FACULDADE DE ECONOMIA E FINANÇAS IBMEC PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM
ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ÇPROFISSIONALIZANTE EM ECONOMIA
“UM MODELO SETORIAL PARA A INDEXAÇÃO DE CARTEIRAS DE AÇÕES
NO BRASIL”.
RAPHAEL CROUZEILLES DE ARAUJO
ORIENTADOR: PROF. DR. ANTÔNIO MARCOS DUARTE JUNIOR
Rio de Janeiro, 29 de maio de 2012.2.
FP
A
“UM MODELO SETORIAL PARA A INDEXAÇÃO DE CARTEIRAS DE AÇÕES NO BRASIL”
RAPHAEL CROUZEILLES DE ARAUJO
Dissertação apresentada ao curso de Mestrado Profissionalizante em Economia como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre em Economia. Área de Concentração: Finanças
ORIENTADOR: ANTÔNIO MARCOS DUARTE JUNIOR
Rio de Janeiro, 29 de maio de 2012.
“UM MODELO SETORIAL PARA A INDEXAÇÃO DE CARTEIRAS DE AÇÕES NO BRASIL”
RAPHAEL CROUZEILLES DE ARAUJO
Dissertação apresentada ao curso de Mestrado Profissionalizante em Economia como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre em Economia. Área de Concentração: Finanças
Avaliação:
BANCA EXAMINADORA:
_____________________________________________________
Professor ANTÔNIO MARCOS DUARTE JUNIOR (Orientador) Instituição: Ibmec-RJ _____________________________________________________
Professor FERNANDO NASCIMENTO DE OLIVEIRA Instituição: Ibmec-RJ _____________________________________________________
Professor CARLOS PATRICIO SAMANEZ Instituição: PUC-RJ
Rio de Janeiro, 29 de maio de 2012.
332.63220981 Araújo, Raphael Crouzeilles de. A658m Um modelo setorial para a indexação de carteiras de ações no
Brasil. / Raphael Crouzeilles de Araújo. - Rio de Janeiro: Faculdades Ibmec, 2012.
117f.; 29 cm. Dissertação de Mestrado Profissionalizante apresentada ao
Programa de Pós-Graduação e Pesquisa em Administração e Economia das Faculdades Ibmec, como requisito parcial necessário para a obtenção do título de Mestre em Economia.
Área de concentração: Finanças. Orientador: Dr. Prof. Antônio Marques Duarte Junior.
1. Economia. 2. Finanças. 3. Indexação de carteiras.4. Tracking error. I. Araújo, Raphael Crouzeilles de.II. Dr.
Prof. Antônio Marques Duarte Junior. III. Um modelo setorial para a indexação de carteiras de ações no Brasil.
1
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho à toda minha família que me apoiou durante todo o tempo, principalmente minha mãe, Tania, e minha irmã Fernanda. Agradeço também a Jeniffer, minha companheira durante todo esse período.
2
AGRADECIMENTOS
Agradeço ao meu orientador Antônio Marcos Duarte pela elaboração desse trabalho, desde a
decisão do tema quanto à elaboração do projeto.
Agradeço também à todos os professores e funcionários que de alguma forma ajudaram
durante a realização do Mestrado em Economia.
Dedico também este trabalho à Jeniffer, minha companheira durante todo esse tempo.
À toda minha família, em especial minha mãe e irmã.
3
RESUMO
Pode-se dizer que indexação de carteiras é a estratégia mais utilizada na administração passiva
de fundos de investimento. Dessa forma, enquanto uma alocação ativa de ativos
possivelmente gera grandes desvios do benchmark, um fundo indexado possuirá retornos
próximos aos do benchmark, sendo esses desvios definidos como o tracking error. Visto isso,
este trabalho busca indexar uma carteira à um índice considerado como benchmark, a partir de
um modelo de otimização quadrática com restrições lineares e combinatórias, sendo a função
objetivo minimizar o tracking error entre o índice escolhido e a carteira, de forma a
determinar a quantidade ótima de ativos a ser alocada pelo gestor passivo do fundo. Nesse
caso, o índice que utilizaremos será o Ibovespa, um dos mais importantes indicadores de
desempenho da Bolsa de Valores de São Paulo. Resultados sugerem que investir em ativos
com maiores pesos no índice geram um tracking error menor, fazendo com que alguns setores
escolhidos gerassem tracking errors menores. Além disso, quanto mais ativos na carteira,
menor o tracking error. Por fim, os modelos não-lineares implementados nesse trabalho
comportaram-se de forma similar ao analisarmos os desvios realizados dos mesmos.
Palavras Chave: Indexação de carteiras, tracking error
4
ABSTRACT
It can be said that portfolio indexing is one of the most common passive strategies of
investment funds. While active asset allocation possibly generates relevant deviations from
the benchmark index, deviations from returns of an index fund, defined as tracking error, will
be much smaller. Therefore, this work proposes a quadratic optimization model using binary
and combinatory restrictions for indexing a portfolio to a benchmark index, where the
objective function seeks to minimize the tracking error of the chosen index and the portfolio
in order to find the optimal allocation. In this case, we will be using the Ibovespa index, one
of the most important performance indicators of the Bolsa de Valores de São Paulo. Results
suggest that investing in assets that have bigger weights regarding the Bovespa Index implies
smaller tracking errors, which also suggests that some industrial sectors generated smaller
tracking errors. Also, when more assets are included in our portfolio, smaller tracking errors
are resulted. At last, nonlinear models behaved in a similar way when we analyze the realized
deviations of our models.
Key Words: portfolio indexing, tracking error
5
LISTA DE FIGURAS
Figura 1- % de Participação dos ativos no Índice Ibovespa (Terceiro Quadrimestre de 2011) 14
Figura 2- Volatilidade Anualizada do Índice Ibovespa ............................................................ 17
Figura 3- T.E do Modelo Simples (desvios absolutos) ............................................................ 45
Figura 4- T.E do Modelo Simples (desvios realizados) ........................................................... 45
Figura 5- T.E da Carteira (desvios absolutos) .......................................................................... 47
Figura 6- T.E da Carteira ( desvios realizados ) ....................................................................... 47
Figura 7- T.E da Carteira com Estratificação (desvios absolutos da Primeira Simulação) ...... 51
Figura 8- T.E da Carteira com Estratificação (desvios realizados da Primeira Simulação) ..... 51
Figura 9- T.E da Carteira com Estratificação (desvios absolutos da Segunda Simulação) ...... 53
Figura 10- T.E da Carteira com Estratificação (desvios realizados da Segunda Simulação) ... 53
Figura 11- Desvios realizados do Modelo na Forma Quadrática e em Módulo………...……55
Figura 12- Desvios Realizados dos Modelos Não Lineares ..................................................... 57
Figura 13- Modelagem pelo Solver…………………………………………...………...……71
Figura 14- Parâmetros do Solver……………………………………………………………..72
6
LISTA DE TABELAS
Tabela 1- Alocações do Modelo Simples ................................................................................. 46
Tabela 2- Simulação com restrição máxima de 42 ativos (24 selecionados) ........................... 48
Tabela 3- Exemplo com 3 setores e 6 ativos ............................................................................ 50
Tabela 4- Simulação com restrição máxima de 8 ativos .......................................................... 52
Tabela 5- Simulação com restrição máxima de 16 ativos ........................................................ 54
Tabela 6- Comparação entre Modelos ...................................................................................... 56
Tabela 7- Relatório de Convergência ....................................................................................... 73
7
LISTA DE SÍMBOLOS
VARIÁVEIS DE DECISÃO:
( alocação final do ativo i.
( = variáveis de controle.
( = retorno da carteira do gestor no período j, levando-se em conta os custos de transação
(Zi variável binária utilizada para indicar o investimento no ativo j ( investir igual à 1 ).
PARÂMETROS:
( = retorno do índice selecionado no período j.
( = custo de transação do ativo j, definido pela média do spread do preço de compra e de venda.
( = alocação inicial do ativo j. = limite inferior de alocação da carteira.
= limite superior de alocação da carteira. h = limite máximo de ativos na carteira otimizada. w = financeiro disponível para investimento.
rj = retorno médio do ativo j. = covariância entre retornos dos ativos i & q.
= taxa mínima de retorno. = matriz contendo os ativos disponíveis.
= matriz contendo as restrições da estratificação amostral. = limite de turnover da carteira. = caixa total disponível. ρ = limite mínimo de caixa.
ÍNDICES:
j = 1, ... , m períodos i = 1,…, n ativos k = 1,…, s setores
8
Sumário
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 10
1.1 O PROBLEMA ..................................................................................................................................... 13
1.2 O OBJETIVO ........................................................................................................................................ 14
1.3 JUSTIFICATIVA .................................................................................................................................. 14
1.4 METODOLOGIA ................................................................................................................................. 16
1.5 RESULTADOS ...................................................................................................................................... 16
1.6 LIMITAÇÕES ....................................................................................................................................... 16
1.7 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO .................................................................................................... 17
2 GESTÃO ............................................................................................................ 19
2.1 GESTÃO ATIVA .................................................................................................................................. 20 2.1.1 ANÁLISE FUNDAMENTALISTA ................................................................................................... 21 2.1.2 ANÁLISE TÉCNICA ......................................................................................................................... 21 2.1.3 MODELO MÉDIA VARIÂNCIA ..................................................................................................... 22 2.1.4 DESVIO ABSOLUTO MÉDIO ......................................................................................................... 24
2.2 GESTÃO PASSIVA .............................................................................................................................. 26 2.2.1 HIPÓTESE DE EFICIÊNCIA DE MERCADO................................................................................. 28 2.2.2 BUY AND HOLD ............................................................................................................................... 29 2.2.3 INDEXAÇÃO .................................................................................................................................... 29 2.2.3.1 CONTRATOS FUTUROS ..................................................................................................... 30 2.2.3.2 FULL REPLICATION ............................................................................................................ 30 2.2.3.3 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA ................................................................................... 31 2.2.3.4 LARGEST HOLDING ............................................................................................................. 31 2.2.3 DESVIO ABSOLUTO MÉDIO DE DUARTE .................................................................................. 32
2.3 ENHANCED INDEXING ..................................................................................................................... 33
3 O MODELO ........................................................................................................ 34
3.1 INCLUSÃO DE VARIÁVEIS BINÁRIAS ......................................................................................... 35
3.2 INCLUINDO ESTRATIFICAÇÃO AMOSTRAL NO MODELO .................................................. 37
9
3.3 MODELO COM DESVIOS EM MÓDULO ....................................................................................... 39
3.4 MODELO UTILIZANDO A MEDIANA NA FUNÇÃO OBJETIVO ............................................. 41
4 SIMULAÇÕES ................................................................................................... 43
4.1 DADOS ................................................................................................................................................... 43
4.2 RESULTADOS SEM ESTRATIFICAÇÃO AMOSTRAL ............................................................... 44 4.2.1 UM MODELO SIMPLES .................................................................................................................. 44 4.2.2 CASO GERAL ................................................................................................................................... 46
4.3 RESULTADOS COM ESTRATIFICAÇÃO AMOSTRAL .............................................................. 49 4.3.1 EXEMPLO COM 3 SETORES E 6 ATIVOS DISPONÍVEIS .......................................................... 49 4.3.2 PRIMEIRA SIMULAÇÃO ................................................................................................................ 50 4.3.3 SEGUNDA SIMULAÇÃO ................................................................................................................ 52
4.4 RESULTADOS COM DESVIOS EM MÓDULO NA FORMA LINEAR ....................................... 55
4.5 COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS NÃO LINEARES ................................................................ 56
5 CONCLUSÃO .................................................................................................... 58
5.1 LIMITAÇÕES ....................................................................................................................................... 59
5.2 SUGESTÕES ......................................................................................................................................... 60
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 61
APÊNDICE A (O ÍNDICE IBOVESPA) ..................................................................... 63
APÊNDICE B (RESUMO) ......................................................................................... 65
APÊNDICE C (UTILIZANDO O EXCEL E ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA) .......... 70
10
1 INTRODUÇÃO
Podemos definir alocação de recursos como um processo ou método de decisão sobre como
distribuir a riqueza de determinado indivíduo em diversas classes de ativos (títulos públicos,
contratos futuros, etc), ou seja, em diversos grupos de ativos que possuem os mesmos
atributos ou similaridades, como por exemplo relações de risco e retorno, ativos pré ou pós
fixados, entre outras similaridades. Além disso, para construírmos portfólios e administrarmos
recursos, é necessário definirmos as etapas do processo decisório, elaborando políticas de
investimento, estratégias e monitoramento dos portfólios gerados a partir de características
específicas de cada investidor.
Investidores, em geral, compreendem que existe uma relação íntima entre risco e retorno,
sendo que, quanto maior o risco, maior o retorno esperado de determinado investimento.
Dessa forma, torna-se essencial e primordial a gestão de risco em fundos de investimentos.
Após minuciosa análise dos riscos atribuídas aos investimentos é que podemos começar a
pensar na adminstração dos retornos.
Existem diversas estratégias de investimento que podem ser utilizadas pelos gestores que
dependerão diretamente das características de cada investidor (como o grau de aversão ao
risco por exemplo), podendo dividí-las em 3 grupos : gestão ativa, passiva e enhanced
11
indexing. A gestão ativa busca superar um determinado índice de referência (o benchmark),
sendo que uma das justificativas para a presença de gestores de carteiras é a de que os
mesmos agregam valor, dados seus esforços em selecionar ativos que buscam otimizar a
relação risco retorno de um portfólio. Já a gestão passiva busca acompanhar a rentabilidade do
benchmark, evitando grandes desvios em relação ao mesmo. Dentre as estratégias de gestão
passiva, destaca-se a indexação de carteiras, estratégia que tem se tornado cada vez mais
popular e, consequentemente, o número de fundos administrados de forma passiva tem
crescido de forma relevante (assim como o volume), como mencionado em Fuhr e Kelly
(2011). Existem uma série de vantagens e desvantagens desses grupos de estratégias que
serão tratados com mais detalhes nos próximos capítulos (porém, estudos indicam que a
diferença de retornos de uma gestão ativa contra uma passiva é estatisticamente
insignificante). Por fim, o enhanced indexing é uma estratégia que pode utilizar tanto
estratégias passivas quanto ativas, buscando uma melhor performance com um efeito
marginal no tracking error da carteira.
Gestores de portfólios costumam avaliar a performance de suas carteiras comparando-as a
benchmarks ou, no caso em questão, ao indexador do portfólio (gestão passiva). Esse
benchmark é pré-estabelecido na política de investimento, definida de acordo com as
características dos indivíduos. O indexador do portfólio nada mais é do que um indicador
estatístico que busca mensurar mudanças de um mercado específico (como o mercado de
ações e bonds). Porém, em uma gestão passiva da carteira, alguns problemas surgem, sendo,
um deles, como selecionar os ativos e quantidades dos mesmos que minimizem o tracking
error, ou seja, como minimizar os desvios do retorno da carteira indexada e do índice em si.
Este, na verdade, é um dos métodos de indexarmos uma carteira, sendo importante mencionar
aqui métodos alternativos como o uso de contratos futuros, amostra estratificada e largest
holding.
12
Em termos de gestão ativa de recursos, um dos modelos mais conhecidos relacionados à
alocação de portfólio é o modelo de Média Variância de H.V. Markowitz (1952). A idéia
central é gerar uma carteira de ativos baseada em dados históricos que minimize o risco,
medida em termos da média e variância da carteira gerada. Dado que esses momentos levam
em consideração o efeito de pares de ativos sobre outros, essa modelagem torna-se bastante
eficiente em termos de diversificação.
Konno e Yamazaki (1991) mantiveram a mesma idéia de minimização de risco, porém em
termos do desvio absoluto médio. Assumindo que os retornos dos ativos observados possuem
distribuição Normal Multivariada, os mesmos mostraram a equivalência entre o modelo
proposto e o de Markowitz (1952).
Deve-se dizer que, após o modelo Média Variância, assim como o modelo mencionado no
parágrafo anterior, foram propostos uma série de modelos como modelo Média Semivariância
de Markowitz (1993), Mean-Downside de Harlow (1993), o modelo Maxmin de Young
(1998) e assim por diante.
Outro grupo que tem ganhado bastante importância em termos de investimento refere-se à
gestão passiva. Como mencionado anteriomente, a mesma busca replicar a rentabilidade de
determinado índice. Para isso, existe uma série de técnicas de indexação, sendo importante
mencionar modelos de otimização voltados para a alocação de recursos com base na
indexação.
O modelo de Duarte (1997) é um exemplo de modelo que busca minimizar o tracking error
de uma carteira (composto pelo desvio absoluto médio), porém atrelando-a a um índice
específico. Note que, nesse caso, também temos o processo de escolha entre risco e retorno da
13
suposta carteira, porém voltada para a gestão passiva de recursos. Além disso, tal metodologia
está relacionada à construção de carteiras eficientes de Markowitz (1959), ou seja, a carteira
otimizada será aquela com o maior retorno esperado, se comparada com outras com mesma
variância.
1.1 O PROBLEMA
Com o crescimento de fundos indexados e Exchange Traded Funds, estratégias de gestão
passiva passaram a ter mais importância no mercado financeiro. Uma forma inicial de
alocação de recursos seria implementar a replicação total de um índice específico, ou seja,
comprar todos os ativos que compõem o índice em quantidades proporcionais aos pesos dos
mesmos. Porém, existem uma série de fatores que impedem ou geram entraves à replicação
total do índice como custos de transação e iliquidez de alguns ativos. Dessa forma, buscam-se
métodos que visam eliminar ou reduzir esses contratempos. Como mencionado anteriormente,
uma das estratégias relacionada à indexação utiliza como base modelos de otimização
voltados para a minimização do tracking error de uma carteira.
Para o trabalho em questão, utilizaremos o Ibovespa, uma carteira teórica que busca servir
como um indicador do comportamento do mercado. Atualmente, o índice é composto por 68
ativos, sendo que os dez ativos com maior participação no índice representem mais de 50% do
total do mesmo.
14
Figura 1 - % de Participação dos ativos no Índice Ibovespa (Terceiro Quadrimestre de 2011)
1.2 O OBJETIVO
O objetivo do trabalho é, a partir de técnicas de otimização, indexar uma carteira hipotética ao
índice Ibovespa, utilizando restrições que busquem resultados parsimoniosos e próximos da
realidade. A idéia é aprimorar modelos de otimização com aplicação no Brasil, com
possibilidade de aplicação real em termos de gestão de recursos. Além disso, a partir dos
modelos apresentados nesse trabalho, podemos expandí-lo de várias formas, de forma a
incorporarmos estratégias de compra e venda de ações, além da modelagem de diversos
custos de transação.
1.3 JUSTIFICATIVA
A abordagem do tema torna-se relevante principalmente em função da reduzida literatura de
indexação de carteiras voltadas para o mercado brasileiro (além disso, de forma geral, a
literatura voltada para estratégias passivas de carteiras, se comparada com o caso da gestão
ativa, é significativamente menor).
Além disso, alguns trabalhos acadêmicos desde a década de 50 e 60, como Markowitz (1959),
William Sharpe (1966) e Jensen (1967), buscam validar o uso de estratégias de indexação.
0.00%
2.00%
4.00%
6.00%
8.00%
10.00%
12.00%
15
Sharpe (1966) desenvolveu um índice que calcula a razão entre retorno esperado de uma
carteira e sua volatilidade, obtendo assim um indicador de performance para os fundos. Além
disso, Sharpe comparou o índice de 34 fundos durante determinado período com o Índice
Dow Jones. O resultado foi que o Índice de Sharpe dos fundos foi menor do que o do Dow
Jones, concluindo que a performance dos fundos é pior do que a do mercado (note que a
comparação é feita baseada em retornos esperados, porém, Sharpe não identificou nenhuma
consistência na performance dos fundos estudados, fazendo com que a performance passada
dos fundos não tivesse nenhum poder de previsão). Já o trabalho de Jensen (1967) utilizou o
Capital Asset Pricing Model (CAPM) para avaliar se determinado fundo possui um retorno
esperado maior do que a taxa de juros livre de risco. Ao comparar 115 fundos com o Índice
S&P500, Jensen mostrou que apenas 39 possuíam um alfa positivo (esse alfa sendo definido
como o Índice de Jensen), sendo apenas um deles estatisticamente diferente de zero,
concluindo que nenhum investidor, dentro daquela amostra, conseguiu superar o mercado.
Além disso, Fama (1970) enuncia critérios de eficiência de mercado, dando suporte para
formas de gestão passiva ao afirmar que informações sobre as empresas, assim como dados
históricos, já estão incorporados nos preços dos ativos, inviabilizando assim geração de lucros
utilizando estratégias ativas.
Dessa forma, os trabalhos mencionados, além daqueles desenvolvidos posteriormente,
aumentaram o debate entre as melhores escolhas de formas de gestão (passiva ou ativa) e qual
o método a ser implementado. Somando isso à pouca literatura voltada para fundos indexados
no Brasil, torna-se importante uma análise mais profunda voltada para o mercado brasileiro.
16
1.4 METODOLOGIA
O modelo apresentado nesse trabalho é baseado no proposto em Duarte (1997), que utiliza
como função objetivo o desvio absoluto médio entre os retornos dos ativos do portfólio em
relação ao retorno do índice. Note que, dessa forma, utilizaremos técnicas de otimização
voltadas para a minimização do tracking error, incorporando a técnica de amostragem
estratificada por setores industriais. Além disso, iremos incorporar no modelo restrições
binárias, definindo um número máximo de ativos que poderão compor a carteira, limitando
também a alocação mínima e máxima dos mesmos. Dessa forma, limitaremos a entrada de
ativos específicos por setor, além de permitir apenas lotes com valores inteiros.
1.5 RESULTADOS
Resultados sugerem que, investir em ativos com maiores pesos no índice geram um tracking
error menor. Além disso, quanto mais ativos na carteira, menor será o tracking error. Além
disso, ao analisarmos os modelos com a função modular, ao compararmos o caso linear com o
não-linear, vemos que ambos geraram as mesma carteira final, além dos desvios realizados.
Por fim, modelos não-lineares presentes nesse trabalho apresentaram resultados similares em
termos dos desvios realizados.
1.6 LIMITAÇÕES
Uma das limitações do modelo refere-se ao fato de utilizarmos a técnica de amostragem
estratificada para assim minizarmos o tracking error. Dividiremos os ativos que compõem o
índice em setores industriais, obrigando o modelo a determinar um número específico de
ativos de cada setor (por exemplo, podemos restringir o modelo a selecionar apenas 1 ativo de
cada setor). Dessa forma, limitamos o número de combinações possíveis de ativos que
17
poderiam compor o índice, incorrendo no risco de eliminar determinada alocação que seja
uma melhor solução final. Somado à esse fato, desconsideramos também, a partir desse
método, outros fatores de risco que impactam os ativos, assim como índice escolhido (as
vantagens e desvantagens das técnicas de indexação serão discutidas na próxima seção).
Um outro problema ao minimizarmos o tracking error está relacionado à volatilidade do
índice escolhido, assim como a participação de cada ativo que compõe o mesmo. Ao
analisarmos o caso brasileiro, vemos que o índice Ibovespa possui elevada volatilidade, assim
como elevada concentração em poucos ativos, tendendo a gerar assim elevados tracking
errors.
Figura 2- Volatilidade Anualizada do Índice Ibovespa
1.7 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO
No capítulo 2, explicaremos melhor o conceito de gestão e as diversas estratégias de
investimento, como a indexação e as diversas técnicas de implementação. Posteriormente, no
capítulo 3, explicitaremos o modelo utilizado neste trabalho baseado em Duarte (1997),
explicando também a inclusão de novas restrições. Já no capítulo 4 falaremos sobre as
0.00%
20.00%
40.00%
60.00%
80.00%
100.00%
120.00%
1/14/2004 5/28/2005 10/10/2006 2/22/2008 7/6/2009 11/18/2010
18
simulações implementadas, assim como os dados utilizados em nosso modelo, enquanto que o
capítulo 5 concluirá o presente trabalho.
19
2 GESTÃO
Como mencionado anteriormente, a gestão de investimento é um método ou processo
decisório sobre como alocar a renda de determinado indíviduo em um instante do tempo.
Porém deve-se dizer que existem determinadas etapas que devem ser cumpridas, desde a
identificação do perfil de risco do investidor até a seleção dos ativos e monitoramento do
portfólio.
Podemos dizer que o primeiro passo do processo de gestão de recursos é a elaboração de uma
política, ou regulamento de investimentos. Esta etapa é de extrema relevância pois guia o
investidor sobre quais seus objetivos e restrições, além de criar um certo padrão para julgar a
performance do gestor. O regulamento pode conter diversas características que, de certa
forma, relaciona-se com o apetite ao risco do investidor (como por exemplo limites de
alavancagem, vendas a descoberto, limite mínimo de alocação em títulos públicos federais,
limites de exposição a fatores de risco cambial, juros e bolsa, dentre outros).
Após elaboração da política de investimentos, o gestor deve estudar sobre as condições
econômicas visando identificar possíveis tendências e, dessa forma, buscar as melhores
estratégias que busquem relacionar tanto o regulamento quanto o perfil do investidor com o
cenário econômico traçado pelo gestor.
20
Somando o regulamento do investidor, delineando suas necessidades, com os cenários
econômicos e financeiros definidos pelo gestor, o próximo passo é definir a estratégia de
investimento. As estratégias de alocação de recursos costumam ser definidas em 3 tipos:
ativa, passiva ou enhanced indexing. A idéia central da construção do portfólio é gerar uma
carteira com exposição mínima de risco que satisfaça as restrições e condições da política de
investimento.
Por fim, a última etapa do processo de adminstração de recursos é o monitoramento das
necessidades do investidor, buscando implementar possiveis mudanças na política de
investimento. Além disso, nessa etapa, mensura-se o desempenho da carteira do investidor,
comparando o resultado às necessidades previamente estabelecidas pelo investidor.
2.1 GESTÃO ATIVA
O objetivo da gestão ativa é obter retornos acima de um determinado benchmark. Note que,
uma das hipóteses que norteia qualquer estratégia de investimento baseia na eficiência de
mercado, como visto em Fama (1970). Nesse caso, supõe-se que mercados não são eficientes
e, dessa forma, existem assimetrias nos preços dos ativos, possibilitando a existência de
elevados retornos. Podemos definir estratégias de gestão ativa em 2 categorias: análise
fundamentalista e análise técnica.
É necessário dizer que as estratégias mencionadas no parágrafo anterior estão intimamente
relacionadas com duas técnicas de gestão ativa definidas no artigo de Fama (1972), sendo elas
stock picking e market timing. Porém, ambos os casos estão presentes tanto em estratégias
voltadas para a análise fundamentalista quanto técnica.
21
Nas seções a seguir apresentaremos também os modelos mencionados no capítulo introdutório
relacionados à gestão ativa, sendo eles o modelo Média Variância de Markowitz (1956) e o
modelo de Konno e Yamazaki (1991).
2.1.1 ANÁLISE FUNDAMENTALISTA
Nesse caso, podemos definir 2 estratégias: top-bottom e bottom-up. No primeiro caso, analisa-
se primeiramente a condição da economia de um país como um todo, pois àqueles que
utilizam essa estratégia acreditam que efeitos econômicos e industriais como um todo geram
impactos significantes nos retornos dos ativos. Após a análise do cenário geral, o gestor filtra
o espectro da análise, passando a observar os setores industriais até chegar na análise de um
específico ativo. No segundo caso, a premissa é a de que é possível encontrar ativos que estão
subvalorizados se comparados com o preço de mercado e com o setor industrial específico.
Note que as 2 estratégias baseiam-se primordialmente no princípio de seleção de ativos (stock
picking) e na determinação de qual o melhor momento para comprar ou vender os ativos (
market timing).
2.1.2 ANÁLISE TÉCNICA
Essa estratégia envolve basicamente a análise de dados passados como preços e volumes,
determinando tendências de preços futuros. Dessa forma, tal método diverge da análise
fundamentalista, pois dados econômicos são analisados conjuntamente com os ativos já que,
nesse caso, o mercado é considerado o melhor previsor.
Existem algumas hipóteses atreladas à análise técnica. A primeira é a de que o valor de
mercado de um ativo é determinando apenas pela oferta e demanda. A segunda é que a oferta
e demanda é influenciada por fatores racionais e irracionais. A terceira diz que o preço de um
22
ativo e o valor de mercado movem-se de acordo com tendências, com relativa persistência no
tempo. Por fim, a última hipótese diz que tendências persistentes mudam em função de
alterações na oferta e demanda, podendo ser detectada em função da própria alteração do
mercado. Nesse caso, analistas técnicos acreditam que essas tendências são persistentes pois
as informações novas entram no mercado durante um período no tempo, e não
instantaneamente, gerando assim em um ajuste gradual no preço do ativo (o que de certa
forma é contra a análise fundamentalista e aqueles que acreditam na eficiência de mercado).
2.1.3 MODELO MÉDIA VARIÂNCIA
Suponha que existam um total de n de ativos disponíveis. Para cada ativo, calcula-se a taxa de
retorno simbolizada por Rj para cada período. Define-se também , i = 1, ... , n , sendo essas
as variáveis representando o peso de cada ativo na carteira total. O modelo, inicialmente,
assume que os gestores são impossibilitados de ficarem vendidos nos ativos, ou seja,
=1 e ≥ 0 para todo i = 1, ... , n.
Além dos elementos mencionados, o modelo utiliza o retorno esperado de todos os ativos para
cada período, de forma a selecionarmos de forma correta o portfólio ótimo. Seja:
Rj(x1, ... , xn) = (2.1.1)
Sendo Rj o retorno esperado do portfólio para cada período j, onde é a taxa média de
retorno do ativo i. Da mesma forma, podemos definir a variância da carteira como:
, (2.1.2)
23
onde é a covariâcia entre os ativos i e q, definida como:
, (2.1.3)
A partir desses parâmetros, definimos o modelo de Média Variância de Markowitz como um
problema quadrático de Kuhn-Tucker da seguinte forma:
niX
X
RX
XXx
i
i
ii
n
i
n
i
iqqi
,...,1,0
1
a Sujeito
)(Minimizar
n
1i
n
1i
1 1
2
=³
=
³
=
å
å
åå
=
=
= =
m
ss
(2.1.4)
Note que a função objetivo busca minimizar o risco da carteira a partir da sua variância. Além
disso, ao considerarmos as restrições, vemos que a taxa média de retorno da carteira é restrita
à um parâmetro exógeno µ definido pelo gestor. Como mencionado anteriormente, temos
outra restrição que refere-se à restrição orçamentária do gestor, enquanto que a última
restrição impede que o mesmo mantenha posições vendidas nos ativos.
Para que os resultados sejam válidos, supõe-se que os retornos dos ativos possuem
distribuição normal multivariada e que os investidores são avessos ao risco, ou seja, preferem
um menor desvio padrão tornando a carteira menos arriscada, sacrificando, por outro lado, a
possibilidade de retornos maiores.
24
2.1.4 DESVIO ABSOLUTO MÉDIO
Como mencionado, o modelo de otimização proposto por Konno e Yamazaki (1991)
representa uma aproximação linear do modelo Média Variância de Markowitz. O desvio
absoluto pode ser definido como:
(2.2.1)
A partir da condição da normalidade dos retornos dos ativos, pode ser provado que:
(2.2.2)
ou seja, o problema de otimização de Média Variância é equivalente à minimização do Desvio
Absoluto Médio.
Podemos, alternativamente, escrever o desvio absoluto médio como:
(2.2.3)
Com isso, podemos definir o problema de minização da seguinte forma:
25
niX
X
rX
mjXrrXrr
mjXrrXrr
mjXrrB
XXL
BLm
i
i
ii
n
i
ijij
n
i
ijij
n
i
ijij
n
i
ijij
n
i
ijijj
m
j
j
,...,1,0
1
,...,1,0)()(
,...,1,0)()(a Sujeito
,...,1,)(
:
)(1
Minimizar
n
1i
n
1i
11
11
1
1
=³
=
³
=³---
=³-+-
=-=
®
å
å
åå
åå
å
å
=
=
==
==
=
=
m
(2.2.4)
As duas primeiras restrições buscam igualar å=
-n
i
ijij Xrr1
)( ao valor absoluto da soma de
desvios no período j. Além disso, foi incluída outra restrição estabelecendo que a soma dos
retornos para cada ativo escolhido é maior do que o retorno , um parâmetro exógeno. Por
fim, as duas últimas restrições são semelhantes às do modelo de Markowitz, representando,
respectivamente, a restrição orçamentária dos investidores e a impossibilidade dos gestor de
manter posições vendidas nos ativos.
26
Existem algumas vantagens para utilizarmos o modelo de desvio absoluto médio ao invés do
Média Variância. Primeiramente, não é necessário o cálculo da matriz de variância
covariância, sendo assim mais eficiente ao atualizarmos os dados. Além disso, o modelo é
computacionalmente mais eficaz devido à natureza linear do problema.
Portanto, ambos os modelos apresentados podem ser considerados como pontos de partida
para a seleção de carteiras. A partir dos modelos citados, podemos incluir outros tipos de
restrições que correspondam melhor à realidade e aos interesses dos gestores. Tais
proposições serão expostas na próxima seção.
2.2 GESTÃO PASSIVA
A gestão passiva busca montar um portfólio que replique a performance de um índice
específico (ou o benchmark). Podemos listar algumas vantagens e desvantagens dessa forma
de gestão, dentre elas:
Vantagens:
1- Baixo custo em termos de capital humano, além do fato de não necessitar ajustes
em sua carteira regularmente, gerando menos custos para a adminstração da mesma (taxas de corretagem menores por exemplo).
2- A adminstração é relativamente simples, facilitando a comunicação entre os gestores dos recursos e clientes.
3- Supondo a existência de eficiência de mercado, a indexação de portfólio é considerada como uma das melhores estratégias de investimento, dado que pouca informação ainda não está disponível para o mercado. Dessa forma, o gestor provavelmente não tomará decisões que sejam extremamente custosas.
27
Desvantagens:
4- Tracking error do índice, ou seja, a diferença entre o retorno do portfólio e do
índice diverge entre gestores.
5- Dada a correlação positiva com o índice, perde-se a habilidade ou a possibilidade de alterar estratégias defensivas ou ofensivas em função de condições adversas de mercado.
6- Retornos determinados apenas pelo índice.
É necessário dizer que existem alguns elementos que influenciam e impactam diretamente os
desvios entre a carteira do gestor e do índice. Chiang (1998) identifica alguns fatores que
influenciam o tracking error dos fundos, sendo eles: custos de transação (a liquidez é um
fator crucial nesse caso pois, ao selecionarmos uma quantidade menor de ativos para compor
a carteira, prevenimos posições muito pequenas e/ou ilíquidas); fluxo de caixa do fundo; a
volatilidade e tratamento de dividendos do índice; mudanças na composição do índice (a
entrada de um novo ativo no índice faz com que o gestor compre o mesmo, possivelmente a
um preço valorizado dado que, empiricamente, quando um ativo passa a fazer parte de um
tradicional índice, o mesmo passa a ser mais valorizado, gerando um aumento no preço).
Dessa forma, nota-se a existência de um trade-off entre a minimização do tracking error e dos
custos de transação.
Podemos definir duas estratégias gerais da gestão passiva: buy and hold e indexação.
Contudo, antes de enunciá-las, torna-se necessário explicar melhor os conceitos que norteiam
e justificam a utitização de estratégias passivas de investimento.
28
2.2.1 HIPÓTESE DE EFICIÊNCIA DE MERCADO
Desde a década de 50, artigos mostram que não é possível identificar padrões nos preços dos
ativos, ou seja, mudanças nos preços são aleatórias e não podem ser previstas, sendo que
apenas novas informações afetarão os preços dos ativos. Essa relação é o que podemos definir
como a Hipótese (Fraca) de Eficiência de Mercado.
Como mencionado no parágrafo anterior, tal hipótese está associada à idéia de que os preços
dos ativos seguem um passeio aleatório. Isso sugere que, caso o fluxo de informações seja
livre e impactem de forma direta os preços, então variações dos mesmos nos dias seguintes
estarão associadas à notícias futuras, fazendo com que variações futuras sejam independentes
das mudanças de preços hoje (em outras palavras, variações diárias no preços dos ativos
possuem média zero).
Atualmente existem três versões da Hipótese de Eficiência de Mercado, sendo elas: a forma
Fraca, Semi-Forte e Forte.
A hipótese Fraca diz que os preços dos ativos já refletem toda a informação passada, como
volumes e preços históricos. Dessa forma, caso tal hipótese seja verdade, estratégias de
tendência utilizadas em análise técnica não possuem embasamento teórico algum, dado que o
histórico de preços e volumes passados podem ser obtidos de forma simples e com baixos
custos e, portanto, qualquer informação passada já foi incorporada no preço do ativo hoje,
impossibilitando também qualquer tipo de previsão.
A hipótese Semi-Forte define que toda informação pública disponível sobre os prospectos de
uma empresa devem ser refletidos no preço do ativo, sendo essas informações, além de dados
históricos como preços e volume, assim como dados fundamentalistas, como práticas
29
contábeis, composição do balanço e linhas de produto. Com isso, supondo que tal hipótese
seja válida, estratégias envolvendo análise fundamentalista (além da análise técnica) não irão
gerar o lucro esperado, pois as avaliações dos analistas à respeito das empresas não irão
mudar de forma considerável, dado que todos se baseiam nas mesmas informações.
Por fim, a forma Forte de eficiência de mercado define que os preços dos ativos refletem toda
informação relevante à firma, tanto informações públicas quanto privadas.
Dessa forma, a Hipótese de Eficiência de Mercado sugere que a gestão ativa não é a melhor
forma de gerir a renda de um indivíduo, sendo mais interessante implementar estratégias
passivas de investimento.
2.2.2 BUY AND HOLD
Essa estratégia é mais comum em carteiras de bonds. Basicamente envolve investir em ativos
com características que satisfaçam o perfil do investidor. Características como cupom,
vencimentos e duration dos bonds são analisadas no processo de seleção de ativos,
carregando os títulos selecionados até o vencimento dos mesmos.
2.2.3 INDEXAÇÃO
Fundos indexados são exemplos de uma adminstração passiva, que possuem como estratégia
de investimento escolher um índice de mercado (como o S&P 500 ou o Ibovespa) e tentar
replicar o retorno do mesmo (sendo chamada de indexação tradicional). Outras formas de
indexação podem ser mencionadas como a sintética, combinando contratos futuros e bonds de
baixo risco, além do enhanced indexing, sendo esta última combinada com estratégias ativas.
30
Além disso, existem diferentes técnicas de indexação de carteiras, a partir do uso de contratos
futuros, full replication, amostragem estratificada e largest holding
2.2.3.1 CONTRATOS FUTUROS
Em mercado líquidos, a utilização do contrato futuro de índice torna-se um instrumento
relativamente simples de indexação. Um contrato futuro de índice Bovespa nada mais é do
que um derivativo com vencimento pré-determinado, sendo o ativo uma cesta de ações. Além
disso não existe entrega física, apenas a liquidação financeira.
Contudo, a utilização de contratos futuros possuem limitações. Uma delas, já mencionada no
parágrafo anterior, refere-se ao fato dos contratos possuírem vencimentos fixos, sendo
necessário rolar o índice mensalmente, gerando custos de transação durante a rolagem. Além
disso, ao utilizarmos contratos futuros, impossibilitamos o empréstimo de ações que seria
disponível nos demais casos de indexação.
2.2.3.2 FULL REPLICATION
Esse método pode ser considerado como o mais simples de todos. Basicamente, o gestor pode
comprar todos os ativos que compõem o índice, levando em conta o peso dos mesmos na
carteira, reproduzindo totalmente o índice.
Porém, tal método possui uma série de desvantagens. Caso haja recomposição do índice, o
gestor terá que rebalancear totalmente a carteira. Somado à isso, caso alguns ativos sejam
ilíquidos, teremos custos de transação maiores ainda.
31
2.2.3.3 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA
Esse método busca minimizar o tracking error selecionando especificidades relacionadas aos
ativos que compõem o índice responsáveis pela tomada de decisão do gestor.
Podemos estratificar, por exemplo com base nos setores industriais que cada ativo pertence
(Petróleo e Gás, Mineração dentre outros), yield, price earning ratio, ou seja, podemos
determinar uma série de filtros que irão balizar as decisões do gestor.
Estratificar é uma técnica que certamente reduzirá os custos de transação se compararmos
com o full replication, pois selecionamos menos ativos, porém, o mesmo sofre limitações,
principalmente em termos de controle de risco. Ao filtrarmos características específicas de
cada ativo, ignoramos os demais fatores de risco que influenciam o índice. Além disso, a
determinação do método de estratificação a ser utilizado baseia-se na premissa de que o
mesmo possui grande influência no índice. Caso não seja verdade, possivelmente existirá
outra combinação de ativos mais eficiente que minimize ainda mais o tracking error da
carteira.
2.2.3.4 LARGEST HOLDING
A lógica da indexação via largest holding baseia-se na compra de ativos com maiores pesos
no índice. A idéia é que os ativos com maiores pesos explicam melhor a dinâmica do índice e,
dessa forma, torna-se uma interessante estratégia de indexação.
Ao utilizarmos tal método, eliminamos o problema de liquidez e, quanto maior a liquidez,
menores serão os custos de operação. Note que, ao selecionarmos os ativos, é necessário ainda
minimizar o tracking error para assim determinarmos o peso dos ativos na carteira. Contudo,
32
esse procedimento possui a mesma falha que a amostragem estratificada em termos de
controle de risco.
2.2.4 DESVIO ABSOLUTO MÉDIO DE DUARTE (1997)
O modelo proposto em Duarte (1997) utiliza como tracking error o desvio absoluto médio
entre a carteira a ser otimizada e o índice considerado como benchmark. Além disso,
adicionamos uma nova restrição de turnover e definimos custos fixos para cada ativo
negociado, sendo os mesmos obtidos a partir da média dos spreads dos bids e asks diários dos
ativos. Além disso, definimos m como o total de períodos, é o retorno do ativo i no
período j, e .Dessa forma, temos que:
niEFX
aFE
niXFEa
FE
mjwrXrB
XXL
BLm
iii
n
i
ii
n
i
i
iiii
n
i
i
n
i
i
indice
j
n
i
iijj
m
j
j
,...,1,0,,
)(
,...,1,
a Sujeito
,...,1,)(
:
)(1
Minimizar
11
11
1
1
=³
£+
=+=+
=
=-=
®
åå
åå
å
å
==
==
=
=
d
(2.3.1)
33
Primeiramente temos a função objetivo, ou seja, o tracking error, simbolizado como o desvio
absoluto médio entre o índice selecionado e a suposta carteira a ser otimizada (note que a
mesma está em módulo, sendo uma boa solução para o caso de outliers). Além disso, rij nos
mostra o retorno do ativo i por período j dos ativos da carteira indexada, considerando
também o custo de transação dos ativos (como já mencionado, fixo no tempo).
As duas primeiras restrições podem ser consideradas como restrições de equilíbrio.
Basicamente, fazem com que a alocação inicial da carteira somada deva ser igual à quantidade
final somada ou reduzida de um “fator” (no caso, os fatores seriam as variáveis ).
Notem que essas variáveis de balanceamento entram na função objetivo do modelo também e,
dessa forma, são determinadas a partir da minimização do tracking error.
Nesse modelo, retringe-se também o turnover da carteira, dado que o mesmo, se muito
elevado, certamente influenciará a convergência do modelo, limitando as possibilidade de
variação do financeiro a ser alocado para cada ativo.
2.3 ENHANCED INDEXING
Como mencionado anteriormente, tal metodologia busca incluir estratégias tanto ativas como
passivas. Ao analisar o cenário econômico ou condições específicas de ativos, o gestor pode
determinar que existam estratégias ativas que gerem performance superior ao do mercado.
Caso contrário, o gestor pode ser mais conservador e adotar estratégias passivas. Dessa forma,
pode existir uma combinação de estratégias tanto ativas quanto passivas que, em função da
necessidade do investidor e do cenário econômico financeiro, determinarão a alocação ótima
de recursos. Com isso, um possível efeito seria o de sacrificar o tracking error da carteira em
relação ao benchmark, garantindo, por outro lado, melhor performance.
34
3 O MODELO
Como mencionado anteriormente, o modelo proposto é baseado em Duarte (1997) com a
inclusão de novas restrições. Primeiramente, torna-se necessário enunciarmos as variáveis e
parêmetros, presentes em nossos modelos, definidos da seguinte forma:
VARIÁVEIS DE DECISÃO:
( = alocação final do ativo i.
(Zi )= variável binária utilizada para indicar o investimento no ativo i.
PARÂMETROS:
( = retorno do índice selecionado no período j.
= limite inferior de alocação da carteira.
= limite superior de alocação da carteira.
h = limite máximo de ativos na carteira otimizada.
w = financeiro disponível para investimento,
= matriz contendo os ativos disponíveis
= matriz contendo as restrições da estratificação amostral
= caixa total disponível
ρ = limite mínimo de caixa.
ÍNDICES:
j = 1, ... , m períodos
i = 1,…, n ativos
k = 1,…, s setores
35
Em nossas simulações, faremos as seguintes suposições:
= 2%
= 20%
w = R$100.000.000,00
ρ = 2%
Inicialmente, explicitaremos o modelo inicial sem a inclusão de variáveis binárias e sem
rebalanceamento. Dessa forma, temos a seguinte formulação (na forma de desvio quadrático
médio):
niX
wC
wCX
mjwrXrB
XXL
BLm
i
n
i
i
indice
j
n
i
iijj
m
j
j
,...,1,
a Sujeito
,...,1,)(
:
)(1
Minimizar
1
1
2
1
=ÂÎ
³
=+
=-=
®
+
=
=
=
å
å
å
r
(3.1)
3.1 INCLUSÃO DE VARIÁVEIS BINÁRIAS
Visando aperfeiçoar o modelo, fazendo com que o mesmo selecione não só a quantidade
ótima dos ativos mas também quais ativos serão escolhidos, é necessário definirmos uma
nova variável binária Zi {0,1}, assumindo valor zero quando o ativo i não é selecionado no
36
ponto de ótimo e valor um caso contrário. Além disso, outro fator interessante, que nos
aproxima da realidade, diz respeito à restrição do número de ativos permitidos na carteira,
sendo definida como uma restrição de cardinalidade, limitando a quantidade total de ativos
(porém ainda não mencionamos nada em relação aos setores industriais cujos ativos estão
inseridos). Dessa forma, definimos as novas retrições do modelo da seguinte forma:
(3.2)
Muitas das restrições são análogas àquelas enunciadas no capítulo anterior. Contudo, torna-se
necessária a análise das novas restrições. Uma das novas restrições refere-se à condição de
cardinalidade da carteira, ou seja, definimos exogenamente h, forçando a carteira otimizada a
conter um número máximo de ativos predeterminado. Para tal, como mencionado
anteriormente, define-se novas variáveis binárias Zi, e fazemos com que a soma dessas
variáveis seja menor ou igual ao valor de h (note que é necessário restringir as variáveis,
sendo essa restrição incorporada em nosso modelo). Nesse caso, a matriz é um vetor
linha que contém todos os ativos disponíveis.
Assumimos que, caso o ativo i seja selecionado, seu valor relativo ao capital total disponível
deve estar contido entre o limite inferior e superior γ. Intuitivamente, podemos dizer que
existe uma relação entre essa restrição e a condição de cardinalidade, dado que ambas
buscam reduzir o número de pequenas operações. Além disso, definimos uma restrição de
37
caixa, visando tornar o modelo mais real, pois dinheiro em caixa soluciona problemas como
chamada de margem ou resgates.
3.2 INCLUINDO ESTRATIFICAÇÃO AMOSTRAL NO MODELO
Definidas as variáveis binárias torna-se importante relacionar os ativos a serem selecionados
em função também dos setores industriais que pertencem. Dessa forma, substituímos a
restrição de cardinalidade da seção anterior pela seguinte restrição:
(3.3)
Onde é uma matriz contendo s setores e n ativos, é um vetor coluna contendo as
variáveis binárias e é um vetor coluna contendo as restrições totais por cada setor. Por
exemplo, suponha que existam apenas 3 setores industriais e 6 ativos disponíveis, sendo que
restrinjo meu modelo para selecionar apenas 1 ativo de cada setor. Com isso, temos que:
Note que a forma matricial é análoga à formulação do exemplo, ou seja, os pares de ativos
(1,2), (3,4) e (4,5) pertencem a setores distintos, sendo os mesmos multiplicados por variáveis
binárias que serão iguais a 1 caso os ativos sejam selecionados e 0, caso contrário, Além
38
disso, note que a o valor final da soma de cada linha da matriz deve ser igual à 1, ou seja,
igual ao limite pré-estabelecido de participação de ativos por setor. Com isso:
{ }1,0
,...,1,
,...,1,
,...,1,
a Sujeito
,...,1,)(
:
)(1
Minimizar
1
1
1
2
1
Î
=ÂÎ
³
==
=££
=+
=-=
®
+
=
=
=
=
å
å
å
å
Z
niX
wC
skZ
niZw
XZ
wCX
mjwrXrB
XXL
BLm
i
n
i
kiki
ii
i
n
i
i
indice
j
n
i
iijj
m
j
j
r
jf
ga
(3.4)
39
3.3 MODELO COM DESVIOS EM MÓDULO
Além de utilizarmos o desvio quadrático médio, iremos implementar também a forma
absoluta de desvios. A forma não linear dos desvios utilizando a função modular direto na
função objetivo pode ser descrita da seguinte forma:
{ }1,0
,...,1,
,...,1,
,...,1,
a Sujeito
,...,1,)(
:
)(1
Minimizar
1
1
1
1
Î
=ÂÎ
³
==
=££
=+
=-=
®
+
=
=
=
=
å
å
å
å
Z
niX
wC
skZ
niZw
XZ
wCX
mjwrXrB
XXL
BLm
i
n
i
kiki
ii
i
n
i
i
indice
j
n
i
iijj
m
j
j
r
jf
ga
(3.5)
Contudo, no caso dos desvios absolutos, podemos tornar o modelo linear, utilizando assim
otimizadores lineares como o Simplex (sendo este utilizado no Microsoft Excel). Além disso,
no caso linear, caso o modelo obtenha uma solução, podemos garantir que ela será um ótimo
40
global, ao contrário do problema quadrático. Utilizando-se desse fato, o modelo pode ser
linearizado da seguinte forma:
{ }1,0
,...,1,0,
,...,1,
,...,1,
,...,1,
a Sujeito
,...,1,)(
)(1
Minimizar
1
1
1
1
Î
=³
=ÂÎ
³
==
=££
=+
=-=-
+
-+
+
=
=
=
-+
=
-+
å
å
å
å
Z
mjBB
niX
wC
skZ
niZw
XZ
wCX
mjwrXrBB
BBm
jj
i
n
i
kiki
ii
i
n
i
i
indice
j
n
i
iijjj
m
j
jj
r
jf
ga
(3.6)
41
3.4 MODELO UTILIZANDO A MEDIANA NA FUNÇÃO OBJETIVO
Utilizando não só a função objetivo em módulo e na forma quadrática, podemos implementar
a mediana dentro da função objetivo. Dessa forma:
{ }
{ }1,0
,...,1,
,...,1,
,...,1,
a Sujeito
,...,1,)(
,...,,,Minimizar
1
1
1
223
22
21
Î
=ÂÎ
³
==
=££
=+
=-=
+
=
=
=
å
å
å
Z
niX
wC
skZ
niZw
XZ
wCX
mjwrXrB
BBBBMediana
i
n
i
kiki
ii
i
n
i
i
indice
j
n
i
iijj
j
r
jf
ga
(3.7)
Além disso, podemos fazer uma leve alteração no modelo acima, utilizando não apenas o
quadrado dos desvios realizados como também o módulo desses desvios, resultando no
modelo descrito abaixo:
42
{ }
{ }1,0
,...,1,
,...,1,
,...,1,
a Sujeito
,...,1,)(
,...,,,Minimizar
1
1
1
321
Î
=ÂÎ
³
==
=££
=+
=-=
+
=
=
=
å
å
å
Z
niX
wC
skZ
niZw
XZ
wCX
mjwrXrB
BBBBMediana
i
n
i
kiki
ii
i
n
i
i
indice
j
n
i
iijj
j
r
jf
ga
(3.8)
43
4 SIMULAÇÕES
4.1 DADOS
Para a realização das simulações e da otimização do modelo, utilizou-se a série histórica
semanal do Ibovespa e dos ativos que compuseram o índice a partir do segundo semestre de
2010 até o novembro de 2011, totalizando 108 semanas. A série de preços dos ativos, assim
como a série do índice Bovespa, foram obtidas utilizando o Economatica como fonte de dados
para as simulações. A partir dos preços dos ativos, calculamos os retornos logarítmicos.
Um fator importante a ser mencionado diz respeito à reestruturação do índice para diferentes
quadrimestres. Partimos da hipótese de que os ativos que compuseram o índice no passado
serão os mesmos que compuseram o índice no último quadrimestre em análise. Dessa forma,
fixamos os ativos do indíce, alterando apenas a quantidade teórica dos mesmos. Para isso,
utilizamos as fórmulas contidas no Apêndice A deste trabalho. Nas próximas seções,
listaremos os resultados dos modelos utilizando a técnica de estratificação amostral, assim
como os modelos na forma mais simples.
44
4.2 RESULTADOS SEM ESTRATIFICAÇÃO AMOSTRAL
Os resultados mencionados dizem respeito à forma quadrática com a adição das variáveis
binárias e inteiras, ou seja, o modelo da seção 3.1 do Capítulo 3. Utiliza-se como passo inicial
no modelo de otimização os mesmos pesos dos ativos que compõem o índice. Além disso,
definimos o parâmetro de mínimo de caixa equivalente à 2%, com recursos disponíveis no
total de R$100.000.000.
4.2.1 UM MODELO SIMPLES
Como ponto de partida, iremos implementar um caso com apenas 6 ativos, inseridos em
apenas 2 setores industriais (Mineração e Petróleo e Gás). A idéia é analisar o comportamento
do modelo na situação mais simples possível. Nesse caso, iremos eliminar as restrições de lote
mínimo e máximo (na verdade iremos supor que o limite máximo é de 100% do patrimônio
do gestor e 0% para o limite mínimo). Os dois setores mencionados possuem os maiores
pesos no índice, sendo equivalemente a aproximadamente 32,66% do peso total, sendo que
Mineração possui 15.21%, enquanto que Petróleo e Gás possui 17.45%.
Observando as figuras 3 e 4, vemos que, quanto maior o número de ativos, menor será o
tracking error da carteira. Porém, selecionar 3 ativos parece ser mais eficiente pois, a partir
desse número, tanto o tracking error quanto seus quartis não apresentam melhora relevante.
45
Figura 3- T.E do Modelo Simples (desvios absolutos)
Figura 4- T.E do Modelo Simples (desvios realizados)
Além disso, a partir da tabela 4, vemos que o critério de seleção do modelo é escolher,
primeiramente, ativos com os maiores pesos no índice. Fazendo com que o modelo escolha
apenas um ativo, o mesmo seliciona VALE5, o ativo com maior peso no índice. Aumentando
para dois o número de ativos na carteira, o modelo seleciona VALE5 e PETR4, ativos com os
dois maiores pesos no índice, e assim por diante. Dessa forma, o modelo mais simples parece
nos fornecer valiosas intuições em relação ao caso geral, contendo todos os ativos e com
restrições mais parsimoniosas.
0.0000%
0.5000%
1.0000%
1.5000%
2.0000%
2.5000%
3.0000%
6 ativos5 ativos4 ativos3 ativos2 ativos1 ativo
Primeiro Quartil Terceiro Quartil Mediana
-2.0000%
-1.0000%
0.0000%
1.0000%
2.0000%
6 ativos5 ativos4 ativos3 ativos2 ativos1 ativo
Primeiro Quartil Terceiro Quartil Mediana
46
Tabela 1- Alocações do Modelo Simples
4.2.2 CASO GERAL
Utilizando um total de 47 ativos disponíveis para investimento e alterando a restrição, em
cada simulação, do limite máximo de ativos, vemos que o tracking error aumenta quanto
menos ativos disponíveis. As figuras 5 e 6 mostram estatísticas dos tracking errors semanais
obtidas em nossas simulações. A primeira figura mostra os desvios absolutos, assim como os
quartis dos tracking errors, enquanto que a segunda figura mostra os desvios realizados,
assim como os quartis. Além disso, deve-se dizer que, ao utilizarmos a restrição que estipula
um limite máximo de número de ativos, não necessariamente o modelo selecionará o máximo
em cada simulação. Dessa forma, o eixo horizontal das tabelas reflete o número máximo de
ativos que podem ser selecionados pelo gestor mas não necessariamente será o valor final no
ponto ótimo.
47
Figura 5- T.E da Carteira (desvios absolutos)
Figura 6- T.E da Carteira ( desvios realizados )
A partir das figuras, vemos que o tracking error é cada vez maior quanto menor for o limite
máximo de ativos disponíveis para o gestor. Além disso, aparentemente, a partir do limite
máximo de 17 ativos, aumentar o limite parece não tornar a carteira mais eficiente (no sentido
de desvios realizados). Dessa forma, podemos dizer que, não necessariamente, selecionar
todos os ativos que compõem o índice seja a melhor solução para indexarmos uma carteira.
A partir da tabela 1, podemos ver uma das simulações implementadas. Note que, nesse caso, o
modelo seleciona ativos que possuem maior participação no índice. Contudo, ao rodarmos os
modelos com limites máximos de ativos diferentes, não obtivemos o mesmo resultado. Talvez
0.00000%
0.20000%
0.40000%
0.60000%
0.80000%
1.00000%
1.20000%
47423732272217127
Primeiro Quartil Terceiro Quartil Mediana
-0.80000%
-0.60000%
-0.40000%
-0.20000%
0.00000%
0.20000%
0.40000%
0.60000%
0.80000%
47423732272217127
Primeiro Quartil Terceiro Quartil Mediana
48
isso se deva ao fato do modelo não selecionar o ótimo global em algumas das simulações
implementadas.
Tabela 2- Simulação com restrição máxima de 42 ativos (24 selecionados)
49
4.3 RESULTADOS COM ESTRATIFICAÇÃO AMOSTRAL
Nessa parte, explicitaremos o modelo incluindo um critério de seleção de ativos com base na
estratificação amostral por setores industriais. No modelo anterior restringimos apenas o
número máximo de ativos presentes na carteira, independente do setor dos mesmos. Dessa
forma, a solução final ignoraria qualquer critério utilizando setores industriais, podendo, por
exemplo, escolher ativos que participassem de apenas um setor (caso fosse a solução ótima).
Com isso, vemos que, ao restringirmos o modelo por estratificação amostral, estaremos
limitando ainda mais as possíveis combinações de ativos, podendo assim desconsiderar
potencias soluções melhores do que a final (no sentido de minimização do tracking error da
carteira). A atual simulação se baseará em um total de 39 ativos que compõem o Ibovespa e
14 setores específicos (sendo os setores e ativos que irão compor os mesmos definidos no
Apêndice B).
4.3.1 EXEMPLO COM 3 SETORES E 6 ATIVOS DISPONÍVEIS
Apenas para ilustrar como funciona a restrição que relaciona os setores e ativos disponíveis
com as variáveis binárias, suponha o caso em que temos apenas 3 setores e 6 ativos
disponíveis, divididos entre Mineração, Petróleo e Bancos. Nesse caso, podemos escrever
å=
=n
i
kikiZ1
jf sk ,...,1, = como:
50
Podemos ver acima que existem 2 ativos em cada setor, sendo que minha carteira irá possuir
um ativo de cada setor disponível. Dessa forma, obtivemos os seguintes resultados:
Setores Carteira Alocação Final
Metalurgia VALE5 $34,048,084.00
Petróleo PETR4 $24,444,816.00
Bancos ITUB4 $39,507,048.00
Tracking Error 1.00%
Desvio Absoluto Desvio
Realizado
Primeiro Quartil 0.27% Primeiro Quartil -0.60%
Mediana 0.65% Mediana 0.06%
Terceiro Quartil 1.18% Terceiro Quartil 0.76%
Tabela 3- Exemplo com 6 ativos e 3 setores
Os resultados mostram que o modelo, para cade setor específico, selecionou ativos com
maiores pesos no índice, corroborando resultados anteriores.
4.3.2 PRIMEIRA SIMULAÇÃO
Como ponto de partida, utilizando como base o modelo com estratificação amostral,
restringimos a carteira para um total de apenas 8 ativos, gerando 17 possíveis combinações
(na verdade existem milhares de combinações para a composição da carteira).
As figuras 7 e 8 mostram os quartis de cada simulação descrita no parágrafo anterior. Cada
ponto no eixo horizontal reflete uma específica restrição por estratificação amostral. Note que,
a partir da Tabela 5, a simulação que seleciona setores industriais com os menores pesos no
índice apresentou os maiores desvios. Esse resultado corrobora os resultados das simulações
51
anteriores, dado que os mesmos sugerem que uma indexação mais eficiente implica em
selecionar ativos com maiores pesos no índice.
Figura 7- T.E da Carteira com Estratificação (desvios absolutos da Primeira Simulação)
Figura 8- T.E da Carteira com Estratificação (desvios realizados da Primeira Simulação)
0.0000%
0.2000%
0.4000%
0.6000%
0.8000%
1.0000%
1.2000%
1.4000%
1.6000%
1.8000%
1716151413121110987654321
Primeiro Quartil Terceiro Quartil Mediana
-1.5000%
-1.0000%
-0.5000%
0.0000%
0.5000%
1.0000%
1.5000%
1716151413121110987654321
Primeiro Quartil Terceiro Quartil Mediana
52
Tabela 5- Simulação com restrição máxima de 8 ativos
4.3.3 SEGUNDA SIMULAÇÃO
Realizamos também uma segunda simulação utilizando a técnica de amostragem estratificada,
restringindo para 16 o número total de ativos irão compor a carteira. A melhor simulação (a
melhor solução final) selecionou ativos que compõem os 7 setores com maiores pesos no
índice. Já o pior foi a simulação que selecionou apenas os 4 maiores setores do índice (a partir
da Tabela 6).
53
Figura 9- T.E da Carteira com Estratificação (desvios absolutos da Segunda Simulação)
Figura 10- T.E da Carteira com Estratificação (desvios realizados da Segunda Simulação)
Um fator interessante a ser mencionado é que, no caso em que investe-se exatamente em um
ativo nos setores de maiores pesos, o resultado final é um dos piores se comparado com os
demais, levando a acreditar que determinados setores industriais performaram melhor do que
outros. Porém, carterias mais diversificadas geram um tracking error menor do que carteiras
concentradas.
0.0000%
0.1000%
0.2000%
0.3000%
0.4000%
0.5000%
0.6000%
0.7000%
0.8000%
1716151413121110987654321
Primeiro Quartil Terceiro Quartil Mediana
-0.5000%
-0.4000%
-0.3000%
-0.2000%
-0.1000%
0.0000%
0.1000%
0.2000%
0.3000%
0.4000%
0.5000%
1716151413121110987654321
Primeiro Quartil Terceiro Quartil Mediana
54
Além dos fatos mencionados no parágrafo anterior, comparando os quartis tanto da primeira
quanto da segunda simulação, vemos que o primeiro e terceiro quartil dos desvios da segunda
simulação são menores do que os quartis da primeira simulação, gerando, também, tracking
errors menores. Como justificativa, tal fato se deve pela quantidade maior de ativos que
compõem a carteira, gerando maiores combinações possíveis do que no caso com apenas 8
ativos. Dessa forma, podemos dizer que os resultados da segunda simulação corroboram os
resultados da primeira simulação com estratificação amostral.
Tabela 5- Simulação com restrição máxima de 16 ativos
55
4.4 RESULTADOS COM DESVIOS EM MÓDULO NA FORMA LINEAR
Nessa parte, iremos mostrar o resultado de uma simulação contendo 7 ativos na carteira.
Porém, é necessário dizer que, utilizando o modelo dessa forma, o número de restrições
aumenta significativamente (basicamente o dobro do tamanho da série histórica de retornos).
Utilizando o software Microsoft Excel, existe um limite de váriáveis e restrições, sendo que,
se utilizarmos o tamanho total da série disponível, excedemos o limite máximo de restrições
possíveis. Com isso, foi necessário reduzir o número de dias e de ativos, de forma à satisfazer
as restrições do programa. Nesse caso específico, restringimos o modelo para 20 ativos e 42
dados semanais. Como base de comparação, iremos implementar também o modelo
quadrático visando mostrar as diferenças na alocação ótima determinada em cada uma das
situações, assim como tracking error final. A idéia é mostrar se a alocação ótima e os desvios
realizados do modelo linear diferem ou não da forma quadrática. Dessa forma:
Figura 11- Desvios realizados do Modelo na Forma Quadrática e em Módulo
-15.0000%
-10.0000%
-5.0000%
0.0000%
5.0000%
10.0000%
15.0000%
Desvio Quadrático Desvio em Módulo
56
Tabela 6- Comparação entre Modelos
A partir dos resultados acima, vemos que o modelo com a função objetivo em módulo gerou
uma alocação final diferente do modelo com a função quadrática. Porém, analisando a figura,
vemos que os desvios realizados em ambos os casos foram praticamente os mesmos. Além
disso, o modelo tanto na forma linear quanto não-linear geraram praticamente a mesma
carteira. Os resultados sugerem que ambos alcançaram um ótimo global, principalmente
devido ao fato de termos linearizado o modelo com desvios em módulo, utilizando assim o
Simplex como algoritmo otimizador.
4.5 COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS NÃO LINEARES
Nessa seção, iremos comparar os desvios realizados dos modelos implementados na forma
não linear, sendo eles: a forma quadrática, com a função módulo direto na função objetivo, a
mediana dos desvios realizados em módulo e, por fim, a mediana dos desvios realizados ao
quadrado. A idéia básica é comparar o comportamento do modelo com diferentes formas não
lineares. Com isso:
57
Figura 12- Desvios Realizados dos Modelos Não Lineares
A partir da figura 12, vemos que os desvios realizados em todos os casos se comportaram de
forma similar, gerando praticamente os mesmos desvios em todos os casos mencionados.
Portanto, pode-se dizer que, nos casos não lineares, a estabilidade do modelo permaneceu a
mesma entre modelos.
-1.50%
-1.00%
-0.50%
0.00%
0.50%
1.00%
1.50%
Mediana com Desvios Quadráticos Desvio Quadrático
Desvio em Módulo Mediana com Desvios em Módulo
58
5 CONCLUSÃO
Comparando os resultados dos modelos com estratificação amostral, os mesmos sugerem que
quanto mais ativos na carteira, menores serão os tracking errors. Além disso, selecionar
setores industriais com maiores pesos no índice geram resultados melhores do que os demais
casos. Contudo, alguns setores parecem ter performado melhor do que outros, impactando
também o resultado final.
Os resultados dos quartis dos desvios também sugerem certa convergência para um tracking
error mínimo (sendo aproximadamente 0.30% para 16 ativos e 0.55% para 8 ativos).
Contudo, seria interessante implementar mais simulações visando validar os resultados
obtidos. Além disso, seria interessante também comparar a carteira gerada pelo modelo com
fundos de investimento existentes atualmente com características semelhantes, sendo essas
informações disponíveis na Comissão de Valores Mobiliários (CVM), uma autarquia
vinculada ao Ministério da Fazenda do Brasil, responsável por administrar carteiras e custódia
de valores mobiliários, assegurar o funcionamento regular dos mercados de bolsa, assim como
outros elementos de caráter disciplinar e funcional.
Um fator importante a ser mencionado diz respeito ao patrimônio disponível ao gestor. Foram
implementadas outras simulações aumentando o patrimônio disponível para R$200.000.000 e
59
R$300.000.000. Os resultados finais selecionaram, respectivamente, o dobro e o triplo das
quantidades encontradas no modelo inicial (com R$100.000.000), já que os lotes das ações
são pequenos, resultado diferente do encontrado em Emilio (2011), que busca indexar uma
carteira utilizando títulos públicos federais indexados à inflação brasileira, sendo o lote padrão
equivalente à 10.000. Nesse caso, certamente o patrimônio da carteira influenciará no
processo de seleção dos ativos em função do alto custo de aquisição de um simples lote do
título público, sendo tal fato evidenciado no próprio trabalho de Emilio (2011).
Além disso, ao rodarmos o modelo com desvios em módulo linearizado, os desvios realizados
foram muito próximos do modelo na forma quadrática, porém, talvez seja interessante
implementar tal modelo em outros softwares mais robustos do que o Microsoft Excel.
Por fim, os modelos não lineares apresentam resultados similares entre si, mostrando que,
para a série e período analisados, a forma de modelagem parece não fazer muita diferença ao
analisarmos os desvios realizados.
5.1 LIMITAÇÕES
Como mencionado anteriormente, existem algumas limitações na implementação do modelo,
a começar pela volatilidade do índice e do grau de concentração de ativos que determinam o
mesmo. Ambos os fatores influenciam diretamente a minimização do tracking error da
carteira. Além disso, custos operacionais como taxas de adminstração não são levados em
conta no nosso modelo. Outro fator à ser mencionado diz respeito às limitações do Microsoft
Excel, já que o limite máximo de restrições a variáveis acaba afetando o tamanho final do
modelo, impactando principalmente na forma dos desvios em módulo. Por fim, a utilização da
60
técnica de amostragem estratificada não leva em consideração alguns riscos presentes na
elaboração do modelo.
5.2 SUGESTÕES
Podemos sugerir próximos passos a serem implementados buscando melhorar o modelo
proposto. Um deles busca responder a seguinte pergunta: como melhorar a performance de
nosso modelo a partir de estratégias long e short de setores industriais? Para isso será
necessário adaptarmos nosso modelo possibilitando o gestor a estar vendido em determinado
grupo de ações. Além disso, seria interessante analisar mais cenários e utilizar outras medidas
de risco além da forma quadrática.
61
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BODIE, KANE, MARCUS. Investments, 6th ed., McGraw-Hill, New York, NY, 2005.
CARVALHAIS, R. E. Indexação de Carteiras de Renda Fixa: Uma Aplicação no Brasil. Projeto de Dissertação de Mestrado Profissionalizante em Administração, Ibmec-RJ, 2011.
CHIANG, W. Optimizing Performance, in A. Neubert (ed.), Indexing for Maximum Investment Results. GPCo Publishers, Chicago, Illinois, USA, 1998.
DUARTE, Jr., A.M. Indexing Stock Portfolios in Brazil: Tracking the IBOVESPA and the FGV100. Emerging Markets Quarterly, 1, 20-26, 1997.
FABOZZI, F.J., KOLM, P.N., PACHAMANOVA, D., FOCARDI, S.M. Robust Portfolio Optimization and Management. John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 2007.
FAMA, F.E. Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work. Journal of Finance, V.25 , i.2, p. 383-417, may, 1970.
FAMA, F.E. Components of Investment Performance, Journal of Finance, 27, 551-567, 1972.
FRINO, A., and D. GALLAGHER. Tracking S&P 500 Index Funds. Journal of Portfolio Management, Vol.28(1): 44-55, 2001.
FRINO, A., and D. GALLAGHER. Is Index Performance Achievable? An Analysis of Australian Equity Index Funds. Abacus, Vol.38(2): 200-214, 2002.
FUHR, D.; KELLY, S. ETF landscape industry review, February 2011. BlackRock, 2011.
HARLOW, W.V. Asset Allocation in a Downside Risk Framework. Financial Analysts Journal, 49, 14-26, 1993.
62
HILLIER, LIEBERMAN. Introduction to Operations Research, 7th ed., McGraw-Hill, New York, NY, 2001.
JENSEN, C.M. The Performance of Mutual Funds in the Period 1945-1964. Journal of Finance, Vol.23, No. 2 pp, 389-416l, 1967.
KONNO, HIROSHI, and YAMAZAKI, Hiroaki. Mean-Absolute Deviation Portfolio Optimization Model and Its Applications to Tokyo Stock Market. Management Science 37.5 pp. 519 - 531, 1991.
MARKOWITZ, H.M. Portfolio selection. Journal of Finance 7,77-91, 1952.
MARKOWITZ, H.M., TODD, P., XU, G., and YAMANE, Y. Computation of Mean-Semivariance Efficient Sets by the Critical Line Algorithm. Annals of Operations Research, 45, 307-317, 1993.
MEADE, N.; SALKIN, G.R. Index funds-construction and performance measurement. Journal of the Operational Research Society, 40 (10), pp. 871-879, 1989.
SHARPE, W.F. Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under conditions of Risk. Journal of Finance, v.19, p. 445-442, sep.1964.
SHARPE, W.F. Mutual Fund Performance. The Journal of Business, Vol.39, No. 1, Part 2: Supplement on Security Prices, pp. 119-138, Jan.,1966.
YOUNG, MR. A minimax portfolio selection rule with linear programming solution. Management Science; 44:673-83, 1998.
63
APÊNDICE A (O ÍNDICE IBOVESPA)
Criado em 1968, o Índice Ibovespa nada mais é do que uma carteira teórica composta pelas
principas ações do mercado, com o objetivo de servir como um indicador de mercado. Dessa
forma, o índice engloba grande parte do volume negociado no mercado à vista da Bovespa
(em média 80% do número de negócios).
Além disso, a carteira sofre alterações ao final de cada quadrimestre , com vigência de janeiro
a abril, maio a agosto e setembro a dezembro. Para a realização do rebalanceamento
quadrimestral, calcula-se o índice de negociabilidade para cada uma das ações negociadas nos
últimos 12 meses. Após o cálculo do índice de negociabilidade, lista-se as ações cujo volume
seja superior a 0,1% do total, além daquelas que foram negociadas em, no mínimo, 80% do
total de pregões no período. Atendendo à esses critérios, essas ações selecionadas irão compor
a carteira do índice.
O índice de negociabilidade é definido da seguinte forma:
(1)
Onde: Ind.Ng = índice de negociabilidade N.I = número de negócios com a ação “i” no mercado a vista N = número total de negócios da BOVESPA V.I = financeiro gerado pelos negócios com a ação “i” no mercado a vista V = financeiro total da BOVESPA
64
A partir dos critérios mencionados no parágrafo anterior, determina-se também a quantidade
teórica de cada ação, utilizando os preços de fechamento do último dia do quadrimestre
anterior. As quantidades permanecerão constantes pelos próximos quatro meses seguintes,
sendo alterada apenas em casos de distribuição de proventos pelas empresas, cisão, etc. Para
ajustarmos os índice em função de distribuição de proventos, temos:
Onde: Q.N = quantidade nova Q.A = quantidade antiga P.C = último preço de fechamento anterior ao início da negociação ex-provento P.Ex = preço ex-teórico, calculado com base em P.C
65
APÊNDICE B ( RESUMO )
Esse apêndice busca listar os setores industriais utilizados.
A princípio, os ativos que compõem o índice dividos por setores podem ser divididos da
seguinte forma (informações extraídas do Economatica) :
1. Abatedouros: BRFS3, JBSS3, MRFG3.
2. Administração de empresas e empreendimentos: BRAP4, LLXL3.
3. Agua, esgoto e outros sistemas: SBSP3.
4. Atividades auxiliares ao transporte rodoviário: CCRO3
5. Bancos: ITUB4, BBDC4, BBAS3, SANB11, ITSA4.
6. Bolsa de valores e commodities: BVMF3
7. Comércio atacadista de bens não duráveis variados: NATU3.
66
8. Construção de edifícios residenciais: PDGR3, CYRE3, MRVE3, GFSA3, RSID3,
BISA3.
9. Extração de petróleo e gas: PETR4, OGXP3, PETR3.
10. Geração, transmissão e distribuição de energia elétrica: CMIG4, ELPL4, ELET3,
CPLE6, ELET6, CESP6, LIGT3, CPFE3, TRPL4.
11. Indústria de açúcar e produtos de confeitaria: CSAN3.
12. Indústria de bebidas: AMBV4.
13. Indústria de equipamentos aeroespacias: EMBR3.
14. Indústria de fumo: CRUZ3.
15. Indústria de móveis e afins: DTEX3.
16. Indústria de papel , celulose e papelão: FIBR3, KLBN4.
17. Indústria de roupas de malha: HGTX3.
18. Indústria química: BRKM5, UGPA3.
19. Locadora de imóveis: BRML3.
20. Loja de departamentos: LAME4, PCAR4.
67
21. Loja de roupas: LREN3.
22. Mineração de metais: VALE5, VALE3, MMXM3.
23. Outras indústrias: HYPE3.
24. Serviços de processamento de dados: CIEL3, RDCD3.
25. Telecomunicações: TIMP3, VIVT4, TNLP4, BRTO4, TNLP3, TMAR5, TLPP4.
26. Transformação de aço em produtos de aço: GGBR4, USIM5, CSNA3, GOAU4,
USIM3.
27. Transporte aéreo regular: GOLL4, TAMM4.
28. Transporte ferroviário: ALLL3.
29. Vendas por correio ou meio eletrônico: BTOW3.
Porém, temos setores que possuem apenas 1 ativo, sendo a escolha óbvia no processo de
otimização do modelo. O Economatica fornece também um agrupamento dos setores,
consolidando ainda mais os setores industriais. Com isso, agrupamos da seguinte forma:
1. Alimentos e Bebidas: BRFS3, JBSS3, MRFG3, CSAN3, AMBV4.
2. Comércio: NATU3, LAME4, PCAR4, LREN3, BTOW3.
68
3. Construção: PDGR3, CYRE3, MRVE3, GFSA3, RSID3, BISA3.
4. Energia Elétrica: CMIG4, ELPL4, ELET3, ELET6, CPLE6, CESP6, LIGT3, CPFE3,
TRPL4.
5. Finanças e Seguros: ITUB4, BBDC4, BBAS3, SANB11, BVMF3, ITSA4.
6. Mineração: VALE5, VALE3, MMXM3.
7. Papel e Celulose: FIBR3, KLBN4.
8. Petróleo e Gas: PETR4, PETR3, OGXP3.
9. Química: BRKM5, UGPA3.
10. Siderurgia & Metalurgia: GGBR4, USIM5, CSNA3, GOAU4, USIM3.
11. Software e Dados: CIEL3, RDCD3.
12. Telecomunicações: TIMP3, VIVT4, TNLP4, BRTO4, TNLP3,TMAR5, TLPP4.
13. Transporte Serviços: CCRO3, GOLL4, TAMM4, ALLL3.
14. Outros: BRAP4, LLXL3, SBSP3, CRUZ3, DTEX3, BRML3, HYPE3, HGTX3,
EMBR3.
69
Mesmo com esse agrupamento, alguns setores continuaram com apenas um ativo. Dessa
forma, decidimos alocá-los no setor Outros, sendo o caso de HGTX3 (Têxtil) e EMBR3
(Veículos e Peças).
70
APÊNDICE C ( UTILIZANDO O EXCEL E ANÁLISE DE CONVERGÊNCIA )
Como mencionado, o trabalho proposto utiliza o software Microsoft Excel para
implementação das diversas modelagens e simulações. Neste apêndice, mostraremos como foi
utilizado o software, assim como a evolução dos resultados a partir das simulações
implementadas, mostrando também o tempo necessário para a determinação da solução final
(é necessário habilitar o add-in do Solver disponível pelo próprio Microsoft Excel).
Estudaremos um dos casos implementados nesse trabalho, sendo ele uma das simulações
utilizando a técnica de estratificação amostral, permitindo um total de 16 ativos em nossa
carteira. Nesse caso, iremos analisar a simulação que gerou o menos tracking error dentre os
17 casos implementados.
Como ponto de partida, o “chute” inicial para determinação da solução final respeita todas as
restrições implementadas, de forma a facilitar a processo de determinação da solução. Além
disso, podemos dizer que um bom “chute” inicial provavelmente nos deixa próximo do ótimo
global, facilitando a velocidade de convergência do modelo.
A figura 13 mostra a tela no Excel com os parâmetros do Solver abertos, podendo ser melhor
visto na figura 14.
71
Figura 13- Modelagem pelo Solver
Na figura 14, vemos que estamos querendo minimizar o tracking error , selecionando como
variáveis as linhas do Excel referentes às variáveis binárias e quantidades finais dos ativos. sa
carteira. Nesse caso, iremos analisar a simulação que gerou o menos tracking error dentre os
17 casos implementados. Além disso, vemos também as restrições implementadas, como
restrição de caixa, restrição orçamentário e limite mínimo e máximo de alocação de ativos.
Por fim, notem que selecionamos também o método do Solver, sendo ele, nesse caso, o GRG
Não-Linear, já que buscamos minimizar o desvio quadrático médio.
72
Figura 14- Parâmetros do Solver
A partir de nosso “chute” inicial e da elaboração da função objetivo e restrições, rodamos o
Solver do Excel, obtendo assim uma solução final. Na tabela 7, vemos o relatório final
disponível no Excel a partir do momento em que o Solver encontra uma solução final. Vemos
que o valor original, referente ao nosso “chute”, aparentemente foi uma boa opção pois a
solução final está relativamente próxima. Isso se deve pois grande parte dos ativos
selecionados como passo inicial foram os mesmos escolhidos na solução final. Além disso,
os pesos dos ativos na carteira inicial foram selecionados visando replicar o peso dos mesmos
no Ibovespa, facilitando a determinarmos a solução final.