ESTRUTURA DO CURSO
INTRODUÇÃO (1aula)
REVISÃO MATEMÁTICA (2aulas)
PLANIMETRIA (10 aulas)
NOÇÕES DE APARELHOS EM TOPOGRAFIA (1 aula prática)
GEODÉSIA (3 aulas)
ALTIMETRIA (7 aulas)
CARTOGRAFIA (2 aulas)
PLANIALTIMETRIA (2aulas)
LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO (1 aula prática)
NAVSTAR / GPS (1 aula)
REPRESENTAÇÃO TOPOGRÁFICA EM CAD (1 aula prática)
Geodésia: conceito
Geodésia é a ciência que se ocupa da forma, das dimensões e do campo
de gravidade da Terra. O IBGE é responsável no País pela manutenção
do Sistema Geodésico Brasileiro, formado pelo conjunto de estações
cuja posição referencia os diversos projetos de engenharia.
Os objetivos da topografia e da geodésia são similares, tratando ambas
de representar porções da superfície da terra. No entanto, a topografia
se ocupa de áreas com dimensões reduzidas, para a implantação de
obras de engenharia de pequeno porte. Já a geodésia, parte para o geral,
onde os pontos levantados possuem uma referência global.
Recentemente, com o avanço das Geotecnologias
(GPS geodésico, Sensoriamento remoto e SIG’s),
tem sido comum o uso de coordenadas UTM
(geodésicas) em áreas reduzidas.
Essas coordenadas globais são transformadas em
locais (topográficas) e vice-versa, visando a
uniformização dos dados.
Geodésia
Importância do estudo da Geodésia em topografia:
Levantamentos topográficos com dimensões superiores a 25-30 km
devem considerar a curvatura do planeta para as suas representações.
Exemplo: Os efeitos da curvatura da Terra na medição de distâncias:
O maior desafio das geociências, entre elas a
topografia e a cartografia, é representar tudo
que existe em uma superfície curva (Terra) em
uma superfície plana (projeção horizontal ).
Geodésia: formato da terra
Aristóteles: primeiros argumentos para uma Terra Esférica (384 a.C.)
Eratóstenes: determinou geometricamente a circunferência do
planeta terra com precisão incrível até para os dias de hoje (250 a.C.)
Colombo: que conhecia as idéias dos gregos, mas não era muito bom
em geometria, calculou o caminho mais longo para se chegar às
Índias e acabou descobrindo a América no meio do caminho (1492).
Geodésia: formato da terra
Isaac Newton (1642-1727) considerou
a forma da Terra como uma figura
geométrica gerada pela rotação de uma
elipse em torno do eixo menor,
chamada elipsoide de revolução.
Entretanto, a superfície do planeta é
irregular, configurando uma geóide.
Johann Friedrich Gauss (1777-1855)
definiu a superfície geoidal como uma
superfície equivalente ao campo de
gravidade que coincide com o nível
médio não perturbado dos mares.
Geodésia: formato da terra
Pela dificuldade do ajuste de um modelo
(equação) para o geóide e para simplificar os
cálculos geodésicos adotou-se um modelo
próximo do geóide na forma e no tamanho,
chamado elipsóide de referência. Em geral,
cada país ou região adotou um tipo de
elipsoide que mais se adequasse ao geóide.
Sistema geodésico: a forma e o tamanho de
um elipsoide, bem como, sua posição relativa
ao geóide definem um sistema geodésico
Datum Geodésico: marcos topográficos
precisos que servem como referencial para os
levantamentos a serem realizados em uma
região do planeta. São pontos coincidentes
entre o geóide e a elipsóide local.
Geodésia: Sistema geodésico de referência
O IBGE define o SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO – SGB
como um sistema coordenado, utilizado para representar características
geométricas ou físicas do território nacional. Na prática, serve para a
obtenção de coordenadas (latitude e longitude), que possibilitam a
localização em mapas de qualquer elemento da superfície do país”
O SGB utiliza desde o final dos anos 80, a tecnologia NAVSTAR/GPS,
uma evolução dos métodos de posicionamento até então usados, e é
composto pelas redes planimétrica, altimétrica e gravimétrica de pontos
Até 1979: o SGB utilizou o Datum Córrego Alegre para a elipsóide
Hayford (internacional).
Após 1979: utilizou o Datum SAD-69 para a elipsóide GRS 1967.
À partir de 25/02/2005: o Brasil adotou o Sistema de Referência
Geocêntrico para as Américas - SIRGAS 2000 como o novo sistema
de referencia geodésico para o SGB. Utiliza a Elipsóide GRS 80.
Geodésia: Sistema geodésico brasileiro atual
Sua orientação é geocêntrica, ou
seja, adota um referencial calculado
no centro da terra (geóide) e não
mais na superfície (DATUM).
SIRGAS-2000 (Sistema de referência Geocêntrico para as Américas).
Eliminou muitos dos problemas de
discrepância entre as coordenadas
lidas pelo sistema GPS e aquelas
encontradas nos mapas mais antigos
que utilizavam os sistemas
anteriores de referência.
IBGE – disponibiliza softwares
gratuitos para conversão p/ o
SIRGAS.
Geodésia: Sistemas de coordenadas
Em planimetria, vimos a representação de pontos
em um sistema cartesiano. Para localizar um
ponto nesse sistema, utilizamos dois eixos
perpendiculares (x,y), que se relacionavam entre
si, indicando o ponto desejado.
Para representar pontos na elipsoide, utilizamos
também o sistema cartesiano, só que curvilíneo
(paralelos e meridianos), no qual, acrescentamos
uma terceira coordenada (z) denominada altitude.
O sistema de coordenadas geográficas é montado a partir de uma
esfera em três dimensões, onde graus de latitude e longitude são
utilizados para medir posições no mundo real. A unidade de medida
é o grau e dele derivam minutos e os segundos (1º=60’=3 600’’).
Geodésia: Coordenadas geográficas globais
Cada ponto da superfície terrestre está situado na interseção entre um
meridiano (longitude) e um paralelo (latitude). O sistema possui duas
linhas de referência: paralelo do Equador e Meridiano de Greenwich.
As medidas são feitas em linhas curvas nos paralelos e meridianos,
Geodésia: Coordenadas geográficas globais
Latitude global: distância angular (graus,
minutos e segundos) medida sobre os
paralelos da esfera tendo a sua referência no
paralelo do Equador (valor zero). Partindo-se
dessa referência, em direção aos Polos Norte e
Sul (até 90º positivos ou negativos), sendo que
os circulos diminuem progressivamente
Longitude global: distância angular (graus,
minutos e segundos) medida sobre os
meridianos da esfera, tendo a sua referência
(valor zero) no meridiano de Greenwich.
Partindo-se dessa referência na direção Leste
ou Oeste por180° atinge-se o antimeridiano
Geodésia – Sistemas de projeção cartográfica
Imagine a seguinte experiência: se desenharmos na superfície de
uma bola de borracha e em seguida a cortarmos longitudinalmente
(polo a polo), esticando-a em uma mesa. Ocorrerá que fatalmente o
desenho que fizemos se deformará de maneira mais intensa nas
extremidades e sofrerá uma distorção menor em seu centro.
Sistemas de projeção: tentam solucionar problema semelhante na
representação de áreas extensas do planeta. Para tanto, recorrem a
representação das superfícies em figuras geométricas similares à
esfera. Entre elas, as mais utilizadas são: o cone, o cilindro e o plano.
Geodésia – Exemplos gráficos de projeções
Geodésia: Projeção Universal Transversa de Mercator - UTM
Sistema UTM: projeção cilíndrica, cônica, criada em 1950 nos
EUA, que abrange todas longitudes. Para tornar isso possível, cria um
fracionamento em 60 “fusos” ou zonas de longitude e “faixas” de 8º
de latitude à partir do Equador. O sistema UTM é adotado no SGB.
O sistema cilíndrico transverso de projeções UTM é utilizado
somente entre as latitudes 84ºN e 80ºS porque as deformações que
ele cria nas regiões polares são extremamente grandes. A diferença
de 4º entre latitudes N e S se deve à diferença de achatamento entre
o hemisfério Norte e o Hemisfério Sul.
Geodésia: Projeção Universal Transversa de Mercator - UTM
Em uma adaptação militar do sistema UTM, as faixas são definidas
por letras de C, a partir de 80°S, até X, que termina em 84°N. Os
fusos são numerados de 1 até 60.
Geodésia: Projeção Universal Transversa de Mercator - UTM
A cada um dos 60 fusos do sistema UTM (6º cada) é associado um
sistema cartesiano com escala métrica, no formato (E, N).
Para se evitar coordenadas negativas, atribui-se à origem do sistema
(interseção da linha do Equador com o meridiano central do fuso) as
coordenadas 500.000m para contagem de coordenadas ao longo do
Equador , e 10.000m para contagem ao longo do meridiano central.
Embora usada no mundo
todo, a projeção UTM
tem seus problemas. O
maior deles é que se
precisarmos mapear uma
região que no sentido
leste-oeste é maior que
6º, a projeção UTM não
pode mais ser utilizada.
Geodésia: Projeção Universal Transversa de Mercator - UTM
Território brasileiro dividido em fusos do sistema UTM
Exemplo: A entrada da Faculdade (face
Júlio de Mesquita) localiza-se
na coordenada UTM:
23 K (364.825E ; 7.351.318N)
onde: Fuso = 23
Faixa de latitude = K
ESTRUTURA DO CURSO
INTRODUÇÃO (1aula)
REVISÃO MATEMÁTICA (2aulas)
PLANIMETRIA (10 aulas)
NOÇÕES DE APARELHOS EM TOPOGRAFIA (1 aula prática)
GEODÉSIA (3 aulas)
ALTIMETRIA (7 aulas)
CARTOGRAFIA (2 aulas)
PLANIALTIMETRIA (2aulas)
LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO (1 aula prática)
NAVSTAR / GPS (1 aula)
REPRESENTAÇÃO TOPOGRÁFICA EM CAD (1 aula prática)
Cálculos de ângulos e distâncias à partir de coordenadas
Até aqui aprendemos que partindo do seno e cosseno do ângulo
“rumo” e da distância horizontal (DH) podemos calcular projeções
nos eixos x,y para os pontos de uma poligonal (longitudes e
latitudes parciais).
Aprendemos também, que as coordenadas UTM são estabelecidas
em metros, ou seja, são relacionadas à terra como se ela fosse
plana (são trabalhadas por setores chamados fusos), Assim, todo
par de ordenadas (E,N) necessita da informação do fuso e da faixa.
Exemplo: fuso 23 faixa K (320.371 E; 7.354,042 N)
* Coordenada obtida com aparelhos GPS (comuns no mercado).
Agora faremos o caminho inverso, calculando o Rumo, o azimute e a
distância horizontal (DH) dos pontos de uma poligonal à partir de
coordenadas parciais (referência aleatória definida pelo topografo) ou
coordenadas globais (UTM).
Cálculos de ângulos e distâncias à partir de coordenadas parciais
Pelo triângulo retângulo: Tangente R = Cateto oposto / Cateto adjacente
Outra forma de escrever :
Tan R = (E1-E0) / (N1-N0);
Ou ainda: Tan R = ∆E / ∆N
Para saber qual ângulo R (rumo)
corresponde a relação ∆E / ∆N, utiliza-se
a função inversa da tangente = Tan-1
Exemplo: Se P0 = (0, 0) e P1 = (3, 3)
Então: ∆E = (3 - 0) e ∆N = (3 - 0)
Rumo = Tan-1 . (3 / 3) Rumo = 45º
P/ calcular a Distância (DH) entre os
pontos, utiliza-se o Teorema de Pitágoras:
DH 01 = √ (∆N)2 + (∆E)2 ;
Para o exemplo anterior temos:
DH 01 = √ 9 + 9
DH 01 = 4,24
Cálculos de ângulos e distâncias à partir de coordenadas parciais
Cálculos de ângulos e distâncias à partir de coordenadas parciais
Cálculos entre os pontos 1 2:
As coordenadas dos pontos são: Ponto 1 = (E1,N1); Ponto 2 = (E2,N2), então:
∆N = (N2 – N1) como N2 > N1 ∆N positivo (+);
∆E = (E2 – E1) como E2 > E1 ∆E positivo (+);
∆N = positivo(+) e ∆E = positivo (+) Rumo no primeiro quadrante (NE)
Azimute (12) = Rumo
Cálculos de ângulos e distâncias à partir de coordenadas
Cálculos entre os pontos 2 3:
As coordenadas dos pontos são: Ponto 2 = (E2,N2); Ponto 3 = (E3,N3), então:
∆N = (N3 – N2) como N3 < N2 ∆N negativo (-);
∆E = (E3 – E2) como E3 > E2 ∆E positivo (+);
∆N = negativo (-) ∆E = positivo (+) Rumo no segundo quadrante (SE)
Azimute (23) = 180º - Rumo (SE)
Cálculos de ângulos e distâncias à partir de coordenadas
Cálculos entre os pontos 3 4:
As coordenadas dos pontos são: Ponto 3 = (E3,N3); Ponto 4 = (E4,N4), então:
∆N = (N4 – N3) como N4 < N3 ∆N negativo (-);
∆E = (E4 – E3) como E4 < E3 ∆E negativo (-);
∆N = negativo(-) ∆E = negativo(-) Rumo no terceiro quadrante (SW)
Azimute (34) = 180º + Rumo (SW)
Cálculos de ângulos e distâncias à partir de coordenadas
Cálculos entre os pontos 4 1
As coordenadas dos pontos são: Ponto 4 = (E4,N4); Ponto 1 = (E1,N1), então:
∆N = (N1 – N4) como N1 > N4 ∆N positivo (+);
∆E = (E1 – E4) como E1 < E4 ∆E negativo (-);
∆N = positivo(+) ∆E = negativo (-) Rumo no quarto quadrante (NW)
Azimute (12) = 360º - Rumo (NW)
Cálculos de ângulos e distâncias à partir de coordenadas parciais
Quadro síntese:
Exemplo de aplicação: Cálculo de ângulos e distâncias à partir de coordenadas
Calcule a DH, o ângulo rumo e o azimute entre 2 pontos, dados ∆E e ∆N:
Pontos 1-2 (∆E = 15; ∆N = 20) :
Solução :
DH (12) = √ (∆E)2 + (∆N)2 = 25m
Para o ângulo rumo (R):
R = Tan-1 ∆E / ∆N = 36º 52’11”
Como ∆E (+) e ∆N (+) o rumo está no 1ºquadrante (NE)
Rumo12 = 36º 52’ 11” NE
Calcule o rumo, o azimute, contra azimute e a DH entre os seguintes pontos:
A (3000, 4000) e B (1500, 2345)
Solução:
ΔE = -1500 e ΔN = -1655 DH (AB) = 2234 m
Quando ΔE (-) e ΔN(-) o rumo está no terceiro quadrante (SW)
R (A→B) = Tan−1 (−1500 / −1655) Tan–1 (0,9063) = 42°11’14’’SW
Az(A→B) = 180° + 42°11’14 = 222°11’14“
Quando azimute > 180° CAZ = Az - 180° CAZ(A→B) = 42°11‘14
Cálculo de área através de coordenadas – Método de Gauss
Método de Gauss (matemático e físico alemão, 1777-1855):
Nesse método, a área da poligonal é obtida, colocando-se as coordenadas
dos pontos de vértice na forma de uma matriz (E sobre N), repetindo-se a
primeira coordenada na coluna final da matriz. Em seguida multiplica-se
na diagonal, a linha superior com a linha inferior, a multiplicação da
diagonal a direita (em preto) é positiva e da esquerda (vermelha) é
negativa. Executam-se as devidas somas e subtrações e por fim, divide-se
o o módulo do resultado obtido por dois para se obter a área da poligonal.
Exemplo: Dada uma poligonal com vértices representados pelas coordenadas:
ponto 1 = (E1,N1); ponto 2 = (E2,N2); ponto 3 = (E3,N3); ponto 4 = (E4,N4).
Pelo método de Gauss:
Área = [(E1 x N2) + (E2 x N3) + (E3 x N4) + (E4 x N1) –
(E2xN1) – (E3xN2) – (E4xN3) – (E1xN4)] / 2
Cálculo de área através de coordenadas – Método de Gauss
Exemplo: utilizando um polígono de fórmula conhecida para verificação.
S = [(120x50)+(400x180)+(400x180)+(120x50)] – [(400x50)-(400x50)-(120x180)-(120x180)] /2
S = [6000 + 72000 + 72000 + 6000 − 20000 − 20000 − 21600 − 21600] / 2 =
S = [156000 − 83200] / 2 ⇒ Área (S) = 36.400m
Área do retângulo (fórmula convencional) = (b x h) = (280x130) = 36.400m
Pelo método de Gauss
Cálculo de área através de coordenadas – Método de Gauss
Exemplo: polígono de fórmula conhecida para verificação.
S = [204 + 504 + 4309, 03 + 9526, 68 + 7586, 06 + 2104, 41− 2104, 41 − 1032 − 1296 − 4309, 30 − 3704, 82 − 1764, 2] / 2
S = [24270, 180 − 14210, 46] / 2 ⇒ S = 5029, 86m
Área do hexágono regular: composto por 6 ▲ com base e altura conhecidas :
área do triângulo = 44 x 38.105 / 2 = 838,310 x 6 (nº de triângulos) = 5029,86m
Exercício: Cálculo de ângulos e distâncias à partir de coordenadas
1) Calcule a DH, o ângulo rumo e o azimute entre 2 pontos, dados ∆E e ∆N:
Pontos A-B (∆E = -1500; ∆N = -1220)
Solução : DH (12) = √ ∆E2 + ∆N2 = 1933,49m
Para o ângulo: Rumo = Tan-1 ∆E / ∆N Rumo = Tan-1 1.22950 = 36º 52’
Como ∆E (-) e ∆N (-) o rumo está no 3ºquadrante
RAB = 50º 52’ 38’’ SW Az AB = 230º52’38”
2) Calcule o rumo, o azimute, o contra azimute e a DH entre os pontos:
M1 (160939,7724; 9602501,2466) e M2 (160805,6994; 9602614,0199).
Solução:
ΔN = (9602614,0199 – 9602501,2466) = 112,773
ΔE = (160805,6994 – 160939,7724) = –134,073
DH (M1M2) = √(112, 773)2 + (−134, 073)2 = 30693, 319 = 175,195m
Quando ΔN (+) e ΔE (-) o rumo esta no quarto quadrante, então:
R (M1→M2) = Tan–1(–1,1889) = – 49,9317 ° = 49°55'54''NW
AZ(M1→M2) = 360° – 49°55'54“ NW = 310°04'05"
CAz (M1→M2) = 310°04'05“ – 180° = 130°04'05"
Exercício: Cálculo de ângulos e distâncias à partir de coordenadas de dois pontos
3) Calcule a distância o ângulo rumo e o azimute entre 2 pontos,
dadas as coordenadas:
M4 (160960,5455E ; 9602774,4287N) ; M5 (161100,0000E ; 9602576,7025N).
Solução:
ΔE = (161100,0000 – 160960,5455) = 139,454
ΔN = (9602576,7025 – 9602774,4287) = –197,726
DH (M4 M5) = √(−197,726)2 + (139,454)2 = √58542,989 = 241,957m
Quando ΔN (-) e ΔE (+), então o rumo está no segundo quadrante
R(M4→M5) SE = Tan–1 (–0,70528) = –35,1949 = 35°11'41"SE
Az (M4→M5) = 180° – 35°11'41"SE = 144°48'19"
Exercício: Cálculo de ângulos e distâncias à partir de coordenadas de dois pontos
4) Calcule a distância o ângulo rumo e o azimute entre 2 pontos,
dadas as coordenadas:
M3 (160800,0000 ; 9602700,000) e M4 (160960,5455 ; 9602774,4287).
Solução:
ΔE = (160960,5455 - 160800,0000) = 160,5455
ΔN = (9602774,4287 - 9602700,000) = 74,428
Distancia M3M4 = √(74, 428)2 + (160, 5455)2 = √ 31314, 385 = 176,959m
Quando ΔN (+) e ΔE (+) o rumo esta no primeiro quadrante, entao:
R (M3→ M4) = Tan−1 (160, 5455 / 74, 428) Tan-1(2,157) = 65,1278°
= 65°07'40"NE
Az (M3→M4) = R (M3→M4) NE = 65°07'40"
Exercício: Cálculo de ângulos e distâncias à partir de coordenadas de dois pontos
5) Calcule a DH, o ângulo rumo e o azimute entre 2 pontos, dadas
as coordenadas:
M5 (161100.0000; 9602576,7025) e M1 (160939,7724; 9602501,2466)
Solução
ΔE = (160939,7724 -161100,0000) = -160,227
ΔN = (9602501,2466 - 9602576,7025) = -75,456
DH(M5–M1) = √(−160, 227)2 + (−75, 456)2 = 31366, 299 = 177,11m
Quando ΔE (-) e ΔN (-) o rumo esta no terceiro quadrante.
R(M5→M1)= Tan−1 (−160, 227 / −75, 456) Tan–1(2,123) = 64,7828°
= 64°46'57"SW
AZ(M5→M1) = 180° + 64°46'57" SW = 244°46'57"
Exercício – calculo de ângulos à partir de Coordenadas
6) Calcule o rumo, o azimute, o contra azimute e a distância
horizontal entre os seguintes pontos:
(2344,286E, 11388,453N) e D (2010,833E, 1101,402N)
Solução:
ΔE = (2.010,833 - 2.344,286) = -333,45
ΔN = (1.101,402 - 11.388,453) = -10.287,05
Distância (CD) = 10.292,45m
Quando ΔE (-) e ΔN(-) o rumo está no terceiro quadrante
R (C→D) = Tan−1 (−333,45 /−10.287,05) Tan–1 (0,032) =
1°51’23’’SW
AZ(C→D) = 180° + 1°51‘23"SW = 181°51’23“
Quando azimute > 180° CAZ = Az - 180°
CAZ(C→D) = 1°51’23“
Exercício – calculo de ângulos à partir de Coordenadas
7) Calcule o rumo, o azimute, o contra azimute e a distância
horizontal entre os seguintes pontos:
E (2344,200E, 1138,000N) e F (2010,000E, 2201,990N)
Solução:
ΔE = (2.010 - 2.344,200) = -334,20
ΔN = (2.201,990 - 1.138,000) = 1.063,99
Distância (CD) = 1.115,24m
Quando ΔE (-) e ΔN(+) o rumo está no quarto quadrante
R (E→F) = Tan−1 (−334,20 /1.063,99) Tan–1 (-0,314) =
17°25’56’’NW
AZ(E→F) = 360° - 17°25’56“ = 342°34’04“
Quando azimute > 180° CAZ = Az - 180°
CAZ(E→F) = 162°34‘04“
Exercício: Cálculo de área através de coordenadas – Método de Gauss
Exercício: Calcule a área do polígono abaixo pelo método de Gauss
Cálculo de área através de coordenadas – Método de Gauss
Resolução: Calcule a área do polígono abaixo pelo método de Gauss.
S = (7.726.316.871.000) – (7.726.316.967.000) / 2 = 48.000m2 ou 4,8 ha.