1
Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano
Conteúdos do 7º ano
Conteúdos do 8º ano
Conteúdos do 7º Ano
Proporcionalidade directa
Semelhança de Figuras
Conhecer melhor os números
Equações (está abordado nos conteúdos de 8º ano)
Do Espaço ao Plano
Estatística (está abordado nos conteúdos de 8º ano)
2
Vamos analisar as duas situações seguintes:
I II
Proporcionalidade directa
3
Quando uma das grandezas é zero a outra também é zero.
2 4 6 82; 2; 2 e 2
1 2 3 4
Existe proporcionalidade directa, porque a razão entre as grandezas é constante.
A constante de proporcionalidade directa é 2.
Não existe proporcionalidade directa, porque a razão entre as grandezas não é constante.
2,50 3,002,50 e 1,50
1 2
I II
Quando uma das grandezas é zero a outra também é dois.
xy 2 Expressão Analítica
4
I II
Representação gráfica de cada situação
Unindo os pontos obtém-se uma recta que passa pela origem.
Unindo os pontos obtém-se uma recta que não passa pela origem.
Existe proporcionalidade directa, porque a representação gráfica é uma recta que passa pela origem.
Não existe proporcionalidade directa, porque a representação gráfica não é uma recta que passa pela origem.
5
Definição:
Duas grandezas x e y são directamente proporcionais se a razão entre os seus valores correspondentes, tomados pela mesma ordem, é constante.
Quando umas das grandezas é zero a outra também é zero.
A representação gráfica de uma situação de proporcionalidade directa é uma recta que passa pela origem.
A expressão analítica de uma situação de proporcionalidade directa é , onde k é a constante de proporcionalidade directa.
y xk
Proporcionalidade directa
6
Percentagens 5 % de 120 chocolates são _______
5 x 120 = 6 100
6 chocolates em 50 são ___%
50------- 100% x = 6 x 100 =12%
6 -------- x 50
7
Resolução de problemas envolvendo Percentagens
1- O preço de um sofá é de 300€, sem IVA.Sabendo que o IVA é 20%, quanto é o valor, em euros, do IVA deste sofá? Qual é o preço final do sofá?20% de 300 = 300 x 20 = 60 euros 100300 + 60 = 360 O preço final do sofá é 360 euros.
2- Uma camisola custava 56 euros e a Ana que era amiga da dona da loja, comprou-a por 42 euros. Qual foi a percentagem de desconto?Euros %56 ------------------ 10042 ------------------- x x = 42 x 100 = 75% 56100 – 75% = 25% O desconto foi de 25%.
8
As figuras 1 e 2 – têm a mesma forma e as mesmas dimensões: são geometricamente iguais.
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
As figuras 1 e 3 – têm a mesma forma, mas a figura 3 tem maiores dimensões. A figura 3 é uma ampliação da figura 1.
As figuras 1 e 4 – têm a mesma forma, mas a figura 4 tem menores dimensões. A figura 4 é uma redução da figura 1.
Fig. 1
Semelhança de Figuras
9
- mesma forma- mesma dimensão
- mesma forma- menor dimensão
- mesma forma- maior dimensão
Ampliação
Figuras Semelhantes
Redução
Geometricamente iguais
Semelhança de Figuras
Dois Polígonos são Semelhantes quando têm os ângulos geometricamente iguais e os lados correspondentes directamente proporcionais. 10
Semelhança de Figuras
medida do lado da figura final
medida do ladoRazão de Se
da figura melha
ininça
cial
Se a razão de semelhança for:
maior que 1, obtemos uma ampliação;
menor que 1, obtemos uma redução;
igual a 1, obtemos uma figura geometricamente igual à original.
11
Conjuntos numéricos
IN
Q
Z
IN0
-3 -56
-12 -4
0
4
1
3
14
9
6
IN - Conjunto dos números Naturais
IN = {1;2;3;4;5;6…}
IN0 - Conjunto dos números Inteiros
IN0 ={0;1;2;3;4;5;6…}
Z - Conjunto dos números Inteiros relativos
Z= {… -3;-2;-1;0;1;2;3;…}
Q- Conjunto dos números racionais
Q = z U { números fraccionários}
Completa com os símbolos ; ; ; -1 ….. IN 1,4 ….. Z -3 …… Z- 0 …… IN 3 …… IN 4 …… Z-
IN…… Z 2,3 …… Q12
0, (3)
13
Classificação de Quadriláteros
Se dois ângulos têm o vértice em comum e os lados de cada um dos ângulos estiverem no prolongamento dos lados do outro ângulo, então chamam-se ângulos verticalmente opostos.
Ângulos opostos formados por duas rectas que se cruzam.
Os ângulos AOB e COD são verticalmente opostos.
Os ângulos AOC e BOD também são verticalmente opostos.
ˆˆ 60ºCOA DOB
Ângulos Verticalmente Opostos
14
Na figura abaixo os dois ângulos têm os lados paralelos e são ambos ângulos obtusos (a sua amplitude é maior do que 90º e menor do que 180º).
Os dois ângulos assinalados são geometricamente iguais.
Ângulos de Lados Paralelos
15
Posição relativa de dois Planos
16
Posição relativa de uma recta a um plano
17
Posição relativa de duas Rectas
18
Conteúdos do 8º Ano
Ainda os números
Teorema de Pitágoras
Semelhança de triângulos
Notação científica
Funções
Estatística
Lugares geométricos
19
EQUAÇÃO: é uma igualdade entre duas expressões onde, pelo menos numa delas, figura uma ou mais letras .
3x+5=2-x+4
Sou equação
3+(5-2-4) = 3+1
Não sou equação
xxx 4322
3
1º membro 2º membro
• termos: ; -2 ; 3x ; - 4 ; - x
• incógnita: x
• termos com incógnita: 3x ; - x ;
• termos independentes: -2 ; -4
x2
3
x2
3
Equações
20
Solução de uma equação: é um número que colocado no lugar da incógnita transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira
183 x
6 SOLUÇÃO
verdadeiraproposição1863
127 x 1520 x
5 SOLUÇÃO 5 SOLUÇÃO
Equações equivalentes: 127 x 1520 xMesmo conjunto solução
Equações
21
Equações sem parênteses e sem denominadores
4365 xx• Resolver uma equação é
determinar a sua solução.
102 x
• efectuamos as operações.
2
10
2
2
x
• Dividimos ambos os membros pelo coeficiente da incógnita.
Conjunto solução 5
5x
• Determinamos a solução.
4635 xx
• Numa equação podemos mudar termos de um membro para o outro, desde que lhes troquemos o sinal
• Num dos membros ficam os termos com incógnita e no outro os termos independentes
22
EQUAÇÕES COM PARÊNTESES
• simplificação de expressões com parênteses:
• Sinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses trocando os sinais dos termos que estão dentro 53225322 xxxx
• Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses mantendo os sinais que estão dentro.
15231523 xxxx
• Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses, aplicando a propriedade distributiva. 22661332 xxxx
23
8625312 xxx
Como resolver uma equação com parênteses.
• Eliminar parênteses.8661512 xxx
• Agrupar os termos com incógnita.
8661152 xxx
• Efectuar as operações
312 x
• Dividir ambos os membros pelo coeficiente da incógnita
12
3
12
12
x
4
1x
• Determinar a solução, de forma simplificada.C.S =
4
1
24
EQUAÇÕES COM DENOMINADORES
436 3
3
4
2
2
1 xx • Começamos por reduzir todos os
termos ao mesmo denominador.
12
412
12
6
12
6 xx
12
412
12
66 xx
• Duas fracções com o mesmo denominador são iguais se os numeradores forem iguais. xx 41266
• Podemos tirar os denominadores desde que sejam todos iguais.
12646 xx
182 x
92
18x
25
Esta fracção pode ser apresentada da seguinte forma 2
3
2
5
2
2
2
3
xx
Sinal menos antes de uma fracção
2
3523
xx • O sinal menos que se encontra antes da fracção afecta todos os termos do numerador.
1(2) (6) (3) (3)
22
18
3
21 xx
7
43
7
43437
348234
334842
xxx
xx
xx
2
18
3
21 xx
• Começamos por “desdobrar” a fracção que tem o sinal menos antes.(atenção aos sinais!)
• Reduzimos ao mesmo denominador e eliminamos os denominadores.
26
EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES
• Devemos começar por eliminar os parênteses e depois os denominadores
3
12
22
13
xxx
3
1
3
2
22
3
2
3
xxx (3) (3) (3) (2) (2)
24399 xxx 29439 xxx
112 x 2
11
2
11
xx
C.S.=
2
11
27
Mínimo múltiplo comum (m.m.c)
1º processoM12 = {0;12;24;36;48;60…}
M30 = {0;30;60…}
m.m.c = {60}
Determina o m.m.c (12;30)
2º processo12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1
12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5
m.m.c = 22 x 3 x5 = 60
Produto dos factores primos comuns e não comuns de maior expoente
28
Máximo divisor comum (m.d.c)
1º processoD12 = {1;2;3;4;6;12}
D30 = {1;2;3;5;6;10;15;30}
M.d.c (12;30)= {6}
Determina o m.d.c (12;30)
2º processo12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1
12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5
M.d.c (12;30) = 2 x 3 = 6
Produto dos factores primos comuns com menor expoente
29
mmc e mdc
Texto Lugar geométrico
«…de tanto em tanto…» mmc
«…dividir/repartir/agrupar…» mdc
30
Teorema de PitágorasTeorema:Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
c2
c1
h
h2= c12+c2
2
Determinação da hipotenusa
x2 = 52 + 122
x2 = 25 + 144Û x2 = 169 x = 13 V x=-13
x2 + 92 = 152
Û x2 + 81 = 225Û x2= 225 - 81 x2 = 144 x =12 V x=-12
Determinação de um cateto
9 5
12 x 15 x
31
Semelhança de triângulos
Critérios de semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se:
Tiverem dois ângulos geometricamente iguais (aaa)
Tiverem os três lados correspondentes directamente proporcionais (lll)
Tiverem dois lados directamente proporcionais e o ângulo por eles formado for igual (lal)
32
Aplicação dos critérios de semelhança de triângulos
Semelhança de triângulos
1. Determina a altura da árvore.
• Serão os triângulos [ABE] e [CDE] semelhantes?
Sim, porque tem dois ângulos geometricamente iguais, o de 90º e o ângulo AEB.
• Determinação da altura da árvore.
sombra altura
5,2 = h
1,6 0,8
h = 5,2 x 0,8
1,6
h = 2,6 m
A altura da árvore é de 2,6 metros.
3,6 + 1,6 = 5,2 m
Semelhança de triângulos
33
Semelhança de triângulos
Relação entre perímetros e áreas de figuras semelhantes
Se dois polígonos A e B são semelhantes e a razão de semelhança de A para B é r, então:
• A razão entre os perímetros de A e B é r.
• A Razão entre as áreas de A e B é r2.
PB:PA= r
AB:AA =r2
34
Potências Regras operatórias das potências
• Multiplicação• Com a mesma base
2-2 x 27 = 25
• Com o mesmo expoente
(-2)3 x (-7)3 = 143
• Divisão• Com a mesma base
2-2 : 27 = 2-9
• Com o mesmo expoente
(-24)3 : 63 = (-4)3
• Potencia de potência (23)5 = 215
• Potencia de expoente inteiro negativo 5-1 = 1 5
Potencia de expoente nulo (-8)0 = 1
35
Notação Científica Definição: Diz-se que um número está escrito em notação cientifica se está escrito na forma de um produto de um número a entre 1 e 10 e uma potência de base 10, e escreve-se: a x 10n , com 1≤a<10
Ex: Escreve os seguintes números em notação cientifica
253 x 10-3 ; 6769800 ; 0,0000008 ; 76,9 x 105
= 2,53 x 10-1 ; =6,7698 x 106 ; = 8 x 10-7 ; = 7,69 x 106
Operações com números escritos em notação científica• Multiplicação
(2,1 x 10-3) x (2 x108) = (2,1 x2) x (10-3 x 108) = 4,2 x 105
• Divisão
(8,04 x 10-7) : ( 4,02 x 105) = 2,02 x 10-12
36
Funções
Definição: Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos em que a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada.
Formas de definir uma função:
• Por um diagrama
• Por uma tabela
• Por uma expressão analítica
• Por um gráfico
37
Funções definidas por um diagrama
Ex. Não são funçõesEx. Funções
1234
-1-2-3
1
2
-1
2
1
2
3
-1-7-2-4-3
A B
Df = {1;2,3}
D’f = {-1;-2,-3}
Objectos: 1;2,3
Imagens: -1;-2;-3
A – Conjunto de Partida
B – Conjunto de chegada
f ( 2 ) = -2
f ( x ) = -x
f
38
Funções definidas por uma Tabela
Dg = {1;2,3;4}
D’g = {4;8;12;16}
Objectos: 1;2,3;4
Imagens: 4;8;12;16
Variável independente: Lado do quadrado
Variável dependente: Perímetro do quadrado
g ( 2 ) = 8
g (x) = 4x
Seja a função g definida pela tabela seguinte
Lado de um quadrado (L) 1 2 3 4
Perímetro do quadrado (P) 4 8 12 16
39
Funções definidas por uma expressão analítica
Seja a função h definida pela seguinte expressão analítica
h(x) = 2x -1
• Calcular a imagem sendo dado o objecto
h(3) = 2x3 - 1 h(3) = 5
• Calcular o objecto sendo dada a imagem h(x) = 15 2x – 1 = 15 2x = 15 + 1 2x = 16 x = 8
(3;5) e (8;15) pertencem à recta que é gráfico da função h.
40
Funções definidas por um gráfico
• Variável independente: Peso• Variável dependente: Custo• j( … ) = 12• j(1) = …..• Tipo de função: Linear• Expressão analítica: j(x) = 6x
41
qualitativos
Representam a informação que não susceptível de ser medida, mas de ser classificação.
Exemplos:
- Cor dos olhos dos alunos de uma turma . Podem ser castanhos, azuis ou verdes.
Representam a informação que pode ser medida, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta ou contínua.
Exemplo
quantitativos
Notas de Matemática, do 7ºF, no final do 2º período.
Exemplo
Altura dos jogadores da equipa de futebol do FCP.
Estatística – Recolha de dados
Tipo de dados
42
Estatistica - Contagem dos dados
36
37
3839
40
Total
1
2
27
3
18
41
42
2
1
Que número calças?
37;41;38;39;42;37;
40;39;41;39;39;40;
39;39;40;39;38;36
43
Frequência absoluta (f)
Frequência relativa (fr)
Fr em percentagem
6 %11 %11 %
39 %
16 %
11 %
X 100%
1 : 18 = 0,06
2 : 18 = 0,11
2 : 18 = 0,11
7 : 18 = 0,39
3 : 18 = 0,16
1,00
3637
3839
40
Total
41
42
1
2
27
3
18
2
1
2 : 18 = 0,111 : 18 = 0,06 6 %
100 %
Estatística - Tabelas de frequências
Número do sapato
44
Estatística - Gráficos de barras
Número do sapato dos alunos de uma turma
12 2
7
32
1
0
2
4
6
8
36 37 38 39 40 41 42
nº do sapato
frequ
enc
ia a
bso
luta
45
Pictograma= 1 aluno
Estatística - Pictograma
46
Estatística - Gráficos circulares
Frequência absoluta (f)
Graus
20º40º40º
140º60º
360º
18 1360
x
36018
x 20x36
37
383940
Total
41
42
122
73
18
21
40º20º
18 2360
x
360x218
x 40x72018
x
18 7360
x
360x718
x 140x2520
18 x
18 3360
x
360x318
x 60x108018
x
47
Estatística – Medidas de tendência central
Frequência absoluta (f)
36 1
37 2
38 2
39 7
40 3
41 2
42 1
Total 18
36 1 +37 2 +38 2 +39 7 +40 3+42 1
18
X
36 +74 +76 +273 +120+82+42
18X
703
18X 39,1X
Média
A média do número do sapato dos alunos é 39,1
48
Estatística – Medidas de tendência central
Frequência absoluta (f)
36 1
37 2
38 2
39 7
40 3
41 2
42 1
Total 18
Moda - É o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos.
Neste caso a moda é 39.
Mediana - Ordenados os elementos, a mediana é o valor que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.
36;37;37;38;38;39;39;39;39;39;39;39;40;40;40;41;41;42
(39 + 39) : 2 = 39
49
Lugares geométricosUma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que são
equidistantes de um ponto fixo chamado centro da circunferência.
O círculo é o lugar geométrico dos pontos pertencentes a uma circunferência ou ao seu interior.
exterior de uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam do centro da circunferência mais do que o seu raio.
50
Lugares geométricos
Coroa circular:É o conjunto dos pontos do plano que se encontram a uma distancia maior ou igual a r1 ou menor ou igual a r2 de um ponto C.
r1
r2
Mediatriz de um segmento de recta
É o lugar geométrico dos pontos do plano que estão á mesma distância dos extremos do segmento de recta [AB]
51
Lugares geométricos
Texto Lugar geométrico
«…está a uma distância de um ponto fixo…»
Circunferência
«…está a uma distância inferior de um ponto fixo…» Círculo
«…está à mesma distância…» Mediatriz
«…está mais perto…» Mediatriz
52
Lugares geométricos
Bissectriz de um ângulo A bissectriz é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados de um ângulo.
• circuncentro – Ponto de intersecção das mediatrizes dos lados de um triângulo.
• Incentro - Ponto de intersecção das bissectrizes dos lados de um triângulo.
• Baricentro – Ponto de intersecção das medianas de um triângulo
53
Lugares geométricos no espaçoSuperfície esférica e esfera
Ao lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes de um ponto fixo chamado centro, dá-se o nome de superfície esférica.
A esfera é o lugar geométrico de todos os pontos do espaço que se encontram a igual ou menor distância de um ponto fixo chamado centro.
54
Lugares geométricos no espaçoPlano mediador
O plano mediador de um segmento de recta é o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes dos extremos do segmento de recta.
O plano mediador é perpendicular ao segmento de recta e contém o ponto médio desse segmento de recta.
55
Monómios Semelhantes são os que têm a mesma parte literal.
Definições:
Num monómio podemos distinguir uma parte numérica ou coeficiente e uma parte literal.
Por exemplo: 27 x y
coeficiente parte literal
Exemplos: 3 3 3 31; 7 ; e 4 .
5x x x x
Monómios Simétricos são monómios semelhantes com coeficientes simétricos.
Exemplos: 3 3 2 5 2 57 e 7 ; 3 e 3 .x x a b a b
56
Adição algébrica de monómios e polinómios
A expressão simplificada do perímetro da figura é:
3 5 1 4 3 4 4x x y xy x y
4xy5 1x
4x y
3 y
3x
4
43 435 1 4y yx x x xy
59 46y xyx 57
Nota: Só podemos somar ou subtrair monómios semelhantes, ou seja, com a mesma parte literal.
Vamos simplificar as seguintes expressões:
2 85 43x xy y a)
5 23 84y yx x
62 9yx
58
2 23 5 7x xxy xyx b)
2 23 5 7xx x y xy x 2 68x xxy
3 353
2
xx y x yx c)
3 3
23
5x x y
xx y
( 2) ( 1)
32 5
2 24
x xx y
37
24 y
xx
59
22 3
32
yxxy d)
22
33
2
yy
xx
( 1) ( 2) ( 3) ( 1)
2 236
2 32 3
x x y y
2
3
5 4
2
x y
60
2 22 2
3 3x y x y
A expressão da área do quadrado é:
Potência de um monómio
22
3x y
22
3x y
222
3x y
4 24
9x y
61
Produto de um monómio por um polinómio
x
2 3x y
(2 3)x x y 22 3x xy x
(2 3)x x y
A expressão simplificada da área do rectângulo é:
Fim 62