Mat2282 k Dep - mat.ufrgs.br viali/estatistica/mat2282/material/laminaspi/Mat... · Os testes O teste

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Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica

Prof. Lor Viali, Dr.

http://www.mat.ufrgs.br/viali/

viali@mat.ufrgs.br

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Os testes

O teste Q de Cochran ;

O teste de Friedman (Anlise de

varincia de duplo fator por postos)

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William Gemmell CochranCochranCochranCochran (1909 - 1980)

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Objetivos

A prova de McNemar para duas

amostras podem ser estendida para situaes

que envolvam mais de duas amostras. Esta

extenso denominada de teste Q de Cochran

para k amostras relacionadas.

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O teste fornece um mtodo para

comprovar se trs ou mais conjuntos

correspondentes de frequncias ou

propores diferem entre si

significativamente.

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A correspondncia pode basear-se em

caractersticas de diversos elementos ou nos

mesmos elementos observados sob condies

diferentes. O teste adapta-se a dados em escala

nominal ou na forma de ordinal dicotomizada.

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Vrias hipteses de pesquisa podem ser

analisadas atravs desta prova. Por exemplo,

pode-se comprovar se vrios itens de um teste

diferem entre si em grau de dificuldade,

analisando-se dados que consistem de

informaes do tipo aprovado-reprovado

(pass-fail) sobre k itens para n elementos.

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Por outro lado, pode-se ter apenas um item

para analisar e querer comparar as respostas de n

indivduos sob k condies diferentes. Aqui,

novamente, se obtm a correspondncia

considerando-se os mesmos indivduos em cada

grupo, mas agora os grupos diferem pelo fato de

que cada um est sujeito a uma condio diferente.

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Comprova-se, ento, se as k condies tero

efeito significativo sobre as respostas dos

indivduos ao item.

Por exemplo, pode-se perguntar a grupo de

eleitores qual de dois candidatos eles preferem, em

k = 5 vezes durante o perodo de campanha.

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No incio da campanha e no auge da

campanha do candidato Tabuf, no auge da

campanha do candidato Enrolando, pouco

antes da votao e logo aps a divulgao dos

resultados. A prova determina se essas

condies tm efeito significativo sobre as

preferncias dos eleitores.

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Mtodo

Se os resultados de um levantamento

podem ser apresentados em uma tabela de

dupla entrada com l linhas e k colunas,

possvel testar a hiptese de que a proporo

de respostas a mesma em cada coluna.

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Cochran mostrou (1950) que se a

hiptese nula verdadeira, isto , sucessos

ou falhas se distribuem aleatoriamente

pelas linhas e colunas da tabela e se o nmero

de linhas no muito pequeno:

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O valor:

tem distribuio aproximadamente qui-

quadrado com v = k 1 = grau de liberdade.

( )

=

==

=

n

1i

2i

n

1ii

k

1j

2

LLk

GG)1k(k

Q

j

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Onde:

Gj = total de sucessos na coluna j;

= mdia dos Gj;

Li = total de sucessos na linha i;

G

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Uma expresso equivalente, mas que facilita o

clculo :

=

==

==

n

1i

2i

n

1ii

2k

1jj

k

1j

2j

LLk

GGk)1k(

Q

A probabilidade associada ocorrncia, sob

H0, de valores observados de Q pode ser

determinada atravs do qui-quadrado.

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Se o valor de Q calculado por uma das

expresses no inferior a um valor especificado

a um determinado nvel de significncia

gl = k - 1, a concluso que a frequncia de

sucessos difere entre as vrias amostras. Isto ,

H0 pode ser rejeitada quele nvel de

significncia.Prof. Lor Viali, Dr. UFRGS Instituto de Matemtica - Departamento de Estatstica Curso de Estatstica

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Suponha que se tenha interesse em

estudar a influncia do entrevistador sobre as

respostas de donas de casa a uma pesquisa de

opinio. Pode-se treinar um entrevistador

para realizar as entrevistas de trs formas:

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1111 - demonstrando interesse, cordialidade,

entusiasmo;

2222 - demonstrando formalismo, reserva e

cortesia;

3333 - demonstrando desinteresse, modo

abrupto, formalismo spero.

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O entrevistador visita trs grupos de 18

donas de casa. Aplica a entrevista tipo I a um

grupo, a tipo 2 a outro grupo e a tipo 3 ao terceiro

grupo. Forma-se assim 18 conjuntos de donas de

casa com 3 delas se correspondendo (com base

em variveis relevantes) em cada conjunto.

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Os tipos de entrevista so atribudos

aleatoriamente. Tem-se assim 3 amostras

relacionadas (correspondentes) com 18 elementos

cada uma (n = 18). Pode-se comprovar ento se as

diferenas nas entrevistas influenciam o nmero de

respostas afirmativas (sim) dadas a determinada

pergunta, pelos trs grupos correspondentes.

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H0: A probabilidade de um sim a

mesma para os trs tipos de entrevista;

H1: A probabilidade de um sim difere

conforme o tipo de entrevista.

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TesteTesteTesteTeste:::: Q de Cochram porque os dados se referem a

mais de dois grupos relacionados (k = 3) e se

apresentam dicotomizados sob forma sim e

no;

SignificnciaSignificnciaSignificnciaSignificncia:::: Sejam = 0,01 e n = 18;

DitribuioDitribuioDitribuioDitribuio amostralamostralamostralamostral:::: Sob H0, Q tem distribuio

aproximadamente qui-quadrado com gl = 2.

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ConjuntoConjuntoConjuntoConjunto EEEE1111 EEEE2222 EEEE3333

1 0 0 0

2 1 1 0

3 0 1 0

4 0 0 0

5 1 0 0

6 1 1 0

7 1 1 0

8 0 1 0

9 1 0 0

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ConjuntoConjuntoConjuntoConjunto EEEE1111 EEEE2222 EEEE3333

10 0 0 0

11 1 1 1

12 1 1 1

13 1 1 0

14 1 1 0

15 1 1 0

16 1 1 1

17 1 1 0

18 1 1 0

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ConjuntoConjuntoConjuntoConjunto EEEE1111 EEEE2222 EEEE3333

Total 13 13 3

Li Li2

29 63

Gj13+13+3 = 29

[ ]70,16

6329.3

29)31313.(3)13(

LLk

GGk)1k(

Q2222

n

1i

2i

n

1ii

2k

1jj

k

1j

2j

=

++=

=

==

==

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A significncia desse resultado :

Isto : valor-p = 1- 0,9998 = 0,02%.

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Note que n = 18 = nmero de linhas.

Entretanto Cochran no faz referncia ao

tamanho mnimo das linhas para que a

aproximao pela distr