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Maira Rosine BollaMairaMaira Rosine BollaRosine Bolla
Frequências Naturais Frequências Frequências Naturais Naturais
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Vibração é qualquer movimento que se repete apósdeterminado intervalo de tempo. Estas são classificadas
em:
•Vibração forçada é quando o movimento persiste porcausa da existência de uma força de perturbação.
•Vibração livre é quando o movimento continuaapós a remoção da perturbação original.
Na análise de vibração, usualmente consideramos asperdas de energia, usando um simples fator, chamado
de fator de amortecimento.
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Período de uma vibração é o tempo de um ciclo simples.
Frequência é o número de ciclos que ocorre a cada
unidade de tempo.
Frequência natural é a frequência de uma vibração livre. Frequ Frequêê ncia ncia natural natural éé aa frequfrequêênciancia de uma vibrade uma vibraçãção livre.o livre.
Se a frequência forçada se torna igual a frequência
natural de um sistema, ocorre a Ressonância.
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Qualquer objeto material tem uma ou mais
frequências nas quais "gosta" de vibrar: são asfrequências naturais de vibração do objeto .Quando o objeto é "excitado" por algum agenteexterno em uma de suas frequências naturais dá-
se a ressonância : o objeto vibra nessafrequência com amplitude máxima, só limitadapelos inevitáveis amortecimentos.
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Uma ponte nos Estados Unidos desabou quandoentrou em ressonância com o vento. A ponte sobreo Estreito de Tacoma, logo após ser liberada ao
tráfego, começou a balançar sempre que o ventosoprava um pouco mais forte. No dia 7 deNovembro de 1940 aconteceu a ressonância.Inicialmente, a ponte começou a vibrar em modoslongitudinais, isto é, ao longo de seu comprimento.Até aí, tudo bem. Mas, logo apareceram oschamados "modos torsionais", nos quais a ponte
balançava para os lados, se torcendo toda. Naressonância, a amplitude desses modos torsionaisaumentou de tal forma que a ponte desabou.
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Ponte de Tacoma
vibrando no modotorsional.
Ponte de Tacoma
vibrando no modolongitudinal
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Vibração em regime permanente: indica que um movimento
se repete exatamente em cada ciclo sucessivo.
Vibração transiente: indica que um movimento do tipo
vibratório está mudando de caráter.
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(figura 1)
Representação de um sistema vibratório
idealizado
m
k
c
F=f(t)
O
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x k ====
(figura 2)
Diagrama de corpo livre da massa m após ter
sido deslocada x unidades de comprimento.
mF=f(t)
O
x
-cx
-kx
.
x c ==== .
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Como este sistema é idealizado, assumimos que:
•A mola e o amortecedor não tem massas;
•A massa é absolutamente rígida;
•Todo o amortecimento é concentrado no
amortecedor.
Resultados de muitas experiências mostram que grande
número de sistemas mecânicos podem ser analisados com boa
precisão utilizando-se as premissas acima.
Este sistema vibratório é classificado como de um grau de
liberdade com amortecimento e de vibração forçada.
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Equação do movimento:
Se o atrito ou amortecimento presente na vibração é
pequeno, podemos desprezá-lo, obtendo ainda
resultados bastante precisos no final da análise.
Fazendo os termos de amortecimento e força externa
iguais a zero, obtemos a equação diferencial do
movimento para vibração livre:
(((( )))) t f 1 x k x c x ====++++++++ .
¨
0 x k x ====++++¨
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k
m
2
2
nπ ππ π ω ωω ω
π ππ π ========
k1 f n π π π π ========
A solução desta equação tem a seguinte forma:
Onde A & B são constantes de integração e é a
chamada frequência natural.
m
k n ====
(((( )))) (((( ))))en B cos A x n n
++++====
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Os valores das constantes A & B dependem de como avibração teve origem. Por exemplo, se deslocarmos a
massa de uma distancia x=x0 e começarmos a contar o
tempo, no instante que a largarmos, as condições
iniciais são:
Assim a equação que descreve o movimento é
(((( )))) cos x x n0
====
====
========
0 x
x x0 t
0
.
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O movimento pode ser iniciado dando-se a massa umavelocidade inicial v0 . Neste caso temos as seguintes
condições iniciais:
(((( )))) t senv x n
n
0 ω ωω ω ω ωω ω
====
E a equação do movimento é dada por:
====
========
0v x
0 x0 t
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O método mais geral de se provocar vibração,consiste em deixar a massa ter ambos, o
deslocamento e a velocidade quando t=0, e a solução
é da seguinte forma:
(((( )))) (((( )))) t senv t cos x x n
n
0
n0 ω ωω ω ω ωω ω
ω ωω ω ++++====
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x0 cos( ω ωω ω n t) + (v0 / ω ωω ω n ) sen( ω ωω ω n t).(v0 / ω ωω ω n ) sen( ω ωω ω n t).
x0 cos( ω ωω ω n t)
n
0v
ω ωω ω
0 x
n
φ φφ φ
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Nesta equação, o coeficiente X 0
é a amplitude da vibração,
que é o máximo deslocamento da massa. O ângulo φφφφ é
chamado ângulo de fase e representa o atraso angular do
movimento em relação à função cosseno.
2
n
0 2
00v x X
++++====ω ωω ω
====
0 n
0
xv arctg
ω ωω ω φ φφ φ
Analisando o gráfico, podemos exprimir o movimento
pela equação:
onde X 0 e φ φφ φ são as constantes de integração e dependemdas condições iniciais.
(((( ))φ φφ φ −−−−==== cos X x n0
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Velocidade e aceleração são obtidas por diferenciação
sucessiva da equação, assim
onde a amplitude da velocidade é
e a da aceleração é
(((( ))))
(((( ))))φ φφ φ ω ωω ω ω ωω ω
φ φφ φ ω ω ω ω
−−−−−−−−====
−−−−−−−−====
n
2
n0
n n0
cos X x
t sen X x
n0 X ω ω
2
n0 X ω ωω ω
¨
.
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Modelo de 2 graus de liberdade Modelo de 2 graus de liberdade Modelo de 2 graus de liberdade
1m 2m
13k
1 c c 3 c
1 x 2 x
(((( )))) t f 1 (((( )))) t f 2
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1
1 g 3 g
g 4 g
3 g
4 g
5 g
6 g1 f f
111 x g ====
(((( ))))1 2 2 3
x x g −−−−====
2 3 5 x====
11 x c==== .
(((( ))))1 4 x x c g −−−−==== . .
2 36 x c==== .
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(((( )))) (((( )))) (((( )))) t f x k x k k x c x c c x m 1111111 ====−−−−++++++++−−−−++++++++¨
(((( )))) (((( )))) (((( )))) t f x k k x k x c c x c x m 31 31 ====++++++++−−−−++++++++−−−−¨ .
Equações de movimento: Segunda Lei de Newton Equações de movimento: Segunda Lei de Newton Equações de movimento: Segunda Lei de Newton
[[[[ ]]]]{{{{ }}}} [[[[ ]]]]{{{{ }}}} [[[[ ]]]]{{{{ }}}} {{{{ }}}} f x K xC x M ====++++++++¨
.
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[[[[ ]]]]
====
2
1
m0
0 m M Matriz de Massa Matriz de Massa
[[[[ ]]]]
++++−−−−
−−−−++++====
3 2 2
2 21
c c c
c c cC Matriz de amortecimento Matriz de amortecimento
[[[[ ]]]]
++++−−−−−−−−++++====
3 2 2
2 21
k k k k k k K Matriz de rigidez Matriz de rigidez
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e substituindo na equação do movimento resulta
====++++
====++++
2 2 221 21
1 212111
F X D X D
F X D X D
onde Dip é a rigidez dinâmica dada por
2 ,1 p ,i com jc m k D ip 2
ipipip ====++++−−−−==== ω ωω ω ω ωω ω
(((( )))) (((( )))) . 2 ,1i com ,e X t x & e F t f Fazendo t jii t j
ii ============ ω ωω ω ω ωω ω
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Resposta Livre Resposta LivreVibração Livre:Vibração Livre: Frequências naturais não amortecidas:
====++++====++++
0' X ' D' X ' D0' X ' D' X ' D
2 221 21
212111
Calculando
(((( ))))(((( )))) 2 2 2 211 2112 2211
m m
' D' D' D' D'
ω ωω ω ω ωω ω ω ωω ω ω ωω ω
∆∆∆∆
−−−−−−−−====
−−−−====
Frequências naturais
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As amplitudes de vibração livre X’1 & X’ 2 devem satisfazeruma razão para cada frequência natural tal que
. 2 ,1i ,u' D
' D
' D
'
' X
' X i 2
2
21
12
11
1
2
========−−−−====−−−−====
onde u 2i representa uma amplitude relativa para a
segunda coordenada e a i-ésima frequência naturalrelativa à amplitude X’1. A solução para a vibração livre
fica:
(((( ))))(((( ))))
t j
22
12 2
t j
21
111
2
1 21 euu Be
uu B
t x t x ω ωω ω ω ωω ω
++++
====
Modo 1 Modo 2
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Os vetores {u} representam o primeiro e o segundo
modos de vibrar do sistema que podem ser agrupados na matriz modal para 2GL:
[[[[ ]]]]
====
==== 22 21
1211
22
12
21
11
uu
uu
u
u
u
uu
uip é o valor da forma modal na coordenada ina frequência natural .
pω ω
B1 e B 2 são as amplitudes modais de movimento edependem das condições iniciais.
{{{{ }}1u {{{{ }}u
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Para sistemas não amortecidos os vetores modais são
valores reais tal que os movimentos das massas estão em
fase ou fora de fase.
x1 x 2
Em fase
x1 x 2 Fora de fase
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Resposta Forçada - Neste caso temos:
(((( )))){{{{ }}}} t j
2
1e
F
F t f ω ωω ω
====
t j
2
11 t j
1
21
2
t j 212
t j1 221
e F D
e F D
x
e F D
e F D
x
ω ωω ω ω ωω ω
ω ωω ω ω ωω ω
∆∆∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆∆∆
++++
−−−−====
−−−−++++
====
112 211 D D D D com −−−−====∆∆∆∆
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t j 2
t j11
t j 212
t j1111
e F H e F H x
e F H e F H x
ω ωω ω ω ωω ω ++++====
++++====
cias. transferên de as receptânci as são H e H e
pontuais as receptânci as são H e H : onde
2112
2211
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Olhando a resposta forçada no espaço modal.
(((( )))){{{{ }}}} [[[[ ]]]] (((( )))){{{{ }}}} tqu t x ====
Coordenadas
geométricas
Matriz
modal
Coordenadas
modais
Substituindo esta relação na equação de movimento
e pré multiplicando por [u]t temos:
Diag[ M ] Diag[C ] Diag[ K ]
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]{{{{ }}}} [[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]{{{{ }}}} [[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}} t j t t t t
e Fuqu K uquC uqu M u ω ωω ω ====++++++++¨ .
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Temos o seguinte sistema de equações desacopladas:
[[[[ ]]]]{{{{ }}}} [[[[ ]]]]{{{{ }}}} [[[[ ]]]]{{{{ }}}} {{{{ }}}} t jeQq kq cq m ω ωω ω ====++++++++¨ .
E para o p-ésimo modo de vibrar:
p
p
p m
k====ω ωω ω
p p
p p
m k 2
c====ζ ζζ ζ {{{{ }}}} {{{{ }}}}
0
t
p p p f u
m
1==== µ µµ µ
Frequência
natural do modo p
Fator de amortecimento
modal do modo p Força de excitação
modal do modo p
t j p p p
2 p p p eqq 2q
ω ωω ω
µ µµ µ ω ωω ω ζ ζζ ζ ====++++++++¨ .
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A solução para a amplitude do modo p fica:
ω ωω ω ς ςς ς ω ωω ω ω ωω ω p 2 2 p
p p
2 j
Q
++++−−−−
====
E a solução nas coordenadas geométricas é:
{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}====
====++++==== N
1 r r r 2 211 QuQuQu x
{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}(((( ))))==== ++++−−−−
==== N
1 r
t j
r r 2 2
r r
0 t
r r e 2 j m
f uu x ω ωω ω
ω ωω ω ω ωω ω ς ςς ς ω ωω ω ω ωω ω
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Desta última expressão pode-se obter a matriz de FRF de
receptância do sistema, que é dada pela seguinte equação:
(((( ))))[[[[ ]]]] {{{{ }}}} {{{{ }}}}
(((( ))))==== ++++−−−−
==== N
1 r r r 2 2 r r
t r r
j m
uu H
ω ωω ω ω ωω ω ς ςς ς ω ωω ω ω ωω ω
ω ωω ω
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Para o sistema de 2GL:
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))ω ωω ω ω ωω ω ς ςς ς ω ωω ω ω ωω ω
ω ωω ω ω ωω ω ς ςς ς ω ωω ω ω ωω ω
ω ωω ω
2 2
2 2
2 2
21 21
11
2 2
11
111111
2 j m
uu 2 j m
uu H
++++−−−−++++
++++
++++−−−−
====1° modo
2° modo
(((( ))))(((( )
)))
(((( ))))ω ωω ω ω ωω ω ς ςς ς ω ωω ω ω ωω ω
ω ωω ω ω ωω ω ς ςς ς ω ωω ω ω ωω ω ω ωω ω
2 2
2 2
2 2
22 21
11
2 2
11
121112
j m
uu
2 j m
uu H
++++−−−−++++
++++++++−−−−
==== 1° modo
2° modo
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Bibliografia
1- Shigley, Joseph Edward – Dinâmica das máquinas.
http://www.fisica.ufc.br/tintim6.htm
3- Craig Jr, Roy R. – Structural Dynamics an introductionto computer methods.
4- Varoto, Paulo Sérgio – Notas de aula (Dinâmica das
Máquinas), EESC-USP.