -227.786,58 -440.352,49 -611.807,73 -751.515,21

1.500.000 96.022,12 -225.489,67 -441.312,07 -614.388,20 -755.222,35



mantendo a ruína fixa – Aproximação Gama Transladada


fixa – Aproximação Gama Transladada (Excedente de Responsabilidade)

Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

15.000 467.410,71 744.781,96 1.065.291,11 1.424.085,32 1.822.936,80

30.000 336.312,72 350.819,69 369.618,32 389.406,92 410.891,00

250.000 57.185,02 -167.205,89 -322.183,26 -444.513,75 -544.931,95

500.000 99.755,26 -188.630,69 -390.956,85 -549.899,50 -678.452,82

750.000 92.561,39 -215.641,39 -422.970,20 -589.163,56 -724.425,54

1.000.000 90.971,08 -225.431,49 -435.275,34 -604.721,82 -742.865,93

1.250.000 94.657,17 -224.517,07 -438.359,20 -610.125,08 -749.989,47

1.500.000 98.319,30 -222.193,31 -439.258,17 -612.656,57 -753.651,15



mantendo a ruína fixa – Aproximação Normal Power


fixa – Aproximação Normal Power (Excedente de Responsabilidade)

Pela tabela 22, 23 e 24 é possível ver em destaque a necessidade de

capital inicial mínima dado que as probabilidades de ruína toleradas foram fixas

anteriormente. Evidenciando o impacto do cálculo do prêmio nos resultados, pois

DBD


Resultados 91

a necessidade de capital inicial tende a diminuir conforme se aumenta o limite de

retenção adotado pela seguradora.

Adotando um limite de retenção de mais ou menos m = 30.000 é possível

notar que existe pouca variação na necessidade de capital ao longo dos anos,

podendo dizer que com praticamente o mesmo capital inicial para cada um dos 5

anos é possível atingir a probabilidade de ruína máxima exigida pela legislação

inglesa.

Também, pela análise comparativa entre métodos através da tabelas,

notou-se pouca diferença entre os métodos de aproximação utilizados, onde

esses acabam levando ao mesmo tipo de resultados e conclusões.


E por fim, foi considerada a ruína com tempo contínuo, ou seja, a

probabilidade de ruína abrange qualquer tempo futuro, continuando com o

mesmo princípio de variar a linha de capital inicial, e compará-la com a

probabilidade de ruína, e o limite de retenção atrelado a ela.

Pelo método que considera o tempo contínuo e infinito, é possível notar

que os limites de retenção atrelados aos capitais iniciais selecionados são, em

geral, menores que aqueles do método de tempo discreto e finito. Apesar de

também ficar evidente o impacto do cálculo do prêmio nos resultados, aqui estes

foram tão conservadores quanto aqueles do Quota-Parte.

Figura 30 Relação entre probabilidade de ruína contínua e o limite de retenção para cada

capital inicial (t > ∞) (Excedente de Responsabilidade)

DBD


Resultados 92

No entanto, ainda é possível notar que para cada linha de capital inicial

possui-se um limite de retenção ótimo, onde este leva a uma probabilidade de

ruína mínima.

500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000

0,0 112.774,59 98.509,66 94.981,11 93.341,84 92.439,30 91.850,44 91.438,04 91.131,83

0,1 98.166,57 93.243,50 91.766,60 91.063,85 90.661,49 90.370,77 90.199,43 90.066,96

0,2 95.180,89 91.933,42 90.956,31 90.485,69 90.205,99 90.021,15 89.890,57 89.792,87

0,3 93.491,40 91.209,48 90.492,11 90.141,50 89.933,63 89.795,88 89.697,84 89.624,33

0,4 92.408,24 90.703,83 90.162,82 89.897,70 89.739,74 89.634,66 89.559,65 89.503,41

0,5 91.575,16 90.313,76 89.908,94 89.708,75 89.588,91 89.509,05 89.452,02 89.409,26

0,6 90.914,62 89.999,44 89.702,43 89.554,35 89.465,50 89.406,27 89.364,25 89.332,97

0,7 90.369,64 89.736,68 89.528,20 89.423,83 89.361,34 89.320,13 89.290,92 89.269,03

0,8 89.907,37 89.510,40 89.377,52 89.311,37 89.272,27 89.246,21 89.227,60 89.213,65

0,9 89.508,13 89.311,45 89.246,00 89.213,55 89.194,07 89.181,07 89.171,78 89.164,82

1,0 89.154,94 89.136,03 89.129,53 89.126,21 89.124,20 89.122,85 89.121,88 89.121,15


U0Probabilidade

de Ruína

Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua para

cada capital inicial


cada capital inicial (Excedente de Responsabilidade)

E também, pela tabela 25, pode-se notar que, a partir de um ponto, o limite

de retenção pouco se altera, fazendo com que a probabilidade de ruína varie de

0,5 a 0,99 com praticamente o mesmo limite de retenção.

Como por exemplo, para a linha de capital inicial de $4.000.000, para ter

uma ruína de probabilidade 0,5 assume-se um limite de retenção de m = 89.409;

e para ter uma ruína de 0,99 de probabilidade assume-se um limite de retenção

de m = 89.121. Logo, é possível notar que a diferença do limite de retenção é

muito pequena, ainda mais se levar em consideração que esse limite determina

uma proporção de retenção, fazendo com que essa diferença influencie muito

pouco no total retido pela seguradora.

7.2.3. Excesso de Danos

Começando agora a análise das coberturas de resseguros não

proporcionais, o Excesso de Danos consiste fixar um valor máximo de

responsabilidade para cada sinistro ocorrido, considerado como o limite de

retenção dessa cobertura. Se o custo do sinistro exceder o limite de retenção

DBD


Resultados 93

adotado, este excedente é repassado a resseguradora; caso contrário, a

seguradora retém o custo do sinistro em sua totalidade.


Continuando o formato utilizado até o momento, primeiramente foi

considerada a probabilidade de ruína discreta em um horizonte de apenas 1 ano.

Para tanto, consideraram-se limites de retenção que variam de 81, próximo ao

mínimo de custo individual de sinistro observado nos dados, a 415.000, o

máximo observado. Utilizou-se r = 81 como limite de retenção mínimo, pois

valores inferiores a este a seguradora não retém nada.

Figura 31 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital

inicial – Aproximação Normal (Excesso de Danos)

DBD


Resultados 94

Fazendo uma ligeira comparação entre as aproximações, nota-se que a

Gama Transladada e a Normal Power são praticamente idênticas pelos gráficos,

já a aproximação pela Normal apresentou pelo gráfico uma ruína um pouco

diferente, onde as curvas de capital inicial estão menos dispersas, assim como

foi observado no Excedente de Responsabilidade. No geral, as três

aproximações apresentaram o mesmo tipo de comportamento, o que acabou

levando as mesmas conclusões a seguir.

Olhando para as figuras 31, 32 e 33, ainda é evidente que adquirir um

limite de retenção maior faz com que a probabilidade de ruína aumente também,

porém, possuir um capital inicial consideravelmente grande, faz com que a


inicial – Aproximação Gama Transladada (Excesso de Danos)


inicial – Aproximação Normal Power (Excesso de Danos)

DBD


Resultados 95

probabilidade de ruína cresça de maneira bem mais lenta. Tal crescimento

chega a ser quase imperceptível se o capital inicial da seguradora é grande,

como por exemplo, um capital inicial de $4.000.000.

Mais uma vez, fica claro que reter pouco também não é aconselhado a

esse tipo de cálculo de prêmio retido dado que o capital inicial da seguradora é

pequeno, pois retendo pouco do total de sinistros, significa reter pouco do prêmio

pago à seguradora, e que, em alguns casos, não é suficiente para cobrir o

prêmio de resseguro.

Para esse tipo de cobertura, o cálculo da distribuição de S~

pelo método

recursivo de Panjer se tornou possível pelo fato de que essa cobertura consiste

apenas em um truncamento da variável aleatória X, custo individual de sinistro,

logo foi necessário também fazer um truncamento, no ponto de retenção, na

distribuição discretizada Gama que foi associada a X~

. Então, com isso foram

obtidos os resultados a seguir.

Para o cálculo de Panjer foram considerados nove limites de retenção,

variando de r = 81 até r = 415.000, e com isso notou-se o mesmo

comportamento, ou seja, possuir um capital inicial pequeno implica em um

considerável aumento na probabilidade de ruína, e dependendo do limite de

retenção adotado a probabilidade de ruína pode chegar bem próxima a 1,0. Aqui,

ficou mais claro que adotar um limite de retenção de r = 60.000 faz com que se


inicial – Panjer (Excesso de Danos)

DBD


Resultados 96

alcance o mínimo possível na probabilidade de ruína quando a seguradora

possui um capital inicial de $500.000.

Olhando os maiores capitais iniciais, o limite de retenção aumenta com a

probabilidade de ruína. E para o capital inicial como $4.000.000 esse

crescimento é quase nulo, podendo-se dizer que independente do limite de

retenção adotado, a probabilidade de ruína é sempre bem próxima de 0 (zero).


Expandindo o horizonte de análise para 5 anos, e ainda considerando a

probabilidade de ruína de maneira discreta, obtiveram-se os seguintes

resultados.


inicial – Aproximação Normal (t = 5) (Excesso de Danos)

DBD


Resultados 97

Da mesma maneira, considerou-se o limite de retenção a partir de r = 81. É

possível notar que ao passar dos anos fica mais arriscado assumir um limite de

retenção consideravelmente baixo, principalmente para as capitais iniciais mais

baixos, aonde a probabilidade de ruína chega bem perto de 1,0. Para os capitais

iniciais grandes, principalmente o de $4.000.000, nota-se que não importa o

limite de retenção adotado, a probabilidade de ruína é muito próxima de zero,


inicial – Aproximação Gama Transladada (t = 5) (Excesso de Danos)


inicial – Aproximação Normal Power (t = 5) (Excesso de Danos)

DBD


Resultados 98

dando a seguradora com tal capital inicial, a liberdade de reter a quantidade que

desejar dos sinistros sem apresentar maiores riscos de ruína.

É possível notar que o comportamento após cinco anos, é praticamente

idêntico ao comportamento encontrado no primeiro ano apenas. Logo, também

nota-se uma relação crescente entre a probabilidade de ruína e limite de

retenção, onde tal relação fica bem mais amena quando se possui um capital

inicial consideravelmente alta. Portanto, é possível até dizer que o Excesso de

Danos é mais estável ao longo dos anos, quando se considera a probabilidade

de ruína de maneira discreta.

Mais uma vez, para o cálculo de Panjer foram considerados nove limites

de retenção, variando de r = 81 até r = 415.000, vide tabela 26 a seguir onde é

possível notar um comportamento semelhante ao encontrado nas aproximações

calculadas. Nota-se que a probabilidade de ruína é bem alta quando o capital

inicial é menor que $1.000.000 e o limite de retenção é menor que r = 10.000. No

geral, a probabilidade de ruína cresce com o aumento do limite de retenção.


inicial - Panjer (t = 5) (Excesso de Danos)

DBD


Resultados 99

500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000

81 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,004343

10.000 0,999956 0,892691 0,234098 0,009248 0,000048 0,000000 0,000000 0,000000

60.000 0,006405 0,000346 0,000014 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

120.000 0,010445 0,001506 0,000168 0,000016 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000

180.000 0,015609 0,003202 0,000567 0,000094 0,000015 0,000003 0,000000 0,000000

240.000 0,018783 0,004510 0,000922 0,000168 0,000030 0,000007 0,000004 0,000003

300.000 0,020992 0,005422 0,001207 0,000244 0,000053 0,000019 0,000014 0,000013

360.000 0,022259 0,005967 0,001388 0,000299 0,000071 0,000031 0,000024 0,000023

415.000 0,022958 0,006268 0,001490 0,000331 0,000082 0,000038 0,000030 0,000029

Probabilidade de ruína em t = 5 para cada capital inicial e limite de

retenção - Panjer

Limite de

Retenção


U0

Tabela 26 Probabilidade de ruína em t = 5 para cada capital inicial e limite de retenção –

Panjer (Excesso de Danos)

Na mesma tabela 26, fica claro que reter apenas 81 leva a seguradora a

uma probabilidade de ruína de quase 1,0, exceto se ela possuir um capital inicial

de $4.000.000. Além disso, para os capitais iniciais grandes, nota-se que para

alguns limites de retenção a probabilidade de ruína é quase nula, e adotando r =

180.000 o segurador retém o máximo possível com probabilidade de ruína quase

nula. Para todos os capitais iniciais analisados existe um determinado limite de

retenção que levaria a uma probabilidade de ruína mínima, onde esta é bem

próxima de zero para todos os casos.


Analisando a necessidade de capital de uma seguradora, dadas fixas as

probabilidades de ruína máximas ao longo dos 5 anos, obteve-se os seguintes

resultados.

DBD


Resultados 100


ruína fixa – Aproximação Normal (1 ≤ t ≤ 5) (Excesso de Danos)


ruína fixa – Aproximação Gama Transladada (1 ≤ t ≤ 5) (Excesso de Danos)

DBD


Resultados 101

Pelas figuras 39, 40 e 41, nota-se uma diferença entre a aproximação

Normal com a Gama Transladada e Normal Power. Tal diferença fica bem mais

perceptível quando se aumenta o limite de retenção, principalmente a partir de

r = 180.000, onde pela Normal o capital necessário é negativo, e já pelas outras

aproximações ele é positivo e consideravelmente maior. No entanto, o

comportamento geral apresentado pelos gráficos é bem similar para as três

aproximações.

É possível notar um comportamento bem diferente do encontrado para os

resseguros proporcionais. Mostrando que para controlar a probabilidade de ruína

como estipulado, adotando um limite de retenção maior, faz com que a

necessidade de capital aumente de acordo com o limite de retenção. Chegando

a ter limites de retenção que não necessitam de capital inicial, e limites de

retenção maiores já necessitam de um capital positivo e considerável.

Além disso, calculou-se a necessidade de capital para o limite de retenção

r = 15.000, mostrando que para este limite a necessidade de capital se mantém

quase invariante ao longo dos 5 anos em questão, podendo até dizer que adotar

tal limite de retenção implica em cumprir a limitação de ruína em todos os anos

em questão, pois o capital máximo encontrado seria, aproximadamente, igual

para todos os anos.


ruína fixa – Aproximação Normal Power (1 ≤ t ≤ 5) (Excesso de Danos)

DBD


Resultados 102

Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

10.000 366.822,39 505.978,18 673.085,04 863.573,88 1.077.244,20

60.000 -43.280,07 -198.830,71 -303.786,67 -386.998,03 -458.224,24

120.000 -82.830,83 -301.096,18 -453.019,05 -571.889,77 -673.665,98

180.000 -61.881,12 -312.619,45 -487.600,92 -626.168,65 -744.706,50

240.000 -27.445,57 -300.633,47 -488.768,37 -638.757,20 -763.835,45

300.000 -232,77 -285.931,93 -482.750,89 -638.277,96 -769.830,53

360.000 17.685,95 -275.437,49 -477.233,09 -635.957,46 -769.678,96

415.000 31.505,64 -265.164,92 -453.432,01 -634.580,83 -769.010,25



mantendo a ruína fixa – Aproximação Normal


fixa – Aproximação Normal (Excesso de Danos)

Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

10.000 369.711,92 507.671,83 673.888,07 863.574,75 1.076.072,94

60.000 -30.650,06 -190.937,52 -301.291,50 -387.278,05 -460.363,62

120.000 -56.576,03 -290.341,11 -448.659,46 -572.671,25 -677.959,20

180.000 -21.097,69 -296.775,31 -481.001,69 -627.100,69 -750.078,10

240.000 13.254,06 -278.507,29 -482.078,19 -638.307,06 -769.719,06

300.000 46.020,96 -265.428,13 -475.238,32 -638.734,82 -776.095,51

360.000 67.991,82 -247.258,88 -465.691,94 -636.467,78 -776.932,32

415.000 85.200,67 -236.946,53 -458.398,26 -632.982,94 -775.673,31



mantendo a ruína fixa – Aproximação Gama Transladada


fixa – Aproximação Gama Transladada (Excesso de Danos)

Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

10.000 369.761,31 507.713,69 673.934,03 863.628,44 1.076.126,07

60.000 -30.394,29 -190.648,87 -301.065,07 -387.081,44 -460.195,16

120.000 -55.926,81 -289.665,48 -448.092,38 -572.177,55 -677.536,54

180.000 -20.046,48 -297.751,01 -480.147,04 -628.992,62 -749.400,11

240.000 14.637,07 -278.059,34 -480.830,76 -637.278,58 -768.797,01

300.000 47.756,97 -262.152,17 -474.135,28 -637.390,88 -774.925,62

360.000 69.991,37 -245.550,47 -463.924,44 -634.958,66 -775.571,46

415.000 87.460,05 -234.867,16 -456.401,24 -631.280,97 -774.134,07





fixa – Aproximação Normal Power (Excedente de Responsabilidade)

Através das tabelas acima, fica mais fácil identificar a diferença entra os

três métodos de aproximação, notando a grande diferença a partir do limite de

retenção r = 180.000. Além disso, é possível ver o ponto específico onde a

necessidade de capital começa a crescer com o aumento do limite de retenção.

DBD


Resultados 103

E também, assumir um limite de retenção de r = 15.000 afeta muito pouco na

diferença da necessidade de capital durante os 5 anos de análise.

Da mesma maneira, os cálculos foram feitos sobre a distribuição

construída recursivamente pelo método de Panjer, com os seguintes resultados.

Pela figura 42, é possível notar uma diferença para o limite de retenção r =

60.000, onde este apresentou uma necessidade de capital um pouco maior pelo

método de Panjer, do que pelas aproximações. No entanto, esse método ainda

se mantém comparável com as aproximações por ter apresentado o mesmo tipo

de comportamento, sendo bem parecido com a aproximação Gama Transladada

e a Normal Power.

Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

10.000 415.409,89 675.712,27 932.607,89 1.201.931,76 1.485.760,08

60.000 20.404,65 -116.266,10 -224.837,33 -316.517,10 -392.161,73

120.000 -35.964,26 -236.187,06 -403.879,87 -538.001,61 -648.143,74

180.000 -20.062,12 -220.155,33 -398.217,63 -542.981,11 -665.408,63

240.000 19.422,97 -222.198,78 -418.805,37 -577.212,04 -710.964,17

300.000 40.593,67 -204.197,97 -405.093,58 -570.329,75 -710.315,24

360.000 45.058,98 -197.470,37 -401.042,65 -564.626,45 -708.116,01

415.000 59.027,26 -189.981,77 -397.032,22 -561.270,68 -706.333,19Fonte: Dados Próprios

Necessidade de capital relacionada ao limite retenção, mantendo a ruína fixa -

Panjer


fixa – Panjer (Excesso de Danos)


ruína fixa – Panjer (1 ≤ t ≤ 5) (Excesso de Danos)

DBD


Resultados 104

Ainda é possível notar que assumir um limite de retenção de r = 120.000

requer o menos capital necessário, dada as probabilidades de ruína fixas de

acordo com a legislação da Inglaterra. E a partir de certo ponto, a necessidade

de capital tende a aumentar quando se aumenta o limite de retenção adotado.

Pela tabela 30, fica mais clara a diferença entre o Panjer e as

aproximações, principalmente para o limite de retenção r = 10.000, onde a

necessidade de capital sofreu um aumento de quase 50% se comparado com as

aproximações calculadas.

Uma grande semelhança entre os métodos de cálculo se encontra no fato

de que a partir do limite de retenção r = 120.000, a necessidade de capital a

partir do segundo ano se mantém, praticamente, inalterada para todos os limites

de retenção, tendo apenas uma maior diferença no primeiro ano.


E por fim, também se levou em consideração a ruína de maneira contínua,

ou seja, a ruína considerada agora é aquela que abrange todo o tempo futuro.

Novamente, como foi visto anteriormente para esse método, tem-se para

cada capital inicial um limite de retenção que leva a seguradora a uma

probabilidade de ruína mínima.


capital inicial (t > ∞) (Excesso de Danos)

DBD


Resultados 105

Nota-se também que quanto maior for o capital inicial, menor é a variação

no limite de retenção para probabilidades de ruína entre 0 (zero) e 1 (hum). Por

exemplo, com capital inicial de $4.000.000 é possível ver que a probabilidade de

ruína varia bastante mantendo o limite de retenção quase invariante, evidenciado

pelo comportamento verticalizado da figura 43. Em contra partida, possuir um

capital inicial de $500.000 faz com que o limite de retenção adotado dê uma

maior variação na probabilidade de ruína.

500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000

0,0 29.057,56 17.031,50 15.879,16 15.409,27 15.145,31 14.986,16 14.876,41 14.795,90

0,1 16.902,52 15.366,65 14.963,86 14.781,09 14.672,67 14.602,63 14.545,33 14.512,04

0,2 15.950,16 15.005,35 14.747,42 14.633,28 14.551,87 14.504,00 14.470,11 14.444,84

0,3 15.456,45 14.815,31 14.626,80 14.535,30 14.481,32 14.445,69 14.420,40 14.401,52

0,4 15.135,67 14.681,77 14.540,91 14.472,03 14.431,21 14.404,19 14.384,96 14.370,63

0,5 14.911,60 14.580,17 14.474,93 14.423,22 14.392,45 14.372,05 14.357,57 14.346,74

0,6 14.736,84 14.498,42 14.421,56 14.383,56 14.360,95 14.345,94 14.335,24 14.327,22

0,7 14.589,47 14.430,32 14.376,80 14.350,30 14.334,46 14.323,91 14.316,42 14.310,81

0,8 14.474,36 14.372,10 14.338,43 14.321,64 14.311,61 14.304,95 14.300,19 14.296,62

0,9 14.371,07 14.321,41 14.304,82 14.296,55 14.291,58 14.288,27 14.285,90 14.284,13

1,0 14.280,96 14.276,60 14.275,02 14.274,21 14.273,72 14.273,39 14.273,15 14.272,97


Probabilidad

e de Ruína

U0




cada capital inicial (Excedente de Responsabilidade)

Pela tabela 31, é possível ver que conforme a probabilidade de ruína

aumenta, os limites de retenção tendem a ficar mais próximos, independendo do

capital inicial adotado. Por exemplo, olhando uma probabilidade de ruína de

aproximadamente 1 (hum), o limite de retenção variou de r = 14.280 para r =

14.272, com capitais iniciais respectivamente de $500.000 e $4.000.000. Já para

uma probabilidade de ruína de aproximadamente 0 (zero), o limite de retenção

chegou a variar de r = 29.057 para r = 14.795, com capitais iniciais

respectivamente de $500.000 e $4.000.000, variação esta bem considerável,

chegando a ser um pouco mais que o dobro.

DBD


Resultados 106

7.2.4. Stop-Loss

Dando continuidade às coberturas de resseguros não proporcionais, o

Stop-Loss é similar ao Excesso de Danos, no entanto este é aplicado sobre o

custo total de sinistros (S) diretamente, ao contrário de ser aplicado no custo

individual de sinistros.

Logo, o Stop-Loss consiste fixar um limite máximo de responsabilidade

para o total dos sinistros ocorridos no ano. Portanto, se o custo total dos sinistros

do ano exceder o limite de retenção adotado, o valor excedente é repassado a

resseguradora; caso contrário, a seguradora retém o custo total do sinistro do

ano sozinha.

Dada essa definição, conclui-se que só existirá ruína em tempo discreto

para a seguradora, se o resultado prêmio retido mais capital inicial ( UP +~

) for

menor que o limite de retenção adotado. Isso se dá pela definição de ruína ser

aplicada a esse tipo de cobertura. Logo, se o limite de retenção foi menor que

UP +~

, a probabilidade de ruína )~~

( UPSP +> passa a ser responsabilidade da

resseguradora, pois a seguradora só assumirá a responsabilidade até d do custo

total de sinistros no ano.

Figura 44 Região da possível ruína na distribuição de S~

sob a cobertura de Stop-Loss

DBD


Resultados 107

Então, caso aconteça o oposto, a probabilidade de ruína é nula, como está

representado na figura 45 a seguir.

Figura 45 Região sem ruína na distribuição de S~

sob a cobertura de Stop-Loss

Com isso, considerou-se a probabilidade de ruína, se existir, como

)~~

( dSUPP ≤≤+ .

A escolha dos limites de retenção a serem analisados aqui foi baseada na

soma total observada de sinistros no ano do banco de dados disponível. Tal

soma é aproximadamente 13.000.000, vide tabela 11 na seção 7.1.

Através da figura abaixo, ficam evidenciados os limites de retenção sobre a

distribuição de S calculada por Panjer.

DBD


Resultados 108

Pela figura 46, percebe-se que quanto mais se retém, mais risco é

assumido, risco esse que vai ser medido pela área entre d e ( UP +~

)

observados, se estiver no caso abrangido pela figura 45.

7.2.4.1. Aplicação das aproximações a esse tipo de cobertura

Por definição, vide seção 6.3 desse estudo, as aproximações utilizadas

servem para estimar a distribuição total de sinistros retidos em um ano, e para

isto é necessário saber os parâmetros de S~

calculados pela restrição da mesma

a uma Poisson Composta.

No entanto, para esta cobertura, o cálculo da aplicação do resseguro é

feito diretamente em cima da variável S~

, dificultando o cálculo das

aproximações. Isto se dá por que para utilizar os parâmetros de S~

, calculados

pelas propriedades da Poisson Composta, é necessário saber de antemão os

três primeiros momentos de X~

. Como no Stop-Loss a retenção é aplicada

diretamente na variável S, inviabiliza o conhecimento de X~

por essa cobertura

de resseguro.

Figura 46 Distribuição de S evidenciando os pontos de retenção sob Stop-Loss

DBD


Resultados 109

De acordo com Kaas (2008), existem aproximações que podem ser

utilizadas para o cálculo dos parâmetros de S~

sobe uma cobertura de Stop-

Loss. No entanto, estaria se utilizando uma aproximação para viabilizar o cálculo

de outra aproximação. Portanto, decidiu-se fazer o cálculo de S~

apenas

utilizando o cálculo recursivo por Panjer, dado que este apresenta o

comportamento teórico da variável em questão.


Como já foi dito, consideraram-se os limites de retenção, variando entre

100.000 e 12.000.000, logo se tem os seguintes resultados considerando a

probabilidade de ruína discreta para 1 ano apenas.

Pela figura 47, é possível notar que esse tipo de cobertura possui um

comportamento bem diferente dos já vistos até agora. Isso ocorre pelo fato da

área de ruína ser truncada e consideravelmente diminuída pelo limite de

retenção adotado. Com isso, é possível ver que a probabilidade de ruína é

praticamente nula para os limites de retenção altos, oferecendo risco nenhum ao

segurador.

Adotar um limite de retenção de apenas d = 100.000 leva a seguradora a

uma probabilidade de ruína próxima de 1 (hum) se esta possuir um capital inicial

de $500.000, isso se dá pelo modo que prêmio retido foi calculado, e pelos


inicial – Panjer (Stop-Loss)

DBD


Resultados 110

carregamentos de prêmio considerados, ou seja, como o carregamento de

prêmio do ressegurador é maior que da seguradora, isso faz com que o prêmio

retido seja negativo, dado que o montante repassado pela seguradora é muito

grande, e tendo um capital inicial insuficiente para cobrir tal “prejuízo”, faz com

que o resultado do prêmio retido mais capital inicial seja negativo, indicando

ruína, como a definição apresentada no capítulo 4.

Com exceção do caso citado acima, o risco de ruína só volta a aparecer a

partir de d = 8.000.000, sendo mais evidente para os capitais iniciais baixos, isso

se deu por que o Stop-Loss é aplicado diretamente no custo total de sinistros,

logo para os limites de retenção pequenos o resultado do prêmio retido mais

capital inicial superou o limite de retenção, tirando completamente a seguradora

da área do risco de ruína, vide ilustrações 2 e 3 na seção 7.2.4.

500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000

100.000 1,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000

500.000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000

2.000.000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000

4.000.000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000

6.000.000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000

8.000.000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000

10.000.000 0,01775509 0,00417846 0,00043157 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,00000000

12.000.000 0,01836637 0,00478974 0,00104285 0,00019160 0,00002989 0,00000385 0,00000025 0,00000000

Probabilidade de ruína em t = 1 para cada capital inicial e limite de retenção - Panjer

Limite de

Retenção

U0

Fonte: Dados Próprios Tabela 32 Probabilidade de ruína em t = 1 para cada capital inicial e limite de retenção –

Panjer (Stop-Loss)

Pela tabela 32 fica evidenciada a baixa probabilidade de ruína que essa

cobertura ocasiona, mostrando apenas algum tipo de risco de ruína para os

limites de retenção maiores atrelados a um capital inicial pequeno.


Para manter o mesmo de padrão nas análises, agora foi considerada a

probabilidade de ruína discreta depois de 5 anos, no entanto, ao calcular a

probabilidade condicional de ano a ano, vide seção 6.2.2, utilizou-se a

convolução de 1

~S com

2

~S ,

1

~S e

2

~S com

3

~S , e assim por diante. Isso se deu,

pois nada se sabe a respeito da soma de Poisson Compostas truncadas devido

a esse tipo de cobertura de resseguro. Logo, com isso obtiveram-se os seguintes

resultados.

DBD


Resultados 111

Pela figura 48, é possível ver que depois de 5 anos a ruína aumentou

consideravelmente, principalmente para os capitais iniciais menores. Agora, uma

seguradora com capital inicial de $500.000 encontra-se com uma probabilidade

de ruína muito alta se esta adotar um limite de retenção de d = 500.000 ou

menor. O mesmo foi visto para os capitais maiores, exceto o de $4.000.000,

onde a probabilidade é próxima de 1,0 para o limite de retenção de d = 100.000.

Mais uma vez, esses dois casos, são decorrentes da escolha do método do

cálculo de prêmio e dos carregamentos adotados, pois por mais que a área de

ruína seja muito pequena, uma vez que o resultado da seguradora se encontra

negativo, já é um forte indicativo de ruína.

Para este caso, notou-se uma ausência de ruína entre os limites de

retenção de d = 2.000.000 e d = 8.000.000, pelo mesmo motivo já explicado na

seção anterior, ou seja, o resultado do prêmio retido mais capital inicial superou

o limite de retenção.

A partir do limite de retenção de d = 10.000.000 observa-se um aumento

na probabilidade de ruína, no entanto, esta é bem estável, podendo ser

praticamente constante, para os limites de retenção superiores a 10.000.000.


inicial - Panjer (t = 5) (Stop-Loss)

DBD


Resultados 112

500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000

100.000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,000000

500.000 1,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

2.000.000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

4.000.000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

6.000.000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

8.000.000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

10.000.000 0,019982 0,005344 0,000998 0,000279 0,000134 0,000058 0,000022 0,000006

12.000.000 0,020301 0,005805 0,001540 0,000452 0,000156 0,000058 0,000020 0,000005Fonte: Dados Próprios

Limite de

Retenção

U0


Tabela 33 Probabilidade de ruína em t = 5 para cada capital inicial e limite de retenção –

Panjer (Stop-Loss)

Pela tabela 33, fica clara a pouca diferença na ruína quando se adota o

limite de retenção d = 10.000.000 e d = 12.000.000. Além disso, ressalta que,

mesmo depois de 5 anos, a probabilidade de ruína contínua baixa em quase

todos os casos sob esse tipo de cobertura.


Aqui será feita a análise da necessidade de capital para garantir

probabilidades de ruínas máximas, fixas pela Inglaterra, ao longo de 5 anos.

No entanto, a cobertura de resseguro Stop-Loss por sua aplicabilidade ser

diretamente em cima da variável S, faz com que a probabilidade de ruína fique

limitada pela região mencionada na seção 7.2.4, ou seja, para muitos limites de

retenção considerados aqui, a probabilidade de ruína é sempre nula, ou não

chega ao máximo fixado pela legislação inglesa ao longo de 5 anos.

Pela figura 43, já é possível perceber que esse método só é aplicável aos

limites de retenção maiores, pois eles truncam a distribuição de S mais a direita,

fazendo com que a área de ruína entre d e UP +~

seja grande o suficiente para

analisar a necessidade de capital atrelada a uma probabilidade de ruína fixa ao

longo dos anos.

Essa limitação pode ser considerada algo a favor da prevenção de ruína

de uma seguradora, ficando mais clara com os resultados a seguir.

DBD


Resultados 113

A figura 49 reafirma o que foi dito anteriormente, que o fato de que a área

de ruína seja reduzida pelo d e UP +~

faz com que a ruína não exista, e se existir

não chegue ao máximo exigido pela legislação inglesa, justificando a ausência

no gráfico de algumas curvas.

Porém, nota-se que a necessidade de capital referente aos limites de

retenção de d = 10.000.000 e d = 12.000.000 são praticamente iguais, onde,

pela figura, tem-se uma curva sobreposta a outra.

Como já mencionado, quanto maior a retenção, maior a região de ruína,

mesmo com isso, a necessidade de capital é muito pequena se comparada com

as outras coberturas de resseguro já analisadas, chegando a permitir um

“prejuízo” considerável para alguns casos.


ruína fixa - Panjer (1 ≤ t ≤ 5) (Stop-Loss)

DBD


Resultados 114

Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

100.000 -- -- -- -- --

500.000 -- -- -- -- --

2.000.000 -- -- -- -- --

4.000.000 -- -- -- -- --

6.000.000 -1.250.891 -1.544.458 -- -- --

8.000.000 -480.017 -592.350 -794.788 -916.059 -1.028.402

10.000.000 68.078 -189.270 -483.315 -658.173 -806.773

12.000.000 66.443 -185.886 -478.430 -652.999 -808.037


Necessidade de capital relacionada ao limite retenção,

mantendo a ruína fixa - Panjer

Tabela 34 Necessidade de capital relacionada ao limite retenção, mantendo a ruína fixa

– Panjer (Stop-Loss)

Olhando para a tabela 34, fica evidenciada a necessidade de capital para

alguns dos limites de retenções, e também é possível notar que apesar da

necessidade de capital entre d = 10.000.000 e d = 12.000.000 serem quase

iguais, d = 12.000.000 apresentou uma necessidade de capital mais baixa. Logo,

é possível dizer que o limite de retenção que exige mais capital sob as condições

inglesas é o de d = 10.000.000.


E para finalizar a análise dessa cobertura de resseguro, também se

considerou a probabilidade de ruína de maneira contínua, abrangendo t > ∞.

DBD


Resultados 115

Da mesma maneira que as outras coberturas de resseguro, o Stop-Loss

apresentou um comportamento bem padrão para esse caso, onde todos os

capitais iniciais selecionados tendem a convergir para uma retenção em comum

conforme a probabilidade de ruína aumenta.

No entanto, quanto menor for o capital inicial, nota-se que o limite de

retenção tende a variar mais com o aumento da probabilidade de ruína. Em

contra partida, possuir um capital inicial de $4.000.000 mostra pouca variação

em d, onde com limites de retenção bem próximos a probabilidade ruína pode

variar de 0,2 a 1,0.

500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000

0,0 2.941.275 2.689.620 2.576.419 2.512.121 2.469.965 2.437.612

0,1 4.629.439 2.689.621 2.502.378 2.433.719 2.395.838 2.373.429 2.356.222 2.343.815

0,2 3.005.960 2.519.412 2.423.298 2.378.117 2.354.268 2.338.684 2.327.814 2.320.377

0,3 2.718.059 2.444.263 2.379.444 2.349.190 2.330.726 2.320.119 2.312.048 2.306.057

0,4 2.576.546 2.398.411 2.351.050 2.328.604 2.315.510 2.306.916 2.300.852 2.296.342

0,5 2.483.669 2.364.005 2.327.540 2.312.952 2.303.205 2.296.788 2.292.243 2.288.856

0,6 2.415.321 2.337.082 2.312.416 2.300.394 2.293.294 2.288.602 2.285.271 2.282.785

0,7 2.366.437 2.313.711 2.298.243 2.289.948 2.285.018 2.281.750 2.279.425 2.277.687

0,8 2.326.647 2.296.711 2.286.220 2.281.028 2.277.928 2.275.867 2.274.398 2.273.298

0,9 2.293.593 2.280.876 2.275.800 2.273.261 2.271.736 2.270.720 2.269.994 2.269.450

1,0 2.270.657 2.267.062 2.266.625 2.266.392 2.266.248 2.266.150 2.266.079 2.266.025


Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua para cada

capital inicial

Probabilidade

de Ruína

U0


cada capital (Stop-Loss)


capital inicial (t > ∞) (Stop-Loss)

DBD


Resultados 116

Pela tabela 35, fica mais claro a pouca variação no limite de retenção para

os capitais iniciais mais altos, e mostra uma maior variação para os capitais

iniciais mais baixos. Com isso, um limite de retenção adequado, seria aquele que

levasse a menor probabilidade de ruína possível.

Onde se tem os exemplos: possuir um capital inicial de $500.000, faz com

que se adquira um limite de retenção de d = 4.629.439 para que a ruína seja de

no máximo 0,1; com um capital de $2.000.000, faz com que se adquira um limite

de retenção de d = 2.689.620 para que a ruína seja quase nula; e por fim com

um capital de $4.000.000, faz com que se adquira um limite de retenção de d =

2.437.612 para que a ruína seja também quase nula.

7.3. Análise de sensibilidade

Essa seção tem como objetivo fazer uma análise de sensibilidade de

alguns fatores, tais como: os carregamentos do prêmio; e o fator de crescimento

de sinistro ao longo dos 5 anos analisados. Como foi visto que as aproximações

são bem parecidas entre si, escolheu-se apenas uma para ser comparada com o

método recursivo de Panjer, quando este for viável.

7.3.1. Sensibilidade dos carregamentos do prêmio

Como já foi dito, até então se utilizou o carregamento da resseguradora

(δ(

) sendo maior que o carregamento da seguradora (δ ), onde δ(

= 0,3 e δ =0,2.

Para a análise de sensibilidade, será considerado o mesmo carregamento para a

resseguradora e seguradora, de maneira que δ(

= 0,2 e δ =0,2.

7.3.1.1. Quota-Parte

7.3.1.1.1. Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 1

Primeiramente, como tem sido feito até então, considerou-se a

probabilidade de ruína de maneira discreta em 1 ano.

DBD


Resultados 117

A diferença mais evidente aqui, é que a probabilidade de ruína para os

capitais iniciais pequenos não é alta quando se admite um limite de retenção

baixo, pelo contrário, para os limites de retenção baixos a probabilidade de ruína

é quase nula independente do capital inicial possuído.

Em uma visão geral, a probabilidade de ruína é bem menor quando os

carregamentos são iguais, além disso, a relação entre a ruína e o limite de


inicial – Aproximação Normal Power (Quota-Parte, sensibilidade dos carregamentos)


inicial – Panjer (Quota-Parte, sensibilidade dos carregamentos)

DBD


Resultados 118

retenção continua sendo crescente, e dependendo do capital inicial possuído, a

relação é mais forte.

Aqui, Panjer apresentou uma probabilidade de ruína mais alta, sendo mais

evidente para os capitais iniciais maiores, como de $4.000.000, onde na

aproximação a probabilidade foi quase nula, e já por Panjer esta chegou a quase

0,0025.


Considerando agora a probabilidade de ruína discreta depois de 5 anos,

obtiveram-se os seguintes resultados.


inicial – Aproximação Normal Power (t = 5) (Quota-Parte, sensibilidade dos

carregamentos)

DBD


Resultados 119

Da mesma maneira que na seção anterior, é possível ver a ausência de

altas probabilidades para os limites de retenções pequenos, onde estes

apresentaram probabilidades de ruína menores do que os limites grandes,

independente do capital inicial possuído.

A probabilidade de ruína, em geral, aqui é bem menor do que quando se

adota carregamentos diferentes, em especial δ(

> δ . Além disso, considerando

os carregamentos iguais aqui, mostrou que depois de 5 anos a probabilidade de

ruína sofreu um ligeiro aumento, mais evidente até para os capitais iniciais altos,

tais como o de $4.000.000. Onde a relação entre a ruína e limite de retenção se

mostrou ser mais forte e evidente.

Aqui, a diferença entre a aproximação e Panjer é mais evidente,

principalmente pelo fato de que por Panjer a probabilidade mínima encontrada

foi de aproximadamente 0,005, e já pela aproximação a probabilidade mínima foi

quase nula. Além disso, mais uma vez a diferença também é mais evidente para

os capitais iniciais maiores.

7.3.1.1.3. Probabilidade de ruína discreta e fixa, em um horizonte 1≤t ≤5, de acordo com a legislação da Inglaterra

Agora fixando as probabilidades de ruína ao longo dos cinco anos, de

maneira a cumprir as exigências legislativas da Inglaterra.


inicial – Panjer (t = 5) (Quota-Parte, sensibilidade dos carregamentos)

DBD


Resultados 120


ruína fixa - Panjer (1 ≤ t ≤ 5) (Quota-Parte, sensibilidade dos carregamentos)


ruína fixa – Aproximação Normal Power (1 ≤ t ≤ 5) (Quota-Parte, sensibilidade dos

carregamentos)

DBD


Resultados 121

Neste caso, nota-se que a necessidade de capital é muito menor do que

quando se adota carregamentos diferentes, e em especial δ(

> δ . Até mesmo

quando se retém bastante a necessidade de capital não chega a $100.000.

É possível notar também que, aqui, a necessidade de capital tende a

aumentar quanto se aumenta o limite de retenção, apesar de o aumento ser bem

pequeno se comparado quando se assumia os carregamentos diferentes. Além

disso, se tem que assumir um limite de retenção de α = 0,05 implica que a

necessidade de capital, dadas as ruínas fixas ao longo dos 5 anos, é

praticamente constante e bem próxima de zero.

Para esse método não houve grandes diferenças entre Panjer e a

aproximação, onde ambas apresentaram o mesmo tipo de comportamento,

levando as mesmas necessidades de capital.

7.3.1.1.4. Probabilidade de ruína contínua, considerando o intervalo superior t> ∞

Para o caso dos carregamentos serem iguais, Straub (1980) afirma que

existe um tratamento especial. Como foi visto na seção 6.1.1,

2

)1)((

α

αδδδα −−+=

(

q e como δ(

= δ , tem-se que q

q δαα

δ =⇒= . Logo α

só seria válido quando q≤δ , caso contrário α > 1 o que não é possível. Como q

é uma função inversamente dependente de U e da probabilidade de ruína

)(Uψε = (vide seção 5.1) encontra-se uma limitação para esse método.

Sabendo disso, obteve-se o seguinte resultado levando em consideração o

comportamento da função q em questão.

DBD


Resultados 122

Pela figura 57, nota-se uma grande diferença do que foi analisado na

seção 7.2.1.4, mostrando que com o tempo contínuo e infinito a probabilidade de

ruína só pôde ser calculada para os capitais iniciais mais baixos, para os demais

α foi maior que 1, portanto estas foram desconsiderados, evidenciando a

limitação desse método .


capital inicial (t > ∞) (Quota-Parte, sensibilidade dos carregamentos)

DBD


Resultados 123

500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000

0,001 27,5% 54,9% 82,4% -- -- -- -- --

0,006 37,0% 74,0% -- -- -- -- -- --

0,011 42,0% 83,9% -- -- -- -- -- --

0,016 45,8% 91,5% -- -- -- -- -- --

0,021 49,0% 97,9% -- -- -- -- -- --

0,026 51,8% -- -- -- -- -- -- --

0,031 54,4% -- -- -- -- -- -- --

0,036 56,9% -- -- -- -- -- -- --

0,041 59,2% -- -- -- -- -- -- --

0,046 61,4% -- -- -- -- -- -- --

0,051 63,5% -- -- -- -- -- -- --

0,055 65,6% -- -- -- -- -- -- --

0,060 67,6% -- -- -- -- -- -- --

0,065 69,5% -- -- -- -- -- -- --

0,070 71,4% -- -- -- -- -- -- --

0,075 73,3% -- -- -- -- -- -- --

0,080 75,2% -- -- -- -- -- -- --

0,085 77,0% -- -- -- -- -- -- --

0,090 78,8% -- -- -- -- -- -- --

0,095 80,6% -- -- -- -- -- -- --

0,100 82,4% -- -- -- -- -- -- --


U0Probabilidade

de Ruína



Tabela 36 Relação entre probabilidade de ruína continua e o limite de retenção para

cada capital inicial (t > ∞) (Quota-Parte, sensibilidade dos carregamentos)

Pela tabela 36 é possível analisar melhor o comportamento do limite de

retenção em relação ao capital inicial e a probabilidade de ruína continua infinita,

ou seja, calculada pelo intervalo superior t > ∞.

Diferente do resultado encontrado na seção 7.2.1.4, aqui a probabilidade

de ruína tende a crescer quando se aumenta o limite de retenção, além de

evidenciar a grande diferença, em termos de ruína e retenção, quando se

aumenta o capital inicial da seguradora, ou seja, possuir um capital de $500.000

permite a seguradora reter cerca de 82% dos sinistros com uma probabilidade

DBD


Resultados 124

de ruína de 0,1, já com um capital de $1.000.000 retém-se 83% dos sinistros

com uma probabilidade de ruína de 0,01.

7.3.1.2. Excedente de Responsabilidade


Analisando primeiramente a probabilidade discreta em apenas um ano,

chegou-se ao resultado a seguir para essa cobertura de resseguro.

Mais uma vez, é possível ver que manter os carregamentos dos prêmios

iguais evita que exista uma alta probabilidade de ruína para os limites de

retenções menores atrelados a capitais iniciais baixos.

Observou-se também que a probabilidade de ruína em geral é muito baixa,

chegando a ser quase nula para todos os limites de retenção, exceto quando se

tem um capital inicial maior que $1.500.000. Apesar das baixas probabilidades

de ruína, é possível notar que estas crescem ao se aumentar o limite de

retenção a ser adotado.


inicial – Aproximação Normal Power (Excedente de Responsabilidade, sensibilidade dos

carregamentos)

DBD


Resultados 125


Agora, será analisada a ruína discreta no quinto ano, com isso foi obtido o

seguinte resultado.

Pela figura 59, nota-se quase nenhuma diferença aquela referente ao

primeiro ano, mostrando que aqui esse contrato de resseguro se mostrou muito

estável ao longo do tempo, tendo quase nenhuma variação na probabilidade de

ruína ao longo de 5 anos.


Calculando a necessidade de capital com as ruínas fixas ao longo de 5

anos foi possível chegar ao seguinte resultado.


inicial – Aproximação Normal Power (t = 5) (Excedente de Responsabilidade,

sensibilidade dos carregamentos)

DBD


Resultados 126

Pela figura 60, é possível ver que a necessidade de capital para esse tipo

de cobertura diminui consideravelmente. Tendo um diferencial do Quota-Parte,

sendo a necessidade maior de capital ao assumir um limite de retenção

pequeno.

Além disso, nota-se que quanto mais se retém, mais as necessidades de

capital ficam próximas ao longo dos 5 anos, isso pode ser visto através da

distância entre as curvas no gráfico, estas tendem a diminuir com o aumento do

limite de retenção


Para essa cobertura ainda é possível utilizar um tratamento especial, dado

que os carregamentos são iguais. Como foi visto na seção 6.1.2,

)(

))(1)(()()2(

)1()1(

mW

mWmWq

−−+=

δδδ(

e como δδ =(

, tem-se que )(

)()2(

)1(

mW

mWq

δ= . É

sabido que .


ruína fixa – Aproximação Normal Power (1 ≤ t ≤ 5) (Excedente de Responsabilidade,

sensibilidade dos carregamentos)

DBD


Resultados 127

Além disso, Straub (1980) diz que q pode ser aproximado da seguinte

maneira: q

mWδ

≈)()1( , logo

)()1(

mWq

δ≈ .

Analisando a função acima, podemos dizer que q tem seu valor mínimo

possível igual à δ = 0,2, quando )()1( mW =1, ou seja, m é grande o suficiente

para indicar que se retém praticamente toda a importância segurada.

Para continuar a comparação, olhe a forma que q é defina por Straub

(1980):

−=

2

ln)(

)( εSv

U

SEq

Logo, q pode assumir valores de zero a infinito, de maneira que ao

aumentar U e ε, q tende a se aproximar de zero. Com isso existe um problema,

pois considerar um U grande, tal como $4.000.000, faz com que o q se aproxime

de zero, tornando impossível achar um m que satisfaça a igualdade proposta por

)()1(

mWq

δ≈ . Em outras palavras, a análise da probabilidade de ruína em

relação ao limite de retenção e capital inicial possuído, fica limitada nesse

método quando os carregamentos do prêmio são iguais.

Sabendo dessa deficiência, calcularam-se os limites de retenção

associados às probabilidades de ruína e aos capitais iniciais que fizeram com

que q não fosse inferior a 0,2, para que assim fosse possível utilizar esse

método.


capital inicial (t > ∞) (Excedente de Responsabilidade, sensibilidade dos carregamentos)

DBD


Resultados 128

Para que a análise da figura 55 ficasse mais clara, construiu-se a tabela a

seguir.

500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000

0,001 64.333 253.569 -- -- -- -- -- --

0,006 108.353 599.919 -- -- -- -- -- --

0,011 137.134 1.225.248 -- -- -- -- -- --

0,016 164.262 2.235.274 -- -- -- -- -- --

0,021 192.210 3.209.455 -- -- -- -- -- --

0,026 218.712 4.204.387 -- -- -- -- -- --

0,031 247.499 -- -- -- -- -- -- --

0,036 277.679 -- -- -- -- -- -- --

0,041 309.847 -- -- -- -- -- -- --

0,046 340.888 -- -- -- -- -- -- --

0,051 373.721 -- -- -- -- -- -- --

0,055 410.521 -- -- -- -- -- -- --

0,060 446.598 -- -- -- -- -- -- --

0,065 482.823 -- -- -- -- -- -- --

0,070 521.334 -- -- -- -- -- -- --

0,075 573.919 -- -- -- -- -- -- --

0,080 637.051 -- -- -- -- -- -- --

0,085 707.126 -- -- -- -- -- -- --

0,090 811.164 -- -- -- -- -- -- --

0,095 924.800 -- -- -- -- -- -- --

0,100 1.072.050 -- -- -- -- -- -- --


U0Probabilidade

de Ruína




cada capital inicial (Excedente de Responsabilidade, sensibilidade dos carregamentos)

Com a limitação mencionada, só foi possível calcular limite de retenção

referente aos capitais iniciais de $500.000 e $1.000.000 com probabilidades de

ruína inferiores a 0,1.

Com isso, é possível ver uma grande diferença entre os dois capitais

mencionados, mostrando que possuir um capital mais alto permite que

seguradora retenha bem mais, mesmo assim mantendo uma probabilidade de

ruína baixa. E ao contrário do contrato Quota-Parte, neste caso, quanto mais se

retém, maior é a probabilidade de ruína associada.

DBD


Resultados 129

7.3.1.3. Excesso de Danos


Aqui também, será iniciada a análise de sensibilidade dos carregamentos

considerando primeiramente a probabilidade de ruína discreta em 1 ano.


inicial – Aproximação Normal Power (Excesso de Danos, sensibilidade dos

carregamentos)


inicial – Panjer (Excesso de Dano, sensibilidade dos carregamentos)

DBD


Resultados 130

No geral, é possível ver que pela aproximação e por Panjer o

comportamento foi o mesmo, apesar de Panjer tem apresentado probabilidades

de ruína menores. Mostrando com isso, mais uma vez, que considerar os

carregamentos de prêmio sendo iguais faz com que reter pouco, mesmo com

capital inicial baixo, implique numa baixa probabilidade de ruína, sendo está

quase nula.

Apesar das probabilidades de ruína serem consideravelmente baixas, a

diferença entre o cenário de uma seguradora com apenas $500.000 e outra com

mais de $2.000.000 é bem evidente, nota-se que a redução na probabilidade de

ruína é bem relevante. No entanto, nota-se que ao assumir um limite de retenção

maior faz com que a probabilidade de ruína aumente também.


Continuando a análise, agora considerando a probabilidade de ruína

discreta após 5 anos.


inicial – Aproximação Normal Power (t = 5) (Excesso de Danos, sensibilidade dos

carregamentos)

DBD


Resultados 131

Mais uma vez, existe pouca diferença no cálculo feito pela aproximação e

por Panjer. É possível notar também que, após 5 anos, houve um ligeiro

aumento nas probabilidades de ruína, sendo este mais perceptível para o cálculo

baseado na recursão de Panjer.

Ainda nota-se um grande aumento na probabilidade de ruína para os

capitais iniciais mais baixos, sendo ainda visível a grande diferente entre capitais

de $500.000 e os maiores de $2.000.000. E também é possível ver que adotar

um limite de retenção maior, implica em um amento na probabilidade de ruína.


Agora será analisada a necessidade de capital de uma seguradora, dadas

fixas as probabilidades de ruína máximas ao longo dos 5 anos.


inicial – Panjer (t = 5) (Excesso de Danos, sensibilidade dos carregamentos)

DBD


Resultados 132

Pelas figuras 66 e 67 acima, observa-se um comportamento praticamente

idêntico entre elas, mostrando que a aproximação é bem fiel ao método

recursivo de Panjer nessa análise.


ruína fixa – Aproximação Normal Power (1 ≤ t ≤ 5) (Excesso de Danos, sensibilidade dos

carregamentos)


ruína fixa – Panjer (1 ≤ t ≤ 5) (Excesso de Danos, sensibilidade dos carregamentos)

DBD


Resultados 133

Aqui é possível constatar, mais uma vez, que adotar os carregamentos de

prêmio como sendo iguais, diminui consideravelmente a necessidade de capital

para sustentar as ruínas fixas ao longo dos 5 anos em questão.

Também nota-se que quanto mais se retém, maior é a necessidade de

capital, no entanto, para os limites de retenção grandes a necessidade de capital

tende a ser bem próximo, fato este evidenciado pelas curvas que tendem a se

aproximar com o aumento do limite de retenção.


Para essa cobertura também existe a possibilidade de utilizar um

tratamento especial, dado que os carregamentos são iguais. Como foi visto na

seção 6.1.3, )(

))(1)(()()2(

)1()1(

rV

rVrVq

−−+=

δδδ(

, onde . E como já

foi mencionado, q pode ser aproximado por: )(

)1( rVq

δ≈ . E da mesma maneira,

a função acima tem seu valor mínimo possível igual à δ =0,2, quando )()1( rV =1,

ou seja, r é bem grande o suficiente para indicar que se retém praticamente todo

o custo individual dos sinistros. Além disso, a função q, que não depende da

cobertura de resseguro, continua podendo assumir valores de zero a infinito.

Logo, a limitação ainda persiste para esse tipo de cobertura.

Da mesma maneira, calcularam-se os limites de retenção associados às

probabilidades de ruína e aos capitais iniciais que fizeram com que q não fosse

inferior a 0,2, para que assim fosse possível utilizar esse método.

DBD


Resultados 134

Pela tabela 38 a seguir os resultados podem ficar mais claros, dada a

limitação desse método de cálculo para com esse tipo de cobertura.


capital inicial (t > ∞) (Excesso de Danos, sensibilidade dos carregamentos)

DBD


Resultados 135

500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000

0,001 38.510 101.779 -- -- -- -- -- --

0,006 58.660 163.124 -- -- -- -- -- --

0,011 70.279 219.735 -- -- -- -- -- --

0,016 79.362 280.947 -- -- -- -- -- --

0,021 87.007 364.215 -- -- -- -- -- --

0,026 94.030 477.122 -- -- -- -- -- --

0,031 100.524 -- -- -- -- -- -- --

0,036 106.529 -- -- -- -- -- -- --

0,041 112.745 -- -- -- -- -- -- --

0,046 118.342 -- -- -- -- -- -- --

0,051 125.120 -- -- -- -- -- -- --

0,055 132.188 -- -- -- -- -- -- --

0,060 139.809 -- -- -- -- -- -- --

0,065 147.488 -- -- -- -- -- -- --

0,070 154.537 -- -- -- -- -- -- --

0,075 161.185 -- -- -- -- -- -- --

0,080 168.166 -- -- -- -- -- -- --

0,085 174.588 -- -- -- -- -- -- --

0,090 187.487 -- -- -- -- -- -- --

0,095 198.706 -- -- -- -- -- -- --

0,100 210.896 -- -- -- -- -- -- --




Probabilidade

de Ruína

U0


cada capital inicial (Excedente de Responsabilidade, sensibilidade dos carregamentos)

Aqui também só foi possível calcular o limite de retenção para os capitais

iniciais de $500.000 e $1.000.000 com probabilidades de ruína menores que 0,1.

E mais uma vez observou-se que possuir um capital inicial maior, permite a

seguradora a reter mais dos sinistros a uma probabilidade de ruína

consideravelmente baixa. E também, quanto mais se retém, mais risco se

assume e maior é a probabilidade de ruína neste caso.

DBD


Resultados 136

7.3.1.4. Stop-Loss


Analisando primeiramente a probabilidade discreta em apenas um ano,

obtiveram-se os resultados a seguir.

Mais uma vez, a diferença mais evidente ao considerar esse tipo de

carregamentos do prêmio é a baixa probabilidade de ruína para os limites de

retenção pequenos, até mesmo quando a seguradora possui um capital inicial

baixo.

Também é possível notar que no geral a probabilidade de ruína é menor,

no entanto, ainda mostrando a grande diferença nas probabilidades entre os

capitais iniciais mais altos e os mais baixos.


Agora estendendo o horizonte de análise para 5 anos, mantendo a

probabilidade de ruína do tipo discreta.


inicial – Panjer (Stop-Loss, sensibilidade dos carregamentos)

DBD


Resultados 137

Aqui também é possível notar a baixa probabilidade de ruína para os

limites de retenção pequenos, onde esta é nula para todos os limites de retenção

menores que d = 10.000.000, independente do capital inicial possuído pela

seguradora.

No geral, a probabilidade de ruína sofreu uma pequena diminuição em

relação ao outro tipo de carregamentos de prêmio, também mostrando que

quanto mais se retém, maior será área de ruína e, conseqüentemente, maior a



Considerando agora a probabilidades de ruína fixas de acordo com a

legislação inglesa, e levando em consideração que a área de ruína para essa

cobertura de resseguro é limitada, foi possível obter os seguintes resultados.


inicial – Panjer (t = 5) (Stop-Loss, sensibilidade dos carregamentos)

DBD


Resultados 138

Pela figura 71 acima, nota-se um comportamento praticamente idêntico ao

observado anteriormente com os carregamentos do prêmio diferentes,

mostrando que só existe a necessidade de capital quanto se retém mais que d =

6.000.000.

Além disso, é possível observar que a necessidade de capital tende a

convergir para o mesmo ponto quando se aumenta o limite de retenção, isso

pode ser constatado pela proximidade da curva referente a d = 10.000.000 e a d

= 12.000.000.

7.3.1.4.4. Probabilidade de ruína contínua, considerando o intervalo superior t > ∞

Mais uma vez, essa cobertura também apresenta um tratamento especial,

dado que os carregamentos são iguais. Como foi visto na seção 6.1.4,

)(

))(1)(()()2(

)1()1(

dF

dFdFq

−−+=

δδδ(

, onde . E q pode ser

aproximado por: )(

)1( dFq

δ≈ . E mais uma vez, a função acima tem seu valor

mínimo possível igual à δ =0,2, quando )()1( dF =1, ou seja, d é bem grande o

suficiente para indicar que se retém praticamente todo o custo individual dos

sinistros. Além disso, a função q, que não depende da cobertura de resseguro,


ruína fixa – Panjer (1 ≤ t ≤ 5) (Stop-Loss, sensibilidade dos carregamentos)

DBD


Resultados 139

continua podendo assumir valores de zero a infinito. Portanto, a limitação

continua a persistir para a cobertura de resseguro Stop-Loss.

A figura 72 se torna mais clara ao transformá-la em uma tabela que pode

ser analisada a seguir.


capital inicial (t > ∞) (Stop-Loss, sensibilidade dos carregamentos)

DBD


Resultados 140

500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000

0,001 1.896.217 3.792.128 -- -- -- -- -- --

0,006 2.553.536 5.113.312 -- -- -- -- -- --

0,011 2.896.455 5.815.823 -- -- -- -- -- --

0,016 3.156.847 6.479.103 -- -- -- -- -- --

0,021 3.379.197 7.442.797 -- -- -- -- -- --

0,026 3.568.020 8.261.505 -- -- -- -- -- --

0,031 3.749.896 -- -- -- -- -- -- --

0,036 3.919.949 -- -- -- -- -- -- --

0,041 4.080.444 -- -- -- -- -- -- --

0,046 4.233.512 -- -- -- -- -- -- --

0,051 4.380.724 -- -- -- -- -- -- --

0,055 4.523.259 -- -- -- -- -- -- --

0,060 4.662.044 -- -- -- -- -- -- --

0,065 4.797.848 -- -- -- -- -- -- --

0,070 4.931.337 -- -- -- -- -- -- --

0,075 5.063.123 -- -- -- -- -- -- --

0,080 5.193.800 -- -- -- -- -- -- --

0,085 5.323.971 -- -- -- -- -- -- --

0,090 5.454.280 -- -- -- -- -- -- --

0,095 5.585.446 -- -- -- -- -- -- --

0,100 5.718.306 -- -- -- -- -- -- --




Probabilidade

de Ruína

U0


cada capital inicial (Stop-Loss, sensibilidade dos carregamentos)

Portanto, pela tabela 39 a cima é possível notar que a probabilidade de

ruína máxima que pôde ser calculada foi de 0,1, referente apenas aos capitais

iniciais de $500.000 e $1.000.000.

A diferença entre os dois capitais iniciais aqui é bem clara, onde possuir

um capital inicial de $1.000.000 permite o segurador reter cerca de $8.261.505

do custo total de sinistros com uma probabilidade de ruína de 0,026, onde com o

capital de $500.000 o segurador só reteria $3.568.020 com a mesma


DBD


Resultados 141

7.3.1. Sensibilidade do fator de crescimento de sinistro anual

Até em tão se considerou um crescimento anual de sinistros de 10%,

baseando-se em informações contidas no banco de dados, tais como o prêmio

ganho anual, onde este crescia cerca de 10% ao ano.

Portanto, aqui será analisada a sensibilidade desse fator, o considerando

agora como 0%, ou seja, supondo que não exista crescimento significante no

número de sinistros anuais.

7.3.1.1. Quota-Parte

Considerando a cobertura de resseguro Quota-Parte, foi obtido o seguinte

resultado.


inicial – Aproximação Normal Power (t = 5) (Quota-Parte, sensibilidade do crescimento do

λ)

DBD


Resultados 142

Primeiramente, calculando a probabilidade de ruína relacionada a cada

limite de retenção e capital inicial depois de 5 anos, logo, pelas figuras 73 e 74 a

cima foi possível notar que a principal diferença se encontra no capital inicial de

$4.000.000, onde este apresentou uma probabilidade de ruína mais baixa.

Comparando a aproximação utilizada com o método de Panjer, é possível ver

que ambos os métodos apresentaram resultados bem semelhantes, lembrando

que a recursão de Panjer foi calculada em cima de cinco limites de retenção α, já

a aproximação foi calculada em cima de cinqüenta limites de retenção, por isso o

gráfico de Panjer é menos suave.

Com isso, é possível mostrar que o crescimento do número de sinistros

anuais não influencia muito no resultado para a probabilidade de ruína discreta,

pois ao diminuir o crescimento de λ implica em um menor prêmio retido pela

seguradora, pois este é calculado em cima do custo total de sinistros anuais.

Logo, diminuir o λ faz que o prêmio retido diminua, e aumentar o λ faz com

que o prêmio retido aumente, logo essa troca acaba se compensando,

ocasionando uma grande diminuição no impacto desse fator no resultado final.

A seguir será considerado o método que fixa as probabilidades de ruína

ao longo de 5 anos de acordo com a legislação inglesa, e calcula a necessidade

de capital referente a certo limite de retenção.


inicial – Panjer (t = 5) (Quota-Parte, sensibilidade do crescimento do λ)

DBD


Resultados 143


ruína fixa – Aproximação Normal Power (1 ≤ t ≤ 5) (Quota-Parte, sensibilidade do

crescimento do λ)


ruína fixa – Panjer (1 ≤ t ≤ 5) (Quota-Parte, sensibilidade do crescimento do λ)

DBD


Resultados 144

Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

0,05 650.394,38 1.233.304,90 1.809.338,87 2.381.704,92 2.951.487,83

0,15 591.210,18 980.807,44 1.350.491,13 1.711.377,86 2.068.212,58

0,30 500.979,65 639.569,79 761.787,28 874.289,98 976.966,93

0,45 411.644,42 415.760,86 402.669,82 377.800,89 347.290,10

0,60 325.426,27 246.790,46 162.485,36 80.309,20 5.290,70

0,75 235.823,42 93.692,34 -38.290,54 -157.374,14 -259.154,61

0,90 148.598,99 -51.884,92 -226.403,81 -372.034,52 -500.734,46

0,99 99.275,99 -137.949,07 -333.329,17 -497.709,41 -639.150,21



fixa - Aproximação Normal Power


fixa – Aproximação Normal Power (Quota-Parte, sensibilidade do crescimento do λ)

Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

0,05 618.584,62 1.163.184,44 1.700.133,67 2.231.691,86 2.761.721,49

0,25 503.058,11 681.919,67 849.153,29 1.006.335,10 1.156.470,62

0,50 356.559,65 316.781,27 267.864,03 213.979,92 159.001,28

0,75 201.317,72 56.334,88 -78.781,48 -195.674,90 -301.562,01

0,99 69.156,63 -164.439,92 -355.678,37 -516.268,43 -650.884,84



fixa - Panjer


fixa – Panjer (Quota-Parte, sensibilidade do crescimento do λ)

Pelas figuras 75 e 76 é possível ver que ambos os métodos produziram

resultados com comportamentos bem semelhantes, levando então ao mesmo

tipo de conclusão. Com isso, nota-se que a necessidade de capital aqui só

apresentou uma diferença considerável para os limites de retenção muito baixos,

tais como α = 0,05 e α = 0,15, e também para o limite de retenção mais alto α =

0,99.

Como foi mencionado, o prêmio retido da seguradora depende do custo

total de sinistros esperado, e também do custo total de sinistros repassados

esperado, logo reter pouco diminui muito o prêmio retido, necessitando um

capital mais alto para controlar a probabilidade de ruína de acordo com a

legislação inglesa.

O mesmo acontece quando se adotou um limite de retenção que é quase

igual a 100%, onde o custo total de sinistros repassados esperado fica bem

reduzido, aumentando consideravelmente o prêmio retido, fazendo com que a

necessidade de capital seja menor.

Portanto, foi possível ver que a mudança no crescimento do número de

sinistros só é sensível para a necessidade de capital quando se considera um

limite de retenção muito alto ou muito baixo.

DBD


Resultados 145

7.3.1.2. Excedente de Responsabilidade

Analisando agora a sensibilidade do crescimento do número de sinistro

para a cobertura de resseguro Excedente de Responsabilidade.

Da mesma maneira que o Quota-Parte, a principal diferença encontrada

aqui foi na baixa retenção relacionada aos capitais iniciais mais altos, onde aqui

se mostra que possuir um capital inicial maior ou igual que $3.000.000 implica

que a probabilidade de ruína do segurador após 5 anos é quase nula.

No entanto, para o restante dos capitais iniciais considerados, o

comportamento geral da figura 77 a cima é bem similar do observado na seção

7.2.2.3, mostrando aqui também que ao considerar um crescimento nulo no

número de sinistros ocasionaram-se poucas mudanças nos resultados para a

probabilidade de ruína discreta após 5 anos.

Fixando agora as ruína ao longo de 5 anos, de acordo com a legislação

inglesa, foram produzidos os seguintes resultados.


inicial – Aproximação Normal Power (t = 5) (Excedente de Responsabilidade,

sensibilidade do crescimento do λ)

DBD


Resultados 146

Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

15.000 467.346,71 709.422,91 966.034,47 1.228.664,24 1.494.280,03

30.000 335.890,89 341.937,42 349.327,04 356.870,61 364.498,48

250.000 60.542,41 -167.371,01 -321.718,62 -443.528,33 -543.356,02

500.000 100.987,01 -188.723,15 -390.652,01 -548.777,33 -676.537,41

750.000 93.038,65 -215.903,96 -422.618,29 -587.970,52 -722.418,19

1.000.000 91.187,51 -225.776,54 -434.904,36 -603.497,97 -740.816,24

1.250.000 94.765,54 -224.910,67 -437.995,07 -608.891,03 -747.915,26

1.500.000 98.394,58 -222.609,61 -438.904,69 -611.419,12 -751.562,06





fixa – Aproximação Normal Power (Excedente de Responsabilidade, sensibilidade do

crescimento do λ)

Já neste caso, a única grande diferença se encontra nos limites de

retenção pequenos, tais como m = 5.000 e m = 15.000. Como essa cobertura de

resseguro depende diretamente da importância segurada para calcular a

proporção da apólice a ser retida pela seguradora, a diferença não foi

encontrada nos extremos, como foi visto para o Quota-Parte.

Logo, é possível concluir que ao considerar um crescimento nulo no

número de sinistros anuais ocasionou pouco impacto na necessidade de capital

sob esse tipo de cobertura de resseguro, isso se dá pelo modo que o prêmio


ruína fixa – Aproximação Normal Power (1 ≤ t ≤ 5) (Excedente de Responsabilidade,

sensibilidade do crescimento do λ)

DBD


Resultados 147

retido é diretamente dependente do custo total de sinistros esperados,

ponderado por um carregamento de prêmio.

7.3.1.3. Excesso de Danos

Fazendo o mesmo tipo de análise para esta cobertura de resseguro não

proporcional, obtiveram-se os seguintes resultados.


inicial – Aproximação Normal Power (t = 5) (Excesso de Danos, sensibilidade do

crescimento do λ)


inicial – Panjer (t = 5) (Excesso de Danos, sensibilidade do crescimento do λ)

DBD


Resultados 148

Pelas figuras 79 e 80 a cima nota-se que o comportamento da

aproximação e da recursão de Panjer é bem semelhante, podendo levar aos

mesmos tipos de análises e conclusões, relembrando que o método de Panjer foi

calculado em cima de nove limites de retenção r, já a aproximação foi calculada

em cima de cinqüenta limites de retenção, por isso o gráfico de Panjer é menos

suave.

Em geral, aqui se observou um resultado bastante parecido com o

resultado apresentado na seção 7.2.3.2, exceto para os capitais iniciais maiores

e iguais a $3.000.000, onde aqui apresentaram uma probabilidade de ruína

quase nula após 5 anos para os limites de retenção consideravelmente baixos.

Mais uma vez, foi possível notar o pouco impacto que o crescimento no

número anual de sinistros tem sobre o resultado geral da probabilidade de ruína

calculada de maneira discreta após 5 anos.

Considerando agora a necessidade de capital, dado o novo padrão de

crescimento do número de sinistros e as ruínas fixas de acordo com a legislação

inglesa, os resultados encontram-se nas figuras e tabelas a seguir.


ruína fixa – Aproximação Normal Power (1 ≤ t ≤ 5) (Excesso de Danos, sensibilidade do

crescimento do λ)

DBD


Resultados 149

Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

10.000 369.818,76 485.274,50 613.363,73 748.623,17 887.415,69

60.000 -30.866,71 -192.896,66 -303.785,39 -390.049,32 -463.294,43

120.000 -56.670,27 -290.422,40 -449.354,63 -573.746,49 -679.247,27

180.000 -18.665,37 -294.305,52 -473.720,54 -628.433,91 -748.649,38

240.000 16.413,69 -278.052,10 -479.936,68 -636.247,97 -767.399,55

300.000 49.889,11 -264.911,19 -472.375,55 -636.024,78 -773.065,19

360.000 71.146,01 -245.140,71 -463.030,14 -633.490,18 -773.445,93

415.000 87.482,00 -235.189,20 -456.012,32 -630.020,34 -772.029,21

Fonte: Dados Prórprios


mantendo a ruína fixa - Aproximação Normal Power


fixa – Aproximação Normal Power (Excesso de Danos, sensibilidade do crescimento do

λ)

Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

10.000 415.509,00 636.993,47 842.009,86 1.042.688,44 1.239.049,46

60.000 20.078,66 -110.955,09 -216.545,60 -305.101,69 -381.434,46

120.000 -35.964,73 -230.831,99 -388.153,39 -514.678,39 -623.272,66

180.000 -20.140,25 -182.345,99 -340.235,73 -487.050,58 -602.033,10

240.000 20.257,24 -212.132,20 -400.652,90 -561.348,85 -692.014,05

300.000 34.639,89 -194.743,62 -389.387,70 -555.735,36 -688.484,02

360.000 45.378,25 -185.693,81 -381.169,90 -550.178,00 -685.020,20

415.000 55.361,47 -183.836,87 -377.358,21 -544.676,22 -683.071,93Fonte: Dados Próprios

Necessidade de capital relacionada ao limite retenção, mantendo a ruína fixa -

Panjer


fixa – Panjer (Excesso de Danos, sensibilidade do crescimento do λ)


ruína fixa – Panjer (1 ≤ t ≤ 5) (Excesso de Danos, sensibilidade do crescimento do λ)

DBD


Resultados 150

Os resultados apresentados pela aproximação e pelo método recursivo de

Panjer aqui também são bem similares, levando a um mesmo tipo de conclusão

e análise.

Para este caso, a diferença de considerar um crescimento, ou não, no

número de sinistros anuais é quase inexistente, o a necessidade de capital para

sustentar as ruínas fixas pela legislação da Inglaterra é irrisória para todos os

limites de retenção considerados. No entanto, para o limite de retenção r =

10.000 a diferença é um pouco maior do que dos outros limites de retenção,

porém ainda pode ser considerada muito pequena.

7.3.1.4. Stop-Loss

Continuando com a análise de sensibilidade em questão, considerou-se

agora a cobertura de resseguro Stop-Loss.


inicial – Panjer (t = 5) (Stop-Loss, sensibilidade do crescimento do λ)

DBD


Resultados 151

500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 2.500.000 3.000.000 3.500.000 4.000.000

100.000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000

500.000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000

2.000.000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000

4.000.000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000

6.000.000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000

8.000.000 0,0016288 0,0001886 0,0000162 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000

10.000.000 0,0195949 0,0048738 0,0006705 0,0000758 0,0000223 0,0000061 0,0000015 0,0000015

12.000.000 0,0202026 0,0054837 0,0012813 0,0002673 0,0000522 0,0000099 0,0000018 0,0000018


Limite de

Retenção

U0

Fonte: Dados Próprios Tabela 45 Probabilidade de ruína em t = 5 para cada capital inicial e limite de retenção –

Panjer (Stop-Loss, sensibilidade do crescimento do λ)

No caso da probabilidade de ruína ser contínua após 5 anos, foi possível

encontrar algumas diferenças do que foi apresentado na seção 7.2.4.3, aqui se

encontrou uma diminuição na probabilidade de ruína para os capitais a partir de

$3.000.000 e limites de retenção baixos. Em contra partida, observou-se também

um aumento na probabilidade de ruína referente ao limite de retenção de d =

8.000.000, onde na seção 7.2.4.3 era nula, e aqui chegou a 0,0016 para o

capital inicial de $500.000.

No geral, as probabilidades de ruína são bem próximas, porém um pouco

menores quando se considera esse comportamento de crescimento do número

de sinistros anuais.

Portanto, para essa cobertura de resseguro, a alteração no crescimento do

λ teve um impacto mais relevante no cálculo da probabilidade de ruína em t = 5

do que as coberturas de resseguro analisadas até então.

Da mesma maneira, considerou-se o comportamento da necessidade de

capital dada tal mudança no λ, com isso obtiveram-se os seguintes resultados.


ruína fixa – Panjer (1 ≤ t ≤ 5) (Stop-Loss, sensibilidade do crescimento do λ)

DBD


Resultados 152

Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

100.000 -- -- -- -- --

500.000 -- -- -- -- --

2.000.000 -- -- -- -- --

4.000.000 -- -- -- -- --

6.000.000 -1.252.750 -1.523.060 -2.168.215 -2.633.558 -3.129.453

8.000.000 -480.562 -540.047 -760.262 -883.011 -1.003.275

10.000.000 56.426 -178.914 -477.424 -651.158 -800.334

12.000.000 68.839 -171.704 -477.424 -652.160 -800.333Fonte: Dados Próprios

Necessidade de capital relacionada ao limite retenção,

mantendo a ruína fixa - Panjer


fixa – Panjer (Stop-Loss, sensibilidade do crescimento do λ)

Pela figura 84 e tabela 46 foi possível notar uma grande diferença do que

já foi observado na seção 7.2.4.4. Como já foi mencionada, essa cobertura de

resseguro possui um tratamento diferente, dado que este é aplicado diretamente

em cima da variável aleatória S, limitando a área de ruína pelo limite de retenção

d e o resultado ( UP +~

) obtido pela seguradora. Como se diminuiu o número de

sinistro anua ao longo de 5 anos, fez com que o prêmio retido pela seguradora

diminui-se também, fazendo com que UP +~

fosse menor, aumentando assim a

área de ruína.

Então aqui foi possível calcular a necessidade de capital referente ao limite

de retenção d = 6.000.000 de maneira completa, indicando que ouve realmente

um aumento na área de ruína. No entanto, a necessidade de capital em si é

bem parecida do encontrado na seção 7.2.4.4, mostrando que apesar do prêmio

retido ter sofrido uma diminuição, o numero de sinistros também sofreu uma

diminuição fazendo com que um fato amenizasse o outro.

DBD


Documents

Necessidade de Capital em Fun o do Resseguro) · Da mesma maneira que se desmembrou X, é possível desmembrar S: , onde é a parte total dos sinistros retidos pela seguradora, e