Transmissão de Calor
Resumo de formulas e tabelas de Condução João Luís Toste de Azevedo Outubro de 2007
Formulário de Condução de Calor 2 Toste Azevedo, 10/2000
Resistências térmicas de paredes
Geometria Parede plana Casca cilíndrica Casca esférica Convecção em superfície
R [K/W] kAL ( )
kLDDln ie
π2
( ) ( )k
DD ei
π211 −
hA1
R’ [mK/W] (1) ( )kDDln ie
π2
jDhπ1 (2)
R” [m2K/W] kL ( )
kDDlnD iej
2 (2) ( ) ( )[ ]
kDDD jei
211 2− (2) h
1
Raio crítico [m] hk
hk2
1) por unidade de comprimento de cilindro; 2) Resistência definida em relação à área j. Distribuição de temperatura em sólidos com fontes de calor uniforme q& Parede plana com temperaturas impostas Ts1 em x=0 e Ts2 em x=L.
( )22
12
21122
22,s,s,s,s TT
LxTT
Lx
kLqxT
++
−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
&
Caso com superfície adiabática em x=0 ou r=0 e convecção na superfície x=L ou r=R.
Parede plana Cilíndro Esfera
( )hLqT
Lx
kLqxT
&&++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∞2
22
12
( )hRqT
Rr
kRq
rT2
14 2
22&&
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∞
( )hRqT
Rr
kRq
rT3
16 2
22&&
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∞
Rendimento de Alhetas Configurações de superfícies estendidas consideradas: - Alhetas planas e pinos (secção circular) com diferentes perfis caracterizados por:
2ty = ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=l
x2ty
23
x2ty ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=l
2x
2ty ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=l
A B C D
l
2Dr =
21
x2Dr ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=l
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=l
x2Dr
2x2Dr ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=l
x
y
r
Formulário de Condução de Calor 3 Toste Azevedo, 10/2000
Alheta y = (t/2)(x/ l )n Pino r = (D/2)(x/ l )n
Config. n Parâmetro u n Parâmetro u Rendimento
função do parâmetro u
A 0 kth2u l= 0 kDh4u l= ( )
uutgh
=η
B 1 kth22u l= 1 2 ( ) kDh434u l=
( )( )uIuuI2
0
1∗∗
=η
C 3 2 kth24u l= 1 kDh42u l=
( )( )uI*uuI*4
1
2=η
D 2 kth22u l= 2 ( ) kDh432u l=2u11
2
++=η
O rendimento definido pelas expressões acima encontra-se representado em função do parâmetro kthl para as alhetas planas e kDhl para os pinos (secção circular) na tabela A1. - Alhetas tipo anilha em tubos. Consideram-se alhetas com espessura constante ou de secção triangular conforme os esquemas (ambas com espessura na base t).
tr1 r2
r1
r2
dr
Ac
O rendimento destas alhetas depende da sua largura 12 RR −=l e da razão entre o raio exterior da alheta (R2) e do raio interior desta igual ao raio do tubo (R1). O rendimento da alheta é dado pela expressão seguinte:
( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
−=η
10212110
112121112
121 uKuIuKuIuKuIuKuI
RR1u2 onde
( )1RRkt/h2u
121 −
=l ou kt/h2Ru 11 = e kt/h2Ru 22 = ou ( )1212 RRuu =
Os valores deste rendimento são apresentados em função do parâmetro kthl na tabela A1. Na página da disciplina encontra-se a folha de cálculo onde estas funções foram calculadas (É necessário activar a Analysis Tool Pack)
Formulário de Condução de Calor 4 Toste Azevedo, 10/2000
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
�f
t
x
y (x)
(a)
(b)
(c)
(d)
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.00.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
t/2
L
�f
x
Gráficos extraídos de Gardner, 1945 – Notar que o argumento inclui o factor 2 omitido no Incropera
Formulário de Condução de Calor 5 Toste Azevedo, 10/2000
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.82
4
31.6
1.4
ri
L
ro
t
1�
i
o
r
r�f
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.00.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
x /x = 1.0e
b
2.03.04.0
�f
xe
xb
L
t
x
Gráficos extraídos de Gardner, 1945 – Notar que o argumento inclui o factor 2 omitido no Incropera O ultimo gráfico diz respeito a alhetas de secção variável que é deduzido com perfil hiperbólico.
Formulário de Condução de Calor 6 Toste Azevedo, 10/2000
Distribuição de temperatura em alhetas (com condição de fluxo nulo na extremidade)
Alhetas de secção constante ( ) ( )( )
( )( )( )
( )ucosh/x1ucosh
mcoshxmcoshx
b
l
l
l −=
−=
θθ sendo para alheta plana e pino cilindrico:
tetanconste == kth2u l= e com d=D=constante, kDh4u l=
Alhetas de secção variável terminando em vértice com área nula.
Neste caso o referencial x tem origem na extremidade da alheta.
A espessura ou diâmetro variam da seguinte forma: nxte ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=l
ou nxDd ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=l
onde t é a espessura da alheta na base e D é o diâmetro do pino na base da alheta.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=l
xte ( ) ( )( )
( )( )uI
/xuIm2I
xm2Ix
0
0
0
0
b
l
l==
θθ
kth22u l=
21
xDd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=l
( ) ( )( )( )uI/xuI
m34I
mx34Ix
0
43
0
43
0
43
0
b
l
l=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
=θ
θ ( ) kDh434u l=
23
xte ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=l
( ) ( )( )( ) ( ) 4
11
41
1
41
1
41
141
b /x*uI/xuI
m4I
mx4I
xx
l
l
l
l=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
θθ
kth24u l=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=l
xDd ( ) ( )( ) l
l
l
l
x*uIxuI
m2I
mx2I
xx
1
1
21
1
21
121
b
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
θθ
kDh42u l=
2xte ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=l
( ) r
b
xx⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
θθ
londe
21u1r
2 −+= kth22u l=
2xDd ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=l
( ) r
b
xx⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
θθ
londe
21u1r
2 −+= ( ) kDh432u l=
Alheta de espessura constante em anel ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡++
=θ
θ
10211021
021021
b uKuIuIuKuKuIuIuKr onde kt/h2ru = ou ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+= 1
RRx1uu
1
21
l
com ( )1RRkt/h2u
121 −
=l ou kt/h2Ru 11 = e kt/h2Ru 22 = ou ( )1212 RRuu =
Formulário de Condução de Calor 7 Toste Azevedo, 10/2000
Tabela A1 - Rendimento de alhetas. Alheta tipo anilha com espessura constante Pinos secção circular Alhetas planas
kthl r2/r1=1 r2/r1=1.5 r2/r1=2 r2/r1=3 r2/r1=5 r2/r1=10 r=R(x/l)2 r=R(x/l) r=R(x/l)1/2 r=R y=(t/2)(x/l)2 y=(t/2)(x/l) y=(t/2)(x/l).5 y=t/2
0.0 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.1 0.993 0.992 0.991 0.989 0.986 0.981 0.996 0.993 0.991 0.987 0.993 0.990 0.987 0.981 0.2 0.974 0.968 0.964 0.956 0.945 0.928 0.983 0.974 0.966 0.950 0.974 0.962 0.951 0.931 0.3 0.944 0.932 0.922 0.907 0.885 0.852 0.963 0.945 0.928 0.895 0.944 0.920 0.898 0.865 0.4 0.905 0.886 0.871 0.846 0.813 0.765 0.938 0.908 0.880 0.830 0.905 0.868 0.838 0.797 0.5 0.860 0.835 0.813 0.781 0.737 0.677 0.908 0.866 0.828 0.762 0.861 0.812 0.776 0.732 0.6 0.813 0.780 0.754 0.714 0.663 0.594 0.877 0.823 0.775 0.695 0.814 0.756 0.716 0.673 0.7 0.764 0.726 0.696 0.651 0.594 0.521 0.845 0.779 0.723 0.632 0.765 0.701 0.662 0.621 0.8 0.716 0.674 0.640 0.592 0.531 0.457 0.812 0.736 0.674 0.576 0.717 0.651 0.613 0.576 0.9 0.670 0.624 0.589 0.538 0.476 0.402 0.781 0.696 0.628 0.526 0.671 0.605 0.569 0.535 1.0 0.627 0.579 0.542 0.490 0.428 0.356 0.750 0.658 0.586 0.482 0.628 0.563 0.530 0.500 1.1 0.587 0.537 0.499 0.447 0.386 0.316 0.721 0.623 0.549 0.444 0.588 0.526 0.495 0.469 1.2 0.550 0.499 0.461 0.410 0.350 0.283 0.693 0.591 0.515 0.410 0.551 0.492 0.465 0.441 1.3 0.516 0.465 0.428 0.377 0.318 0.254 0.666 0.561 0.484 0.380 0.517 0.462 0.437 0.416 1.4 0.485 0.434 0.397 0.347 0.291 0.230 0.642 0.534 0.457 0.355 0.486 0.435 0.413 0.393 1.5 0.457 0.407 0.370 0.322 0.267 0.209 0.618 0.508 0.432 0.332 0.458 0.411 0.391 0.373 1.6 0.431 0.382 0.346 0.299 0.247 0.191 0.596 0.485 0.409 0.311 0.432 0.389 0.371 0.355 1.7 0.408 0.360 0.325 0.279 0.228 0.175 0.575 0.464 0.389 0.293 0.409 0.370 0.353 0.338 1.8 0.387 0.339 0.306 0.261 0.212 0.162 0.556 0.445 0.370 0.277 0.388 0.352 0.337 0.323 1.9 0.368 0.321 0.288 0.245 0.198 0.150 0.537 0.426 0.353 0.263 0.369 0.335 0.322 0.309 2.0 0.350 0.305 0.273 0.231 0.185 0.139 0.520 0.410 0.338 0.250 0.351 0.321 0.308 0.297 2.1 0.334 0.290 0.258 0.218 0.174 0.130 0.503 0.394 0.323 0.238 0.335 0.307 0.295 0.285 2.2 0.319 0.276 0.246 0.206 0.164 0.122 0.488 0.380 0.310 0.227 0.320 0.294 0.284 0.274 2.3 0.305 0.263 0.234 0.196 0.155 0.114 0.473 0.366 0.298 0.217 0.307 0.283 0.273 0.264 2.4 0.293 0.252 0.223 0.186 0.147 0.107 0.459 0.353 0.287 0.208 0.294 0.272 0.263 0.254 2.5 0.281 0.241 0.213 0.177 0.139 0.101 0.446 0.342 0.276 0.200 0.282 0.262 0.253 0.246 2.6 0.271 0.232 0.204 0.169 0.132 0.096 0.434 0.331 0.267 0.192 0.272 0.253 0.245 0.237 2.7 0.261 0.223 0.196 0.162 0.126 0.091 0.422 0.320 0.258 0.185 0.262 0.244 0.237 0.230 2.8 0.251 0.214 0.188 0.155 0.121 0.086 0.411 0.310 0.249 0.179 0.252 0.236 0.229 0.223 2.9 0.243 0.207 0.181 0.149 0.115 0.082 0.400 0.301 0.241 0.172 0.244 0.228 0.222 0.216 3.0 0.235 0.199 0.175 0.143 0.111 0.079 0.390 0.293 0.234 0.167 0.236 0.221 0.215 0.210
Formulário de Condução de Calor 8 Toste Azevedo, 10/2000
Condução de calor transiente no interior de corpos de dimensão finita Distribuição de temperatura em placa de área infinita, cilindro de comprimento infinito e esfera considerando o corpo a uma temperatura inicial Tinicial trocando calor por convecção (com coeficiente h) com um fluido a temperatura não perturbada Too. Apresentam-se as soluções analíticas obtidas pelo método da separação das variáveis. As soluções são apresentadas em termos adimensionais utilizando θ/ θi =(T-Too)/(Ti-Too), e os números adimensionais de Fourier e de Biot:
khLBi = 2L
tFo α= onde L é uma dimensão característica.
Para baixos números de Fourier (~<0,2) a solução (que é representada por um somatório) pode ser aproximada pelo primeiro termo. Adicionalmente para valores baixos do número de Biot (Bi<0.05) os gradientes internos de temperatura são inferiores a 3% permitindo desprezá-los e calcular a evolução da temperatura por:
[ ]FoBii
*exp −=θθ
ou ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
cVhAt
i ρθθ exp
onde A é a área de transferência de calor e V o volume do sólido. Outro parâmetro indicado nas soluções é a energia transferida em relação ao máximo possível ρcVθi definido para este caso por Q/QI=(1-θ) Placa de área infinita. Solução analítica para placa de espessura 2L.
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= ∑
∞
= LxFoC nn
nn
i
ζζθθ cosexp 2
1
onde: ( )
( )nn
nnC
ζζζ
2sin2sin4+
= e ζn é uma solução de ( ) Binn =ζζ tan
A energia transferida em relação ao máximo possível ρc2Lθi é obtida de: ( ) ( )
( ) ( ) ( )n
nn
n nn
n
n
n
ii
senFo
senQQ
ζζ
ζζζ
ζζ
ζθθ 2
1exp
2sin2sin4
11 −+
−=−= ∑∞
=
Em ambas as equações ζn são as raízes da equação ( )ζ ζn ntg Bi= e o valor para n=1 encontra-se na tabela A2 em função do número de Biot. Para Fo < 0,24 erro inferior a 1% para aproximação pelo primeiro termo:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
LxBiFoBi
LxFoBi
ii
,*,,,0
0
θθ
θθ
θθ
onde se define o valor θ0=T0-Too para a temperatura relativa no centro da placa (x/L=0). A figura P1 apresenta a parcela referidas θ0/θi e a figura P2 a parcela θ/θ0
A figura P3 apresenta a variação de θ0/θi para baixos nº Fourier com base em toda série. A figura P4 apresenta a fracção de energia acumulada em função de Bi2Fo.
Formulário de Condução de Calor 9 Toste Azevedo, 10/2000
Cilindro de comprimento infinito. Dimensão característica raio do cilindro R Distribuição de temperatura
( )( ) ( )( ) ( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
+= ∑
∞
= RrJFo
JJJ
nnn nnn
n
i
ζζζζζ
ζθθ
02
12
120
1 exp2
Fracção de energia transferida ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )n
nn
n nnn
n
n
n
i
JFo
JJJJ
ζζ
ζζζζ
ζζζ
θθ 12
12
120
11
0
2exp
2121 −
+−=−= ∑
∞
=
Em ambas as equações ζn são as raízes da equação ( ) ( ) BiJ/J n0n1n =ζζζ e o valor para n=1 encontra-se na tabela A2 em função do número de Biot. Para Fo < 0,21 o primeiro termo permite um erro inferior a 1%:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
RrBiFoBi
RrFoBi
ii
,*,,,0
0
θθ
θθ
θθ
onde se define o valor θ0=T0-Too para a temperatura relativa no centro do cilindro (r=0). A figura C1 apresenta a parcela referidas θ0/θi e a figura C2 a parcela θ/θ0
A figura C3 apresenta a variação de θ0/θi para baixos nº Fourier com base em toda série. A figura C4 apresenta a fracção de energia acumulada em função de Bi2Fo. Esfera
( ) ( )[ ]( ) ( )
Rr
Rrsen
Fosen
n
n
nn nn
nnn
i ζ
ζζ
ζζζζζ
θθ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−= ∑
∞
=
2
1exp
2sin2cos4
Distribuição de temperatura
( ) ( )[ ]( )[ ] ( )Fosen
nn nnn
nnn
i
2
1
2
exp2sin2
cos4*3.1 ζζζζζζζ
θθ
−−∗
−−= ∑
∞
=
Fracção de energia transferida
Em ambas as equações ζn são as raízes da equação ( )1. cot− =ζ ζn ng Bi e o valor para n=1 encontra-se na tabela A2 em função do número de Biot. Para Fo < 0,18 o primeiro termo permite um erro inferior a 1%:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
θθ
θθ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
θθ
Rr,Bi*Fo,Bi
Rr,Fo,Bi
0i
0
i
onde se define o valor θ0=T0-Too para a temperatura relativa no centro da esfera (r=0). A figura C1 apresenta a parcela referidas θ0/θi e a figura C2 a parcela θ/θ0
A figura C3 apresenta a variação de θ0/θi para baixos nº Fourier com base em toda série. A figura C4 apresenta a fracção de energia acumulada em função de Bi2Fo.
Formulário de Condução de Calor 10 Toste Azevedo, 10/2000
Tabela A2 –Primeira raíz da equação característica e primeiro coeficiente da série.
Placa plana Cilindro Esfera
Bi
0.01 0.0998 1.0017 0.1412 1.0025 0.1730 1.00300.02 0.1410 1.0033 0.1995 1.0050 0.2445 1.00600.03 0.1732 1.0049 0.2439 1.0075 0.2989 1.00900.04 0.1987 1.0066 0.2814 1.0099 0.3450 1.01200.05 0.2217 1.0082 0.3142 1.0124 0.3852 1.01490.06 0.2425 1.0098 0.3438 1.0148 0.4217 1.01790.07 0.2615 1.0114 0.3708 1.0173 0.4550 1.02090.08 0.2791 1.0130 0.3960 1.0197 0.4860 1.02390.09 0.2956 1.0145 0.4195 1.0222 0.5150 1.02680.1 0.3111 1.0160 0.4417 1.0246 0.5423 1.0298
0.15 0.3779 1.0237 0.5376 1.0365 0.6608 1.04450.2 0.4328 1.0311 0.6170 1.0483 0.7593 1.0592
0.25 0.4801 1.0382 0.6856 1.0598 0.8448 1.07370.3 0.5218 1.0450 0.7465 1.0712 0.9208 1.08800.4 0.5932 1.0580 0.8516 1.0932 1.0528 1.11640.5 0.6533 1.0701 0.9408 1.1143 1.1656 1.14410.6 0.7051 1.0814 1.0185 1.1346 1.2644 1.17130.7 0.7506 1.0919 1.0873 1.1539 1.3525 1.19780.8 0.7910 1.1016 1.1490 1.1725 1.4320 1.22360.9 0.8274 1.1107 1.2048 1.1902 1.5044 1.2488
1 0.8603 1.1191 1.2558 1.2071 1.5708 1.27322 1.0769 1.1795 1.5995 1.3384 2.0288 1.47933 1.1925 1.2102 1.7887 1.4191 2.2889 1.62274 1.2646 1.2287 1.9081 1.4698 2.4556 1.72015 1.3138 1.2402 1.9898 1.5029 2.5704 1.78706 1.3496 1.2479 2.0490 1.5253 2.6537 1.83387 1.3766 1.2532 2.0937 1.5411 2.7165 1.86748 1.3978 1.2570 2.1286 1.5526 2.7654 1.89219 1.4149 1.2598 2.1566 1.5611 2.8044 1.9106
10 1.4289 1.2620 2.1795 1.5677 2.8363 1.924920 1.4961 1.2699 2.2881 1.5919 2.9857 1.978130 1.5202 1.2717 2.3261 1.5973 3.0372 1.989840 1.5325 1.2723 2.3455 1.5993 3.0632 1.994250 1.5400 1.2727 2.3572 1.6002 3.0788 1.9962
100 1.5552 1.2731 2.3809 1.6015 3.1102 1.9990 1.5708 1.2733 2.4048 1.6018 3.1416 2.0000
∞
1ζ1ζ 1ζ1C 1C1C
Formulário de Condução de Calor 11 Toste Azevedo, 10/2000
Gráficos de solução para placa plana
P1 – Variação de temperatura no centro de placa em função de Bi e Fo (Fo>0,24)
P2 – Diferença de temperatura numa posição na placa em relação à diferença no centro.
Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004) Erro de 1% para Fo < 0,24.
P1 θo θi
Fo=αt/L2
Formulário de Condução de Calor 12 Toste Azevedo, 10/2000
P3 – Variação da temperatura no centro de placa para baixo nº Fourier.
P4 – Variação da razão entre a energia acumulada e o máximo de energia que se pode
acumular em função do tempo (expresso por Bi2Fo). Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004)
P3 θo θi
P4
Formulário de Condução de Calor 13 Toste Azevedo, 10/2000
Gráficos de solução para cilindro
C1 – Variação de temperatura no centro de cilindro em função de Bi e Fo (Fo>0,21)
C2 – Diferença de temperatura numa posição do cilindro em relação à diferença no
centro. Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004)
Erro de 1% para Fo < 0,21.
Fo=αt/R2
C1 θo θi
C2 θo θi
Formulário de Condução de Calor 14 Toste Azevedo, 10/2000
C3 – Variação da temperatura no centro do cilindro para baixo nº Fourier.
C4 – Variação da razão entre a energia acumulada e o máximo de energia que se pode
acumular em função do tempo (expresso por Bi2Fo). Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004)
C3 θo θi
Formulário de Condução de Calor 15 Toste Azevedo, 10/2000
Gráficos de solução para esfera
E1 – Variação de temperatura no centro de esfera em função de Bi e Fo (Fo>0,18)
E2 – Diferença de temperatura numa posição da esfera em relação à diferença no centro.
Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004) Erro de 1% para Fo < 0,18.
Fo=αt/R2
E1 θo θi
E2 θo θi
Formulário de Condução de Calor 16 Toste Azevedo, 10/2000
E3 – Variação da temperatura no centro da esfera para baixo nº Fourier.
E4 – Variação da razão entre a energia acumulada e o máximo de energia que se pode
acumular em função do tempo (expresso por Bi2Fo). Gráficos extraídos de apontamentos de TCMI , P. Coelho (2004)
C3 θo θi
Formulário de Condução de Calor 17 Toste Azevedo, 10/2000
Distribuição de temperatura e fluxo de calor na superfície em sólidos semi-infinitos. A distribuição de temperatura em sólidos semi-infinitos inicialmente com valor uniforme Ti é definida com base na equação fronteira imposta na superfície. Temperatura
imposta Ts Convecção com coeficiente h com fluído a T∞
T ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−−
txerf
TTTT
si
s
α2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−−
∞
∞
kth
txerfc
kth
txexp
txerf
TTTT
i
2
2 2 2
2 αα
ααα
q" ( )tTTk
q is
πα−
=′′ ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=′′ ∞ k
therfck
thexpTThq i
2
2 αα
• erf – Função Erro e erfc=1-erf Complementar A solução do caso com convecção é apresentada sob forma gráfica na figura seguinte: (Notar que se usa uma definição diferente da do Incropera que considera (T-Ti)/(T∞-Ti))
No caso de fluxo imposto a distribuição de temperatura ao longo do tempo é dada por:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′′−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −′′=−
txerfc
kxq
txexp
ktq
TT i 2 4 2 2
ααπα
Tabela 3 - Função erro (utilizada em soluções de transientes)
0.02 0.022565 0.52 0.537899 1.00 0.842701 2.25 0.998537 0.06 0.067622 0.56 0.571616 1.10 0.880205 2.35 0.999111 0.10 0.112463 0.60 0.603856 1.20 0.910314 2.45 0.999469 0.14 0.156947 0.64 0.634586 1.30 0.934008 2.55 0.999689 0.18 0.200936 0.68 0.663782 1.40 0.952285 2.65 0.999822 0.22 0.244296 0.72 0.691433 1.50 0.966105 2.75 0.999899 0.26 0.286900 0.76 0.717537 1.60 0.976348 2.85 0.999944 0.30 0.328627 0.80 0.742101 1.70 0.983790 2.95 0.999970 0.34 0.369365 0.84 0.765143 1.80 0.989091 3.05 0.999984 0.38 0.409009 0.88 0.786687 1.90 0.992790 3.15 0.999992 0.42 0.447468 0.92 0.806768 2.00 0.995322 3.25 0.999996 0.46 0.484655 0.96 0.825424 2.10 0.997021 3.35 0.999998 0.50 0.520500 1.00 0.842701 2.20 0.998137 3.45 0.999999
( )( )27856.0y7182.0exp5577.1.1)y(erf +×−×−≈ com erro inferior a 1%.
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