Circuitos
elétricos CC
Prof.
Graça 2012
Circuitos elétricos de CC
Conteúdo
• Circuitos Equivalentes
• Princípio da Superposição
• Elementos Lineares
• Regras de Kirchoff
• Divisor de tensão
• Circuito de várias malhas (regra de Cramer)
• Carga e Descarga de capacitores
• Circuitos Indutivos
Corrente elétrica
Para aparecer uma corrente através de um resistor, devemos ter uma diferença de potencial
entre as suas pontas, o que é equivalente à existência de um campo elétrico:
O dispositivo capaz de manter essa diferença de potencial é uma fonte de força eletromotriz
fem. A fem é capaz de realizar continuamente um trabalho capaz de manter a diferença de
potencial V+ - V-
Exemplos de fem
V+ V_
E
I
Trabalho energia e fem
Analisando o circuito:
a) Em um intervalo dt, uma carga dq passa através
da seção transversal aa´
b) A fem deve realizar um trabalho dW para levar a
carga dq do potencial menor para o maior.
A fem representa o trabalho por unidade de carga para levar a carga do potencial mais baixo para o mais alto.
Unidade (): []=[W]/[q] Joule/Coulomb Volt
Fem ideal e real Fonte Ideal 1. Possui resistência interna nula 2. A ddp entre os seus terminais é igual à fem da fonte:
Fonte Real 1. Possui resistência interna 2. A ddp entre os seus terminais é igual à fem só quando a fonte está
aberta, ou seja sem carga: 3. Quando há corrente através da fonte ddp entre os seus terminais é
diferente da fem.
Circuito elétrico: Fontes e cargas
Em resumo:
Cálculo da corrente
Dois métodos básicos:
1º Baseando-se na conservação de energia
2º Baseando-se na conservação de carga.
Método da Energia • A energia produzida pela fonte aparece no resistor sob a forma de calor, sendo a potência:
Como se trata de uma fonte
Ideal, o balanço de energia mostra:
Cálculo da corrente
Método do Potencial- regra das malhas:
Partindo de um ponto qualquer do circuito, em
qualquer sentido, podemos somar as
ddp...aplicando a conservação de energia.
• Vamos aplicar o método partindo do ponto ´a´ no sentido horário:
então
Cálculo da corrente
Método do Potencial- regra das malhas:
Partindo de um ponto qualquer do circuito, em
qualquer sentido, podemos somar as ddp
aplicando a conservação de energia.
A regra das malhas de Kirchoff, aplicação do método
do potencial ou conservação de energia pode ser
resumido assim:
A soma algébrica das variações de potencial
ao longo de uma malha fechada deve ser nula:
Cálculo da corrente: fonte real
A fonte real possui uma resistência interna r,
Aplicando a regra das malhas teremos:
Diferença de Potencial Entre Dois Pontos Quaisquer do circuito Muitas vezes queremos calcular a d. d. p. entre dois pontos de um circuito, o método dos
potenciais pode ser útil neste momento.
Problema: Considere o mesmo circuito anterior onde os pontos que vamos
considerar são os pontos a e b.
Cálculo da corrente
Cálculo da corrente
b) Usando o mesmo valor da corrente do 1º caso
Obs.: não importa o sentido que percorremos o circuito, devemos encontrar a mesma ddp entre os pontos a e b, pois esta ddp independe da trajetória.
Resistores em série Problema: dadas as resistências de uma combinação em série, devemos encontrar
o resistor equivalente, que para a mesma bateria, substitui os demais resistores da
combinação.
Divisor de tensão
total
321
111 v
RRR
RiRv
total
321
222 v
RRR
RiRv
total
321
3
33 vRRR
RiRv
total
321
vRRR
RiRv k
kk
Aplicação do divisor de tensão
V5.1
156000200010001000
1000
total
4321
11
v
RRRR
Rv
Na bateria, lembrando que dq=Idt, a Energia será dada por:
IdtdqdW;dt
dW
Resistores em paralelo
Circuitos de Malhas Múltiplas
O sentido das correntes é sempre escolhido arbitrariamente pois o resultado indicará o sentido verdadeiro
Ferramentas básicas para resolver o circuito de várias malhas:
1. Regra das malhas método dos potenciais (conservação da energia)
2. Regra dos nós conservação da carga
Circuitos de Malhas Múltiplas
O sentido das correntes é sempre escolhido arbitrariamente pois o resultado indicará o sentido verdadeiro
Ferramentas básicas para resolver o circuito de várias malhas:
1. Regra das malhas método dos potenciais (conservação da energia)
2. Regra dos nós conservação da carga
Malha abda
Malha bcda
Nó b
−𝜖1 − 𝐼2𝑅2 + 𝐼1𝑅1 = 0
𝜖2+𝐼2𝑅2 + 𝐼3𝑅3 = 0
−𝐼1 − 𝐼2 + 𝐼3 = 0
Circuitos de Malhas Múltiplas
Temos três equações, envolvendo as três correntes. Resolvendo para as três incógnitas (I1,
I2 e I3):
R1 I1 - R2 I2 + 0 I3 = ε1
0 I1 + R2 I2 + R3 I3 = - ε2
- I1 − I2+ I3 = 0
O método de solução mais agradável é o matricial:
A solução deste sistema envolve a
inversão da matriz de coeficientes e a sua
multiplicação pelo vetor de termos
independentes
A inversão e a multiplicação de matrizes numéricas pode ser feita no EXCEL
Circuitos de Malhas Múltiplas Vamos dar como exemplo: R1= 1; R2= 2; R3= 3; 1=12volts; 2=6volts
Em vez da inversão de matrizes pode ser utilizada a regra de Cramer que se encontra no livro
1 -2 0
0 2 3 -1 -1 1
12
-6
0
0,454545 0,181818 -0,54545 -0,27273 0,090909 -0,27273
0,181818 0,272727 0,181818
12
-6
0
x =
= x
4,363636 -3,81818
0,545455 =
Circuítos
Capacitivos
Prof. Graça
Circuito RC :Carga e Descarga de Capacitores
Antes: tratamos até aqui com correntes elétricas que não variam no tempo. Agora: vamos tratar com correntes elétricas variáveis no tempo. 1º Carregando um Capacitor O capacitor está inicialmente descarregado. Movendo-se a chave S para a temos um circuito RC em série e a fem, ε, em série com a resistência R e a capacitor C.
Como a corrente varia no tempo? Para responder isso, vamos aplicar a Regra das Malhas no circuito (com chave S em a), no sentido horário e começando do ponto x: ε − VR − VC = 0 ou VR+VC = ε . Usando VR = R I e q = C VC, então, , tanto q quanto I variarão com o tempo, logo esta é uma equação com duas variáveis (q, I), precisamos de mais uma equação : I=dq/dt Então temos a equação de carga:
Circuito RC :Carga e Descarga de Capacitores
Devemos achar uma condição inicial que satisfaça a exigência de que o capacitor esteja
inicialmente descarregado. Condição de contorno = condição inicial = para t = 0 s, q0 = 0 C.
Felizmente a equação diferencial é de variáveis separáveis dt
Solução: Carga Corrente ddp no capacitor ddp no resistor
Descarga do Capacitor
Suponha agora que o capacitor está plenamente carregado (VC = ε e q = ε C), e para t = 0 s, giramos a chave S para o ponto b, para que o capacitor C possa descarregar na resistência R. Como a corrente de descarga do capacitor varia no tempo?
A equação anterior continua sendo válida, exceto que agora não temos a bateria no circuito (ε = 0 V).
VR +VC = 0 Então, a equação de descarga será
A condição inicial agora é que o capacitor esteja inicialmente totalmente carregado: q(t=0)=q0 = ε C.
Descarga do Capacitor
Da mesma maneira que na carga, esta equação também é de variáveis separáveis, então podemos escrever:
derivando
Portanto
corrente em direção oposta
26
A equação de descarga RC
q qmaxet
RC
6
2 4 6 8 10
qmax
tempo
qmax/e
Carga 37% of qmax
tempo = RC (constante de
tempo)
27
Corrente de descarga
2 4 6 8 10
Imax
tempo
corr
ente
37% de Imax
28
Exemplos
R C T
10k 10nF 1s
1M 10pF 1s
1k 10pF ?
1M 10F ?
Mostrar que a dimensão RC = T
29
Circuito Integrador
Vi
R C Vc
T
Vi
Vc T/10
5T
Vc 1
RCVi dt
30
Circuito Diferenciador T
Vi
VR T/10
VR RCdVidt
Vi R
C
VR
31
• Capacitância é uma constante de proporcionalidade relacionando q e V
• Capacitância depende de fatores geométricos
• Capacitores podem armazenar energia elétrica
• Circuitos gráficos e equações C - R (V, q e I)
• Transientes ajudam a explicar o comportamento de
circuitos AC
• Como os capacitores se somam quando em paralelo e em série
• Leia os capítulos 4 e 11 das notas de aula
Sumário
32
Tipos de Capacitores....
eletrolítico
tântalo
poliéster
epoxi
cerâmica
ajustávei
s
p/
sintonia
Para motores
super
capacitor
Circuitos Indutivos
Prof. Graça
2012
Circuito RL
• Quando a chave S é fechada a
corrente não atinge imediatamente
o seu valor máximo.
• A Lei de Faraday pode ser usada
par explicar o fato
fem auto induzida
A fem tem polaridade inversa ao (b) quando a corrente decresce (c)
Uma corrente na bobina produz um campo B para a esquerda (a).
Se a corrente cresce, o fluxo aumenta e a fem induzida tem o sinal indicado,
criando um campo induzido contrário ao crescimento da corrente (b)
Auto Indutância
oBo
d nIAd dI NBA dIN N N nA
dt dt dt I dt
oB nI
BN dI dIL
I dt dt
BNL
I
Definição: Auto Indutância
Indutância de um Solenoide
• O fluxo magnético através de cada espira será:
• Portanto a indutância será:
• Isto demonstra que a indutância é dependente da geometria do solenoide
IB o
NBA μ A
2
I
B oN μ N AL
Unidades de Indutância
BNL
I
dIL
dt
V
L s Henry HA / s
Circuíto RL
Carga
Lei das malhas:
o
dIV RI L 0
dt
Solução:
t /oVI 1 e
R
L
R
Circuíto RL
Descarga
Lei das malhas:
dIRI L 0
dt
Solução:
t /
oI I e
L
R
Energia na bobina
dIP VI L I
dt
21U LI
2PE no Indutor
PE no Capacitor 21
U CV2
Densidade de energia na bobina
21U LI
2PE no indutor
oBN NI / AN NBA
LI I I
2
o 2
o o
N N A1 B 1U B A
2 N 2
o
BI
N
2
o
1u B
2
2
o
1u E
2
Exemplo: Cabo Coaxial
• Calculo de L para o cabo
• O fluxo total flux é
• Portanto, L é
• A energia total será
ln2 2
I Ibo o
Ba
μ μ bB dA dr
πr π a
ln2I
B oμ bL
π a
221
ln2 4
II oμ b
U Lπ a
Circuíto LC
Q dIL 0
C dt
2
2
d Q Q0
dt LC
Equação das malhas: Solução:
maxQ Q cos t
1
LC
I t 0 0 maxQ(t 0) Q
Energia em um circuito LC
22
2maxE
Q1 QU cos t
2 C 2C
maxQ Q cos t 1
LC
2 2 2
2 2 2max maxB
L Q Q1U LI sin t sin t
2 2 2C
max
dQI Q sin t
dt
2 2 2
2 2max max maxE B
Q Q QU U cos t sin t
2C 2C 2C
Circuitos RLC
Q dIRI L 0
C dt
Equação das malhas:
Solução:
2
2
d Q dQ QL R 0
dt dt C
t
max dQ Q e cos t
2
d 2
1 R
LC 4L
R
2L
Circuito RLC amortecido
• O máximo valor de Q
decresce após cada
oscilação
– R < RC
• Isto é análogo ao
sistema massa-mola
amortecedor
Circuitos RLC
A. Subamortecido
B. Amortecimento critico
C. sobramortecido
R
t2L
oQ Q e cos ' t
2
2
1 R'
LC 4L
2
2
1 R
LC 4L
2
2
1 R
LC 4L
2
2
1 R
LC 4L
24LR
C
24LR
C
24LR
C
Analogias entre sistemas elétricos e mecânicos
Circuito Elétrico Variáveis Sistema Mecânico Unidimensional
Carga elétrica Q x Posição
Corrente I vx Velocidade
Diferença de Potencial V F x Força
Resistência R b Coeficiente de Amortecimento
Capacitância C 1/k Constante elástica
Indutância L m Massa
Corrente Velocidade
Derivada da corrente Aceleração
Energia no indutor Energia Cinética
Energia no capacitor Energia potencial armazenada em mola
Energia perdida na
resistência
Perda de Energia por atrito
Circuito RLC Sistema massa-mola-amortecedor