1
Universidade Nove de Julho Uninove
1 semestre de 2015 Curso: Engenharia
Disciplina: Clculo Diferencial e Integral III - Prof: Edson Alves Cardoso
Anotaes de Aula - Integral
Aula 10 Volume de slido de revoluo
Livros: Clculo A e B / Clculo vol. I e II
1. Volume slido de revoluo
Fazendo uma figura plana girar em torno de uma reta no plano, obtemos um slido, que
chamado slido de revoluo. A reta ao redor da qual a regio gira chamada eixo de revoluo.
Por exemplo, fazendo a regio limitada pelas retas 4,,0 xxyy girar em torno do eixo
dos x , o slido obtido um cone de revoluo.
Se o retngulo formado pelas retas 3,0,1,0 yyxx girar em torno do eixo dos y ,
obtemos um cilindro de revoluo.
2
Vamos agorar tratar de como obter o volume do slido S abaixo, gerado pela rotao da funo
)(xfy , no intervalo ],[ ba , em torno do eixo dos x .
Vamos supor que 0)( xf , para todo bax , e que f uma funo derivvel em ba, .
Vamos subdividir o intervalo ba, em n subintervalos por meio dos pontos:
bxxxxxxa nii ...... 1210
Seja jix xx 1 o comprimento do intervalo ],[ 1 ji xx abaixo. O retngulo formado ter
base x e altura )(cf . O volume obtido pela rotao do retngulo de base x e altura
)(cf ser: xcfV .. 2 .
3
O volume total do slido ser dado por:
nn xcfxcfxcfV ........2
2
2
21
2
1
nn xcfxcfxcfV ....... 222121 ou ainda
in
i
i xcfV
.1
2
O que d uma aproximao do volume do slido S .
4
Definio:
- seja 0)( xfy uma funo contnua em ba, . Seja R a regio sob o grfico de f de a
at b . O volume do slido S , gerado pela rotao de R em torno dos eixos dos x definido por:
in
i
ix
xcfVi
.
2
10maxlim
Utilizando a integral definida no intervalo ba, , ficar assim:
b
a
dxxfV2
A partir desta frmula, podemos generalizar para os seguintes casos:
2. A funo )(xfy negativa em alguns pontos de ba, .
Neste caso, a frmula se mantm:
b
a
dxxfV2
5
a) A regio R est entre duas funes )(xf e )(xg no intervalo ba,
Um cilindro oco representa na verdade dois slidos, um com o raio externo e outro com o raio
interno. A imagem representativa para isso uma arruela. Temos ento, de calcular o slido geral e
subtrair a parte que no slida, a concavidade. Como visto anteriormente, o volume total do slido
ser dado por:
nn xcfxcfxcfV ........2
2
2
21
2
1
Sendo que:
ii xcfV ..2
representa o volume de cada cilindro na equao. Tomemos agora, a figura da arruela, onde temos
dois cilindros, o slido e o vazio, como se fosse uma arruela. Ficaramos com o seguinte:
12
21 .. xcfcfV .
A frmula geral fica ento:
b
a
dxxgxfV22
6
b) A regio R gira em torno do eixo dos y
d
c
dyygV2
c) A regio R gira ao redor de uma paralela a um dos eixos coordenados.
c.1.) Se o eixo de revoluo for a reta Ly temos:
b
a
dxLxfV2
7
c.2. )Se o eixo de revoluo for a reta Mx temos:
d
c
dyMygV2
Exemplos:
1. A regio R , limitada pela curva 2
4
1xy , o eixo dos x e as retas 1x e 4x , gira em
torno do eixo dos x . Encontre o volume do slido de revoluo gerado.
8
Dado 2
4
1xy , aplicando a frmula
b
a
dxxfV2
, temos:
4
1
4
1
4
1
54
2
2
5.
1616
1
4
1 xdxxdxxV
5
1023.
165
1
5
4
16
55
V
..80
1023vuV
2. A regio R , limitada pelas curvas xy e 2xy , girada em torno do eixo x . Encontre o
volume do slido resultante.
A interseco entre as curvas xy e 2xy dada por:
xy
9
2xy
0)1(022 xxxxxx
0x e 1x
As funes so xy e 2xy . Temos ento:
1
0
1
0
42222 dxxxVdxxxV
5
0
3
0
5
1
3
1
53
53531
0
53
Vxx
V
..15
2
15
35
5
1
3
1vuV
3. A regio R , limitada pelas curvas xy e 2xy , girada em torno da reta 2y . Encontre o
volume do slido resultante.
Os raios agora so: xr 2:1 e 2
2 2: xr
10
A equao do volume fica, ento:
1
0
1
0
242222 444422 dxxxxxVdxxxV
1
0
1
0
23524
24
35
545
xxxVdxxxxV
2
0.4
3
0.5
5
0
2
1.4
3
1.5
5
1 235235V
30
16
30
605060
2
4
3
5
5
1
V
..15
8vuV
4. Calcular o volume do slido gerado pela rotao, em torno do eixo dos x , da regio limitada pela
parbola 2134
1xy e pela reta 5
2
1 xy .
11
Inicialmente vamos encontrar o intervalo ba, , que so os pontos de interseco da curva
2134
1xy com a reta 5
2
1 xy .
2134
1xy (I)
52
1 xy (II)
Igualando-se (I) e (II), temos:
22 1325452
113
4
1xxxx
0642226204 22 xxxx
Resolvendo-se a equao do 2 grau temos:
64)6).(2.(442
4
84
2.2
644
x
3' x e 1' x
Da, utilizando a frmula:
b
a
dxxgxfV22
, temos:
1
3
22
2 52
113
4
1dxxxV
12
1
3
1
3
24222
2
4
2510
16
26169
2
5
4
13dx
xxxxdx
xxV
1
3
242
16
100404
16
26169dx
xxxxV
1
3
1
3
42242
16
304069
16
10040426169dx
xxxdx
xxxxV
1
3
532
1
3
532
5102069.
1653.30
2.4069.
16
xxxx
xxxxV
5
33.103.203.69
5
11.101.201.69.
16
532
532V
5
243270180207
5
1102069.
16
V
..80
1024
5
24313509001035150100345.
16vuV
5. Calcular o volume do slido gerado pela rotao, em torno do eixo dos x , da regio entre o
grfico da funo senxy e o eixo dos x , de 2
at
2
3.
13
Aplicando a frmula:
b
a
dxxfV2
Temos:
2
3
2
2
3
2
22cos
2
1
2
1dxxdxsenxV
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2.2
1.
2
1.
2
1.2cos
2
1.
2
1
xsenxxdxdxV
2.2.
2
1.
2
1
2.
2
1
2
3.2
4
1
2
3.
2
1 sensenV
sensenV .
4
1
43
4
1
4
3
0.4
1
40.
4
1
4
3 V
..4
4.
44
3 2 vuV
14
6. A regio limitada pela parbola cbica 3xy , pelo eixo dos y e pela reta 8y , gira em
torno do eixo dos y . Determinar o volume do slido de revoluo.
O intervalo ser 0y e 8y
A funo agora fica como: 33 yxxy
e o valor 0 , dado pelo eixo dos y .
dyydyygVd
c
28
0
32
3 53
5
3
58
0
3
5
8
0
3
58
0
3
2
8.5
308
5
3.
5
3.
3
5.
y
ydyyV
..5
962.
5
3 5 vuV
15
7. Determinar o volume do slido gerado pela rotao, em torno da reta 4y , da regio limitada
por x
y1
, 4y e 4x .
b
a
dxLxfV2
O intervalo ser: 4
114
1 x
xxy e 4x
Usando a frmula para reta paralela, quando 4x :
4
4
1
2
4
4
1
2
216
814
1dx
xxdx
xdxLxfV
b
a
4
1.16
4
1ln8
4
1
14.164ln8
4
116ln8
14
4
1
xxx
V
14ln84ln8
4
2554
4
1ln84644ln8
4
1V
16
..4ln164
2554ln84ln8
4
255vuV
8. A regio R , delimitada pela parbola 12
1 2 yx e pelas retas 1x , 2y e 2y ,
gira em torno da reta 1x . Determinar o volume do slido de revoluo obtido.
d
c
dyMygV2
2
2
24
2
2
2
2
2
2
2
2 424
12
2
111
2
1dyyydyydyyV
2
2
352
2
35
43
2
204
3
2
5.
4
1
y
yyy
yyV
60
1792
60
48032096480320968
3
16
20
328
3
16
20
32
V
15
448V
2.4
3
2.2
20
22.4
3
2.2
20
23535
V
17
Livro: Clculo A Captulo 8.7
Nos exerccios abaixo, determinar o volume do slido de revoluo gerado pela rotao, em torno
do eixo dos x , da regio R delimitada pelos grficos das equaes dadas.
1. 0,2,0,1 yxxxy ..3
26: vuR
18
2. 0,2,0,12 yxxxy ..
15
206: vuR
19
3. 32 , xyxy ..
35
2: vuR
20
4. 4
,0,,cos
xxsenxyxy ..2
: vuR
21
Nos exerccios abaixo, determinar o volume do slido de revoluo gerado pela rotao, em torno
do eixo dos y , da regio R delimitada pelos grficos das equaes dadas.
6. 0,2,1,ln xyyxy ..1
2:
2
4 vue
eR
22
7. 23, xyxy ..
10: vuR
23
Nos exerccios abaixo, determinar o volume do slido de revoluo gerado pela rotao das regies
indicadas, ao redor dos eixos dados.
11. xeixoxxyxy :,4,0,0,12 ..2
172: vuR
24
12. yeixoyyxxy :,2,0,0,22 ..
5
8: vuR
25
13. 2:,2,2,1,22 yeixoyxxxy ..
15
152: vuR
26
16. 0,0,9:,4,32
xyxeixosyxy ..64.,.7
024.1.,.
5
304.2: vuvuvuR
27
18. Calcular o volume do slido gerado pela rotao, em torno da reta 2y , da regio limitada
por 2,2,2,12 yxxxy . ..
15
412: vuR
28
Livro: Clculo I Stewart Captulo 6.2
Encontre o volume do slido obtido pela rotao da regio limitada pelas curvas dadas em torno dos
eixos especificados. Esboce a regio, o slido e um disco tpico ou arruela.
1. xeixoyxxy :,0,1,2 . ..
5: vuR
29
2. xeixoxxyeyx :,1,0,0, . ..1
2: 2 vueR
30
5. yeixoxyxxy :,0,4,20,2 ..8: vuR
31
6. yeixoxyyx :,0,2 . :R
32
12. 4:,4,2 yeixoyxy . :R
33
15. 1:,1,2 xeixoxyx . ..
15
16: vuR