Agrupamento de Escolas António Correia de Oliveira
PLANIFICAÇÃO ANUAL DE MATEMÁTICA
9.º ANO – ANO LETIVO 2017/18
RelaçõesdeordememIR.Inequações 1.ºPeríodo
Domínio Subdomínio Conteúdos Metas TemposLetivos
Números eoperaçõesNO9
Relaçãodeordemem�Propriedadesdarelaçãodeordem
-Monotoniadaadição.–Monotoniaparcialdamultiplicação.–Adiçãoeprodutodeinequaçõesmembroamembro.–Monotoniadoquadradoedocubo.–Inequaçõesepassagemaoinverso.–Simplificaçãoeordenaçãodeexpressõesnuméricasreaisenvolvendofrações,dízimasouradicais,utilizandoaspropriedadesdarelaçãodeordemem�.-Monotoniadoquadradoedocubo-Quadradoperfeitoecuboperfeito-Raizquadradadequadradoperfeitoeraizcúbicadecuboperfeito-Produtoequocientederaízesquadradasecúbicas.-Representaçõesdecimaisderaízesquadradasecúbicas.
Relaçãodeordem1.Reconhecerpropriedadesdarelaçãodeordemem�1.Reconhecer,dadostrêsnúmerosracionaisq,resrepresentadosemformadefraçãocomq<r,quesetemq+s<r+scomparandoasfraçõesresultantesesaberqueestapropriedadeseestendeatodososnúmerosreais.2.Reconhecer,dadostrêsnúmerosracionaisq,resrepresentadosemformadefraçãocomq<res>0,quesetemqs<rscomparandoasfraçõesresultantesesaberqueestapropriedadeseestendeatodososnúmerosreais.3.Reconhecer,dadostrêsnúmerosracionaisq,resrepresentadosemformadefraçãocomq<res<0,quesetemqs>rscomparandoasfraçõesresultantesesaberqueestapropriedadeseestendeatodososnúmerosreais.4.Provarqueparaa,b,cednúmerosreaiscoma<bec<dsetema+c<b+de,nocasodea,b,cedserempositivos,ac<bd.5.Justificar,dadosdoisnúmerosreaispositivosaeb,quesea<bentãoa2<b2ea3<b3,observandoqueestaúltimapropriedadeseestendeaquaisquerdoisnúmerosreais.6.Justificar,dadosdoisnúmerosreaispositivosaeb,quesea<bentão1
�>1
�.
7.Simplificareordenarexpressõesnuméricasreaisqueenvolvamfrações,dízimaseradicaisutilizandoaspropriedadesdarelaçãodeordem.
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Númeroseoperações
NO9
Álgebra
ALG9
IntervalosdenúmerosreaisInequações
–Intervalosdenúmerosreais.– Representação de intervalos de números reais na retanumérica.–Interseçãoereuniãodeintervalos.-Resoluçãodeinequaçõesdo1ºgrau.- Conjunção e disjunção de inequações. Resolução deproblemas
2.Definirintervalosdenúmerosreais1.Identificar,dadosdoisnúmerosreaisaeb(coma<b),os“intervalosnãodegenerados”,ousimplesmente“intervalos”,[a,b],]a,b[,[a,b[e]a,b]comoosconjuntosconstituídospelosnúmerosreaisxtaisque,respetivamente,a²x²b,a<x<b,a²x<bea<x²b,designandopor“extremos”destesintervalososnúmeroseeutilizarcorretamenteostermos“intervalofechado”,“intervaloaberto”e“amplitudedeumintervalo”.2.Identificar,dadoumnúmeroreala,osintervalos[a,+°[,]a,+°[,]–°,a[e]–°,a]comoosconjuntosconstituídospelosnúmerosreaisxtaisque,respetivamente,x³a,x>a,x<aex²aedesignarossímbolos“–°”e“+°”por,respetivamente,“menosinfinito”e“maisinfinito”.3.Identificaroconjuntodosnúmerosreaiscomointervalo,representando-opor]–°,+°[.4.Representarintervalosnaretanumérica.5.Determinarinterseçõesereuniõesdeintervalosdenúmerosreais,representando-as,quandopossível,sobaformadeumintervaloou,casocontrário,deumauniãodeintervalosdisjuntos1Identificar,dadasduasfunçõesnuméricasfeg,umainequaçãocomumaincógnitaxcomoumaexpressãodaforma,designar,nestecontexto,porprimeiromembrodainequação,porsegundomembrodainequação,qualqueratalqueporsoluçãodainequaçãoeoconjuntodassoluçõesporconjunto-solução.2.Designarumainequaçãoporimpossívelquandooconjunto-soluçãoévazioeporpossívelnocasocontrário.3.Identificarduasinequaçõescomoequivalentesquandotiveremomesmoconjunto-solução.4.Reconhecerqueseobtémumainequaçãoequivalenteaumadadainequaçãoadicionandoousubtraindoummesmonúmeroaambososmembros,multiplicando-osoudividindo-osporummesmonúmeropositivooumultiplicando-osoudividindo-osporummesmonúmeronegativo,invertendoosentidodadesigualdadeedesignarestaspropriedadesporprincípiosdeequivalência.
Númeroseoperações
NO9
Valoresaproximados
–Aproximaçõesdasomaedoprodutodenúmerosreais.–Aproximaçõesderaízesquadradasecúbicas.– Problemas envolvendo aproximações de medidas degrandezas.
5.Designarporinequaçãodo1.ºgraucomumaincógnitaousimplesmenteinequaçãodo1.ºgrauqualquerinequaçãotalquefegsãofunçõesafinsdecoeficientesdistintosesimplificarinequaçõesdo1.ºgraurepresentandofegnaformacanónica.6.Simplificarosmembrosdeumainequaçãodo1.ºgraueaplicarosprincípiosdeequivalênciaparamostrarqueumadadainequaçãodo1.ºgrauéequivalenteaumainequaçãoemqueoprimeiromembroédadoporumafunçãolineardecoeficientenãonuloeosegundomembroéconstante(ax<b).7.Resolverinequaçõesdo1.ºgrauapresentandooconjunto-soluçãonaformadeumintervalo.8.Resolverconjunçõesedisjunçõesdeinequaçõesdo1.ºgraueapresentaroconjunto-soluçãonaformadeumintervalooucomoreuniãodeintervalosdisjuntos.9.Resolverproblemasenvolvendoinequaçõesdo1.ºgrau.3.Operarcomvaloresaproximadosdenúmerosreais1.Identificar,dadoumnúmeroxeumnúmeropositivor,umnúmerox’comouma“aproximaçãodexcomerroinferiorar”quandox’�]x–r,x+r[.2.Reconhecer,dadosdoisnúmerosreaisxeyeaproximaçõesx’ey’respetivamentedexeycomerroinferiorar,quex’+y’éumaaproximaçãodex+ycomerroinferiora2r.3.Aproximaroprodutodedoisnúmerosreaispeloprodutodeaproximaçõesdosfatores,majorandoporenquadramentosoerrocometido.4.Aproximarraízesquadradas(respetivamentecúbicas)comerroinferioraumdadovalorpositivor,determinandonúmerosracionaiscujadistânciasejainferiorarecujosquadrados(respetivamentecubos)enquadremosnúmerosdados.4.Resolverproblemas1.Resolverproblemasenvolvendoaproximaçõesdemedidasdegrandezasemcontextosdiversos.
Funções
1.ºPeríodo
Domínio Subdomínio Conteúdos Metas TemposLetivos
Funções,sequênciaseSucessões
FSS9
FunçõesalgébricasProporcionalidadeinversa
–Funçõesdeproporcionalidadeinversa;referênciaàhipérbole.
–Problemasenvolvendofunçõesdeproporcionalidadeinversa.
–Funçõesdafamíliaf(x)=ax2,coma≠0.–Grandezasinversamenteproporcionais;critériodeproporcionalidadeinversa.–Constantedeproporcionalidadeinversa.–Problemasenvolvendograndezasinversamenteediretamenteproporcionais.
Funçõesalgébricas1.Definirfunçõesdeproporcionalidadeinversa1.Reconhecer,dadaumagrandezainversamenteproporcionalaoutra,que,fixadasunidades,a“funçãodeproporcionalidadeinversaf”queassociaàmedidamdasegundaacorrespondentemediday=f(m)daprimeirasatisfaz,paratodoonúmerorealpositivox,f(xm)=1
�f(m)
(aomultiplicaravariávelindependentemporumdadonúmeropositivo,avariáveldependentey=f(m)ficamultiplicadapeloinversodessenúmero)e,considerandom=1,queéumafunçãodadaporumaexpressãodaformaf(x)=�
�,ondea=f(1)econcluirqueéaconstante
deproporcionalidadeinversa.2.Saber,fixadoumreferencialcartesianonoplano,queográficodeumafunçãodeproporcionalidadeinversaéumacurvadesignadapor“ramodehipérbole”cujareuniãocomarespetivaimagempelareflexãocentralrelativaàorigempertenceaumconjuntomaisgeraldecurvasdoplanodesignadaspor“hipérboles”.2.Resolverproblemas1.Resolverproblemasenvolvendofunçõesdeproporcionalidadeinversaemdiversoscontextos.Proporcionalidadeinversa5.Relacionargrandezasinversamenteproporcionais1.Identificarumagrandezacomo“inversamenteproporcional”aoutraquandodeladependedetalformaque,fixadasunidades,aomultiplicaramedidadasegundaporumdadonúmeropositivo,amedidadaprimeiraficamultiplicadapeloinversodessenúmero.
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2.Reconhecerqueumagrandezaéinversamenteproporcionalaoutradaqualdependequando,fixadasunidades,oprodutodamedidadaprimeirapelamedidadasegundaéconstanteeutilizarcorretamenteotermo“constantedeproporcionalidadeinversa”.3.Reconhecerqueseumagrandezaéinversamenteproporcionalaoutraentãoasegundaéinversamenteproporcionalàprimeiraeasconstantesdeproporcionalidadeinversasãoiguais.6.Resolverproblemas1.Resolverproblemasenvolvendograndezasinversamenteediretamenteproporcionaisemcontextosvariados.
Equações 1.ºPeríodo
Domínio Subdomínio Conteúdos Metas TemposLetivos
ÁlgebraALG9
Funçõesalgébricas
–Problemasenvolvendofunçõesdeproporcionalidade
inversa.
–Funçõesdafamíliaf(x)=ax2,coma≠0.
–Conjunto-soluçãodaequaçãode2.ºgrauax2+bx+c=0
comointerseçãodaparáboladeequaçãoy=ax2coma
retadeequaçãoy=–bx–c.
Funçõesalgébricas
3.Interpretargraficamentesoluçõesdeequaçõesdo
segundograu
1.Saber,fixadoumreferencialcartesianonoplano,queo
gráficodeumafunçãodadaporumaexpressãodaforma
f(x)=ax(númerorealnãonulo)éumacurvadesignada
por“paráboladeeixoverticalevérticenaorigem”.
2.Reconhecerqueoconjunto-soluçãodaequaçãode2.º
grauax2+bx+c=0éoconjuntodasabcissasdospontos
deinterseçãodaparáboladeequaçãoy=ax2,comareta
deequaçãoy=–bx–c.
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Equaçõesdo2.ºgrau
–Equaçõesde2.ºgraucompletas;completamentodoquadrado.
–Fórmularesolvente.
–Problemasgeométricosealgébricosenvolvendoequaçõesde2.ºgrau.
Equaçõesdo2.ºgrau3.Completarquadradoseresolverequaçõesdo2.ºgrau1.Determinar,dadoumpolinómiodo2.ºgraunavariávelx,ax2+bx+c,umaexpressãoequivalentedaformaa(x+d)2+e,ondedeesãonúmerosreaisedesignaresteprocedimentopor“completaroquadrado”.2.Resolverequaçõesdo2.ºgraucomeçandoporcompletaroquadradoeutilizandooscasosnotáveisdamultiplicação.3.Reconhecerqueumaequaçãodosegundograunavariávelx,ax2+bx+c=0,éequivalenteàequação
(� + �2�)2=�
2$4��4�2
edesignaraexpressãoÄ=b2–4acpor“binómiodiscriminante”ousimplesmente“discriminante”daequação.4.Reconhecerqueumaequaçãodo2.ºgraunãotemsoluçõesseorespetivodiscriminanteénegativo,temuma
únicasolução(� = −�
2�)seodiscriminanteénuloetem
duassoluções(� =−�± �2−4��
2�)seodiscriminantefor
positivo,edesignaresteresultadopor“fórmularesolvente”.5.Saberdememóriaafórmularesolventeeaplicá-laàresoluçãodeequaçõescompletasdo2.ºgrau.4.Resolverproblemas1.Resolverproblemasgeométricosealgébricosenvolvendoequaçõesdo2.ºgrau.
Geometria 2.ºPeríodo
Domínio Subdomínio Conteúdos Metas TemposLetivos
GeometriaeMedidaGM9
AxiomatizaçãodasteoriasMatemáticasVocabuláriodométodoaxiomático
–Teorias;objetoserelaçõesprimitivas;axiomas.–Axiomáticadeumateoria;definições,teoremasedemonstrações.–Teoriasaxiomatizadascomomodelosdarealidade.–Condiçõesnecessáriasesuficientes;hipóteseetesedeumteorema;osímbolo“⇒”.–Lemasecorolários.
1.Utilizarcorretamenteovocabulárioprópriodométodo
axiomático
1.Identificaruma“teoria”comoumdadoconjuntode
proposiçõesconsideradasverdadeiras,incluindo-setambém
nateoriatodasasproposiçõesquedelasforemdedutíveis
logicamente.
2.Reconhecer,noâmbitodeumateoria,queparanãose
incorreremraciocíniocircularounumacadeiadededuções
semfim,énecessáriofixaralgunsobjetos(“objetos
primitivos”),algumasrelaçõesentreobjetosquenãose
definemapartirdeoutras(“relaçõesprimitivas”),ealgumas
proposiçõesqueseconsideramverdadeirassemasdeduzirde
outras(“axiomas”).
3.Designarpor“axiomáticadeumateoria”umconjuntode
objetosprimitivos,relaçõesprimitivaseaxiomasapartirdos
quaistodososobjetoserelaçõesdateoriapossamser
definidosetodasasproposiçõesverdadeirasdemonstradase
utilizarcorretamenteostermos“definição”,“teorema”e
“demonstração”deumteorema.
4.Saberqueosobjetosprimitivos,relaçõesprimitivase
axiomasdealgumasteoriaspodemterinterpretações
intuitivasquepermitemaplicarosteoremasàresoluçãode
problemasdavidareale,emconsequência,testaravalidade
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AxiomatizaçãodaGeometria
–ReferênciaàsaxiomáticasparaaGeometriaEuclidiana;axiomáticasequivalentes;exemplosdeobjetoserelaçõesprimitivas.–AxiomáticadeEuclides;referênciaaos“Elementos”eaosaxiomasepostuladosdeEuclides;confrontocomanoçãoatualdeaxioma.–Lugaresgeométricos.
dateoriacomomodelodarealidadeemdeterminado
contexto.
5.Distinguir“condiçãonecessária”de“condiçãosuficiente”e
utilizarcorretamenteostermos“hipótese”e“tese”deum
teoremaeosímbolo“⇒”.
6.Saberquealgunsteoremaspodemserdesignadospor
“lemas”,quandosãoconsideradosresultadosauxiliaresparaa
demonstraçãodeumteoremaconsideradomaisrelevantee
outrospor“corolários”quandonodesenvolvimentodeuma
teoriasurgemcomoconsequênciasestreitamente
relacionadascomumteoremaconsideradomaisrelevante.
2.IdentificarfactosessenciaisdaaxiomatizaçãodaGeometria
1.SaberqueparaaGeometriaEuclidianaforamapresentadas
historicamentediversasaxiomáticasqueforamsendo
aperfeiçoadas,eque,dadasduasdelasnumaformarigorosa,é
possíveldefinirostermoserelaçõesprimitivasdeumaatravés
dostermoserelaçõesprimitivasdaoutraedemonstraros
axiomasdeumaapartirdosaxiomasdaoutra,designando-se,
poressemotivo,por“axiomáticasequivalentes”econduzindo
aosmesmosteoremas.
2.Saberque,entreoutraspossibilidades,existemaxiomáticas
daGeometriaquetomamcomoobjetosprimitivosospontos,
asretaseosplanoseoutrasapenasospontos,equearelação
“BestásituadoentreAeC”estabelecidaentrepontosdeum
trioordenado(A,B,C),assimcomoarelação“osparesde
pontos(A,B)e(C,D)sãoequidistantes”,entreparesde
ParalelismoeperpendicularidadederetaseplanosAGeometriaeuclidianaeo
–5.ºPostuladodeEuclideseaxiomaeuclidianodeparalelismo.–ReferênciaàsGeometriasnão--euclidianas;GeometriahiperbólicaoudeLobachewski.
pontospodemsertomadascomorelaçõesprimitivasda
Geometria.
3.SaberquenaformahistóricaoriginaldaAxiomáticade
Euclidessedistinguiam“postulados”de“axiomas”,deacordo
comoquesesupunhaserorespetivograudeevidênciae
domíniodeaplicabilidade,equenasaxiomáticasatuaisessa
distinçãonãoéfeita,tomando-seotermo“postulado”como
sinónimode“axioma”,eenunciarexemplosdepostuladose
axiomasdos“ElementosdeEuclides”.
4.Identificar“lugargeométrico”comooconjuntodetodosos
pontosquesatisfazemumadadapropriedade.
Paralelismoeperpendicularidadederetaseplanos
3.CaracterizaraGeometriaEuclidianaatravésdoaxiomadas
paralelas.
1.Saberqueo“5.ºpostuladodeEuclides”,naforma
enunciadanos“ElementosdeEuclides”,estabelecequese
duasretasnumplano,intersetadasporumaterceira,
determinamcomestaângulosinternosdomesmoladoda
secantecujasomaéinferioraumângulorasoentãoasduas
retasintersetam-senosemiplanodeterminadopelasecante
quecontémessesdoisângulos.
2.Saberqueo“axiomaeuclidianodeparalelismo”estabelece
queporumpontoforadeumaretanãopassamaisqueuma
retaaelaparalelaequeéequivalenteao“5.ºpostuladode
Euclides”nosentidoemquesubstituindoumpelooutrose
obtêmaxiomáticasequivalentes.
axiomadasparalelasParalelismoderetaseplanosnoespaçoeuclidiano
–Demonstraçõesdepropriedadessimplesdeposiçõesrelativasderetasnumplano,envolvendooaxiomaeuclidianodeparalelismo.–Planosconcorrentes;propriedades.–Retasparalelasesecantesaplanos;propriedades.–Paralelismoderetasnoespaço;transitividade.–Paralelismodeplanos:caracterizaçãodoparalelismodeplanosatravésdoparalelismoderetas;transitividade;
3.Saberqueépossívelconstruirteoriasmodificando
determinadasaxiomáticasdaGeometriaEuclidianaque
incluamo5.ºpostuladodeEuclidesesubstituindo-opela
respetivanegação,designaressasteoriaspor“Geometrias
não-Euclidianas”e,nocasodenãohaveroutrasalteraçõesà
axiomáticaoriginalparaalémdestasubstituição,saberquese
designaateoriaresultantepor“GeometriaHiperbólica”ou
“deLobachewski”.
5.Identificarplanosparalelos,retasparalelaseretasparalelas
aplanosnoespaçoeuclidiano
1.Saberqueainterseçãodedoisplanosnãoparaleloséuma
retae,nessecaso,designá-lospor“planosconcorrentes”.
2.Identificarumaretacomo“paralelaaumplano”quandonão
ointersetar.
3.Saberqueumaretaquenãoéparalelaaumplanonemestá
nelecontidainterseta-oexatamentenumponto,e,nessecaso,
designá-lapor“retasecanteaoplano”.
4.Saberqueseumaretaésecanteaumdedoisplanos
paralelosentãoétambémsecanteaooutro.
5.Saberqueseumplanoéconcorrentecomumdedoisplanos
paralelosentãoétambémconcorrentecomooutroe
reconhecerqueasretasinterseçãodoprimeirocomcadaum
dosoutrosdoissãoparalelas.
Perpendicularidadederetaseplanosnoespaçoeuclidiano
existênciaeunicidadedoplanoparaleloaumdadoplanocontendoumpontoexterioraesseplano.–Ângulodedoissemiplanoscomfronteiracomum.–Semiplanoseplanosperpendiculares.–Retasperpendicularesaplanos;resultadosdeexistênciaeunicidade;projeçãoortogonaldeumpontonumplano;retanormalaumplanoepédaperpendicular;planonormalaumareta.–Paralelismodeplanoseperpendicularidadeentreretaeplano.–Critériodeperpendicularidadedeplanos.
6.Saberqueduasretasparalelasaumaterceira(astrêsnão
necessariamentecomplanares)sãoparalelasentresi.
7.Saberqueécondiçãonecessáriaesuficienteparaquedois
planos(distintos)sejamparalelosqueexistaumparderetas
concorrentesemcadaplano,duasaduasparalelas.
8.Provarquedoisplanosparalelosaumterceirosãoparalelos
entresi,saberqueporumpontoforadeumplanopassaum
planoparaleloaoprimeiroeprovarqueéúnico.
6.Identificarplanosperpendiculareseretasperpendicularesa
planosnoespaçoeuclidiano
1.Reconhecer,dadosdoisplanosequeseintersetamnuma
retar,quesãoiguaisdoisquaisquerângulosconvexosA1O1B1
eA2O2B2devérticesemreladosperpendicularesarde
formaqueosladosO1A1eO2A2estãonummesmo
semiplanodeterminadoporremeosladosO1B1eO2B2
estãonummesmosemiplanodeterminadoporrem,e
designarqualquerdosângulosearespetivaamplitudecomum
por“ângulodosdoissemiplanos”.
2.Designarpor“semiplanosperpendiculares”doissemiplanos
queformamumânguloretoepor“planosperpendiculares”os
respetivosplanossuporte.
3.Saberqueseumaretaréperpendicularaduasretasset
nummesmopontoP,éigualmenteperpendicularatodasas
retascomplanaresasetquepassamporPequequalquer
Problemas–Problemasenvolvendoposiçõesrelativasderetaseplanos.
–Planomediadordeumsegmentodereta.
retaperpendiculararquepassaporPestácontidanoplano
determinadopelasretasset.
4.Identificarumaretacomo“perpendicularaumplano”num
pontoPquandoéperpendicularemPaumparderetas
distintasdesseplanoejustificarqueumaretaperpendiculara
umplanonumpontoPéperpendicularatodasasretasdo
planoquepassamporP.
5.Provarqueécondiçãonecessáriaesuficienteparaquedois
planossejamperpendicularesqueumdelescontenhauma
retaperpendicularaooutro.
6.Saberqueexisteumaretaperpendicularaumplano
passandoporumdadoponto,provarqueéúnicaedesignara
interseçãodaretacomoplanopor“pédaperpendicular”e
por“projeçãoortogonaldopontonoplano”e,nocasoemque
opontopertenceaoplano,aretapor“retanormalaoplano
emA”.
7.Saber,dadaumaretareumpontoP,queexisteumúnico
planoperpendiculararpassandoporP,reconhecerqueéo
lugargeométricodospontosdoespaçoquedeterminamcom
P,sepertencerar,oucomopédaperpendiculartraçadadeP
parar,nocasocontrário,umaretaperpendicularare
designaresseplanopor“planoperpendicular(ounormal)ar
passandoporP”e,nocasodePpertenceràreta,por“plano
normalaremP”.
8.Reconhecerqueseumaretaéperpendicularaumdedois
planosparalelosentãoéperpendicularaooutroequedois
planosperpendicularesaumamesmaretasãoparalelos.
MedidaDistânciasaumplanodepontos,retas
–Distânciadeumpontoaumplano.–Projeçãoortogonalnumplanodeumaretaparalelaaoplanoedistânciaentrearetaeoplano.–Distânciaentreplanosparalelos.
9.Designarpor“planomediador”deumsegmentodereta
[AB]oplanonormalàretasuportedosegmentoderetano
respetivopontomédioereconhecerqueéolugargeométrico
dospontosdoespaçoequidistantesdeAeB.
7.Resolverproblemas1.Resolverproblemasenvolvendoasposiçõesrelativasderetaseplanos.Medida8.Definirdistânciasentrepontoseplanos,retaseplanoseentreplanosparalelos1.Identificar,dadoumpontoPeumplano,a“distânciaentreopontoeoplano”comoadistânciadePàrespetivaprojeçãoortogonalemeprovarqueéinferioràdistânciadePaqualqueroutropontodoplano.2.Reconhecer,dadaumaretarparalelaaumplano,queoplanodefinidopelaretarepelopédaperpendiculartraçadadeumpontoderparaéperpendicularaoplano,queospontosdaretapinterseçãodosplanosesãoospésdasperpendicularestraçadasdospontosdaretarparaoplano,designarpor“projeçãoortogonaldaretarnoplano”eadistânciaentreasretasparalelasreppor“distânciaentrearetareoplano”,justificandoqueémenordoqueadistânciadequalquerpontoderaumpontodoplanodistintodarespetivaprojeçãoortogonal.3.Reconhecer,dadosdoisplanosparalelose,quesãoiguaisasdistânciasentrequalquerpontodeumearespetivaprojeçãoortogonalnooutro,designarestadistânciacomumpor“distânciaentreosplanose”ejustificarqueémenorqueadistânciaentrequalquerpardepontos,umemcadaumdosplanos,quenãosejamprojeçãoortogonalumdooutro.4.Identificaraalturadeumapirâmideoudeumconecomoadistânciadovérticeaoplanoquecontémabaseeaalturadeumprisma,relativamenteaumpardebases,comoadistânciaentreosplanosquecontêmasbases.
paralelaseplanosparalelosVolumeseáreasdesuperfíciesdesólidos
–Alturadapirâmide,doconeedoprisma.–Volumedapirâmide,coneeesfera.–Áreadasuperfíciedepoliedros,dasuperfícielateraldeconesretosedasuperfícieesférica.–Problemasenvolvendoocálculodeáreasevolumesdesólidos.
9.Compararecalcularáreasevolumes1.Saberqueadecomposiçãodeumprismatriangularretoemtrêspirâmidescomomesmovolumepermitemostrarqueamedida,emunidadescúbicas,dovolumedequalquerpirâmidetriangularéigualaumterçodoprodutodamedida,emunidadesquadradas,daáreadeumabasepelamedidadaalturacorrespondente.2.Reconhecer,pordecomposiçãoempirâmidestriangulares,queamedida,emunidadescúbicas,dovolumedequalquerpirâmideéigualaumterçodoprodutodamedida,emunidadesquadradas,daáreadabasepelamedidadaaltura.3.Saberqueamedida,emunidadescúbicas,dovolumedeumconeéigualaumterçodoprodutodamedida,emunidadesquadradas,daáreadabasepelamedidadaaltura,porsepoderaproximarporvolumesdepirâmidesdebasesinscritasecircunscritasàbasedoconeeomesmovértice.4.Saberqueamedida,emunidadescúbicas,dovolumedeumaesferaéiguala4
3�R3,ondeRéoraiodaesfera.
5.Saberque,numadadacircunferênciaouemcircunferênciasiguais,ocomprimentodeumarcodecircunferênciaeaáreadeumsetorcircularsãodiretamenteproporcionaisàamplitudedorespetivoânguloaocentro.6.Saberque,numadadacircunferênciaouemcircunferênciasiguais,arcos(respetivamentesetorescirculares)comcomprimentos(respetivamenteáreas)iguaissãogeometricamenteiguais.7.Identificaraáreadasuperfíciedeumpoliedrocomoasomadasáreasdasrespetivasfaces.8.Reconhecer,fixadaumaunidadedecomprimento,queamedida,emunidadesquadradas,daárea(dasuperfície)lateraldeumconeretoéigualaoprodutodamedidadocomprimentodageratrizpeloraiodabasemultiplicadopor�,sabendoquepodeseraproximadapelasáreas(dassuperfícies)lateraisdepirâmidescomomesmovérticeebasesinscritasoucircunscritasàbasedocone,ou,emalternativa,observandoqueaplanificaçãodasuperfícielateralcorrespondeaumsetorcircularderaioigualàgeratriz.
18
Lugaresgeométricosenvolvendo
–Abissetrizdeumângulocomolugargeométrico.
9.Saberqueamedida,emunidadesquadradas,daáreadeumasuperfícieesféricaéiguala4�R2,ondeRéoraiodaesfera.10.Resolverproblemas1.Resolverproblemasenvolvendoocálculodeáreasevolumesdesólidos.Lugaresgeométricosenvolvendopontosnotáveisdetriângulos13.Identificarlugaresgeométricos1.Provarqueasmediatrizesdosladosdeumtriânguloseintersetamnumponto,designá-lopor“circuncentrodotriângulo”eprovarqueocircuncentroéocentrodaúnicacircunferênciacircunscritaaotriângulo.2.Provarqueabissetrizdeumânguloconvexoéolugargeométricodospontosdoânguloquesãoequidistantesdasretassuportesdosladosdoângulo.3.Provarqueasbissetrizesdosângulosinternosdeumtriânguloseintersetamnumponto,designá-lopor“incentrodotriângulo”eprovarqueoincentroéocentrodacircunferênciainscritaaotriângulo.4.Saberqueasretassuportedastrêsalturasdeumtriângulosãoconcorrentesedesignaropontodeinterseçãopor“ortocentro”dotriângulo.5.Justificarquearetaquebissetadoisdosladosdeumtriânguloéparalelaaoterceiroeutilizarsemelhançadetriângulosparamostrarqueduasmedianasseintersetamnumpontoquedistadovértice2
3docomprimentodarespetiva
medianaeconcluirqueastrêsmedianasdeumtriângulosãoconcorrentes,designando-seopontodeinterseçãopor“baricentro”,“centrodemassa”ou“centroide”dotriângulo.6.Determinar,porconstrução,oincentro,circuncentro,ortocentroebaricentrodeumtriângulo.14.Resolverproblemas1.Resolverproblemasenvolvendolugaresgeométricosnoplano.
pontosnotáveisdetriângulosPropriedadesdeângulos,cordasearcosdefinidosnumacircunferência
–Circuncentro,incentro,ortocentroebaricentrodeumtriângulo;propriedadeseconstrução.–Problemasenvolvendolugaresgeométricosnoplano.–Arcosdecircunferência;extremosdeumarco;arcomenoremaior.–Cordas;arcossubtensosporumacorda;arcocorrespondenteaumacorda;propriedades.
Circunferência15.Conhecerpropriedadesdeângulos,cordasearcosdefinidosnumacircunferência1.Identificar“arcodecircunferência”comoainterseçãodeumadadacircunferênciacomumânguloaocentroeutilizarcorretamenteotermo“extremosdeumarco”.2.Designar,dadosdoispontosAeBdeumacircunferênciadecentroO,nãodiametralmenteopostos,por“arcomenorAB”,ousimplesmente“arcoAB”,oarcodeterminadonacircunferênciapeloânguloaocentroconvexoAOB.3.Designar,dadosdoispontosAeBdeumacircunferênciadecentroO,nãodiametralmenteopostos,por“arcomaiorAB”,oarcodeterminadonacircunferênciapeloânguloaocentrocôncavoAOB.4.Representar,dadostrêspontosA,BePdeumadadacircunferência,porarcoAPBoarcodeextremosAeBquecontémopontoP.5.Designar,dadosdoispontosAeBdeumacircunferência,por“cordaAB”osegmentodereta[AB],osarcosdeextremosAeBpor“arcossubtensospelacordaAB”,equandosetratardeumarcomenor,designá-lopor“arcocorrespondenteàcordaAB”.6.Reconhecer,numacircunferênciaouemcircunferênciasiguais,quecordasearcosdeterminadosporângulosaocentroiguaistambémsãoiguaisevice-versa.7.Identificara“amplitudedeumarcodecircunferênciaAPB”,comoaamplitudedoânguloaocentrocorrespondenteerepresentá-lapor���,ousimplesmente��porquandosetratardeumarcomenor.8.Reconhecerquesãoiguaisarcos(respetivamentecordas)determinadosporduasretasparalelaseentreelascompreendidos.9.Demonstrarquequalquerretaquepassapelocentrodeumacircunferênciaeéperpendicularaumacordaabisseta,assimcomoaosarcossubtensoseaosângulosaocentrocorrespondentes.10.Designarpor“ânguloinscrito”numarcodecircunferênciaqualquerângulodevérticenoarcoedistintodosextremosecomladospassandoporeles,oarcopor“arcocapazdoânguloinscrito”eutilizarcorretamenteaexpressão“arcocompreendidoentreoslados”deumânguloinscrito.
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–Amplitudedeumarco.–Ânguloinscritonumarco;arcocapaz;arcocompreendidoentreosladosdeumânguloinscrito;propriedades.–Segmentodecírculomaioremenor.–Ângulodosegmento;ânguloex-inscrito;propriedades.–Ângulosdevérticenoexteriorounointeriordeumcírculoeladosintersetandoarespetivacircunferência;propriedades.–Demonstraçãodasfórmulasparaasomadosângulosinternosede ângulosexternoscomvérticesdistintosdeumpolígonoconvexo;aplicações:demonstraçãodafórmulaparaasomadosângulosopostosdeumquadriláteroinscritonumacircunferência;construçãoaproximadadeumpolígonoregularde ladosinscritonumacircunferênciautilizandotransferidor.–Problemasenvolvendoângulosearcosdefinidosnumacircunferênciaeângulosinternoseexternosdepolígonosregulares.
11.Demonstrarqueaamplitudedeumânguloinscritoéigualametadedaamplitudedoarcocompreendidoentreosrespetivosladose,comocorolários,queângulosinscritosnomesmoarcotêmamesmaamplitudeequeumânguloinscritonumasemicircunferênciaéumânguloreto.12.Designarpor“segmentodecírculo”aregiãodocírculocompreendidaentreumacordaeumarcoporelasubtenso,dito“maior”quandooarcoformaiore“menor”quandooarcoformenor.13.Provarqueumângulodevérticenumdosextremosdeumacorda,umdosladoscontendoacordaeooutrotangenteàcircunferência(“ângulodosegmento”),temamplitudeigualametadedaamplitudedoarcocompreendidoentreosseuslados.14.Designarporângulo«ex-inscritonumarcodecircunferência»umânguloadjacenteaumânguloinscritoeaelesuplementar,eprovarqueaamplitudedeumânguloex-inscritoéigualàsemissomadasamplitudesdosarcoscorrespondentesàscordasqueasretassuportedosladoscontêm.15.Provarqueaamplitudedeumânguloconvexodevérticenointeriordeumcírculoéigualàsemissomadasamplitudesdosarcoscompreendidosentreosladosdoânguloeosladosdoânguloverticalmenteoposto.16.Provarqueaamplitudedeumângulodevérticeexterioraumcírculoecujosladosointersetaméigualàsemidiferençaentreamaioreamenordasamplitudesdosarcoscompreendidosentreosrespetivoslados.17.Provarqueasomadasmedidasdasamplitudes,emgraus,dosângulosinternosdeumpolígonoconvexocomnladoséiguala(n–2)180ededuzirqueasomadenângulosexternoscomvérticesdistintoséigualaumângulogiro.18.Provarqueasomadosângulosopostosdeumquadriláteroinscritonumacircunferênciaéigualaumânguloraso.
Trigonometria
3.ºPeríodo
Domínio Subdomínio Conteúdos MetasTemposLetivos
GeometriaeMedida
GM9
Trigonometria
–Seno,cossenoetangentedeumânguloagudo.–Fórmulafundamentaldatrigonometria.–Relaçãoentreatangentedeumânguloagudoeosenoecossenodomesmoângulo.– Relação entre o seno e o cosseno de ânguloscomplementares.– Dedução dos valores das razões trigonométricas dosângulosde45∘,30∘e60∘.– Utilização de tabelas e de uma calculadora para adeterminaçãodevaloresaproximadosdaamplitudedeumânguloconhecidaumarazãotrigonométricadesseângulo.– Problemas envolvendo distâncias e razõestrigonométricas.
Trigonometria11.Definireutilizarrazõestrigonométricasdeângulosagudos1.Construir,dadoumânguloagudoθ,triângulosretângulosdosquaisθéumdosângulosinternos,traçandoperpendicularesdeumpontoqualquer,distintodovértice,deumdosladosdeθparaooutrolado,provarquetodosostriângulosqueassimsepodemconstruirsãosemelhantesetambémsemelhantesaqualquertriânguloretânguloquetenhaumângulointernoigualaθ.2.Designar,dadoumânguloagudoθinternoaumtriânguloretânguloeumaunidadedecomprimento,por“senodeθ”oquocienteentreasmedidasdocomprimentodocatetoopostoaθedahipotenusaerepresentá-loporsin(θ),sinθ,sen(θ)ousenθ.3.Designar,dadoumânguloagudoθinternoaumtriânguloretânguloeumaunidadedecomprimento,por“cossenodeθ”oquocienteentreasmedidasdocomprimentodocatetoadjacenteaθedahipotenusaerepresentá-loporcos(θ)oucosθ.4.Designar,dadoumânguloagudoθinternoaumtriânguloretânguloeumaunidadedecomprimento,por“tangentedeθ”oquocienteentreasmedidasdocomprimentodocatetoopostoaθedocatetoadjacenteaθerepresentá-loportan(θ),tanθ,tg(θ)outgθ.5.Designarsenodeθ,cossenodeθetangentedeθpor“razõestrigonométricas”deθ.6.Reconhecer,fixadaumaunidadedecomprimentoedadosdoisângulosθeθ’comamesmaamplitude =’,queoseno,cossenoetangentedeθsãorespetivamenteiguaisaoseno,cossenoetangentedeθ’edesigná-lostambémrespetivamenteporseno,cossenoetangentede .7.Justificarqueovalordecadaumadasrazõestrigonométricasdeumânguloagudoθ(edarespetivaamplitude)éindependentedaunidadedecomprimentofixada.
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8.Reconhecerqueosenoeocossenodeumânguloagudosãonúmerospositivosmenoresdoque1.9.Provarqueasomadosquadradosdosenoedocossenodeumânguloagudoéiguala1edesignaresteresultadopor“fórmulafundamentaldatrigonometria”.10.Provarqueatangentedeumânguloagudoéigualàrazãoentreosrespetivossenoecosseno.11.Provarquesenodeumânguloagudoéigualaocossenodeumângulocomplementar.12.Determinar,utilizandoargumentosgeométricos,asrazõestrigonométricasdosângulosde45o,30oe60o.13.Utilizarumatabelaouumacalculadoraparadeterminarovalor(exatoouaproximado)daamplitudedeumânguloagudoapartirdeumadassuasrazõestrigonométricas.12.Resolverproblemas1.Resolverproblemasenvolvendoadeterminaçãodedistânciasutilizandoasrazõestrigonométricasdosângulosde45o,30oe60o.2.Resolverproblemasenvolvendoadeterminaçãodedistânciasutilizandoângulosagudosdadoseasrespetivasrazõestrigonométricasdadasporumamáquinadecalcularouporumatabela.3.Resolverproblemasenvolvendoadeterminaçãodedistânciasapontosinacessíveisutilizandoângulosagudoseasrespetivasrazõestrigonométricas.
Histograma.Probabilidade
3.ºPeríodo
Domínio Subdomínio Conteúdos MetasTemposLetivos
OrganizaçãoeTratamentodeDados
OTD9
Histogramas
– Variáveis estatísticas discretas e contínuas; classesdeterminadas por intervalos numéricos; agrupamento dedadosemclassesdamesmaamplitude.–Histogramas;propriedades.– Problemas envolvendo a representação de dados emtabelasdefrequênciaehistogramas.
Histogramas1.Organizarerepresentardadosemhistogramas1.Estenderanoçãodevariávelestatísticaquantitativaaocasoemquecadaclasseficadeterminadaporumintervalodenúmeros,fechadoàesquerdaeabertoàdireita,sendoessesintervalosdisjuntosdoisadoisedeuniãoigualaumintervalo(eestendertambémaocasoemqueseintersetacadaumdessesintervaloscomumconjuntofinitopré-determinadodenúmeros),designandotambémcadaintervalopor“classe”.2.Identificarumavariávelestatísticaquantitativacomo“discreta”quandocadaclasseficadeterminadaporumnúmeroouumconjuntofinitodenúmerosecomo“contínua”quandoseassociaacadaclasseumintervalo.3.Reagruparasunidadesdeumapopulaçãoemclassescombasenumconjuntodedadosnuméricosdemodoqueasclassestenhamumamesmaamplitudepré-fixadaedesignaresteprocessopor“agruparosdadosemclassesdamesmaamplitude”.4.Identificar,consideradoumconjuntodedadosagrupadosemclasses,“histograma”comoumgráficodebarrasretangularesjustapostasetaisqueaáreadosretângulosédiretamenteproporcionalàfrequênciaabsoluta(eportantotambémàfrequênciarelativa)decadaclasse.5.Reconhecerquenumhistogramaformadoporretângulosdebasesiguais,arespetivaalturaédiretamenteproporcionalàfrequênciaabsolutaeàfrequênciarelativadecadaclasse.6.Representar,emhistogramas,conjuntosdedadosagrupadosemclassesdamesmaamplitude.2.Resolverproblemas1.Resolverproblemasenvolvendoarepresentaçãodedadosemtabelasdefrequência,diagramasdecaule-e-folhasehistogramas.
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-Experiências deterministas e aleatórias. Universo deresultados.- Acontecimentos e casos favoráveis. Classificação deacontecimentos.-RegradeLaplace.-Propriedadesdaprobabilidade.-Probabilidadeemexperiênciascompostas.-Frequênciasrelativaseprobabilidade.
Probabilidade3.Utilizarcorretamentealinguagemdaprobabilidade1.Identificaruma“experiência”comoumprocessoqueconduzaumresultadopertencenteaumconjuntopreviamentefixadodesignadopor“universodosresultados”ou“espaçoamostral”,nãosedispondodeinformaçãoquepermitaexcluirapossibilidadedeocorrênciadequalquerdessesresultados,designaroselementosdoespaçoamostralpor“casospossíveis”eaexperiênciapor“determinista”quandoexisteumúnicocasopossívele“aleatória”emcasocontrário.2.Designarpor“acontecimento”qualquersubconjuntodouniversodosresultadosdeumaexperiênciaaleatóriaeoselementosdeumacontecimentopor“casosfavoráveis”aesseacontecimentoeutilizaraexpressão“oacontecimentoAocorre”parasignificarqueoresultadodaexperiênciaaleatóriapertenceaoconjuntoA.3.Designar,dadaumaexperiênciaaleatória,oconjuntovazioporacontecimento“impossível”,ouniversodosresultadosporacontecimento“certo”,umacontecimentopor“elementar”seexistirapenasumcasoquelhesejafavorávelepor“composto”seexistirmaisdoqueumcasoquelhesejafavorável.4.Designardoisacontecimentospor“incompatíveis”ou“disjuntos”quandoarespetivainterseçãoforvaziaepor“complementares”quandoforemdisjuntosearespetivareuniãoforigualaoespaçoamostral.5.Descreverexperiênciasaleatóriasquepossamserrepetidasmantendoummesmouniversoderesultadoseconstruídasdemodoaqueseespere,numnúmerosignificativoderepetições,quecadaumdoscasospossíveisocorraaproximadamentecomamesmafrequênciaedesignarosacontecimentoselementaresdessasexperiênciaspor“equiprováveis”.6.Designar,dadaumaexperiênciaaleatóriacujoscasospossíveissejamemnúmerofinitoeequiprováveis,a“probabilidade”deumacontecimentocomooquocienteentreonúmerodecasosfavoráveisaesseacontecimentoeonúmerodecasospossíveis,designarestadefiniçãopor“regra
deLaplace”ou“definiçãodeLaplacedeprobabilidade”eutilizarcorretamenteostermos“maisprovável”,“igualmenteprovável”,“possível”,“impossível”e“certo”aplicados,nestecontexto,aacontecimentos.7.Reconhecerqueaprobabilidadedeumacontecimento,deentreosqueestãoassociadosaumaexperiênciaaleatóriacujoscasospossíveissejamemnúmerofinitoeequiprováveis,éumnúmeroentre0e1e,nessecontexto,queéiguala1asomadasprobabilidadesdeacontecimentoscomplementares.8.JustificarqueseeforemacontecimentosdisjuntossetemP(A∪B)==P(A)+P(B).9.Identificaredarexemplosdeacontecimentospossíveis,impossíveis,elementares,compostos,complementares,incompatíveiseassociadosaumadadaexperiênciaaleatória.10.Utilizartabelasdeduplaentradaediagramasemárvorenaresoluçãodeproblemasenvolvendoanoçãodeprobabilidadeeacomparaçãodasprobabilidadesdediferentesacontecimentoscompostos.11.Realizarexperiênciasenvolvendoacomparaçãodasfrequênciasrelativascomasrespetivasprobabilidadesdeacontecimentosemexperiênciasrepetíveis(aleatórias),emcasosemquesepresumeequiprobabilidadedoscasospossíveis
Período 1º 2º 3ºTotaldeAulas 63 54 40Nºdeaulasdestinadasàlecionaçãodeconteúdos 51 46 30Nºdeaulasdestinadasàapresentação;avaliaçãodeconhecimentos;correçãoeanálisederesultados;autoavaliação. 12 8 10