YEISON ANDRÉS ZABALA
Uma formulação por média-variân ia multi-período
para o erro de rastreamento em arteiras de investimento
São Paulo
2016
YEISON ANDRÉS ZABALA
Uma formulação por média-variân ia multi-período
para o erro de rastreamento em arteiras de investimento
Dissertação apresentada à Es ola Polité ni a da
Universidade de São Paulo para obtenção do tí-
tulo de Mestre em Ciên ias.
Área de on entração:
Engenharia de Sistemas
Orientador: Prof. Titular
Oswaldo Luiz do Valle Costa
São Paulo
2016
i
ii
AGRADECIMENTOS
Ao meu orientador, Oswaldo Luiz do Valle Costa, por me dar a oportunidade de ser
seu orientado e me inspirar na área de pesquisa envolvida no presente trabalho. Estou
muito grato também pela sua importante olaboração, total disponibilidade e pa iên ia
no desenvolvimento desta dissertação.
A minha namorada, Lina M. Osório, pelo seu onstante apoio, seus uidados e amor,
já que tem sido a energia diária para minha alma e a fonte de ânimo nos momentos difí-
eis. Dou graças também as suas boas e a ertadas sugestões no referente à es rita deste
trabalho.
A minha família, que são meu motor para nun a desistir dos meus objetivos, mesmo
que sempre esteja imerso na grande saudade onsequente da distân ia que nos separa,
ao mesmo tempo, uma maior feli idade me onsola, produto das boas lembranças que
preveem um emotivo en ontro .
Aos meus amigos, olombianos e brasileiros, por me fazer sentir em asa nos momentos
que urto da sua ompanhia.
Finalmente, agradeço à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior,
CAPES, pela nan iação para o desenvolvimento desta dissertação.
iii
La hispa na e de la obstina ión
Emil Mi hel Cioran.
Resumo
Neste trabalho, deriva-se uma políti a de es olha ótima baseada na análise de média-
variân ia para o Erro de Rastreamento no enário Multi-período ERM. Referindo-se
ao ERM omo a diferença entre o apital a umulado pela arteira es olhida e o a umu-
lado pela arteira de um ben hmark. Assim, foi apli ada a metodologia abordada por
Li-Ng em [24 para a solução analíti a, obtendo-se dessa maneira uma generalização do
aso uniperíodo introduzido por Roll em [38. Em seguida, sele ionou-se um portfólio do
mer ado de ações brasileiro baseado no fator de orrelação, e adotou-se omo ben hmark
o índi e da bolsa de valores do estado de São Paulo IBOVESPA, além da taxa bási a de
juros SELIC omo ativo de renda xa. Dois asos foram abordados: arteira omposta
somente de ativos de ris o, aso I, e arteira om um ativo sem ris o indexado à SELIC
e ativos do aso I ( aso II).
Palavras have: Controle Ótimo. Controle Esto ásti o. Estratégia de Investimento.
Carteira. Multi-período. Ben hmark. Erro de Rastreamento.
iv
Abstra t
In this work, an optimal poli y for portfolio sele tion based on mean-varian e analysis for
the multi-period tra king error ERM was derived. ERM is understood as the dieren e
between the apital raised by the sele ted portfolio and ben hmark portfolio. Thus, the
methodology dis ussed by Li-Ng in [24 for analyti al solution was applied, generalizing
the single period ase introdu ed by Roll in [38. Then, it was sele ted a portfolio from the
Brazilian sto k trading based on the orrelation fa tor, and adopted as ben hmark the in-
dex of the sto k trading of São Paulo State IBOVESPA, and the basi interest rate SELIC
as xed in ome asset. Two ases were dealt: portfolio omposed of risky assets only, ase
I, and portfolio with a risk-free asset indexed to SELIC and assets of the ase I ( ase II).
Keywords: Optimal Control. Sto hasti Control. Investment Poli y. Portfolio.
Multi-period. Ben hmark. Tra king Error.
v
Conteúdo
1 Introdução 1
2 Revisão 3
2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Modelo de Markowitz: Cenário Uniperíodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.1 Todos Os Ativos De Ris o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 1 Ativo sem Ris o e Ativos de Ris o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Enfoque de Média-Variân ia om Erro de Rastreamento Uniperíodo . . . . 8
2.4 Modelo de Markowitz: Cenário Multi-período . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.1 Todos Os Ativos de Ris o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.2 1 Ativo Livre de Ris o e Ativos de Ris o . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Resultados Teóri os 16
3.1 Formulação Do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Formulação do ERM onsiderando t intermediários na função objetivo . . . 19
3.3 Solução dos Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.1 Todos os Ativos de Ris o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.2 1 Ativo sem Ris o e Ativos de Ris o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Simulação dos Resultados 23
4.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Caso I: Ativos de Ris o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.1 Comparação entre MM e ERM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.2 Avaliação do ERM para o PRV (µ) om diversos T . . . . . . . . . 30
4.2.3 Avaliação do ERM para o PRV (χ) om diversos µd e T . . . . . . . 37
4.2.4 Avaliação do ERM para o PREV (ρ) om diversos ρ e T . . . . . . 38
4.3 Caso II: 1 Ativo sem Ris o e Ativos de Ris o . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.1 Avaliação do ERM para o PRE(σ) om diversos T . . . . . . . . . 39
4.3.2 Avaliação ERM para PRE(σ) om diversos ben hmarks . . . . . . 45
4.3.3 Avaliação ERM para PRE(σ) om diversos σd . . . . . . . . . . . . 46
4.3.4 Avaliação ERM para PREV (ρ) om diversos ρ e T . . . . . . . . . 47
5 Con lusão 48
Apéndi e 49
A Fator de Corr. e Retorno Esperado do IBOVESPA 49
Referên ias Bibliográ as 54
vi
Lista de Figuras
2.1 FEG e FER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.1 Comparativa do apital em função do tempo para MM e ERM para o aso
I: PRV (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Expe tativa instantânea do apital para MM e ERM para o aso I: PRV (µ) 29
4.3 Ris o instantâneo do apital para MM e ERM para o aso I: PRV (µ) . . . 30
4.4 ERM em função do tempo para o aso I: PRV (µ) . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5 Expe tativa do ERM no nal de T para o aso I: PRV (µ) . . . . . . . . . 32
4.6 Ris o do ERM no nal do período para o aso I: PRV (µ) . . . . . . . . . . 34
4.7 Expe tativa instantânea do ERM para o aso I: PRV (µ) . . . . . . . . . . 34
4.8 Ris o instantâneo do ERM para o aso I: PRV (µ) . . . . . . . . . . . . . . 35
4.9 Estatísti as do ERM om short-sellings vs sem short-sellings para o aso I:
PRV (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.10 Capital em função do tempo om diferentes µd para o aso I: PRV (µ) . . . 37
4.11 Capital em função do tempo om diferentes fatores de aversão ao ris o para
o aso I: PREV (ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.12 Modelos de portfólios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.13 Capital em função do tempo para o aso II: PRE(σ) . . . . . . . . . . . . 40
4.14 ERM em função do tempo para o aso II: PRE(σ) . . . . . . . . . . . . . 40
4.15 Expe tativa do ERM no nal de T para o aso II: PRE(σ) . . . . . . . . . 41
4.16 Ris o do retorno relativo e do ERM no nal do período para o aso II:
PRE(σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.17 Expe tativa instantânea do ERM para o aso II: PRE(σ) . . . . . . . . . . 43
4.18 Ris o instantâneo do ERM para o aso II: PRE(σ) . . . . . . . . . . . . . 43
4.19 Estatísti as instantâneas do apital para o aso II: PRE(σ) . . . . . . . . 44
4.20 Estatísti as do ERM om short-sellings vs sem short-sellings para o aso
II: PRE(σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.21 Capital em função do tempo para diferentes ben hmarks para o aso II:
PRE(σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.22 Capital em função do tempo om diferentes ben hmarks para o aso II:
PRE(σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.23 Capital em função do tempo om diferentes fatores de aversão ao ris o para
o aso II: PREV (ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
vii
Lista de Tabelas
4.1 Coe iente de orrelação das ações da arteira es olhida . . . . . . . . . . 23
4.2 Retorno esp. estimado e setor e onmi o das ações da arteira es olhida . 24
4.3 Diferenças entre retornos e ientes e os ris os asso iados para o aso I . . . 25
4.4 Média Amostral e desvio padrão do ERM para o aso I: PRV (µ) . . . . . 31
4.5 Média amostral e desvio padrão do ERM para o aso II: PRE(σ) . . . . . 41
A.1 Coe iente de orrelação das ações do IBOVESPA . . . . . . . . . . . . . . 52
A.2 Retorno esperado estimado das ações do IBOVESPA . . . . . . . . . . . . 53
viii
Capítulo 1
Introdução
Por mais de 50 anos, diversas teorias e té ni as de ontrole desenvolvidas por enge-
nheiros de ontrole e matemáti os têm sido apli adas em problemas de e onomia e -
nanças, onde se desta am os sistemas de ontrole om retroação [6, 7, 12, 25, 34, 42,
o ontrole ótimo [16, 35, 36, o ontrole esto ásti o [1, 28, 33, 37, o ontrole adapta-
tivo [20, 41, 48, 49, entre outras. Na análise nan eira dos algoritmos da bolsa de va-
lores, tem-se demostrado que a apli ação do ontrole om retroação é poten ialmente
e az [48, 10, 11, 18, 19, 21, 22, 25, 2931,40.
No aso das nanças, parti ularmente na es olha de ativos numa arteira, os on eitos
de otimização e diversi ação têm sido pilares para o desenvolvimento e entendimento dos
mer ados nan eiros e a tomada de de isões. A teoria de es olha de ativos numa arteira
segue a premissa de que os investidores avaliariam suas arteiras apenas om base no
valor esperado e na variân ia das taxas de retorno num espaço de tempo onsiderado,
tornando-as as úni as variáveis de de isão para a es olha dos ativos. Portanto, o dilema
do investidor tem a ver om o onito entre alta rentabilidade e baixo ris o, que foi tra-
tado pela primeira vez por Markowitz [26, 27, forne endo um método analíti o baseado
numa relação ótima entre a rentabilidade e o ris o. Também abe desta ar o trabalho de
Merton [32, onde se estabele e uma fronteira e iente de investimento para o enfoque de
Markowitz, i.e., se deriva uma relação explí ita entre rentabilidade e ris o, sendo possível
observar a maior rentabilidade esperada para um ris o assumido. Em on lusão, tais tra-
balhos possibilitam ao investidor alo ar riteriosamente os seus re ursos nan eiros para
um período de tempo espe í o ( enário uniperíodo).
Visando estender a formulação de Markowitz, Li-Ng em [24 generalizaram para o ená-
rio multi-período, i.e, obtiveram uma políti a ótima para realo ar os ativos numa arteira
no de orrer de um número onse utivo de períodos de tempo, onsiderando um apital
ini ial xo, tornando-se portanto, num problema de ontrole ótimo. No entanto, na prá-
ti a o gestor nan eiro es olherá a arteira que reduza o máximo possível a volatilidade
de um erro de rastreamento para um retorno esperado estabele ido relativo a um ben h-
mark (índi e do mer ado). Sendo geralmente essa arteira gerida e o ben hmark adotado
ine ientes desde o ponto de vista da análise de média-variân ia de Markowitz [38. Di-
ante desse quadro, o presente trabalho tem por objetivo generalizar analiti amente os
resultados em [38, i.e., derivar uma políti a ótima de es olha de uma arteira baseada na
análise de média-variân ia para o erro de rastreamento no enário multi-período (ERM),
apli ando a metodologia abordada por Li-Ng em [24. Obtém-se assim, resultados teóri-
os que podem ser orroborados por simulação e apli ados ao mer ado de ativos brasileiro.
1
CAPÍTULO 1. INTRODUÇO 2
Este trabalho é organizado omo segue. No apítulo 2 se apresentam trabalhos preli-
minares relevantes da área de pesquisa e alguns outros rela ionados, mostrando o grande
poten ial e apli abilidade das teorias envolvidas na realidade nan eira; introduz-se a
análise de média-variân ia para es olha de ativos numa arteira feita por Markowitz [26
para o aso uniperíodo e a formulação de média-variân ia para o erro de rastreamento
uniperíodo introduzida por [38; além da generalização do modelo de Markowitz ( enário
multi-período) desenvolvida por Li-Ng em [24. A formulação dos problemas analisados,
a omparação om a formulação de Araujo [3 e as soluções analíti as objetivos deste
trabalho, são apresentadas no apitulo 3. No Capítulo 4 apresenta-se a implementação
via simulação dos algoritmos derivados no Capítulo 3 apli ados ao mer ado brasileiro.
Finalmente, o apitulo 5 apresenta a on lusão desta dissertação e possíveis trabalhos
futuros.
Capítulo 2
Revisão
2.1 Preliminares
Como dito anteriormente, a apli ação de on eitos da teoria de ontrole tem sido relevante
na análise nan eira. Por exemplo, B. R. Barmish et al. [6,7 apresentou um ontrolador
que permite pro essar o históri o dos preços de valores (o qual varia no tempo), para
determinar uma estratégia de investimento que regula o montante a ser investido. Malek-
pour et al. [25 tendo em onta o fato de que a noção de drawdown
1
é muito importante
para os operadores de valores e geren iadores de fundos no mer ado nan eiro, faz uma
análise do drawdown quando o ontrole é utilizado na bolsa de valores, num mer ado ide-
alizado om preços governados pelo movimento geométri o browniano. O ontrole ótimo
também tem sido utilizado fortemente neste ampo, e.g., Craven et al. [16 apresenta um
estudo rigoroso sobre interfa es entre matemáti as, programação omputa ional, nanças
e e onomia; in luindo aspe tos omo a es olha ótima do onsumidor, políti as de pla-
nejamento, uso de modelos ótimos de previsão, simulação do mer ado e plani ação do
desenvolvimento.
Com referên ia espe í a à área de pesquisa do presente trabalho, esforços impor-
tantes ontinuam sendo dedi ados om o objetivo de obter estratégias de investimento
tanto para o enário uniperíodo quanto para o multi-período, adotando-se diversas abor-
dagens. Entre as quais abe desta ar: o enfoque de rastreamento de erro (relativo a
um ben hmark) [38, 39; om desigualdades lineares matri iais LMI para robustez no
portfólio [15; onsiderando saltos markovianos nos parâmetros do mer ado [2, 14 no e-
nário multi-período; a generalização para o erro de rastreamento multi-período om saltos
markovianos [3; representando geometri amente a estrutura e onmi a envolvida, onde
simpli a-se a análise matemáti a [23; a abordagem por média-variân ia om ontrole
para o ris o de falên ia [50; entre outras.
Para efeitos de ontextualização e om o objetivo de propor ionar uma base on eitual
para a posterior formulação dos problemas objetivo da presente pesquisa (estabele idos no
Capítulo 3), as seguintes seções do apítulo estão arrumadas da seguinte forma. Na seção
2.2 apresenta-se um detalhamento do Modelo de Markowitz (MM) om dois problemas
derivados a tratar: arteira omposta totalmente por ativos de ris o e arteira om um
ativo sem ris o e ativos de ris o; e as respe tivas fronteiras e ientes derivadas por Merton.
O enfoque do erro de rastreamento de Roll no enário uniperíodo é mostrado na seção
2.3. A generalização do modelo de Markowitz proposta por Li e Ng é dada na seção 2.4.
1
Drawdown é denido omo o grau de de linação de um pi o alto a um baixo para o preço de um
ativo num período de tempo espe í o, geralmente dado em por entagem.
3
CAPÍTULO 2. REVISO 4
2.2 Modelo de Markowitz: Cenário Uniperíodo
Ini ialmente, denem-se as variáveis que serão utilizadas no resto do apítulo. O valor de
um ativo nan eiro i no instante 0 é denotado por Si(0),e o valor desse mesmo ativo um
(+1) período temporal depois será Si(1). Assume-se a taxa de retorno desse ativo, Ri,
omo uma variável aleatória. O vetor de retornos é denido da seguinte maneira
2
:
R =[
R1 . . . Rn
]
′
, (2.1)
sendo,
Ri =Si(1)− Si(0)
Si(0). (2.2)
O retorno esperado é dado por,
r = E(R) =[
r1 . . . rn]
′
, onde ri = E(Ri),
e a matriz de ovariân ia da taxa de retorno é expressa por,
Σ = cov(R) = E((R− r)(R− r)′). (2.3)
O ris o do ativo i é denido pelo desvio-padrão σi de Ri, ou seja,
σi =√
Σii =√
E((Ri − ri)2). (2.4)
Agora, supondo que haja uma arteira omposta por n ativos om valores ini iais,
S(0) =[
S1(0) . . . Sn(0)]
′
,
e seja
H(0) =[
H1(0) . . .Hn(0)]
′
,
uma estratégia de investimento para ada ativo nan eiro, onde a quantidade do ativo ique tem-se na arteira é dada por Hi
3
. Supondo também que dispõe-se de um apital
V (0) para investimento nessa arteira. Isto pode ser es rito da seguinte maneira,
V (0) = H1(0)S1(0) + . . .+Hn(0)Sn(0) = H(0)′S(0). (2.5)
Portanto, a proporção do total investido no ativo i, ωi, a,
ωi =Hi(0)Si(0)
V (0). (2.6)
Consequentemente tem-se que,
ω′e =
n∑
i=1
ωi = 1, sendo ω =[
ω1 . . . ωn
]
′
, e =[
1 . . . 1]
′
.
Denota-se por P a taxa de retorno da arteira ao nal de um período, ou seja,
P =V (1)− V (0)
V (0). (2.7)
2
Por razões didáti as, vetores e matrizes são representados em bold.
3Hi < 0 representa posição a des oberto.
CAPÍTULO 2. REVISO 5
Substituindo (2.5) para um período de tempo depois V (1), (2.2)(2.6) e supondo que a
estratégia é auto-nan iável
4
, tem-se,
P = ω1R1 + . . .+ ωnRn = ω′R. (2.8)
A média de P é dada por,
µ = E(P ) = E(ω′R) = ω′E(R) = ω′r, (2.9)
e a sua variân ia,
σ2 = V ar(P ) = V ar(ω′R) = ω′cov(R)ω = ω′Σω. (2.10)
Tendo em onta as denições anteriores, dois problemas de otimização derivados da for-
mulação de Markowitz serão apresentados om suas respe tivas soluções. No primeiro
aso, onsidera-se que todos os ativos da arteira são de ris o (sub.2.2.1); e no segundo,
assume-se que apenas há 1 ativo sem ris o do total de ativos da arteira (sub.2.2.2).
As demonstrações das proposições e teoremas envolvidos nesta seção são apresentadas
em [26, 27.
2.2.1 Todos Os Ativos De Ris o
Pode-se es rever o problema de otimização omo segue,
Problema 2.1 : PV (µ) Minimiza-se a volatilidade do retorno da arteira, Var(P),
xando a sua expe tativa, E(P), num nível µ, ou seja,
min
ωJ(ω) = ω′Σω sujeito a
ω′r = µ
ω′e = 1
ω ∈ Rn.
No qual é assumido o seguinte:
Hipótese 2.1 Σ é uma matriz denida positiva, i.e., Σ > 0 5
.
Hipótese 2.2 r não é múltiplo de e (r 6= a e)6.
Denem-se as seguintes onstantes:
α = e′Σ−1e, (2.11)
γ = r′Σ−1r, (2.12)
ψ = e′Σ−1r, (2.13)
δ = αγ − ψ2 = (e′Σ−1e)(r′Σ−1r)− (e′Σ−1r)2. (2.14)
As provas dos resultados dados nesta seção podem ser en ontradas em [17.
4
Estratégias auto-nan iáveis são aquelas onde a mudança no valor da arteira é dada pelo ganho ou
perda no investimento, o que impli a que não se tem injeção nova de apital.
5
A Hipótese 2.1 garante que todos os ativos realmente são de ris o.
6
A Hipótese 2.2 assegura uma situação não-degenerada, já que no aso ontrário as restrições só seriam
onsistentes se µ = a.
CAPÍTULO 2. REVISO 6
Proposição 2.1 As onstantes α, γ e δ, denidas em (2.11), (2.12) e (2.14), são posi-
tivas. De maneira mais pre isa tem-se que,
α ∈[ n
λmax(Σ),
n
λmin(Σ)
]
,
γ ∈[ ‖r‖2λmax(Σ)
,‖r‖2
λmin(Σ)
]
,
|ψ | <√n
‖r‖λmin(Σ)
,
onde λmin(Σ) e λmax(Σ) representam os autovalores mínimo e máximo da matriz Σ.
Finalmente, a solução do problema em questão apresenta-se no seguinte teorema.
Teorema 2.1 A solução do problema de otimização de média-variân ia 2.1 é dada por:
ω∗ = hµ + g, (2.15)
em que h e g, não-dependentes de µ, são dados por,
h =α
δΣ−1r − ψ
δΣ−1e, (2.16)
g =γ
δΣ−1e− ψ
δΣ−1r. (2.17)
Proposição 2.2 A urva ris o-retorno asso iada ao Problema 2.1 é dada por:
σ2 = V ar(P ) =α
δ(µ− ψ
α)2 +
1
α. (2.18)
Proposição 2.3 Seja (µg, σ2g) o ponto mínimo global obtido da urva ris o-retorno dado
por (2.18); ωg a omposição da arteira de mínima variân ia global dada pela substituição
de µg e σ2g em (2.15); tem-se que,
µg =ψ
α, (2.19)
σ2g =
1
α, (2.20)
ωg =1
αΣ−1e. (2.21)
Carteiras om µ ≥ µg =ψ
αsão hamadas de arteiras e ientes, pois para um determinado
nível de ris o, obtém-se o maior retorno possível.
CAPÍTULO 2. REVISO 7
2.2.2 1 Ativo sem Ris o e Ativos de Ris o
Apresenta-se o aso em que tem-se só um ativo sem ris o na arteira, no qual as Hipóteses
2.1 e 2.2 ainda são mantidas. Neste aso, tem-se que o somatório dos elementos de ω não
ne essariamente é 1, pois será introduzido um ativo sem ris o om retorno rf . Portanto,o problema de otimização é dado omo segue,
Problema 2.2
min
ω
J(ω) = ω′Σω sujeito a
ω′r + (1− ω′e)rf = µ
ω ∈ Rn
uja solução é apresentada no seguinte teorema (ver [17).
Teorema 2.2 A solução do problema de otimização de média-variân ia prob. 2.2 é dada
por,
ω∗ =(µ− rf)
(r − rfe)′Σ−1(r − rfe)Σ−1(r − rfe). (2.22)
O vetor ω∗em (2.22) representa a omposição ótima dos ativos de ris o enquanto a
proporção a ser investida no ativo sem ris o, ωrf , é dada por,
ωrf = 1− ω∗e. (2.23)
Denota-se µT , σ2T , e ωT (retorno esperado, variân ia e omposição, respe tivamente) omo
os parâmetros de uma arteira PT om 100% ativos de ris o. O que impli a que,
ω′
Te = 1.
Apli ando o Teorema 2.2 para PT obtém-se o seguinte resultado.
Proposição 2.4 A arteira om retorno PT é e iente para as arteiras om 100% de
ativos de ris o, e os seus parâmetros são expressos da seguinte maneira,
µT =γ − rfψ
ψ − rfα, (2.24)
σ2T =
(r − rfe)′Σ−1(r − rfe)
(ψ − rfα)2, (2.25)
ωT =1
ψ − rfαΣ−1(r − rfe). (2.26)
Deseja-se obter a fronteira e iente no plano ris o-retorno para as arteiras om ativos de
ris o e 1 ativo sem ris o. Para tal m, a seguinte hipótese tem que ser formulada.
Hipótese 2.3 Assume-se que rf <ψ
α.
7
Proposição 2.5 Qualquer arteira om retorno P , formada om o ativo sem ris o e
ativos de ris o, om retorno esperado µ, variân ia σ2e sob a hipótese 2.3, pode ser
onstruída omo uma ombinação da arteira om retorno PT e do ativo livre de ris o,
i.e.,
P = (1− σ
σT)rf +
σ
σTPT . (2.27)
7
A Hipótese 2.3 evita indeterminações nas equações (2.24)(2.26) e garante que o onjunto de soluções
ótimas tangen ie positivamente a urva ris o-retorno asso iada aos ativos de ris o.
CAPÍTULO 2. REVISO 8
Tem-se que,
µ = rf +σ
σT(µT − rf), (2.28)
ω = 1− σ
σT. (2.29)
Observação 2.1 A equação obtida em (2.28) orresponde á relação ris o-retorno, onde
tem-se uma dependên ia linear entre µ e σ, diferente ao aso onde todos os ativos da
arteira eram onsiderados de ris o (hipérbole des rita por µ e σ).
2.3 Enfoque de Média-Variân ia om Erro de Rastrea-
mento: Cenário Uniperíodo
Apresenta-se o enfoque abordado por Roll [38, o qual forne e uma metodologia nan eira
para a es olha sub-ótima de uma arteira onsiderando fatores realísti os de grande im-
pa to omo o Ben hmark. Considerando o mesmo universo de ativos do problema PV (µ)(Problema 2.1), ujo vetor de retornos é dado por R em (2.1), vetor de retorno esperado
r e matriz de ovariân ia Σ. Denem-se analogamente os seguintes termos para a arteira
do ben hmark. O apital ini ial do ben hmark é denotado por V B(0) e a sua estratégia
de investimento por HB(0), então similar a (2.5) tem-se que,
V B(0) = HB(0)′S(0). (2.30)
Dene-se a proporção do total investido no ativo i do ben hmark omo,
ωBi =
HBi (0)Si(0)
V B(0), (2.31)
portanto, a omposição da arteira teóri a do ben hmark segue que,
e′ωB = 1, sendo ωB =[
ωB1 . . . ω
Bn
]
′
.
Seja PBa taxa de retorno da arteira do ben hmark ao nal de um período. Mais
pre isamente,
PB =V B(1)− V B(0)
V B(0), (2.32)
supondo também a ondição de auto-nan iabilidade, obtém-se que a taxa de retorno da
arteira do ben hmark é expressa omo,
PB = R′ωB, (2.33)
onde sua média é dada por,
µB = E(PB) = E(R′ωB) = r′ωB, (2.34)
e variân ia,
σ2B = var(PB) = ωB ′
ΣωB. (2.35)
Dene-se ω omo a diferença entre os vetores de omposição, i.e.,
ω = ω − ωB, (2.36)
CAPÍTULO 2. REVISO 9
então o retorno do erro entre as arteiras P ou Erro de Rastreamento será dado por,
P = P − PB = R′ω,
onde sua expe tativa µ será,
µ = E(P ) = r′ω, (2.37)
e volatilidade,
σ2P = V ar(P ) = ω′Σ ω. (2.38)
Tendo as denições anteriores é possível formular o problema de otimização da seguinte
maneira:
Problema 2.3 : PRV (µ) Pré-estabele endo a expe tativa retorno relativo ao ben h-
mark µ, minimiza-se a volatilidade do ER. Mais pre isamente,
min
ω
J(ω) = ω′Σ ω sujeito a
r′ω = µ
e′ω = 0
ω ∈ Rn
Antes de apresentar a solução do problema PRV (µ), será pre iso denir alguns termos
envolvidos nesta. A Figura 2.1 mostra a Fronteira E iente de Média-Variân ia Global
(FEG) ou também hamada de fronteira e iente de Markowitz; e a Fronteira E iente
do Erro de Rastreamento (FER).
0
00
0 0
0
Figura 2.1: FEG e FER.
Fonte: autor.
Na Figura 2.1, ωBe ωB∗
representam a omposição da arteira do ben hmark on-
siderando a FER e a FEG, respe tivamente. A omposição da arteira usando a análise
de média-variân ia do erro de rastreamento para o ben hmark dado é denotada por ωP .
Considerando o enfoque de Markowitz denotam-se as respe tivas omposições por ω∗
P.
ω∗
0representa a omposição de mínima variân ia global, que omo esperado, é o ponto
ríti o da FEG. Por último, tem-se a omposição ωFEG
1, que é a interseção da reta que
atravessa a origem e ω∗
0, om a FEG.
Também será ne essário denir as seguintes onstantes,
κ = r′Σ−1r, τ = r′Σ−1e, ζ = e′Σ−1e.
Para a prova dos resultados a seguir, ver [38.
CAPÍTULO 2. REVISO 10
Teorema 2.3 A solução ótima do problema de rastreamento de erro PRV (µ), é dada
por:
ω∗ =µ
µFEG1 − µ∗
0
ω, (2.39)
e a variân ia do erro de rastreamento é dada por:
σ2∗ = V ar(ω∗) = (µ
µFEG1 − µ∗
0
)2(σ2FEG
1 − σ2∗
0 ), (2.40)
onde,
µ∗
0 = E(P ∗) = E(R′ω∗) =τ
ζ,
σ2∗
0 = var(P ∗) =1
ζ,
µFEG1 = E(P FEG
1 ) = E(R′ωFEG
1) =
κ
τ,
σ2FEG
1 = var(P FEG1 ) =
κ
τ 2.
Tem-se também a seguinte proposição:
Proposição 2.6 A variân ia da arteira ou variân ia total obtida por meio da análise
do erro de rastreamento σ2∗
P , é dada por:
σ2∗
P = σB2
+ σ2∗ + 2σ2∗
0 (µ
µFEG1 − µ∗
0
)(µB
µ∗
0
− 1). (2.41)
Por último, a seguinte proposição é formulada baseada no fato do deslo amento na vari-
ân ia das fronteiras onforme a gura 2.1.
Proposição 2.7 Para todo P , B que pertençam à FER, e todo P ∗, B∗
que pertençam à
FEG, tem-se que:
σ2P − σ2
P ∗ = σ2B − σ2B∗
, (2.42)
onde σP e σP ∗são as variân ias das arteiras geren iadas om igual retorno esperado
sobre a FER e a FEG, respe tivamente. De maneira similar, σBe σB∗
, mas sendo as
variân ias das arteiras do ben hmark.
Em on lusão, a FER orresponde a um deslo amento na variân ia da FEG.
CAPÍTULO 2. REVISO 11
2.4 Modelo de Markowitz: Cenário Multi-período
Nesta seção apresenta-se o problema de média-variân ia multi-período formulado por Li-
Ng [24. Ini ialmente, será ne essário redenir algumas variáveis para o aso vetorial
e outras de forma onveniente para a formulação dos problemas de otimização e suas
soluções. Assim, onsidera-se uma arteira de (n+ 1) ativos de ris o, i.e.,
S(t) =[
S0(t) S(t)]
′
, S(t) =[
S1(t) . . . Sn(t)]
′
.
Denota-se a estratégia de investimento por H(t), que será um vetor perten ente a
Rn+1
, ou seja,
H(t) =[
H0(t) H(t)]
′
, H(t) =[
H1(t) . . .Hn(t)]
′
.
Observação 2.2 Note que H(t) é es olhido no iní io do instante de tempo t, e portantodepende de S(s) para s = 0 até o fe hamento de preços no instante s = t− 1.
O apital no instante t é dado analogamente omo em (2.5), por
V (t) = H(t+ 1)′S(t). (2.43)
Dene-se a taxa de retorno omo segue,
R(t) =[
R0(t) R(t)]
′
, R(t) =[
R1(t) . . .Rn(t)]
′
.
sendo,
Ri(t+ 1) =Si(t+ 1)
Si(t), (2.44)
e R(t) pode ser es rito omo segue,
R(t) = η(t) + Z(t),
onde Z(t) são vetores aleatórios de média nula,
E(Z(t)) = 0, (2.45)
e η(t) são vetores determinísti os que representam a média de R(t). Pode-se es rever
η(t) omo,
η(t) =[
η0(t) η(t)]
′
, η(t) =[
η1(t) . . . ηn(t)]
′
.
As seguintes hipóteses são formuladas:
Hipótese 2.4 Z(t) são vetores aleatórios independentes para t = 0, 1, . . . , T − 1.
Hipótese 2.5 E(R(t)R(t)′) > 0 (denida positiva) para t = 0, 1, . . . , T − 1.
Dene-se agora,
u(t) =[
u0(t) u(t)]
′
, u(t) =[
u1(t) . . . un(t)]
′
,
onde tem-se que,
ui(t) = Hi(t+ 1)Si(t). (2.46)
De (2.43) e (2.46), e sob a ondição de auto-nan iabilidade, obtém-se que,
V (t) = u0(t) + e′u(t). (2.47)
CAPÍTULO 2. REVISO 12
Denindo,
P(t) = R(t)−R0(t)e, (2.48)
e sob a hipótese 2.5, tem-se que:
(
E(R0(t)2) E(R0(t)P(t)′)
E(R0(t)P(t)) E(P(t)P(t)′)
)
=
(
1 0−e I
)
E(R(t)R(t)′)
(
1 −e′
0 I
)
> 0, (2.49)
do anterior pode-se formular a seguinte proposição (veja prova em [24):
Proposição 2.8 Sendo P(t) denido em (2.48) e sob a hipótese 2.5 segue que,
E(P(t)P(t)′) > 0. (2.50)
Denem-se,
φ(t) = E(P(t)P(t)′),
ϕ20(t) = E(R0(t)
2),
ϕ(t) = E(R0(t)P(t)).
e dada a Proposição 2.8 e sob Hipótese 2.5, tem-se do omplemento de Shur apli ado a
(2.49) que,
ϕ20(t)− ϕ(t)′φ(t)−1ϕ(t) > 0.
Denem-se também,
A2(t) = ϕ20(t)− ϕ(t)′φ(t)−1ϕ(t) > 0,
A1(t) = η0(t)− (η(t)− η0(t)e)′φ(t)−1ϕ(t),
B(t) = (η(t)− η0(t)e)′φ(t)−1(η(t)− η0(t)e).
A partir de todas as denições anteriores é possível formular agora os problemas de um
investidor na hora de en ontrar a melhor estratégia de investimento para t = 0, 1, . . . , T−1.Os problemas são dados omo segue:
Problema 2.4 : PE(σ) Pré-estabele endo ou xando um nível de ris o σ, maximiza-
se a expe tativa de retorno do apital nal E(V (T )), om a sua variân ia V ar(V (T ))limitada por σ2
, ou seja,
max
u
JPE(u) = E(V (T )) sujeito a
V ar(V (T )) ≤ σ2
V (t+ 1) = R0(t)V (t) +P(t)′u(t)
V (0) = v0
t = 0, 1, . . . , T − 1.
Problema 2.5 : PV (χ) Minimiza-se a variân ia do apital nal, V ar(V (T )), om a
expe tativa de retorno do apital nal, E(V (T )), maior que um nível pré-determinado χ,i,e.,
min
u JPV (u) = V ar(V (T )) sujeito a
E(V (T )) ≥ χ
V (t+ 1) = R0(t)V (t) +P(t)′u(t)
V (0) = v0
t = 0, 1, . . . , T − 1.
CAPÍTULO 2. REVISO 13
Problema 2.6 : PEV (ρ) Pré-estabele endo um nível de aversão ao ris o
8 ρ, maximiza-
se a relação da expe tativa de retorno do apital nal E(V (T )) om a sua variân ia
V ar(V (T )). Mais pre isamente,
max
u
JPEV (u) = E(V (T ))−ρV ar(V (T )) sujeito a
V (t + 1) = R0(t)V (t) +P(t)′u(t)
V (0) = v0
ρ > 0
t = 0, 1, . . . , T − 1.
As soluções dos problemas PE(σ) e PV (χ) serão dadas em termos do problema
PEV (ρ) nas seguintes subseções. De forma similar à seção 2.2, as soluções serão apresen-
tadas onsiderando 2 asos: arteira omposta totalmente por ativos de ris o, e in luindo
um ativo sem ris o nessa arteira. As provas das proposições e teoremas apresentados
nesta seção, podem ser en ontradas em [24.
2.4.1 Todos Os Ativos de Ris o
Apresenta-se a solução dos problemas men ionados anteriormente, onsiderando uma
arteira omposta de ativos de ris o. Ini ialmente, denem-se algumas variáveis para
t = 0, 1, . . . , T − 1 da seguinte maneira,
Γ2(t) = A2(t)Γ2(t+ 1) > 0, Γ2(T ) = 1 .
Γ1(t) = A1(t)Γ1(t+ 1), Γ1(T ) = 1.
Γ0(t) = Γ0(t + 1) +Γ1(t + 1)2
Γ2(t+ 1)B(t), Γ0(T ) = 0.
C =1
2
T−1∑
t=0
(
Γ1(t + 1)2
Γ2(t+ 1)
)
B(t).
Denem-se também,
a =C2− C2, b =
Γ1(0)Ca
, c = Γ2(0)− ab2 − Γ1(0)2.
Teorema 2.4 As soluções dos problemas de otimização PMV (ρ), PV (χ) e PE(σ) on-siderando todos os ativos de ris o é dada por:
u(t) = −K(t)V (t) +
(
bv0 +C2ρa
)
ϑ(t),
onde
K(t) = φ(t)−1ϕ(t),
ϑ(t) =1
2
(
Γ1(t + 1)
Γ2(t + 1)
)
φ(t)−1(η(t)− η0(t)e),
8ρ é dita de aversão ao ris o por parte do investidor, ou seja, um valor maior de ρ se traduz na
preferên ia de investir om maior segurança (estabele endo ris os pequenos), assumindo assim, uma
rentabilidade mais baixa se for o aso; e quanto menor for ρ, podendo hegar a zero, representa que o
investidor pou o ou nada se afeta om o ris o, querendo assim obter o máxima rentabilidade sem re eio
algum.
CAPÍTULO 2. REVISO 14
om,
ρ =
C2
√
1
a (σ2 − cv20)para o problema PE(σ)
C2
2a (χ− (Γ1(0) + Cb)v0)para o problema PV (χ),
e,
E(V (T )) = (Γ1(0) + Cb)v0 +C2
2ρa,
V ar(V (T )) = cv20 +C2
4ρ2a= cv20 +
(E(V (T ))− (Γ1(0) + Cb)v0)2 aC2
.
Para en ontrar a fronteira e iente é ne essário denir as seguintes variáveis,
P (T ) =V (T )− v0
v0, µ(T ) = E(P (T )), σ2(T ) = V ar(P (T )).
Tem-se que,
µ(T ) =E(V (T ))
v0− 1, (2.51)
σ2(T ) =V ar(V (T ))
v20. (2.52)
Proposição 2.9 A urva no plano ris o-retorno para os problemas de otimização PMV (ρ),PV (χ) e PE(σ) é des rita pela equação:
σ2(T )
c− (µ(T )− (Γ1(0) + Cb− 1))2
(C2c/a)= 1. (2.53)
uja fronteira e iente é dada pelos pontos que satisfazem:
µ(T ) ≥ (Γ1(0) + Cb− 1). (2.54)
2.4.2 1 Ativo Livre de Ris o e Ativos de Ris o
Supõe-se agora que o ativo de referên ia seja livre de ris o. Logo,
R0(t) = η0(t). (2.55)
Obtém-se que,
A1(t) = η0(t)(1− B(t)), A2(t) = η0(t)2(1− B(t)), Γ1(t+ 1)
Γ2(t+ 1)=
T−1∏
k=t+1
1
η0(k),
Γ1(0) =T−1∏
t=0
η0(t)(1− B(t)), Γ2(0) =T−1∏
t=0
η0(t)2(1− B(t)), C =
1
2
(
1−T−1∏
t=0
(1− B(t)))
,
a =1
4
T−1∏
t=0
(1− B(t))(
1−T−1∏
t=0
(1− B(t)))
, b = 2
T−1∏
t=0
η0(t), c = 0,
e,
(bv0 +C2ρa
) = 2v0
T−1∏
t=0
η0(t) +1
ρ∏T−1
t=0 (1− B(t)).
Baseado nos resultados anteriores, tem-se o seguinte teorema.
CAPÍTULO 2. REVISO 15
Teorema 2.5 A solução ótima dos problemas PV (χ), PE(σ)e PMV (ρ) onsiderando 1ativo livre de ris o é dada por:
u∗(t) = −η0(t)E(P(t)P(t)′)−1E(P(t))V (t) +
(
2v0
T−1∏
t=0
η0(t) +1
ρ∏T−1
t=0 (1− B(t))
)
ϑ(t),
onde,
ϑ(t) =1
2
(
T−1∏
k=t+1
1
η0(k)
)
E(P(t)P(t)′)−1E(P(t)),
om ρ podendo assumir os seguintes valores:
ρ =
1
2σ
√
1−∏T−1
t=0 (1− B(t))∏T−1
t=0 (1− B(t))para o problema PE(σ) ,
1−∏T−1t=0 (1− B(t))
2((
χ− v0∏T−1
t=0 η0(t))(
∏T−1t=0 (1− B(t))
))para o problema PV (χ).
Sendo,
E(V (T )) = v0
T−1∏
t=0
η0(t) +1−∏T−1
t=0 (1− B(t))2ρ∏T−1
t=0 (1− B(t)), V ar(V (T )) =
1−∏T−1t=0 (1− B(t))
4ρ2∏T−1
t=0 (1− B(t)),
tem-se a relação,
V ar(V (T )) =
∏T−1t=0 (1− B(t))
1−∏T−1
t=0 (1− B(t))
(
E(V (T ))− v0
T−1∏
t=0
η0(t)
)2
. (2.56)
Arrumando em termos de µ(T ) e σ(T ), i.e., substituindo as Equações (2.51) e (2.52),
obtém-se a seguinte proposição.
Proposição 2.10 A fronteira e iente rela ionada à solução ótima dos problemas PV (χ)e PE(σ), onsiderando 1 ativo livre de ris o é dada pelos pontos da reta no plano ris o-
retorno:
µ(T ) =
√
1−∏T−1
t=0 (1− B(t))√
∏T−1t=0 (1− B(t))
σ(T ) +
(
T−1∏
t=0
η0(t)− 1
)
,
para,
µ(T ) ≥T−1∏
t=0
η0(t)− 1. (2.57)
Observação 2.3 Note que fazendo E(V (T )) = v0
T−1∏
t=0
η0(t) em (3.18) tem-se a situação
de variân ia nula, e onsequentemente, todo o investimento estaria no ativo livre de ris o.
Capítulo 3
Resultados Teóri os
Na seção 2.3 a análise de média-variân ia do erro de rastreamento para o enário unipe-
ríodo foi introduzida. Como apontado em [38, em diversas situações o gestor nan eiro
é avaliado pelo desempenho do retorno total relativo a um ben hmark pré-espe i ado,
geralmente um índi e largamente diversi ado de ativos. Isto foi abordado por Roll [38,
forne endo a es olha ótima de ativos numa arteira baseado na minimização da volati-
lidade de um erro de rastreamento, enquanto produz um retorno esperado positivo om
relação ao índi e de retorno do ben hmark. Neste apítulo, estende-se essa análise para o
enário multi-período, formulando primeiro um problema mais geral, esboçado na seção
3.1. Em seguida, a seção 3.2 apresenta uma omparação entre a formulação de Araujo [3
e a formulação feita na seção 3.1. Na seção 3.3 se apresentam as soluções analíti as dos
problemas objetivo deste trabalho (estabele idos na seção 3.1), onde também obtém-se as
soluções quando um ativo sem ris o é onsiderado na arteira.
3.1 Formulação Do Problema
Antes de formular o problema a ser tratado, será ne essário redenir alguns termos e
ondições relevantes. Ini ialmente, onsidera-se um universo nan eiro de (n+1) ativos deris o sobre um espaço de probabilidade ompleto (Ω,F ,P). O valor dos ativos é des rito
pelo vetor aleatório S (t) =[
S0 . . . Sn
]
′
, tomando valores em Rn+1
om t = 0, . . . , T .Considera-se uma arteira de (n + 1) ativos de ris o, i.e.,
S(t) =[
S0(t) S(t)]
′
, S(t) =[
S1(t) . . . Sn(t)]
′
,
a estratégia de investimento será denotada por H(t),
H(t) =[
H0(t) H(t)]
′
, H(t) =[
H1(t) . . .Hn(t)]
′
.
O apital no instante t é dado por
V (t) = H(t+ 1)′S(t).
A taxa de retorno é denida da seguinte maneira,
R(t) =[
R0(t) R(t)]
′
, R(t) =[
R1(t) . . .Rn(t)]
′
,
sendo,
Ri(t+ 1) =Si(t+ 1)
Si(t),
16
CAPÍTULO 3. RESULTADOS TEÓRICOS 17
similarmente omo no apitulo anterior, R(t) é expresso omo:
R(t) = η(t) + Z(t),
onde Z(t) são vetores aleatórios de média nula,
E(Z(t)) = 0.
e η(t) são vetores determinísti os que representam a média de R(t). Portanto pode-se
es rever η(t) assim:
η(t) =[
η0(t) η(t)]
′
, η(t) =[
η1(t) . . . ηn(t)]
′
.
Formulam-se as seguintes hipóteses:
Hipótese 3.1 Z(t) são vetores aleatórios independentes para t = 0, 1, . . . , T − 1.
Hipótese 3.2 E(R(t)R(t)′) > 0 (denida positiva) para t = 0, 1, . . . , T − 1.
O vetor de ontrole (vetor de investimento) é denido por,
u(t) =[
u0(t) u(t)]
′
, u(t) =[
u1(t) . . . un(t)]
′
,
tendo-se que,
ui(t) = Hi(t+ 1)Si(t).
Sob a ondição de auto-nan iabilidade e depois de algumas manipulações obtém-se que,
V (t) = u0(t) + e′u(t).
Dene-se similarmente P(t) omo,
P(t) = R(t)−R0(t)e,
De maneira similar ao apitulo anterior, a proposição seguinte é obtida (ver prova em [24).
Proposição 3.1 E(P(t)P(t)′) > 0 (matriz denida positiva).
Análogo à seção 2.3, denem-se os seguintes termos do ben hmark para o aso multi-
período
1
. Dene-se ωB(t) omo o vetor orrespondente à omposição da arteira do
ben hmark no tempo t, onde,
ωB(t) =[
ωB0 (t) ω
B(t)]
′
, ωB(t) =[
ωB1 (t) . . . ω
Bn (t)
]
′
,
assume-se que a proporção do total investido no ativo i do ben hmark, ωi i = 0, 1, ..., né xa, e também que:
ωBi ≥ 0,
n∑
i=0
ωBi = 1.
O montante de apital alo ado entre os n + 1 ativos pelo ben hmark será:
uB(t) =[
uB0 (t) uB(t)
]
′
, uB(t) =[
uB1 (t) . . . uBn (t)
]
′
,
1
Variáveis sobres ritas om a letra B orrespondem ao Ben hmark
CAPÍTULO 3. RESULTADOS TEÓRICOS 18
Pode-se es rever ui(t) omo:
uBi (t) = ωBi V
B(t), (3.1)
onde V B(t) representa o valor da arteira do ben hmark no tempo t. Agora, sob a ondiçãode auto-nan iabilidade e (2.44), (2.47), (2.48), obtém-se para o ben hmark a seguinte
relação,
V B(t+ 1) = R0(t)VB(t) +P(t)′uB(t), V B(0) = v0. (3.2)
Dene-se o erro de rastreamento multi-período ERM no tempo t (ganho em apital om
respeito ao ben hmark ou ganho relativo), V (t) da seguinte maneira,
V (t) = V (t)− V B(t). (3.3)
De (2.47) e (3.2) tem-se que,
V (t + 1) = R0(t)V (t) +P(t)′u(t), V (0) = 0, (3.4)
sendo,
u(t) = u(t)− uB(t) = u(t)− V B(t)ωB. (3.5)
Denem-se também,
φ(t) = E(P(t)P(t)′),
ϕ20(t) = E(R0(t)
2),
ϕ(t) = E(R0(t)P(t)),
e,
A2(t) = ϕ20(t)− ϕ(t)′φ(t)−1ϕ(t) > 0,
A1(t) = η0(t)− (η(t)− η0(t)e)′φ(t)−1ϕ(t),
B(t) = (η(t)− η0(t)e)′φ(t)−1(η(t)− η0(t)e).
Tendo as denições anteriores, é possível agora formular os problemas de otimização a ser
resolvidos neste trabalho.
Problema 3.1 : PRE(σ2) Pré-estabele endo um nível máximo da volatilidade do ERM
σ2, maximiza-se a expe tativa do ganho de apital nal relativo ao ben hmark E(V (T )),
ou seja,
max
u
JPRE(u) = E(V (T )) sujeito a
V ar(V (T )) ≤ σ2
V (t + 1) = R0(t)V (t) +P(t)′u(t)
V (0) = 0
t = 0, 1, . . . , T − 1.
Problema 3.2 : PRV (χ) Minimiza-se a volatilidade do ERM nal, V ar(V (T )), om a
expe tativa do ganho de apital nal relativo, E(V (T )) maior que um nível pré-determinado
χ, i.e.,
min
u JPRV (u) = V ar(V (T )) sujeito a
E(V (T )) ≥ χ
V (t + 1) = R0(t)V (t) +P(t)′u(t)
V (0) = 0
t = 0, 1, . . . , T − 1.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS TEÓRICOS 19
Problema 3.3 : PREV (ρ) Pré-estabele endo um nível de aversão ao ris o ρ, maximiza-
se a relação da expe tativa do ganho de apital nal relativo E(V (T )), om a volatilidade
do ERM nal, V ar(V (T )). Mais pre isamente,
max
u
JPREV (u) = E(V (T ))−ρV ar(V (T )) sujeito a
V (t+ 1) = R0(t)V (t) +P(t)′u(t)
V (0) = 0
ρ > 0
t = 0, 1, . . . , T − 1.
As soluções dos problemas anteriores serão apresentadas na seção 3.3.
3.2 Formulação do ERM onsiderando t intermediários
na função objetivo
Seguindo o enfoque de estratégias multi-período, e dado o fato que em diversas situações
o gestor nan eiro é avaliado por seu desempenho om respeito a um índi e do mer ado
(ben hmark) em tempos intermediários, i.e., t ≤ T−1, sendo T o período de planejamento
nan eiro, onde estará sujeito a reportes (nesses t intermediários) de retorno a seus lien-
tes, Araujo generalizou o método de Roll [38 ao enário multi-período, mas maximizando
a soma da ombinação linear da rentabilidade esperada relativa para t ≤ T − 1, ondese assumem saltos markovianos nos parâmetros do mer ado. A formulação do problema
resolvido por Araujo et. al. em [3 é dado da seguinte maneira:
Problema 3.4 : PRME(σ2(t)) Maximiza-se a soma da ombinação linear da expe -
tativa do ERM para os tempos intermediários, assumindo uma volatilidade intermediária
para o ERM, V ar(V (t)), menor que um nível pré-determinado σ2(t). De maneira mais
pre isa,
max
u
JPRMEV (u) =
T−1∑
t=0
α(t)E(V (t)) sujeito a
V ar(V (t)) ≤ σ2(t)
V (t+ 1) = R0(t)V (t) +P(t)′u(t)
V (0) = 0
t = 0, 1, . . . , T − 1.
Sendo α(t) um oe iente de preferên ia estabele ido.
Observação 3.1 Observe que a formulação de Araujo, Problema 3.4, é um problema
mais geral, onde o Problema 3.1 orresponde a um aso parti ular, i.e., é derivado quando
α(T − 1) = 1 e α(t 6= T − 1) = 0.
3.3 Solução dos Problemas
Nesta seção apresentam-se as soluções dos problemas PRE(σ2), PRV (χ) e PREV (ρ)baseadas nos resultados dados em [24. Ini ialmente, onsidera-se que todos os ativos são
de ris o (subseção 3.3.1). As soluções quando é onsiderado 1 ativo sem ris o do total de
ativos são apresentadas na subseção 3.3.2.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS TEÓRICOS 20
3.3.1 Todos os Ativos de Ris o
As variáveis e termos denidos e usados para as soluções dos problemas tratados na seção
2.4 são mantidas e envolvidas também nas soluções respe tivas desta subseção e da se-
guinte (Subseção 3.3.2). As soluções dos problemas em questão são dadas no Teorema 3.1.
Similarmente ao apitulo anterior, será ne essário denir as seguintes variáveis para
t = 0, 1, . . . , T − 1 presentes na solução dos problemas estabele idos omo segue,
Γ2(t) = A2(t)Γ2(t+ 1) > 0, Γ2(T ) = 1.
Γ1(t) = A1(t)Γ1(t+ 1), Γ1(T ) = 1.
C =1
2
T−1∑
t=0
(
Γ1(t + 1)2
Γ2(t + 1)
)
B(t),
a =C2− C2.
As provas dos resultados nesta apítulo são análogas às apresentadas em [24, om dife-
rença na ondição ini ial ver Equação (3.4) e no vetor de ontrole ver Equação (3.5).
Teorema 3.1 A solução dos problemas de otimização PRE(σ), PRV (χ) e PREV (ρ), onsiderando todos os ativos de ris o é dada por:
PRE(σ): u∗(t) = −K(t)(V (t)− V B(t)) +σ√aϑ(t) + V B(t)ωB. (3.6)
PRV (χ): u∗(t) = −K(t)(V (t)− V B(t)) +χ
Cϑ(t) + V B(t)ωB. (3.7)
PRMV (ρ): u∗(t) = −K(t)(V (t)− V B(t)) +C2ρa
ϑ(t) + V B(t)ωB. (3.8)
Onde,
K(t) = φ(t)−1ϕ(t),
ϑ(t) =1
2
(
Γ1(t + 1)
Γ2(t + 1)
)
φ(t)−1(η(t)− η0(t)e),
e,
E(
V (T ))
=C2
2ρa, (3.9)
V ar(
V (T ))
=C2
4ρ2a=E2(
V (T ))
a
C2, (3.10)
sendo,
ρ =
C2σ
√a
para o problema PRE(σ) ,
C2
2aχpara o problema PRV (χ) .
(3.11)
CAPÍTULO 3. RESULTADOS TEÓRICOS 21
Observação 3.2 Observe que fazendo: σ = 0 em (3.6), o que seria a situação de não
assumir ris o para o ERM; ou χ = 0 em (3.7) sem ganho esperado om respeito ao
ben hmark; ou uma aversão ao ris o innita para o ERM (equivalente a assumir ris o
nulo), ou seja, ρ → ∞ em (3.8); obtém-se que a estratégia ótima de investimento para
os três problemas segue a estratégia de investimento do ben hmark, i.e., u∗(t) = uB(t) =V B(t)ωB
.
Fazendo,
P (T ) =V (T )− v0
v0, PB(T ) =
V B(T )− vB0vB0
, P (T ) = P (T )− PB(T ).
Obtém-se,
µ(T ) = E(P (T )) =E(V (T ))
v0, (3.12)
σ2P (T ) = V ar(P (T )) =
V ar(V (T ))
v20. (3.13)
E a seguinte proposição é obtida.
Proposição 3.2 A urva no plano ris o-retorno para os problemas de otimização PRE(σ),PRV (χ) e PREV (ρ) onde onsidera-se todos os ativos de ris o, é des rita pela equação
(ver [24 om portfólio om ondição ini ial em 0 e a substituição das Equações (3.12) e
(3.13)):
µ(T ) =C√aσP (T ). (3.14)
3.3.2 1 Ativo sem Ris o e Ativos de Ris o
Nesta seção apresentam-se as soluções dos problemas estabele idos onsiderando 1 ativo
sem ris o e n ativos de ris o, mostradas no Teorema 3.2. Supõe-se agora que o ativo de
referên ia seja livre de ris o. Logo,
R0(t) = η0(t). (3.15)
Obtém-se que,
A1(t) = η0(t)(1− B(t)), A2(t) = η0(t)2(1− B(t)), Γ1(t+ 1)
Γ2(t+ 1)=
T−1∏
k=t+1
1
η0(k),
Γ1(0) =
T−1∏
t=0
η0(t)(1− B(t)), Γ2(0) =
T−1∏
t=0
η0(t)2(1− B(t)), C =
1
2
(
1−T−1∏
t=0
(1− B(t)))
,
a =1
4
T−1∏
t=0
(1− B(t))(
1−T−1∏
t=0
(1− B(t)))
, b = 2
T−1∏
t=0
η0(t), c = 0,
e,
C2ρa
=1
ρ∏T−1
t=0 (1− B(t)).
CAPÍTULO 3. RESULTADOS TEÓRICOS 22
Teorema 3.2 Considerando 1 ativo livre de ris o (ativo de referên ia) e assumindo-o
omo em (3.15), tem-se que a solução ótima dos problemas em questão, é dada da se-
guinte maneira (ver [24 om portfólio om ondição ini ial em 0).
Para o problema PRE(σ):
u∗(t) = −η0(t)φ(t)−1(η(t)−η0(t)e)(V (t)−V B(t))+2σ
√
∏T−1t=0 (1− B(t))
1−∏T−1
t=0 (1− B(t))ϑ(t)+V B(t)ωB.
O ontrole ótimo do problema PRV (χ) será:
u∗(t) = −η0(t)φ(t)−1(η(t)−η0(t)e)(V (t)−V B(t))+2χ1
1−∏T−1
t=0 (1− B(t))ϑ(t)+V B(t)ωB.
PREV (ρ) tem omo solução ótima:
u∗(t) = −η0(t)φ(t)−1E(P(t))(V (t)− V B(t)) +
(
1
ρ∏T−1
t=0 (1− B(t))
)
ϑ(t)+ V B(t)ωB.
Onde,
ϑ(t) =1
2
(
T−1∏
k=t+1
1
η0(k)
)
E(P(t)P(t)′)−1E(P(t)),
e,
E(
V (T ))
=1−∏T−1
t=0 (1− B(t))2ρ∏T−1
t=0 (1− B(t)), (3.16)
V ar(
V (T ))
=1−
∏T−1t=0 (1− B(t))
4ρ2∏T−1
t=0 (1− B(t)), (3.17)
sendo,
ρ =
1
2σ
√
1−∏T−1
t=0 (1− B(t))∏T−1
t=0 (1− B(t))para o problema PRE(σ) ,
1−∏T−1t=0 (1− B(t))
2χ∏T−1
t=0 (1− B(t))para o problema PRV (χ).
tem-se a relação,
V ar(
V (T ))
=
∏T−1t=0 (1− B(t))
1−∏T−1t=0 (1− B(t))
E2(
V (T ))
. (3.18)
Observação 3.3 Note que a Observação 3.2 também apli a para as estratégias ótimas
dadas pelas equações do Teorema 3.2.
Obtém-se também a seguinte proposição.
Proposição 3.3 A urva no plano ris o-retorno para os problemas de otimização PRE(σ),PRV (χ) e PREV (ρ) onde onsidera-se 1 ativo livre de ris o do total de ativos, é des-
rita pela equação (ver [24 om portfólio om ondição ini ial em 0 e a substituição das
Equações (3.12) e (3.13)):
µ(T ) =
√
1−∏T−1t=0 (1− B(t))
∏T−1t=0 (1− B(t))
σP (T ).
Os resultados teóri os obtidos neste apítulo são apli ados e orroborados para o aso
espe í o da bolsa de valores do estado de São Paulo BMF&BOVESPA (ver apítulo 4).
Capítulo 4
Simulação dos Resultados
4.1 Preliminares
Para efeitos de simulação, es olheu-se o índi e da bolsa de valores do estado de São Paulo
IBOVESPA omo ben hmark de renda variável, dado que é o prin ipal índi e do mer ado
a ionário brasileiro, além de ter series históri as ompletas da omposição das arteiras
teóri as disponíveis. Em seguida, oletaram-se as ações que sempre tiveram parti ipação
no índi e desde junho/2010 até o presente real (novembro/2015) [9.
Supõe-se um presente tí io em setembro/2011 e avaliam-se os algoritmos obtidos dos
resultados teóri os num futuro tí io (até o presente real). Com base no anterior, se adota
omo dados históri os os preços ompreendidos entre junho/2010 e setembro/2011 para
a omposição do portfólio (es olha de ações pro essando essa informação) que deseja-se
otimizar. No apêndi e A se mostra o oe iente de orrelação dos retornos e os retornos
esperados estimados das ações que desde 2010 até o presente tiveram parti ipação no
IBOVESPA, obtidos a partir dos preços históri os disponibilizados em Yahoo! Finan e e
Google Finan e [44,45. Os preços são ajustados om respeito aos desdobramentos (splits)
ou grupamentos (inplits) de ações, tendo assim uma uniformidade na evolução temporal,
i.e., sem alteração da volatilidade e do retorno real sem saltos abruptos. Para a om-
posição do portfólio leva-se em onsideração o oe iente de orrelação dos retornos e o
retorno esperado estimado entre as ações argumento té ni o e o setor e onmi o ao
qual perten iam argumento fundamentalista, para assim obter uma arteira diversi-
ada. Na tabela 4.1 apresenta-se a arteira sele ionada om os seus orrespondentes
oe ientes de orrelação. O setor e onmi o rela ionado e retorno esperado estimado de
ada ação é mostrado na tabela 4.2.
Ação BRFS3 BRKM5 BVMF3 CCRO3 CIEL3 CMIG4 EMBR3 VALE3
BRFS3 1,00 -0,09 -0,27 0,44 0,11 -0,31 0,07 0,20
BRKM5 -0,09 1,00 0,59 0,33 -0,42 0,26 -0,16 0,20
BVMF3 -0,27 0,59 1,00 0,52 -0,28 0,35 0,02 -0,02
CCRO3 0,44 0,33 0,52 1,00 0,08 -0,02 0,35 0,41
CIEL3 0,11 -0,42 -0,28 0,08 1,00 -0,17 0,02 -0,07
CMIG4 -0,31 0,26 0,35 -0,02 -0,17 1,00 -0,18 -0,16
EMBR3 0,07 -0,16 0,02 0,35 0,02 -0,18 1,00 0,60
VALE3 0,20 0,20 -0,02 0,41 -0,07 -0,16 0,60 1,00
Tabela 4.1: Coe iente de orrelação das ações da arteira es olhida (jun/2010-set/2011).Fonte: autor.
23
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 24
Ação ri% Setor
BRFS3 2,23 Cons N Bási o / Alimentos Pro essados
BRKM5 1,61 Mats Bási os / Quími os
BVMF3 -1,53 Finan eiro e Outros/Serviços Finan eiros Diversos
CCRO3 1,87 Const e Transp / Transporte
CIEL3 0,82 Finan eiro e Outros/Serviços Finan eiros Diversos
CMIG4 0,58 Energia Elétri a
EMBR3 2,02 Bens Indls / Mat Transporte
VALE3 0,0 Mats Bási os / Mineração
Tabela 4.2: Retorno esperado estimado e setor e onmi o das ações da arteira es olhida
(jun/2010-set/2011).Fonte: autor.
Uma vez obtida a arteira, pode-se ontinuar om a apli ação dos algoritmos derivados
no apitulo anterior. Será suposto isenção dos ustos de transações impli ados, tais omo
as taxas de orretagem, emolumentos (operações de trading), ustódia, administração
(para renda xa) e a alíquota de imposto de renda IR. Também supõe-se que as ações
não geram dividendos.
Abordam-se dois asos para a omposição da arteira objetivo:
• Caso I: Todos os ativos de ris o grupo de ações das tabelas 4.1 e 4.2.
• Caso II: 1 ativo sem ris o -ativo de renda xa indexado- e ativos de ris o do item
anterior.
As series históri as dos preços das ações, assim omo as taxas de retorno do ativo
sem ris o foram tomadas mensalmente, ou seja, estabele e-se a unidade de tempo omo
1 mês. Dado também que a arteira teóri a do Ibovespa é divulgada por quadrimestres,
sendo esses janeiro-abril, maio-agosto, setembro-dezembro; avaliam-se os algoritmos para
os eventos T = 1, 2, 3, 4 nos dois asos demar ados, onde a ada evento multi-período se
repete o número de vezes ne essário até hegar ao tempo nal (nov/2015). Nos grá os aseguir, o mês 0 tempo ini ial orresponde a setembro/2011 e o mês 50 a novembro/2015.Nos dois asos, é feita uma omparativa do rendimento do método do Erro de Rastrea-
mento Multi-período (ERM) para os diversos T ; também ompara-se o rendimento do
ERM om o resultante da apli ação do modelo de Markowitz Multi-período (MM) in-
troduzido no apítulo anterior. Avaliam-se primeiro os algoritmos derivados da solução
dos problemas PV (χ) e PRV (χ) para o aso I ; sendo omparados depois os algoritmos
obtidos da solução dos problemas PE(σ) e PRE(σ) para o aso II. Na implementação
dos algoritmos, todas as variáveis e quantidades variam no tempo om ex eção do apital
ini ial v0 e os parâmetros de performan e desejados (rentabilidade mensal esperada, ris o
mensal esperado).
Para evitar posições de vendas a des oberto (quantidades de apital negativas a ser
investidas) ou short-sellings, implementou-se uma orreção no vetor de proporções ω(t)ω(t) =
[
ω0(t) . . . ωn(t)]
, da seguinte maneira. Zerou-se a omponente i onde ωi(t)fosse negativo e normalizou-se o o vetor ω(t) alterado,
ˆω(t). Dado que o somatório
dos elementos do vetor de proporções tem que ser obrigatoriamente 11.Impondo dessa
1
Trabalha-se om o vetor ω(t) alterado, mas se adota a mesma notação e não
ˆω(t), am de não
a res entar mais variáveis.
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 25
maneira um apital ou rentabilidade que não pode ser ultrapassado saturação, já que
está limitado ao aso em que todo o montante estivesse alo ado no ativo de maior retorno
( orroborado mais adiante neste apítulo).
4.2 Caso I: Ativos de Ris o
Para a otimização da arteira do aso I estabele e-se uma janela históri a móvel de 1 ano(12 amostras) para a estimação do retorno esperado, dado pela seguinte expressão:
ri(t) =1
12
t∑
k=t−11
Ri(k), i = 1, 2, . . . , 8. (4.1)
Sendo,
Ri(t) =Si(t)
Si(t− 1)− 1 = Ri(t)− 1,
onde no tempo t o preço do ativo i é onhe ido, i.e., no fe hamento do pregão; e portanto,
Ri(t) é al ulável.
Para estabele er o parâmetro desejado de performan e mensal µd, al ula-se o retorno
ríti o usando a análise de Markowitz uniperíodo em t = 0 (eq. 2.19) para garantir a
es olha de um ponto da fronteira e iente ini ial, ou seja,
µd ≥ µg ≈ 0.01,
µd ≥ 0.01.
Na tabela 4.3, mostram-se algumas diferenças entre retornos da fronteira e iente om o
seu ris o asso iado, obtido da raiz quadrada da eq. (2.18).
µef σ(≈) µef − σ
0.01 0.0200 -0.0010
0.02 0.0242 -0.0042
0.03 0.0268 0.0032
0.04 0.0273 0.0127
Tabela 4.3: Diferenças entre retornos e ientes e os ris os asso iados.
Fonte: autor.
Baseando-se na tabela 4.3, observa-se que o valor mais onveniente para µd é 0.04,já que a diferença entre µef − σ é positiva e muito maior do que a orrespondente a
µef = 0.03; om um pequeno aumento em ris o. Não são onsiderados valores maiores
para µef já que poderia representar um perl de investimento arrojado demais para um
futuro que é imprevisível.
Considerando a taxa bási a de juros SELIC (em set/2011) que é 11.90% [46, ou a
taxa de depósito interban ário DI-Cetip (em set/2011) sendo 11.89% [43, que em termos
mensais seriam:
µSELIC = 12√1 + 0.1190− 1 ≈ 0.0094,
µDI ≈ 0.0094,
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 26
on lui-se que a rentabilidade mensal es olhida pare e ser um bom parâmetro de per-
forman e dado que está bem a ima do que renderia um ativo de renda xa indexado a
alguma dessas taxas.
4.2.1 Comparação entre MM e ERM
Nesta subseção são omparados os métodos de MM e ERM, para o qual será pre iso obter
uma ompatibilidade nos respe tivos parâmetros de performan e, χ e χ, feito da seguintemaneira.
Uma vez obtido µd, que pode ser expresso da seguinte forma,
µd = E(P ),
onde P representa o retorno da arteira de um período de tempo om respeito ao imedia-
tamente anterior, e denota-se µ1, µ2, µ3 e µ4 os retornos esperados desejados para enário
multi-período quando T = 1, 2, 3 e 4, respe tivamente. E ainda, sejam χ1, χ2, χ3 e χ4 as
expe tativas dos apitais nais desejados, lembrando que χ é o parâmetro de performan e
desejado para o problema PV (χ). Deseja-se obter uma expressão para o parâmetro χbaseada no parâmetro χ equivalente para os diversos períodos. Para tal, tem-se que,
χ1 = E(
V (1))
= E(
(
1 + P (0))
V (0))
=(
1 + E(
P (0))
)
v0
= (1 + µd)v0.
Para χ2 tem-se que,
χ2 = E(
V (2))
= E(
(
1 + P (2))
V (1))
= E(
(
1 + P (0))(
1 + P (1))
)
v0,
supondo que P (k − 1) e P (k) são independentes para todo k, k = 1, 2, ..., T . Então,
χ2 =(
1 + E(
P (0))
)(
1 + E(
P (1))
)
v0
= (1 + µd)2v0.
Similarmente para χ3 e χ4, obtém-se:
χ3 = (1 + µd)3v0
χ4 = (1 + µd)4v0.
Denota-se por µd a rentabilidade relativa mensal desejada. Mais pre isamente,
µd = E(P − PB)
= E(P )−E(PB)
= E(P )− µB.
Para uma omparação homogênea om o algoritmo de Markowitz Multi-período, i.e., ter
o mesmo parâmetro de performan e,
µd = µd − µB,
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 27
mas omo PBé variante no tempo, então µB
também será, i.e.,
µd(t) = µd − µB(t), (4.2)
sendo,
µB(t) = E(
ωB(t)′(
R(t)−[
1 e′]
′)
)
= ωB(t)′η(t)− 1.
Seja χk a expe tativa do apital nal desejado para T = k. Tem-se,
χk = E(
V (T = k))
= E(
v0(
1 + P (k))
)
− vB0
= v0E(
k′=k−1∏
k′=0
(
1 + P (k′))
)
− vB0 ,
assumindo independên ia entre P (k′) e P (k′ + 1) para k′ = 0, 1, ..., k − 1, obtém-se,
χk = v0
k′=k−1∏
k′=0
(
1 + E(
P (k′))
)
− vB0 (4.3)
= v0
k′=k−1∏
k′=0
(
1 + µ(k′))
− vB0 . (4.4)
Por razões de simpli idade, supõe-se que:
k′=k−1∏
k′=0
(
1 + µ(k′))
≈(
1 + µ(i))k, i = 0, 1, ..., k − 1. (4.5)
Substituindo (4.5) em (4.4), nalmente obtém-se χk(t) para os períodos estabele idos. Demaneira mais pre isa,
χ1(t) =(
1 + µd(t))
v0 − vB0 ,
χ2(t) =(
1 + µd(t))2v0 − vB0 ,
χ3(t) =(
1 + µd(t))3v0 − vB0 ,
χ4(t) =(
1 + µd(t))4v0 − vB0 .
Em todos os grá os a seguir referidos aos problemas PV (χ) e PRV (χ), adotam-se os
parâmetros de performan e desejados χ e χ para o T orrespondente, respe tivamente.
Na Figura 4.1 ompara-se a evolução temporal do apital apli ando o método de MM e
ERM. Tem-se que V (t)SELIC representa o apital no aso em que se alo a todo o montante
num ativo de renda xa indexado à taxa SELIC
2
; V B(t) é o apital do Ben hmark, obtido
da normalização da arteira objetivo sob a omposição do IBOVESPA; e V (t)IBOV é a
evolução do IBOVESPA normalizado para t = 0.
2
Títulos do governo federal indexados à taxa SELIC são os títulos mais seguros do país, i.e., são os
ativos de menor ris o [47.
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 28
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1 T=2 T=3 T=4V(t)
SELIC
(a)
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1 T=2 T=3 T=4
VB(t) V(t)
IBOV
(b)
Figura 4.1: Comparativa do apital em função do tempo entre MM (a) e ERM (b).
Fonte: autor.
Observa-se na Figura 4.1(a) que a estratégia de investimento de MM T = 1, 2, 3, 4 onsegue bater o investimento em renda xa para o tempo nal (t = 50), sendo a diferençaem rentabilidade 11% a mais para T = 4. Na gura 4.1(b) mostra-se que a estratégia
de ERM (estratégia proposta) onsegue obter uma boa diferença em rentabilidade om
respeito ao ben hmark (45% a mais para T = 2). Per ebe-se que V (t) mantem erta
orrelação om V B(t) para todos os períodos T = 1, 2, 3, 4 omo era de se esperar,
mas não tem muita diferença no de orrer do tempo entre os respe tivos V (t). Também
se observa que V B(t) tem uma boa orrelação om IBOVESPA, pois o oe iente de
orrelação ρ, é,ρ(V B(t), V (t)IBOV ) ≈ 43%.
Para os dois métodos, MM e ERM, V (t) apresenta grande similaridade na forma para
todos os períodos, mas MM tem um melhor desempenho em rentabilidade do que ERM.
Uma das razões é o momento de rise da e onomia brasileira dos últimos anos que on-
sequentemente é reetido no IBOVESPA, tendo dessa maneira um ben hmark de baixo
performan e.
Na gura seguinte apresenta-se a expe tativa instantânea do apital usando os métodos
de MM e ERM, sendo al ulada para ada apital respe tivo da seguinte maneira ,
V (t+ 1) = V (t)ω(t)′R(t), (4.6)
E(
V (t+ 1))
= V (t)ω(t)′η(t). (4.7)
Pode-se ver na Figura 4.2 que as urvas de ERM são similares entre todos os períodos
avaliados, e também similares às de MM para os períodos respe tivos. Con lui-se que
ERM em termos da expe tativa instantânea do apital não exibe nenhuma vantagem ou
desvantagem om respeito a MM.
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 29
0 10 20 30 40 500
0.5
1
1.5
2
t (meses)
E(
V(t
))
T=1T=2T=3T=4
(a)
0 10 20 30 40 500
0.5
1
1.5
2
t (meses)
E(
V(t
))
T=1T=2T=3T=4
(b)
Figura 4.2: Expe tativa instantânea do apital para MM (a) e ERM (b).
Fonte: autor.
O ris o instantâneo para o apital foi al ulado apli ando o operador variân ia na
Equação (4.6) e extraindo raiz quadrada, ou seja:
V ar(
V (t + 1))
= V (t)2ω(t)′Σ(t)ω(t), (4.8)
σ(
V (t+ 1))
= V (t)√
ω(t)′Σ(t)ω(t), (4.9)
onde,
Σ(t) = cov(
R(t), R(t)′)
.
A implementação da Equação (4.9) para ada método é mostrada na Figura 4.3, onde se
observa que o ERM exibe um maior ris o do que o MM, orroborando de maneira intuitiva
o resultado de deslo amento na variân ia dado em [38 para o enário uniperíodo, o que
leva a inferir que tem alguma equivalên ia no enário multi-período.
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 30
0 10 20 30 40 500
2
4
6
8
10
12
t (meses)
σ[V
(t)]
T=1T=2
(a)
0 10 20 30 40 500
2
4
6
8
10
12
t (meses)
σ[V
(t)]
T=1T=2
(b)
0 10 20 30 40 500
2
4
6
8
10
12
t (meses)
σ[V
(t)]
T=3T=4
( )
0 10 20 30 40 500
2
4
6
8
10
12
t (meses)
σ[V
(t)]
T=3T=4
(d)
Figura 4.3: Ris o instantâneo do apital para: MM (a) e ( ); e ERM (b) e (d).
Fonte: autor.
4.2.2 Avaliação do ERM para o PRV (µ) om diversos T
Nesta subseção avalia-se isoladamente o ERM. A Figura 4.4 apresenta o ERM para os
períodos estabele idos
3
.
0 10 20 30 40 50
−20
−10
0
10
20
t (meses)
V(t
)%
T=1T=2
(a)
0 10 20 30 40 50
−20
−10
0
10
20
t (meses)
V(t
)%
T=3T=4
(b)
Figura 4.4: ERM em função do tempo para: T = 1, 2 (a); e T = 3, 4 (b).
Fonte: autor.
3
As quantidades dadas em por entagem são relativas aos seus valores para t = 0
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 31
Cabe desta ar que o apital do ben hmark (V B(t)) usado para al ular o ERM não é
o mostrado na gura 4.1(b), já que nesse aso não teria-se um ganho a umulativo senão
onstante, o que produziria um V (t) onstantemente distan iado de V B(t). Por tal
motivo, ini ializou-se ada vB0 om o apital nal do período anterior (similarmente para
v0), i.e.,V B(t = kT ) = vB0 = V (T − 1), k = 1, 2, ..., kmT ,
onde,
50
T= kmT + d, kmT ∈ Z
+para T = 1, 2, 3, 4.
Lembrando que,
V (t = 0) = V B(t = 0) = 1.
Observa-se na Figura 4.4 que o ERM não é sempre positivo, o que quer dizer que não
onseguiu-se obter ganho do ben hmark para todo t. Mesmo assim, o ganho a umulativo
foi positivo (ver gura 4.1), o que impli a que a média do ERM foi positiva. Também
observa-se que a volatilidade do ERM aumenta onforme T aumenta, a qual é uma ausa
da orreção feita para as short-sellings e não do método ( omo se per eberá mais para
frente). Para orroborar o dito anteriormente, apresenta-se a Tabela 4.4, a qual mostra a
média amostral do ERM (V (t)) e o seu desvio padrão σ(
V (t))
para os diversos períodos.
T 1 2 3 4
V (t) 0.0086 0.0151 0.0124 0.0231
σ(
V (t))
0.0454 0.0553 0.0751 0.0776
Tabela 4.4: Média Amostral e desvio padrão do ERM.
Fonte: autor.
Na Figura 4.5(a) é apresentada a expe tativa do ERM para o nal de ada período,
E(
V (t = k(T − 1)))
. Note que E(
V (t = k(T − 1)))
deveria se manter onstante para
(k−1)(T−1) ≤ t ≤ k(T−1), mas essa quantidade foi re- al ulada dado que as estatísti as
dos retornos variam para ada t. Para ns de omparação entre os diferentes períodos
(ver 4.5(b)), foi feita uma equivalên ia da seguinte maneira:
P (T ) = P (T )− PB(T )
=V (T )− v0
v0− V B(T )− vB0
vB0, sendo vB0 = v0,
então tem-se,
P (T ) =1
v0
(
V (T )− V B(T )− v0 + v0
)
=V (T )
v0,
e por onsequên ia,
E(
P (T ))
=E(
V (T ))
v0.
Por m, para a equivalên ia om T = 4 se faz:
E(
V (T ))
eq= v0
(
1 + E(
P (T ))
)4
T − v0, para T = 1, 2, 3, 4. (4.10)
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 32
A Figura 4.5(b) mostra a expe tativa do ERM ao nal do período om a apli ação da
Eq.(4.10) note que E(
V (T ))
para T = 4 não teve alterações. Portanto, on lui-se que
E(
V (T ))
não apresenta grandes mudanças ou ganhos em relação ao período avaliado.
0 10 20 30 40 500
5
10
15
20
25
30
35
t (meses)
E(
V(T
))
%
T=1T=2T=3T=4
(a)
0 10 20 30 40 500
5
10
15
20
25
30
35
t (meses)
E(
V(T
))
%
T=1T=2T=3T=4
(b)
Figura 4.5: Expe tativa do ERM no nal de T (a); Expe tativa do ERM equivalente em
T=4 (b).
Fonte: autor.
O ris o do ERM ao nal de T é apresentado na Figura 4.6. Como feito anteriormente,
também foi re- al ulado em ada instante de tempo. É importante desta ar que os ris os
para ada T são a umulativos, e.g., para T = 4 orresponde o ris o a umulado de 4 meses,
sendo in omparável om T = 1 (um mês). Por tal razão, de maneira similar omo feito em
(4.10) para a equivalên ia da expe tativa em T = 4, é feito para o ris o (ris o equivalenteem T = 4). Para en ontrar uma expressão para a equivalên ia em T = 4 en ontra-se uma
expressão para σ(
P (2))
e logo se generaliza para σ(
P (k))
, ou seja,
1 + P (2) =(
1 + P (0))(
1 + P (1))
,
sendo,
X2 = 1 + P (2), X1 = 1 + P (1), X0 = 1 + P (0),
tem-se,
V ar(X2) = V ar(X0X1)
= E(
(X0X1)2)
− E2(X0X1), om Xk ⊥ Xk−1, k ≥ 1
= E(X20 )E(X
21 )− E2(X0)E
2(X1)
=(
V ar(X0) + E2(X0))(
V ar(X1) + E2(X1))
−E2(X0)E2(X1)
= V ar(X0)V ar(X1) + E2(X0)V ar(X1) + E2(X1)V ar(X0),
e dado que,
V ar(X0) = V ar(
1 + P (0))
= V ar(
P (0))
V ar(X1) = V ar(
1 + P (1))
= V ar(
P (1))
V ar(X2) = V ar(
1 + P (2))
= V ar(
P (2))
E2(X0) =(
E(
1 + P (0))
)2
=(
1 + E(
P (0))
)2
E2(X1) =(
1 + E(
P (1))
)2
,
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 33
obtém-se,
V ar(
P (2))
= V ar(
P (0))
V ar(
P (1))
+V ar(
P (1))
(
1+E(
P (0))
)2
+V ar(
P (0))
(
1+E(
P (1))
)2
,
seja σd o ris o asso iado a µd usando o método de Markowitz uniperíodo dado pela
Equação (2.18), sendo σd o ris o num período de tempo qualquer om respeito ao tempo
anterior. Pode-se es rever V ar(
P (2))
omo,
V ar(
P (2))
=(
σ2d + (1 + µd)
2)
V ar(
P (1))
+ σ2d(1 + µd)
2. (4.11)
Mantendo a mesma notação usada anteriormente, generaliza-se para k da seguinte ma-
neira,
Xk = Xk−1X0, (4.12)
onde,
Xk−1 =(
1 + P (0))(
1 + P (1))
. . .(
1 + P (k − 2))
e X0 = 1 + P (k − 1),
denotando o retorno a umulativo da arteira até o instante t omo P ′(t), tem-se:
V ar(X0) = V ar(
P (k − 1))
= V ar(
P (1))
V ar(Xk−1) = V ar(
P ′(k − 1))
,
similarmente ao feito anteriormente,
V ar(
P (k))
=V ar(
P (1))
V ar(
P ′(k − 1))
+ V ar(
P ′(k − 1))
(
1 + E(
P (1))
)2
+ V ar(
P (1))
(
1 + E(
P ′(k − 1))
)2
,
e apli ando a aproximação em (4.5),
V ar(
P ′(k))
=(
σ2d + (1 + µd)
2)
V ar(
P (k − 1))
+ σ2d(1 + µd)
2(k−1), V ar(
P (0))
= 0.
Supondo também que as estatísti as dos retornos são variantes no tempo, e denotando
V ar(
P ′(k))
omo σ2′
k k = 1, 2, 3, 4, obtém-se,
σ2′
k (t) =(
σ2d +
(
1 + µd(t))2)
σ2′
k−1(t− 1) + σ2d
(
1 + µd(t))2(k−1)
, σ2′
0 (t) = 0. (4.13)
De (??) tem-se:
σ(
V (T ))
= v0σ(
P (T ))
, (4.14)
portanto, para a equivalên ia om T = 4 al ula-se
4
:
σ(
V (T ))
eq|T=1 = v0σ
′
4, (4.15)
σ(
V (T ))
eq|T=2 = v0σ
′
2, σ2′
1 = σ2d = V ar
(
V (T ))
|T=2, µd = µd|σd, (4.16)
σ(
V (T ))
eq|T=3 = v0σ
′
2, σ2′
1 = V ar(
V (T ))
|T=3, (4.17)
σ(
V (T ))
eq|T=4 = v0σ
′
1, σd = V ar(
V (T ))
|T=4. (4.18)
Note que para T = 4, Equação (4.18), o ris o não tem alterações, i.e., σ(
V (T ))
eq|T=4 =
V ar(
V (T ))
|T=4.
4
Nas equações (4.15) e (4.17), σd orresponde ao parâmetro de performan e estabele ido anteriormente
om o seu µd asso iado.
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 34
Na Figura 4.6(a) mostra-se o ris o do ERM no tempo nal, não podendo-se omparar
os ris os asso iados para ada período. A implementação das equações anteriores , ou seja,
a equivalên ia feita para ns de omparação é representada na gura 4.6(b), podendo-se
observar o efeito multi-período, i.e., onsegue-se diminuir o ris o om o aumento de T(ampliação da janela temporal de planejamento), superando o aso uniperíodo de Roll.
0 10 20 30 40 500
5
10
15
20
t (meses)
σ(
V(T
))
%
T=1T=2T=3T=4
(a)
0 10 20 30 40 500
5
10
15
20
t (meses)
σ(
V(T
))
%
T=1T=2T=3T=4
(b)
Figura 4.6: Ris o do ERM no nal de T (a); ris o do ERM equivalente em T = 4 (b).
Fonte: autor.
Na Figura 4.7 mostra-se a expe tativa do ERM instantânea, om objetivo de omparar
omo as soluções em ada t reetem desde a visão de úni o período (equivalên ia em
T = 1). Sendo o al ulo efetuado da seguinte maneira:
V (t+ 1) = V (t+ 1)− V B(t+ 1) (4.19)
= V (t)ω(t)′R(t)− V B(t)ωB(t)′R(t), (4.20)
o que impli a que,
E(
V (t + 1))
= V (t)ω(t)′η(t)− V B(t)ωB(t)′η(t). (4.21)
0 10 20 30 40 50−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
t (meses)
E(
V(t
))
%
T=1T=2
(a)
0 10 20 30 40 50−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
t (meses)
E(
V(t
))
%
T=3T=4
(b)
Figura 4.7: Expe tativa instantânea do ERM para T = 1, 2 (a) e T = 3, 4 (b).
Fonte: autor.
Observa-se na Figura 4.7 que a expe tativa instantânea do ERM para T = 2, 3, 4segue as variações negativas do ERM (ver gura 4.4), e.g., em t = 1, 12, 22, 36, 43; mas
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 35
onsegue-se re ompor nos outros instantes de tempo, ontrastando om o aso de T = 1,onde se mantem os ilando positivamente em todo t.
Para en ontrar o ris o instantâneo, o seguinte ál ulo é feito. Da Eq.(4.19) tem-se
que,
V (t+ 1) =(
1 + P (t))
V (t)−(
1 + PB(t))
V B(t), (4.22)
sendo P (t) = ω(t)′R(t)− 1. Então,
V ar(
V (t+1))
= V (t)2V ar(
1+P (t))
+V B(t)2V ar(
1+PB(t))
−2cov(V (t+1), V B(t+1)),(4.23)
efetua-se o termo da ovariân ia entre V (t + 1) e V B(t+ 1),
cov(
V (t+ 1), V B(t+ 1))
= V (t)V B(t)E(
(
1 + P (t))(
1 + PB(t))
)
(4.24)
− V (t)V B(t)E(
1 + P (t))
E(
1 + PB(t))
(4.25)
= V (t)V B(t)cov(
1 + P (t), 1 + PB(t))
(4.26)
= V (t)V B(t)cov(
P (t), PB(t))
(4.27)
= V (t)V B(t)ω(t)′Σ(t)ωB(t). (4.28)
Substituindo (4.28) em (4.23) e fazendo algumas manipulações obtém-se:
V ar(
V (t+ 1))
=(
V (t)ω(t)− V B(t)ωB(t))
′
Σ(t)(
V (t)ω(t)− V B(t)ωB(t))
, (4.29)
e onsequentemente,
σ(
V (t+ 1))
=
√
(
V (t)ω(t)− V B(t)ωB(t))
′
Σ(t)(
V (t)ω(t)− V B(t)ωB(t))
. (4.30)
A Figura 4.8 mostra o grá o derivado da implementação de (4.30) para os diversos
períodos.
0 10 20 30 40 500
1
2
3
4
5
6
t (meses)
σ(
V(t
))
%
T=1T=2
(a)
0 10 20 30 40 500
1
2
3
4
5
6
t (meses)
σ(
V(t
))
%
T=3T=4
(b)
Figura 4.8: Ris o instantâneo do ERM para T = 1, 2 (a) e T = 3, 4 (b).
Fonte: autor.
As guras mostradas até o momento têm onsiderado a orreção para as short-sellings.
No seguinte grá o (Fig. 4.9) mostra-se a deformação introduzida nas estatísti as do ERM
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 36
quando a orreção é apli ada. Por razões de simpli idade avalia-se para T = 1, já que
neste aso não se tem que fazer nenhuma equivalên ia.
0 10 20 30 40 500
1
2
3
4
5
6
7
8
t (meses)
E(
V(t
))
| T=
1%
C/ short−sellingsS/ short−sellings
(a)
0 10 20 30 40 500
1
2
3
4
5
6
7
8
t (meses)
σ(
V(t
))
| T=
1%
C/ short−sellingsS/ short−sellings
(b)
Figura 4.9: Expe tativa do ERM om e sem short-sellings (T = 1) (a); ris o do ERM
om e sem short-sellings (T = 1) (b).Fonte: autor.
Observa-se na Figura 4.9(a) que a orreção feita para as short-sellings diminuem a
expe tativa do ERM em todo t, e omo é de se esperar, o ris o asso iado também diminui.
Na faixa de tempo 16 ≤ t ≤ 22 a orreção feita ausa uma operação fora da fronteira
e iente, obtendo assim uma expe tativa menor om um ris o asso iado maior.
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 37
4.2.3 Avaliação do ERM para o PRV (χ) om diversos µd e T
Apresenta-se na Figura 4.10 a evolução do apital apli ando ERM para diferentes µd.
Como era de se esperar no grá o (a), o apital segue o apital do ben hmark, i.e, obtém-
se a mesma estratégia de investimento (ω(t) = ωB(t)) em todos os períodos, dado que a
expe tativa do ERM desejado se xa em zero (µd = 0). No grá o (b) as urvas estão
apenas separadas da urva do ben hmark, devido a que o parâmetro de performan e µd é
pequeno (0.5% mensal). Nos grá os ( ) e (d) o apital toma valores maiores hegando à
saturação, mesmo que o parâmetro de performan e do grá o (d)(µd = 100%) é muito
maior do que o estabele ido no grá o ( ) (µd = 6%), os apitais respe tivos só apresentam
pequenas diferenças. Em on lusão, a estratégia ERM não onsegue ultrapassar uma
rentabilidade de saturação limitada pela orreção de short-sellings implementada, omo
apontado anteriormente, assim sejam estabele idos parâmetros de performan e µd ada
vez maiores, independentemente do T adotado.
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1,2,3,4.
VB(t)
(a)
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1T=2T=3T=4
VB(t)
(b)
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1T=2T=3T=4
VB(t)
( )
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1,2,3,4.
VB(t)
(d)
Figura 4.10: Capital em função do tempo para: µd = 0% (a); µd = 0.5% (b); µd = 6%( ); e µd = 100% (d).
Fonte: autor.
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 38
4.2.4 Avaliação do ERM para o PREV (ρ) om diversos ρ e T
Na gura seguinte o problema PREV (ρ) é abordado variando seu parâmetro de perfor-
man e, ou seja, alterando ρ (fator de aversão ao ris o). Na Figura 4.23(a) observa-se que
o apital ou rentabilidade de saturação foi atingida, dado que o fator de aversão ao ris o é
pequeno
5
, em outas palavras, deseja-se obter todo o ganho possível om um baixo re eio
ao ris o. Nos grá os (b) e ( ) é per ebido omo o apital a mais proximo do apital
a umulado pelo ben hmark onforme ρ aumenta, respe tivamente. No grá o (d), omo
esperado, o apital para os diversos períodos batem om o ben hmark, em onsequên ia
de que ρ tende a innito, o que seria equivalente ao aso de assumir rentabilidade nula
para o ERM (ver gura 4.10(a)). Com relação ao apital entre os diferentes T avaliados,
não se pode on luir nada a respeito, já que o parâmetro ρ não é equivalente para os
diversos períodos.
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1,2,3,4.
VB(t)
(a)
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1T=2T=3T=4
VB(t)
(b)
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1T=2T=3T=4
VB(t)
( )
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1,2,3,4.
VB(t)
(d)
Figura 4.11: Capital em função do tempo para: ρ = 1 (a); ρ = 102 (b); ρ = 104 ( ); e
ρ→ ∞ (d).
Fonte: autor.
5
O nível assumido de aversão ao ris o ρ, é dependente das estatísti as do portfólio.
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 39
4.3 Caso II: 1 Ativo sem Ris o e Ativos de Ris o
Neste enário adota-se a arteira do aso II, onde onsidera-se o ativo sem ris o omo
um título públi o indexado à taxa SELIC (ativo de menor ris o no Brasil). Para ompor
a arteira teóri a do ben hmark leva-se em onsideração a Figura 4.12, a qual lassi a
alguns portfólios ou pers de investimento baseado nas proporções investidas em renda
xa e variável. Adotou-se um portfólio moderadamente agressivo Figura 4.12( ), em
onsequên ia, o ben hmark é omposto omo um fundo de investimento om 65% investido
num ativo de renda xa indexado; e o restante 35% propor ionado nos ativos de ris o da
arteira teóri a do IBOVESPA do aso I. Ou seja,
ωB(t)II =[
0.65 0.35ωB(t)′I]
′
, (4.31)
R(t)II =[
R(t)SELIC R(t)′I]
′
. (4.32)
(a) (b)
( ) (d)
Figura 4.12: Modelos de portfólios: onservador (a); moderadamente onservador (b);
moderadamente agressivo ( ); agressivo ou arrojado (d).
Fonte: [13.
4.3.1 Avaliação do ERM para o PRE(σ) om diversos T
Para este enário aborda-se o problema PRE(σ), denotando por σdT o ris o mensal dese-
jado relativo ao Ben hmark parâmetro de performan e para ada T. Para a obtenção doparâmetro de performan e equivalente se apli a a Eq.(4.13), assumindo um ris o mensal,
σd = 1%. (4.33)
Na Figura 4.13 apresenta-se o apital em função do tempo para os diversos períodos.
Observa-se uma diferença notória entre o apital para T = 1 om os apitais para
T = 2, 3, 4, em ontraste om o aso I (todos os ativos de ris o, gura 4.1) em que
tinha-se um omportamento similar para os diferentes T . Con lui-se que a estratégia
ERM neste aso obtém um melhor performan e para todo t em termos de V (t) do que a
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 40
estratégia introduzida por Roll (ERM om T = 1) [38.
Nota-se também que o ben hmark evolui de forma linear om pequenas os ilações,
dada a alta proporção de renda xa, e onsequentemente, os diversos V (t) também evo-
luem om erta linearidade.
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1 T=2 T=3 T=4
VB(t)V(t)
IBOV
Figura 4.13: Capital em função do tempo.
Fonte: autor.
Mostra-se na Figura 4.14 o ERM ao longo do tempo, onde a obtenção de V B(t) é
similar à feita na geração da Figura 4.4. Observa-se que o ERM tem instantes onde é
negativo, ou seja, não se onsegue obter ganho om respeito ao ben hmark, mas o ganho
a umulativo (na média) é positivo (ver gura 4.13).
0 10 20 30 40 50
−20
−10
0
10
20
t (meses)
V(t
)%
T=1T=2
(a)
0 10 20 30 40 50
−20
−10
0
10
20
t (meses)
V(t
)%
T=3T=4
(b)
Figura 4.14: ERM em função do tempo para: T = 1, 2 (a); e T = 3, 4 (b).
Fonte: autor.
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 41
Se infere que onforme T aumenta o ERM é mais volátil (similar ao aso I), devido
às orreções para short-sellings ( omo se observará em próximos grá os). Apresenta-se
a Tabela 4.5 que orrobora o armado anteriormente.
T 1 2 3 4
V (t) 0.0009 0.0093 0.0117 0.0253
σ(
V (t))
0.0245 0.0499 0.0640 0.0753
Tabela 4.5: Média Amostral e desvio padrão do ERM.
Fonte: autor.
A expe tativa do ERM ao nal de T é apresentada na Figura 4.15(a); e a imple-
mentação de (4.10) equivalên ia para T=4 é dada pela Figura 4.15(b). Baseando-se
nesta última gura, on lui-se que a expe tativa do ERM ao nal de T tem um melhor
rendimento onforme o T avaliado aumenta, superando nesta quantidade (expe tativa) o
método de úni o período (T = 1) proposto por Roll [38.
0 10 20 30 40 500
50
100
150
200
t (meses)
E(
V(T
))
%
T=1T=2T=3T=4
(a)
0 10 20 30 40 500
50
100
150
200
t (meses)
E(
V(T
))
%
T=1T=2T=3T=4
(b)
Figura 4.15: Expe tativa do ERM no nal de T (a); expe tativa do ERM equivalente em
T=4 (b).
Fonte: autor.
Na Figura 4.16(a) mostra-se o o ris o em termos do retorno para o ERM ao nal
de T , resultante da implementação da eq.(4.13), onde se observam pequenas os ilações
para T = 2, 3, 4 produto da variação de µd no tempo, lembrando que σd é xado.
Na Figura 4.16(b) mostra-se a equivalên ia para T = 4, implementando as equações
(4.15)(4.16)(4.17)(4.18) divididas em v0, respe tivamente para ada T . Cabe desta ar
que obtém-se uma ótima equivalên ia, dado que as urvas estão próximas entre si (ris o
do retorno nal) independente do período avaliado, on ordando plenamente, já que é o
parâmetro desejado estabele ido.
As Figuras 4.16( )(d) são obtidas de maneira similar que as Figuras 4.16(a)(b) mas
para o ERM ( apital relativo), i.e., v0 vezes o retorno relativo ao nal de T . Per ebe-sena Figura 4.16(d) uma maior diferença entre os diferentes T , onsequên ia da evolução
de v0 (ver gura 4.13), lembrando que o método é apli ado repetidamente no de orrer do
tempo.
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 42
0 10 20 30 40 500
0.5
1
1.5
2
2.5
t (meses)
σ(
P(T
))
%
T=1T=2T=3T=4
(a)
0 10 20 30 40 500
0.5
1
1.5
2
2.5
t (meses)
σ(
P(T
))
%
T=1T=2T=3T=4
(b)
0 10 20 30 40 500
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
t (meses)
σ(
V(T
))
%
T=1T=2T=3T=4
( )
0 10 20 30 40 500
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
t (meses)
σ(
V(T
))
%
T=1T=2T=3T=4
(d)
Figura 4.16: Ris o do retorno relativo no nal de T (a); ris o do retorno relativo equiva-
lente em T=4 (b); ris o do ERM no nal de T ( ); ris o do ERM equivalente em T=4
(d).
Fonte: autor.
A expe tativa do ERM instantânea em função do tempo eq.(4.21) é apresentada
na Figura 4.17 . Onde similarmente ao aso I, as urvas da gura para T = 2, 3, 4seguem as variações negativas do ERM ( omparar om a gura 4.13), mas se re ompõem
nos seguintes instantes de tempo, produzindo uma expe tativa a umulada positiva. Em
ontrapartida, a urva respe tiva para T = 1 mantem-se positiva e om baixa os ilação
em todo o tempo.
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 43
0 10 20 30 40 50−10
−5
0
5
10
15
20
25
t (meses)
E(
V(t
))
%
T=1T=2
(a)
0 10 20 30 40 50−10
−5
0
5
10
15
20
25
t (meses)
E(
V(t
))
%
T=3T=4
(b)
Figura 4.17: Expe tativa instantânea do ERM para T = 1, 2 (a) e T = 3, 4 (b).
Fonte: autor.
Com ns puramente ilustrativos, a gura a seguir mostra o ris o instantâneo do ERM
implementação da Eq.(4.30), onde observa-se omo as soluções em ada t para os dife-
rentes períodos avaliados reetem no ris o (desde o enário de T = 1). Como era de se
esperar, a urva ótima é a urva orrespondente a T = 1.
0 10 20 30 40 500
1
2
3
4
5
6
7
t (meses)
σ(
V(t
))
%
T=1T=2
(a)
0 10 20 30 40 500
1
2
3
4
5
6
7
t (meses)
σ(
V(t
))
%
T=3T=4
(b)
Figura 4.18: Ris o instantâneo do ERM para T = 1, 2 (a) e T = 3, 4 (b).
Fonte: autor.
Na Figura 4.19(a) é apresentada a expe tativa instantânea do apital, onde se nota
uma diferença onsiderável entre a orrespondente a T = 1 (menor) om as respe tivas
de T = 2, 3, 4 (desde a visão de úni o período), mas em onsequên ia, o ris o instantâneo
(ver gura 4.19(b)) para T = 2, 3, 4 é também maior e res ente om T do que o ris o
instantâneo respe tivo a T = 1.
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 44
0 10 20 30 40 500
0.5
1
1.5
2
2.5
t (meses)
E(
V(t
))
T=1T=2T=3T=4
(a)
0 10 20 30 40 500
1
2
3
4
5
6
7
8
t (meses)
σ(
V(t
))
%
T=1T=2T=3T=4
(b)
Figura 4.19: Expe tativa instantânea do apital (a) e ris o instantâneo do apital (b).
Fonte: autor.
De forma similar ao feito para o aso I, apresenta-se na seguinte gura o efeito da
orreção apli ada para as short-sellings nas estatísti as do ERM onsiderando T = 1.Pode-se observar na Figura 4.20(a) omo a orreção deforma a expe tativa do ERM,
diminuindo-a. Agora, tendo em onta a Figura 4.20(b) (ris o maior), on lui-se que sob
as ondições estabele idas, a orreção de short-sellings implementada faz om que se opere
fora da fronteira e iente na maioria do tempo.
0 10 20 30 40 50−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
t (meses)
E(
V(t
))
| T=
1%
C/ short−sellingsS/ short−sellings
(a)
0 10 20 30 40 500
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
t (meses)
σ(
V(t
))
| T=
1%
C/ short−sellingsS/ short−sellings
(b)
Figura 4.20: Expe tativa do ERM om e sem short-sellings (T = 1) (a); ris o do ERM
om e sem short-sellings (T = 1) (b).Fonte: autor.
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 45
4.3.2 Avaliação ERM para PRE(σ) om diversos ben hmarks
Na Figura 4.21 apresenta-se o apital ao longo do tempo om diferentes ben hmarks.
Onde é assumido para o ben hmark os portfólios ou pers de investimento mostrados na
Figura 4.12. Nota-se que a medida que se altera (diminui) a proporção de renda xa na
arteira do ben hmark, o apital para os diversos T diminui e apresenta maior volatilidade,
tendo o melhor rendimento quando o ben hmark é omposto de 100% do ativo indexado
à SELIC, e por onseguinte, uma maior proporção é investido nesse ativo. Desta a-se
que independente do ben hmark, o ERM para T = 2, 3, 4 supera em termos de apital o
enfoque de úni o período de Roll [38 ( apital).
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1 T=2 T=3 T=4
VB(t)
(a)
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1T=2T=3T=4
VB(t)
(b)
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1 T=2 T=3 T=4
VB(t)
( )
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1 T=2 T=3 T=4
VB(t)
(d)
Figura 4.21: Capital em função do tempo para: ben hmark onservador om 100% em
SELIC (a); ben hmark moderadamente onservador om 65% em SELIC e 35% em ações
(b); ben hmark moderadamente agressivo om 35% em SELIC e 65% em ações ( ); e
ben hmark agressivo om 100% em ações (d).
Fonte: autor.
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 46
4.3.3 Avaliação ERM para PRE(σ) om diversos σd
Na gura seguinte é mostrado o apital ao longo do tempo para diferentes parâmetros de
performan e, σd. Como esperado, na Figura 4.22(a) o apital para os diversos períodos
bate om o apital a umulado pelo portfólio do ben hmark, fato que é on ordante, devido
a que não se está assumindo ris o para o ERM. Na Figura 4.22(b) assume-se um ris o
pequeno (σd = 0.05%), e por tal razão, as urvas apenas se distan iam da urva do
ben hmark. Nos grá os ( ) e (d) o apital para os diversos períodos pare em ter atingido
seu ponto de saturação, e em onsequên ia, não se onsegue ultrapassar essa rentabilidade
limite (similar ao aso I) independente do T avaliado.
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1,2,3,4.
VB(t)
(a)
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1 T=2 T=3 T=4
VB(t)
(b)
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1T=2T=3T=4
VB(t)
( )
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1,2,3,4.
VB(t)
(d)
Figura 4.22: Capital em função do tempo para: σd = 0% (a); σd = 0.05% (b); σd = 6%( ); e σd = 100% (d).
Fonte: autor.
CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 47
4.3.4 Avaliação ERM para PREV (ρ) om diversos ρ e T
Agora será abordado o problema PREV (ρ) variando seu parâmetro de performan e.
Observa-se na Figura 4.23(a) que foi atingida a rentabilidade de saturação, devido a que
o nível de aversão ao ris o é baixo. Nos grá os (b) e ( ) observa-se omo o apital se
aproxima mais ao apital a umulado pelo ben hmark onforme ρ aumenta, respe tiva-
mente. No grá o (d), o apital para os diversos T batem om o ben hmark, dado que ρ onverge a innito, o que seria equivalente ao aso de assumir ris o nulo ou rentabilidade
nula para o ER (ver Figuras 4.10(a) e 4.22(a)).
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1,2,3,4.
VB(t)
(a)
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1T=2T=3T=4
VB(t)
(b)
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1T=2T=3T=4
VB(t)
( )
0 10 20 30 40 500.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t (meses)
V(t
)
T=1,2,3,4.
VB(t)
(d)
Figura 4.23: Capital em função do tempo para: ρ = 1 (a); ρ = 102 (b); ρ = 104 ( ); e
ρ→ ∞ (d).
Fonte: autor.
Capítulo 5
Con lusão
Neste trabalho foi generalizada a estratégia de investimento uniperíodo om erro de ras-
treamento proposta por Roll em [38, i.e., se derivou de forma analíti a uma políti a ótima
om erro de rastreamento no enário multi-período (ERM) para arteiras de investimento
e obteve-se uma relação explí ita entre ris o e retorno do ERM, adotando o enfoque de
média-variân ia multi-período (MM) introduzida por Li e Ng em [24. Uma omparação
entre os métodos MM e ERM foi feita, onsiderando uma arteira omposta de só ativos de
ris o para os problemas PV (µ) e PRV (µ), onde via simulações é notado que MM obtém
um apital a umulado maior do que ERM em todos os períodos avaliados (T = 1, 2, 3, 4), om similar expe tativa instantânea e menor ris o instantâneo. Avaliando o ERM isola-
damente, per ebe-se que o enário multi-período tem um melhor desempenho do que o
método de úni o período nos dois asos estabele idos em termos de rendimento em a-
pital, independentemente do parâmetro de performan e, ben hmark es olhido e período
adotado (µd, ωB(t), σd, T ). Se obteve um menor ris o do ER ao nal de T (para o aso I) e
uma maior expe tativa do ER ao nal de T ( aso II) para o método proposto om respeito
ao modelo uniperíodo de Roll. Com relação à orreção feita para evitar as short-sellings,
observou-se que sua apli ação a arreta deformações nas estatísti as do ERM, diminuindo
a expe tativa e aumentando o ris o asso iado, em outras palavras, ausando operações
fora da fronteira e iente de investimentos.
Uma evolução natural do presente trabalho seria a de derivar uma políti a ótima
multi-período sob a hipótese de dependên ia temporal entre os retornos omo um modelo
ARMA (hipótese diferente que a Hipótese 3.1); abordar outros modelos para a estimação
tanto do retorno esperado, quanto para o ris o, e.g., o modelo CAPM, CCAPM, entre
outros, om o m de obter melhores predições; derivar analiti amente um algoritmo de
orreção para as short-sellings baseado na otimização de algum ritério que mantenha uma
forte orrelação entre as estatísti as do ERM ao nal de T (solução sub-ótima), evitando
assim, operações fora da fronteira e iente de investimento ou grandes deformações nas
estatísti as do ERM.
48
Apêndi e A
Fator de Correlação e Retorno
Esperado Estimado das Ações do
IBOVESPA (jun/2010-set/2011)
Ação BBAS3 BBDC4 BRAP4 BRFS3 BRKM5 BVMF3 CCRO3 CESP6
BBAS3 1,00 0,78 0,61 0,19 0,25 0,18 0,67 0,44
BBDC4 0,78 1,00 0,61 0,12 0,20 0,05 0,53 0,59
BRAP4 0,61 0,61 1,00 0,03 0,30 0,19 0,41 0,47
BRFS3 0,19 0,12 0,03 1,00 -0,09 -0,27 0,44 0,00
BRKM5 0,25 0,20 0,30 -0,09 1,00 0,59 0,33 0,15
BVMF3 0,18 0,05 0,19 -0,27 0,59 1,00 0,52 0,20
CCRO3 0,67 0,53 0,41 0,44 0,33 0,52 1,00 0,21
CESP6 0,44 0,59 0,47 0,00 0,15 0,20 0,21 1,00
CIEL3 0,08 0,12 -0,10 0,11 -0,42 -0,28 0,08 0,24
CMIG4 0,12 0,33 0,06 -0,31 0,26 0,35 -0,02 0,44
CPLE6 0,22 0,40 0,30 -0,34 0,33 0,41 0,07 0,64
CRUZ3 0,68 0,61 0,23 -0,03 0,46 0,28 0,53 0,26
CSAN3 0,77 0,71 0,60 0,19 0,03 -0,08 0,56 0,19
CSNA3 0,69 0,66 0,67 0,40 0,44 0,19 0,61 0,35
CYRE3 0,79 0,51 0,53 0,28 0,38 0,22 0,64 0,30
EMBR3 0,52 0,46 0,56 0,07 -0,16 0,02 0,35 0,29
FIBR3 0,42 0,70 0,73 0,17 0,47 0,28 0,56 0,46
GFSA3 0,75 0,59 0,59 0,36 0,38 0,18 0,62 0,38
GGBR4 0,36 0,28 0,22 0,21 0,23 -0,09 0,23 -0,20
ITSA4 0,81 0,85 0,51 0,02 0,21 0,08 0,50 0,39
ITUB4 0,80 0,86 0,52 0,05 0,19 0,03 0,50 0,33
JBSS3 0,57 0,44 0,33 0,07 0,44 -0,09 0,24 0,18
LAME4 0,57 0,47 0,25 -0,20 0,33 0,47 0,58 0,24
MRVE3 0,77 0,47 0,38 0,11 0,56 0,45 0,64 0,44
NATU3 0,75 0,69 0,39 0,30 0,53 0,30 0,67 0,45
PETR3 0,27 0,33 0,44 0,39 0,13 -0,53 -0,03 0,08
PETR4 0,32 0,39 0,53 0,38 0,18 -0,50 0,02 0,07
USIM5 0,42 0,52 0,22 0,25 0,41 0,04 0,29 0,30
VALE3 0,66 0,52 0,91 0,20 0,20 -0,02 0,41 0,27
VALE5 0,66 0,54 0,93 0,14 0,14 0,02 0,39 0,35
49
APÊNDICE A. FATOR DE CORR. E RETORNO ESPERADO DO IBOVESPA 50
Ação CIEL3 CMIG4 CPLE6 CRUZ3 CSAN3 CSNA3 CYRE3 EMBR3
BBAS3 0,08 0,12 0,22 0,68 0,77 0,69 0,79 0,52
BBDC4 0,12 0,33 0,40 0,61 0,71 0,66 0,51 0,46
BRAP4 -0,10 0,06 0,30 0,23 0,60 0,67 0,53 0,56
BRFS3 0,11 -0,31 -0,34 -0,03 0,19 0,40 0,28 0,07
BRKM5 -0,42 0,26 0,33 0,46 0,03 0,44 0,38 -0,16
BVMF3 -0,28 0,35 0,41 0,28 -0,08 0,19 0,22 0,02
CCRO3 0,08 -0,02 0,07 0,53 0,56 0,61 0,64 0,35
CESP6 0,24 0,44 0,64 0,26 0,19 0,35 0,30 0,29
CIEL3 1,00 -0,17 -0,24 0,17 -0,04 -0,36 0,21 0,02
CMIG4 -0,17 1,00 0,64 0,07 -0,12 0,10 -0,12 -0,18
CPLE6 -0,24 0,64 1,00 0,09 0,09 0,29 -0,14 0,24
CRUZ3 0,17 0,07 0,09 1,00 0,55 0,35 0,76 0,07
CSAN3 -0,04 -0,12 0,09 0,55 1,00 0,59 0,60 0,45
CSNA3 -0,36 0,10 0,29 0,35 0,59 1,00 0,48 0,63
CYRE3 0,21 -0,12 -0,14 0,76 0,60 0,48 1,00 0,15
EMBR3 0,02 -0,18 0,24 0,07 0,45 0,63 0,15 1,00
FIBR3 0,03 0,26 0,33 0,39 0,42 0,68 0,40 0,36
GFSA3 0,10 0,18 0,06 0,63 0,63 0,57 0,83 0,11
GGBR4 -0,44 -0,10 0,05 0,41 0,58 0,59 0,29 0,28
ITSA4 0,07 0,24 0,43 0,72 0,76 0,63 0,53 0,52
ITUB4 0,08 0,22 0,38 0,68 0,74 0,64 0,51 0,55
JBSS3 -0,01 -0,27 0,11 0,73 0,59 0,47 0,62 0,23
LAME4 0,17 0,25 0,08 0,79 0,50 0,21 0,62 0,01
MRVE3 0,09 0,10 0,12 0,77 0,44 0,44 0,86 0,07
NATU3 -0,10 0,33 0,28 0,76 0,63 0,64 0,71 0,05
PETR3 -0,10 -0,13 0,06 0,08 0,45 0,50 0,20 0,23
PETR4 -0,15 -0,15 0,03 0,10 0,50 0,57 0,26 0,27
USIM5 -0,44 0,24 0,25 0,39 0,40 0,70 0,20 0,22
VALE3 -0,07 -0,16 0,13 0,17 0,67 0,67 0,56 0,60
VALE5 -0,04 -0,12 0,18 0,13 0,62 0,65 0,52 0,66
APÊNDICE A. FATOR DE CORR. E RETORNO ESPERADO DO IBOVESPA 51
Ação FIBR3 GFSA3 GGBR4 ITSA4 ITUB4 JBSS3 LAME4 MRVE3
BBAS3 0,42 0,75 0,36 0,81 0,80 0,57 0,57 0,77
BBDC4 0,70 0,59 0,28 0,85 0,86 0,44 0,47 0,47
BRAP4 0,73 0,59 0,22 0,51 0,52 0,33 0,25 0,38
BRFS3 0,17 0,36 0,21 0,02 0,05 0,07 -0,20 0,11
BRKM5 0,47 0,38 0,23 0,21 0,19 0,44 0,33 0,56
BVMF3 0,28 0,18 -0,09 0,08 0,03 -0,09 0,47 0,45
CCRO3 0,56 0,62 0,23 0,50 0,50 0,24 0,58 0,64
CESP6 0,46 0,38 -0,20 0,39 0,33 0,18 0,24 0,44
CIEL3 0,03 0,10 -0,44 0,07 0,08 -0,01 0,17 0,09
CMIG4 0,26 0,18 -0,10 0,24 0,22 -0,27 0,25 0,10
CPLE6 0,33 0,06 0,05 0,43 0,38 0,11 0,08 0,12
CRUZ3 0,39 0,63 0,41 0,72 0,68 0,73 0,79 0,77
CSAN3 0,42 0,63 0,58 0,76 0,74 0,59 0,50 0,44
CSNA3 0,68 0,57 0,59 0,63 0,64 0,47 0,21 0,44
CYRE3 0,40 0,83 0,29 0,53 0,51 0,62 0,62 0,86
EMBR3 0,36 0,11 0,28 0,52 0,55 0,23 0,01 0,07
FIBR3 1,00 0,56 0,24 0,54 0,56 0,27 0,37 0,31
GFSA3 0,56 1,00 0,39 0,59 0,57 0,48 0,64 0,74
GGBR4 0,24 0,39 1,00 0,59 0,58 0,62 0,18 0,13
ITSA4 0,54 0,59 0,59 1,00 0,99 0,65 0,51 0,46
ITUB4 0,56 0,57 0,58 0,99 1,00 0,61 0,46 0,41
JBSS3 0,27 0,48 0,62 0,65 0,61 1,00 0,34 0,57
LAME4 0,37 0,64 0,18 0,51 0,46 0,34 1,00 0,73
MRVE3 0,31 0,74 0,13 0,46 0,41 0,57 0,73 1,00
NATU3 0,53 0,85 0,46 0,68 0,62 0,56 0,70 0,79
PETR3 0,37 0,44 0,60 0,42 0,44 0,55 -0,18 0,00
PETR4 0,45 0,46 0,59 0,43 0,47 0,56 -0,16 0,03
USIM5 0,40 0,42 0,51 0,44 0,41 0,42 0,31 0,39
VALE3 0,55 0,56 0,33 0,50 0,53 0,43 0,09 0,33
VALE5 0,54 0,50 0,22 0,48 0,51 0,35 0,07 0,32
APÊNDICE A. FATOR DE CORR. E RETORNO ESPERADO DO IBOVESPA 52
Ação NATU3 PETR3 PETR4 USIM5 VALE3 VALE5
BBAS3 0,75 0,27 0,32 0,42 0,66 0,66
BBDC4 0,69 0,33 0,39 0,52 0,52 0,54
BRAP4 0,39 0,44 0,53 0,22 0,91 0,93
BRFS3 0,30 0,39 0,38 0,25 0,20 0,14
BRKM5 0,53 0,13 0,18 0,41 0,20 0,14
BVMF3 0,30 -0,53 -0,50 0,04 -0,02 0,02
CCRO3 0,67 -0,03 0,02 0,29 0,41 0,39
CESP6 0,45 0,08 0,07 0,30 0,27 0,35
CIEL3 -0,10 -0,10 -0,15 -0,44 -0,07 -0,04
CMIG4 0,33 -0,13 -0,15 0,24 -0,16 -0,12
CPLE6 0,28 0,06 0,03 0,25 0,13 0,18
CRUZ3 0,76 0,08 0,10 0,39 0,17 0,13
CSAN3 0,63 0,45 0,50 0,40 0,67 0,62
CSNA3 0,64 0,50 0,57 0,70 0,67 0,65
CYRE3 0,71 0,20 0,26 0,20 0,56 0,52
EMBR3 0,05 0,23 0,27 0,22 0,60 0,66
FIBR3 0,53 0,37 0,45 0,40 0,55 0,54
GFSA3 0,85 0,44 0,46 0,42 0,56 0,50
GGBR4 0,46 0,60 0,59 0,51 0,33 0,22
ITSA4 0,68 0,42 0,43 0,44 0,50 0,48
ITUB4 0,62 0,44 0,47 0,41 0,53 0,51
JBSS3 0,56 0,55 0,56 0,42 0,43 0,35
LAME4 0,70 -0,18 -0,16 0,31 0,09 0,07
MRVE3 0,79 0,00 0,03 0,39 0,33 0,32
NATU3 1,00 0,30 0,31 0,69 0,31 0,26
PETR3 0,30 1,00 0,98 0,39 0,58 0,47
PETR4 0,31 0,98 1,00 0,40 0,66 0,57
USIM5 0,69 0,39 0,40 1,00 0,13 0,09
VALE3 0,31 0,58 0,66 0,13 1,00 0,98
VALE5 0,26 0,47 0,57 0,09 0,98 1,00
Tabela A.1: Coe iente de orrelação das ações do IBOVESPA (jun/2010-set/2011).Fonte: autor.
APÊNDICE A. FATOR DE CORR. E RETORNO ESPERADO DO IBOVESPA 53
Ação ri%
BBAS3 0,34
BBDC4 0,16
BRAP4 0,26
BRFS3 2,23
BRKM5 1,61
BVMF3 -1,53
CCRO3 1,87
CESP6 0,99
CIEL3 0,82
CMIG4 0,58
CPLE6 -0,50
CRUZ3 2,48
CSAN3 0,54
CSNA3 -3,52
CYRE3 -2,68
EMBR3 2,02
FIBR3 -3,74
GFSA3 -3,83
GGBR4 -3,45
ITSA4 -0,43
ITUB4 -0,42
JBSS3 -4,49
LAME4 1,12
MRVE3 -1,09
NATU3 -1,10
PETR3 -2,37
PETR4 -2,05
USIM5 -4,92
VALE3 0,00
VALE5 0,40
Tabela A.2: Retorno esperado estimado das ações do IBOVESPA (jun/2010-set/2011).Fonte: autor.
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