Geometria Espacial
• Assunto: Prismas e Pirâmides
Conceitos Básicos
O QUE É UM POLÍGONO?Polígono é uma figura geométrica plana cujo contorno é fechado e formado por segmentos de retas que são seus lados.
O QUE É VÉRTICE?Ponto comum a dois lados de um ângulo, a dois lados de um polígono, ou a três, ou mais arestas de uma figura geométrica espacial.
O QUE É ARESTA?Linha reta comum a duas faces de uma figura espacial.
O QUE É PARALELOGRAMO?Quadrilátero que tem dois pares de lados paralelos.
OS PRISMAS E SEUS ELEMENTOS
Região espacial dada pela união de dois polígonos paralelos (BASES) e congruentes através de segmentos de reta.
ab
c
Aresta lateral
Face lateral
Aresta da baseBase
Obs: a, b e c são as dimensões do prisma.
Classificação• Conforme a inclinação das arestas dividimos os prismas
em retos ou oblíquos.
Tipos de prismas retos
Prisma triangular
Prisma Quadrangular
Prisma Hexagonal
Nos prismas retos as faces laterais são retângulos.
Não importa como sejam os prismas, as faces sempre são paralelogramos, todo retângulo é um paralelogramo.
Prisma Pentagonal
Polígonos Regulares
Quando o polígono é reto e suas bases são polígonos regulares, o prisma é
denominado regular.
Área da base (Ab): é a área de um dos polígonos das bases.Área lateral (Al): é a soma das áreas de todas as faces laterais.Área total (At): é a soma da área lateral e das áreas das base.
At = Al + 2Ab
OBS: num prisma regular, se o polígono da base possui n lados, a área lateral pode ser calculada por:
Al = n.Af
ÁREAS DA SUPERFÍCIE DE UM PRISMA
Bl AnA
Área de uma face
Fórmulas dos Prismas
face) cada de (Áreafaces) de (nºA lateral
baselateraltotal A.2AA
.hAV base
Área Lateral
Área Total
Volume
PITÁGORAS
PITÁGORAS
Caso Especial: Paralelepípedo
ab
c
c
bd
Dc
Note que em um paralelepípedo podemos tomar qualquer uma das
faces com base.
Quando a base é uma região em forma de paralelogramo, temos um prisma particular chamado paralelepípedo.
cbcabaAt ..2..2..2
At = 2.a.b + 2.a.c + 2.b.c
Área Total
V = Ab.h V= a.b.c
Volume
d2 = a2 + b2
Diagonal da base
D2 = c2 + d2
Diagonal do Paralelepípedo
D2 = a2 + b2 + c2
V = AB . HV = a2 . a
Caso Especial : Cubo
a
a
a
a
a
a
a
d
D
Todo quadrado é um retângulo. Todo retângulo é um paralelogramo. Então, todo quadrado é um paralelogramo.
Todo cubo paralelepípedo, mas nem todo paralelepípedo é cubo.
(Somente quando a = b = c).
Cubo é um prisma em que todas as bases são quadrados.
AB = a² AL = 4a²
AT = 6a² V = a³
Área da Base (AB) Área Lateral (AL)
Área Total (AT) Volume (V)
2d a
3D a
Diagonal da Base (d)
Diagonal do Cubo (D)
AS PIRÂMIDES E SEUS ELEMENTOS
Região espacial dada pela união dos vértices de um polígono com um ponto qualquer fora deste polígono
vértice
face lateral
base
Vértice = Ponto mais distante da base.
Face lateral = regiões triangulares formadas por dois vértices
consecutivos do polígono e o vértice.
Base = polígono sobre o qual a pirâmide se apóia.
Apótema = Altura de cada face lateral.
Altura = Do vértice até o centro da base.
apótemaaltura
• Uma pirâmide é dita reta, quando as arestas laterais são congruentes.• Uma pirâmide é dita regular, quando sua base é um polígono regular.
Podemos Classificar as pirâmides conforme o polígono de sua base; quando a base é um triângulo dizemos que a pirâmide é triangular, quando é um quadrado quadrangular e assim por diante.
Pirâmide pentagonal
Base = pentágono
Pirâmide Quadrangular
Base = quadrado
Pirâmide Regular Reta
Elementos:ArestasFaces
VérticesAlturaApótemas:
A
B
CD
E
Vértice da Pirâmide
M
Apótema da Pirâmide
Apótema da Base
O
AO2+ OM2 = AM2
Pirâmide Quadrangular
A
B
C
D
E
F
G
M
O
• Elementos:
• Arestas
• Base
• Faces
• Vértice da Pirâmide• Vértices da
Base• Apótema da Pirâmide:AM
• Apótema da Base: OM
• Altura da Pirâmide: AO
Pirâmide Hexagonal
A
B
C
D
E
G
M
O
h2 + m2 = g2
AO = Altura da Pirâmide (h)
OM = Apótema da Base (m)
AM = Apótema da pirâmide (g)
(Altura da face)
2.glAF
Área Lateral (AL)
AL = 6.AF
Área Total (AT)
AT = AL + Ab
Pirâmide Hexagonal - Fórmulas
233 2lAB
Aréa da Base (AB)
Área da Face (AF)
HAV b 31
Volume (V)
As fórmulas acima valem para todas as pirâmides. A área da base é a única que varia.
a
Tronco De
Pirâmide
Tronco de Pirâmide
A B
CD
V
A’ B’C’D’ h
d
K
Sendo:
AB = área da base maior
Ab = área da base menor
VT = volume do tronco
K = altura do tronco
Teremos:
bBbBT AAAAHV 3
Volume do Tronco de Pirâmide
Classificação de Prismas e Pirâmides de acordo com a base.
LEMBRE-SE
O Cálculo da área da base depende do polígono da
base!
Nos prismas e nas pirâmides existe uma relação entre o número de lados do polígono da base e o número de faces,
vértices e arestas.
PRISMA PIRÂMIDE
DICA
TRABALHO GRUPO
ABELHAS GEÔMETRAS