É trabalho pioneiro.Prestação de serviços com tradição de confiabilidade.Construtivo, procura colaborar com as Bancas Examinadorasem sua tarefa árdua de não cometer injustiças.Didático, mais do que um simples gabarito, auxilia o estudanteem seu processo de aprendizagem.
Na 2ª fase, a UNICAMP aplica oito provas analítico-expositivas(iguais para todos os candidatos) das disciplinas obrigatórias donúcleo comum do Ensino Médio.Realizadas em quatro dias consecutivos, as provas (com quatrohoras de duração) são assim agrupadas:1º dia: Língua Portuguesa, Literaturas de Língua Portuguesa e
Ciências Biológicas2º dia: Química e História3º dia: Física e Geografia4º dia: Matemática e Língua Estrangeira (Inglês ou Francês).
Para cada disciplina há 12 questões, valendo 5,0 pontos cada uma.Mais uma vez, além de todos os cursos da UNICAMP, os candi-datos disputam também as vagas de Medicina e Enfermagem daFAMERP – Faculdade de Medicina de São José do Rio Preto (enti-dade pública estadual).Apresentamos, neste fascículo de O Anglo Resolve, a resoluçãocomentada das questões. No final, a análise dos nossos profes-sores.
OAnglo
Resolve
As Provas da UNICAMP
2ª- fase
MatemáticaCaminhando sempre com a mesma velocidade, a partir do marco zero, em uma pista circular, um pedes-tre chega à marca dos 2.500 metros às 8 horas, e aos 4.000 metros às 8h15min.a) A que horas e minutos o referido pedestre começou a caminhar?b) Quantos metros tem a pista se o pedestre deu duas voltas completas em 1 hora e 40 minutos?
a) Num intervalo de tempo de 15 minutos, o pedestre andou 1.500 metros.
Como sua velocidade é constante, ele percorre 2.500m num intervalo de tempo dado por min,
ou seja, 25 minutos. Como ele chegou à marca dos 2.500metros às 8 horas, começou a caminhar25 minutos antes, ou seja, às 7h35 min.Resposta: 7h35min.
b) Em 1 hora e 40 minutos, ou seja, em 100 minutos, ele caminha isto é, 10.000 metros.
Como ele deu duas voltas, a pista tem 5.000 metros.
Resposta: 5.000 metros
Em uma empresa, 1/3 dos funcionários tem idade menor que 30 anos, 1/4 tem idade entre 30 e 40 anose 40 funcionários têm mais de 40 anos.a) Quantos funcionários tem a referida empresa?b) Quantos deles têm pelo menos 30 anos?
Sendo n o número de funcionários da empresa, temos que
a)
4n + 3n + 40 ⋅ 12 = 12n40 ⋅ 12 = 5nn = 96
Resposta: 96.
b) O número de funcionários com pelo menos 30 anos de idade é dado por
com n = 96.
Resposta: 64.
Uma sala retangular medindo 3m por 4,25m deve ser ladrilhada com ladrilhos quadrados iguais. Su-pondo que não haja espaço entre ladrilhos vizinhos, pergunta-se:a) Qual deve ser a dimensão máxima, em centímetros, de cada um desses ladrilhos para que a sala
possa ser ladrilhada sem cortar nenhum ladrilho?b) Quantos desses mesmos ladrilhos são necessários?
Sendo l a medida, em centímetros, dos lados desses ladrilhos, po-demos concluir, do enunciado, que l é um número inteiro positi-vo e divisor comum dos números 425 e 300.
a) l deve ser o máximo divisor comum dos números 425 e 300.Portanto, l = 25.
Resposta: 25.
964
40 64+ =
n4
40+ ,
123 4
40 12n n
n+ +
=
n nn
3 440+ + = .
10015
1 500⋅ . ,m
2 5001 500
15..
⋅
3UNICAMP/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
l
300cm
425cm
12
3
123
l
QUESTÃO 01
RESOLUÇÃO:
QUESTÃO 02
RESOLUÇÃO:
QUESTÃO 03
RESOLUÇÃO:
b) Nessas condições, o número de ladrilhos necessários é
Resposta: 204 ladrilhos.
Uma transportadora entrega, com caminhões, 60 toneladas de açúcar por dia. Devido a problemas ope-racionais, em um certo dia cada caminhão foi carregado com 500kg a menos que o usual, tendo sido ne-cessário, naquele dia, alugar mais 4 caminhões.a) Quantos caminhões foram necessários naquele dia?b) Quantos quilos transportou cada caminhão naquele dia?
Seja x o número de caminhões utilizados em um dia normal e y a quantidade em kg carregada emcada um.
y ⋅ x = 60.000 (1)(y – 500) ⋅ (x + 4) = 60.000 (2)
Das relações (1) e (2), temos:yx + 4y – 500x – 2.000 = yx ∴ y = 500 + 125x (3)
Substituindo-se (3) em (1), vem:(500 + 125x)x = 60.000 ∴ 125x2 + 500x – 60.000 = 0
x = 20∴ x2 + 4x – 480 = 0 ou
x = –24 (não convém)
Substituindo-se x = 20 na relação (3):y = 500 + 125(20) ∴ y = 3.000
Assim, naquele dia, temos:
a) x + 4 = 24Resposta: 24 caminhões.
b) y – 500 = 2.500Resposta: 2.500kg.
Um homem, de 1,80m de altura, sobe uma ladeira com inclinação de 30º, conforme mostra a figura. Noponto A está um poste vertical de 5 metros de altura, com uma lâmpada no ponto B. Pede-se para:
a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima.b) Calcular a área do triângulo ABC.
Do enunciado, temos a figura:
a) Sendo x o comprimento da sombra, da semelhança dos triângulos CDE e CAB temos:
∴ x = 2,25
Resposta: 2,25m
xx + =
41 80
5,
5m
B
A
1,80m
30º
sombra
C
42525
30025
204⋅ =
4 UNICAMP/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
QUESTÃO 04
RESOLUÇÃO:
A
5m
B
1,80m
30º
xC
60º
E
4DE // AB
D
QUESTÃO 05
RESOLUÇÃO:
12
3
→→
b) A área S do triângulo ABC é:
ou seja, S =
Resposta:
Em Matemática, um número natural a é chamado palíndromo se seus algarismos, escritos em ordem in-versa, produzem o mesmo número. Por exemplo, 8, 22 e 373 são palíndromos. Pergunta-se:a) Quantos números naturais palíndromos existem entre 1 e 9.999?b) Escolhendo-se ao acaso um número natural entre 1 e 9.999, qual é a probabilidade de que esse nú-
mero seja palíndromo? Tal probabilidade é maior ou menor que 2%? Justifique sua resposta.
a) De 1 até 9.999, temos desde palíndromos de 1 algarismo até palíndromos de 4 algarismos.
Assim,
ou ou ou ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓9 + 9 ⋅ 1 + 9 ⋅ 10 ⋅ 1 + 9 ⋅ 10 ⋅ 1 ⋅ 1 = 198
Considerando que “entre 1 e 9.999” não devam ser incluídos os extremos, temos 196 palíndromos.Resposta: 196
b) “Entre 1 e 9.999” temos 9.997 números.
Assim, a probabilidade pedida é:
Nota: Se interpretássemos o “entre 1 e 9.999” com a possibilidade da inclusão dos extremos, teríamos:
a) 198 palíndromos.
b)
Seis círculos, todos de raio 1cm, são dispos-tos no plano conforme mostram as figurasao lado:
a) Calcule a área do triângulo ABC.b) Calcule a área do paralelogramo MNPQ
e compare-a com a área do triânguloABC.
a) Do enunciado, temos a figura:
P = = ≈1989 999
2101
1 98.
, %.
P = ≈1969 997
1 96.
, %
xxxx
7 8125 3 2, m
7 8125 3, .S = ⋅ ⋅ ⋅12
5 6 253
2, ,
S AB AC sen= ⋅ ⋅12
60( ) ( ) º
5UNICAMP/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
QUESTÃO 06
RESOLUÇÃO:
QUESTÃO 07
A
C
B
60º
60º
60º60º
30º30º
1
a D 4 E a
1
F
30º30º
A
C
B
M N
PQ
RESOLUÇÃO:
No triângulo retângulo ADF, temos:
O lado do triângulo equilátero ABC é igual a ou seja,Assim, a área desse triângulo é:
Resposta:
b) Do enunciado, temos a figura:
No triângulo VRM, temos:
No triângulo retângulo JTQ, temos:
Os lados MN e MQ do paralelogramo MNPQ medem, respectivamente,
ou seja,
A área do paralelogramo é o dobro da área do triângulo MQN, isto é:
Sendo ST e SP, respectivamente, as áreas do triângulo ABC e do paralelogramo MNPQ, umacomparação pode ser dada por ST – SP.
Assim,
Como � 0, conclui-se que ST � SP.
Resposta: Área do paralelogramo MNPQ:
A área do triângulo ABC é maior que a área do paralelograma MNPQ.
Uma piscina, cuja capacidade é de 120m3, leva 20 horas para ser esvaziada. O volume de água na piscina,t horas após o início do processo de esvaziamento, é dado pela função V(t) = a(b – t)2 para 0 � t � 20 eV(t) = 0 para t � 20.a) Calcule as constantes a e b.b) Faça o gráfico da função V(t) para t ∈ [0,30].
a) Do enunciado, devemos ter:V(0) = 120, ou seja: a ⋅ b2 = 120 (1)V(20) = 0, ou seja: a ⋅ (b – 20)2 = 0 (2)
Da relação (1), tem-se que a ≠ 0 e b ≠ 0.
20 3 363
2+ cm
33
S ST P– –= + + =7 3 12 20 3 363
33
2 12
4 3 123
4 3 63
32
20 3 363
⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ +
+, , .ou seja
MN e MQ= + = +4 3 123
4 3 63
.
3 4 33
3 2 33
+ + + +e ,
tgc c
c60 1 3 1 33
º = ∴ = ∴ =
tgb b
b30 1 33
1 3º = ∴ = ∴ =
( ) .7 3 12 2+ cm
12
2 3 4 2 3 43
27 3 12⋅ ⋅ ⋅+( ) +( ) +, , .ou seja
2 3 4+ .3 4 3+ + ,
tga a
a30 1 33
1 3º = ∴ = ∴ =
6 UNICAMP/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
QUESTÃO 08
RESOLUÇÃO:
M N
PQ
b30º
30º
1
1
60ºVb
S
2
Tc
1 J
60º
R U c60º
1
K
4
Assim, da relação (2), podemos escrever:
(b – 20)2 = 0 ∴ b = 20
Substituindo o valor de b em (1), temos:
Resposta: e b = 20.
b) Do item (a), resulta V(t) = para 0 � t � 20, e V(t) = 0, para t � 20.
Logo, o gráfico de V(t) para t ∈ [0, 30] é
O sólido da figura abaixo é um cubo cuja aresta mede 2cm.
a) Calcule o volume da pirâmide ABCD1.b) Calcule a distância do vértice A ao plano que passa pelos pontos B, C e D1.
Considerando-se o triângulo ABC como base da pirâmide ABCD1, a altura D1D——
relativa a essa base
mede 2. Logo, o volume pedido é , ou seja, .
Resposta:
43
3cm
43
13
22
22
⋅ ⋅
A1
D1 C1
B1
A B
CD
2
2
2
A1
D1 C1
B1
A B
CD
120
0 20 30 t (horas)
arco de parábola
V (t) m3
310
20 2⋅ ( – ) ,t
a = 310
a = 310
.
7UNICAMP/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
QUESTÃO 09
RESOLUÇÃO: a)
b)
A distância pedida h é a medida da altura relativa à base BCD1 da pirâmide ABCD1, cujo volu-
me é igual a .
Como o segmento BC—
é perpendicular à face CC1D1D do cubo, temos que BC— ⊥ CD1. Sendo
BC = 2 e , a área do triângulo BCD1 é , ou seja, . Portanto, deve-
mos ter:
Resposta:
Considere o sistema linear abaixo, no qual a é um parâmetro real:
a) Mostre que para a = 1 o sistema é impossível.b) Encontre os valores do parâmetro a para os quais o sistema tem solução única.
a) Sendo a = 1, o sistema fica:x + y + z = 1 (–1) x + y + z = 1x + y + z = 2 ← ∴ 0 = 1x + y + z = –3 ← 0 = –4
que é impossível.
b) Para que o sistema tenha solução única, devemos ter
≠ 0 ∴ a3 + 2 – 3a ≠ 0
∴ a3 – a2 + a2 – 3a + 2 ≠ 0 ∴ a2(a – 1) + (a – 2) (a – 1) ≠ 0∴ (a – 1) ⋅ (a2 + a – 2) ≠ 0a – 1 ≠ 0 ∴ a ≠ 1
ea2 + a – 2 ≠ 0 ∴ a ≠ 1 e a ≠ –2Resposta: a ≠ 1 e a ≠ –2.
Considere a equação 2x + m22 – x – 2m – 2 = 0, onde m é um número real.a) Resolva essa equação para m = 1.b) Encontre todos os valores de m para os quais a equação tem uma única raiz real.
2x + m ⋅ 22 – x – 2 ⋅ m – 2 = 0 ⇔ 2x + – 2m – 2 = 0
Com 2x = t, temos t + – 2m – 2 = 0, que é equivalente à equação t2 – 2t – 2mt + 4m = 0.4mt
42mx
a 1 11 a 11 1 a
ax y z 1x ay z 2x y az – 3
+ + =+ + =+ + =
2 cm
13
2 243
2⋅ ⋅ ∴= =h h
2 2 cm12
2 2 2⋅ ⋅CD1 2 2=
43
3cm
8 UNICAMP/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
QUESTÃO 10
RESOLUÇÃO:
A1
D1 C1
B1
A B
CD
QUESTÃO 11
RESOLUÇÃO:
142
43
142
43
+
+
Temos: t(t – 2) – 2m(t – 2) = 0(t – 2m)(t – 2) = 0 (*)
a) Com m = 1 na equação (*), resulta:(t – 2)(t – 2) = 0t = 22x = 2 ∴ x = 1
Resposta: {1}
b) Da equação (*), temos t = 2m ou t = 2.Isto é, 2x = 2m ou 2x = 2.Com m = 1, temos 2x = 2, cuja solução única é dada por x = 1.Com m � 0, a equação 2x = 2m não admite solução real e, portanto, a equação 2x = 2 nos con-duz, de novo, à solução única x = 1.Resposta: m = 1 ou m � 0.
Sejam α, β e γ os ângulos internos de um triângulo.
a) Mostre que as tangentes desses três ângulos não podem ser, todas elas, maiores ou iguais a 2.b) Supondo que as tangentes dos três ângulos sejam números inteiros positivos, calcule essas tan-
gentes.
a) Se as tangentes fossem todas maiores ou iguais a 2, seriam maiores que .
Como as medidas dos ângulos estão entre 0° e 180°, e observando que nenhum deles pode serreto, temos:
tgα � ∴ α � 60°
tgβ � ∴ β � 60°
tgγ � ∴ γ � 60°
Logo, α + β + γ � 180°, que é um absurdo.
b) α + β = 180° – γ ⇒ tg(α + β) = tg(180° – γ)
∴ = –tgγ
Do item a, uma das tangentes é um inteiro positivo menor que 2; então, fazendo tgβ = 1:
tgγ = ∴ tgγ = ∴ tgγ =
Como tgα e tgγ são inteiros positivos, devemos ter:
tgα – 1= 1 ∴ tgα = 2 e tgγ = 3ou
tgα – 1 = 2 ∴ tgα = 3 e tgγ = 2
Resposta: As tangentes são 1, 2 e 3.
1
21
+tgα –
( – )–
tgtgα
α1 2
1+
tgtg
αα
+ 11–
tg tgtg tg
α βα β
+1 –
3
3
3
3
9UNICAMP/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
QUESTÃO 12
RESOLUÇÃO:
InglêsLeia o texto abaixo e responda à questão 13.
Por que grande parte dos italianos prefeririam que as próprias mães escolhessem suas noivas?
Para contar com a aprovação delas, ou para poderem culpá-las caso o relacionamento não desse certo.Lê-se no trecho: “Many said they’d feel more at peace ... just blame it on Mom.”
O que se segue são os parágrafos iniciais de “Ghosts”, um conto de Paul Auster publicado em The NewYork Trilogy, em 1990, pela Penguin Books Inc. Leia-os e responda à pergunta 14.
Quais são os personagens que aparecem nesse trecho? Como esses personagens se interrelacionam?
Os personagens são Brown, Blue, White e Black.Brown é uma pessoa mais velha, que ensinou o ofício a Blue. Blue tornou-se detetive. White é ummarido ciumento, que contratou Blue para seguir os passos de Black, que é um homem.Depreende-se a resposta da leitura de todo o texto.
QUESTÃO 13
QUESTÃO 14
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
10 UNICAMP/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
O texto abaixo é parte de uma entrevista dada por Joseph Campbell, um intelectual norte-americanofalecido em 1987. Leia-o e responda às perguntas 15 e 16.
Neste texto, Campbell contrapõe dois modos de ver o trabalho. Que modos são esses e qual deles Campbelldefende?
Os dois modos de ver o trabalho para Campbell são: trabalho apenas como fonte de renda, pelo qualvocê se torna um escravo, e trabalho como uma atividade prazerosa, que eventualmente se torna fontede renda, esse último defendido por Campbell.Depreende-se a resposta da leitura do primeiro parágrafo.
Campbell prevê que alguns obstáculos terão que ser vencidos por quem decidir colocar em prática a visãode trabalho defendida por ele. Que obstáculos são esses?
Pressão social e falta de retorno financeiro no princípio. Lê-se nos seguintes trechos: “…because whothe hell wants you to do just what you want to do; they’ve all got a lot of plans for you”.e“… and may delay financial achievement and comfortable living.”
O texto abaixo descreve um sistema de segurança para computadores desenvolvido por pesquisadoresda Universidade Estadual do Novo México. Considere-o para responder às questões 17, 18 e 19.
11UNICAMP/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
QUESTÃO 15
QUESTÃO 16
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
O que os pesquisadores tomaram como base para elaborar o sistema? Por quê?
A base para o sistema é o modo como uma pessoa digita, pois o estilo e o ritmo da digitação são caracte-rísticas bastante individuais, que permanecem estáveis no decorrer do tempo.Encontra-se a resposta no seguinte trecho do 2º parágrafo: “that the way … over time.”
Como funciona o dispositivo de tempo incluído nesse sistema?
O dispositivo de tempo capta os sinais do teclado antes que cheguem ao processador, transformando-osem dois novos tipos de sinais: um para o computador e outro que mostra quantos milésimos de segundose passaram desde o último toque.Encontra-se a resposta do início do 3º parágrafo até “… the last keystroke.”
Qual é o grau de confiabilidade do sistema de segurança? Dê um exemplo de um procedimento desegurança presente nesse sistema.
O grau de confiabilidade é de 99%.Exemplo: se o padrão de digitação difere daquele que fora reconhecido, o computador pede que sedigitem algumas linhas de texto. Se os padrões ainda não combinarem, o acesso será negado.Encontra-se a resposta no 4º parágrafo, a partir de: “if the typing pattern...”
O poema abaixo expressa algumas sensações ou sentimentos negativos. Explicite três, usando pas-sagens do texto para justificar sua resposta.
12 UNICAMP/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
QUESTÃO 17
QUESTÃO 18
QUESTÃO 19
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
QUESTÃO 20
O poema traz, no geral, um sentimento de monotonia que é mais delineado na primeira estrofe.Na segunda estrofe, o sentimento predominante é o de aprisionamento; na terceira, desorientação;na quarta, falta de inspiração; e na última, alienação.
Os versos do poema que justificam as respostas são, respectivamente:
* “He rises each morning at six.”* “And knows he can never turn back.”* “He knows he still hasn’t a live.”* “His lunch break is quite uninspiring,”* “Pulls a veil down over his brain.”
Leia o texto abaixo e, em seguida, responda às perguntas 21, 22 e 23.
Por que o autor da resenha, Alexander Scott, afirma que “Urano não foi fácil de prever”?
Porque as órbitas de todos os planetas puderam ser calculadas de acordo com a teoria gravitacionalde Newton, ao passo que a de Urano não conforme o fim do primeiro parágrafo.
O que Scott chama de “tarefa intimidante” (intimidating task)? Em que sentido essa tarefa foi ino-vadora?
13UNICAMP/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
RESOLUÇÃO:
QUESTÃO 21
QUESTÃO 22
RESOLUÇÃO:
Os cientistas achavam que a variação da órbita de Urano se devia à existência de um planeta desconhe-cido. Determinar a posição desse planeta por meio de uma análise matemática era uma tarefa intimi-dante.A tarefa foi inovadora, pois, até então, a posicão dos planetas era determinada pelo uso do telescópio,como se lê do início do 2º parágrafo até “… almost identical answers.”
À descoberta do novo planeta narrada por Tom Standage seguiu-se um conflito. Em que consistiuesse conflito e como ele terminou?
O conflito entre o matemático inglês John Couch Adams e o astrônomo francês Urbain Jean-Joseph LeVerrier consistiu em sua divergência sobre qual nome dar ao planeta e como dividir o crédito por suadescoberta.Posteriormente, os dois tornaram-se amigos e as variações de seu método auxiliaram na descoberta deoutros planetas, como se encontra no final do texto.
Em 25 de setembro de 2001, o jornal norte-americano Free-Lance Star publicou o trabalho do car-tunista Clay Jones reproduzido abaixo. Considere-o para responder à questão 24.
De que maneira a fala do personagem no segundo quadrinho se relaciona com sua ação no primeiro? Ecomo ela se relaciona com o último? Justifique sua resposta.
No segundo quadrinho, o personagem justifica sua ação no primeiro, dizendo que devemos respeitaras diferenças e ser racionais. Entretanto, sua agressão no último quadrinho contradiz sua fala.
14 UNICAMP/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
RESOLUÇÃO:
QUESTÃO 24
RESOLUÇÃO:
RESOLUÇÃO:
QUESTÃO 23
ComentáriosA prova foi trabalhosa.Como cada questão apresentou dois itens, é provável que o tempo disponível para a interpre-
tação e resolução dessas questões tenha sido insuficiente.Foi mantido o padrão dos anos anteriores.
As doze questões foram baseadas em sete textos variados e interessantes, extraídos de livros erevistas. Podem ser consideradas difíceis ou trabalhosas — exigindo dos candidatos um acentuado graude abstração, além de competência lingüística acima da média.
Somente os candidatos mais bem preparados puderam resolver toda a prova.
15UNICAMP/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
Matemática
Inglês
Incidência
16 UNICAMP/2002 – 2ª FASE ANGLO VESTIBULARES
Aritmética
ASSUNTO
Nº DE QUESTÕES
1 2 3 4
Equação do 1º grauEquação do 2º grau
Equação ExponencialFunção do 2º grau
Geometria do EspaçoGeometria Plana
Grandezas ProporcionaisProbabilidade
Sistema LinearTrigonometria
Matemática
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