LUCIANO LUIZ MANARIN D’AGOSTINIDOUTOR EM DESENVOLVIMENTO ECONÔMICO / UFPR
ALUNO VISITANTE DO DOUTORADO EM MÉTODOS NUMÉRICOS / ESTATÍSTICA / UFPR PESQUISADOR DE MÉTODOS DE PREVISÃO EM POLÍTICA MONETÁRIA
INTEGRANTE DO GRUPO DE PESQUISA MACROECONOMIA ESTRUTURALISTA DO DESENVOLVIMENTO/CNPQDIRETOR DA EXPERT-SEG CORRETORA DE SEGUROS TODOS OS RAMOS
GESTOR DE CARTEIRAS DE INVESTIMENTOS HABILITADO PELA CVM
Economista (2002), Mestre (2004) e Doutor (2010) pela Universidade Federal do Paraná. Foi alunovisitante do curso de Doutorado em Métodos Numéricos Aplicados a Engenharia da UFPR. Temexperiência no mercado financeiro e seguros, atuando como consultor nos seguintes temas:gestão de carteiras, seguros, política monetária, taxas de juros, taxa de câmbio, inflação,investimentos em renda fixa e variável. É co-autor do Livro Política Monetária, Bancos Centrais eMetas de Inflação (FGV, 2010) e autor do Livro Econometria Temporal Multivariada, Ed. Blucher(2011). Possui artigos macroeconômicos, de finanças e econométricos publicados em revistacientífica, livro de economia, congressos de economia, reportagens em jornais e revistaseconômicas de grande circulação como Valor Econômico, O Globo, Revista Época e RevistaVeja. É gestor de recursos habilitado pela CVM. É corretor de seguros habilitado pela SUSEP eagente de fomento mercantil habilitado pela ANFAC. É professor de Estatística, Matemática,Microeconomia e Macroeconomia do curso preparatório para a ANPEC (CORECON/PR) eprofessor eventual dos cursos de pós-graduação em finanças de diversas instituições. Foipremiado pelo CORECON no Prêmio Paraná de Economia (2005), categoria Artigo de Economia,pelo COFECON no Prêmio Brasil de Economia 2010 e 2012, categoria Livro e em 2013 nacategoria Artigo científico. Recebeu também o Prêmio de Selo de Qualidade Acadêmica daEditora Blucher (2011), categoria Tese de Doutorado. A área de pesquisa concentra-se emmacroeconomia, finanças, estatística e séries temporais.
e-mail: [email protected] Telefones: (41) 3206-1893 / (41) 9673-1842
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Determinação do custo de vários tipos de empréstimos e
financiamentos (BNDES, CEF e BB)
Avaliação de títulos públicos
Taxa de retorno de projetos de investimento
Operações que envolvem séries de pagamentos ou recebimentos:
SÉRIES DE PAGAMENTOS:
Passos
•Dados
•Gráfico (Fluxo de Caixa)
•Transformar dados para a mesma base
•Aplicar fórmulas
•Analisar resultados
• Decisão de Investimento
SÉRIES DE PAGAMENTOS:
Fluxo de Caixa e Simbologia
Tempo: período de capitalização dos juros.
0 1 2 3 4 5 6
(-) Despesas
(+) Receitas F F
P
(n) Tempo: dias,
meses,
anos, etc.
n
SÉRIES DE PAGAMENTOS:
Pagamento Simples:
Série Gradiente:
G
0 1 2 3 4 ...
n
2G3G (n-1)G
Série Uniforme:
Receitas (ou despesas)
iguais ao longo do tempo
Série de Pagamentos ou Recebimentos
P
0 ......... .......... ........... ........ nF
A
0 1 2 ........... ........ n
SÉRIES DE PAGAMENTOS:
Séries de pagamentos ou recebimentos não uniformes
n
1jj
j
i1
CF PV
Quando as periodicidades não forem uniformes, o valor presente (PV) é obtido da seguinte forma:
Onde:
CFj = valor (fluxo de caixa) a ser recebido ou pago no período j
SÉRIES DE PAGAMENTOS:
Exemplo
O valor presente de uma dívida que deve ser paga em 3 parcelas mensais consecutivas de $ 100.000,00, $ 150.000,00 e $ 200.000,00, respectivamente, à taxa de 1,2% a.m., é:
321,012
200.000,00
1,012
150.000,00
1,012
100.000,00PV
40,969.19278,463.14623,814.98PV
41,247.438 $PV
Séries de pagamentos ou recebimentos não uniformes
SÉRIES DE PAGAMENTOS:
n
1jj
j
i1
CF PV
3
1jj
j
i1
CF PV
3
3
2
2
1
1
i1
CF
i1
CF
i1
CF PV
Séries de pagamentos ou recebimentos não uniformes
n
1j
j-n
j i1 CF FV
A identidade do valor (montante) para uma série de pagamentos ou recebimentos não uniformes pode ser
expressa da seguinte maneira:
Onde:
CFj = valor (fluxo de caixa) a ser recebido ou pago no período j
SÉRIES DE PAGAMENTOS:
Exemplo
O valor futuro ao final do mês 4 dos pagamentos mensais da dívida apresentada atinge:
1,01200,000.2001,01200,000.1501,012100.000,00FV23
00,400.20260,621.15337,643.103FV
459.664,97 $FV
Séries de pagamentos ou recebimentos não uniformes
SÉRIES DE PAGAMENTOS:
n
1j
j-n
j i1 CF FV
4
1j
j-4
j i1 CF FV
3-4
3
2-4
2
1-4
1 i1 CFi1 CFi1 CF FV
Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes
i
ni1-1
PMT PV
Quando as séries de pagamentos ou recebimentos de mesmo valor e periodicidade, o valor presente (PV) poderá ser obtido da seguinte forma:
Onde:
PMT = valor de cada pagamento ou recebimento uniforme periódico
= Fator de valor presente (FVP)i
ni1-1
SÉRIES DE PAGAMENTOS:
Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes
Exemplo: o valor presente de um bem que é pago em 10 prestações mensais e iguais de $ 5.000,00, à taxa de juros de 2,0% a.m., é:
02,0
02,1100,000.5PV
10
982585,800,000.5PV
44.912,93 $PV
Representa o preço à vista do bem, isto é, o valor máximo de pagamento à vista supondo uma taxa de desconto de 2% a.m.
SÉRIES DE PAGAMENTOS:
i
ni1-1
PMT PV
02,0
02,01100,000.5PV
10
Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes
i
n1i1
PMT FV
O valor futuro (FV) de uma série uniforme de fluxos de caixa é obtido por:
Onde:
PMT = valor de cada pagamento ou recebimento uniforme periódico
= Fator de valor futuro (FVF)i
n1i1
SÉRIES DE PAGAMENTOS:
Exemplo
Um pessoa aplica, no fim de cada mês, a quantia de $ 4.000,00 durante 12 meses, numa aplicação financeira que rende 1,5% a.m. Ao final do período, esse aplicador acumula a quantia de:
015,0
1015,100,000.4FV
12
041211,1300,000.4PV
52.164,85 $PV
Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes
SÉRIES DE PAGAMENTOS:
i
n1i1
PMT FV
015,0
1015,0100,000.4FV
12
Anuidades perpétuas
i
PMT PV
O cálculo do valor presente para fluxos de pagamento ou recebimentos com durações indeterminadas se dá
seguinte forma:
Onde
PV = valor presente
PMT = valor de cada pagamento ou recebimento uniforme periódico
i = taxa de desconto
SÉRIES DE PAGAMENTOS:
Exemplo
Suponha uma renda mensal perpétua de $ 1.000,00. O valor presente, à taxa de desconto de 1% a.m., é
Anuidades perpétuas
*
01,0
00,000.1 PV
100.000,00 $ PV
SÉRIES DE PAGAMENTOS:
i
PMT PV
Coeficientes ou fatores de financiamento
ni
i
11 CF
Coeficiente de financiamento (CF) é a expressão que, quando multiplicado pelo valor do crédito, produz as
prestações periódicas
Onde
= inverso do fator de valor presenten
i
i
11
SÉRIES DE PAGAMENTOS:
Exemplo
O coeficiente de financiamento a ser pago em seis prestações mensais iguais, à taxa de 1,4% a.m., é de 0,174928, isto é:
Coeficientes ou fatores de financiamento
6014,11
014,0 CF
0,174928 CF
080033,0
014,0 CF
SÉRIES DE PAGAMENTOS:
ni
i
11 CF
6014,011
014,0 CF
A inflação não produz resultados compensáveis na
estrutura patrimonial das empresas
Os efeitos inflacionários devem ser tratados isoladamente, de acordo com sua intensidade e natureza
Ao trabalhar com valores nominais, a empresa poderá gerar
decisões inadequadas
Introdução
CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: ÍNDICES DE
ATUALIZAÇÃO E INFLAÇÃO
As informações financeiras possuem frágilrepresentatividade quando não adaptadas a ambientesinflacionários
Representatividade dos Dados Financeiros em Ambientes Inflacionários
É fundamental efetuar processos de ajustes nos valores
nominais para obter resultados reais
Esses processos são realizados mediante:
Indexações (Inflacionamento)
Desindexações (deflacionamento)
CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: ÍNDICES DE
ATUALIZAÇÃO E INFLAÇÃO
Resultado de uma operação calculado após retirar os acréscimos oriundos da inflação
É definida em função de dois componentes:
a) Taxa real (excluída a inflação) e
b) Taxa de inflação
CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: ÍNDICES DE
ATUALIZAÇÃO E INFLAÇÃO
Expressão de cálculo para a taxa real:
r1 INF1 i 1
1 INF 1
i 1 r
i = taxa nominal
INF = taxa de inflação
r = taxa real
Representatividade dos Dados Financeiros em Ambientes Inflacionários
CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: ÍNDICES DE
ATUALIZAÇÃO E INFLAÇÃO
Exemplo
Taxa de Inflação de
19,98%
em 1999
01/01/1999 31/12/1999
$ 390.000,00
$ 300.000,00 Crescimento nominal da aplicação:
Crescimento real da aplicação:
30%ou 3,0 1 300.000,00 $
390.000,00 $
8,4%ou 084,0 1 1,1998300.000,00 $
390.000,00 $
Representatividade dos Dados Financeiros em Ambientes Inflacionários
CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: ÍNDICES DE
ATUALIZAÇÃO E INFLAÇÃO
Resumindo,
Valor de venda do imóvel no fim do ano $ 390.000,00
Valor de aquisição no início do ano ($ 300.000,00)
Ganho nominal (aparente) $ 90.000,00
Reajuste pela inflação ocorrida no período
($ 300.000,00 x 19,98%) ($ 59.940,00)
Ganho real $ 30.060,00
Rentabilidade nominal
$ 90.000,00 / $300.000,00 30%
Rentabilidade real
$ 30.060,00 / ($ 300.000,00 + $ 59.940,00) 8,4%
CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: ÍNDICES DE
ATUALIZAÇÃO E INFLAÇÃO
Taxa de Inflação:
4,1% a.a.Evolução das vendas:
2005 2006
$ 8,0 milhões
$ 8,3 milhões
Crescimento nominal das vendas:
Crescimento real das vendas:
3,75% ou 0375,01008.000.000, $
008.300.000, $
0,33%- ou 0033,011,041008.000.000, $
008.300.000, $
CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: ÍNDICES DE
ATUALIZAÇÃO E INFLAÇÃO
Taxa de Inflação:
4,1% a.a.Evolução da aplicação:
2005 2006
$ 40.000,00
$ 46.000,00
15%ou 15,0100,000.40 $
00,000.46 $
%47,101047,01041,100,000.40 $
00,000.46 $ou
Crescimento nominal da aplicação:
Crescimento real da aplicação:
CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: ÍNDICES DE
ATUALIZAÇÃO E INFLAÇÃO
Variação Cambial
Variação da relação existente entre a moeda nacional e uma moeda internacional (dólar)
Referencia a queda do poder aquisitivo da moeda nacional em relação a determinada moeda externa
Ideal para empresas/investidores que tenham dívidas e/ou recebimento em moeda estrangeira ou que atuem na importação e/ou exportação
CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: ÍNDICES DE
ATUALIZAÇÃO CAMBIAL
• Taxa de Câmbio Nominal. É a taxa de câmbio propriamente dita, ou seja, o preço em moeda nacional de uma unidade de moeda estrangeira.
• Taxa de Câmbio Real. É a taxa de câmbio nominal descontada da inflação em dado período de tempo.
• A seguinte equação apresenta o cálculo do câmbio real:
1 + = ( 1 + | | ) . ( 1 + * ) / ( 1 + )
onde:
• = variação relativa da taxa de câmbio real.
• = variação relativa da taxa de câmbio nominal, em módulo.
• = taxa de inflação interna.
• * = taxa de inflação externa.
CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: ÍNDICES DE
ATUALIZAÇÃO CAMBIAL
Determinação da Taxa de Inflação
Identidade de mensuração da taxa de inflação
1I
IINF
tn
n
INF = taxa de inflação medida segundo determinado índice de preços;
I = índice de preços utilizado para a mensuração da taxa de inflação
n, n-t = data de levantamento e período anterior
CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO:
DETERMINAÇÃO DA INFLAÇÃO
Exemplo
IGP-M de 2002 = 178,099
IGP-M de 2003 = 195,827
1I
IINF
tn
n
1 178,099
195,827 M)-(IGP INF
9,95%ou 0995,0 M)-(IGP INF
CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO:
DETERMINAÇÃO DA INFLAÇÃO
Indica o decréscimo do poder de compra (poder aquisitivo) da moeda
Pode ser apurada partindo-se de um índice específico de preços ou da taxa de inflação
n
tn
I
I1TDM
INF1
INFTDM
CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: TAXA DE
DESVALORIZAÇÃO DA MOEDA - TDM
Ano Taxa de inflação (INF) Taxa de Desvalorização
da Moeda Nacional (TDM)
1996 11,1% 10,0%
1997 7,91% 7,3%
1998 3,89% 3,7%
1999 19,98% 16,7%
2000 9,81% 8,9%
Taxa de desvalorização da moeda nacional em diferentes anos medida pelo IGP-di
167,01998,01
1998,0
Um assalariado que ganhasse $ 1.000,00 mensais e consumisse toda a sua renda, ao final do ano de 1999 poderia manter unicamente
83,3% se seu padrão habitual de consumo (100% - 16,7%).
CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: TAXA DE
DESVALORIZAÇÃO DA MOEDA - TDM
Operações com pagamentos/recebimentos fixados
Dados do empréstimo:
Valor = $ 100.000,00
Juros = 10% a.a.
Correção Monetária = variação IGP-M
IGP-M no ano = 4,5%
Final do primeiro ano
FV = $ 100.000,00 x (1,10) x (1,045) = $ 114950,00
CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: DEPÓSITO COM
CORREÇÃO MONETÁRIA.
Operações com pagamentos/recebimentos fixados
De outra maneira:
Correção monetária do principal
($ 100.000,00 x 0,045%) = $ 4500,00
Juros sobre o capital emprestado
($ 100.000,00 x 10%) = $ 10.000,00
Juros sobre a correção monetária do capital
($ 4500,00 x 10%) = $ 450,00
Encargos Financeiros: = $14950,00
CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: DEPÓSITO COM
CORREÇÃO MONETÁRIA.
O montante ao final do segundo ano é calculadopartindo-se do resultado acumulado ($ 114950,00)obtido ao final do período anterior. Assim, para umataxa de inflação de 4% no segundo ano, obtém-se:
Final do segundo ano:
FV = $ 100.000,00 x (1,10) x (1,045) x(1,10)x(1,04)FV = $ 132.135,03
Operações com pagamentos/recebimentos fixados
CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: DEPÓSITO
COM CORREÇÃO MONETÁRIA.
Inflação acumulada nos dois anos:
[(1,045) x (1,04) – 1] = 0,0868% ou 8,68% - correção monetária indexada a inflação.
[(1,10) x (1,10) – 1] = 21%
Juros acumulados nos dois anos:
Total :
[(1,045) x (1,04) x (1,10)2 – 1] = 31,5% -aumento da dívida em 31,5%
Operações com pagamentos/recebimentos fixados
CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO: DEPÓSITO
COM CORREÇÃO MONETÁRIA.
e-ir
r=π
r<π
r>π
Decisões de investir em ambiente inflacionário.
CORREÇÃO MONETÁRIA E INFLAÇÃO:
TAXA DE JUROS NOMINAL E REAL.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Dr. Luciano D’Agostini
• Amortização de Empréstimos de Curto Prazo
– Postecipados e Antecipados
– Reciprocidade
• Amortização de Empréstimos de Longo Prazo
– Método Francês ou Tabela Price
– Sistema de Amortização Constante (SAC)
– Sistema SAM ou Misto
– Sistema Americano
• Sinking Fund
– Empréstimos com carência
– Empréstimos com “parcelas intermediárias”
– Cláusulas de Reajustamento
Introdução
• Nem sempre as empresas possuem capital próprio para
investir em um dado projeto.
• Oportunidades não esperarão que a empresa poupe o
suficiente para investir.
• Conseqüência: obtenção de empréstimos.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Amortização a Juros Simples (postecipados)
• Repagamento de principal e juros é realizado de uma única vez, ao final do prazo do empréstimo
• Relembrando a fórmula:
• Exemplo: Empréstimo de R$ 100.000 com prazo de 5 meses, a 4% ao mês. Qual o valor devido?
F = P . ( 1+ i . n )
F = 100.000 (1+5.0,04) =
F = 100.000 (1+0,2) =
F = R$ 120.000
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Amortização a Juros Simples (antecipados)• Cobrança antecipada dos juros do empréstimo. Têm-se os juros
nominal, j, diferente da taxa de juros real, i.
Calculando i:
0 1 2 3 4
n
………..
F = E
JE
P Recebido pelo tomador do
empréstimo
Fica com o banco
Devolvido
ao banco
Tem-se:
j é a taxa de juros (nominal) do financiamento;
n é o número de períodos;
P é a quantia emprestada efetivamente
J são os juros (E.j.n)
E é o valor de referência do empréstimo (P+J)
F é o repagamento do valor de referência
do empréstimo; e
i é a taxa real de juros simples.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
).1(
).1(
).1(
..
)..(
..
nj
ji
ni
EP
njEP
njEEP
njEPE
njEJ
JPE
Juros Antecipados (exemplo)
Uma pessoa, necessitando de R$ 1.000,00 por 6 meses,
tomou emprestado em um banco que cobra nesse tipo de
financiamento juros simples antecipados à taxa de 2,5% ao
mês. Perguntas?Qual a taxa real de juros a ser paga?
Qual o valor do empréstimo (E) a ser tomado?
Qual o valor dos juros J pagos?
Qual o valor de P:
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
mai
i
i
i
i
nj
ji
.%94,2
02941,0
85,0
025,0
)15,01(
025,0
)6.025,01(
025,0
).1(
50,1176$
)1765,1.(1000
)6.0294,01.(1000
).1.(
).1(
E
E
E
niPE
ni
EP
47,176$
15,0.50,1176
)6.025,0.(50,1176
..
J
J
J
njEJ
00,1000$
50,17650,1176
P
P
JEP
Reciprocidade• Mecanismo adicional de ganho, representa a manutenção de um
saldo mínimo em conta
• Saldo é dada pela taxa de reciprocidade (r)
• Juros antecipados J = E.j.n
• Observamos:
• Ao fim do empréstimo, o principal é pago. Tem-se:
• Igualando (A) e (B), encontra-se:
P = E – E.j.n (sem reciprocidade)
P = E –r.E – j.n.E (com reciprocidade)
E = P / (1-r-j.n) ≡ E/P = 1/(1-r.j.n) (A)
F = E = P.(1+i.n) ≡ E/P = (1+i.n) (B)
E / P = [1/(1-r-j.n)] = (1+i.n)
i.n = [1/(1-r-j.n)] –1
i.n = [1-1+r+j.n]/(1-r-j.n)
i = [r+j.n]/[n.(1-r-j.n)] (C)
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Reciprocidade (Exemplo)
• Substituindo os dados do problema anterior:
– P = 1000; j = 2,5% ao mês; e n = 6 meses
• E supondo r = 10% - saldo mínimo em conta
• Portanto, i = 5,56% ao mês, uma taxa efetiva bem maior
que a nominal, de 2,5% ao mês, quando levada em
conta a reciprocidade.
i = [r+j.n]/[n.(1-r-j.n)] (C)
Substituindo:
i = (0,10 + 0,025.6)/6.(1-0,10-0,025.6) = 0,0556 = 5,56%
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Amortização de Empréstimos a longo prazo
• Juros compostos
• 3 métodos principais:
– Tabela Price: prestações constantes;
– Sistema Americano: juros constantes;
– Sistema de Amortização Constante (SAC): Amortização
constante;
• O saldo devedor no início do 1º. período é o valor do
empréstimo. Os juros devidos ao cabo de cada período são
iguais ao produto da taxa de juros pelo saldo devedor no
início daquele período, sempre.
• A amortização depende do sistema ou método acordado entre
a instituição que concede o financiamento e a empresa
tomadora do empréstimo
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Tabela Price ou sistema francês de amortização (SFA)
• Método mais empregado no Brasil
• Pagamento em Parcelas Constantes
• Cálculo da Parcela:
– Expressão da Série Anual Uniforme
– Amortização: Diferença entre Juros e Parcela
A = P i (1+i)n/((1+i)n – 1)
onde
ax é a amortização do
principal no ano x;
Jx são os juros no ano x e
Sx-1 é o saldo devedor ao
final do ano x-1.
ax = A – Jx
Jx = S(x-1).i
Para x=1, S0 é o saldo devedor no
início do primeiro ano, isto é, é o
valor financiado (P).
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Tabela Price - Exemplo
• Supor um empréstimo de R$ 5.000,00 pelo prazo de 10
anos, a juros de 10% ao ano. A forma de amortização é
a Tabela Price, ou Sistema Francês. É pedido montar a
tabela, calcular juros e pagamentos anuais.
A = P i (1+i)n/((1+i)n – 1)
A = 5000 . 0,1 . (1,10)10/[(1,10) 10-1] = 813,73.
• Sabendo que P = 5.000, os juros no ano 1 (J1) são
Jx = S(x-1).i
J1 = 5.000.0,1= R$ 500,00.
• Assim, a amortização é
ax = A – Jx
a1=(813,73 – 500,00) = R$ 313,73.
• O saldo devedor no final do ano 1 reduz-se a
S1 = S0 - a1 =(5.000,00 - 313,73)=R$ 4.686,27.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Tabela Price - Exemplo
Para o ano 2, temos:
A = P i (1+i)n/((1+i)n – 1)
A = 5000 . 0,1 . (1,10)10/[(1,10) 10-1] = 813,73.
• os juros no ano 2 (J1) são:
Jx = S(x-1).i
J2 = 4.686,27.0,1= R$ 468,63.
•A amortização do ano 2 é:
ax = A – Jx
a2=(813,73 – 468,63) = R$ 345,10
• O saldo devedor no final do ano 2 reduz-se a:
S2 = S1 - a2 =(4.686,27 – 345,10)=R$ 3.431,17.
• Prosseguindo para os próximos anos da mesma forma,
compõe-se a seguinte tabela:
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Tabela Price - Exemplo
(A) (B) (C) (D) (E) (F)
Parcela Pgto Juros Amort Acum Saldo
1 R$ 813,73 R$ 500,00 R$ 313,73 R$ 313,73 R$ 4.686,27
2 R$ 813,73 R$ 468,63 R$ 345,10 R$ 658,83 R$ 4.341,17
3 R$ 813,73 R$ 434,12 R$ 379,61 R$ 1.038,44 R$ 3.961,56
4 R$ 813,73 R$ 396,16 R$ 417,57 R$ 1.456,01 R$ 3.543,99
5 R$ 813,73 R$ 354,40 R$ 459,33 R$ 1.915,33 R$ 3.084,67
6 R$ 813,73 R$ 308,47 R$ 505,26 R$ 2.420,59 R$ 2.579,41
7 R$ 813,73 R$ 257,94 R$ 555,79 R$ 2.976,38 R$ 2.023,62
8 R$ 813,73 R$ 202,36 R$ 611,37 R$ 3.587,75 R$ 1.412,25
9 R$ 813,73 R$ 141,23 R$ 672,50 R$ 4.260,25 R$ 739,75
10 R$ 813,73 R$ 73,98 R$ 739,75 R$ 5.000,00 R$ 0,00
Totais 8.137,27 3.137,27 5.000,00
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Slide 49
Tabela Price - Exemplo• Gráfico ilustrando pagamentos
Pagamentos - Tabela Price
R$ 0.00
R$ 200.00
R$ 400.00
R$ 600.00
R$ 800.00
R$ 1,000.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Período
Valo
r
Pagamento Juros Amortização
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Slide 50
Sistema de Amortização Constante (SAC) ou hamburguês
• Pelo fato de a amortização ser constante, a série de
pagamentos não é uniforme!
• O seguinte procedimento é tomado:
– Calculam-se as amortizações inicialmente:
– Calcula-se o saldo devedor em todos os anos
– Calcula-se os juros, sobre o saldo devedor:
Sj = Sj-1 - ai; j=1,2,...,n períodos
aj = P / n; j = 1,2,...,n períodos
Ji = Si-1 - ai; j=1,2,...,n
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Sistema de Amortização Constante - Exemplo
• Do exemplo anterior, efetua-se um empréstimo no mesmo valor,mas dessa vez, o banco ou a financeira estipula pagamento pelométodo de amortização constante. Montar a tabela de pagamentos,e fazer gráfico.
Relembrando: P = R$ 5.000,00; i= 10% a.a.; n= 10 anos.
Inicialmente, a cada ano se atribui a amortização de R$ 500,00 do principalai = P/n = 5000/10 = 500 Logo a1=a2=a3=...=a10 (i =1,2,..., 10)
• No ano 1, os juros incidentes serão:
•Jx = Sx-1.i
•J1 = 5.000.(10%) = R$ 500,00.
• O saldo devedor fica:
Sj = Sj-1 - ai
S1=5.000 – 500 = R$ 4.500,00
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Sistema de Amortização Constante - Exemplo
• No ano 2, temos:
• os juros pagos serão:
Jx = Sx-1.i
J2 = S1.i = 4.500.(10%) = R$ 450,00
e assim por diante...
• A parcela total a ser paga no ano 1 é:
Parcelax = amortizaçãox + jurosx
Parcela1 = a1 + j1 = 500 + 500 = 1.000,00
No ano 2 é de R$ 950,00 e assim por diante, até o ano 10.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Sistema de Amortização Constante (SAC) - Exemplo
• Tabela de AmortizaçãoSistema de Amortização Constante ( SAC )
Período(A)
Pgto(B)
Juros(C)
Amortização(D)
Amortização PagaAcumulada
(E)
Saldo Devedor(F)
1 R$ 1,000.00 R$ 500.00 R$ 500.00 R$ 500.00 R$ 4,500.00
2 R$ 950.00 R$ 450.00 R$ 500.00 R$ 1,000.00 R$ 4,000.00
3 R$ 900.00 R$ 400.00 R$ 500.00 R$ 1,500.00 R$ 3,500.00
4 R$ 850.00 R$ 350.00 R$ 500.00 R$ 2,000.00 R$ 3,000.00
5 R$ 800.00 R$ 300.00 R$ 500.00 R$ 2,500.00 R$ 2,500.00
6 R$ 750.00 R$ 250.00 R$ 500.00 R$ 3,000.00 R$ 2,000.00
7 R$ 700.00 R$ 200.00 R$ 500.00 R$ 3,500.00 R$ 1,500.00
8 R$ 650.00 R$ 150.00 R$ 500.00 R$ 4,000.00 R$ 1,000.00
9 R$ 600.00 R$ 100.00 R$ 500.00 R$ 4,500.00 R$ 500.00
10 R$ 550.00 R$ 50.00 R$ 500.00 R$ 5,000.00 R$ -
Totais R$ 7,750.00 R$ 2,750.00 R$ 5,000.00
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Slide 54
Sistema de Amortização Constante (SAC) - Exemplo
SA C - Sis te m a d e A m o r t iz ação C o n s tan te
R $ -
R $ 2 0 0 .0 0
R $ 4 0 0 .0 0
R $ 6 0 0 .0 0
R $ 8 0 0 .0 0
R $ 1 ,0 0 0 .0 0
R $ 1 ,2 0 0 .0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
Pe r ío d o
Va
lor
Pa g a m e n to Ju r o s A m o r t iz a ç ã o
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Sistema de Amortização Constante sem prazo de carência• Considere como exemplo, um financiamento de R$ 5.000,00 à
taxa de 9% a.m., com um prazo de 6 meses.
•Para o primeiro período, teremos:
Saldo Devedor = 5.000,00
Juros = 5000 . 0,09 = 450,00
Amortização = 5000 / 6 = 833,33
Prestação = 833,33 + 450 = 1.283,33
•Para o segundo período:
Saldo Devedor = 5.000,00 – 833,33 = 4.166,67
Juros = 4.166,67 . 0,09 = 375,00
Amortização = 833,33 (parcela fixa)
Prestação = 833,33 + 375 = 1.208,33
E assim sucessivamente... Para os demais períodos.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Slide 56
Sistema Americano• Pagamento referente apenas a juros, sem amortização
• Nesse sistema:
a) os juros podem ser capitalizados ao principal ou ser pagos
durante o período ou carência considerada.
b) a devolução do dinheiro emprestado é feita de uma só vez,
no final do período ou carência. Aqui o principal é amortizado
integralmente no final do empréstimo.
– No último ano, a parcela é dada por juros + principal
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Sistema Americano - ExemploO financiamento do exemplo anterior foi realizado utilizando-se
agora o sistema americano. Calcular as tabelas e fazer o gráfico
correspondente a esse financiamento.
A parcela de juros em todos os anos será J = 5.000.10% = R$
500,00.
A amortização está toda concentrada no último período.Período(A)
Pgto.(B)
Juros(C)
Amortização(D)
Amortização PagaAcumulada (E)
Saldo Devedor(F)
1 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ - R$ - R$ 5.000,00
2 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ - R$ - R$ 5.000,00
3 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ - R$ - R$ 5.000,00
4 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ - R$ - R$ 5.000,00
5 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ - R$ - R$ 5.000,00
6 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ - R$ - R$ 5.000,00
7 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ - R$ - R$ 5.000,00
8 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ - R$ - R$ 5.000,00
9 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ - R$ - R$ 5.000,00
10 R$ 5.500,00 R$ 500,00 R$ 5.000,00 R$ 5.000,00 R$ -
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Slide 58
Sistema Americano - Exemplo• Gráfico de Pagamentos
S iste m a A m e ric a n o
R $ -
R $ 1 .0 0 0 ,0 0
R $ 2 .0 0 0 ,0 0
R $ 3 .0 0 0 ,0 0
R $ 4 .0 0 0 ,0 0
R $ 5 .0 0 0 ,0 0
R $ 6 .0 0 0 ,0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
Pe r ío d o
Va
lor
Pa g a m e n to
Ju r o s
A m o r t iz a ç ã o
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Sinking Fund• A empresa que opta por financiamentos via sistema americano
deve se preparar para, no último ano, ter um desembolso alto
(o valor do principal)
• É prática comum formar um fundo de reserva (sinking fund),
através de depósitos periódicos e iguais durante o período de
financiamento, remunerados a uma taxa isf , com o objetivo de
cobrir o pagamento do principal no último ano.
• Se isf for maior que a taxa de financiamento, é mais vantajoso
ao tomador de empréstimo utilizar o sistema americano.
• Se isf for menor que a taxa de financiamento, o sistema francês
(Price) será preferível
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Slide 60
Tabela Price vs Sinking Fund Exemplo
• Para o exemplo de financiamento utilizado, comparar a
prestação pela tabela price com aquela obtida pelo Sistema
Americano com um sinking fund à taxa de 7,5%, 10% ou 12,5%
– Para calcular a parcela do sinking fund, podemos utilizar a
fórmula
– Obtemos, então, para as três taxas (7,5%, 10% e 12,5%):
(F=5.000;i=7,5%;n=10); então A = R$ 353,43 = SF
(F=5.000;i=10%;n=10); então A = R$ 313,73 = SF
(F=5.000;i=12,5%;n=10); então A = R$ 278,11 = SF
A = F . i / [ (1+i)n – 1 ]
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Tabela Price vs Sinking Fund ComparaçãoTAXA DE JUROS (empréstimo)
Tabela Price 10% 10% 10%
Prestação (constante) R$ 813,73 R$ 813,73 R$ 813,73
TAXA DE REMUNERAÇÃO (Sinking Fund)
Sistema Americano 7,50% 10% 12,50%
Parcela Juros: cte R$ 500,00 R$ 500,00 R$ 500,00
Parcela Sinking fund R$ 353,43 R$ 313,73 R$ 278,11
Total (J+SF) R$ 853,43 R$ 813,73 R$ 778,11
Opção Price Indiferente Americano
C o m p ar ação Pr ice x A m e r ican o
R $ 6 0 0 .0 0
R $ 6 5 0 .0 0
R $ 7 0 0 .0 0
R $ 7 5 0 .0 0
R $ 8 0 0 .0 0
R $ 8 5 0 .0 0
R $ 9 0 0 .0 0
R $ 9 5 0 .0 0
R $ 1 ,0 0 0 .0 0
R $ 1 ,0 5 0 .0 0
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
20%
T a x a d e ju r o s S F ( is f
)
Va
lor
Pr e s ta ç ã o - T a b e la Pr ic e S is te m a A m e r ic a n o + S in k in g F u n d
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Slide 62
Sistema de amortização misto (SACRE)
• Sistema criado em 1979 pela CEF
• Uso: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação..
• É um misto entre, o Sistema Francês de Amortização (Price) e
o Sistema de Amortização Constante (SAC).
• As prestações são resultantes da média aritmética do Sistema
Price (Francês) e SAC.
PSAM = (PPrice + PSAC) 2
Sistema Francês
SAC
SAM
Tempo
Prestações
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Sistema de amortização misto (SACRE)
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Carência
• Acordo entre tomador de empréstimo e financiador, habilitando que, durante um certo período de tempo, apenas os juros são cobrados, sem pagamento de amortização.
• Quando se atinge o fim da carência, o empréstimo é quitado através de algum método pré-determinado de financiamento.
• 2 tipos de carência são abordados:
– Caso 1 - Durante o prazo de carência, apenas os juros sobre o principal são devidos
– Caso 2 - Durante o prazo de carência, não há pagamento nenhum; nem de juros sobre o saldo devedor, nem de amortização do principal. Dessa forma, os juros são somados ao saldo devedor, resultando um saldo devedor maior.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Slide 65
Carência - Exemplo
• Financiamento de 60% do valor total de uminvestimento, no valor de R$ 10 milhões, prazo total de10 anos, com 2 anos de carência, a juros de 10% aoano.
• Fazer a projeção do financiamento utilizando-se ométodo Francês (Tabela Price) para os casos 1 e 2,anteriormente citados.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Slide 66
Carência -Caso 1
• Nos dois primeiros anos, há apenas pagamento de juros do principal, de R$ 10.000.000,00 . (10%) = R$ 1.000.000,00
• Como se escolheu o Sistema Price para amortização, deve se calcular a série uniforme para o principal em 8 anos, em vez de 10 anos:
Tabela Price (em $000)
(A) (B) (C) (D) (E) (F)
Parcela Pgto. Juros Amort Acum Saldo
1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 10.000,00
2 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 10.000,00
3 R$ 1.874,44 R$ 1.000,00 R$ 874,44 R$ 874,44 R$ 9.125,56
4 R$ 1.874,44 R$ 912,56 R$ 961,88 R$ 1.836,32 R$ 8.163,68
5 R$ 1.874,44 R$ 816,37 R$ 1.058,07 R$ 2.894,40 R$ 7.105,60
6 R$ 1.874,44 R$ 710,56 R$ 1.163,88 R$ 4.058,28 R$ 5.941,72
7 R$ 1.874,44 R$ 594,17 R$ 1.280,27 R$ 5.338,54 R$ 4.661,46
8 R$ 1.874,44 R$ 466,15 R$ 1.408,29 R$ 6.746,84 R$ 3.253,16
9 R$ 1.874,44 R$ 325,32 R$ 1.549,12 R$ 8.295,96 R$ 1.704,04
10 R$ 1.874,44 R$ 170,40 R$ 1.704,04 R$ 10.000,00 R$ 0,00
Totais R$ 16.995,52 R$ 6.995,52 R$ 10.000,00
A = P i (1+i)n/((1+i)n – 1)
A = 10.000.000 0,1 (1+0,1)8/((1+0,1)8 – 1)
A = 1.874.440,00) - calculando-se os juros e amortização, têm-se a tabela
ax = A – Jx
Jx = S(x-1).i
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Carência - Caso 1
C a rê n c ia c o m P g to . J u ro s
R $ 0 ,0 0
R $ 5 0 0 ,0 0
R $ 1 .0 0 0 ,0 0
R $ 1 .5 0 0 ,0 0
R $ 2 .0 0 0 ,0 0
R $ 2 .5 0 0 ,0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
Pe r ío d o
Va
lor
Pa g a m e n to Ju r o s A m o r t iz a ç ã o
6 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Carência – Exemplo Tipo 2
• Como há ausência de pagamentos de juros nos dois
primeiros anos, estes são incorporados ao principal,
logo:
F = P.(1+i)n = 10.000.000,00.(1+0,1)2 → F = 12,1
milhões
• A partir daí, a resolução é exatamente igual à
anterior, mas agora com o P = 12,1 milhões:
A = P i (1+i)n/((1+i)n – 1)
A = 12.100.000 0,1 (1+0,1)8/((1+0,1)8 – 1)
A = 2.268.072,40
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Carência – Exemplo Tipo 2
• A partir daí, a resolução é exatamente igual à anterior, obtendo-se a tabela:
Tabela Price (Em $000)
(A) (B) (C) (D) (E) (F)
Parcela Pgto Juros Amort Acum Saldo
1 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 11.000,00
2 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 12.100,00
3 R$ 2.268,07 R$ 1.210,00 R$ 1.058,07 R$ 1.058,07 R$ 11.041,93
4 R$ 2.268,07 R$ 1.104,19 R$ 1.163,88 R$ 2.221,95 R$ 9.878,05
5 R$ 2.268,07 R$ 987,80 R$ 1.280,27 R$ 3.502,22 R$ 8.597,78
6 R$ 2.268,07 R$ 859,78 R$ 1.408,29 R$ 4.910,51 R$ 7.189,49
7 R$ 2.268,07 R$ 718,95 R$ 1.549,12 R$ 6.459,64 R$ 5.640,36
8 R$ 2.268,07 R$ 564,04 R$ 1.704,04 R$ 8.163,68 R$ 3.936,32
9 R$ 2.268,07 R$ 393,63 R$ 1.874,44 R$ 10.038,12 R$ 2.061,88
10 R$ 2.268,07 R$ 206,19 R$ 2.061,88 R$ 12.100,00 R$ 0,00
Totais R$ 18.144,58 R$ 6.044,58 R$ 12.100,00
ax = A – Jx
Jx = S(x-1).i
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Slide 70
Carência – Exemplo Tipo 2
C a rê n c ia se m P g to . J u ro s
R $ 0 ,0 0
R $ 5 0 0 ,0 0
R $ 1 .0 0 0 ,0 0
R $ 1 .5 0 0 ,0 0
R $ 2 .0 0 0 ,0 0
R $ 2 .5 0 0 ,0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
Pe r ío d o
Va
lor
Pa g a m e n to Ju r o s A m o r t iz a ç ã o
Parcelas
Maiores
decorrentes
do período
de carência
sem
pagamento
de juros
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Amortização com “parcelas intermediárias”• Em compras de imóveis não é difícil, por exemplo, encontrar
situações como esta:
• Haverá sempre, de acordo com o sistema de financiamento, abatimento de amortizações e pagamento de juros sobre o saldo devedor.
• Dependendo do financiador, pode haver desconto para uma amortização prematura do débito
30% de entrada;
4 intermediárias semestrais de 5% cada (=20%); (balão)
10% na entrega das chaves;
Saldo (40%) financiado pela Caixa Econômica Federal em
15 anos à taxa de juros de 10% ao ano; e
Prazo Total: 2 anos (4x6 meses) + 15 anos = 17 anos.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Empréstimos com Cláusula de Reajustamento
• Alguns contratos poderão ter cláusulas de reajustamento para compensar a perda de poder aquisitivo da moeda (correção monetária).
• Da aula passada, sobre inflação, temos:
• A primeira parcela desta equação é o reajuste do principal, e a segunda parcela, o reajustamento dos juros.
• Assim, reajustando-se valores tanto de principal como de juros, podem-se calcular as novas parcelas de pagamentos. O exemplo dado a seguir ilustrará bem a situação.
F = P.(1+ )+ P.i.(1+ )
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Cláusula de Reajustamento ExemploSuponha-se que um empréstimo de R$ 200.000,00 foi tomado à taxa
de juros de 8% a.a. pelo prazo de 5 anos, devendo ser resgatado ao final deste período. Usar a tabela Price para calcular os 5 pagamentos anuais. Depois, utilizar a variação monetária ano a ano, por meio do reajuste pela estimativa de inflação abaixo:
A primeira parte do exercício já é conhecida. Inicialmente, calcula-se a parcela da série anual uniforme equivalente ao valor presente considerando-se a taxa de juros de 8% ao ano, para n=5 anos. Resolvendo-se as equações, encontra-se a tabela:
Ano Inflação
1 20.00%
2 18.00%
3 17.00%
4 17.00%
5 16.50%
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Cláusula de Reajustamento Exemplo
Tabela Price s/ Reajuste
Parcela Pgto Juros Amort Acum Saldo
0 $0,00 $0,00 $0,00 $0,00 $200.000,00
1 $50.091,29 $16.000,00 $34.091,29 $34.091,29 $165.908,71
2 $50.091,29 $13.272,70 $36.818,59 $70.909,89 $129.090,11
3 $50.091,29 $10.327,21 $39.764,08 $110.673,97 $89.326,03
4 $50.091,29 $7.146,08 $42.945,21 $153.619,18 $46.380,82
5 $50.091,29 $3.710,47 $46.380,82 $200.000,00 $0,00
Total $250.456,45 $50.456,45 $200.000,00
No fim do primeiro ano, o devedor deverá pagar R$ 50.091,29. No entanto, como houve inflação de 20%, os valores deverão ser reajustados. O devedor
pagará a quantia (1+ 1).A = R$ 60.109,55. Esse reajuste incidirá de forma
igual sobre juros e amortização.
A = P i (1+i)n/((1+i)n – 1)
A = 200.000 0,08 (1+0,08)5/((1+0,08)5 – 1)
A = 200.000 . 0,250456 = 50.091,20
ax = A – Jx
Jx = S(x-1).i
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Cláusula de Reajustamento Exemplo
• Dessa forma, a amortização passa a ser a1’= 1,2.a1 = 1,2.(34.091,29) = R$ 40.909,55.
• Os juros também se alteram: j1’= 1,2.j1 = 1,2.16.000 = R$ 19.200,00.
• Total da parcela 1 P1’= 40.909,55 + 19.200,00 = R$ 60.109,55.
• Imediatamente antes do pagamento da primeira parcela da dívida, o valor reajustado do saldo devedor (acrescido de juros) é de:
S1’ = S1.(1+ 1).(1+i) = R$ 200.000 (1,2).(1,08) = R$ 259.200,00.
• Após o pagamento, o saldo devedor será S1’ – P1’ = R$ 199.090,45. Essevalor é exatamente igual ao reajuste do saldo devedor inicial, ou seja, R$ 165.908,71.(1+0,20) = R$ 199.090,55. Verifica-se então, na linha relativaao ano 1, que todos os valores foram devidamente reajustados pelo índice da
inflação deste ano, isto é, foram multiplicados por (1+ 1).
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Cláusula de Reajustamento Exemplo• Como índices inflacionários incidem como juros compostos
sobre saldos devedores, a inflação do período 2 terá seu efeito da
seguinte forma:
S2’ = S1.(1+i).(1+ 1).(1+ 2) = S2.(1+ 1).(1+ 2);
J2’ = S1’.i.(1+ 2) = S1.(1+ 1).i.(1+ 2) = J2.(1+ 1).(1+ 2);
a2’ = S2’ – J2’ = (S2-J2).(1+ 1).(1+ 2) = a2.(1+ 1).(1+ 2);
• Ou seja, a cada período, devem ser tomados o valor de
prestação, a amortização do período e amortização total
acumulada, juros e saldo devedor calculados sem reajuste e
atualizá-los pela inflação composta
(1+ 1).(1+ 2).….(1+ n)
• O quadro completo só poderá ser calculado por etapas, pois só
após saber o índice de inflação relativo ao ano, conseguir-se-á
calcular o reajuste causado
pela inflação. A tabela reajustada está a seguir:
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
Cláusula de Reajustamento Exemplo
• TabelaTabela Price c/ Reajuste
Parcela Pgto Juros Amort Acum Saldo
0 $0,00 $0,00 $0,00 $0,00 $200.000,00
1 $60.109,55 $19.200,00 $40.909,55 $40.909,55 $199.090,45
2 $70.929,27 $18.794,14 $52.135,13 $100.408,40 $182.791,60
3 $82.987,24 $17.109,29 $65.877,95 $183.355,77 $147.988,23
4 $97.095,07 $13.851,70 $83.243,38 $297.769,63 $89.902,85
5 $113.115,76 $8.378,95 $104.736,82 $451.638,44 $0,00
Total $424.236,90 $77.334,08 $346.902,82
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS: CONCEITO
Dr. Luciano D’Agostini
• Quando estudamos análise de investimentos ou análise de
financiamentos temos várias situações que devemos que
levar em conta para uma melhor escolha e alternativas.
• Algumas ferramentas são muito úteis para a Análise de
Investimentos:
• A) Análise do Fluxo de Caixa (FC);
• B) Método do Valor Presente Líquido (VPL);
• C) Método do Custo Anual (CA);
• D) Método da Taxa Interna de retorno (TIR)
• E) Método da Taxa Mínima de Atratividade (TMA)
• F) Método do Pay Back (PBT)
• G) Método do Custo e Benefício
• No geral, precisamos saber a taxa real de juros da operação,
para poder tomar uma decisão.
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO VALOR PRESENTE.
Dr. Luciano D’Agostini
• O Método do Valor Presente (VPL) é uma técnica sofisticada de
análise de orçamentos de capital, obtida subtraindo-se o
investimento inicial de um projeto do valor presente das entradas
de caixa descontada a uma taxa igual ao custo de capital da
empresa.
• VPL = Valor Presente das entradas de caixa – Investimento
Inicial.
• O Método do Valor Presente (VPL) considera explicitamente o
valor do dinheiro no tempo. É considerada uma técnica sofisticada
de análise de orçamentos de capital. O VPL desconta os fluxos de
caixa da empresa a uma taxa especificada. Essa taxa,
frequentemente chamada de taxa de desconto, custo de
oportunidade ou custo de capital, refere-se ao retorno mínimo que
deve ser obtido por um projeto, de forma a manter inalterado o
valor de mercado da empresa.
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO VALOR PRESENTE.
Dr. Luciano D’Agostini
• Utilizando-se o Método do Valor Presente Líquido (VPL),
tanto as entradas como as saídas de caixa são traduzidas para
valores monetários atuais.
• CRITÉRIO DE DECISÃO DO VPL:
• Quando o VPL é usado para tomar decisões do tipo “aceitar-
rejeitar” o investimento, adota-se o seguinte critério:
• Se VPL> 0 aceita-se o projeto;
• Se VPL < 0 rejeita-se o projeto;
• Se o VPL>0 a empresa obterá retorno maior que o custo de
capital, aumenta o valor de mercado da empresa e a riqueza
dos proprietários.
n
0jj
j
i1
CF VPL
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO VALOR PRESENTE.
Dr. Luciano D’Agostini
Vantagens
• Facilidade de cálculo, mas apenas uma vez conhecida
conhecida uma taxa de atualização apropriada.
• Conceitualmente mais perfeito e complexo que o Período de
Recuperação uma vez que considera a totalidade dos fluxos
assim como o custo de oportunidade do capital utilizado.
Desvantagens
• É normalmente problemática a determinação segura da taxa de
atualização mais apropriada.
• O pressuposto da constância no tempo da taxa de atualização
pode não ser realista, pois o custo do capital da empresa varia
no tempo, assim como as taxas para as aplicações alternativas
variam no tempo com as condições dos mercados financeiros.
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO VALOR PRESENTE.
Dr. Luciano D’Agostini
Desvantagens
• É impossível estabelecer um valor normativo diferente de zero
para o VPL abaixo do qual os projetos não deverão ser
aprovados.
• Perante projetos alternativos com montantes iniciais diferentes,
este método não fornece diretamente uma classificação
racional podendo mesmo induzir em erro.
• O método não é conclusivo quando é aplicado a projetos
alternativos com vidas econômicas substancialmente
diferentes.
Slide 83
Aplicação
• Sejam duas alternativas A e B.
– Se VPLA(i) > VPLB(i), A é dominante em relação a B.
– Se VPLA(i) < VPLB(i) B é dominante em relação a A.
– Se VPLA(i) = VPLB(i), as alternativas são equivalentes.
• Seja uma só alternativa de investimento, dada a uma taxa de
desconto (i), utilizada pela empresa ou setor.
– Se VPLC(i) > 0, a alternativa é viável, economicamente
– Se VPLC(i) < 0, a alternativa é inviável, economicamente.
– Se VPLC(i) = 0, é indiferente investir-se ou não nesta alternativa,
mas ela ainda é viável economicamente.
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO VALOR PRESENTE.
Slide 84
• Exemplo: supondo que se invista durante 10 anos em um investimento que rende 10% ao ano. Qual o valor presente líquido a uma taxa de 10% ao ano?
• O investimento não rende nada?
• Não! Rende exatamente o valor que é base para sua comparação (10% ao ano!)
Caso o valor presente aplicado fosse de R$ 10.000,00, o valor futuro após 10 anos com uma taxa de juros de 10% ao ano (lembrando que a capitalização é composta) seria de R$ 25.937,43.O Valor Presente Líquido Descontado desse fluxo de caixa à taxa de 10% é: VPL(10%) = -10.000 + 25.937,43/(1+0,10)10
= -10.000 + 10.000 = 0! (zero)
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO VALOR PRESENTE.
Slide 85
• O valor presente líquido descontado a uma taxa i compara oinvestimento puro de todo o capital a esta taxa i e arentabilidade do fluxo de caixa projetado.
• Assim, o valor presente líquido corresponderá aoexcedente de capital em relação ao que se encontrariainvestindo o dinheiro a i% por período.
• A taxa i é denominada Taxa Mínima de Atratividade, ou Custode Oportunidade, ou ainda Custo de Capital
• No caso de um investimento financiado, i pode ser a taxa doempréstimo
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO VALOR PRESENTE.
Slide 86
Alternativas de Tempo de Vida Distintos
• Quando duas alternativas possuem tempos de vida distintos, deve-sereplicá-las até encontrar um mínimo múltiplo comum entre os tempos
Alternativa A - 3 anos Alternativa B - 4 Anos
Mínimo Múltiplo Comum 12 anos
Projeto A
-15
-10
-5
0
5
10
0 1 2 3
Anos
Val
ore
s (
R$ m
il)
Investimento
Receita
Valor Residual
Projeto B
-20
-15
-10
-5
0
5
10
0 1 2 3 4
Anos
Val
ore
s (
R$ m
il)
Investimento
Receita
Valor Residual
Projetos A e B - Horizonte Comum
-20
-15
-10
-5
0
5
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Anos
Val
ore
s (
R$ m
il)
Investimento A
Receita A
Valor Residual A
Investimento B
Receita B
Valor Residual B
Slide 87
Britador semi-móvel vs Caminhão• Problema: Transporte de minério desde uma mina até um
britador primário, que o destinará a uma usina de beneficiamento
– Britador semi-móvel, instalado na mina a céu aberto, o transporte até o britador primário é feito por meio de correias transportadoras.
– Os caminhões, alternativamente, transportam os matacões de minério até o britador primário.
• Predominância de investimentos e custos, com sinal negativo.
• Valor residual abate os custos
• Invertendo-se os sinais, a alternativa que possuir menor VPL será a de menor custo.
Slide 88
Britador Semi-móvel vs Caminhão• Dados básicos
BSM CaminhãoInvestimento R$ 19,00 R$10,00Custo Oper.& Manut. (anual) R$ 2,00 R$3,00Vida Útil (n) em anos 14 7Valor Residual 20% 10%Taxa de Juros a.a. (i) 10% 10%
Fluxo de Caixa: BSM Caminhão
Ano 0 19 10
Ano 1-6 2 3
Ano 7 2 10-1+3 = 12
Ano 8-13 2 3
Ano 14 2 - 3.8 = -1.8 3 -1 = 2
O fluxo de caixa do caminhão será duplicado, para alcançar um MMC com o BSM
Investimento - VResidual + Custo Operacional
Slide 89
Valor Presente LíquidoValor Presente Líquido a taxas distintas (em milhões de reais)
Taxa de juros Dif. dos VPLs
-(BSM – CAM)
BSM Caminhão
2% 13,06 R$ 40,33 VPL R$ 53,40
4% 10,02 R$ 37,93 VPL R$ 47,95
6% 7,52 R$ 35,91 VPL R$ 43,43
8% 5,45 R$ 34,19 VPL R$ 39,64
10% 3,72 R$ 32,73 VPL R$ 36,46
12% 2,27 R$ 31,48 VPL R$ 33,75
14% 1,05 R$ 30,40 VPL R$ 31,44
16% 0,00 R$ 29,46 VPL R$ 29,46
18% (0,89) R$ 28,64 VPL R$ 27,75
20% (1,66) R$ 27,93 VPL R$ 26,27
22% (2,33) R$ 27,29 VPL R$ 24,97
24% (2,90) R$ 26,74 VPL R$ 23,83
26% (3,41) R$ 26,24 VPL R$ 22,83
28% (3,85) R$ 25,80 VPL R$ 21,94
30% (4,25) R$ 25,40 VPL R$ 21,15
À TMA (10%),a melhor alternativaé o BSM
Acima de 16%, mais vale optar pelo caminhão
Slide 90
Valor Presente Líquido• Gráfico ilustrando a tabela anterior
V A L O R P R E S E N T E L ÍQ U ID O A D IF E R E N T E S T A X A S D E
J U R O S
(1 0 ,0 0)
0 ,0 0
1 0 ,0 0
2 0 ,0 0
3 0 ,0 0
4 0 ,0 0
5 0 ,0 0
6 0 ,0 0
2%
4%
6%
8%
10
%
12
%
14
%
16
%
18
%
20
%
22
%
24
%
26
%
28
%
30
%
T axa d e Ju ros (aa)
VP
L
D i fer en ça do s V P L s B S M C am in h ão
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
RELAÇÃO CUSTO E BENEFÍCIO
Dr. Luciano D’Agostini
• Por definição, a Relação Benefício/Custo (ou relação B/C)
consiste na razão entre o valor dos benefícios resultantes de
um empreendimento e o valor dos respectivos custos.
• É um índice ou indicador adimensional, cujo valor é
interpretado da seguinte forma:
• B/C < 1 : inviável (benefícios menores que os custos);
• B/C = 1 : indiferente (benefícios iguais aos custos);
• B/C > 1 : viável (benefícios maiores que os custos).
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
RELAÇÃO CUSTO E BENEFÍCIO
Dr. Luciano D’Agostini
• O valor dos benefícios (B) a ser considerado deve ser o valor
equivalente de todos os benefícios que figuram no fluxo de
caixa, referido a uma certa data (data ou período de
referência), em geral a data 0 (zero), ao qual deve ser
também referido o valor dos custos (C), que deve ser, por
sua vez, equivalente à diversas parcelas de custos que
figuram no fluxo de caixa.
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
RELAÇÃO CUSTO E BENEFÍCIO
Dr. Luciano D’Agostini
• Exemplo:
• Considere um investimento feito no ano 0 de R$ 3000,00
aplicado a uma taxa de 12% a.a. Temos custo de manutenção
de R$ 100. O tempo de resgate será de 5 anos e existe um
saque/retirada de R$ 1000,00 por ano.
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
RELAÇÃO CUSTO E BENEFÍCIO
Dr. Luciano D’Agostini
• Exemplo:
n
1jj
j
BENEFICIOSi1
CF PV
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1BENEFICIOS
i1
CF
i1
CF
i1
CF
i1
CF
i1
CF PV
5
1jj
j
BENEFICIOSi1
CF PV
54321BENEFICIOS0,121
1000
0,121
1000
0,121
1000
0,121
1000
0,121
1000 PV
3604,80 PVBENEFICIOS
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
RELAÇÃO CUSTO E BENEFÍCIO
Dr. Luciano D’Agostini
• Exemplo:
n
jj
j
CUSTOSi1
CF PV
0
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0CUSTOS
i1
CF
i1
CF
i1
CF
i1
CF
i1
CF
i1
CF PV
5
0jj
j
CUSTOSi1
CF PV
543210CUSTOS0,121
100
0,121
100
0,121
100
0,121
100
0,121
100
0,121
3000 PV
3360,50 PVCUSTOS
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
RELAÇÃO CUSTO E BENEFÍCIO
Dr. Luciano D’Agostini
• Exemplo:
3360,80
3604,80
PV
PV
CUSTOS
BENEFICIOS
7,26%1,0726 PV
PV
CUSTOS
BENEFICIOS
• O Investimento é viável, dado que benefícios são maiores que
custos.
• Também temos que 3604,80 – 3360,80 = R$ 244,30
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR).
Dr. Luciano D’Agostini
• A Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa de juros em que o valor
presente de um fluxo de caixa futuro analisado se iguala ao valor
presente do investimento.
• A Taxa Interna de Retorno (TIR) permite descobrir e comparar o
rendimento de uma aplicação com uma outra taxa para se saber
se é ou não vantajoso.
• A Taxa Interna de Retorno (TIR) é uma medida da relação entre o
montante obtido de investimento e a quantia investida;
• O processo da Taxa Interna de Retorno (TIR) consiste em
determinar a taxa de juros para a qual o Valor Atual seja zerado
ou para a qual a Relação Benefício/Custos se torna unitária, B0/C0
= 1, ou ainda a diferença entre Benefício e Custo, em termos
monetários, no período inicial é igual a zero (B0 - C0 = 0).
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR).
Dr. Luciano D’Agostini
• Detalhe: Como o cálculo dos valores atuais de benefícios e de
custos, em função da taxa de juros i, envolve polinômios em i de
ordem n, há em tese n raízes, ou seja, n valores de taxa de juros i
que satisfazem a condição B0 - C0 = 0 ou B0/C0 = 1.
• Na prática, toma-se a primeira raiz positiva, ou seja, a mais
próxima de zero, como valor representativo da Taxa Interna de
Retorno (TIR), sendo o resultado interpretado comparativamente
com o Custo de Oportunidade do Capital.
• Para encontrar o valor da Taxa Interna de Retorno, deve-se
calcular a taxa que satisfaz a seguinte equação:N
0jj
j
TIR1
CF VPL oI0
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR).
Dr. Luciano D’Agostini
• Na prática, toma-se a primeira raiz positiva, ou seja, a mais
próxima de zero, como valor representativo da Taxa Interna de
Retorno (TIR), sendo o resultado interpretado comparativamente
com o Custo de Oportunidade do Capital.
• Se:
• TIR < COC : inviável (o investimento alternativo tem melhor
rentabilidade);
• TIR = COC : indiferente (o investimento alternativo tem a mesma
rentabilidade);
• TIR > COC : viável (o empreendimento tem rentabilidade superior
em relação ao investimento alternativo)
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR).
Dr. Luciano D’Agostini
• Exemplo:
• Abaixo o seguinte Fluxo de Caixa de um projeto de Investimento
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10.870.000,00
8.870.200,007.783.200,00
N
0jj
j
TIR1
CF VPL oI0
10.870.000,00=7.783.200,00*(P/A;i;9)+8.870.000,00*(P/F;i;10)
i=TIR=71,31%a.a.
Slide 101
Taxa de Retorno: Metodologia de Cálculo
1.Calcular VPL(i) com uma taxa de desconto inicial i0 tentativa
( ver a seguir );
2.Se VPL (i0) > 0, então :
recalcular VPL(i1), com i1> i0.
3.Se VPL ( i1 ) < 0, então :
recalcular VPL(i2), com i2< i1.
4.Fazer iterações sucessivas até chegar a VPL (i3) = 0,
Neste ponto, i3 será a TIR, Taxa Interna de Retorno.
5.Aproximações podem ser obtidas por meio de regra de três
ou interpolação gráfica, para estimar a TIR.
Slide 102
Valor Inicial Tentativo
1.Tomar o Valor da Simples Soma Algébrica, até o fim do último ano, de
todos os Fluxos de Caixa Pontuais, resultando no Fluxo de Caixa
Cumulativo. Não será usada nenhuma taxa de juros, isto é, (i=0) para
capitalização dos fluxos.
2.Dividir o Valor obtido em 1 pelo Investimento
3.Tomar o valor em porcentagem (%)
4.Dividir o valor obtido em 3 pelo número de anos (n)
5.Valor obtido em 4 é uma “Taxa de Retorno”, considerando-se juros
simples, em % ao ano.
Slide 103
Valor Inicial Tentativo
• Exemplo
Ano j 0 1 2 3 4 Somatório
FCj -50 30 30 30 30 70
70 / 50 = 140%
140%/4 = 35% ao ano = Valor Inicial Tentativo para cálculo da Taxa de Retorno
Slide 104
1.Calcular VPL (i ) com uma taxa de desconto inicial i, tentativa
VPL ( i = 35% )
Cálculo por Interpolação
• Tomando o exemplo e seguindo os 5 passos:
Ano j 0 1 2 3 4 Somatório
FCj -50 30 30 30 30 70
i= 35%
VPL(i) 9.91
Slide 105
2. Se VPL ( i ) > 0, então :
recalcular VPL ( i = 50% ), com i > i
Cálculo por Interpolação (cont.)
Ano j 0 1 2 3 4 Somatório
FCj -50 30 30 30 30 70
VPj (i) -50 20 13.3333 8.8889 5.92593 -1.851852
i= 50%
VPL(i) -1.852
Slide 106
3. Se VPL ( i = 50% ) < 0, então :
recalcular VPL ( i ), com i < i
Cálculo por Interpolação (cont.)
4. Fazer iterações sucessivas até chegar a VPL ( i ) = 0,
aí, i será a TR, Taxa de Retorno.
5. Aproximações podem ser obtidas por meio de regra de três
ou interpolação gráfica, para estimar a TR ( a seguir ).
Slide 107
35% 9.91
50% -1.852
A partir de 35%
15% 11.762
x 9.91
x 12.64%
i = 35% + x 47.64%
x = 11.762 . (15%)/ 9.91
= 12.64%
9.91 - (-1.852) = 11.762
Cálculo por Interpolação (cont.)
Valor Exato = 47.23%
Slide 108
Cálculo por Interpolação (cont.)
Ano j 0 1 2 3 4
FCj -50 30 30 30 30
i= 0% 15% 30% 45% 60%
VPL (i) $70.00 $35.65 $14.99 $1.59 -$7.63
-$20.00
-$10.00
$0.00
$10.00
$20.00
$30.00
$40.00
$50.00
$60.00
$70.00
$80.00
0% 15% 30% 45% 60%
Taxa de juros (i a.a.)
VP
L (
i)
Múltiplas Taxas de Retorno
• A equação da TIR permite n raízes, ou seja, pode-se obter múltiplas taxas de retorno
• Basta, para isso, haver mais de uma inversão de sinal dos fluxos de caixa.
Ano Fluxo de Caixa
0 -16001 100002 -10000
Múltiplas TIR
(2,000.00)
(1,500.00)
(1,000.00)
(500.00)
-
500.00
1,000.00
1,500.00
0.0% 75.0% 150.0% 225.0% 300.0% 375.0% 450.0%
Taxa de Desconto a.a (i)
VP
L (
i)
VPL(i)
IA = 25%
IB = 400%
Taxas Internas de
Retorno
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE (TMA).
Dr. Luciano D’Agostini
• A Taxa Mínima de Atratividade (TMA) é a taxa mínima
necessária a partir do qual o investidor considera que está
obtendo ganhos financeiros.
• A Taxa Mínima de Atratividade (TMA) é uma taxa a qual se
associa a um baixo risco que deve render, no mínimo, a taxa de
juros básicas de mercado, equivalente a rentabilidade das
aplicações de renda fixa no momento.
• O investimento deverá apenas ser considerado quando a taxa
de retorno for maior que a TMA .
• A Taxa Mínima de Atratividade (TMA) auxilia a análise de um
projeto de investimento, considerando a possibilidade de perda
da oportunidade de auferir retornos pela aplicação do mesmo
capital em outros projetos.
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE (TMA).
Dr. Luciano D’Agostini
• Um parâmetro para estabelecer uma estimativa da Taxa
Mínima de Atratividade (TMA) é a taxa de juros praticada
no mercado.
• Algumas taxas de juros para comparação da Taxa Mínima
de Atratividade (TMA) são: Taxa de Rentabilidade da
Caderneta de Poupança, a Taxa Básica Financeira (TBF);
Taxa Referencial (TR); Taxa de Juros de longo prazo (TJLP)
e Taxa do Sistema Especial de Liquidação e Custódia
(SELIC).
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE (TMA).
Dr. Luciano D’Agostini
• Exemplo: Considerando os seguintes investimentos
independentes, com graus de risco semelhantes, disputando
um orçamento de R$ 5.600.000,00.
PROJETO TIR Io R$A 15% 400.000,00B 18% 1.000.000,00C 14% 800.000,00D 20% 2.500.000,00E 17% 600.000,00F 15% 500.000,00G 13% 200.000,00H 21% 700.000,00I 16% 900.000,00
7 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE (TMA).
Dr. Luciano D’Agostini
• Exemplo: A TMA é obtida reordenado os investimentos a partirda TIR em ordem decrescente e somamos os investimentos até ovalor mais próximo do orçamento.
» A TIR é de 16%
PROJETO TIR Io R$ Somatório de IoH 21% 700.000,00 700.000,00D 20% 2.500.000,00 3.200.000,00B 18% 1.000.000,00 4.200.000,00E 17% 600.000,00 4.800.000,00I 16% 900.000,00 5.700.000,00A 15% 400.000,00 6.100.000,00F 15% 500.000,00 6.600.000,00C 14% 800.000,00 7.400.000,00G 13% 200.000,00 7.800.000,00
Slide 114
Fluxo de Caixa Diferencial
• Considere dois projetos com tempos de vida iguais
• Certas condições tornam estes investimentos redutíveis ao visto na seção 4.4.2 (uma alternativa)
– Um dos projetos possui TIR <TMA, sendo eliminado
– Os dois projetos possuem investimentos iniciais iguais no início ou durante o tempo de vida dos projetos
• Neste caso não há inversão de sinal para o Fluxo de Caixa Diferencial
• O investimento que possuir maior TIR será escolhido
Slide 115
Fluxo de Caixa Diferencial
• No caso em que os investimentos IA e IB nos projetos A e B forem distintos, é preciso introduzir o conceito do Fluxo de Caixa Diferencial, caso se deseje trabalhar com a TIR
• As alternativas serão ordenadas de acordo com o investimento inicial, do menor para o maior
• O fluxo diferencial é dado por:
FCDB-A = FCBj – FCAj; para (j=0,1,2,3,...,n)
Slide 116
Fluxo de Caixa Diferencial Exemplo
• Suponha dois projetos mutuamente exclusivos A e B, detalhados abaixo:
• Considerando-se uma taxa mínima de atratividade de 15% ao ano, as duas alternativas são viáveis
• Apenas pela TIR, decidiríamos pela alternativa A
• Entretanto, verifique que a Taxa Interna de Retorno do Fluxo de Caixa Diferencial (FCDB-A)é maior que a taxa mínima de atratividade
Alternativa ouProjeto
j 0 1 2 3 4 TotalTIR
(% a.a.)
A FCj -40 15 20 15 15 25 23.04%
B FCj -60 30 22 20 20 32 21.42%
B-A FCDB-A -20 15 2 5 5 7 17.24%
Slide 117
Fluxo de Caixa Diferencial Exemplo
• Ocorre que o investimento adicional de 20 unidades no projeto B rende mais que a taxa mínima de atratividade
• Uma forma de verificar este resultado é o cálculo da rentabilidade ponderada para as duas alternativas:
• Cálculo da Rentabilidade Ponderada para A:
• Cálculo da Rentabilidade Ponderada para B:
• Como TIRPB > TIRPA, B é escolhida
TIRPA = (IA.TIRA + I.TMA)/(IA+ I)TIRPA = (40 x 23%a.a. + 20 x 15%a.a.)/(60) = 20,3% a.a.
TIRPB = (IB.TIRB + I.TMA)/(IB+ I)TIRPB = (60 x 21,42%a.a. + 0 x 15%a.a.)/(60) = 21,42% a.a.
Slide 118
Fluxo de Caixa Diferencial Exemplo• O método do VPL obteria o mesmo resultado
• No caso em que IB>IA e TIRB>TIRA não é necessário calcular a rentabilidade ponderada
Comparação A x B
(R$ 10.00)
(R$ 5.00)
R$ 0.00
R$ 5.00
R$ 10.00
R$ 15.00
R$ 20.00
R$ 25.00
R$ 30.00
R$ 35.00
0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% 20% 22% 24%
Taxa de Retorno
Valo
r (M
ilhões)
B A B-A
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
INVESTIMENTOS EXCLUDENTES E INDEPENDENTES
Dr. Luciano D’Agostini
• Os investimentos excludentes são aqueles temos apenas uma
alternativa. Por exemplo, pode-se ter uma empresa que depara
com 10 marcas de mesas que atende seu projeto básico, mas
que apenas uma é necessária ao processo.
• Os investimentos Independente podem ocorrer
simultaneamente. Como exemplo, o investimento em uma
impressora para melhorar o setor de informática , pode ocorrertambém a compra de uma mesa para o setor administrativo.
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
INVESTIMENTOS EXCLUDENTES E INDEPENDENTES
Dr. Luciano D’Agostini
• Exemplo de investimentos excludentes:
• Dado que a TMA = 12% a.a, vamos calcular o valor presente
• Conclusão: O investimento mais rentável é o IV
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
INVESTIMENTOS EXCLUDENTES E INDEPENDENTES
Dr. Luciano D’Agostini
• Exemplo de investimentos excludentes:
• Agora calculando pela TIR
• Conclusão: A TIR do investimento I é menor que a TMA e pode serdesprezado. Os demais investimentos II, III, IV, V e VI tem TIR igualou maior que a TMA e não podem ser desprezados.
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
INVESTIMENTOS EXCLUDENTES E INDEPENDENTES
Dr. Luciano D’Agostini
• Exemplo de investimentos excludentes:
• Agora pela comparação entre investimentos
• Opção IV.
Slide 123
• Prazo de repagamento do empréstimo
• Referência para julgamento de atratividade
• Investimentos de indústrias de maior “peso” geralmente possuem payback maior
• Representa o tempo no qual o projeto retorna o valor investido, ou seja, o período no qual o fluxo de caixa acumulado zera
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO PAYBACK
Slide 124
Exemplo
• Aproximando a taxa de retorno por ELG/(I.n)
– Inv. A: (5.10)-20 = 30/(20.10) = 15% ao ano
– Inv. B: (6.4)-18 = 6/(18.4) = 8,33% ao ano
Fluxo de Caixa - Investimento "A"
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Período
Val
or(R$
Milhões)
Fluxo de Caixa - Investimento "B"
-20
-15
-10
-5
0
5
10
0 1 2 3 4
Período
Valo
r (R
$ M
ilhões)
Investimento A: 20 / 5 = 4 anos, i = 25% aa
Investimento B: 18 / 6 = 3 anos, i = 33% aaApesar do indicativo
do Payback, o
investimento A
possui maior
rentabilidade
7 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO PAYBACK - EXEMPLO
Slide 125
• Se o fluxo de caixa é regular, o inverso do payback nos dá
uma idéia da taxa de retorno do investimento
– Payback = 4 anos; Rp = 1/4 = 25% ao ano
• Algumas outras aproximações podem ser feitas:
– Taxa de Retorno Contábil sobre o investimento total
• TRC = Lucro Líquido Anual / Investimento
• LLA = 150.000; Investimento = 1.000.000
• TRC = 15 % ao ano
7 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO PAYBACK E TAXA DE RETORNO
Slide 126
• Suponha o seguinte fluxo de caixa para um investimento:
• Calcula-se o fluxo de caixa cumulativo, somando o fluxo pontual com o acumulado até o instante anterior
Fluxo de caixa irregular
-20
5 4
8 8
5 5 5
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
0 1 2 3 4 5 6 7
Período
Valo
r (R
$ M
ilhõe
s)
Ano 0 1 2 3 4 5 6 7
Fluxo de CaixaPontual
-20 5 4 8 8 5 5 5
Fluxo de CaixaCumulativo
-20 -15 -11 -3 5 10 15 20
Entre os anos 3 e 4, o fluxo acumulado mudou de sinal
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO PAYBACK PARA FLUXOS IRREGULARES
Slide 127
• Análise Gráfica
• “Regra de três”
– Fluxo cumulativo aumentou $8M em um ano (de 3 para 4)
– Logo aumentou $3M em x ano (de 3 para 3 +x), assim
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
3 4
Pe ríodo
Va
lor F
C C
um
ula
tivo
A B
C
D E
x
Por semelhança de triângulos retângulos:
BC/AB = EC/DE = [+5-(-3)] / [(4-3)] =
[+5 –(0)] / [4-(3+x)] = 8/1 = 5/[1-x]
8 – 8x = 5 8x = 3 x=0,375 ano.
Assim, o payback é de 3+x = 3,375 anos,
ou 3 anos e 4 meses e meio.
8 1 assim como 3 x
x = 3/8 = 0,375 ano e
Payback = 3 anos + x ano = 3 anos + 0,375 ano = 3,375 anos.
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO PAYBACK PARA FLUXOS IRREGULARES
Slide 128
• Alguns analistas mencionam o payback no fluxo de caixa descontado
• A expressão do payback period poder ser generalizada,englobando o payback descontado, como nesta fórmula:
onde
FCC (t) é o valor atual do capital, ou seja, o fluxo de caixa
descontado (para o valor presente) cumulativo até o instante t;
I é o investimento inicial (em módulo), ou seja, -I é o valor algébrico
do investimento, localizado no instante 0 (início do primeiro período);
Rj é a receita proveniente do ano j;
Cj é o custo proveniente do ano j; e
i é a taxa de juros empregada.
j é um índice genérico que representa os períodos j=1 a t.
t
FCC(t) = -I + j=1(Rj-Cj)/(1+i)j; 1 t n,
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS:
MÉTODO PAYBACK DESCONTADO
Slide 129
Payback descontadoExemplo
• Calcule o payback descontado da série anterior, utilizando uma taxa de desconto de 10% ao ano.
Cada fluxo de caixa deverá ser descontado, ou seja, dividido por (1+0,1)j, onde j é o ano de ocorrência deste fluxo. Uma vez fazendo este desconto para toda a tabela, os valores do fluxo devem ser somados
Payback com desconto de 10% = 4,22 anos (encontrado pela regra de três)Payback simples ou sem desconto = 3,375 anos. Quanto maior for a taxa de desconto, maior será a diferença entre payback simples e payback descontado.
Ano (t) 0 1 2 3 4 5 6 7
Fluxo de CaixaPontual
-20 5 4 8 8 5 5 5
Fluxo de CaixaCumulativo
-20 -15 -11 -3 5 10 15 20
Valor PresenteDescontado
(Rj-Cj)/(1+i)j
-20,00 4,55 3,31 6,01 5,46 3,10 2,82 2,57
Fluxo de CaixaCum. Desc. (10%)
-20 -15,45 -12,15 -6,14 -0,67 2,43 5,25 7,82
Ano (t) 0 1 2 3 4 5 6 7
Fluxo de CaixaPontual
-20 5 4 8 8 5 5 5
Fluxo de CaixaCumulativo
-20 -15 -11 -3 5 10 15 20
Valor PresenteDescontado
(Rj-Cj)/(1+i)j
-20,00 4,55 3,31 6,01 5,46 3,10 2,82 2,57
Fluxo de CaixaCum. Desc. (10%)
-20 -15,45 -12,15 -6,14 -0,67 2,43 5,25 7,82
Ano (t) 0 1 2 3 4 5 6 7
Fluxo de CaixaPontual
-20 5 4 8 8 5 5 5
Fluxo de CaixaCumulativo
-20 -15 -11 -3 5 10 15 20
Valor PresenteDescontado
(Rj-Cj)/(1+i)j
-20,00 4,55 3,31 6,01 5,46 3,10 2,82 2,57
Fluxo de CaixaCum. Desc. (10%)
-20 -15,45 -12,15 -6,14 -0,67 2,43 5,25 7,82
Slide 130
Custo Anual Equivalente
• Consiste na transformação do fluxo de caixa em uma série anualuniforme.
• Muito utilizado em substituição de equipamentos
• Mais utilizado para avaliar custos do que rentabilidade de projetos
• Aceitando-se que as opções de investimentos podem ser repetidasindefinidamente, não é necessário preocupar-se com umhorizonte comum de tempo
• Pode ser calculado no Fluxo de Caixa diferencial, necessitando, noentanto, de um horizonte comum de planejamento
Slide 131
Custo Anual Equivalente ExemploSuponha que a manutenção de um setor de uma fábrica possua o custo distribuído da seguinte forma:•Instante 0 (Início do Ano 1): Custos de Contratação de Pessoal de Manutenção,Equipamentos de Manutenção, etc.: R$ 1 Milhão•Final dos Anos 1-10: Salários, outros custos: R$ 100 mil.
Calcule o custo anual equivalente desta opção, sabendo que se deve manter esta equipe de manutenção por 10 anos, e que a taxa de juros corrente é de 15% ao ano.
O primeiro passo para cálculo do CAE é encontrar o valor presente da série. Para tal,
é só construir o fluxo de caixa:
Ano 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fluxo deCaixa (R$
Mil)-1000 -100 -100 -100 -100 -100 -100 -100 -100 -100 -100
Slide 132
Custo Anual Equivalente Exemplo
• O problema pode ser dividido em dois:
– Investimento, com valor presente de R$ 1 milhão; e
– Série Uniforme de 10 anos
• O valor presente da série, calculado por meio da fórmula (12) é - R$ 501.876,86.
• Somando-se as parcelas,
– VPL(15%) = - R$ 1.501.876,76
• Utilizando a fórmula (15) encontra-se para o CAE o valor de - R$ 299.252,06.
Slide 133
Custo Anual Equivalente Exemplo
• Solução Alternativa: calcular a série uniforme equivalente ao investimento de – R$ 1 milhão.
• Utilizando a fórmula (15), encontra-se o valor da anuidade de - R$ 199.252,06.
• Somando-se este valor à série uniforme de custos, tem-se:
• CAE = - R$ 100 mil + (- R$ 199.252,06) = - R$ 299.252,06.
Slide 134
Discussão sobre os Métodos de Avaliação
• TIR
– Medida relativa, diretamente comparável a investimentos
– Raízes múltiplas, Taxa ponderada
• VPL
– Bom valor absoluto
– Depende da estimativa do custo de capital
– Não é comparável a outros investimentos (diverso da TIR)
– Horizonte comum
• CAE
– Equivalente ao VPL
– Pressupõe repetibilidade dos investimentos
Slide 135
Múltiplas Alternativas• Diversidade de Projetos de Investimento
• Escassez de capital
• Alternativas podem ser mutuamente exclusivas:
– Financeiramente: Não há capital para abarcar as duas oportunidades
– Tecnicamente: Funcionalidade que se deseja atender é satisfeita com apenas uma das oportunidades
• Alternativas independentes - Tecnicamente possível realizar as duas, e uma não altera o fluxo de caixa da outra
• Alternativas dependentes
– Pré-requisito: A aceitação de um projeto está condicionada a aceitação do outro
– Incompatibilidade: São mutuamente exclusivas e a aceitação de uma veda a realização da outra
Slide 136
Utilizando o CAE para seleção de alternativas
• Seleção de um equipamento de transporte
• Dados preliminares
• Considera-se TMA = 15 % ao ano
• Para todas as alternativas, o fluxo de caixa deve ser montado e o CAE calculado
• Para a transportadora o CAE vem como dado direto
Alternativa Unidade Carreta Truck* Transportadora
Investimento R$ mil 100 30 0
Custos Operacionais R$ mil 10 6 35
Custos de Manutenção R$ mil 5 3 0
Valor Residual Líquido % 20% 10% 0
Tempo de Serviço Esperado(n) Anos 8 4 >8
* Serão necessários dois veículos deste tipo
Slide 137
• Carreta (Vida de 8 anos)
• Itens do fluxo de caixa:
– Investimento (momento presente)
– Valor Residual
– Série Uniforme de Manutenção
Utilizando o CAE para seleção de alternativas
Fluxo de Caixa - Carreta
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Período
Valo
r (R
$ M
il)
Investimento C.Op.+C.Manut. Valor Residual
• Valores presentes dos itens do fluxo de caixa
– Investimento: - R$ 100 mil
– Valor Residual: R$ 6,54 mil
– Série Uniforme: - R$ 67,31 mil
• VPLCARRETA = - 160,77 mil
• Utilizando a fórmula (15), para o horizonte de 8 anos, encontra-se:
– CAE = - R$ 35,828 mil
Slide 138
• Truck (Vida de 4 anos, estendida para 8)
• Itens do fluxo de caixa:
– Investimento (instante 0)
– Valor Residual
– Série Uniforme de Manutenção
• Valores presentes, conside-rando dois trucks para 4 anos:
– Investimento: - R$ 60 mil
– Série: - R$ 51,39 mil
– VResidual: R$ 3,43 mil
– VPLTRUCK: -R$ 107.96 mil
– Como no exemplo anterior CAE = -R$ 37,81 mil
• Alternativamente, consideran-do a série para 8 anos:
– Investimento: - R$ 94,31 mil
– Série: -R$ 80,77 mil
– Vresidual: R$ 5,39 mil
• Como resultado final, CAE = - R$ 37,81 mil
Utilizando o CAE para seleção de alternativas
Fluxo de Caixa - Truck
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Período
Valo
r (R
$ M
il)
Investimento C.Op+C.Manut Valor Residual
Slide 139
Sumário de Decisão
• VPL e CAE são ordenáveis e coerentes
• Análise de Sensibilidade à taxa de desconto
Opção VPL (R$ Mil) CAE (R$ Mil)
CAE(Carreta) $ -160,77 - $35,828
CAE(Truck) $ -169,69 - $37,814
CAE(Transportadora) $ -157,06 - $35,000
Análise de Sensibilidade a i
$20.00
$25.00
$30.00
$35.00
$40.00
$45.00
$50.00
0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% 20% 22% 24%
Taxas de Desconto
Valo
r (R
$ M
il)
Carreta Truck Transportadora
A
B
C
A. Entre truck ou carreta, parataxas de desconto menores que21% aa (ponto A), a melhoropção é a carreta.B. A carreta apresenta menorCAE até 14% ao ano (ponto B).Quando esta taxa é excedida, atransportadora é dominante.C. Considerando apenas truck etransportadora, o truck dominaaté 10% ao ano (ponto C)
Slide 140
Sumário de Decisão
• Decisão por cenários
ALTERNATIVA i Decisão
Só Equipamento Próprio <21%
21%
Carreta
Truck
Todas as hipóteses < 14%
14%
Carreta
Transportadora
Truck ou Transportadora < 10%
10%
Truck
Transportadora
Recommended