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NEEJA NUacuteCLEO DE EDUCACcedilAtildeO DE JOVENS E ADULTOS
CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO
APOSTILA DE MATEMAacuteTICA
ENSINO MEacuteDIO
MOacuteDULO - 8
PROFESSOR Suzerly Fatima Bonotto
Ano 2015
2
MOacuteDULO 8
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21
----------------)
3
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
4
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
5
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
6
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1
48=3
48|3=
16=
=
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
7
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
8
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
9
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
10
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
11
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
12
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
13
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
14
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
15
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
16
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
17
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(
) B=(
) C=(
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
Dada a matriz
A (
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(
)+(
) = b)(
) -(
) = c) (
) + (
) =
d) (
) -(
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|
| b)|
|
18
c)|
|
d)|
|
e)
f)
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute
Pn= n
Exemplos P3 = 3 =321 = 6
19
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugares
P5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
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2
MOacuteDULO 8
SEQUEcircNCIAS
Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com
figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas
apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia
obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a
sequecircncia A seguir damos um exemplo
A=(0246810)
Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia
Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12
E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas
desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo
a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro
termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira
para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12
b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem
crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece
em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12
O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir
sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte
maneira
Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A
Exerciacutecio
Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas
a)A=(122333--------------)
b)B=(5102040--------------)
c)C=(5-1020-40-------------)
d)D=(1383-2-----------------)
e)E=(21
----------------)
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Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
4
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
5
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
6
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1
48=3
48|3=
16=
=
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
7
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
8
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
9
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
10
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
11
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
12
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
13
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
14
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
15
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
16
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
17
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(
) B=(
) C=(
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
Dada a matriz
A (
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(
)+(
) = b)(
) -(
) = c) (
) + (
) =
d) (
) -(
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|
| b)|
|
18
c)|
|
d)|
|
e)
f)
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute
Pn= n
Exemplos P3 = 3 =321 = 6
19
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugares
P5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
21
3
Na sequecircncia (-202468) Ache
a)a3-a1=
b)a soma de seus termos
PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA
Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA
Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a
partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado
razatildeo
Exemplos
A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)
B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)
C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)
D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)
Termo Geral de uma PA
Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r
De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r
A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA
Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o
primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA
Exemplos
1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo
Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos
calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever
a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999
Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar
4
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
5
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
6
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1
48=3
48|3=
16=
=
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
7
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
8
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
9
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
10
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
11
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
12
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
13
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
14
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
15
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
16
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
17
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(
) B=(
) C=(
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
Dada a matriz
A (
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(
)+(
) = b)(
) -(
) = c) (
) + (
) =
d) (
) -(
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|
| b)|
|
18
c)|
|
d)|
|
e)
f)
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute
Pn= n
Exemplos P3 = 3 =321 = 6
19
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugares
P5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
21
4
2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)
Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na
foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -
100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40
Portanto a PA possui 40 termos
3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30
e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e
substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2
4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5
a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -
77
5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute
usar a foacutermula do termo geral
a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r
33=11r r=3311 r=3
6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees
(a)(213243546)
(b)(124816)
(c)(191494-1)
(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que
a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05
Exerciacutecios
1-Calcule o 37ordm termo da PA
2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos
a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4
c)a27=16 e r =12
5
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
6
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1
48=3
48|3=
16=
=
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
7
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
8
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
9
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
10
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
11
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
12
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
13
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
14
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
15
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
16
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
17
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(
) B=(
) C=(
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
Dada a matriz
A (
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(
)+(
) = b)(
) -(
) = c) (
) + (
) =
d) (
) -(
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|
| b)|
|
18
c)|
|
d)|
|
e)
f)
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute
Pn= n
Exemplos P3 = 3 =321 = 6
19
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugares
P5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
21
5
3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65
4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)
5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)
6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par
7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo
8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30
9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute
10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)
PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA
Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a
partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual
Observe a sequecircncia
(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na
definiccedilatildeo dada
4 2 = 2
8 4 = 2
16 8 = 2
32 16 = 2
64 32 = 2
termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo
Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi
elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo
geomeacutetrica Veja
an = a1qn -1
Com base nessa expressatildeo temos que
a2 = a1 q
a3 = a1 q2
a5 = a1 q4
a10 = a1 q9
a50 = a1q49
a100 = a1q99
6
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1
48=3
48|3=
16=
=
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
7
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
8
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
9
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
10
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
11
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
12
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
13
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
14
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
15
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
16
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
17
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(
) B=(
) C=(
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
Dada a matriz
A (
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(
)+(
) = b)(
) -(
) = c) (
) + (
) =
d) (
) -(
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|
| b)|
|
18
c)|
|
d)|
|
e)
f)
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute
Pn= n
Exemplos P3 = 3 =321 = 6
19
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugares
P5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
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6
Exemplo 1
Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3
Determine o 8ordm termo dessa PG
a8 = 4 37
a8 = 4 2187
a8 = 8748
O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748
1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo
2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10
vem pela foacutermula
a10 = a1 q9 = 2 2
9 = 2 512 = 1024
3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute
igual a 320 Qual a razatildeo desta PG
4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4
Daiacute vem 320
= 20q4
Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2
INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA
Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3
an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)
an= a1
48=3
48|3=
16=
=
2=q
1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG
a) (3 12 48)
b)(5-15)
c)(552)
d)(105)
e)(1050)
7
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
8
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
9
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
10
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
11
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
12
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
13
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
14
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
15
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
16
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
17
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(
) B=(
) C=(
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
Dada a matriz
A (
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(
)+(
) = b)(
) -(
) = c) (
) + (
) =
d) (
) -(
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|
| b)|
|
18
c)|
|
d)|
|
e)
f)
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute
Pn= n
Exemplos P3 = 3 =321 = 6
19
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugares
P5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
21
7
2Copie e complete cada uma das PG
a)(36)
b)(15)
c)(918)
Escreva
a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3
b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2
c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13
Calcule
1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)
2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro
termo dessa PG
3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa
PG
5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)
6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute
7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero
de termos
8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a
razatildeo dessa PG eacute
9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o
(quinto termo) os nuacutemeros
10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)
8
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
9
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
10
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
11
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
12
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
13
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
14
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
15
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
16
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
17
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(
) B=(
) C=(
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
Dada a matriz
A (
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(
)+(
) = b)(
) -(
) = c) (
) + (
) =
d) (
) -(
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|
| b)|
|
18
c)|
|
d)|
|
e)
f)
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute
Pn= n
Exemplos P3 = 3 =321 = 6
19
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugares
P5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
21
8
MATRIZES
Introduccedilatildeo
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada
vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre
outras Vejamos um exemplo
A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa
Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica
na segunda linha e na terceira coluna da tabela
Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como
no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes
Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas
de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita
Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo
denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3
9
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
10
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
11
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
12
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
13
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
14
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
15
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
16
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
17
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(
) B=(
) C=(
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
Dada a matriz
A (
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(
)+(
) = b)(
) -(
) = c) (
) + (
) =
d) (
) -(
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|
| b)|
|
18
c)|
|
d)|
|
e)
f)
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute
Pn= n
Exemplos P3 = 3 =321 = 6
19
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugares
P5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
21
9
Veja mais alguns exemplos
eacute uma matriz do tipo 2 x 3
eacute uma matriz do tipo 2 x 2
Notaccedilatildeo geral
Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras
minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa
Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
Na matriz temos
10
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
11
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
12
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
13
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
14
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
15
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
16
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
17
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(
) B=(
) C=(
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
Dada a matriz
A (
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(
)+(
) = b)(
) -(
) = c) (
) + (
) =
d) (
) -(
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|
| b)|
|
18
c)|
|
d)|
|
e)
f)
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute
Pn= n
Exemplos P3 = 3 =321 = 6
19
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugares
P5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
21
10
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1
Veja
ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf
linha e da 3ordf coluna
11
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
12
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
13
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
14
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
15
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
16
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
17
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(
) B=(
) C=(
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
Dada a matriz
A (
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(
)+(
) = b)(
) -(
) = c) (
) + (
) =
d) (
) -(
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|
| b)|
|
18
c)|
|
d)|
|
e)
f)
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute
Pn= n
Exemplos P3 = 3 =321 = 6
19
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugares
P5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
21
11
Na matriz temos
Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =
Denominaccedilotildees especiais
Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais
Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz
A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4
Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo
do tipo 3 x 1
Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e
colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do
tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A
principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n
Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo
12
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
13
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
14
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
15
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
16
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
17
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(
) B=(
) C=(
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
Dada a matriz
A (
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(
)+(
) = b)(
) -(
) = c) (
) + (
) =
d) (
) -(
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|
| b)|
|
18
c)|
|
d)|
|
e)
f)
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute
Pn= n
Exemplos P3 = 3 =321 = 6
19
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugares
P5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
21
12
Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m
Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave
2ordf coluna de At
Operaccedilotildees envolvendo matrizes
ADICcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a
matriz tal que Cij = aij + bij para todo
A + B = C
Exemplos
Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo
SUBTRACcedilAtildeO
Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas
matrizes a soma de A com a matriz oposta de B
A - B = A + ( - B )
13
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
14
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
15
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
16
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
17
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(
) B=(
) C=(
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
Dada a matriz
A (
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(
)+(
) = b)(
) -(
) = c) (
) + (
) =
d) (
) -(
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|
| b)|
|
18
c)|
|
d)|
|
e)
f)
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute
Pn= n
Exemplos P3 = 3 =321 = 6
19
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugares
P5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
21
13
Observe
MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ
Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma
matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja
bij = xaij
B = xA
Observe o seguinte exemplo
MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES
O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos
Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n
em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem
cada Cij
1ordf linha e 1ordf coluna
14
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
15
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
16
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
17
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(
) B=(
) C=(
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
Dada a matriz
A (
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(
)+(
) = b)(
) -(
) = c) (
) + (
) =
d) (
) -(
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|
| b)|
|
18
c)|
|
d)|
|
e)
f)
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute
Pn= n
Exemplos P3 = 3 =321 = 6
19
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugares
P5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
21
14
1ordf linha e 2ordf coluna
2ordf linha e 1ordf coluna
2ordf linha e 2ordf coluna
Assim
Observe que
Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade
comutativa
15
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
16
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
17
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(
) B=(
) C=(
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
Dada a matriz
A (
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(
)+(
) = b)(
) -(
) = c) (
) + (
) =
d) (
) -(
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|
| b)|
|
18
c)|
|
d)|
|
e)
f)
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute
Pn= n
Exemplos P3 = 3 =321 = 6
19
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugares
P5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
21
15
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A
for igual ao nuacutemero de linhas de B
A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)
Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x
EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO
1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)
e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela
Camisa A Camisa
B
Camisa
C
Bototildees
p 3 1 3
Bototildees
G 6 5 5
16
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
17
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(
) B=(
) C=(
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
Dada a matriz
A (
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(
)+(
) = b)(
) -(
) = c) (
) + (
) =
d) (
) -(
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|
| b)|
|
18
c)|
|
d)|
|
e)
f)
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute
Pn= n
Exemplos P3 = 3 =321 = 6
19
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugares
P5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
21
16
O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute
dado pela tabela
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B
50 100
Camisa C 50 50
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM
O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos
termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses
produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz
Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por
Determinante de matriz de terceira ordem
O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o
determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que
resulta no seguinte caacutelculo
17
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(
) B=(
) C=(
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
Dada a matriz
A (
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(
)+(
) = b)(
) -(
) = c) (
) + (
) =
d) (
) -(
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|
| b)|
|
18
c)|
|
d)|
|
e)
f)
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute
Pn= n
Exemplos P3 = 3 =321 = 6
19
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugares
P5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
21
17
Por exemplo
=0
Dadas as matrizes
A=(
) B=(
) C=(
)
Determine
a) A ndash B =
b) (B+C) =
c) BC =
d) 2C+ B=
Dada a matriz
A (
) a) Qual a ordem desta matriz
b) Representa a matriz transposta
c) Que tipo de matriz se classifica
Efetue as matrizes
a)(
)+(
) = b)(
) -(
) = c) (
) + (
) =
d) (
) -(
) =
Ache o valor dos determinantes
a)|
| b)|
|
18
c)|
|
d)|
|
e)
f)
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute
Pn= n
Exemplos P3 = 3 =321 = 6
19
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugares
P5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
21
18
c)|
|
d)|
|
e)
f)
ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA
Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela
anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios
que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria
FATORIAL DE UM NUacuteMERO
Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo
siacutembolo n ) como sendo
n = n
Para n = 0 teremos 0 = 1
Para n = 1 teremos 1 = 1
Exemplos
a) 6 = 654321 = 720
b) 4 = 4321 = 24
Princiacutepio Fundamental da Contagem
Exemplo-
Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima
para baixo nesta exata ordem
Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia
Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros
nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras
Permutaccedilotildees simples
Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos
Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC
ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos
distintos eacute dado por nIsto eacute
Pn= n
Exemplos P3 = 3 =321 = 6
19
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugares
P5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
21
19
Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de
um banco retangular de cinco lugares
P5 = 5 = 54321 = 120
Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma
palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum
Exemplo
Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6
REI RIE ERI EIR IRE e IER
Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples
1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a
escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo
combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta
pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o
grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9
professores de matemaacutetica
2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas
3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos
modos
4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas
distintas
saladas
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
21
20
EXERCIacuteCIOS
1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos
2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3
rapazes e 3 moccedilas
3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8
jogadores
4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de
mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar
5- Dada a palavra FUTEBOL responda
a) Quantos anagramas terminam por L
b) Quantos satildeo seus anagramas
c) Quantos comeccedilam por F
6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos
formar
7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos
diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas
8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas
-Martelo
-Excursatildeo
-Resto
Calcule
a) P8
b) A63
c) C85
d) P4+C42
e) A75 - 6P3
21
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