1

Universidade Nove de Julho Uninove

1 semestre de 2015 Curso: Engenharia

Disciplina: Clculo Diferencial e Integral III - Prof: Edson Alves Cardoso

Anotaes de Aula - Integral

Aula 10 Volume de slido de revoluo

Livros: Clculo A e B / Clculo vol. I e II

1. Volume slido de revoluo

Fazendo uma figura plana girar em torno de uma reta no plano, obtemos um slido, que

chamado slido de revoluo. A reta ao redor da qual a regio gira chamada eixo de revoluo.

Por exemplo, fazendo a regio limitada pelas retas 4,,0 xxyy girar em torno do eixo

dos x , o slido obtido um cone de revoluo.

Se o retngulo formado pelas retas 3,0,1,0 yyxx girar em torno do eixo dos y ,

obtemos um cilindro de revoluo.

2

Vamos agorar tratar de como obter o volume do slido S abaixo, gerado pela rotao da funo

)(xfy , no intervalo ],[ ba , em torno do eixo dos x .

Vamos supor que 0)( xf , para todo bax , e que f uma funo derivvel em ba, .

Vamos subdividir o intervalo ba, em n subintervalos por meio dos pontos:

bxxxxxxa nii ...... 1210

Seja jix xx 1 o comprimento do intervalo ],[ 1 ji xx abaixo. O retngulo formado ter

base x e altura )(cf . O volume obtido pela rotao do retngulo de base x e altura

)(cf ser: xcfV .. 2 .

3

O volume total do slido ser dado por:

nn xcfxcfxcfV ........2

2

2

21

2

1

nn xcfxcfxcfV ....... 222121 ou ainda

in

i

i xcfV

.1

2

O que d uma aproximao do volume do slido S .

4

Definio:

- seja 0)( xfy uma funo contnua em ba, . Seja R a regio sob o grfico de f de a

at b . O volume do slido S , gerado pela rotao de R em torno dos eixos dos x definido por:

in

i

ix

xcfVi

.

2

10maxlim

Utilizando a integral definida no intervalo ba, , ficar assim:

b

a

dxxfV2

A partir desta frmula, podemos generalizar para os seguintes casos:

2. A funo )(xfy negativa em alguns pontos de ba, .

Neste caso, a frmula se mantm:

b

a

dxxfV2

5

a) A regio R est entre duas funes )(xf e )(xg no intervalo ba,

Um cilindro oco representa na verdade dois slidos, um com o raio externo e outro com o raio

interno. A imagem representativa para isso uma arruela. Temos ento, de calcular o slido geral e

subtrair a parte que no slida, a concavidade. Como visto anteriormente, o volume total do slido

ser dado por:

nn xcfxcfxcfV ........2

2

2

21

2

1

Sendo que:

ii xcfV ..2

representa o volume de cada cilindro na equao. Tomemos agora, a figura da arruela, onde temos

dois cilindros, o slido e o vazio, como se fosse uma arruela. Ficaramos com o seguinte:

12

21 .. xcfcfV .

A frmula geral fica ento:

b

a

dxxgxfV22

6

b) A regio R gira em torno do eixo dos y

d

c

dyygV2

c) A regio R gira ao redor de uma paralela a um dos eixos coordenados.

c.1.) Se o eixo de revoluo for a reta Ly temos:

b

a

dxLxfV2

7

c.2. )Se o eixo de revoluo for a reta Mx temos:

d

c

dyMygV2

Exemplos:

1. A regio R , limitada pela curva 2

4

1xy , o eixo dos x e as retas 1x e 4x , gira em

torno do eixo dos x . Encontre o volume do slido de revoluo gerado.

8

Dado 2

4

1xy , aplicando a frmula

b

a

dxxfV2

, temos:

4

1

4

1

4

1

54

2

2

5.

1616

1

4

1 xdxxdxxV

5

1023.

165

1

5

4

16

55

V

..80

1023vuV

2. A regio R , limitada pelas curvas xy e 2xy , girada em torno do eixo x . Encontre o

volume do slido resultante.

A interseco entre as curvas xy e 2xy dada por:

xy

9

2xy

0)1(022 xxxxxx

0x e 1x

As funes so xy e 2xy . Temos ento:

1

0

1

0

42222 dxxxVdxxxV

5

0

3

0

5

1

3

1

53

53531

0

53

Vxx

V

..15

2

15

35

5

1

3

1vuV

3. A regio R , limitada pelas curvas xy e 2xy , girada em torno da reta 2y . Encontre o

volume do slido resultante.

Os raios agora so: xr 2:1 e 2

2 2: xr

10

A equao do volume fica, ento:

1

0

1

0

242222 444422 dxxxxxVdxxxV

1

0

1

0

23524

24

35

545

xxxVdxxxxV

2

0.4

3

0.5

5

0

2

1.4

3

1.5

5

1 235235V

30

16

30

605060

2

4

3

5

5

1

V

..15

8vuV

4. Calcular o volume do slido gerado pela rotao, em torno do eixo dos x , da regio limitada pela

parbola 2134

1xy e pela reta 5

2

1 xy .

11

Inicialmente vamos encontrar o intervalo ba, , que so os pontos de interseco da curva

2134

1xy com a reta 5

2

1 xy .

2134

1xy (I)

52

1 xy (II)

Igualando-se (I) e (II), temos:

22 1325452

113

4

1xxxx

0642226204 22 xxxx

Resolvendo-se a equao do 2 grau temos:

64)6).(2.(442

4

84

2.2

644

x

3' x e 1' x

Da, utilizando a frmula:

b

a

dxxgxfV22

, temos:

1

3

22

2 52

113

4

1dxxxV

12

1

3

1

3

24222

2

4

2510

16

26169

2

5

4

13dx

xxxxdx

xxV

1

3

242

16

100404

16

26169dx

xxxxV

1

3

1

3

42242

16

304069

16

10040426169dx

xxxdx

xxxxV

1

3

532

1

3

532

5102069.

1653.30

2.4069.

16

xxxx

xxxxV

5

33.103.203.69

5

11.101.201.69.

16

532

532V

5

243270180207

5

1102069.

16

V

..80

1024

5

24313509001035150100345.

16vuV

5. Calcular o volume do slido gerado pela rotao, em torno do eixo dos x , da regio entre o

grfico da funo senxy e o eixo dos x , de 2

at

2

3.

13

Aplicando a frmula:

b

a

dxxfV2

Temos:

2

3

2

2

3

2

22cos

2

1

2

1dxxdxsenxV

2

3

2

2

3

2

2

3

2

2

3

2

2.2

1.

2

1.

2

1.2cos

2

1.

2

1

xsenxxdxdxV

2.2.

2

1.

2

1

2.

2

1

2

3.2

4

1

2

3.

2

1 sensenV

sensenV .

4

1

43

4

1

4

3

0.4

1

40.

4

1

4

3 V

..4

4.

44

3 2 vuV

14

6. A regio limitada pela parbola cbica 3xy , pelo eixo dos y e pela reta 8y , gira em

torno do eixo dos y . Determinar o volume do slido de revoluo.

O intervalo ser 0y e 8y

A funo agora fica como: 33 yxxy

e o valor 0 , dado pelo eixo dos y .

dyydyygVd

c

28

0

32

3 53

5

3

58

0

3

5

8

0

3

58

0

3

2

8.5

308

5

3.

5

3.

3

5.

y

ydyyV

..5

962.

5

3 5 vuV

15

7. Determinar o volume do slido gerado pela rotao, em torno da reta 4y , da regio limitada

por x

y1

, 4y e 4x .

b

a

dxLxfV2

O intervalo ser: 4

114

1 x

xxy e 4x

Usando a frmula para reta paralela, quando 4x :

4

4

1

2

4

4

1

2

216

814

1dx

xxdx

xdxLxfV

b

a

4

1.16

4

1ln8

4

1

14.164ln8

4

116ln8

14

4

1

xxx

V

14ln84ln8

4

2554

4

1ln84644ln8

4

1V

16

..4ln164

2554ln84ln8

4

255vuV

8. A regio R , delimitada pela parbola 12

1 2 yx e pelas retas 1x , 2y e 2y ,

gira em torno da reta 1x . Determinar o volume do slido de revoluo obtido.

d

c

dyMygV2

2

2

24

2

2

2

2

2

2

2

2 424

12

2

111

2

1dyyydyydyyV

2

2

352

2

35

43

2

204

3

2

5.

4

1

y

yyy

yyV

60

1792

60

48032096480320968

3

16

20

328

3

16

20

32

V

15

448V

2.4

3

2.2

20

22.4

3

2.2

20

23535

V

17

Livro: Clculo A Captulo 8.7

Nos exerccios abaixo, determinar o volume do slido de revoluo gerado pela rotao, em torno

do eixo dos x , da regio R delimitada pelos grficos das equaes dadas.

1. 0,2,0,1 yxxxy ..3

26: vuR

18

2. 0,2,0,12 yxxxy ..

15

206: vuR

19

3. 32 , xyxy ..

35

2: vuR

20

4. 4

,0,,cos

xxsenxyxy ..2

: vuR

21

Nos exerccios abaixo, determinar o volume do slido de revoluo gerado pela rotao, em torno

do eixo dos y , da regio R delimitada pelos grficos das equaes dadas.

6. 0,2,1,ln xyyxy ..1

2:

2

4 vue

eR

22

7. 23, xyxy ..

10: vuR

23

Nos exerccios abaixo, determinar o volume do slido de revoluo gerado pela rotao das regies

indicadas, ao redor dos eixos dados.

11. xeixoxxyxy :,4,0,0,12 ..2

172: vuR

24

12. yeixoyyxxy :,2,0,0,22 ..

5

8: vuR

25

13. 2:,2,2,1,22 yeixoyxxxy ..

15

152: vuR

26

16. 0,0,9:,4,32

xyxeixosyxy ..64.,.7

024.1.,.

5

304.2: vuvuvuR

27

18. Calcular o volume do slido gerado pela rotao, em torno da reta 2y , da regio limitada

por 2,2,2,12 yxxxy . ..

15

412: vuR

28

Livro: Clculo I Stewart Captulo 6.2

Encontre o volume do slido obtido pela rotao da regio limitada pelas curvas dadas em torno dos

eixos especificados. Esboce a regio, o slido e um disco tpico ou arruela.

1. xeixoyxxy :,0,1,2 . ..

5: vuR

29

2. xeixoxxyeyx :,1,0,0, . ..1

2: 2 vueR

30

5. yeixoxyxxy :,0,4,20,2 ..8: vuR

31

6. yeixoxyyx :,0,2 . :R

32

12. 4:,4,2 yeixoyxy . :R

33

15. 1:,1,2 xeixoxyx . ..

15

16: vuR