7/25/2019 VARIEDADES DIFERENCIAVEIS_JOSINEY_SEMINARIOS.pdf
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Orientacao em Variedades Diferenciaveis
Andre Guerino Castoldi
Prof. Dr. Josiney Alves de Souza
Universidade Estadual de Maringa
29 de marco de 2012
Resumo
Neste trabalho abordamos o conceito de orientacao em variedades diferenciaveis, que ge-
neraliza o conceito de orientacao em superfcies mergulhadas em R3. Exemplos de variedades
orientaveis sao apresentados e relacionamos o conceito de orientacao entre variedades difeomorfas
e localmente difeomorfas.
1 Orientacao de Superfcies em R3
Inicialmente, iremos apresentar o conceito global de orientacao em superfcies mergulhadas em
R3. Conforme [1] temos a seguinte definicao.
Definicao 1. Uma superfcie regular S R3 e orientavel quando existe uma famlia de parame-
trizacoes de S, digamos {x: U R2 S : A}, tal que:
(a) S=A
x(U);
(b) Se W =x(U) x(U) =, a aplicacao de mudancas de coordenadas
x1
x: x1
(W)x1
(W)
tem jacobiano positivo em todo ponto q x1 (W).
A escolha de uma tal famlia e chamada uma orientacao de S, e a superfcie S, neste caso, e
dita orientada. Se nao existir uma famlia de parametrizacoes de S satisfazendo as condicoes da
Definicao 1, dizemos que S e uma superfcie nao-orientavel. Dizemos que duas famlias determinam
a mesma orientacao de S se a uniao delas ainda satisfaz as condicoes da Definicao 1.
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Um exemplo de superfcie orientavel e uma superfcie que e um grafico de uma funcao difereciavel.
Isto segue do fato que todas as superfcies que podem ser cobertas por uma unica vizinhanca
coordenada sao orientaveis. Em contraste, uma superfcie que nao e orientavel e a chamada faixa
de Mobius.
2 Orientacao em Variedades
O objetivo, nesta secao, e apresentar uma generalizacao do conceito global de orientacao em
superfcies para as variedades difenciavies. Exemplos de variedades orientaveis e nao orientavies
serao dados e relacionamos o conceito de orientacao entre variedades difeomorfas e localmente
difeomorfas.
Iniciamos com a definicao de variedade orientavel, conforme [2].
Definicao 2. Seja Muma variedade diferenciavel de dimensao m. Dizemos que M e orientavel se
M admite uma estrutura diferenciavel{(U, x)}tal que:
(i) para todo par e , comW=x(U)x(U) =, a diferencial da mudancas de coordenadas
x1 x: x1 (W)x
1 (W)
tem determinante positivo em todo ponto q x1 (W).
Caso contrario, diz-se que M e nao orientavel. Se M e orientavel, a escolha de uma estrutura
diferenciavel satisfazendo (i) e chamada uma orientacao de M, e a variedade M, neste caso, e
dita orientada. Duas estruturas diferenciaveis que satisfazem a condicao (i) determinam a mesma
orientacao se a uniao delas ainda satisfaz (i).
Exemplo 3. SeM e uma variedade orientavel, entao todo aberto deM e uma variedade orientavel.
Sejam U M aberto e {(U, x)} uma orientacao de M. Entao x(U) U e aberto de U
e V = x1 (x(U) U) e aberto em Rn. Assim {(V, x)} e uma estrutura diferenciavel em U.
Ademais,
det[d(x|1V
x|V)q] =det[d(x1 x)]> 0
para todo q V, ou seja, a estrutura diferenciavel {(V, x)} e uma orientacao para U.
O seguinte resultado sera util neste trabalho.
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Lema 4. SejamM uma variedade ep M. Dadas parametrizacoesx : U M ey : V M
emp tais queW=x(U) y(V) e conexo, ent ao o determinante Jacobiano dey1 x nao muda de
sinal no aberto x1(W).
Demonstracao: De fato, considere a funcao
g : x1(W) R
q g(q) =det[d(y1 x)q].
Como g e uma funcao contnua e x1(W) e conexo (pois W e conexo), entao g(x1(W)) e co-
nexo. Logo g(x1(W)) (0,+) ou g(x1(W)) (, 0), pois det[d(y1 x)q] = 0 para todo
q x1(W), o que prova o desejado.
Veremos que sob certas hipoteses em uma variedade podemos garantir que ela e orientavel.
Proposicao 5. SejaMuma variedade que admite uma estrutura diferenciavel com duas parame-
trizacoes, digamos{(U1, x), (U2, y)}. Sex(U1) y(U2) e conexa, ent ao M e orient avel.
Demonstracao: Seja W = x(U1) y(U2), como a aplicacao y1 x : x1(W) y1(W) e um
difeomorfismo, tem-se que det[d(y1 x)q] = 0 para todo q x1(W). Mais ainda, pelo Lema 4 o
determinante Jacobiano de y1 x nao muda de sinal no aberto x1(W).
Sedet([d(y1
x)q])> 0 para todo q x1
(W), entao a estrutura diferenciavel{(U1, x), (U2, y)}satisfaz a condicao (i), donde M e orientavel. Caso contrario, considere a aplicacao z : Rn Rn
definida por z(x1, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn). Notemos que z e um difeomorfismo de Rn. Assim a
aplicacao x z: z1(U1) Rn M e uma parametrizacao de Mtal que x z(z1(U1)) =x(U1).
Mais ainda, {(z1(U1), x z), (U2, y)} e uma estrutura diferenciavel em Me pela regra da cadeia
tem-se
d(y1 x z)a= d(y1 x)z(a) d(z)a.
Como det[d(y1 x)z(a)] < 0 e det[d(z)a] < 0, entao det[d(y1 x z)a] > 0. Assim a estrutura
diferenciavel {(z1(U1), x z), (U2, y)}satisfaz a condicao (i), donde M e orientavel.
Como uma aplicacao da proposicao anterior apresentamos o seguinte exemplo.
Exemplo 6. Vamos mostrar que a esfera
Sn ={(x1, . . . , xn+1) Rn+1 :
n+1i=1
x2i = 1} Rn+1
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e orientavel. Com efeito, sejaN = (0, . . . , 0, 1) o polo norte e S= (0, . . . , 0,1) o polo sul de Sn.
Consideremos a projecao estereografica a partir do polo norte 1: Sn {N} Rn dada por
1(x1, . . . , xn+1) = ( x1
1 xn+1
, . . . , xn
1 xn+1
)
e a projecao estereografica a partir do polo sul 2: Sn {S} Rn dada por
2(x1, . . . , xn+1) = ( x1
1 + xn+1, . . . ,
xn
1 + xn+1).
Como as aplicacoes1e 2sao difeomorfismos, segue que11 e
12 sao parametrizacoes que cobrem
Sn.
Vamos determinar a aplicacao mudanca de coordenadas. Seja (x1, . . . , xn+1) Sn {N, S} e
considere (y1, . . . , yn) = ( x1
1 xn+1, . . . ,
xn
1 xn+1) Rn. Entao
2 11 (y1, . . . , yn) = (
x1
1 + xn+1, . . . ,
xn
1 + xn+1).
Mas, para todo j {1, . . . , n}tem-se
xj
1 + xn+1=
yjni=1 y
2i
.
Logo, a mudanca de coordenadas 2 11 : R
n Rn dada por
2 11 (y1, . . . , yn) =
1ni=1 y
2i
(y1, . . . , yn)
e diferenciavel. Assim, a famlia {(Rn, 11 ), (Rn, 12 )} e uma estrutura diferenciavel emS
n. Como
a intersecao11 (Rn)12 (R
n) =Sn{N, S} e conexa, pela Proposicao 5 segue queSn e orientavel.
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A matriz da diferencial da aplicacao mudanca de coordenas em y = (y1, . . . , yn) do exemplo
anterior e dada por
[d(2 11 )y] =
1
(ni=1
y2i)2
n
i=1
y2i 2y21 2y1y2 . . . 2y1yn
2y1y2
ni=1
y2i 2y22 . . . 2y2yn
... ...
. . . ...
2y1yn 2y2yn . . .ni=1
y2i 2y2n
Tomando y= (1, 0, . . . , 0) Rn, obtemos que
[d(2 11 )y] =
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0...
... . . .
...
0 0 . . . 1
e o determinante da matriz acima e negativo. Logo a estrutura diferenciavel dada no exemplo
anterior nao e uma orientacao para a esfera Sn. Agora, vamos construir uma orientacao para a
esferaSn a partir da estrutura diferenciavel dada no exemplo anterior. Com efeito, defina a funcao
f : Rn Rn
y= (y1, . . . , yn) f(y) = (y1, y2, . . . , yn).
Claramente a funcao f e um difeomorfismo do Rn. Afirmamos que a famlia {(Rn, 11 ), (Rn, 12 f)}
e uma orientacao para a esfera Sn. Basta mostrar que essa famlia satisfaz a condicao (i). Temos
que
1 12 f(y1, . . . , yn) =
1ni=1 y
2i
(y1, y2, . . . , yn)
e assim o determinante da diferencial desta aplicacao no ponto (1, 0, . . . , 0) Rn e positivo. Portanto
provamos o desejado.
Sob certas hipoteses em uma variedade orientavel M podemos determinar quantas orientacoes
distintas existem em M.
Proposicao 7. SeM e uma variedade orientavel e conexa, entao existem exatamente duas ori-
entacoes distintas emM.
Demonstracao: Sendo M orientavel, entao existe uma estrutura diferenciavel = {(U, x)}
que e uma orientacao em M. Vamos construir outra orientacao em M a partir da orientacao
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={(U, x)}. Consideremos a funcao
f : Rm Rm
y= (y1, . . . , ym) f(y) = (y1, y2, . . . , ym).
Notemos que f e um difeomerfismo em Rm e det[d(f)y] < 0 para todo y Rm. Logo =
{(f1(U), x f)} e uma estrutura diferenciavel em M. Mais ainda, e uma orientacao em M
pois a regra da cadeia fornece
d((x f)1 x f)q =d(f)x1
xf(q)
d(x1 x)f(q) d(f)q
e assim
det[d((x f)
1
x f)q] =det[d(f)x1
xf(q)] det[d(x
1
x)f(q)] det[d(f)q]> 0.
As orientacoes e sao distintas. De fato, tomemosp Mex , xf parametrizacoes
em p. Seja q = (x f)1(p), pela regra da cadeia
d(x1 x f)q =d(x1 x)f(q) d(f)q
donde
det[d(x1 x f)q ] =det[d(x1 x)f(q)] det[d(f)q ]< 0.
Logo as orientacoes e sao distintas.
Resta mostrar que nao existe outra orientacao em M distinta de e . Seja = {(V, y)}
outra orientacao em M. Vamos provar que ou e ainda uma orientacao em M. Seja
p Me consideremos x , x f e y parametrizacoes em p e q= (x f)1(p) Rm.
Sem perda de generalidade podemos assumir que W e conexo. Pela regra da cadeia
d(y1 (x f))q =d(y1 x)x1 (p) d(x
1 x f)q
e assim
det[d(y1 (x f))q] =det[d(y1 x)x1 (p)] det[d(x
1 x f)q]. ()
Sabemos que det[d(x1 x f)q ]< 0, logo
1. se det[d(y1 x)x1 (p)]> 0, entao det[d(y1 (x f))q]< 0.
2. se det[d(y1 x)x1 (p)]< 0, entao det[d(y1 (x f))q]> 0.
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Assuma que (1) vale. SendoW conexo, pelo Lema 4 temos que det[d(y1 x)b] >0 para todo
b x1 (W).
Afirmacao: Dado p1 M e x , y parametrizacoes em p1 com W conexo, entao
det[d(y1 x)a]> 0 para todo a x1 (W).
De fato, suponha que det[d(y1 x)a]< 0 para todo a x1 (W). Entao WW = . Se
p2 W W, pela regra da cadeia
d(y1 x)x1 (p2)
= d(y1 y)y1 (p2)
d(y1 x)x1 (p2)
.
e assim
det[d(y1 x)x1 (p2)
] =det[d(y1 y)y1 (p2)
] det[d(y1 x)x1 (p2)
]< 0
o que contradiz det[d(y1 x)x1 (p)] > 0. Logo vale WW = . Agora, consideremos os
conjuntos
M1= {p1 M :det[d(y1 x)x1 (p1)]> 0}
M2= {p2 M :det[d(y1 x)x1
(p2)
]< 0},
entao M1 e M2 sao abertos em M tais que M = M1 M2 e M = M1 M2 = . Assim M e
desconexa, contradizendo a hipotese.
Assim, assumindo que (1) vale, pela afirmacao e a relacao () temos que e uma orientacao
em M e nao e uma orientacao em M. Portanto se M e uma variedade orientavel e conexa,
entao existem exatamente duas orientacoes distintas de M.
Como consequencia da proposicao anterior, a esfera Sn admite exatamente duas orientacoes
distintas. Tambem se uma variedade M tem k componentes conexas, entao ela admite exatamente
2k orientacoes distintas.
O proximo resultado relaciona orientacao em variedades com o conceito de variedades difeomor-
fas.
Proposicao 8. SejamM eN variedades diferenciaveis e: M N um difeomorfismo. Entao
M e orient avel se, e somente, seN e orient avel.
Demonstracao: Suponha queM e orientavel, por definicaoMadmite uma estrutura diferenciavel
{(U, x)} que satisfaz a condicao (i). Como e difeomorfismo, segue que {(U, x)} e uma
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estrutura diferenciavel para N. Sejam e um par de ndices tais que:
x(U) x(U) =W =.
Dado q ( x)
1(W), tem-se
d(( x)1 x)q =d(x
1 x)q.
Como a estrutura diferenciavel{(U, x)}satisfaz a condicao (i), temos que o determinante Jacobi-
ano ded(( x)1 x)q e sempre positivo. Portanto N e orientavel. Analogamente mostra-se
a recproca.
Sejam M e N variedades conexas e orientadas e : M Num difeomorfismo. Como vimos
na Proposicao 7 as variedades M e Nadmitem exatamente duas orientacoes, logo induz uma
orientacao em Nque pode ou nao coincidir com a orientacao inicial. No primeiro caso, diz-se que
preserva a orientacao e no segundo caso, que reverte a orientacao.
Exemplo 9. Considere a aplicacao antpoda A: Sn Sn dada por A(p) =p, com p Rn+1.
Vale que A2 =IdSn e A e diferenciavel. De fato, dado p= (x1, . . . , xn+1) Sn, tome
y= ( x1
1 xn+1, . . . ,
xn
1 xn+1) Rn,
entao 2 A 11 (y) = y, ou seja, 2 A
11 = IdRn que e diferenciavel. Portanto A e
um difeomorfismo. Mais ainda, quando n e par, o difeomorfismo A reverte a orientacao de Sn e
quando n e mpar, o difeomorfismo A preserva a orientacao de Sn. Com efeito, consideremos a
orientacao ={(Rn, 11 ), (Rn, 12 f)} para a esfera S
n construida anteriormente. Como vimos
na proposicao anterior, a estrutura diferenciavel = {(Rn, A 11 ), (Rn, A 12 f)} e uma
orientacao para a esfera Sn. Assim, devemos mostrar que se n e par, nao e uma orientacao
para a esfera Sn, e se n e mpar, e uma orientacao para esfera Sn. Notemos que e uma
estrutura diferenciavel paraSn
e o determinante da diferencial da aplicacao obtida pela composicaode uma funcao da estrutura com uma da estrutura e negativo sen e par e positivo se n e mpar.
Como ilustracao, consideremos 1 (A 11 ) : R
n Rn dada por
1 (A 11 )(y1, . . . , yn) =
1ni=1 y
2i
(y1, . . . , yn).
Notemos que [d(1 (A 11 ))y] = [d(2
11 )y] e tomando y = (1, 0, . . . , 0) temos que o
determinante dessa matriz satisfaz o desejado.
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Atraves do exemplo anterior e de uma acao propriamente descontnua de um grupo G na varie-
dadeSn e possvel mostrar que o plano projetivo Pn e orientavel se, e somente se, n e mpar. Logo,
se n e par o plano projetivo Pn nao e orientavel.
Proposicao 10. Seja : M N uma aplicacao diferenciavel entre variedades que e um difeo-
morfismo local. SeN e orientavel, entao M e orient avel.
Demonstracao: Sendo : M Num difeomorfismo local temos que para todo p M existe
Up M aberto e Vp N aberto com (p) Vp tais que |Up : Up Vp e um difeomor-
fismo. Agora, sendo Norientavel, existe uma estrutura diferenciavel {(V, x)}em N que satisfaz
a condicao (i). Seja x : U N uma parametrizacao em (p). Entao Wp = x(U) Vp =
e aberto em N. Considere a aplicacao 1 x : x1 (Wp) R
n M, logo 1 x e uma
parametrizacao em p. Entao{(x1 (Wp), 1 x)} e uma estrutura diferenciavel em M. De fato,
claramente1(Wp) =Me vale que
(1 x)1 (1 x) =x
1 x,
ou seja, (1 x)1 (1 x) e diferenciavel. Mais ainda,
det[d((1 x)1 (1 x))q] =det[d(x
1 x)q]> 0.
Portanto M e orientavel.
A recproca da proposicao anterior nao e valida. Com efeito, consideremos o difeomeorfismo local
: S2 P2 dado por (p) = [p]. Como S2 e orientavel e P2 nao e orientavel, entao a recproca
nao e valida.
Exemplo 11. Seja Mm uma variedade (orientavel ou nao), vamos mostrar que o fibrado tangente
TM de M e orientavel. De fato, considere{(U, x)} uma estrutura diferenciavel maxima de M.
Logo{(U Rn, y)} e uma estrutura diferenciavel de TM, onde
y(x1 , . . . , x
n, y1, . . . , yn) = (x(x
1 , . . . , x
n),
ni=1
yi
xi).
Dados e tais que W=y(U Rn) y(U R
n) = e (q, u) y1 (W) sabemos que
y1 y(q, u) = (x1 x(q), d(x
1 x)q(u)).
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Logo,
[d(y1 y)(q,u)] =
[d(x
1 x)q ] 0
C [d(x1 x)q ]
donde, det[d(y1 y)(q,u)] = (det[d(x1 x)q ])2 > 0. Assim a estrutura diferenciavel
{(U Rn, y)} de TMsatisfaz a condicao (i) e portanto TM e uma variedade orientavel.
Exemplo 12. Sejam M e N variedades diferenciaveis e considere a variedade produto MN.
Entao M N e orientavel se, e somente, se M e N sao orientaveis.
Sejam {(U, x)} e {(V, y)} estruturas diferenciaveis de M e N, respectivamente, que satis-
fazem a condicao (i). Logo {(U V, z)} e uma estrutura diferenciavel para M N, onde
z(p, q) = (x(p), y(q)), p U eq V. Vamos mostrar que esta estrutura diferenciavel satisfaz
a condicao (i). De fato, vale que
z1 z(p, q) = (x1 x(p), y
1 y(q)),
logo
[d(z1 z)(p,q)] =
[d(x
1 x)p] 0
0 [d(y1 y)q]
.
Assimdet[d(z1 z)(p,q)] =det[d(x1 x)p]det[d(y
1 y)q]> 0. PortantoMN e uma variedade
orientavel.
Reciprocamente, suponha que M N e orientavel. Entao existem estruturas diferenciaveis
{(U, x)} e {(V, y)} em M e N, respectivamente, tais que a estrutura diferenciavel
= {(U V, z)} e uma orientacao em MN, onde z(p, q) = (x(p), y(q)) com p U
e q V. Vamos mostrar que a estrutura = {(U, x)} e uma orientacao em M. Fixe
y : V Rn Numa parametrizacao em q N. Sejam x : U Rm e x : U R
m
na estrutura tais que W=x(U) y(U) =. Entao x y, x y e notemos que
(x y)1
(x y) = (x1
x) IdV
Assim, temos que
det[d(x1 x)a] =det[d((x1 x) IdV)(a,b)] =det[d((x y)
1 (x y))(a,b)]> 0
pois M N e orientavel. Portanto M e uma variedade orientavel. Analogamente{(V, y)} e uma
orientacao em N.
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Referencias
[1] CARMO, M. P. do, Geometria diferencial de curvas e superfcies. Sociedade Brasileira de
Matematica, 2008.
[2] CARMO, M. P. do, Geometria riemanniana. Projeto Euclides IMPA, 2005.
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CONSTRUCAO DO ESPACOPROJETIVO Pn (R) PELARELACAO ANTIPODAL NA
ESFERA Sn
Sabemos que o espaco projetivo realPn (R) e identificado com o conjunto de todasas retas contidas em Rn+1 que passam pela origem.
Cada uma dessas retas, intersecta a esfera
Sn =
(x1, . . . , xn+1) R
n+1;n+1i=1
x2i = 1
em, precisamente, dois pontos. Alem disso, sep e um dos pontos de intersecao desta retacomSn, entao o outro ponto ep. Neste caso, dizemos quepe psao pontos antpodas.
Reciprocamente, cada par {p,p} de pontos antpodas determina uma unica reta que
passa pelos pontos 0,p e p. Essa identificacao sugere a seguinte relacao de equivalencia
emSn:
x y x= y.
Deste modo, temos uma bijecao entre os espacos Pn (R) e Sn/ . Utilizando estabijecao, construiremos uma estrutura diferenciavel em Pn (R) a partir de uma estrutura
diferenciavel em Sn. Comecaremos entao definindo em Sn uma estrutura diferenciavel
(provando queSn e uma superfcie regular) para que esta estrutura induza sobre o conjunto
Sn/ uma estrutura diferenciavel e utilizando a bijecao mencionada acima, contruiremos
a estrutura diferenciavel de Pn (R).
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2 Seminario - Variedades Diferenciaveis
A VARIEDADE DIFERENCIAVEL Sn
Foi visto que superfcies regulares sao exemplos de variedades diferenciaveis. Vamos
definir entao parametrizacoes sobre a esferaSn de modo a provar que esta e uma superfcie
regular. Recordemos que um subconjuntoM
k
R
n
e umasuperfcie regular de dimens ao
k, se para cada p Mk, existem uma vizinhancaV de p em Rn e uma aplicacao
x: U Rk M V
de um aberto U Rk sobreM V tais que
(a) x e um homeomorfismo diferenciavel;
(b) (dx)q
: Rk Rn e injetiva para todo q U.
Considere os conjuntos
Ui=
(x1, . . . , xn+1) R
n+1; xi= 0,j=i
x2j 0. Entao, x
+i (p1, . . . , pi1, pi+1, . . . , pn+1) =p (caso fosse
p
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(b) Seja agora q Ui. Entao,
d(x+i )q =
1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0...
... ...
... ...
... ...
...0 0 1 0 0 0
Dix1
(q) Di
x2(q) D
i
xi1(q) D
i
xi+1(q) D
i
xn(q) D
i
xn+1(q)
0 0 0 1 0 0...
... ...
... ...
... ...
...0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1
(n+1)n
.
Esta matriz tem posto maximon, portanto a diferenciald(x+i )q e injetora. Isto prova que
Ui, x
i
e uma estrutura diferenciavel em Sn.
A VARIEDADE DIFERENCIAVEL Pn (R)
Seguiremos agora com algumas consideracoes no intuito de definir a estrutura diferenciavel
de Pn (R). Considere a projecao canonica
: Sn Sn/ (p) = {p,p}
Observe que
Ui =
(x1, . . . , xn+1) Rn; xi = 0 e
j=i
x2j
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4 Seminario - Variedades Diferenciaveis
Mais ainda, esta estrutura diferenciavel gera o mesmo atlas maximal que a estrutura
diferenciavel da famlia A = {(Rn, zi)} em Pn (R), onde
zi: Rn Vi
e dada por zi(x1, . . . , xn) = [x1, . . . , xi, 1, xi+1, . . . , xn], sendoVi= {[(x1, . . . , xn+1)] ; xi = 0}.
Com efeito, considere as projecoes canonicas (que sao obviamente sobrejetivas)
A: Sn (Pn (R) ;A) e B :S
n (Pn (R) ;B) .
Para mostrar que as estruturas A e B sao as mesmas, basta provar que as aplicacoes
acima sao submersoes.
Tome p Sn. Vamos provar que
d (A)p: TpSn T[p](P
n (R) ;A) , ,
e sobrejetora.
Nao ha perda de generalidade supor que p = (p1, . . . , pi1, Di, pi+1, . . . , pn+1) (analogo
para p = (p1, . . . , pi1,Di, pi+1, . . . , pn+1)), visto que as parametrizacoes xi cobrem a
esfera Sn, isto e, p x+i (Ui) para algum 1 i n+ 1. Seja zi : Rn Vi uma
parametrizacao em [p] (que pode ser tomada com o mesmo ndice pois Di = 0). Entao a
expressao de A nas parametrizacoes x+i e zi, z
1i A x
+i :Ui R
n, e dada por
A
(x+i )1(p)
= z1i A x
+i (p1, . . . , pi1, pi+1, . . . , pn+1)
=z1i (A (p1, . . . , pi1, Di, pi+1, . . . , pn+1))
=z1i
p1Di
, . . . ,pi1
Di, 1,
pi+1Di
, . . . ,pn+1
Di
= 1
Di(p1, . . . , pi1, pi+1, . . . , pn+1) ,
e diferenciavel e sua diferencial no ponto p = (p1, . . . , pi1, pi+1, . . . , pn+1) e dada pela
matriz simetrica n n
(aij)nn= d( A)p =
1
D3i, se i= j ;
pipjD3i
, se i =j.
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Se {ei} e a base canonica do Rn, entaod( A)p {ei} =
1
D3iei
, que e tambem um conjunto
comn vetores linearmente independentes. Assim, A e submersao.
Provemos agora que B :Sn (Pn (R) ;B) e tambem uma submersao. Para tanto,
tomemosq Sn e, sem perda de generalidade, suponha quex+j e uma parametrizacao em
q. Pela forma como foi construda a estrutura B= Uj, yj sobre Pn (R), a aplicacaoyj = x
+j e uma parametrizacao em [p] = {p,p}.
Conforme fora mencionado anteriormente, a aplicacao B e uma aplicacao bijetora
quando restrita ao conjunto x+j (Uj) Sn. Portanto, a expressao de B nas parame-
trizacoes x+j e yj e dada por
B (x+j)1(q)= y1j B x+j (q1, . . . , q j1, qj+1, . . . , q n+1)= B x+j 1 B x+j (q1, . . . , q j1, qj+1, . . . , q n+1)= (x+j)
1(q),
que e tambem uma aplicacao diferenciavel, cuja diferencial e a matriz identidade. Por-
tanto, B e uma submersao.
Desta forma, conclumos que o atlas maximal gerado pelas estruturas A e B sobre
Pn (R) sao coincidentes.
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SEMIN ARIO DE VARIEDADES DIFERENCIAVEIS EGRUPOS DE LI
Acoes Descontnuas de GruposUma maneira de se construir variedades diferenciaveis a partir de uma variedade inicial
e atraves da acao de um grupo sobre a mesma.Para as definicoes a seguir consideremosG um grupo e M uma variedade diferenciavel.
Definicao 1: Dizemos queGage sobreMse existe uma aplicacao : GMMtal que
(i) Para cadag G, a aplicacao g : MM, definida porg(p) =(g, p), p M, e umdifeomorfismo.
(ii) Seg1, g2 G, entao g1g2 =g1 g2.
Quando estamos lidando com uma unica acao geralmente usamos a notacao(g, p) =gp.
Definicao 2: Dizemos que uma acao deG sobreM e livre se a identidadee G e o unicoelemento que satisfazep= p, para todo pM.
Definicao 3: Dizemos que uma acao deG sobre M e descontnua se todo p M possuiuma vizinhancaVM tal queV g(V) =, para todo g=e.
Quando G age sobre M, a acao determina uma relacao de equivalencia em M:
p1 p2 p2 = gp1.
Indicaremos o espaco quociente de M por esta relacao de equivalencia por M/G e aaplicacao : MM/G, definida por
(p) = [p],
sera chamada de projecao de M sobre M /G.Veremos agora que M/G possui uma estrutura diferenciavel.
Proposicao: Se Mn e uma variedade diferenciavel de dimensao n e : GM M euma acao livre e descontnua de um grupo G sobre M, entao M/G possui uma estrutura
diferenciavel de modo que a projecao : MM/G e um difeomorfismo local.
PROVA: Para cada p M, escolhamos uma parametrizacao
Xp: Up Rn M em p
de modo que Xp(Up) VP, onde Vp Mseja uma vizinhanca de ptal que
Vp g(Vp) =.
A restricao|Vp e injetiva, pois sep1, p2 Vpe (p1) =(p2), entaop2 = gp1, para algum
g G.Dessa maneira, gp1 pertence a Vp, implicando em g= e, ou seja, p1=p2. Logo
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Yp= Xp:Up Rn M/G
tambem e injetiva.Afirmamos que a famlia {(Up, Yp) : p M} e uma estrutura diferenciavel em M/G.
Verifiquemos as duas condicoes que definem estrutura diferenciavel.
(1)Se [q] M/G, entao [q] =(q), q M.Assim basta escolher uma parametrizacao Xq :Uq Rn M em q como anteriormente
e obtemos
[q] =(q) = ( Xq)(X1q (q)) =Yq(X
1q (q))
pM
Yp(Up).
Logo,
pM
Yp(Up) =M/G.
(2)A partir daqui indexaremos as parametrizacoes usando numeros para facilitar a notacao.
Sejam entao duas parametrizacoes
Y1= X1:U1 Rn M/G e Y2 = X2 : U2 R
n M/G,
com W=Y1(U1) Y2(U2)=.Escrevamos
W = ( X1)(U1) ( X2)(U2) =(X1(U1)) (X2(U2)).
Consideremos p 1(W). Entao (p) W. Mais ainda,
(p) (Xi(Ui)), i= 1, 2,
o que leva a
p 1((Xi(Ui))), i= 1, 2.
Porem, uma vez que |Vi , onde Vi e a vizinhanca descrita como anteriormente, |Xi(Ui) einjetiva para i= 1, 2. Assim,
p X1(U1) X2(U2).
Suponhamos agora que pX1(U1) X2(U2). Deste modo
(p) (X1(U1)) (X2(U2)) =W.
Ou seja, p1
(W). Assim1(W) =X1(U1) X2(U2),
que e aberto em M.Logo
Y1i (W) = (X1i
1)(W) =X1i (1(W))
e aberto em Rn para i= 1, 2.
Consideremos agora a restricao i de a Xi(Ui), i = 1, 2. Sejamq Y1(U1)Y2(U2),r= (X12 2
1)(q) e W2 U2 uma vizinhanca de r tal que
(2 X2)(W2) Y1(U1) Y2(U2).
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Temos o seguinte
(Y11 Y12 )|W2 =X
11
11 2 X2.
E suficiente mostrar entao que 11 2 e diferenciavel emp2=12 (q) X2(W2).
Seja p1 = (11 2)(p2). Entao p1 e p2 sao equivalentes em M, ou seja, existe g G tal
que gp2
= p1.
Consideremos agorap X2(W2), entao
(11 2)(p) =p,
onde p e o unico ponto de X1(U1) tal que (p) =(p).
Por outro lado, gp X1(U1), pois como g e um difeomorfismo, se p esta numavizinhanca dep2, entao gp
esta numa vizinhanca degp2. Consideramos essa tal vizinhancacontida em X1(U1).
Alem disso, (gp) =(p) =(p). Logo
gp
=p
= (11 2)(p
).
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Isto e, a restricao (Y11 Y12 )|W2 coincide com o difeomorfismo g|X2(W2).
Pela maneira como foi construda, esta estrutura diferenciavel e tal que : MM/Ge um difeomorfismo local.
Observacao: A construcao anterior do plano projetivo se reduz a presente se tomarmosM = Sn e G o grupo dos difeomorfismos de Sn constitudo pela aplicacao antpoda A e aidentidadeI=A2 de Sn.
Exemplos:
(1) Consideremos o grupo G das translacoes atraves de coordenadas inteiras de Rk onde aacao de G e dada por
(x1,...,xk)(x1+n1,...,xk+nk),
onde n1,...,nkZ
e (x1,...,xk)R
k
.A aplicacao acima define uma acao livre e descontnua deGsobre Rk. O espaco quocienteRk/G, com a estrutura diferenciavel descrita anteriormente e chamado de k-toro Tk.
Quando k = 2, o 2-toro T2 e difeomorfo ao toro de revolucao de R3 obtido como imageminversa do zero da funcao f : R3 Rdada por
f(x,y,z) =x2 + (
x2 +y2 a)2 r2.
(2) Seja S R3 uma superfcie regular de R3 simetrica em relacao a origem 0 R3.O grupo dos difeomorfismos de S constitudo por {A,Id} age sobre S de maneira livre edescontnua. Introduzimos em S/G a estrutura diferenciavel descrita acima. Quando S e o
toro de revolucao T2
, S/G= Ke chamada de garrafa de Klein (figura a seguir).
Quando S e a faixa do cilindro circular reto dada por
C={(x,y,z) R3 :x2 +y2 = 1,1< z
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Transversalidade em Variedades
DiferenciveisVictor Hugo Loureno da Rocha
Universidade Estadual de Maring - Doutorado em Matemtica
Disciplina: Variedades Diferenciveis e Grupos de Lie
Professor: Josiney Alves de Souza
Resumo: Neste trabalho, estudamos a teoria de transversalidade em variedades diferenciveis.
Inicialmente, apresentamos alguns resultados sobre subvariedades para fundamentar nosso estudo. Pos-
teriormente, apresentamos o conceito de transversalidade e mostramos que ele generaliza o conceito de
valor regular.
1. Introduo
SejamMm e Nn variedades diferenciveis de classeCk e : M Numa aplicao de
classe Ck. Um ponto a N chamado valor regularde se, para todo p 1 (a),
a diferencial dp : TpM T(p)N sobrejetiva. Sabemos que, se a N um valor
regular de e 1 (a)= , ento 1 (a) uma subvariedade deMde dimenso m n
e de classe Ck.
Qualquer ponto de Npode ver visto como uma subvariedade de dimenso 0de N.Dessa forma, surge o seguinte questionamento: se S uma subvariedade arbitrria de
N, em que condies 1 (S) uma subvariedade de M? A teoria de transversalidade
responde a essa pergunta.
Neste trabalho, apresentamos a teoria de transversalidade em variedades diferen-
civeis. Mostramos que esse conceito uma generalizao do conceito de valor regular
e que, de certa forma, ele nos permite entender o que significa duas subvariedades se
intersectarem transversalmente. Na Seo 2, apresentamos alguns resultados sobre sub-variedades que fundamentam o estudo de transversalidade que feito na Seo 3.
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2. Subvariedades
Nesta seo, apresentamos alguns resultados e observaes sobre subvariedades visando
fundamentar o estudo de transversalidade que feito na Seo 3. Lembramos que uma
subvariedade de dimenso s e de classe Ck de uma variedade diferencivel Nn de
dimenson e de classe Ck um subconjunto SdeN, munido da topologia induzida de
Ne que possui uma estrutura de variedade diferencivel de dimenso s (s n) e de
classe Ck, tal que a incluso i : SN um mergulho de classe Ck.
A menos de meno explcita em contrrio, ao longo dessa seo, Nn denota uma
variedade diferencivel de dimenso n e de classe Ck.
Proposio 2.1. SejaS Num subconjunto deN. Suponha que, para cadap S,
existe uma parametrizaoy: V Rn N emp e existe uma bijeox: U Rs
S y (V), ondeU um aberto deRs, tais que y1 x : U V um mergulho de
classeCk. Ento, existe uma nica estrutura de variedade diferencivel que tornaSuma
subvariedade de dimensos e de classeCk deN.
Demonstrao: Dado p S, sejam yp :Vp Rn Ne xp : Up Rs S yp(Vp)
como no enunciado. Mostremos que{(Up, xp)}pStorna Suma subvariedade de dimenso
se de classe Ck deN.
Por construo,
S=pS
xp(Up) .
Agora, sejam p, qStais que
Wpq= xp(Up) xq(Uq)= .
Como yp,yq,y1p xpe y1q xqso homeomorfismos, segue que
xp= yp y1p xp
e xq= yq
y1q xq
so homeomorfismos (estamos considerando Scom a topologia induzida de N). Assim,
os conjuntos xp(Up)e xq(Uq)so abertos em Se, consequentemente,
x1p (Wpq) R
s e x1q (Wpq) Rs
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so abertos em Rs. Alm disso, da Forma Local das Imerses, segue que y1q xq um
difeomorfismo de classe Ck
(considerando o domnio de maneira adequada), donde
x1q xp =
yq
y1q xq
1yp
y1p xp
=
y1q xq
1 y1q yp
y1p xp
uma aplicao de classe Ck.
Conclumos, assim, que, munido de {(Up, xp)}pS, S uma variedade diferencivel
de dimenso s e de classe Ck.
Agora, mostremos que S, com essa estrutura diferencivel, uma subvariedade de
N. Seja i: S Na incluso. Para mostrar que i um homeomorfismo, suficiente
mostrar que = N, onde a topologia em S induzida pela estrutura diferencivel
{(Up, xp)}pSe N a topologia induzida de NemS.
SejaA S. Segue, da Forma Local das Imerses, que y1p xp um difeomorfismo de
classeCk (restrito a um aberto que contmp), para todop S. Alm disso, a aplicao
yp: y1p (S yp(Vp))S yp(Vp)
um difeomorfismo de classe Ck, para todo p S. Logo, a afirmao
x1p (A xp(Up)) aberto em R
s, para todo p S,
equivalente afirmao
y1p xp
1 y1p (A yp(Vp)) aberto em R
s, para todo p S,
que, por sua vez, equivalente a dizer que
y1p (A yp(Vp)) aberto em y
1p (S yp(Vp)) , para todo p S.
Tendo essas equivalncias em mente, suponha que A e tome a A. Seja ya a
parametrizao associada ae bijeo xa. Como A , temos que x1a (A xa(Ua))
um aberto de Rs, donde y1a (A ya(Va)) um aberto de y1a (S ya(Va)). Dessa
forma, A ya(Va) um aberto de S ya(Va) e, portanto, de S, j que S ya(Va) um aberto de Sna topologia induzida de N. Em outras palavras, A ya(Va) N,
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com a A ya(Va) A. Isso mostra que A N. Reciprocamente, suponha que
A N. Ento, A = S B, onde B um aberto em N. Dada uma parametrizaoy: V Rn NdeN, comoB aberto emN, segue que y1 (B y (V)) um aberto
de Rn. Assim,
y1 (A y (V)) = y1 (S B y (V))
= y1 (S) y1 (B y (V))
= y1 (S y (V)) y1 (B y (V)) ,
de modo que y1 (A y (V)) aberto em y1 (S y (V)). Em particular, y1p (A yp(Vp))
aberto em y1p (S yp(Vp)), para todo p S, de modo que x1p (A xp(Up)) aberto
em Rs, para todo p S. Portanto, A e = N.
Logo, i um homeomorfismo quando restrito a sua imagem. Alm disso, i uma
aplicao de classe Ck emS, pois, dado p S, a aplicao y1p xp de classe Ck e
y1p i xp= y
1p xp,
edip injetiva, j que
dip= dy1p i xp
x1p (p)
= dy1p xp
x1p (p)
edy1p xp
x1p (p)
injetiva.
Portanto, i : SN um mergulho de classe Ck e, assim, S uma subvariedade
de dimenso s e de classe Ck deN. A unicidade segue do Corolrio da Proposio 2 da
aula do dia 12 de maro.
Proposio 2.2. Um subconjuntoSdeN uma subvariedade de dimensose de classe
Ck deNse e somente se, para cadap S, existe um abertoV deN que contm p e
existe um difeomorfismo de classeCk y: A Rn V, ondeA um aberto deRn, tal
quey1 (S V) Rs {0} aberto em Rs {0}.
Demonstrao: Suponha que S uma subvariedade de dimenso s e de classe Ck deN. Logo, a incluso i : S N um mergulho de classe Ck. Pela Forma Local das
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Imerses, dadop S, existe um aberto Wde Nque contmp, existe uma parametrizao
x : U Rs
Sem p e existe um difeomorfismo y : UW0 Rs
Rns
W,onde W0 um aberto de Rns, tais que x (U) =i (x (U)) W e y1 i x (u) = (u, 0),
para todo u U. Em outras palavras, y1 (x (U) W) = U {0} Rs {0} e
y1 (x (U) W) aberto em Rs {0}. Agora, note que x (U) aberto em S. Uma vez
que a topologia emS a induzida deN, existe um aberto Bde Ntal que x (U) =SB.
Logo, V = B W um aberto de N que contm p e y: y1 (V) Rn V
um difeomorfismo de classe Ck, com y1 (V) aberto em Rn, tal que y1 (S V) =
y
1 (S B W) = y
1 (x (U) W) =U {0} Rs {0} aberto em Rs {0}.Reciprocamente, suponha que, para cada p S, existe um aberto V de N que
contmp e existe um difeomorfismo de classe Ck y:A Rn V, ondeA um aberto
de Rn, tal que y1 (S V) Rs {0} aberto em Rs {0}. Observe que y uma
parametrizao de N em p, j que y um difeomorfismo de classe Ck, que a mesma
classe deN. Logo, V = y (A) uma vizinhana coordenada de Nemp. Por outro lado,
denote por 1a projeo na primeira coordenada dada por
1 : Rs Rns Rs
(x, y) 1(x, y) =x .
Restrita a Rs {0}, 1 um difeomorfismo de classe Ck. Sejam p S e y o
difeomorfismo associado a pda hiptese. Denote por
x= y1|y1(Sy(A))
1
: 1y1 (S y (A))
S y (A) .
claro que x
uma bijeo de 1(y1
(Sy
(A))) em Sy
(A). Alm disso,1(y
1 (S y (A))) aberto em Rs, posto que, por hiptese, y1 (S y (A)) aberto
em Rs {0}, e a aplicao
y1 x = y1
y1|y1(Sy(A))
1
=1|y1(Sy(A))
1
um mergulho de classe Ck. Da Proposio 2.1, segue que S uma subvariedade de
dimensos e de classe Ck deN.
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O resultado a seguir, que uma consequncia da Proposio 2.2, nos d uma impor-
tante ferramenta para verificar se um determinado subconjunto ou no uma subvarie-dade.
Corolrio 2.1. SeS um subconjunto deNcom a propriedade que, para cadap S,
existe um aberto V de N que contm p de modo que SV uma subvariedade de
dimensos e de classeCk deN, entoS uma subvariedade de dimensos e de classe
Ck deN.
Demonstrao: Seja Sum subconjunto de Nque satisfaz a propriedade do enunciado.
Considere p Se um aberto V de N que contm p tal que SV uma subvarie-
dade de dimenso s e de classe Ck de N. Ento, a incluso i : SV N um
mergulho de classe Ck. Pela Forma Local das Imerses, existe um aberto W deNque
contm p, existe uma parametrizao x : U Rs S V em p e existe um difeo-
morfismo y : UW0 Rs Rns W, onde W0 um aberto de Rns, tais que
x (U) =i (x (U)) We y1 i x (u) = (u, 0), para todo u U. Sem perda de genera-
lidade, podemos supor que x (U)W= (S V)W(j que x (U) aberto emSV).
Dessa forma, y: y1 (W V)WV um difeomorfismo de classeCk, y1 (W V)
um aberto de Rn e y1 ((S V) W) = y1 (x (U) W) =U {0} um aberto de
Rs {0}. Observe que, para o ponto arbitrriop S, encontramos um difeomorfismo
y nas condies da Proposio 2.2. Portanto, S uma subvariedade de dimenso s e de
classe Ck deN.
Suponha que R uma subvariedade de Se que S, por sua vez, uma subvariedade
deN. Ser queR, sendo uma subvariedade deS, uma subvariedade de N? A resposta
dada no prximo resultado.
Proposio 2.3. Sejam Ss uma subvariedade de dimensos e de classeCk deN eRr
uma subvariedade de dimensor e de classeCk deS. Ento, R uma subvariedade de
dimensor e de classeCk deN.
Demonstrao: Denote por i : R Sa incluso de R em S e por i : S N a
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incluso de SemN. Como Sest munida com a topologia induzida de N, no difcil
mostrar que as topologias induzidas de Ne deSemR coincidem.Dessa forma, a incluso de R em N
I :i i: R N,
quando restrita a sua imagem, um homeomorfismo.
Alm disso, dado p R e dadas parametrizaes x: U Rr R em pe y:V
Rn NemI(p) =p, a aplicao y1 I x de classe Ck, pois y1,x, ie io so e
y1 I x= y1 i i x,
edIp injetiva, pois dipedipo so e
dIp= d
i ip
= dii(p) dip= dip dip.
Portanto,I um mergulho de classe Ck, o que, por definio, significa que R uma
subvariedade de dimenso r e de classe Ck deN.
Para encerrar, falemos um pouco sobre a relao que existe entre os espaos tangentes
s subvariedades e o espao tangente variedade.
SejaSs uma subvariedade de dimensose de classeCk deN. Dadosp Se v TpS,
existe uma curva diferencivel : (, ) S tal que (0) = p e (0) = v. Ora,
podemos considerar como uma curva em N atravs da composio = i , onde
i: SN a incluso de SemN. Com isso, v TpNe
TpSTpN. (2.1)
A rigor, TpS identificado com um subespao de TpNatravs da diferencial dip.
3. Transversalidade
Apresentamos agora um estudo da teoria de transversalidade em variedades diferenciveis
tendo como referncia [2]. O conceito de transversalidade generaliza o conceito de valorregular e permite entender o que significa variedades se intersectarem transversalmente.
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Ao longo dessa seo, Mm eNn denotam duas variedades diferenciveis de classe Ck
e : MN uma aplicao de classe Ck
.
Definio 3.1. SejaSs uma subvariedade de dimensos e de classeCk deN. Dizemos
que transversal a S emp 1 (S) se
dp(TpM) + T(p)S=T(p)N.
Se transversal aS emp, para todop 1 (S), dizemos que transversala
S.
Eventualmente, podem existir subvariedades em Nque so disjuntas da imagem de
. Em outras palavras, pode acontecer (M) S= , para alguma subvariedade Sde
N. Neste caso, por vacuidade, transversal a S. Por outro lado, se transversal
a uma subvariedade Ss deN e (M) S= , ento m + s n(lembre-se que me n
so as dimenses de M e N, respectivamente). Logo, se m +s < ne transversal a
S, ento (M) S= .
Vejamos, agora, um caso particular. Seja S = {a}, onde a N. O conjunto{a}
pode ser visto como uma subvariedade de dimenso 0 de N. Neste caso, transversal
a{a}se e somente sea um valor regular de . De fato, se transversal a{a}, ento,
dado p 1 (a), dp(TpM) + Ta{a} = TaN. Como Ta{a} o espao vetorial trivial
{0}, temos que
dim(TaN) = dim
dp(TpM)
+ dim (Ta{a}) dim
dp(TpM) Ta{a}
= dim
dp(TpM)
+ dim ({0}) dim
dp(TpM) {0}
= dim
dp(TpM)
.
Logo,dp(TpM) =TaN e a valor regular de . Reciprocamente, se a um valor
regular de , entodp(TpM) =TaN, para todo p 1 (a). Assim,
TaN= dp(TpM) = dp(TpM) +{0}= dp(TpM) + Ta{a} ,
para todo p
1 (a), mostrando que transversal a{a}. Isso mostra que o conceitode valor regular um caso particular do conceito de transversalidade.
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No que segue, vamos mostrar que a condio de transversalidade pode ser, de certa
forma, reduzida a de valor regular. Seja Ss
uma subvariedade de dimenso s e de classeCk deN. Segue, da Proposio 2.2, que, para cada p 1 (S), existe um aberto V de
Nque contm (p)e existe um difeomorfismo de classe Ck y: V A Rn, onde A
um aberto de Rn, tal quey (S V) Rs {0} aberto em Rs {0}(basta considerary
como sendo o difeomorfismo y1 da Proposio 2.2). Considere um aberto UdeMque
contmp tal que (U) V. Considere a projeo na segunda coordenada dada por
2 : Rs Rns Rns
(x, y) 2(x, y) =y .
Proposio 3.1. A aplicao: M N transversal aSnos pontos deU1 (S)
se e somente se0 Rns um valor regular da aplicao2 y |U :U Rns.
Demonstrao: Inicialmente, note que
2 y |U U 1 (S) = 2 y (U) 1 (S) 2 y (S V)
2(Rs {0})
= {0} ,
de modo que 2 y |U(U 1 (S)) ={0}(lembre-se que 2 y |U(p) = 0). Alm
disso, note que, para todo r U 1 (S),
dr:TrMT(r)N,
dy(r):T(r)NTy((r))Rs Rns
Rs Rns e
d (y )r:TrM Rs Rns.
Dado rU1 (S), denote por E= d (y )r(TrM) = dy(r)dr(TrM). Observe
que podemos identificarEcom um subespao de Rs Rns atravs ded (y )r.
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Agora, suponha que transversal a Sem
rU 1 (S) = (2 y |U)1 (0) .
Ento,
dr(TrM) + T(r)S=T(r)N.
Logo,
d (y )r(TrM) + dy(r) T(r)S
= dy(r)
T(r)N
.
Identificando dy(r)
T(r)S
com Rs {0}, podemos concluir que
E+ (Rs {0}) = Rs Rns.
Segue da igualdade anterior que E um subespao de Rs Rns da formaG Rns,
para algumG Rs. Dessa forma, podemos concluir que 2(E) = Rns.
Da,
d (2 y |U)r(TrM) = d (2)y((r)) d (y )r(TrM)
= d (2)y((r))(E)
= 2(E)
= Rns,
onde, na terceira igualdade, usamos que a aplicao 2 linear e, portanto, coincide com
a diferencial d (2)y((r)). Com isso, mostramos que d (2 y |U)r sobrejetiva. A
arbitrariedade na escolha de rnos permite concluir que 0 Rns
um valor regular de2 y |U.
A recproca anloga. Mais precisamente, como dy(r) um isomorfismo, para todo
r U 1 (S), basta seguir a ordem contrria do raciocnio anterior para provar a
recproca.
A caracterizao de transversalidade em termos de valores regulares obtida na proposio
anterior permite demonstrar o resultado a seguir, que o mais importante desse trabalho,uma vez que responde ao nosso questionamento inicial.
10
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Teorema 3.1. Seja: M Numa aplicao de classeCk transversal a uma subva-
riedadeSs
de dimensos e de classeCk
deN. Ento, 1
(S) = ou 1
(S) umasubvariedade de classeCk deMcuja codimenso em M igual a codimenso deS em
N. Neste caso,
Tp1 (S) =
dp
1
T(p)S
,
para todop 1 (S).
Demonstrao: Suponha que 1 (S)= e tome p 1 (S). Seja y : V A, onde
A um aberto de Rn e V um aberto de Nque contm (p), um difeomorfismo de
classe Ck tal que y (S V) Rs {0} aberto em Rs {0}. Seja Uum aberto de M
que contm ptal que (U) V. Como transversal a Sem r U 1 (S), para
todo r U 1 (S), temos, da Proposio 3.1, que 0 Rns um valor regular da
aplicao 2 y |U. Da Proposio 2 da aula do dia 15 de maro, segue que
U 1 (S) = (2 y |U)1 (0) (3.1)
uma subvariedade de Mde dimenso m (n s)e de classe Ck e que
Tr
U 1 (S)
= ker
d (2 y |U)r
=
d (2 y |U)r1
(0)
=
d (2)y((r)) dy(r) dr
1(0)
= (dr)1
dy(r)
1
d (2)y((r))
1
(0)
= (dr)1
dy(r)1 (Rs {0})
= (dr)1
T(r)S
,
para todo rU 1 (S).
Agora, observe a expresso em (3.1). Note que, para o p 1 (S)escolhido de forma
arbitrria, existe um aberto Ude Mque contmptal que U1 (S) uma subvariedade
de dimenso m(n s)e de classe Ck. Do Corolrio 2.1, podemos concluir que 1 (S)
uma subvariedade de dimensom(n s)e de classe Ck deM. Note que a codimensode 1 (S)em M m (m (n s)) =n s, que a codimenso de SemN.
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Alm disso, dado p 1 (S), o conjunto U 1 (S) uma subvariedade aberta de
1
(S), j que U1
(S) um aberto de 1
(S). Da observao em (2.1), segue queTp(U 1 (S)) um subespao de Tp1 (S)com a mesma dimenso de Tp1 (S), ou
seja,
Tp1 (S) =Tp
U 1 (S)
.
Portanto,
Tp1 (S) = dp
1
T(p)S .
Os prximos dois resultados so consequncias do Teorema 3.1.
Corolrio 3.1. Se : M N uma submerso de classe Ck, ento dada uma
subvariedade Ss de dimenso s e de classe Ck de N, 1 (S) = ou 1 (S) uma
subvariedade de classeCk deM.
Demonstrao: SejaSs uma subvariedade de dimenso s e de classe Ck deNe suponha
que 1 (S) = . Note que, dado p 1 (S), dp(TpM) = T(p)N, pois uma
submerso. Assim, dp(TpM) + T(p)S=T(p)N. Isso significa que transversal a S
em p, para todo p 1 (S). Pelo Teorema 3.1, 1 (S) uma subvariedade de classe
Ck deM.
Corolrio 3.2. Sejam Rr eSs duas subvariedades de classeCk deN. SeR S= e
se, para cadap RS,TpR + TpS=TpN, entoRS uma subvariedade de dimenso
r + sne de classeCk deN. Alm disso, Tp(R S) =TpRTpS, para todop RS.
Demonstrao: Seja i : R Na incluso de Rem N. Note que
R S=i1 (S) .
Dado p i1 (S), temos quedip(TpR) =TpR, pois i um mergulho. Logo,
dip(TpR) + TpS=TpR + TpS=TpN.
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Dessa forma, i transversal a Sem p, para todo p i1 (S). Como p arbitrrio,
segue que i transversal a S. Do Teorema 3.1, resulta que i1
(S) = R S umasubvariedade de classe Ck de R e, consequentemente, de N (Proposio 2.3). Com
relao dimenso de R S, note que a codimenso de R Sem R n s. Ento,
denotando por ka dimenso de R S, temos que r k= n s, ou seja, k = r+ s n.
Agora, dado p R S, mostremos que Tp(R S) = TpR TpS. Lembrando da
observao em (2.1), temos que
Tp(R S) = (dip)1 (TpS)
= {v TpR: dip(v) TpS}
= {v TpR: v TpS}
= TpR TpS.
Em particular, se R2 eS2 so duas superfcies regulares de classe Ck em R3 tais que,
para cada p R S, TpRe TpSso distintos, ento R S uma curva de classe Ck em
R3 (Exerccio 17, pgina 107, de [1]).
Outro caso particular ocorre quando Rr e Ss so duas subvariedades de Nr+s tais
que TpR TpS = TpN, para todo p R S. Neste caso, R S uma variedade de
dimenso0, ou seja, um conjunto discreto de pontos de M.
A condio TpR+TpS=TpN do Corolrio 3.2 estudada nos casos anteriores motiva
a defi
nio a seguir.
Definio 3.2. Se duas subvariedadesR eS deNsatisfazem a propriedade que, para
todop R S,
TpR + TpS=TpN,
dizemos queR eSesto emposio geral, ou que seintersectam transversalmente.
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Referncias
[1] Carmo, M. P.: Geometria diferencial de curvas e superfcies. Coleo textos
universitrios, SBM (2008).
[2] Lima, E. L.: Variedades diferenciveis. Publicaes Matemticas, IMPA (2010).
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Aplicaes de Posto Constante
Djeison Benetti
Universidade Estadual de Maring
Programa de Ps-Graduao em Matemtica (doutorado)
Abril de 2012
Resumo
O ob jetivo deste breve trabalho apresentar o conceito de aplicaes de posto cons-
tante e a demonstrao do teorema do posto para variedades diferenciveis. As notaes
e principais definies, tais como a de variedade diferencivel e a de aplicao diferen-
civel entre variedades, seguem conforme [1] e os resultados abaixo mencionados esto
baseados sobretudo conforme [2].
1 Aplicaes de Posto Constante e o Teorema do Posto
para Variedades diferenciveis
Sejam Muma variedade diferencivel de dimenso m e N uma variedade diferencivel
de dimenso n. O posto de uma aplicao diferencivel : M N, em um ponto p M,
a dimenso da imagem da diferencial dp : TpM T(p)N. Dizemos que tem posto
constantequando o posto de em todo pontop M o mesmo.
A seguir enunciamos o teorema do posto para o caso euclidiano. A demonstrao
omitida, mas pode ser encontrada em [2] (p. 25).
Teorema 1.1 (Teorema do Posto - Caso euclidiano). SejamU um subconjunto aberto de
Rr+m e f : U Rr+n uma aplicao de classeCk (k 1). Suponha que f tem posto
1
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constante r em todos os pontos deU. Ento, para todo z0 U existem difeomorfismos de
classeCk
g: V W Rr Rm Z Rr+m,
h: Z Rr+n V W Rr Rn,
comVW aberto emRr Rm, VW aberto emRr Rn eZ, Z vizinhanas dez0 ef(z0),
respectivamente, tais que a aplicao
(h f g) :V W Rr Rn
dada por(h f g)(x, y) = (x, 0) para todo (x, y) V W Rr Rm.
Abaixo temos uma representao esquemtica do teorema acima.
Figura 1: Teorema do Posto - Caso euclidiano.
Agora enunciaremos e demonstraremos o teorema do posto para variedades diferenciveis.
Teorema 1.2 (Teorema do Posto para Variedades diferenciveis). SejamMm eNn varie-
dades diferenciveis de classeCk (k 1). Considere: MNaplicao diferencivel de
classeCk tal que possui posto constante r. Ento, dado p M existem parametrizaes
x : U Rm M em p e y : V Rn N em(p), com(x(U)) y(V), tais que a
aplicao
(y1 x) :U Rm Rn
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dada por(y1 x)(x1, . . . , xr, xr+1, . . . , xm) = (x1, . . . , xr, 0, . . . , 0).
Demonstrao: Seja p M e considere as parametrizaes x1 : U1 Rm M em p e
y1 : V1 Rn
N em (p), tais que (x1(U1)) y1(V1). Como diferencivel de classeCk, temos que
x1y1 := (y11 x1) :U1 R
m Rn
diferencivel de classe Ck. Alm disso, x1y1 possui posto constante r em todos os pontos
de U1. De fato, observe que
d(x1y1)x11 (p) = d(y
11 )(p) d()p d(x1)x1
1 (p).
Comod(y11 )(p)e d(x1)x11 (p)so isomorfismos ed()ppossui postor, segue qued(x1y1)x1
1 (p)
possui postor.
Dessa forma, vemos que a aplicao x1y1 est nas hipteses do teorema do posto (caso
euclidiano). Logo, existem difeomorfismos de classeCk
g: V W Rr Rmr ZU1,
h: Z V1 V W Rr Rnr,
comVWaberto em Rr Rmr,VW aberto em Rr Rnr eZ, Z vizinhanas dex11 (p)
e x1y1(x11 (p)) =y
1((p)), respectivamente, de modo que
(h x1y1 g) :V W Rr Rnr
dada por (h x1y1 g)(v, w) = (v, 0), para todo(v, w) V W Rr Rmr.
Agora, denoteU =V W Rr Rmr e V =V W Rr Rnr. Defina ento as
aplicaes x := (x1 g) : U
Rm
M e y := (y1 h1
) : V
Rn
N. Sendo g e hdifeomorfismos, claro quexe yso parametrizaes depe (p), respectivamente, e ainda
(x(U)) y(V). Alm disso, a aplicao xy := (y1 x) :U Rm Rn dada por
xy(v, w) = (y1 x)(v, w) = (h (y11 x1) g)(v, w) = (h x1y1 g)(v, w) = (v, 0),
para todo(v, w) U =V W Rr Rmr.
3
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2 Exemplos e Aplicaes
Exemplo 2.1. Um grupoG dito um grupo de Lie se G possui uma estrutura de variedade
diferencivel tal que as operaes multiplicao e inverso do grupo so diferenciveis. Umexemplo de aplicao entre grupos de Lie e dado por Lg :G G, no qual Lg(x) =gx. Esta
aplicao um difeomorfismo e chamada de translao esquerda. SejamGe Hgrupos
de Lie e f :G Hum homomorfismo diferencivel. Ento, ftem posto constante.
De fato, sendofum homomorfismo, dadosa, p Garbitrrios, temosf(ap) =f(a)f(p).
Sejam La : G G e Lf(a) : HHtranslaes esquerda. Note ento que
f La(p) =f(a p) =f(a) f(p) =Lf(a) f(p).
Logo, f La= Lf(a) f :G H. Agora, tomando-sep, q G e pondo a= q p1, temos
d(f La)p= d(f)La(p) d(La)p= d(f)q d(La)p;
d(Lf(a) f)p= d(Lf(a))f(p) d(f)p.
Sendo La e Lf(a) difeomorfismos, temos que d(La)p e d(Lf(a))f(p) so isomorfismos. Dessa
forma, conclumos que
d(Lf(a) f)p= d(f La)p d(f)p=d(Lf(a))f(p)
1
d(f)q d(La)p,
donde segue que d(f)p e d(f)q possuem o mesmo posto.
Exemplo 2.2. As imerses e as submerses so exemplos de aplicaes de posto constante,
tambm ditas aplicaes de posto mximo.
Um fato importante que muitos dos resultados relacionados a submerses e imerses
em variedades, como a forma local das submerses e a forma local das imerses, podem ser
concludos a partir do teorema do posto para variedades. Neste sentido, outro resultado
relevante apresentado pela proposio abaixo.
Proposio 2.3. Seja : Mm Nn uma aplicao diferencivel de classeCk (k 1) e
posto constanter. Para cadaa N, com1(a)=, temos que1(a) uma subvariedade
de classeCk e dimenso m r emM.
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Demonstrao: Seja p 1(a). Pelo teorema do posto encontramos parametrizaesxp :
Up Rm M em pe yp : V p R
n N em (p) = a, com Up = Vp Wp Rr Rmr e
(xp(Vp Wp)) yp(V
p), tais que a aplicao
(y1p xp) :Vp Wp Rn
dada por (y1p xp)(Vp Wp) =Vp {0}, isto ,
(y1p xp)(x1, . . . , xr, xr+1, . . . , xm) = (x1, . . . , xr, 0, . . . , 0).
Seja (q, u) Vp Wp tal que xp(q, u) = p. Logo, (y1p xp)(q, u) = (q, 0) e assim
y1p (a) = (q, 0). Observe ento que
(y1p xp)1(y1p (a)) = (y
1p xp)
1((q, 0)) ={q} Wp.
Por outro lado,
(y1p xp)1(y1p (a)) = x
1p (
1(a)) = x1p (xp(Vp Wp) 1(a)).
Dessa forma, podemos ver que
(y1p xp)1(y1p (a)) = x1p (xp(Vp Wp) 1(a)) ={q} Wp. (1)
Agora, defina a aplicao
zp: Wp Rmr 1(a)
no qual zp(w) =xp(q, w)para todow Wp. Observe que por (1) temos
zp(Wp) =xp({q} Wp) =xp(Vp Wp) 1(a). (2)
De maneira anloga, considerando a aplicao incluso i : Rmr Rr Rmr, dada pori(w) = (q, w), denotamos poripa restrio desta incluso emWp. Assim, escrevemoszp(w) =
(xp ip)(w). Note tambm que, sobre a imagem,ip uma bijeo diferencivel e cuja inversa
denotamos por p, no qual p(q, w) =w para todo(q, w) {q} Wp.
Para cada p 1(a) defina zp desta forma. Ento, a famlia {(Wp, zp)} define uma
estrutura diferencivel em 1(a). De fato, como xp biunvoca, segue que zp tambm o
5
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. claro que 1(a) =
p1(a) zp(Wp). Alm disso, para quaisquer p, s 1(a) com
zp(Wp) zs(Ws) =Z=, temos z1p (Z)e z1s (Z)abertos em R
mr. Com efeito,
z
1
p (Z) = (xp ip)1
(Z)= (p x
1p ) (zp(Wp) zs(Ws))
(2)= (p x
1p )
(xp(Vp Wp) xs(Vs Ws))
=W aberto em M
1(a)
= px1p (W) x
1p (xp(Vp Wp)
1(a))
(1)= p
x1p (W) ({q} Wp)
.
Agora, tomeb z1p
(Z). Ento, pela igualdade acima, temosb p x1
p
(W) ({q} Wp).Logo, ip(b) = (q, b) x1p (W) ({q} Wp). Como x
1p (W) aberto R
r Rmr, existe um
aberto bsicoB Cem Rr Rmr tal que
ip(b) = (q, b) (B C) ({q} Wp) x1p (W) ({q} Wp).
Logo, temos
b p((B C) ({q} Wp)) px1p (W) ({q} Wp)
.
Mas p((B C) ({q} Wp)) = p({q} (CWp)) = CWp um aberto em Rmr, donde
segue que z1p (Z) aberto em Rmr. De modo anlogo, conclumos que z1s (Z) um aberto
em Rmr. Continuando, vemos tambm que
z1s zp= (xs is)1 (xp ip) =s (x
1s xp) ip
uma aplicao diferencivel de classeCk.
Mostraremos agora que a aplicaoi : 1
(a) M um mergulho. Para tanto, conside-rando as parametrizaeszp e xp definidas acima, temos que
(x1p i zp) :Wp Rmr Rn
dada por (x1p i zp)(w) = (q, w)e, portanto, diferencivel. Alm disso,
d(x1p i zp)z1p (p) = d(x1p i xp ip)z1p (p)= d(ip)z1p (p)
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que uma aplicao injetiva. Assim, i uma imerso. Por outro lado, observe que A um
conjunto aberto em1(a)(enquanto variedade) se, e somente se,
z
1
p (zp(Wp) A) =z1
p (xp(Vp Wp) A) =Bp
aberto em Rmr para todo p 1(a). Da, zp(Bp) = zp(Wp) A = xp(Vp Wp) A
aberto em1(a) (enquanto variedade). Mas,
x1p (xp(Vp Wp) A) =ip(Bp) ={q} Bp.
Dessa forma,
xp(Vp Wp) A= xp({q} Bp) =xp(Vp Bp) 1(a)
tanto um aberto de 1(a) quanto um aberto na topologia induzida por M em 1(a).
Logo, temos quei : 1(a) M um mergulho. Portanto,1(a) um subvariedade deM
com dimenso m r.
Referncias
[1] M. P. do Carmo - Geometria Riemanniana, Sociedade Brasileira de Matemtica, Rio de
Janeiro, 2008.
[2] E. L. Lima - Variedades Diferenciveis, Publicaes Matemticas, IMPA, Rio de Janeiro,
2010.
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA
CENTRO DE CIENCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MATEMATICA
Disciplina: Variedade Diferenciaveis e Grupos de Lie
Ewerton da Silva Lemes
Metricas Riemannianas
Introducao
Para definir um produto interno g em Rm basta defini-lo sobre uma base {v1, . . . , vm}
pondo g(vi, vj) = gij. Entao, dados u, v Rm com u =
mi=1
aivi e v =mi=1
bivi,
temos g(u, v) =m
i,j=1
aibjpij. O produto interno canonico em Rm e obtido definindo
gij =ei, ej= ij, delta de Kronecker, onde {e1, . . . , em} e a base canonica de Rm.
Agora seja Mm uma variedade diferenciavel. Queremos definir um produto interno
gp(, ) no espaco tangente TpM com p M. Usaremos as notacoes gp(, ) ou , p para
representar o produto interno em TpM.
Sejam x: U Rm M e y :V Rm Mduas parametrizacoes em p M. Nosso
problema agora e verificar como se relacionam os produtos internos nessas diferentes
parametrizacoes com p x(U) y(V). Mais ainda, nos interessa definir um produto
internogp(, ) em todo ponto p Me saber como varia esse produto interno em relacao
a p.
Daqui em diante, diferenciavel significara de classe C.
Definicao 1. Umametrica Riemanniana ou, estrutura Riemanniana, em uma variedade
diferenciavelM e uma correspondenciag que associa a cada ponto p M um produto
interno, p (isto e, uma forma bilinear simetrica, positiva definida) no espaco tangente
TpM, que varia diferencialvelmente no seguinte sentido:
Sex : U Rm M e um sistema de coordenadas locais em torno do pontop, com
x(x1, . . . , xm) = q x(U) e
xi(q) = dxq(0, . . . , 1, . . . , 0), entao,
xi(q),
xj(q)
q
=
gij(x1, . . . , xm) e uma funcao diferenciavel emU.
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As funcoes gij(=gji) sao chamadas expressao da metrica Riemanniana no sistema de
coordenadasx: U Rm M. Uma variedade diferenciavel com uma dada metrica Rie-
manniana chama-se umavariedade Riemanniana. Denotaremos por (M, g) uma variedade
riemanniana que possui a metrica Riemanniana g.
Vamos mostrar agora que a definicao de matrica Riemanniana nao depende da escolha
do sistema de coordenadas. Mas antes disso, provaremos a seguinte proposi cao:
Proposicao 2. SejamMm uma variedade diferenciavel, x : U Rm M e y : V
Rm M duas parametrizacoes de M em p. Considere W = x(U) y(V). Entao, a
matriz mudanca de base emTpMda base=
xi para a base =
yi e a matrizjacobiana da aplicacao y1 x: x1(W) y1(W), isto e,
[I] =
y1x1
y1
xm...
...ymx1
ym
xm
.
Demonstracao. Temos que y1 x: x1(W) y1(W) pode ser escrita como,
y1 x(x1, . . . , xm) = (y1(x1, . . . , xm), . . . , ym(x1, . . . , xm))
Escolha uma curva diferenciavel : (, ) M com (0) =p e (0) =v . Denote
por [v] o vetor v escrito na basee [v] o vetor v escrito na base . Expressando na
parametrizacao xtemos
x1 (t) = (x1(t), . . . , xm(t)) e [v] =mi=1
xi(0)
xi
Portanto,
y1 (t) = (y1(x1(t), . . . , xm(t)), . . . , ym(x1(t), . . . , xm(t)))
Da decorre que a expressao de(0) na base =
yi
associada a parametrizacao
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y, e dada por
vf = d
dt(f)|t=0=
d
dt(f yy1 )|t=0
= ddt
f(y1(x1(t), . . . , xm(t)), . . . , ym(x1(t), . . . , xm(t)))|t=0
=mi=1
xi(0)y1xi
f
y1+ +
mi=1
xi(0)ymxi
f
ym
=m
j=1
mi=1
xi(0)yjxi
f
yj
=
mj=1
mi=1
xi(0)yjxi
yj
f
Logo, a expressao de v na base =
yj
e
[v] =
mi=1
xi(0)y1xi
, . . . ,mi=1
xi(0)ymxi
Assim, segue que
[v] =
y1x1
y1
xm... ...
ymx1
ym
xm
x1(0)
...
xm(0)
= [I][v]
Disso segue o resultado.
Usando o resultado acima, mostraremos que a definicao de metrica Riemanniana nao
depende da parametrizacao.
Proposicao 3. Considere a variedade(Mm, g). A definicao de metrica Riemanniana nao
depende da escolha da parametrizacao.
Demonstracao. Seja x: U Rm Muma parametrizacao de M no ponto p M. Te-
mos que as funcoesgij :U R dada porgij(x1, . . . , xm) =
xi,
xj
q
sao diferenciaveis
com x(x1, . . . , xm) =q x(U). Considere agora outra parametrizacao y :V Rm M
de Mno ponto p e W =x(U)y(V). Mostraremos que hij :y1(W) R definida por
hij(y1, . . . , ym) =
yi,
yj
q
com y(y1, . . . , ym) =q W e diferenciavel.
3
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Considere a mudanca de coordenadas dada por
x1 y(y1, . . . , ym) = (x1(y1, . . . , ym), . . . , xm(y1, . . . , ym)))
Entao, dadas as bases =
xi
e =
yj
de TqMrelativas as parametrizacoes
xe y, respectivamente, temos que a matriz jacobiana
[I]
=
x1y1
x1
ym...
...xmy1
xm
ym
que e a matriz mudanca de base da base =
yj
para a base =
xi
. Logo,
escrevemos,
yk
= [I]
yk
=
x1yk
, . . . ,xmyk
Note que cada xiyj
e diferenciavel. Assim,
yk=
mi=1
xiyk
xie
hij(y1, . . . , ym) =
yi,
yjq
=
mk=1
xkyi
xk,
ml=1
xlyj
xl
q
=m
k,l=1
xkyi
xlyj
xk,
xl
q
=m
k,l=1
xkyi
xlyj
gkl
Portanto,hij e diferenciavel, e assim segue o resultado.
Definicao 4. Um difeomorfismo f : (M, g) (N, h) entre variedades e uma isometria
se
dfp(v), dfp(w)f(p) = v, wp
para todo p M ev, w TpM.
Exemplo 5. SejamM= Rn com
xiidentificado comei = (0, . . . , 1, . . . , 0). A metrica
Riemanniana e dada por gij(p) = ei, ej = ij. O R
n
e chamado espaco euclidiano dedimensao n e a geometria Riemanniana deste espaco e a geometria metrica euclidiana
gij : Rn R definida porgij(p) =ei, ej= ij para todo pM.
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Exemplo 6. Sejam(Nn, h)uma variedade Riemanniana,Mm uma variedade diferenciavel
ef :MNuma imersao, isto e, f e diferenci avel edfp:TpMTf(p)N e injetiva para
todo p M. Assim, finduz uma estrutura Riemanniana emM por
u, vp = dfp(u), dfp(v)f(p) para todo pM
Como dfp e injetiva, u, vp e um produto interno emTpM. Mostraremos queu, vp
varia diferenciavelmente em relacao ap. Sejay : V Rn N uma parametrizacao de
N emf(p) ex: U Rm Muma parametrizacao deM emp tal quef(x(U)) y(V).
Podemos escrever,
y
1 fx(x1, . . . , xm) = (f1(x1, . . . , xm), . . . , f n(x1, . . . , xm))
A matriz jacobiana dey1 fx e
f1x1
f1
xm...
...fnx1
fn
xm
e
dfp
xi
=
f1xi
, . . . ,fnxi
=n
j=1
fjxi
yj
Da,
gji =
xi,
xj
p
=
df
xi
, df
xj
f(p)
=
nk=1
fkxi
yk,
nl=1
flxi
yl
f(p)
=n
k,l=1
fkxi
flxj
yk,
yl
f(p)
=n
k,l=1fkxi
flxj
hkl
Portanto gij e diferenci avel para todo p M. Conclumos tambem quefuma isome-
tria.
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Teorema 7. Uma variedade diferanciavelMde Hausdorff e com base enumeravel possui
uma metrica Riemanniana.
Demonstracao. Como a variedade M e um espaco de Hausdorff com base enumeravel,
segue que, M e um espaco paracompacto de Hausdorff. Sendo M paracompacto de
Hausdorff, M admite uma particao diferenciavel da unidade. Seja {f} uma particao
diferenciavel da unidade de M subordinada a uma cobertura {V} de Mpor vizinhacas
coordenadas. Isto significa que{V}e uma cobertura localmente finita, isto e, cada ponto
de M possui uma vizinhanca U tal que UV = apenas para um numero finito de
ndices e que {f} e um conjunto de funcoes diferenciaveis em M satisfazendo:
1. f 0, f = 0 no complementar de V.
2.
f(p) = 1 para todo p M.
Podemos definir uma metrica Riemanniana , em cada {V}, a saber, a induzida
pelo sistema de coordenadas. Obtemos uma metrica Riemanniana em M fazendo
u, vp=
f(p)u, v
p
Note quef(p)u, vp = 0 sep /Ve isto define uma metrica Riemanniana em M.