Os testes de hipóteses podem ser: Paramétricos e ...pucrs.br/.../material/laminaspi/THipoteses_Par.pdf · = Nível de significância do teste. Curso: Engenhariade Processose de

11

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[email protected]@[email protected]@pucrs.brCurso: Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção - Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamentode Estatística

Objetivos

Testar o valor hipotético de um

parâmetro (testes paramétricos) ou de

relacionamentos ou modelos (testes não

paramétricos).

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Os testes de hipóteses podemser:

Paramétricose

Não Paramétricos.

Curso: Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção - Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamentode Estatística

Testes não-paramétricos

Um teste não paramétrico testa outras

situações que não parâmetros populacionais.

Estas situações podem ser relacionamentos,

modelos, dependência ou independência e

aleatoriedade.


Envolvem parâmetros populacionais.

Um parâmetro é qualquer medida que

descreve uma população.

Testes paramétricos

22


µ (a média)

σ2 (a variância)

σ (o desvio padrão)

π (a proporção)

Os principais parâmetros são:



(1) Formular a hipótese nula (H0)

H0 : θ = θ0

Expressar em valores aquilo que deve sertestado;

Esta hipótese é sempre de igualdade;

Deve ser formulada com o objetivo de serrejeitada.


(2) Formular a hipótese alternativa (H1)

(Testes simples)

H1: θ = θ1

(Testes compostos)

H1: θ > θ0 (teste unilateral à direita)

θ < θ0 (teste unilateral à esquerda)

θ ≠ θ0 (teste bilateral) .


(3) Definir um valor crítico (α)

Isto envolve definir um ponto de corte a

partir do qual a hipótese nula será rejeitada(aceita a hipótese alternativa).

Esta hipótese é de fato a expressão

daquilo que ser quer provar.


(4) Calcular a estatística teste

A estatística teste é obtida através dosdados amostrais, isto é, ela é a evidênciaamostral;

A forma de cálculo depende do tipo de testeenvolvido, isto é, do modelo teórico oumodelo de probabilidade.

33


(5) Tomar uma decisão

A estatística teste e o valor crítico são

comparados e a decisão de aceitar ourejeitar a hipótese nula é formulada;

Se for utilizado um software estatísticopode-se trabalhar com a significância doresultado (p-value) ao invés do valor crítico.


(6) Formular uma conclusão

Expressar em termos do problema (pesquisa)

qual foi a conclusão obtida;

Não esquecer que todo resultado baseado emamostras está sujeito a erros e que geralmente

apenas um tipo de erro é controlado.

PopulaçãoPopulaçãoPopulaçãoPopulação::::ValorValorValorValor dodododoparâmetroparâmetroparâmetroparâmetro

QualQualQualQual éééé aaaa diferençadiferençadiferençadiferença entreentreentreentre oooovalorvalorvalorvalor observadoobservadoobservadoobservado dadadadaestatísticaestatísticaestatísticaestatística eeee oooo valorvalorvalorvalorhipotéticohipotéticohipotéticohipotético dadadada parâmetro?parâmetro?parâmetro?parâmetro?

Não rejeitar a Não rejeitar a Não rejeitar a Não rejeitar a hipótesehipótesehipótesehipótese

AmostraAmostraAmostraAmostra:::: ValorValorValorValordadadada estatísticaestatísticaestatísticaestatística....

Rejeitar a Rejeitar a Rejeitar a Rejeitar a hipótesehipótesehipótesehipótese

Decisão a Decisão a Decisão a Decisão a ser tomadaser tomadaser tomadaser tomada

QuestãoQuestãoQuestãoQuestão a ser a ser a ser a ser feitafeitafeitafeita

Diferença Diferença Diferença Diferença pequenapequenapequenapequena

Diferença Diferença Diferença Diferença grandegrandegrandegrande

Em resumo



DispõemDispõemDispõemDispõem----sesesese dededede duasduasduasduas moedasmoedasmoedasmoedas comcomcomcom aparênciasaparênciasaparênciasaparências

idênticas,idênticas,idênticas,idênticas, sósósósó quequequeque umaumaumauma (M(M(M(M1111)))) éééé equilibrada,equilibrada,equilibrada,equilibrada, istoistoistoisto é,é,é,é,

P(Cara)P(Cara)P(Cara)P(Cara) ==== P(Coroa)P(Coroa)P(Coroa)P(Coroa) ==== 50505050%%%%,,,, enquantoenquantoenquantoenquanto quequequeque aaaa outraoutraoutraoutra

((((MMMM2222)))) éééé viciadaviciadaviciadaviciada dededede taltaltaltal formaformaformaforma quequequeque favorecefavorecefavorecefavorece caracaracaracara nananana

proporçãoproporçãoproporçãoproporção dededede 80808080%%%%,,,, ouououou seja,seja,seja,seja, P(Cara)P(Cara)P(Cara)P(Cara) ==== 80808080%%%%

enquantoenquantoenquantoenquanto quequequeque P(Coroa)P(Coroa)P(Coroa)P(Coroa) ==== 20202020%%%%....


Supõem-se que uma das moedas é

lançada e que com base na variável

X = número de caras,

deve-se decidir qual delas foi lançada. Neste

caso o teste a ser feito envolve as seguintes

hipóteses:

44


H0 : A moeda lançada é a equilibrada (M1)

(p = 50%)

H1: A moeda lançada é a viciada (M2)(p = 80%)

p = proporção de caras.


Tem-se que tomar a decisão de apontar qual

foi a moeda lançada, baseado apenas em uma

amostra de, por exemplo, 5 lançamentos. Lembrar

que a população de lançamentos possíveis é, neste

caso, infinita.


A decisão, é claro, estará sujeita a erros,

pois se estará tomando a decisão em condições

de incerteza, isto é, baseado em uma amostra

de apenas 5 lançamentos das infinitas

possibilidades.


A decisão será baseada nas distribuições

amostrais das duas moedas.

A tabela mostra as probabilidades de se obter

os valores: x = 0, 1, 2, 3, 4 e 5, da variável X =

número de caras, em uma amostra de n = 5,

lançamentos de cada uma das moedas.


SobSobSobSob HHHH0000 XXXX ~~~~ B(B(B(B(5555;;;; 0000,,,,5555))))

AssimAssimAssimAssim::::

32x

5

2

1

x

55,0

x

5

5,05,0x

5qp

x

n)xX(P

55

x5xxnx

=

=

=

=

=

== −−


Sob H1 X ~ B(5; 0,8)

Assim:

31254x

5

5

4

x

5

5

1

5

4

x

5

8,02,0x

5qp

x

n)xX(P

x5

xx5x

x5xxnx

=

=

=

=

=

==

−

−−

55

xxxx P(X = x) sob HP(X = x) sob HP(X = x) sob HP(X = x) sob H 0000 P(X = x) sob HP(X = x) sob HP(X = x) sob HP(X = x) sob H 1111

0 1/32 → 3,125% 1/3125 → 0,032%

1 5/32 →15,625% 20/3125 → 0,640%

2 10/32 → 31,250% 160/3125 → 5,120%

3 10/32 → 31,250% 640/3125 → 20,480%

4 5/32 → 15,625% 1280/3125 → 40,960%

5 1/32 → 3,125% 1024/3125 → 32,768%

TotalTotalTotalTotal 1 1 1 1 →→→→ 100%100%100%100% 1111→→→→ 100%100%100%100%


Para poder aceitar ou rejeitar H0 e como

conseqüência, rejeitar ou aceitar H1, é necessário

estabelecer uma regra de decisão, isto é, é

necessário estabelecer para que valores da

variávelX iremos rejeitar H0


Desta forma, estabelecendo-se que se vai

rejeitar H0, se a moeda der um número de

caras igual a 4 ou 5, pode-se então determinar

as probabilidades de tomar as decisões

corretas ou erradas.


Assim o conjunto de valores que

levará a rejeição da hipótese nula será

denominado de região crítica (RC) e, neste

caso, este conjunto é igual a:

RC = { 4, 5 }


A faixa restante de valores da

variável é denominada de região de

aceitação ou de não-rejeição (RA) e, neste

caso, este conjunto vale:

RA = { 0, 1, 2 , 3 }


Então se H0 for rejeitada porque X

assumiu o valor 4 ou 5, pode-se estar

cometendo um erro. A probabilidade de se

cometer este erro é igual a probabilidade de

ocorrência destes valores sob H0, isto é:

66


α = P(Erro do Tipo I ) =

= P(Rejeitar H0 / H0 é verdadeira) =

= P(X = 4 ou 5 / p = 0,50) =

= 5/32 + 1/32 = 6/32 = 18,75% =

= Nível de significância do teste.


O outro tipo de erro possível de ser

cometido é aceitar H0 quando ela é falsa,

que é denominado de erro do tipo II.


β = P(Erro do Tipo II) =

P(Aceitar H0 | H0 é falsa) =

P(X = 0, 1 , 2 ou 3 | p = 80%) =

1/3125 + 20/3125 + 160/3125 + 640/3125 =

821/3125 = 26262626,,,,27272727%%%%

xxxx P(X = x) sob HP(X = x) sob HP(X = x) sob HP(X = x) sob H0000 P(X = x) sob HP(X = x) sob HP(X = x) sob HP(X = x) sob H1111

0 1/32 → 3,125% 1/3125 1/3125 1/3125 1/3125 →→→→ 0,032%0,032%0,032%0,032%

1 5/32 →15,625% 20/3125 20/3125 20/3125 20/3125 →→→→ 0,640%0,640%0,640%0,640%

2 10/32 → 31,250% 160/3125 160/3125 160/3125 160/3125 →→→→ 5,120%5,120%5,120%5,120%

3333 10/32 10/32 10/32 10/32 →→→→ 31,250%31,250%31,250%31,250% 640/3125 → 20,480%

4444 5/32 5/32 5/32 5/32 →→→→ 15,625%15,625%15,625%15,625% 1280/3125 → 40,960%

5555 1/32 1/32 1/32 1/32 →→→→ 3,125%3,125%3,125%3,125% 1024/3125 → 32,768%

TotalTotalTotalTotal 1 1 1 1 →→→→ 100%100%100%100% 1111→→→→ 100%100%100%100%αααα = 5/32 + 1/32= 5/32 + 1/32= 5/32 + 1/32= 5/32 + 1/326/32= 18,75%6/32= 18,75%6/32= 18,75%6/32= 18,75%

ββββ = (1+20+160+640)/3125= (1+20+160+640)/3125= (1+20+160+640)/3125= (1+20+160+640)/3125821/3125= 26,27%821/3125= 26,27%821/3125= 26,27%821/3125= 26,27%


Reali-dade

DecisãoAceitar HAceitar HAceitar HAceitar H 0000 Rejeitar HRejeitar HRejeitar HRejeitar H 0000

HHHH0000 éééé

verdaverdaverdaverda----deiradeiradeiradeira

Decisão corretaDecisão corretaDecisão corretaDecisão correta

1 - α = P(Aceitar H0 / H0 é verdadeira)

Erro do Tipo IErro do Tipo IErro do Tipo IErro do Tipo Iα = P(Cometer Erro do tipoI) = P(Rejeitar H0 / H0 éverdadeira) = Nível designificância do teste

HHHH0000 é é é é falsafalsafalsafalsa

Erro do Tipo IIErro do Tipo IIErro do Tipo IIErro do Tipo IIβ = P(Cometer Erro do

tipo II) = P(Aceitar H0 / H0 é falsa) = P(Aceitar H0

/ H1 é verdadeira)

Decisão corretaDecisão corretaDecisão corretaDecisão correta

1 - β = P(Rejeitar H0 /

H0 é falsa) = Poder do

teste.

77


Uma urna contém quatro fichas das quais θθθθ são

azuis e 4444 ---- θθθθ são vermelhas. Para testar a hipótese

nula de que θθθθ ==== 2222 contra a alternativa de θθθθ ≠≠≠≠ 2222,

retiram-se duas fichas ao acaso e sem reposição.

Rejeita-se a hipótese nula se as duas fichas forem da

mesma cor. Determine o nível de significância e o

poder do teste....


Espaço amostra

SSSS ==== {{{{ VVVVVVVV,,,, AA,AA,AA,AA, AAAAVVVV,,,, VVVVAAAA }}}}

Região Crítica

Região deNão Rejeição

Sob H0 : θ = 2


O erro do tipo I é a probabilidade de

rejeitar H0 quando ela é verdadeira, neste caso

ele é a probabilidade de retirarmos duas fichas da

mesma cor, quando a urna tem duas de cada cor.


Sob H0 : θ = 2


= P(Rejeitar H0 / H0 é verdadeira) =

= P(VV, AA / θ = 2) =

===

=+=+=

3

1

12

412

2

12

2

3

1.

4

2

3

1.

4

2

%33,33


O poder do teste é a probabilidade de

Rejeitar H0 quando ela é falsa, é uma decisão

correta. É calculada sob a região crítica. Neste

caso é a:

P( VV, AA | H0 é falsa )


Mas

1- β = P( VV, AA / H0 é falsa ) =

= P( VV, AA / H1 é verdadeira) =

= P( VV, AA / θ ≠ 2 ) .

Assim devemos analisar quatro situações:

θ = 0, θ = 1, θ = 3 e θ = 4

88


Isto é:

θ = 4

θ = 3

θ = 1

θ = 0


EntãoEntãoEntãoEntão::::1- β = P(P(P(P( VVVVVVVV,,,, AAAAAAAA |||| θθθθ ≠≠≠≠ 2222 )))) ====

= P(P(P(P( VVVVVVVV,,,, AAAAAAAA |||| θθθθ ==== 0000 )))) =

Neste caso

θ = 0

%100103

3.

4

4==+=


θ = 1

Neste caso

Então:

1- β = P( VV, AA | θ ≠ 2) =

= P( VV, AA | θ = 2) =

%502

10

3

2.

4

3==+=


θ = 3

Neste caso

Então:1- β = P( VV, AA | θ ≠ 2 ) =

= P( VV, AA | θ = 3) =

%502

1

3

2.

4

30 ==+=


θ = 4

Neste caso

Então:

1- β = P( VV, AA / θ ≠ 2 ) =

= P( VV, AA / θ = 0 ) =

%10013

3.

4

40 ==+=


Em Resumo, tem-se:

θ β 1 - β α

0 0% 100%

1 50% 50%

2 - - 33,33%

3 50% 50%

4 0% 100%

99


θ

β1 −

Poder do Teste


Erro do Tipo II

θ

β


Um dado é lançado seis vezes para testar

a hipótese nula de que P(F1) = 1/6 contra a

alternativa de que P(F1) > 1/6 Rejeita-se a

hipótese nula se X = “número de faces um for

maior ou igual a quatro”. Determinar o nível

de significância e o poder do teste....


Espaço amostra

SSSS ==== {{{{ 0000,,,, 1111,,,, 2222,,,, 3333,,,, 4444,,,, 5555,,,, 6666 }}}}

Região de Não Região de Não Região de Não Região de Não RejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeição

RegiãoRegiãoRegiãoRegião dedededeRejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeição(Crítica)(Crítica)(Crítica)(Crítica)

HHHH0000 :::: pppp ==== 1111////6666

HHHH0000 :::: pppp >>>> 1111////6666


O erro do tipo I é a probabilidade de

rejeitar H0 quando ela é verdadeira, neste

caso ele é a probabilidadeprobabilidadeprobabilidadeprobabilidade dededede obtermosobtermosobtermosobtermos XXXX ≥≥≥≥ 4444,,,,

quandoquandoquandoquando nnnn ==== 6666 eeee pppp ==== 1111////6666....


Sob H0 : p = 1/6


= P(Rejeitar H0 | H0 é verdadeira) =

= P(X ≥ 4 | p = 1/6) =

==++=

=

+

+

=

6

406

6

1

6

5.6

6

25.15

6

5

6

16

6

6

5

6

15

6

6

5

6

14

6

6666

061524

%87,0

1010


O poder do teste é a probabilidade de

Rejeitar H0 quando ela é falsa, é uma decisão

correta. É calculada sob a região crítica. Neste

caso é P(X ≥ 4 | H0 é falsa) .


Mas1- β = P(X ≥ 4 | H0 é falsa ) =

= P(X ≥ 4 | H1 é verdadeira) =

= P(X ≥ 4 | p > 1/6 ) .

Neste caso, o poder do teste é uma

função de p. Vamos avaliar esta função

para alguns valores de “p”.

pppp 1111---- β pppp 1111---- β pppp 1111---- β

0,200,200,200,20 1,70 0,550,550,550,55 44,15 0,900,900,900,90 98,41

0,250,250,250,25 3,76 0,600,600,600,60 54,43 0,950,950,950,95 99,78

0,300,300,300,30 7,05 0,650,650,650,65 64,71 1,001,001,001,00 100,00

0,350,350,350,35 11,74 0,700,700,700,70 74,43

0,400,400,400,40 17,92 0,750,750,750,75 83,06

0,450,450,450,45 25,53 0,800,800,800,80 90,11

0,500,500,500,50 34,3734,3734,3734,37 0,850,850,850,85 95,27Curso: Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção - Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamentode Estatística

Poder do Teste x Erro do Tipo II

β−1

p

β

Umaamostra

Independentes

MédiaProporçãoVariância

Duasamostras

DependentesDiferençade médias

Diferença de médias

Diferença de proporções

Igualdade de variâncias


1111


Média ( µ )

Proporção ( π )

Variância ( σ2 )


H0: µ = µ0

H1: µ > µ0 (teste unilateral/unicaudal à direita)

µ < µ0(teste unilateral/unicaudal à esquerda)

µ ≠ µ0 (teste bilateral/bicaudal) .


Neste caso a variável teste é:

nX

X XXZ

σ

µ−=

σ

µ−=


Z > zc

(teste unilateral/unicaudal à direita)

Z < zc

(teste unilateral/unicaudal à esquerda)

|Z| > zc

(teste bilateral/bicaudal) .


Φ(zc ) = 1− α


Φ(zc ) = α


Φ(zc ) = α/2 ou Φ(zc ) = 1− α/2


Onde zc é tal que:


A experiência passada mostrou que as notas de

Probabilidade e Estatística, estão normalmente

distribuídas com média µ = 5,5 e desvio padrão σ =

2,0. Uma turma de n = 64 alunos deste semestre

apresentou uma média de 5,9. Teste a hipótese de este

resultado mostra uma melhora de rendimento a uma

significância de 5%.

1212


Trata-se de um teste unilateral à direita

com σ conhecido.

Hipóteses:

H0: µ = 5,5

H1: µ > 5,5

DadosDadosDadosDados::::

σ = 2,0 n = 64

= 5,9 α = 5%X


Então:nX

X XXZ

σ

µ−=

σ

µ−=

60,10,2

2,34,05,59,5XZ

80,2

640,2

n

===−

=µ−

=σ

A variável teste é:


O valor crítico zc é tal que: Φ(zc ) = 1- α =1 – 0,05 = 95%. Então zc = Φ−1(0,95) = 1,645.Assim RC = [1,645; ∞)

Decisão e Conclusão:

Como z = 1,60 ∉ RC ou 1,60 < 1,645, AceitoAceitoAceitoAceito

HHHH0000, isto é, a 5% de significância nãonãonãonão se pode

afirmar que os resultados desta turma são melhores.


60,1

%5α =

);645,1[ ∞=RCRegião de Não Rejeição


Opção:

Trabalhar com a significância do resultado

obtido (1,60), isto é, o valor-p. Para isto, deve-se

calcular P(Z > 1,60), isto é, p = P(Z > 1,60) =1 – Φ(1,60) = Φ(-1,60) = 5,48%.

Como a significância do resultado

(5,48%) é maior que a significância do teste

(5%) não é possível rejeitar a hipótese nula.



n

sX

X

n

XX

tµ

σ̂

µ1

−=

−=−

1313


tn-1 > tc

(teste unilateral/unicaudalà direita)

tn-1 < tc

(teste unilateral/unicaudalà esquerda)

|tn-1| > tc



P(t < tc ) = 1− α


P(t < tc ) = α


P(t < tc ) = α/2 ou P(t > tc ) = α/2


Onde tc é tal que:


Suponha que a sua empresa comprou

um lote de lâmpadas. Você precisa testar, a

5% de significância, a afirmação do

fabricante de que a duração média das

lâmpadas é maior que 800 horas.


Para isto você usa uma amostra de 36

lâmpadas e encontra uma média 820 horas

com desvio de 70 horas. Isto confirma a

afirmação do fabricante?



com σ desconhecido.

HipótesesHipótesesHipótesesHipóteses::::

H0: µ = 800 horas

H1: µ > 800 horas


n = 36= 820 horas

s = 70 horas

α = 5%

X


Então:

714,170

12020800820Xt

670

3670

ns35 ===

−=

µ−=


ns

X

X1n

X

ˆ

Xt

µ−=

σ

µ−=−

1414


O valor crítico tc é tal que: P(T > tc) = 1- α

Então tc = 1,690. Assim RC = [1,690; ∞)

DecisãoDecisão ee ConclusãoConclusão::

Como t = 1,714 ∈ RC ou

1,714 > 1,690, Rejeito H0, isto é, a 5% de

significância, pode-se afirmar que a duração

média das lâmpadas é superior a 800 horas.


714,1

%5α =

); 690,1[RC ∞=Região de Não Rejeição


Opção:

Trabalhar com a significância do

resultado obtido (1,714), isto é, o valor-p.

Para isto, deve-se calcular P(T35 > 1,714).

Utilizando o Excel, tem-se:Como a significância do resultado (4,77%) é

menor que a significância do teste (5%) é possível

rejeitar a hipótese nula.


Vimos que a probabilidade de cometer erro do

tipo I é determinada ou fixada. Já a probabilidade

do erro do tipo II normalmente não é determinada,

pois a hipótese alternativa fornece um conjunto

infinito de opções.

Entretanto se supormos valores para a hipótese

alternativa a probabilidade β de se cometer erro II

pode ser determinada.

1515


A probabilidade de erro II depende do valor

real de θ (parâmetro sendo testado). Ela será

grande para pequenos afastamentos e pequena para

grandes afastamentos.

Se os valores de β forem plotados em função

do parâmetro suposto θ teremos uma curva

representando os valores de do erro do tipo II.


Hipóteses:

H0: µ = 5,5

H1: µ > 5,5


σ = 2,0 n = 64

= 5,9 α = 5%X

Determinar a curva do erro do tipo II

para os dados do problema das notas da turma

de Estatística.

Tem-se:


Devemos determinar:

β = P(Aceitar Ho | Ho é falsa) .

Mas:

)3225,6X(P)5,5.645,1X(P

)5,5.645,1X(P)645,15,5X

(P

)645,1µX

(P)645,1Z(Pβ

640,2

640,2

640,2

nσ

<=+<=

=+<=<−

=

=<−

=<=

µµµµ ββββ µµµµ ββββ µµµµ ββββ5,55,55,55,5 95,00 6,26,26,26,2 59,68 6,96,96,96,9 12,40

5,65,65,65,6 92,58 6,36,36,36,3 51,79 7,07,07,07,0 8,77

5,75,75,75,7 89,34 6,46,46,46,4 43,84 7,17,17,17,1 6,00

5,85,85,85,8 85,20 6,56,56,56,5 36,13 7,2 3,96

5,95,95,95,9 80,09 6,66,66,66,6 28,94 7,3 2,53

6,06,06,06,0 74,05 6,76,76,76,7 22,51 7,4 1,59

6,16,16,16,1 67,1867,1867,1867,18 6,86,86,86,8 16,98 7,57,57,57,5 0,930,930,930,93

β para α = 5%, n = 64 e s = 2,0


Erro do tipo II para α = 5%, n = 64


1616


H0: µ = µ0

H1: µ ≠ µ0

Considere as hipóteses:

e suponha que avariabilidade σ éconhecida.

Para determinar β (probabilidade de erro do

tipo II) suponhamos que a hipótese nula é falsa e

determinamos a distribuição de Z0.


Vamos supor que a média verdadeira é

µ1 = µ + δ, δ > 0. Como H1 é verdadeira Z0 édistribuído como:

σ

nδZ

δX

)δ(XµXX

nσ

nσ

1

nσ

1

nσ

X

X0

µ

µ

σ

µZ

+=+=

====

-

----


Logo a distribuição de Z0 é:

)1 ,σ

nδ(N~Z0

As distribuições de Z0 sob H0 e H1

são mostradas na próxima lâmina.


Sob H0Sob H1

)1 ,σ

nδ(N

σ

nδ0 Z0Z 2/αZ 2/α−

)1 ,0(N

β


Note-se que se H1 é verdadeira, o erro

do tipo II só vai ocorrer quando o valor de

Z0 estiver na região de aceitação, isto é,

quando -za/2 ≤ Z0 ≤ za/2 onde )1 ,σ

nδ(N~Z0


Esta probabilidade é determinada por:

)σ

nδ()

σ

nδ(β zz 2/α2/α -- Φ−Φ=

se o teste é bilateral e por:

)σ

nδ(β zα -Φ=

se o teste é unilateral

1717


A CCOCCOCCOCCO (CCCCurva CCCCaracterística de OOOOperação) é

representada em um diagrama, onde no eixo nas

abscissas é registrado o valor dddd ==== |δδδδ | / σσσσ e no eixo

das ordenadas a probabilidade de erro do tipo II (β).


Esta probabilidade em função de “d”é:

)nd()nd(β zz 2/α2/α --- ΦΦ=

se o teste é bilateral e por:

)nd(β zα -Φ=

se o teste é unilateral


CCOs a 5% para um teste bilateral


CCOs a 5% para um teste unilateral


CCOs a 1% para um teste bilateral

1818


CCOs a 1% para um teste unilateral


H0 : π = π0

H1 : π > π0 (teste unilateral/unicaudal à direita)

π < π0 (teste unilateral/unicaudalà esquerda)

π ≠ π0 (teste bilateral/bicaudal) .



n

)1(

PPZ

P

P

π−π

π−=

σ

µ−=


Z > z0


Z < z0


|Z| > z0



Afirma-se que 40% dos alunos de uma

universidade são fumantes. Uma amostra de

225 estudantes selecionados ao acaso mostrou

que apenas 72 eram fumantes. Teste a 1% a

hipótese de que a afirmação foi exagerada.


Trata-se de um teste unilateral à

esquerda para a proporção. A variável teste é:


f = 72n = 225

p =72/225=32%

α = 1%

Hipóteses:

H0: π = 40%

H1: π < 40%

1919


Então:n

)1(

PPZ

P

P

π−π

π−=

σ

µ−=

45,20326,0

08,0

225

)40,01(40,0

40,032,0PZ

P

P −=−

=−

−=

σ

µ−=


O valor crítico zc é tal que: Φ(zc ) = α =

= 0,01 = 1%. Então zc = Φ−1(0,01) =

= -2,33. Assim RC = (-∞;-2,33]

Decisão e Conclusão:Como z = -2,45 ∈ RC ou

-2,45 < -2,33. RejeitoRejeitoRejeitoRejeito H0, isto é, a 1% designificância posso afirmar que a afirmação éexagerada..


45,2−

%1α =

Região de Não Rejeição]33,2;(RC −−∞=


Opção:


resultado obtido (-2,45), isto é, o valor-p. Para

isto, deve-se calcular P(Z < -2,45), isto é,

p = P(Z < -2,45) = Φ(-2,45) = 0,71%.


(0,71%) é menor que a significância do teste

(1%) éééééééé possívelpossívelpossívelpossívelpossívelpossívelpossívelpossível rejeitar a hipótese nula.


HHHH0000 :::: σσσσ2222 ====

HHHH1111 :::: σσσσ2222 >>>>

(teste(teste(teste(teste unilateral/unilateral/unilateral/unilateral/unicaudalunicaudalunicaudalunicaudal àààà direita)direita)direita)direita)

σσσσ2222 <<<<

(teste(teste(teste(teste unilateral/unilateral/unilateral/unilateral/unicaudalunicaudalunicaudalunicaudal àààà esquerda)esquerda)esquerda)esquerda)

σσσσ2222 ≠≠≠≠

(teste(teste(teste(teste bilateral/bicaudal)bilateral/bicaudal)bilateral/bicaudal)bilateral/bicaudal) ....

σ20

σ20

σ20

σ20



σ

−=χ − 2

22

1ns)1n(

2020


((((teste unilateral/unicaudal à direita)



χ>χ −22

c1n

χ<χ −22

c1n

ou 2222c1nc1n χ<χχ>χ −−


((((teste unilateral/unicaudalà direita)



α-1 ) 2 2 χχ(Pc1n

=<−

α ) 2 2 χχ(Pc1n

=>−

2/α ) 2 2 ou 2/α ) 2 2 χχ(Pχχ(Pc1nc1n

=>=<−−

Onde é tal que:


O fabricante de uma certa marca de surdina

de carro divulga que as suas peças tem uma

variância de 0,8 anos. Uma amostra aleatória de

16161616 peças mostrou uma variância de umumumum ano.

Utilizando uma significância de 5%, teste se a

variânciade todas as peças é superior a 0,8 anos.



para a variância.

HipótesesHipótesesHipótesesHipóteses::::

H0: σ2 = 0,8 anos

H1: σ2 > 0,8 anos


n = 16s = 1 ano

α = 5%


Então:


σs

χ 2

2

1n

)1n(2 −=

−

75,188,0

15

8,0

1).116(s)1n(2

22

15==

−=

σ

−=χ


O valor crítico c2c é tal que:

P(c2 > c2c ) = a = 5%. Então:

c2c = 24,996. Assim: RC = [24,996; ∞)

Decisão e Conclusão:Como χ2

15 = 18,75 ∉ RC ou18,75 < 24,996, AceitoAceitoAceitoAceito HHHH0000, isto é, a 5% designificância, nãonãonãonão se pode afirmar que avariância é maior que 0,80 anos.

2121


75,18

%5α =



Opção:



Para isto, deve-se calcular P(χ215 > 18,75).

Utilizando o Excel, tem-se:

Como a significância do resultado obtido

(22,59%) é maior que a significância do teste (5%)

não é possível rejeitar a hipótese nula.



Independentes

DependentesTeste “t” para amostrasemparelhadas

Variâncias

Conhecidas

Variâncias

Desconhecidas

Teste “z”

Supostasiguais

Supostasdiferentes


2222


Diferença entre duas médias

(µ1 - µ2 = ∆)

Diferença entre duas proporções

(π1 - π2 = ∆)

Igualdade entre duas variâncias

( )σσ 2Y

2X =




mn

YXYXZ

σσσ

µ2Y

2XYX

YX

+

∆−−=

−−=

−

−


Z > zc


Z < zc


|Z| > zc



Φ(zc ) = 1− α


Φ(zc ) = α


Φ(zc ) = α/2 ou Φ(zc ) = 1− α/2


Onde zc é tal que:


Uma grande empresa quer comprar peças de

dois fornecedores diferentes. O fornecedor “AAAA”

alega que a durabilidade é de 1000 horas com

desvio de 120 horas, enquanto que o fornecedor

“BBBB” diz que a duração média é de 1050 horas com

desvio padrão de 140140140140 horas.

2323


Para testar se a durabilidade de “BBBB” é

realmente maior, duas amostras de tamanho nnnn ====

mmmm ==== 64646464, de cada um dos fornecedores, foram

obtidas. A duração média da amostra AAAA foi de

995995995995 horas e a BBBB foi de 1025102510251025. Qual a conclusão a

5% de significância?


Trata-se de um teste unilateral à

esquerda com σ1 e σ2 conhecidos.

Hipóteses:

H0: µ1 = µ2

H0: µ1 < µ2


n = m = 64

σ1 = 120; σ2 = 140

= 995 e = 1025

α = 5%

X Y


Então:


mn

YXYXZ

σσσ

µ2Y

2XYX

YX

+

∆−−=

−−=

−

−

30,1

6464

01025995

mn

YXZ

140120σσ 222Y

2X

−=

+

−−=

+

∆−−=


OO valorvalor críticocrítico zzcc éé taltal queque:: Φ(zc ) = α =

= 0,05 = 5%. Então zc = Φ−1(0,05) == -1,645. Assim RC = (- ∞; -1,645]

Decisão e Conclusão:Como z = -1,30 ∉ RC ou -1,30 > -1,645,

AceitoAceitoAceitoAceito HHHH0000, isto é, a 5% de significância nãonãonãonão se

pode afirmar que a média de AAAA é menor que a média

de BBBB


30,1−%5α =

];645,1;(RC −−∞= Região de Não Rejeição


Opção:Trabalhar com a significância do resultado

obtido (-1,30), isto é, o valor-p. Para isto, deve-se

calcular P(Z < -1,30), isto é, p = P(Z < -1,30) =

Φ(-1,30) = 9,68%.


(9,68%) é maior que a significância do teste (5%)

não é possível rejeitar a hipótese nula.

2424



m

1

n

1s

YXYX

σ̂

µt

YX

YXυ

+

∆−−=

−−=

−

−


Onde s é dado por:

2mn

)1m()1n(s

ss 2Y

2X

−+

−+−=

e v é dado por: n + m - 2


Um relatório da defesa do consumidor

mostrou que um teste com oitooitooitooito pneus da marca AAAA

apresentaram uma vida média de 37500375003750037500 kmkmkmkm com

um desvio padrão de 3500350035003500 kmkmkmkm e que dozedozedozedoze de uma

marca concorrente BBBB, testados nas mesmas

condições, tiveram uma durabilidade média de

41400414004140041400 kmkmkmkm com variabilidade de 4200420042004200 kmkmkmkm.


Supondo que as variânciasvariânciasvariânciasvariâncias

populacionaispopulacionaispopulacionaispopulacionais sejamsejamsejamsejam asasasas mesmasmesmasmesmasmesmas e admitindo

uma significânciasignificânciasignificânciasignificância dededede 5555%%%%, verifique se é

possível afirmar que as duas marcas diferemdiferemdiferemdiferem

quanto a durabilidade média. E se a

significância fosse 1111%%%% qual seria a

conclusão?


Trata-se de um teste “t” bilateral com σ1

e σ2 supostamente iguais.

Hipóteses:

H0: µ1 = µ2

H0: µ1 ≠ µ2


n = 8; m = 12

sA = 3500; sB = 4200

= 37500; = 41400

α = 5% ;

X Y

σσ 2B

2A =


Onde:


m

1

n

1.s

YXYX

σ̂

µt

YX

YX2mn

+

∆−−=

−−=

−

−−+

2mn

)1m()1n(s

SS 2B

2A

−+

−+−=

2525


Então:

129,2

12

1

8

19651,4012

04130037500

m

1

n

1.S

YXt18

−=

=

+

−−=

+

∆−−=

9651,40122128

.11.7s 42003700 22

=−+

+=


O valor crítico tc é tal que: P(|Τ18| > tc ) =

= α = 0,05 = 5%. Então tc = T−1(0,9750) = 2,101.

Assim RC = (- ∞; -2,101]∪[ 2,101; + ∞)


Como t = -2,129 ∈RC ou -2,129 < -2,101,

Rejeito H0, isto é, a 5% de significância posso

afirmar que a vida média das duas marcas difere.


%5,22

α= %5,2

2

α=

Região de Não Rejeição

);101,2[]101,2;(RC +∞−−∞= U

129,2−182128

2mnν

=−+=

=−+===tt 18ν


O valor crítico tc é tal que: P(|T18| > tc ) == α = 0,01 = 1%. Então tc = T-1(0,9950) == 2,878. Assim RC = (- ∞; -2,878]∪[ 2,878; + ∞)


Como t = -2,129 ∉RC ou -2,129 > -2,878,

AceitoAceitoAceitoAceito HHHH0000, isto é, a 1% de significância nãonãonãonão

posso afirmar que a vida média das duas

marcas difere.



mn

YXYX

ssσ̂

µt

2Y

2XYX

YXυ

+

∆−−=

−−=

−

−


Onde v é dado por:

1m

2Y

1n

2X

2Y

2X

υ

m

S

n

S

m

S

n

S

22

2

−+

−

=

+

2626


tv > tc

(teste unilateral/unicaudal à direita)tv < tc


|tv| > tc


Rejeita-se a hipótese nula se:


P(tv < tc ) = 1− α


P(tv < tc ) = α


P(tv < tc ) = α/2 ou P(tv > tc ) = α/2


Onde tc é tal que:


Uma empresa fabrica transistores do tipo A

e do tipo B. A marca AAAA, mais cara, é

supostamente pelopelopelopelo menosmenosmenosmenos 60606060 horas mais durável

do que a marca BBBB. Um usuário quer saber se vale

a pena pagar mais pela marca A e resolve testar

se, de fato, ela é mais durável.


Testa 20202020 itens de AAAA encontrando uma vida

média de 1000100010001000 horashorashorashoras com desvio de 60606060 horashorashorashoras,

enquanto que 20202020 itens da marca BBBB apresentam

uma vida média de 910910910910 horashorashorashoras com desvio de 40404040

horashorashorashoras. Qual a conclusão a 5555%%%% de significância?


Trata-se de um teste “t” unilateral àdireita com σ1 e σ2 supostamentedesiguais.

Hipóteses:

H0: µ1 - µ2 = 60

H0: µ1 - µ2 > 60

DadosDadosDadosDados::::n = m = 20

sA = 60; sB = 40

= 1000; = 910

α = 5% ;X Y

σσ 2B

2A ≠


Onde:


mn

YXYX

ssσ̂

µt

2Y

2XYX

YXυ

+

∆−−=

−−=

−

−

( ) ( )1m

2Y

1n

2X

2Y

2X

υmSnS

m

S

n

S

22

2

−+

−

=

+

2727


E:

861,1

2020

609101000

mn

YX

4060sst

222Y

2X

υ =

+

−−=

+

∆−−=

33

120

2

120

2

22

υ

2040

2060

20

40

20

60

22

2

≅

−+

−

=

+


O valor crítico tc é tal que: P(T33 > tc ) =

= α = 0,05 = 5%. Então tc = T-1(0,95) =

1,692. AssimAssimAssimAssim RCRCRCRC ==== [[[[ 1111,,,,692692692692;;;; ++++ ∞∞∞∞ ))))


Como t = 1,861 ∈RC ou 1,861 > 1,692,

RejeitoRejeitoRejeitoRejeito HHHH0000, isto é, a 5% de significância posso

afirmar que a vida média da marca é pelomenos 60 horas maior que a marca B.


%5=α

); 692,1[RC ∞=861,1

Região de Não Rejeição

tt 33=ν

33

120

2

120

2

22

υ

2040

2060

2040

2060

22

2

≅

−+

−

=

+


H0 : π1 – π2 = ∆

H1 : π1 – π2 > ∆

(teste unilateral/unicaudal à direita)π1 – π2 < ∆


π1 – π2 ≠ ∆


Teste para a diferença entre duas proporções:



m

)P1(P

n

)P1(P

PP

ˆ

PP Z

2211

21

P 2P 1

P 2P 121

−+

−

∆−−=

=σ

µ−−=

−

−


Z > zc


Z < zc


|Z| > zc



2828


Φ(zc ) = 1− α


Φ(zc ) = α


Φ(zc ) = α/2 ou Φ(zc ) = 1 - α/2


Onde zc é tal que:


A reitoria de uma grande universidade

entrevistou 600 alunos, 350 mulheres e 250 homens,

para colher a opinião sobre a troca do sistema de

avaliação da universidade. Da amostra 140

mulheres e 115 homens estavam a favor. Teste a 5%

se existe diferença significativa de opinião entre

homens e mulheres.


Trata-se de um teste bilateral para a

proporção.

Hipóteses:

H0: π1 = π2

H0: π1 ≠ π2


n = 350; m = 250

p1 = 140/350 = 40%

p2 = 115/250 = 46%

α = 5% ;



21,202718,0

06,0

250

)46,01(46,0

350

)40,01(40,0

046,040,0m

)1(

n

)1( Z

PPPPPP

2211

21

−=−

=

=−

+−

−−=

=−

+−

∆−−=


O valor crítico zc é tal que: P(|Ζ| > zc ) =

= α = 0,05 = 5%. Então zc = Φ−1(0,05) =-1,96. Assim RC = (- ∞; -1,96]∪[ 1,96; + ∞)

DecisãoDecisão ee ConclusãoConclusão::

ComoComo zz == --22,,2121 ∈∈RCRC ouou --22,,2121 << --11,,9696,,

RejeitoRejeitoRejeitoRejeitoRejeitoRejeitoRejeitoRejeito HHHHHHHH00000000,, istoisto é,é, aa 55%% dede significânciasignificância possoposso

afirmarafirmar queque asas opiniõesopiniões diferemdiferem entreentre homenshomens ee

mulheresmulheres..Curso: Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção - Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamentode Estatística

%5,22

α= %5,2

2=

α

RegiãoRegiãoRegiãoRegiãoRegiãoRegiãoRegiãoRegião dededededededede NãoNãoNãoNãoNãoNãoNãoNão RejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeição

);96,1[]96,1;(RC +∞−−∞= U

21,2−

2929


H0 : =

H1 : > (teste unilateral/unicaudal à direita)

< (teste unilateral/unicaudalà esquerda)

≠ (teste bilateral/bicaudal) .

σ22

σ22

σ22

σ22

σ21

σ21

σ21

σ21

Teste para a igualdade de duas variâncias:



SS

F 2Y

2X

1m ,1n =−−





f F c1-m 1,-n >

f F c1-m 1,-n <

f F ou f F c1-m 1,-nc1-m 1,-n <>



Onde Fn-1;m-1 é tal que:




α=>− ) F F(P c1-m ,1n

α=<− ) F F(P c1-m ,1n

2/ ) F F(P ou 2/ ) F F(P c1-m ,1nc1-m ,1n α=<α=> −−


O desvio padrão de uma dimensão particular

de um componente de metal é satisfatório para a

montagem do componente. Um novo fornecedor

está sendo considerado e ele será preferível se o

desvio padrão é menor do que o do atual

fornecedor. Uma amostra de 100 itens de cada

fornecedor é obtido.


Fornecedor atual: s12 = 0,0058

Novo fornecedor: s22 = 0,0041

A empresa deve trocar de fornecedor se for

considerado uma significância de 5%?

3030



para a igualdade de variâncias.

Hipóteses:

H0: σ12 = σ2

2

H0: σ12 > σ2

2


n = m = 100

s12 = 0,0058

s22 = 0,0041

α = 5%



SS

22

21 F =

Que apresenta uma

distribuição F com “n – 1” g.l.

no numerador e “m – 1” g.l.

no denominador.

Então:41,1

0041,0

0058,0 fss

22

21 ===


O valor crítico fc é tal que: P(|F| > fc ) =

= α = 0,05 = 5%. Então fc = F−1(0,05) =1,39. Assim RC = [ 1,39; + ∞)


Como f = 1,41 ∈RC ou 1,41 < 1,39,

RejeitoRejeitoRejeitoRejeito HHHH0000, isto é, a 5% de significância

posso afirmar que a variância do fornecedor

atual é maior do que a do novo fornecedor.Curso: Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção - Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamentode Estatística

%5α =

41,1); 39,1[RC ∞=Região de Não Rejeição

39,1FF 99;991-m1;-n ==


H0 : µD = ∆

H1 : µD > ∆

(teste unilateral/unicaudal à direita)µD < ∆


µD ≠ ∆


3131



nD

Dυ S

DD

Dσ̂

µt

∆−=

−=


Onde :

1n

dnd

1n

)dd(s

n

dd

22i

2i

i

−

∑ −=

−

∑ −=

∑=

e v é dado por: n –1 = m – 1.


tn-1 > tc


tn-1 < tc


|tn-1| > tc

(teste bilateral/bicaudal) .Curso: Engenharia de Processos e de Sistemas de Produção - Prof. Lorí Viali, Dr. – PUCRS – FAMAT: Departamentode Estatística

P(tn-1 < tc ) = 1− α


P(tn-1 < tc ) = α


P(tn-1 < tc ) = α/2 ou P(tn-1 > tc ) = α/2

(teste bilateral/bicaudal)

Onde tc é tal que:


Um laboratório possui dois

equipamentos de precisão. O diretor

suspeita que existe uma pequena diferença

de calibração entre os dois (ele não sabe em

qual deles) de modo que um tende a dar

leituras um pouco maiores do que o outro.


Ele propõe testar os dois aparelhos

através da leitura de 10 medidas (tabela na

próxima lâmina) em cada um dos aparelhos.

Faça o teste adequado a uma significância

de 5%.

3232


Aparelho A Aparelho B12,2 12,512,1 12,210,55 10,5713,33 13,3211,42 11,4710,30 10,3012,32 12,3613,27 13,29

11,93 11,9112,50 12,61


Uma vez que as amostras não são

independentes, trata-se do teste “t” para

amostras emparelhadas.

Hipóteses:

H0: µD = 0

H1: µD ≠ 0


n = m = 10

α = 5%


Onde:


nD

D1n S

DD

Dσ̂

µt

∆−=

−=−

1n

n

1n

)d(s

nd

ddd

d

22i

2i

i

−

−=

−

−=

=

∑∑

∑


A B di di2

12,2 12,5 0,30 0,090012,1 12,2 0,10 0,010010,55 10,57 0,02 0,000413,33 13,31 -0,02 0,000411,42 11,44 0,02 0,000410,30 10,30 0,00 0,000012,32 12,36 0,04 0,001613,27 13,29 0,02 0,000411,93 11,90 -0,03 0,000912,50 12,61 0,11 0,0121

-- -- 0,560,560,560,56 0,11620,11620,11620,1162


Tem-se:


824,10971,0

10.056,00056,0Dt

100971,0

nS D

1n ==−

=∆−

=−

0560,010

56,0

nd

d i ===∑

0971,0110

.101162,0

1n

ns

056,0dd 222i =

−

−=

−

−=

∑


O valor crítico zc é tal que: P(|T| > tc )

= α = 0,05 = 5%. Então tc = T−1(0,05) =

= 2,262. Assim RC = [2,262; + ∞].

DecisãoDecisão ee ConclusãoConclusão::Como t = 1,824 ∉ RC ou 1,824 < 2,262,

AceitoAceitoAceitoAceito HHHH0000, isto é, a 5% de significância nãonãonãonão se

pode afirmar que as leituras são diferentes.

3333


%5α =

); 262,2[RC ∞=824,1RegiãoRegiãoRegiãoRegiãoRegiãoRegiãoRegiãoRegião dededededededede NãoNãoNãoNãoNãoNãoNãoNão RejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeiçãoRejeição

tt 9=ν



A prova χ² de uma amostra é aplicada

quando se está interessado no número de

indivíduos, objetos ou respostas que se enquadram

em categorias (duas ou mais). Deve comprovar se

existe diferença significativa entre o número

observado em determinada categoria e o número

esperado, baseado na hipótese de nulidade.


O método usado é comparar frequências

observadas com esperadas de acordo com a

hipótese de nulidade. A hipótese de nulidade pode

ser testada por:

∑-

-

k

1i i

22

1k E

)EO(χ ii

=

=


Se há concordância entre os valores

observados e os esperados, as diferenças

(Oi - Ei) serão pequenas e χ2 será também

pequeno. Se as divergências, entretanto,

forem grandes, o valor de χ2, será também

grande.

3434


A distribuição amostral de χ2, sob Ho,

calculada pela fórmula anterior, segue uma

distribuição qui-quadrado com um número de

graus de liberdade igual a “k-1” sendo “k” o

número de categorias em que a variável foi

classificada.


Verificar se existe influência do dia da

semana sobre o número de acidentes que ocorrem

em um trevo rodoviário. Foram anotados 140

acidentes de acordo com o dia da semana (ver

tabela).

DiaDiaDiaDia Número de acidentesNúmero de acidentesNúmero de acidentesNúmero de acidentes

SegundaSegundaSegundaSegunda 16

TerçaTerçaTerçaTerça 25

QuartaQuartaQuartaQuarta 16

QuintaQuintaQuintaQuinta 19

SextaSextaSextaSexta 27

SábadoSábadoSábadoSábado 10

DomingoDomingoDomingoDomingo 27272727

Acidentes no trevo “Boa Viagem”


H0: O número de acidentes é igual

H1: O número de acidentes é diferente


n = 140 k = 7

α = 5% gl = k – 1 = 6

DiaDiaDiaDia ObservadosObservadosObservadosObservados EsperadosEsperadosEsperadosEsperados (O(O(O(O iiii –––– EEEEiiii))))2222/ E/ E/ E/ Eiiii

SegundaSegundaSegundaSegunda 16 20 0,80

TerçaTerçaTerçaTerça 25 20 1,25

QuartaQuartaQuartaQuarta 16 20 0,80

QuintaQuintaQuintaQuinta 19 20 0,05

SextaSextaSextaSexta 27 20 2,45

SábadoSábadoSábadoSábado 10 20 5,00

DomingoDomingoDomingoDomingo 27 20 2,45

TotalTotalTotalTotal 140140140140 140140140140 12,8012,8012,8012,80

CálculoCálculoCálculoCálculo dodododo XXXX2222


Tem-se que:

∑-

-

k

1i i

22

1k E

)EO(χ ii

=

=

Então:

80,12ii7

1i i

22

6 E

)EO(χ ==

=

∑-

Valor observado do Qui-Quadrado

3535


80,12

%5α =


χ 26


O valor crítico é tal que

Assim, este valor éééé::::

χ 2

6 %5)xχ(P 2t

2

6=>

59,12x 2t =


Como ∈ RC ou 12,80 > 12,59,

RejeitoRejeitoRejeitoRejeito HHHH0000, isto é, a 5% de significância se pode

afirmar que os acidentes dependemdependemdependemdependem do dia dasemana.

80,12x 2c =


Opção:



Para isto, deve-se calcular P(χ26 > 12,80).

Utilizando o Excel, tem-se:


Como a significância do resultado obtido

(4,63%) é menor que a significância do teste

(5%) é possível rejeitar a hipótese nula.

Documents

Os testes de hipóteses podem ser: Paramétricos e ...pucrs.br/.../material/laminaspi/THipoteses_Par.pdf · = Nível de significância do teste. Curso: Engenhariade Processose de