Teste de HipótesesParamétricos
Como construir testes de hipóteses para diferenças entre duas médias.
Como construir testes de hipóteses para diferenças entre duas proporções.
Como construir testes de hipóteses para diferenças entre duas variâncias.
Motivação
Estudo relatado no Journal of American Medical Association.É possível concluir que houve uma proporção significativa maior de depressão, ansiedade e abuso?
Condição Proporçãoestimada
Depressão O,045
Ansiedade 0,049
Abuso 0,137
Veteranos do exército americanoque serviram no Vietnã (n=7924)
Condição Proporçãoestimada
Depressão O,023
Ansiedade 0,032
Abuso 0,092
Veteranos do exército americanoque não serviram no Vietnã (n=7364)
Uma visão geral de testes de hipóteses entre médias
Parâmetro para ser testado μ1- μ2.Qual a distribuição da diferença entre duas médias amostrais?
População A
Amostra
1
1
1
nsx
População B
Amostra
2
2
2
nsx
Teste de hipóteses entre médias σ1 e σ2 conhecidos
SuposiçõesAmostras aleatórias e independentes.Pelo menos uma das condições é satisfeita: as duas populações são normais ou n1 >30 e n2 >30
Testes UnilateraisH0: μ1 - μ2 ≥ 0 H0: μ1 - μ2 ≤ 0
Ha: μ1 - μ2 < 0 Ha: μ1 - μ2 > 0
Testes BilateralH0: μ1 - μ2 = 0Ha: μ1 - μ2 ≠ 0
Exemplo: seja:H0: μ1 - μ2 ≥ 0Ha: μ1 - μ2 < 0
),(2
22
1
21
2111nn
NXX σσμμ +−− ~
Teste de hipóteses entre médias σ1 e σ2 conhecidos
Unilateral a esquerda
0
(1- α) = 0,95
α = 0,05
Rejeitar H0 Não rejeitar H0
2164,1 XX −− σ
Região Crítica
0
(1- α) = 0,95
α = 0,05P(Z≤z)=0,05
Rejeitar H0 Não rejeitar H0
Rejeitar H0 se 64,1)()(
2
22
1
21
2121 −≤
+
−−−=
nn
xxzσσ
μμ
Convertendo para normal padrão21 XX −
Teste de hipóteses entre médias σ1 e σ2 conhecidos
Unilateral a esquerda
64,1−
Teste de hipóteses entre médias σ1 e σ2 conhecidos
Unilateral a direita
0
(1- α) = 0,95
Rejeitar H0Não rejeitar H0
α = 005
Exemplo: seja:H0: μ1 - μ2 ≤ 0Ha: μ1 - μ2 > 0
),(2
22
1
21
2111nn
NXX σσμμ +−− ~
2164,1 XX −σ
P(Z≤z)=0,05
Rejeitar H0 se
Convertendo para normal padrão
0
(1- α) = 0,95
RejeitarH0
Não rejeitar H0
64,1
α = 0,05
Teste de hipóteses entre médias σ1 e σ2 conhecidos
Unilateral a direita
64,1)()(
2
22
1
21
2121 ≥
+
−−−=
nn
xxzσσ
μμ
21 XX −
Teste de hipóteses entre médias σ1 e σ2 conhecidos
Bilateral
α /2 = 0,025 α/2 = 0,0,25
0,452
0
1- α = 0,95
RejeitarH0
Não rejeitar H0RejeitarH0
2164,1 XX −σ
2164,1 XX −− σ
Exemplo: seja:H0: μ1 - μ2 = 0Ha: μ1 - μ2 ≠ 0
),(2
22
1
21
2111nn
NXX σσμμ +−− ~
Convertendo para normal padrão
α /2 = 0,025 α /2 = 0,0,25
0,452
0
1-α = 0,95
96,196,1−
RejeitarH0
RejeitarH0
Rejeitar H0 se ou
Não rejeitar H0
Teste de hipóteses entre médias σ1 e σ2 conhecidos
Bilateral
96,1)()(
2
22
1
21
2121 −≤
+
−−−=
nn
xxzσσ
μμ 96,1)()(
2
22
1
21
2121 ≥
+
−−−=
nn
xxzσσ
μμ
21 XX −
Teste de hipóteses entre médias σ1 e σ2 desconhecidosUsar a distribuição t com os seguintes graus de liberdade.
Se σ1 = σ2• g.l.=n1+n2-2.
Se σ1 ≠ σ2• g.l.=min{n1- 1, n2- 1}
Suposições:Amostra aleatórias e independentesPelo menos uma das condições seguintes satisfeitas:
• Populações normais ou• n1 > 30 ou n2 > 30
Teste de hipóteses entre médias σ1 e σ2 desconhecidos
Testes UnilateraisH0: μ1 - μ2 ≥ 0 H0: μ1 - μ2 ≤ 0
Ha: μ1 - μ2 < 0 Ha: μ1 - μ2 > 0
Testes BilateralH0: μ1 - μ2 = 0
Ha: μ1 - μ2 ≠ 0
Teste de hipóteses entre médias σ1 e σ2 desconhecidos
Estatísticas do teste tSe σ1 = σ2
Se σ1 ≠ σ2
21
)()( 2121
XX
xxt−
−−−=
σμμ
2
2
1
2
21 ns
ns pp
XX +=−σ
2
22
1
21
21 ns
ns
XX +=−σ
2)1()1(
21
222
2112
−+−+−
=nn
snsnsponde
Variância Combinada
Teste de hipóteses entre médias σ1 e σ2 desconhecidos
Exemplo: Um publicitário alega que há uma diferença entre a renda média das famílias portadores de cartões de crédito Visa e Master Card. Os resultados amostrais estão na tabela abaixo. Suponha que as variâncias populacionais são diferentes. Esses resultados confirmam a alegação do publicitário com α=5%?
Visa Master
60900$1 USx =
12000$1 USs =
1001 =n
64300$2 USx =
15000$2 USs =
1002 =n
Solução
H0: μ1 - μ2 = 0
Ha: μ1 - μ2 ≠ 0 onde μ1 é a renda média da população Visa e μ2 é a renda média da população Master.
Como o teste é bilateral com α=5%, os valores da tabela t com 99 graus de liberdade são -1,98 e 1,98
77,119213400)()(
21
2121 −=−
=−
−−−=
XX
xxtσσ
μμ
921,1100
)15000(100
)12000( 22
21=+=−XXσ
Como t = -1,77 ∈[-1,98,1,98], não rejeitamos a hipótese que as rendas médias são iguais.
Considerações
Se desejamos usar o método que supõe que as variâncias são iguais, como determinamos que σ1 = σ2?Uma abordagem consiste em usar o teste para igualdade de variâncias. Triola não recomenda esta abordagem alegando que no artigo Homogenity of variancein the two-sample means os autores afirmam que raramente sabemos que σ1 = σ2.. Um caminho é realizar diferentes testes considerando tamanhos de amostrais e poderes do teste.
Teste de hipóteses entre médias com amostras dependentes
Duas amostras são dependentes se cada membro de uma amostra corresponde ao mesmo da outra amostra.Para empregar esta técnica énecessário obter a diferença para cada par de dados.A variável aleatória é uma diferenças entre médias
21 XXd −=
Teste de hipóteses entre médias com amostras dependentes
SuposiçõesAmostras aleatóriasAmostras dependentes (emparelhadas) Populações normais ou n > 30Estatística do teste (padronizada)
ns
dtd
dμ−=
Distribuição t-Student com n-1 graus de liberdade
Teste de hipóteses entre médias com amostras dependentes
Exemplo: Um projetista de campos de golfe alega que os golfistas podem diminuir ou permanecer iguais as suas pontuações se usarem campos recém construídos. Oito golfistas foram selecionados ao acaso e foi pedido que revelasse a sua pontuação mais recente. Após usar os novos campos por mês, cada um disse outra vez sua pontuação mais recente. As pontuações estão na tabela abaixo. Supondo que as pontuações sejam normais, há evidência suficiente para confirmar a alegação do projetista com α=10%?
SoluçãoAntigo Novo d89 83 6
84 83 1
96 92 4
82 84 -2
74 76 -2
92 91 1
85 80 5
91 91 0
soma 13
H0: μd ≥ 0
Ha: μd < 0
Como α=0,10 g.l.=8-1 =7e o teste éunilateral o valor da tabela t é -1,44.
50,1
807,3
625,1==
−=
ns
dtd
dμ
Como t > -1,44, Não rejeita H0. Isto é existe evidência suficiente para não rejeitar alegação do projetista.
Teste de hipóteses entre proporçõesSuposições:
Amostras aleatórias e independentesCondições satisfeitas para distribuição binomial
Notação:p1, p2 - proporções populacionais
Teste de hipóteses para diferença entre proporções
Testes UnilateraisH0: p1 - p2 ≥ 0 H0: p1 - p2 ≤ 0
Ha: p1 - p2 < 0 Ha: p1 - p2 > 0
Testes BilateralH0: p1 - p2 = 0Ha: p1 - p2 ≠ 0
Teste de hipóteses para diferença entre proporções
Satisfeitas as condições anterioresA diferença (amostral) segue uma distribuição normal com média p1-p2 e desvio padrão
Como p1 e p2 não são conhecidos na hipótese nula, usa-se uma proporção combinada
21 ˆˆ pp −
2
22
1
11ˆˆ 21 n
qpnqp
pp +=−σ
21
21
nnxxp
++
=x1 = números de sucessos da amostra 1x2 = números de sucessos da amostra 2
Teste de hipóteses para diferença entre proporções
Condição satisfeita para usar aproximação normal.
Estatística de teste⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−−=
21
2121
11
)()ˆˆ(
nnqp
ppppz
pqnnxxp −=
++
= 1,21
21
qnpn ,5>
Teste de hipóteses para diferença entre proporções
Exemplo: um estudo entre 200 mulheres e 250 homens adultos usuários da Internet, 30% das mulheres e 38% dos homens disseram fazer compras pela rede pelo menos uma vez no mês. Sendo α=10%, teste a alegação que não hádiferença na proporção de homens e mulheres.
Solução
HipótesesH0: p1 – p2 = 0Ha: p1 – p2 ≠ 0
656,0,344,02502009560
==++
= qp
775,1
2501
2001656,0344,0
38,03,0
11
)()ˆˆ(
21
2121 =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +×
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−−=
nnqp
ppppz
Como os valores críticos da normal com α=10% são -1,64 e 1,64, deve-se decidir Rejeitar a hipótese que não existe diferença entre as proporções de homens e Mulheres.
Teste de hipóteses para diferença entre variâncias
Suposições:Populações independentesPopulações normais.
Testes UnilateraisH0: σ2
1 - σ22 ≥ 0 H0: σ2
1 - σ22 ≤ 0
Ha: σ21 - σ2
2 < 0 Ha: σ21 - σ2
2 > 0
Testes BilateralH0: σ2
1 - σ22 = 0
Ha: σ21 - σ2
2 ≠ 0
Teste de hipóteses para diferença entre variâncias
Estatística de teste
S21 é a maior das duas variâncias
amostrais.A estatística de teste tem distribuição F.
A distribuição F não é simétrica.Valores de F não podem ser negativos.A distribuição depende de dois parâmetros: dois diferentes graus de liberdade.
22
21
ssF =
Teste de hipóteses para diferença entre variâncias
Graus de liberdade do numerador= n1-1.Graus de liberdade do denominador= n2-1.Como s2
1 é a maior variância, só precisamos encontrar o valor crítico à direita.Se duas populações são iguais a razão s2
1 / s22 tende a
se aproximar de 1. Duas populações tem variâncias radicalmente diferentes a razão s2
1 / s22 será um número
grande.Um grande valor de F é evidência contra σ2
1=σ22.
Encontra-se o valor crítico cruzando os graus de liberdade do numerador com os graus de liberdade do denominador.
Exemplo
Considere as seguintes estatísticas amostrais para os pesos da coca-cola e pepsi.s2
1= (0,007507)2 (coca) e s22= (0,005701)2
(pepsi), n1=36 e n2=36.Estatística de teste O valor de crítico da cauda direita está entre 1,8752 e 2,0739.Como F=1,7339, não rejeitamos a hipótese de igualdade variâncias.
7339,1005701,0007507,0
2
2
==F