UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
CAMPUS CATALÃO
CURSO DE ENGENHARIA DE MINAS
CALCULO II
PAULO GALDINO
Multiplicadores de Lagrange.
Catalão - GO
2015
Hiago Rodrigues
Gabriel de Araújo
João Victor Queiroz
Arthur Coelho
Matheus Coutinho
Utilização do Mutiplicador de Lagrange na área da
Mineração.
Catalão 24 de junho de 2015.
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SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO...........................................................................................................4
1.1 PORQUE UTILIZAR OS MULTIPLICADOR DE LAGRANGE...............................................4
1.2 PROBLEMA A SER RESOLVIDO........................................................................................5
2. RESOLUÇÃO ITEM A)...................................................................................................6
2.1 Resolução item b)........................................................................................................8
2.1.1 RESOLUÇÃO ITEM C).................................................................................................11
2.2 Conclusão..................................................................................................................11
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1. Introdução
O nióbio é o mais leve metal refratário e apresenta uma elevada temperatura
de fusão (2.468°C). Graças a esta propriedade, as ligas de nióbio se apresentam
como soluções estruturais para aplicações a altas temperaturas: acima de 600°C em
ligas à base de níquel e até 1.300°C em ligas à base de nióbio.·.
As temperaturas inferiores a -264°C, o nióbio possui propriedades
supercondutoras. Conduz corrente elétrica livre de resistência em grandes
densidades, favorecendo campos e forças magnéticas que viabilizam aplicações
práticas nas áreas de diagnósticos médicos, pesquisa de materiais e em transportes.
1.1 Porque utilizar os multiplicadores de Lagrange?
Em matemática, em problemas de otimização, o método dos multiplicadores
de Lagrange permite encontrar extremos (máximos e mínimos) de uma função de
uma ou mais variáveis suscetíveis a uma ou mais restrições. Além disso, exige
menos cálculos que o método tradicional em que é necessário encontrar os pontos
críticos e aplicar o teste da segunda derivada.
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1.2 Problema a ser resolvido
Uma determinada empresa de mineração de Nióbio deseja construir um
galpão em um terreno triangular para colocar caixas, as quais irão conter alumínio
beneficiado por essa empresa. As caixas serão fabricadas para ter um volume
máximo de 2m³ pois a empilhadeira que a empresa possui levanta uma carga com
no máximo de 5450kg e cada caixa com o minério beneficiado terá praticamente
esse peso. A empresa deseja evitar muitos custos e por isso precisa que seu galpão e
suas caixas tenham certas dimensões e que apenas uma caixa pode ser colocada
sobre outra para não estragar a caixa inferior. O problema para a construção do
galpão é que ele deve estar dentro dos limites do terreno da empresa e que uma
estrada ficará próxima a ele.
O objetivo será utilizar os multiplicadores de Lagrange para encontrar as
dimensões do galpão de modo que ele tenha uma área máxima dentro dos limites do
terreno da empresa e encontrar as dimensões da caixa que irão gerar o menor custo
para a mesma. E por fim, determinar quantas caixas será colocado no galpão e o
custo total de fabricação delas.
Seja a região triangular que a empresa possui dada em metros, limitada
por x0, y0 que são os limites do terreno da empresa e que r: x+2y=100
representa a reta que limita o tamanho do terreno devido à estrada que ficará
próxima ao galpão. Deseja-se construir o alicerce de um galpão retangular, em que
um de seus vértices está contido na reta x+2y=100. Determine a área máxima
possível para o alicerce do galpão.
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2. Resolução
As condições impostas são:
Pela equação da reta observa-se que:
A partir destes dados podemos representar a reta r e o alicerce do galpão.
Sabemos que a área do retângulo que irá representar o alicerce
. Então, sejam e . Assim,
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queremos maximizar A(x,y) sujeito a restrição de f(x,y). Pelo método dos
multiplicadores de Lagrange, temos:
A(x,y)= = =(x,y) A(x,y)=(y,x)
f(x,y)= = = (1,2) f(x,y)=(1,2)
Assim, temos o seguinte sistema:
→
Substituindo os valores de *e** em *** obtemos:
Substituindo o valor de em * e ** teremos:
Assim, encontramos os valores de x e y que irão maximizar a área do galpão.
Agora basta substituir estes valores na função A (x,y).
Portanto, o galpão que a empresa irá construir terá área máxima de 1250m².
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Sabendo que o volume da caixa deve ser V=2m³ e que o custo de
fabricação da caixa é de R$3,00 por metro quadrado, determine as dimensões da
caixa de modo que o custo da empresa seja o mínimo possível.
Restrição:
2.1 Resolução
De acordo com o enunciado a caixa pode ser representada no gráfico a seguir:
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A função que vamos minimizar é C(x, y, z), pelo método dos multiplicadores
de Lagrange temos:
V(x,y,z)= = =(yz,xz,xy)
V(x,y,z)= (yz,xz,xy)
C(x,y,z)= =
C(x,y,z)=(6y+6z,6x+6z,6x+6y)
Assim, temos o seguinte sistema:
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De * segue que x0, y0 e z0. A partir de **,*** e **** concluímos que
0, pois em caso contrário teríamos que x=0, y=0 e z=0 para satisfazer essas
equações, fato que não deve ocorrer. Sabendo que 0 e isolando em ** e ***,
obtemos as seguintes equações equivalentes:
→ 6(x+z)yz=6(y+z)xz → xyz+yz²=xyz+xz² → yz²=xz² → y=x
Da mesma forma, isolando em *** e ****, obtemos:
6(x+z)xy=6(x+y)xz → x²y+xyz=x²z+xyz → x²y=x²z → y=z
Analisando os resultados concluímos que x=y=z, assim, em * temos que:
= 1,26.
Portanto, as dimensões de cada caixa que fazem o custo para sua fabricação
ser o mínimo são x=1,26m, y=1,26m e z=1,26m. Substituindo as variáveis x,y e z
por estes valores temos:
A (1.26, 1.26, 1.26)=9,5256m²9,53m²
C (1.26, 1.26, 1.26)= 3.9,53=28,59
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Logo, o valor de cada caixa será de R$ 28,59.
A partir das dimensões calculadas determine quantas caixas a empresa
poderá colocar no galpão e o custo total de todas elas sabendo também que apenas
uma caixa poderá ser colocada sobre a outra para não danificar a caixa que está
embaixo.
2.1.1 Resolução
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O galpão terá fileiras de caixas obedecendo as suas dimensões
máximas, assim ele terá:
E o custo total dessas caixas será de:
3. Conclusão
A partir da resolução do problema podemos concluir que a utilização do
método dos multiplicadores de Lagrange é útil para encontrar áreas de máximos e
mínimos de funções de duas ou mais variáveis, além de se obter a otimização de
áreas, no caso de depósitos e dentre outras utilidades.
Assim temos que, a utilização do método de lagrange é útil na área da
mineração, pois pode se através de seu uso quantificar o armazenamento mineral
com o objetivo de aperfeiçoar o deposito de minérios beneficiados buscando
diminuir custos.