Prof. Juliano J. Scremin
Teoria das Estruturas II - Aula 08
Análise Matricial de Treliças via Método da Rigidez
• Fundamentos da Análise Matricial;
• Matriz de Rigidez Elementar de Barra de Treliça;
• Matrizes de Transformação de Deslocamentos e Forças;
• Matriz de Rigidez Elementar em Coordenadas Globais;
• Montagem das Matrizes e Vetores Globais e
Determinação dos Deslocamentos e Esforços;
1
Aula 08 - Seção 1:
Fundamentos da Análise Matricial
2
Análise Matricial - Introdução
3
• A análise matricial pode ser feita empregando os dois métodos já
vistos para cálculo de estruturas hiperestáticas, a saber:
Método das Forças
- A definição do sistema principal depende da
escolha dos hiperestáticos o que pode
incorrer em sistemas lineares inadequados;
- Exige abordagens diferentes para estruturas
isostáticas e hiperestáticas;
- Deslocamentos não são obtidos diretamente;
Método dos Deslocamentos
- Sistema principal único definido em função
das propriedades geométricas e do material
da estrutura;
- Permite analisar estruturas isostáticas e
hiperestáticas indistintamente;
- Deslocamentos são obtidos diretamente
assim como as forças;
Análise Matricial + Método dos Deslocamentos
4
• A aplicação da análise matricial associada ao método dos
deslocamentos (método da rigidez) requer :
1. Subdivisão da estrutura em elementos discretos (barras,
vigas, pilares) ;
2. Identificação dos pontos extremos destes elementos com
“nós”;
3. Definição de sistemas locais de coordenadas para cada
elemento estrutural discretizado;
4. Definição de um sistema de coordenadas global para toda
a estrutural e respectivas correlações com os sistemas locais
de cada elemento.
Identificação de Elementos e Nós
5
• O primeiro passo para aplicação matricial do método da rigidez é
identificar os elementos estruturais e seus respectivos nós.
o Elementos Estruturais → numeração dentro de quadros
o Nós → numeração dentro de círculos
Sistema Local e Sistema Global de Coordenadas
• Dado que cargas e deslocamentos são quantidades vetoriais é
necessário estabelecer sistemas de coordenadas para
representação destes.
o Coordenadas Locais → x’ e y’
o Coordenadas Globais → x e y
Indeterminação Cinemática (1)
• Os graus de liberdade não restringidos são as variáveis primárias do
método dos deslocamentos (rigidez).
• Em uma treliça cada nó possui 2 graus de liberdade (translações na vertical
e horizontal) sendo estes numerados conforme indicação na figura.
• Na treliça esboçada os seguintes
graus de liberdade podem ser
identificados:
Graus de liberdade não restringidos:
1 ao 5
Graus de liberdade restringidos:
6 ao 8
Indeterminação Cinemática (2)
• Por padrão os graus de liberdade não restringidos são identificados com
os primeiros números (números menores) e os graus de liberdade
restringidos com os últimos números (maiores números).
• A razão para isso será elucidada mais adiante porém tem relação com a
possibilidade de particionar a matriz de rigidez da estrutura identificando
de forma mais direta onde se encontram os graus de liberdade
restringidos, os quais
se destinam ao cálculo das
reações de apoio.
Graus de liberdade não restringidos:
1 ao 5
Graus de liberdade restringidos:
6 ao 8
Aula 08 - Seção 2:
Matriz de Rigidez Elementar de uma
Barra de Treliça
9
Matriz de Rigidez Elementar(1)
• Um elemento de treliça pode sofrer deslocamentos relativos
somente ao longo de seu eixo longitudinal ( eixo x’).
• Por tanto somente são possíveis dois deslocamentos
independentes, a saber, os deslocamentos nos extremos do
elemento.10
Matriz de Rigidez Elementar (2)
• Quando um deslocamento positivo 𝑑𝑁 é imposto na extremidade 𝑁do elemento de treliça, são desenvolvidas forças em cada
extremidade.
• Note-se que 𝒒′𝑭 é negativo por agir como reação e em sentido contrário ao sentido positivo do eixo local x’.
11
𝑞′𝑁 =𝐴𝐸
𝐿𝑑𝑁
𝑞′𝐹 = −𝐴𝐸
𝐿𝑑𝑁
Matriz de Rigidez Elementar (3)
• De igual maneira, quando um deslocamento positivo 𝑑𝐹 é imposto
na extremidade 𝐹 do elemento de treliça, também são
desenvolvidas forças nas extremidades.
• Note-se porém, que estas possuem sinais contrários as
anteriores.
12
𝑞"𝑁 = −𝐴𝐸
𝐿𝑑𝐹
𝑞"𝐹 =𝐴𝐸
𝐿𝑑𝐹
Matriz de Rigidez Elementar (4)
• Por superposição de efeitos tem-se:
13
𝑞𝐹 = 𝑞′𝐹 + 𝑞"𝐹 = −𝐴𝐸
𝐿𝑑𝑁 +
𝐴𝐸
𝐿𝑑𝐹
𝑞𝑁 = 𝑞′𝑁 + 𝑞"𝑁 =𝐴𝐸
𝐿𝑑𝑁 −
𝐴𝐸
𝐿𝑑𝐹
Matriz de Rigidez Elementar (5)
• Dispondo matricialmente:
14
𝑞𝐹 = −𝐴𝐸
𝐿𝑑𝑁 +
𝐴𝐸
𝐿𝑑𝐹
𝑞𝑁 =𝐴𝐸
𝐿𝑑𝑁 −
𝐴𝐸
𝐿𝑑𝐹 𝑞𝑁
𝑞𝐹=
𝐴𝐸
𝐿−𝐴𝐸
𝐿
−𝐴𝐸
𝐿
𝐴𝐸
𝐿
𝑑𝑁𝑑𝐹
𝑞𝑁𝑞𝐹
=𝐴𝐸
𝐿1 −1−1 1
𝑑𝑁𝑑𝐹
𝒒 = 𝒌 ′ 𝒅
Aula 08 - Seção 3:
Matrizes de Transformação de
Deslocamentos e Forças
15
Matriz de Transformação (1)
• Uma treliça é composta de
muitos elementos (barras de
treliça).
• Assim sendo, agora será
definido um método para
transformar o vetor de forças
{𝒒} e o vetor de
deslocamentos {𝒅}, definidos conforme o sistema
local de coordenadas (𝑥′, 𝑦′), em suas respectivas
coordenadas no sistema
global (𝑥, 𝑦)
16
Matriz de Transformação (2)
• Os menores ângulos entre o
sentidos positivos do sistema de
eixos (𝑥, 𝑦) e o eixo positivo 𝑥′ do
sistema local (𝑥′, 𝑦′) serão
denominados 𝜃𝑥 e 𝜃𝑦 .
• Os cossenos destes ângulos serão:
𝝀𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒙
𝝀𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒚
17
𝜆𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 =𝑥𝐹 − 𝑥𝑁
𝐿=
𝑥𝐹 − 𝑥𝑁
𝑥𝐹 − 𝑥𝑁 2 + 𝑦𝐹 − 𝑦𝑁 2
𝜆𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 =𝑦𝐹 − 𝑦𝑁
𝐿=
𝑦𝐹 − 𝑦𝑁
𝑥𝐹 − 𝑥𝑁 2 + 𝑦𝐹 − 𝑦𝑁 2
Matriz de Transformação de Deslocamentos (1)
• Em coordenadas globais cada
elemento estrutural possui 2
graus e liberdade ou seja:
nó N → 𝑫𝑵𝒙 e 𝑫𝑵𝒚
nó F → 𝑫𝑭𝒙 e 𝑫𝑭𝒚
• Considerando cada um destes
deslocamentos globais
separadamente tem-se que:
18
𝑑𝑁 = 𝐷𝑁𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 + 𝐷𝑁𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦
𝑑𝐹 = 𝐷𝐹𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 + 𝐷𝐹𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦
Matriz de Transformação de Deslocamentos (2)
• Ressaltando:
Coordenadas Globais:nó N → 𝑫𝑵𝒙 e 𝑫𝑵𝒚
nó F → 𝑫𝑭𝒙 e 𝑫𝑭𝒚
Coordenadas Locais:nó N → 𝒅𝑵nó F → 𝒅𝑭
Lembrando que:𝝀𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒙 ; 𝝀𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒚
19
𝑑𝑁 = 𝐷𝑁𝑥𝜆𝑥 + 𝐷𝑁𝑦𝜆𝑦
𝑑𝐹 = 𝐷𝐹𝑥𝜆𝑥 +𝐷𝐹𝑦𝜆𝑦
Matriz de Transformação de Deslocamentos (3)
• Escrevendo em forma matricial:
20
𝑑𝑁 = 𝐷𝑁𝑥𝜆𝑥 + 𝐷𝑁𝑦𝜆𝑦
𝑑𝐹 = 𝐷𝐹𝑥𝜆𝑥 + 𝐷𝐹𝑦𝜆𝑦
𝑑𝑁𝑑𝐹
=𝜆𝑥 𝜆𝑦0 0
0 0𝜆𝑥 𝜆𝑦
𝐷𝑁𝑥𝐷𝑁𝑦𝐷𝐹𝑥𝐷𝐹𝑦
𝒅 = 𝑻 𝑫
𝒅 : vetor de deslocamentos
em coordenadas locais
𝑫 : vetor de deslocamentos
em coordenadas globais
𝑻 : matriz de transformação
de coordenadas globais
em coordenadas locais
Matriz de Transformação de Forças (1)
• Considerando a aplicação de
uma força 𝑞𝑁 no nó N do
elemento de barra tem-se:
• Aplicando uma força 𝑞𝐹 no nó F
do elemento de barra tem-se:
21
𝑄𝑁𝑥 = 𝑞𝑁𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 = 𝑞𝑁𝜆𝑥
𝑄𝑁𝑦 = 𝑞𝑁𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 = 𝑞𝑁𝜆𝑦
𝑄𝐹𝑥 = 𝑞𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 = 𝑞𝐹𝜆𝑥
𝑄𝐹𝑦 = 𝑞𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 = 𝑞𝐹𝜆𝑦
Matriz de Transformação de Forças (2)
• Escrevendo a decomposição das forças no sistema de eixos global
partindo do sistema de eixos local:
22
𝑄𝑁𝑥 = 𝑞𝑁𝜆𝑥𝑄𝑁𝑦 = 𝑞𝑁𝜆𝑦𝑄𝐹𝑥 = 𝑞𝐹𝜆𝑥𝑄𝐹𝑦 = 𝑞𝐹𝜆𝑦
𝑄𝑁𝑥𝑄𝑁𝑦𝑄𝐹𝑥𝑄𝐹𝑦
=
𝜆𝑥 0𝜆𝑦 0
0 𝜆𝑥0 𝜆𝑦
𝑞𝑁𝑞𝐹
𝑸 = 𝑻 𝑻 𝒒
𝒒 : vetor de cargas em coordenadas locais
𝑸 : vetor de cargas em coordenadas globais
𝑻 : matriz de transformação de coordenadas locais
em coordenadas globais
Matriz de Transformação de Forças (3)
• Vale salientar que a matriz de transformação de forças é o
transposto da matrizes de transformação de deslocamentos.
23
𝑇 𝑇 =
𝜆𝑥 0𝜆𝑦 0
0 𝜆𝑥0 𝜆𝑦
𝑇 =𝜆𝑥 𝜆𝑦0 0
0 0𝜆𝑥 𝜆𝑦
Matriz de Transformaçãode Deslocamentos
Matriz de Transformaçãode Forças
Aula 08 - Seção 4:
Matriz de Rigidez Elementar em
Coordenadas Globais
24
Matriz de Rigidez Elementar em Coordenadas Globais (1)
• Vamos agora combinar os resultados das seções anteriores e
determinar a matriz de rigidez para um elemento correlacionando
os esforços globais 𝑄 e os deslocamentos globais 𝐷 partindo
dos esforços locais 𝑞 e dos deslocamentos locais 𝑑 ;
25
𝒒 = 𝒌 ′ 𝒅
𝑸 = 𝑻 𝑻 𝒒 𝒅 = 𝑻 𝑫𝒒 = 𝑻 𝑸
𝑻 𝑸 = 𝒌 ′ 𝑻 𝑫
𝑸 = 𝑻 𝑻 𝒌 ′ 𝑻 𝑫
𝒒 = 𝒌 ′ 𝒅
𝒅 = 𝑻 𝑫
Matriz de Rigidez Elementar em Coordenadas Globais (2)
• Seguindo com a manipulação define-se:
• Ou seja:
26
𝑸 = 𝑻 𝑻 𝒌 ′ 𝑻 𝑫
𝒌 = 𝑻 𝑻 𝒌 ′ 𝑻
𝒌 ′ : matriz de rigidez em
coordenadas locais
𝒌 : matriz de rigidez em
coordenadas globais
𝑸 = 𝒌 𝑫
𝒌 = 𝑻 𝑻 𝒌 ′ 𝑻 [𝑘] =
𝜆𝑥 0𝜆𝑦 0
0 𝜆𝑥0 𝜆𝑦
𝐴𝐸
𝐿1 −1−1 1
𝜆𝑥 𝜆𝑦0 0
0 0𝜆𝑥 𝜆𝑦
Matriz de Rigidez Elementar em Coordenadas Globais (3)
• Por fim, em termos dos cossenos diretores tem-se que:
27
[𝑘] =𝐴𝐸
𝐿
𝜆𝑥2 𝜆𝑥𝜆𝑦 −𝜆𝑥
2 −𝜆𝑥𝜆𝑦
𝜆𝑥𝜆𝑦 𝜆𝑦2 −𝜆𝑥𝜆𝑦 −𝜆𝑦
2
−𝜆𝑥2
−𝜆𝑥𝜆𝑦
−𝜆𝑥𝜆𝑦
−𝜆𝑦2
𝜆𝑥2
𝜆𝑥𝜆𝑦
𝜆𝑥𝜆𝑦
𝜆𝑦2
𝑁𝑥 𝑁𝑦 𝐹𝑥 𝐹𝑦
𝑁𝑥
𝑁𝑦
𝐹𝑥
𝐹𝑦
Aula 08 - Seção 5:
Montagem das Matrizes e Vetores Globais e
Determinação dos Deslocamentos e Esforços
28
Matriz de Rigidez Global (da Estrutura) (1)
• Dado que todas as matrizes elementares das barras componentes da
treliça tenham sido formadas, o passo seguinte é a montagem (ou
espalhamento) destas de modo a conformar a matriz de rigidez global de
toda a estrutura [𝐾].
• Este processo depende de uma cuidadosa identificação dos elementos
em cada matriz elementar por meio dos quatro números que nomeiam os
graus de liberdade envolvidos, ou seja, 𝑁𝑥 , 𝑁𝑦 , 𝐹𝑥 e 𝐹𝑦
29
[𝑘] =𝐴𝐸
𝐿
𝜆𝑥2 𝜆𝑥𝜆𝑦 −𝜆𝑥
2 −𝜆𝑥𝜆𝑦
𝜆𝑥𝜆𝑦 𝜆𝑦2 −𝜆𝑥𝜆𝑦 −𝜆𝑦
2
−𝜆𝑥2
−𝜆𝑥𝜆𝑦
−𝜆𝑥𝜆𝑦
−𝜆𝑦2
𝜆𝑥2
𝜆𝑥𝜆𝑦
𝜆𝑥𝜆𝑦
𝜆𝑦2
𝑁𝑥 𝑁𝑦 𝐹𝑥 𝐹𝑦
𝑁𝑥
𝑁𝑦
𝐹𝑥
𝐹𝑦
Matriz de Rigidez Global (da Estrutura) (2)
• Para compreender o processo de montagem tome-se como exemplo
a estrutura abaixo onde todas as barras possuem AE constante:
30
4 m
3 m2 kN
Matriz de Rigidez Global (da Estrutura) (3)
• Para a barra [1] os cossenos são:
31
4 m
3 m
𝜆𝑥 =3 − 0
3= 1
𝜆𝑦 =0 − 0
3= 0
• Substituindo os cossenos na expressão do slide 42:
[𝑘] = 𝐴𝐸
1/3 0 −1/3 00 0 0 0
−1/3 0 1/3 00 0 0 0
1 2 3 4
1234
Matriz de Rigidez Global (da Estrutura) (4)
• Para a barra [2] os cossenos são:
32
4 m
3 m
𝜆𝑥 =3 − 0
5=3
5
𝜆𝑦 =4 − 0
5=4
5
• Substituindo os cossenos na
expressão do slide 42:
[𝑘] = 𝐴𝐸
9/125 12/125 −9/125 −12/12512/125 16/125 −12/125 −16/125−9/125 −12/125 9/125 12/125−12/125 −16/125 12/125 16/125
1 2 5 6
1256
Matriz de Rigidez Global (da Estrutura) (5)
• No processo de montagem da matriz global da estrutura vale
salientar que como o nó 2 é comum às duas barras, os graus de
liberdade (1) e (2) aparecem em ambas as matrizes elementares.
33
[𝑘] = 𝐴𝐸
9/125 12/125 −9/125 −12/12512/125 16/125 −12/125 −16/125−9/125 −12/125 9/125 12/125−12/125 −16/125 12/125 16/125
1 2 5 6
1256
[𝑘] = 𝐴𝐸
1/3 0 −1/3 00 0 0 0
−1/3 0 1/3 00 0 0 0
1 2 3 4
1234
Matriz Elementar
da Barra [1]
Matriz Elementar
da Barra [2]
Espalhamento das Matrizes Elementares (1)
34
𝐴𝐸
9/125 12/125 −9/125 −12/12512/125 16/125 −12/125 −16/125−9/125 −12/125 9/125 12/125−12/125 −16/125 12/125 16/125
1 2 5 6
1256
𝐴𝐸
1/3 0 −1/3 00 0 0 0
−1/3 0 1/3 00 0 0 0
1 2 3 4
1234
Matriz Elementar da Barra [1] Matriz Elementar da Barra [2]
𝐴𝐸
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6
123456
Matriz Global da Estrutura
Espalhamento das Matrizes Elementares (2)
35
𝐴𝐸
9/125 12/125 −9/125 −12/12512/125 16/125 −12/125 −16/125−9/125 −12/125 9/125 12/125−12/125 −16/125 12/125 16/125
1 2 5 6
1256
𝐴𝐸
1/3 0 −1/3 00 0 0 0
−1/3 0 1/3 00 0 0 0
1 2 3 4
1234
Matriz Elementar da Barra [1] Matriz Elementar da Barra [2]
𝐴𝐸
1/3 0 −1/3 0 0 00 0 0 0 0 0
−1/3 0 1/3 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6
123456
Matriz Global da Estrutura
Espalhamento das Matrizes Elementares (3)
36
𝐴𝐸
9/125 12/125 −9/125 −12/12512/125 16/125 −12/125 −16/125−9/125 −12/125 9/125 12/125−12/125 −16/125 12/125 16/125
1 2 5 6
1256
𝐴𝐸
1/3 0 −1/3 00 0 0 0
−1/3 0 1/3 00 0 0 0
1 2 3 4
1234
Matriz Elementar da Barra [1] Matriz Elementar da Barra [2]
𝐴𝐸
1/3 + 9/125 0 + 12/125 −1/3 0 −9/125 −12/1250 + 12/125 0 + 16/125 0 0 −12/125 −16/125
−1/3 0 1/3 0 0 00 0 0 0 0 0
−9/125 −12/125 0 0 9/125 12/125−12/125 −16/125 0 0 12/125 16/125
1 2 3 4 5 6
123456
Matriz Global da EstruturaSombreamento
Matriz de Rigidez Global Final
37
𝐴𝐸
152/375 12/125 −1/3 0 −9/125 −12/12512/125 16/125 0 0 −12/125 −16/125−1/3 0 1/3 0 0 00 0 0 0 0 0
−9/125 −12/125 0 0 9/125 12/125−12/125 −16/125 0 0 12/125 16/125
1 2 3 4 5 6
123456
Graus de Liberdades Restringidos
4 m
3 m
Vetor de Carga Global
• Dado que a matriz de rigidez global está composta resta agora a
composição do vetor de cargas global {𝑄}.
• No caso de uma treliça, os carregamentos são sempre cargas
concentradas aplicadas nos nós o que facilita a criação do vetor de
cargas global que resume-se a identificadas de a qual grau de liberdade
corresponde cada carga.
38
4 m
3 m2 kN
𝑄𝑔 =
0−2𝑄3𝑄4𝑄5𝑄6
123456
Graus de Liberdades Restringidos
0−2𝑄3𝑄4𝑄5𝑄6
= 𝐴𝐸
152/375 12/125 −1/3 0 −9/125 −12/12512/125 16/125 0 0 −12/125 −16/125−1/3 0 1/3 0 0 00 0 0 0 0 0
−9/125 −12/125 0 0 9/125 12/125−12/125 −16/125 0 0 12/125 16/125
𝐷1𝐷20000
Sistema de Equações da Análise Matricial (1)
• Montando um sistema de equações com o vetor de carga global
{𝑄} e a matriz de rigidez global [𝐾] resta como variável o vetor de
deslocamentos nodais globais {𝐷}.
39
𝑸𝒈 = 𝑲𝒈 𝑫𝒈
Sistema de Equações da Análise Matricial (2)
• Entretanto a solução do sistema é impossível da maneira como ele se
apresenta pois no vetor de carga apresentam-se como incógnitas as
reações de apoio 𝑄3 , 𝑄4 , 𝑄5 e 𝑄6 correlatas aos graus de liberdade
restringidos (cujos deslocamentos são conhecidos e valem 0 “zero” )
• Portanto, o sistema deve ser resumido aos graus de liberdade não
restringidos.
40
0−2𝑄3𝑄4𝑄5𝑄6
= 𝐴𝐸
152/375 12/125 −1/3 0 −9/125 −12/12512/125 16/125 0 0 −12/125 −16/125−1/3 0 1/3 0 0 00 0 0 0 0 0
−9/125 −12/125 0 0 9/125 12/125−12/125 −16/125 0 0 12/125 16/125
𝐷1𝐷20000
Graus de Liberdades Restringidos
Graus de Liberdades Não Restringidos
Sistema de Equações da Análise Matricial (3)
• Dada a numeração adequada nomeando os graus de liberdade não
restringidos com os números menores e os graus restringidos com os
números maiores é possível fazer um recorte no sistema de equações
conforme abaixo:
41
0−2𝑄3𝑄4𝑄5𝑄6
= 𝐴𝐸
152/375 12/125 −1/3 0 −9/125 −12/12512/125 16/125 0 0 −12/125 −16/125−1/3 0 1/3 0 0 00 0 0 0 0 0
−9/125 −12/125 0 0 9/125 12/125−12/125 −16/125 0 0 12/125 16/125
𝐷1𝐷20000
𝑄𝑘𝑄𝑢
=𝐾11 𝐾12𝐾21 𝐾22
𝐷𝑢𝐷𝑘
Sistema de Equações da Análise Matricial (4)
{𝑄𝑘} : cargas externas conhecidas
{𝐷𝑘} : deslocamentos conhecidos (no caso em particular nulos)
{𝑄𝑢} : cargas externas (reações de aposio) desconhecidas
{𝐷𝑢} : deslocamentos desconhecidos
42
0−2𝑄3𝑄4𝑄5𝑄6
= 𝐴𝐸
152/375 12/125 −1/3 0 −9/125 −12/12512/125 16/125 0 0 −12/125 −16/125−1/3 0 1/3 0 0 00 0 0 0 0 0
−9/125 −12/125 0 0 9/125 12/125−12/125 −16/125 0 0 12/125 16/125
𝐷1𝐷20000
𝑄𝑘𝑄𝑢
=𝐾11 𝐾12𝐾21 𝐾22
𝐷𝑢𝐷𝑘
Cálculo dos Deslocamentos (1)
{𝑄𝑘} : cargas externas conhecidas
{𝐷𝑘} : deslocamentos conhecidos (no caso em particular nulos)
{𝑄𝑢} : cargas externas (reações de apoio) desconhecidas
{𝐷𝑢} : deslocamentos desconhecidos
43
𝑄𝑘𝑄𝑢
=𝐾11 𝐾12𝐾21 𝐾22
𝐷𝑢𝐷𝑘
{𝑄𝑘} = [𝐾11]{𝐷𝑢} + [𝐾12]{𝐷𝑘} Como 𝐷𝑘 = {0}
{𝑄𝑘} = [𝐾11]{𝐷𝑢}
Cálculo dos Deslocamentos (2)
• Resolvendo o sistema linear tem-se que:
44
{𝑄𝑘} = [𝐾11]{𝐷𝑢}
0−2
= 𝐴𝐸Τ152 375 Τ12 125Τ12 125 Τ16 125
𝐷1𝐷2
𝐷1 =4,5
𝐴𝐸
𝐷2 = −19
𝐴𝐸
Cálculo das Reações de Apoios (1)
{𝑄𝑘} : cargas externas conhecidas
{𝐷𝑘} : deslocamentos conhecidos (no caso em particular nulos)
{𝑄𝑢} : cargas externas (reações de apoio) desconhecidas
{𝐷𝑢} : deslocamentos desconhecidos
45
𝑄𝑘𝑄𝑢
=𝐾11 𝐾12𝐾21 𝐾22
𝐷𝑢𝐷𝑘
{𝑄𝑢} = [𝐾21]{𝐷𝑢} + [𝐾22]{𝐷𝑘} Como 𝐷𝑘 = {0}
{𝑄𝑢} = [𝐾21]{𝐷𝑢}
Cálculo das Reações de Apoios (2)
• Multiplicando as matrizes acima tem-se:
46
{𝑄𝑢} = [𝐾21]{𝐷𝑢}
𝑄3𝑄4𝑄5𝑄6
= 𝐴𝐸
− Τ1 3 00 0
− Τ9 125 − Τ12 125− Τ12 125 − Τ16 125
𝐷1𝐷2
𝐷1 =4,5
𝐴𝐸
𝐷2 = −19
𝐴𝐸
𝑄3𝑄4𝑄5𝑄6
=
−1,501,52
𝑘𝑁
Cálculo dos Esforços Internos nas Barras (1)
• Uma vez conhecidas as reações de apoio resta agora o problema
de calcular os esforços internos. Para tanto é necessário relembrar
as equações abaixo:
47
𝒒 = 𝒌 ′ 𝒅 𝒅 = 𝑻 𝑫
𝒒 = 𝒌 ′ 𝑻 𝑫
{𝑞} : vetor de cargas nodais elementares ( locais de cada barra ){𝐷} : vetor de deslocamentos globais[𝑇] : matriz de transformação de coord. globais para coord. locais[𝑘]′ : matriz de rigidez elementar
Cálculo dos Esforços Internos nas Barras (2)
• Expandindo a equação abaixo:
• Como 𝑞𝑁 = −𝑞𝐹 dada a condição de equilíbrio, somente uma das forças precisa ser calculada, que no caso será 𝑞𝐹:
48
𝒒 = 𝒌 ′ 𝑻 𝑫
𝑞𝑁𝑞𝐹
=𝐴𝐸
𝐿1 −1−1 1
𝜆𝑥 𝜆𝑦0 0
0 0𝜆𝑥 𝜆𝑦
𝐷𝑁𝑥𝐷𝑁𝑦𝐷𝐹𝑥𝐷𝐹𝑦
𝑞𝐹 =𝐴𝐸
𝐿−𝜆𝑥 −𝜆𝑦 𝜆𝑥 𝜆𝑦
𝐷𝑁𝑥𝐷𝑁𝑦𝐷𝐹𝑥𝐷𝐹𝑦
Cálculo dos Esforços Internos nas Barras (3)
• Aplicando a expressão anterior para as duas barras da estrutura:
49
𝑞𝐹 =𝐴𝐸
𝐿−𝜆𝑥 −𝜆𝑦 𝜆𝑥 𝜆𝑦
𝐷𝑁𝑥𝐷𝑁𝑦𝐷𝐹𝑥𝐷𝐹𝑦
Esforço Interno da Barra [1] 𝑞[1] =
𝐴𝐸
3−1 0 1 0
1
𝐴𝐸
4,5−1900
= −1,5 𝑘𝑁1 2 3 4
1234
Esforço Interno da Barra [2] 𝑞[2] =
𝐴𝐸
3−3
5−4
5
3
5
4
5
1
𝐴𝐸
4,5−1900
= 2,5 𝑘𝑁
1 2 5 6 1256
FIM
50
Exercício TE2-8.1
51
• Determinar o esforço axial em cada uma das barras indicadas na
montagem abaixo.
• Para todas as barras: E = 200 GPa
A = 1000 mm²
0,9 m
0,9 m
1,2 m 1,8 m
20 kN
Exercício TE2-8.2
52
• Determinar o esforço axial na barra [2] da estrutura abaixo quando o nó (1)
sofre um deslocamento vertical descendo 25 mm.
• Todas as barras possuem o mesmo EA = 8x103 kN.
Exercício TE2-8.3
53
• Determinar o esforço axial na barra [2] se a sua temperatura for aumentada
em 55°C.
• Para todas as barras: E = 200 Gpa; A = 1000 mm²; α = 11,7x10-6 /ºC;
3 m4 m
4 m
2 kN
Exercício TE2-8.4
54
• Calcular os deslocamentos D1 até D5, as reações de apoio e o esforço
interno na barra [2] da treliça indicada abaixo empregando a análise
matricial via método dos deslocamentos.
• Todas as barras possuem o mesmo EA.
4 kN
2 kN