YEISON ANDRÉS ZABALA · YEISON ANDRÉS ZABALA Uma ulação form p or ariância média-v ulti-p m erío do para o erro de to rastreamen em carteiras to estimen v in Dissertação

YEISON ANDRÉS ZABALA

Uma formulação por média-variân ia multi-período

para o erro de rastreamento em arteiras de investimento

São Paulo

2016

YEISON ANDRÉS ZABALA

Uma formulação por média-variân ia multi-período

para o erro de rastreamento em arteiras de investimento

Dissertação apresentada à Es ola Polité ni a da

Universidade de São Paulo para obtenção do tí-

tulo de Mestre em Ciên ias.

Área de on entração:

Engenharia de Sistemas

Orientador: Prof. Titular

Oswaldo Luiz do Valle Costa

São Paulo

2016

i

ii

AGRADECIMENTOS

Ao meu orientador, Oswaldo Luiz do Valle Costa, por me dar a oportunidade de ser

seu orientado e me inspirar na área de pesquisa envolvida no presente trabalho. Estou

muito grato também pela sua importante olaboração, total disponibilidade e pa iên ia

no desenvolvimento desta dissertação.

A minha namorada, Lina M. Osório, pelo seu onstante apoio, seus uidados e amor,

já que tem sido a energia diária para minha alma e a fonte de ânimo nos momentos difí-

eis. Dou graças também as suas boas e a ertadas sugestões no referente à es rita deste

trabalho.

A minha família, que são meu motor para nun a desistir dos meus objetivos, mesmo

que sempre esteja imerso na grande saudade onsequente da distân ia que nos separa,

ao mesmo tempo, uma maior feli idade me onsola, produto das boas lembranças que

preveem um emotivo en ontro .

Aos meus amigos, olombianos e brasileiros, por me fazer sentir em asa nos momentos

que urto da sua ompanhia.

Finalmente, agradeço à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior,

CAPES, pela nan iação para o desenvolvimento desta dissertação.

iii

La hispa na e de la obstina ión

Emil Mi hel Cioran.

Resumo

Neste trabalho, deriva-se uma políti a de es olha ótima baseada na análise de média-

variân ia para o Erro de Rastreamento no enário Multi-período ERM. Referindo-se

ao ERM omo a diferença entre o apital a umulado pela arteira es olhida e o a umu-

lado pela arteira de um ben hmark. Assim, foi apli ada a metodologia abordada por

Li-Ng em [24 para a solução analíti a, obtendo-se dessa maneira uma generalização do

aso uniperíodo introduzido por Roll em [38. Em seguida, sele ionou-se um portfólio do

mer ado de ações brasileiro baseado no fator de orrelação, e adotou-se omo ben hmark

o índi e da bolsa de valores do estado de São Paulo IBOVESPA, além da taxa bási a de

juros SELIC omo ativo de renda xa. Dois asos foram abordados: arteira omposta

somente de ativos de ris o, aso I, e arteira om um ativo sem ris o indexado à SELIC

e ativos do aso I ( aso II).

Palavras have: Controle Ótimo. Controle Esto ásti o. Estratégia de Investimento.

Carteira. Multi-período. Ben hmark. Erro de Rastreamento.

iv

Abstra t

In this work, an optimal poli y for portfolio sele tion based on mean-varian e analysis for

the multi-period tra king error ERM was derived. ERM is understood as the dieren e

between the apital raised by the sele ted portfolio and ben hmark portfolio. Thus, the

methodology dis ussed by Li-Ng in [24 for analyti al solution was applied, generalizing

the single period ase introdu ed by Roll in [38. Then, it was sele ted a portfolio from the

Brazilian sto k trading based on the orrelation fa tor, and adopted as ben hmark the in-

dex of the sto k trading of São Paulo State IBOVESPA, and the basi interest rate SELIC

as xed in ome asset. Two ases were dealt: portfolio omposed of risky assets only, ase

I, and portfolio with a risk-free asset indexed to SELIC and assets of the ase I ( ase II).

Keywords: Optimal Control. Sto hasti Control. Investment Poli y. Portfolio.

Multi-period. Ben hmark. Tra king Error.

v

Conteúdo

1 Introdução 1

2 Revisão 3

2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Modelo de Markowitz: Cenário Uniperíodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Todos Os Ativos De Ris o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 1 Ativo sem Ris o e Ativos de Ris o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Enfoque de Média-Variân ia om Erro de Rastreamento Uniperíodo . . . . 8

2.4 Modelo de Markowitz: Cenário Multi-período . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.1 Todos Os Ativos de Ris o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.2 1 Ativo Livre de Ris o e Ativos de Ris o . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Resultados Teóri os 16

3.1 Formulação Do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Formulação do ERM onsiderando t intermediários na função objetivo . . . 19

3.3 Solução dos Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.1 Todos os Ativos de Ris o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.2 1 Ativo sem Ris o e Ativos de Ris o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Simulação dos Resultados 23

4.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Caso I: Ativos de Ris o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.1 Comparação entre MM e ERM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.2 Avaliação do ERM para o PRV (µ) om diversos T . . . . . . . . . 30

4.2.3 Avaliação do ERM para o PRV (χ) om diversos µd e T . . . . . . . 37

4.2.4 Avaliação do ERM para o PREV (ρ) om diversos ρ e T . . . . . . 38

4.3 Caso II: 1 Ativo sem Ris o e Ativos de Ris o . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3.1 Avaliação do ERM para o PRE(σ) om diversos T . . . . . . . . . 39

4.3.2 Avaliação ERM para PRE(σ) om diversos ben hmarks . . . . . . 45

4.3.3 Avaliação ERM para PRE(σ) om diversos σd . . . . . . . . . . . . 46

4.3.4 Avaliação ERM para PREV (ρ) om diversos ρ e T . . . . . . . . . 47

5 Con lusão 48

Apéndi e 49

A Fator de Corr. e Retorno Esperado do IBOVESPA 49

Referên ias Bibliográ as 54

vi

Lista de Figuras

2.1 FEG e FER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.1 Comparativa do apital em função do tempo para MM e ERM para o aso

I: PRV (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Expe tativa instantânea do apital para MM e ERM para o aso I: PRV (µ) 29

4.3 Ris o instantâneo do apital para MM e ERM para o aso I: PRV (µ) . . . 30

4.4 ERM em função do tempo para o aso I: PRV (µ) . . . . . . . . . . . . . . 30

4.5 Expe tativa do ERM no nal de T para o aso I: PRV (µ) . . . . . . . . . 32

4.6 Ris o do ERM no nal do período para o aso I: PRV (µ) . . . . . . . . . . 34

4.7 Expe tativa instantânea do ERM para o aso I: PRV (µ) . . . . . . . . . . 34

4.8 Ris o instantâneo do ERM para o aso I: PRV (µ) . . . . . . . . . . . . . . 35

4.9 Estatísti as do ERM om short-sellings vs sem short-sellings para o aso I:

PRV (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.10 Capital em função do tempo om diferentes µd para o aso I: PRV (µ) . . . 37

4.11 Capital em função do tempo om diferentes fatores de aversão ao ris o para

o aso I: PREV (ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.12 Modelos de portfólios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.13 Capital em função do tempo para o aso II: PRE(σ) . . . . . . . . . . . . 40

4.14 ERM em função do tempo para o aso II: PRE(σ) . . . . . . . . . . . . . 40

4.15 Expe tativa do ERM no nal de T para o aso II: PRE(σ) . . . . . . . . . 41

4.16 Ris o do retorno relativo e do ERM no nal do período para o aso II:

PRE(σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.17 Expe tativa instantânea do ERM para o aso II: PRE(σ) . . . . . . . . . . 43

4.18 Ris o instantâneo do ERM para o aso II: PRE(σ) . . . . . . . . . . . . . 43

4.19 Estatísti as instantâneas do apital para o aso II: PRE(σ) . . . . . . . . 44

4.20 Estatísti as do ERM om short-sellings vs sem short-sellings para o aso

II: PRE(σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.21 Capital em função do tempo para diferentes ben hmarks para o aso II:

PRE(σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.22 Capital em função do tempo om diferentes ben hmarks para o aso II:

PRE(σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.23 Capital em função do tempo om diferentes fatores de aversão ao ris o para

o aso II: PREV (ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

vii

Lista de Tabelas

4.1 Coe iente de orrelação das ações da arteira es olhida . . . . . . . . . . 23

4.2 Retorno esp. estimado e setor e onmi o das ações da arteira es olhida . 24

4.3 Diferenças entre retornos e ientes e os ris os asso iados para o aso I . . . 25

4.4 Média Amostral e desvio padrão do ERM para o aso I: PRV (µ) . . . . . 31

4.5 Média amostral e desvio padrão do ERM para o aso II: PRE(σ) . . . . . 41

A.1 Coe iente de orrelação das ações do IBOVESPA . . . . . . . . . . . . . . 52

A.2 Retorno esperado estimado das ações do IBOVESPA . . . . . . . . . . . . 53

viii

Capítulo 1

Introdução

Por mais de 50 anos, diversas teorias e té ni as de ontrole desenvolvidas por enge-

nheiros de ontrole e matemáti os têm sido apli adas em problemas de e onomia e -

nanças, onde se desta am os sistemas de ontrole om retroação [6, 7, 12, 25, 34, 42,

o ontrole ótimo [16, 35, 36, o ontrole esto ásti o [1, 28, 33, 37, o ontrole adapta-

tivo [20, 41, 48, 49, entre outras. Na análise nan eira dos algoritmos da bolsa de va-

lores, tem-se demostrado que a apli ação do ontrole om retroação é poten ialmente

e az [48, 10, 11, 18, 19, 21, 22, 25, 2931,40.

No aso das nanças, parti ularmente na es olha de ativos numa arteira, os on eitos

de otimização e diversi ação têm sido pilares para o desenvolvimento e entendimento dos

mer ados nan eiros e a tomada de de isões. A teoria de es olha de ativos numa arteira

segue a premissa de que os investidores avaliariam suas arteiras apenas om base no

valor esperado e na variân ia das taxas de retorno num espaço de tempo onsiderado,

tornando-as as úni as variáveis de de isão para a es olha dos ativos. Portanto, o dilema

do investidor tem a ver om o onito entre alta rentabilidade e baixo ris o, que foi tra-

tado pela primeira vez por Markowitz [26, 27, forne endo um método analíti o baseado

numa relação ótima entre a rentabilidade e o ris o. Também abe desta ar o trabalho de

Merton [32, onde se estabele e uma fronteira e iente de investimento para o enfoque de

Markowitz, i.e., se deriva uma relação explí ita entre rentabilidade e ris o, sendo possível

observar a maior rentabilidade esperada para um ris o assumido. Em on lusão, tais tra-

balhos possibilitam ao investidor alo ar riteriosamente os seus re ursos nan eiros para

um período de tempo espe í o ( enário uniperíodo).

Visando estender a formulação de Markowitz, Li-Ng em [24 generalizaram para o ená-

rio multi-período, i.e, obtiveram uma políti a ótima para realo ar os ativos numa arteira

no de orrer de um número onse utivo de períodos de tempo, onsiderando um apital

ini ial xo, tornando-se portanto, num problema de ontrole ótimo. No entanto, na prá-

ti a o gestor nan eiro es olherá a arteira que reduza o máximo possível a volatilidade

de um erro de rastreamento para um retorno esperado estabele ido relativo a um ben h-

mark (índi e do mer ado). Sendo geralmente essa arteira gerida e o ben hmark adotado

ine ientes desde o ponto de vista da análise de média-variân ia de Markowitz [38. Di-

ante desse quadro, o presente trabalho tem por objetivo generalizar analiti amente os

resultados em [38, i.e., derivar uma políti a ótima de es olha de uma arteira baseada na

análise de média-variân ia para o erro de rastreamento no enário multi-período (ERM),

apli ando a metodologia abordada por Li-Ng em [24. Obtém-se assim, resultados teóri-

os que podem ser orroborados por simulação e apli ados ao mer ado de ativos brasileiro.

1

CAPÍTULO 1. INTRODUÇO 2

Este trabalho é organizado omo segue. No apítulo 2 se apresentam trabalhos preli-

minares relevantes da área de pesquisa e alguns outros rela ionados, mostrando o grande

poten ial e apli abilidade das teorias envolvidas na realidade nan eira; introduz-se a

análise de média-variân ia para es olha de ativos numa arteira feita por Markowitz [26

para o aso uniperíodo e a formulação de média-variân ia para o erro de rastreamento

uniperíodo introduzida por [38; além da generalização do modelo de Markowitz ( enário

multi-período) desenvolvida por Li-Ng em [24. A formulação dos problemas analisados,

a omparação om a formulação de Araujo [3 e as soluções analíti as objetivos deste

trabalho, são apresentadas no apitulo 3. No Capítulo 4 apresenta-se a implementação

via simulação dos algoritmos derivados no Capítulo 3 apli ados ao mer ado brasileiro.

Finalmente, o apitulo 5 apresenta a on lusão desta dissertação e possíveis trabalhos

futuros.

Capítulo 2

Revisão

2.1 Preliminares

Como dito anteriormente, a apli ação de on eitos da teoria de ontrole tem sido relevante

na análise nan eira. Por exemplo, B. R. Barmish et al. [6,7 apresentou um ontrolador

que permite pro essar o históri o dos preços de valores (o qual varia no tempo), para

determinar uma estratégia de investimento que regula o montante a ser investido. Malek-

pour et al. [25 tendo em onta o fato de que a noção de drawdown

1

é muito importante

para os operadores de valores e geren iadores de fundos no mer ado nan eiro, faz uma

análise do drawdown quando o ontrole é utilizado na bolsa de valores, num mer ado ide-

alizado om preços governados pelo movimento geométri o browniano. O ontrole ótimo

também tem sido utilizado fortemente neste ampo, e.g., Craven et al. [16 apresenta um

estudo rigoroso sobre interfa es entre matemáti as, programação omputa ional, nanças

e e onomia; in luindo aspe tos omo a es olha ótima do onsumidor, políti as de pla-

nejamento, uso de modelos ótimos de previsão, simulação do mer ado e plani ação do

desenvolvimento.

Com referên ia espe í a à área de pesquisa do presente trabalho, esforços impor-

tantes ontinuam sendo dedi ados om o objetivo de obter estratégias de investimento

tanto para o enário uniperíodo quanto para o multi-período, adotando-se diversas abor-

dagens. Entre as quais abe desta ar: o enfoque de rastreamento de erro (relativo a

um ben hmark) [38, 39; om desigualdades lineares matri iais LMI para robustez no

portfólio [15; onsiderando saltos markovianos nos parâmetros do mer ado [2, 14 no e-

nário multi-período; a generalização para o erro de rastreamento multi-período om saltos

markovianos [3; representando geometri amente a estrutura e onmi a envolvida, onde

simpli a-se a análise matemáti a [23; a abordagem por média-variân ia om ontrole

para o ris o de falên ia [50; entre outras.

Para efeitos de ontextualização e om o objetivo de propor ionar uma base on eitual

para a posterior formulação dos problemas objetivo da presente pesquisa (estabele idos no

Capítulo 3), as seguintes seções do apítulo estão arrumadas da seguinte forma. Na seção

2.2 apresenta-se um detalhamento do Modelo de Markowitz (MM) om dois problemas

derivados a tratar: arteira omposta totalmente por ativos de ris o e arteira om um

ativo sem ris o e ativos de ris o; e as respe tivas fronteiras e ientes derivadas por Merton.

O enfoque do erro de rastreamento de Roll no enário uniperíodo é mostrado na seção

2.3. A generalização do modelo de Markowitz proposta por Li e Ng é dada na seção 2.4.

1

Drawdown é denido omo o grau de de linação de um pi o alto a um baixo para o preço de um

ativo num período de tempo espe í o, geralmente dado em por entagem.

3

CAPÍTULO 2. REVISO 4

2.2 Modelo de Markowitz: Cenário Uniperíodo

Ini ialmente, denem-se as variáveis que serão utilizadas no resto do apítulo. O valor de

um ativo nan eiro i no instante 0 é denotado por Si(0),e o valor desse mesmo ativo um

(+1) período temporal depois será Si(1). Assume-se a taxa de retorno desse ativo, Ri,

omo uma variável aleatória. O vetor de retornos é denido da seguinte maneira

2

:

R =[

R1 . . . Rn

]

′

, (2.1)

sendo,

Ri =Si(1)− Si(0)

Si(0). (2.2)

O retorno esperado é dado por,

r = E(R) =[

r1 . . . rn]

′

, onde ri = E(Ri),

e a matriz de ovariân ia da taxa de retorno é expressa por,

Σ = cov(R) = E((R− r)(R− r)′). (2.3)

O ris o do ativo i é denido pelo desvio-padrão σi de Ri, ou seja,

σi =√

Σii =√

E((Ri − ri)2). (2.4)

Agora, supondo que haja uma arteira omposta por n ativos om valores ini iais,

S(0) =[

S1(0) . . . Sn(0)]

′

,

e seja

H(0) =[

H1(0) . . .Hn(0)]

′

,

uma estratégia de investimento para ada ativo nan eiro, onde a quantidade do ativo ique tem-se na arteira é dada por Hi

3

. Supondo também que dispõe-se de um apital

V (0) para investimento nessa arteira. Isto pode ser es rito da seguinte maneira,

V (0) = H1(0)S1(0) + . . .+Hn(0)Sn(0) = H(0)′S(0). (2.5)

Portanto, a proporção do total investido no ativo i, ωi, a,

ωi =Hi(0)Si(0)

V (0). (2.6)

Consequentemente tem-se que,

ω′e =

n∑

i=1

ωi = 1, sendo ω =[

ω1 . . . ωn

]

′

, e =[

1 . . . 1]

′

.

Denota-se por P a taxa de retorno da arteira ao nal de um período, ou seja,

P =V (1)− V (0)

V (0). (2.7)

2

Por razões didáti as, vetores e matrizes são representados em bold.

3Hi < 0 representa posição a des oberto.


Substituindo (2.5) para um período de tempo depois V (1), (2.2)(2.6) e supondo que a

estratégia é auto-nan iável

4

, tem-se,

P = ω1R1 + . . .+ ωnRn = ω′R. (2.8)

A média de P é dada por,

µ = E(P ) = E(ω′R) = ω′E(R) = ω′r, (2.9)

e a sua variân ia,

σ2 = V ar(P ) = V ar(ω′R) = ω′cov(R)ω = ω′Σω. (2.10)

Tendo em onta as denições anteriores, dois problemas de otimização derivados da for-

mulação de Markowitz serão apresentados om suas respe tivas soluções. No primeiro

aso, onsidera-se que todos os ativos da arteira são de ris o (sub.2.2.1); e no segundo,

assume-se que apenas há 1 ativo sem ris o do total de ativos da arteira (sub.2.2.2).

As demonstrações das proposições e teoremas envolvidos nesta seção são apresentadas

em [26, 27.

2.2.1 Todos Os Ativos De Ris o

Pode-se es rever o problema de otimização omo segue,

Problema 2.1 : PV (µ) Minimiza-se a volatilidade do retorno da arteira, Var(P),

xando a sua expe tativa, E(P), num nível µ, ou seja,

min

ωJ(ω) = ω′Σω sujeito a

ω′r = µ

ω′e = 1

ω ∈ Rn.

No qual é assumido o seguinte:

Hipótese 2.1 Σ é uma matriz denida positiva, i.e., Σ > 0 5

.

Hipótese 2.2 r não é múltiplo de e (r 6= a e)6.

Denem-se as seguintes onstantes:

α = e′Σ−1e, (2.11)

γ = r′Σ−1r, (2.12)

ψ = e′Σ−1r, (2.13)

δ = αγ − ψ2 = (e′Σ−1e)(r′Σ−1r)− (e′Σ−1r)2. (2.14)

As provas dos resultados dados nesta seção podem ser en ontradas em [17.

4

Estratégias auto-nan iáveis são aquelas onde a mudança no valor da arteira é dada pelo ganho ou

perda no investimento, o que impli a que não se tem injeção nova de apital.

5

A Hipótese 2.1 garante que todos os ativos realmente são de ris o.

6

A Hipótese 2.2 assegura uma situação não-degenerada, já que no aso ontrário as restrições só seriam

onsistentes se µ = a.


Proposição 2.1 As onstantes α, γ e δ, denidas em (2.11), (2.12) e (2.14), são posi-

tivas. De maneira mais pre isa tem-se que,

α ∈[ n

λmax(Σ),

n

λmin(Σ)

]

,

γ ∈[ ‖r‖2λmax(Σ)

,‖r‖2

λmin(Σ)

]

,

|ψ | <√n

‖r‖λmin(Σ)

,

onde λmin(Σ) e λmax(Σ) representam os autovalores mínimo e máximo da matriz Σ.

Finalmente, a solução do problema em questão apresenta-se no seguinte teorema.

Teorema 2.1 A solução do problema de otimização de média-variân ia 2.1 é dada por:

ω∗ = hµ + g, (2.15)

em que h e g, não-dependentes de µ, são dados por,

h =α

δΣ−1r − ψ

δΣ−1e, (2.16)

g =γ

δΣ−1e− ψ

δΣ−1r. (2.17)

Proposição 2.2 A urva ris o-retorno asso iada ao Problema 2.1 é dada por:

σ2 = V ar(P ) =α

δ(µ− ψ

α)2 +

1

α. (2.18)

Proposição 2.3 Seja (µg, σ2g) o ponto mínimo global obtido da urva ris o-retorno dado

por (2.18); ωg a omposição da arteira de mínima variân ia global dada pela substituição

de µg e σ2g em (2.15); tem-se que,

µg =ψ

α, (2.19)

σ2g =

1

α, (2.20)

ωg =1

αΣ−1e. (2.21)

Carteiras om µ ≥ µg =ψ

αsão hamadas de arteiras e ientes, pois para um determinado

nível de ris o, obtém-se o maior retorno possível.


2.2.2 1 Ativo sem Ris o e Ativos de Ris o

Apresenta-se o aso em que tem-se só um ativo sem ris o na arteira, no qual as Hipóteses

2.1 e 2.2 ainda são mantidas. Neste aso, tem-se que o somatório dos elementos de ω não

ne essariamente é 1, pois será introduzido um ativo sem ris o om retorno rf . Portanto,o problema de otimização é dado omo segue,

Problema 2.2

min

ω

J(ω) = ω′Σω sujeito a

ω′r + (1− ω′e)rf = µ

ω ∈ Rn

uja solução é apresentada no seguinte teorema (ver [17).

Teorema 2.2 A solução do problema de otimização de média-variân ia prob. 2.2 é dada

por,

ω∗ =(µ− rf)

(r − rfe)′Σ−1(r − rfe)Σ−1(r − rfe). (2.22)

O vetor ω∗em (2.22) representa a omposição ótima dos ativos de ris o enquanto a

proporção a ser investida no ativo sem ris o, ωrf , é dada por,

ωrf = 1− ω∗e. (2.23)

Denota-se µT , σ2T , e ωT (retorno esperado, variân ia e omposição, respe tivamente) omo

os parâmetros de uma arteira PT om 100% ativos de ris o. O que impli a que,

ω′

Te = 1.

Apli ando o Teorema 2.2 para PT obtém-se o seguinte resultado.

Proposição 2.4 A arteira om retorno PT é e iente para as arteiras om 100% de

ativos de ris o, e os seus parâmetros são expressos da seguinte maneira,

µT =γ − rfψ

ψ − rfα, (2.24)

σ2T =

(r − rfe)′Σ−1(r − rfe)

(ψ − rfα)2, (2.25)

ωT =1

ψ − rfαΣ−1(r − rfe). (2.26)

Deseja-se obter a fronteira e iente no plano ris o-retorno para as arteiras om ativos de

ris o e 1 ativo sem ris o. Para tal m, a seguinte hipótese tem que ser formulada.

Hipótese 2.3 Assume-se que rf <ψ

α.

7

Proposição 2.5 Qualquer arteira om retorno P , formada om o ativo sem ris o e

ativos de ris o, om retorno esperado µ, variân ia σ2e sob a hipótese 2.3, pode ser

onstruída omo uma ombinação da arteira om retorno PT e do ativo livre de ris o,

i.e.,

P = (1− σ

σT)rf +

σ

σTPT . (2.27)

7

A Hipótese 2.3 evita indeterminações nas equações (2.24)(2.26) e garante que o onjunto de soluções

ótimas tangen ie positivamente a urva ris o-retorno asso iada aos ativos de ris o.


Tem-se que,

µ = rf +σ

σT(µT − rf), (2.28)

ω = 1− σ

σT. (2.29)

Observação 2.1 A equação obtida em (2.28) orresponde á relação ris o-retorno, onde

tem-se uma dependên ia linear entre µ e σ, diferente ao aso onde todos os ativos da

arteira eram onsiderados de ris o (hipérbole des rita por µ e σ).

2.3 Enfoque de Média-Variân ia om Erro de Rastrea-

mento: Cenário Uniperíodo

Apresenta-se o enfoque abordado por Roll [38, o qual forne e uma metodologia nan eira

para a es olha sub-ótima de uma arteira onsiderando fatores realísti os de grande im-

pa to omo o Ben hmark. Considerando o mesmo universo de ativos do problema PV (µ)(Problema 2.1), ujo vetor de retornos é dado por R em (2.1), vetor de retorno esperado

r e matriz de ovariân ia Σ. Denem-se analogamente os seguintes termos para a arteira

do ben hmark. O apital ini ial do ben hmark é denotado por V B(0) e a sua estratégia

de investimento por HB(0), então similar a (2.5) tem-se que,

V B(0) = HB(0)′S(0). (2.30)

Dene-se a proporção do total investido no ativo i do ben hmark omo,

ωBi =

HBi (0)Si(0)

V B(0), (2.31)

portanto, a omposição da arteira teóri a do ben hmark segue que,

e′ωB = 1, sendo ωB =[

ωB1 . . . ω

Bn

]

′

.

Seja PBa taxa de retorno da arteira do ben hmark ao nal de um período. Mais

pre isamente,

PB =V B(1)− V B(0)

V B(0), (2.32)

supondo também a ondição de auto-nan iabilidade, obtém-se que a taxa de retorno da

arteira do ben hmark é expressa omo,

PB = R′ωB, (2.33)

onde sua média é dada por,

µB = E(PB) = E(R′ωB) = r′ωB, (2.34)

e variân ia,

σ2B = var(PB) = ωB ′

ΣωB. (2.35)

Dene-se ω omo a diferença entre os vetores de omposição, i.e.,

ω = ω − ωB, (2.36)


então o retorno do erro entre as arteiras P ou Erro de Rastreamento será dado por,

P = P − PB = R′ω,

onde sua expe tativa µ será,

µ = E(P ) = r′ω, (2.37)

e volatilidade,

σ2P = V ar(P ) = ω′Σ ω. (2.38)

Tendo as denições anteriores é possível formular o problema de otimização da seguinte

maneira:

Problema 2.3 : PRV (µ) Pré-estabele endo a expe tativa retorno relativo ao ben h-

mark µ, minimiza-se a volatilidade do ER. Mais pre isamente,

min

ω

J(ω) = ω′Σ ω sujeito a

r′ω = µ

e′ω = 0

ω ∈ Rn

Antes de apresentar a solução do problema PRV (µ), será pre iso denir alguns termos

envolvidos nesta. A Figura 2.1 mostra a Fronteira E iente de Média-Variân ia Global

(FEG) ou também hamada de fronteira e iente de Markowitz; e a Fronteira E iente

do Erro de Rastreamento (FER).

0

00

0 0

0

Figura 2.1: FEG e FER.

Fonte: autor.

Na Figura 2.1, ωBe ωB∗

representam a omposição da arteira do ben hmark on-

siderando a FER e a FEG, respe tivamente. A omposição da arteira usando a análise

de média-variân ia do erro de rastreamento para o ben hmark dado é denotada por ωP .

Considerando o enfoque de Markowitz denotam-se as respe tivas omposições por ω∗

P.

ω∗

0representa a omposição de mínima variân ia global, que omo esperado, é o ponto

ríti o da FEG. Por último, tem-se a omposição ωFEG

1, que é a interseção da reta que

atravessa a origem e ω∗

0, om a FEG.

Também será ne essário denir as seguintes onstantes,

κ = r′Σ−1r, τ = r′Σ−1e, ζ = e′Σ−1e.

Para a prova dos resultados a seguir, ver [38.


Teorema 2.3 A solução ótima do problema de rastreamento de erro PRV (µ), é dada

por:

ω∗ =µ

µFEG1 − µ∗

0

ω, (2.39)

e a variân ia do erro de rastreamento é dada por:

σ2∗ = V ar(ω∗) = (µ

µFEG1 − µ∗

0

)2(σ2FEG

1 − σ2∗

0 ), (2.40)

onde,

µ∗

0 = E(P ∗) = E(R′ω∗) =τ

ζ,

σ2∗

0 = var(P ∗) =1

ζ,

µFEG1 = E(P FEG

1 ) = E(R′ωFEG

1) =

κ

τ,

σ2FEG

1 = var(P FEG1 ) =

κ

τ 2.

Tem-se também a seguinte proposição:

Proposição 2.6 A variân ia da arteira ou variân ia total obtida por meio da análise

do erro de rastreamento σ2∗

P , é dada por:

σ2∗

P = σB2

+ σ2∗ + 2σ2∗

0 (µ

µFEG1 − µ∗

0

)(µB

µ∗

0

− 1). (2.41)

Por último, a seguinte proposição é formulada baseada no fato do deslo amento na vari-

ân ia das fronteiras onforme a gura 2.1.

Proposição 2.7 Para todo P , B que pertençam à FER, e todo P ∗, B∗

que pertençam à

FEG, tem-se que:

σ2P − σ2

P ∗ = σ2B − σ2B∗

, (2.42)

onde σP e σP ∗são as variân ias das arteiras geren iadas om igual retorno esperado

sobre a FER e a FEG, respe tivamente. De maneira similar, σBe σB∗

, mas sendo as

variân ias das arteiras do ben hmark.

Em on lusão, a FER orresponde a um deslo amento na variân ia da FEG.


2.4 Modelo de Markowitz: Cenário Multi-período

Nesta seção apresenta-se o problema de média-variân ia multi-período formulado por Li-

Ng [24. Ini ialmente, será ne essário redenir algumas variáveis para o aso vetorial

e outras de forma onveniente para a formulação dos problemas de otimização e suas

soluções. Assim, onsidera-se uma arteira de (n+ 1) ativos de ris o, i.e.,

S(t) =[

S0(t) S(t)]

′

, S(t) =[

S1(t) . . . Sn(t)]

′

.

Denota-se a estratégia de investimento por H(t), que será um vetor perten ente a

Rn+1

, ou seja,

H(t) =[

H0(t) H(t)]

′

, H(t) =[

H1(t) . . .Hn(t)]

′

.

Observação 2.2 Note que H(t) é es olhido no iní io do instante de tempo t, e portantodepende de S(s) para s = 0 até o fe hamento de preços no instante s = t− 1.

O apital no instante t é dado analogamente omo em (2.5), por

V (t) = H(t+ 1)′S(t). (2.43)

Dene-se a taxa de retorno omo segue,

R(t) =[

R0(t) R(t)]

′

, R(t) =[

R1(t) . . .Rn(t)]

′

.

sendo,

Ri(t+ 1) =Si(t+ 1)

Si(t), (2.44)

e R(t) pode ser es rito omo segue,

R(t) = η(t) + Z(t),

onde Z(t) são vetores aleatórios de média nula,

E(Z(t)) = 0, (2.45)

e η(t) são vetores determinísti os que representam a média de R(t). Pode-se es rever

η(t) omo,

η(t) =[

η0(t) η(t)]

′

, η(t) =[

η1(t) . . . ηn(t)]

′

.

As seguintes hipóteses são formuladas:

Hipótese 2.4 Z(t) são vetores aleatórios independentes para t = 0, 1, . . . , T − 1.

Hipótese 2.5 E(R(t)R(t)′) > 0 (denida positiva) para t = 0, 1, . . . , T − 1.

Dene-se agora,

u(t) =[

u0(t) u(t)]

′

, u(t) =[

u1(t) . . . un(t)]

′

,

onde tem-se que,

ui(t) = Hi(t+ 1)Si(t). (2.46)

De (2.43) e (2.46), e sob a ondição de auto-nan iabilidade, obtém-se que,

V (t) = u0(t) + e′u(t). (2.47)


Denindo,

P(t) = R(t)−R0(t)e, (2.48)

e sob a hipótese 2.5, tem-se que:

(

E(R0(t)2) E(R0(t)P(t)′)

E(R0(t)P(t)) E(P(t)P(t)′)

)

=

(

1 0−e I

)

E(R(t)R(t)′)

(

1 −e′

0 I

)

> 0, (2.49)

do anterior pode-se formular a seguinte proposição (veja prova em [24):

Proposição 2.8 Sendo P(t) denido em (2.48) e sob a hipótese 2.5 segue que,

E(P(t)P(t)′) > 0. (2.50)

Denem-se,

φ(t) = E(P(t)P(t)′),

ϕ20(t) = E(R0(t)

2),

ϕ(t) = E(R0(t)P(t)).

e dada a Proposição 2.8 e sob Hipótese 2.5, tem-se do omplemento de Shur apli ado a

(2.49) que,

ϕ20(t)− ϕ(t)′φ(t)−1ϕ(t) > 0.

Denem-se também,

A2(t) = ϕ20(t)− ϕ(t)′φ(t)−1ϕ(t) > 0,

A1(t) = η0(t)− (η(t)− η0(t)e)′φ(t)−1ϕ(t),

B(t) = (η(t)− η0(t)e)′φ(t)−1(η(t)− η0(t)e).

A partir de todas as denições anteriores é possível formular agora os problemas de um

investidor na hora de en ontrar a melhor estratégia de investimento para t = 0, 1, . . . , T−1.Os problemas são dados omo segue:

Problema 2.4 : PE(σ) Pré-estabele endo ou xando um nível de ris o σ, maximiza-

se a expe tativa de retorno do apital nal E(V (T )), om a sua variân ia V ar(V (T ))limitada por σ2

, ou seja,

max

u

JPE(u) = E(V (T )) sujeito a

V ar(V (T )) ≤ σ2

V (t+ 1) = R0(t)V (t) +P(t)′u(t)

V (0) = v0

t = 0, 1, . . . , T − 1.

Problema 2.5 : PV (χ) Minimiza-se a variân ia do apital nal, V ar(V (T )), om a

expe tativa de retorno do apital nal, E(V (T )), maior que um nível pré-determinado χ,i,e.,

min

u JPV (u) = V ar(V (T )) sujeito a

E(V (T )) ≥ χ

V (t+ 1) = R0(t)V (t) +P(t)′u(t)

V (0) = v0

t = 0, 1, . . . , T − 1.


Problema 2.6 : PEV (ρ) Pré-estabele endo um nível de aversão ao ris o

8 ρ, maximiza-

se a relação da expe tativa de retorno do apital nal E(V (T )) om a sua variân ia

V ar(V (T )). Mais pre isamente,

max

u

JPEV (u) = E(V (T ))−ρV ar(V (T )) sujeito a

V (t + 1) = R0(t)V (t) +P(t)′u(t)

V (0) = v0

ρ > 0

t = 0, 1, . . . , T − 1.

As soluções dos problemas PE(σ) e PV (χ) serão dadas em termos do problema

PEV (ρ) nas seguintes subseções. De forma similar à seção 2.2, as soluções serão apresen-

tadas onsiderando 2 asos: arteira omposta totalmente por ativos de ris o, e in luindo

um ativo sem ris o nessa arteira. As provas das proposições e teoremas apresentados

nesta seção, podem ser en ontradas em [24.

2.4.1 Todos Os Ativos de Ris o

Apresenta-se a solução dos problemas men ionados anteriormente, onsiderando uma

arteira omposta de ativos de ris o. Ini ialmente, denem-se algumas variáveis para

t = 0, 1, . . . , T − 1 da seguinte maneira,

Γ2(t) = A2(t)Γ2(t+ 1) > 0, Γ2(T ) = 1 .

Γ1(t) = A1(t)Γ1(t+ 1), Γ1(T ) = 1.

Γ0(t) = Γ0(t + 1) +Γ1(t + 1)2

Γ2(t+ 1)B(t), Γ0(T ) = 0.

C =1

2

T−1∑

t=0

(

Γ1(t + 1)2

Γ2(t+ 1)

)

B(t).

Denem-se também,

a =C2− C2, b =

Γ1(0)Ca

, c = Γ2(0)− ab2 − Γ1(0)2.

Teorema 2.4 As soluções dos problemas de otimização PMV (ρ), PV (χ) e PE(σ) on-siderando todos os ativos de ris o é dada por:

u(t) = −K(t)V (t) +

(

bv0 +C2ρa

)

ϑ(t),

onde

K(t) = φ(t)−1ϕ(t),

ϑ(t) =1

2

(

Γ1(t + 1)

Γ2(t + 1)

)

φ(t)−1(η(t)− η0(t)e),

8ρ é dita de aversão ao ris o por parte do investidor, ou seja, um valor maior de ρ se traduz na

preferên ia de investir om maior segurança (estabele endo ris os pequenos), assumindo assim, uma

rentabilidade mais baixa se for o aso; e quanto menor for ρ, podendo hegar a zero, representa que o

investidor pou o ou nada se afeta om o ris o, querendo assim obter o máxima rentabilidade sem re eio

algum.


om,

ρ =

C2

√

1

a (σ2 − cv20)para o problema PE(σ)

C2

2a (χ− (Γ1(0) + Cb)v0)para o problema PV (χ),

e,

E(V (T )) = (Γ1(0) + Cb)v0 +C2

2ρa,

V ar(V (T )) = cv20 +C2

4ρ2a= cv20 +

(E(V (T ))− (Γ1(0) + Cb)v0)2 aC2

.

Para en ontrar a fronteira e iente é ne essário denir as seguintes variáveis,

P (T ) =V (T )− v0

v0, µ(T ) = E(P (T )), σ2(T ) = V ar(P (T )).

Tem-se que,

µ(T ) =E(V (T ))

v0− 1, (2.51)

σ2(T ) =V ar(V (T ))

v20. (2.52)

Proposição 2.9 A urva no plano ris o-retorno para os problemas de otimização PMV (ρ),PV (χ) e PE(σ) é des rita pela equação:

σ2(T )

c− (µ(T )− (Γ1(0) + Cb− 1))2

(C2c/a)= 1. (2.53)

uja fronteira e iente é dada pelos pontos que satisfazem:

µ(T ) ≥ (Γ1(0) + Cb− 1). (2.54)

2.4.2 1 Ativo Livre de Ris o e Ativos de Ris o

Supõe-se agora que o ativo de referên ia seja livre de ris o. Logo,

R0(t) = η0(t). (2.55)

Obtém-se que,

A1(t) = η0(t)(1− B(t)), A2(t) = η0(t)2(1− B(t)), Γ1(t+ 1)

Γ2(t+ 1)=

T−1∏

k=t+1

1

η0(k),

Γ1(0) =T−1∏

t=0

η0(t)(1− B(t)), Γ2(0) =T−1∏

t=0

η0(t)2(1− B(t)), C =

1

2

(

1−T−1∏

t=0

(1− B(t)))

,

a =1

4

T−1∏

t=0

(1− B(t))(

1−T−1∏

t=0

(1− B(t)))

, b = 2

T−1∏

t=0

η0(t), c = 0,

e,

(bv0 +C2ρa

) = 2v0

T−1∏

t=0

η0(t) +1

ρ∏T−1

t=0 (1− B(t)).

Baseado nos resultados anteriores, tem-se o seguinte teorema.


Teorema 2.5 A solução ótima dos problemas PV (χ), PE(σ)e PMV (ρ) onsiderando 1ativo livre de ris o é dada por:

u∗(t) = −η0(t)E(P(t)P(t)′)−1E(P(t))V (t) +

(

2v0

T−1∏

t=0

η0(t) +1

ρ∏T−1

t=0 (1− B(t))

)

ϑ(t),

onde,

ϑ(t) =1

2

(

T−1∏

k=t+1

1

η0(k)

)

E(P(t)P(t)′)−1E(P(t)),

om ρ podendo assumir os seguintes valores:

ρ =

1

2σ

√

1−∏T−1

t=0 (1− B(t))∏T−1

t=0 (1− B(t))para o problema PE(σ) ,

1−∏T−1t=0 (1− B(t))

2((

χ− v0∏T−1

t=0 η0(t))(

∏T−1t=0 (1− B(t))

))para o problema PV (χ).

Sendo,

E(V (T )) = v0

T−1∏

t=0

η0(t) +1−∏T−1

t=0 (1− B(t))2ρ∏T−1

t=0 (1− B(t)), V ar(V (T )) =

1−∏T−1t=0 (1− B(t))

4ρ2∏T−1

t=0 (1− B(t)),

tem-se a relação,

V ar(V (T )) =

∏T−1t=0 (1− B(t))

1−∏T−1

t=0 (1− B(t))

(

E(V (T ))− v0

T−1∏

t=0

η0(t)

)2

. (2.56)

Arrumando em termos de µ(T ) e σ(T ), i.e., substituindo as Equações (2.51) e (2.52),

obtém-se a seguinte proposição.

Proposição 2.10 A fronteira e iente rela ionada à solução ótima dos problemas PV (χ)e PE(σ), onsiderando 1 ativo livre de ris o é dada pelos pontos da reta no plano ris o-

retorno:

µ(T ) =

√

1−∏T−1

t=0 (1− B(t))√

∏T−1t=0 (1− B(t))

σ(T ) +

(

T−1∏

t=0

η0(t)− 1

)

,

para,

µ(T ) ≥T−1∏

t=0

η0(t)− 1. (2.57)

Observação 2.3 Note que fazendo E(V (T )) = v0

T−1∏

t=0

η0(t) em (3.18) tem-se a situação

de variân ia nula, e onsequentemente, todo o investimento estaria no ativo livre de ris o.

Capítulo 3

Resultados Teóri os

Na seção 2.3 a análise de média-variân ia do erro de rastreamento para o enário unipe-

ríodo foi introduzida. Como apontado em [38, em diversas situações o gestor nan eiro

é avaliado pelo desempenho do retorno total relativo a um ben hmark pré-espe i ado,

geralmente um índi e largamente diversi ado de ativos. Isto foi abordado por Roll [38,

forne endo a es olha ótima de ativos numa arteira baseado na minimização da volati-

lidade de um erro de rastreamento, enquanto produz um retorno esperado positivo om

relação ao índi e de retorno do ben hmark. Neste apítulo, estende-se essa análise para o

enário multi-período, formulando primeiro um problema mais geral, esboçado na seção

3.1. Em seguida, a seção 3.2 apresenta uma omparação entre a formulação de Araujo [3

e a formulação feita na seção 3.1. Na seção 3.3 se apresentam as soluções analíti as dos

problemas objetivo deste trabalho (estabele idos na seção 3.1), onde também obtém-se as

soluções quando um ativo sem ris o é onsiderado na arteira.

3.1 Formulação Do Problema

Antes de formular o problema a ser tratado, será ne essário redenir alguns termos e

ondições relevantes. Ini ialmente, onsidera-se um universo nan eiro de (n+1) ativos deris o sobre um espaço de probabilidade ompleto (Ω,F ,P). O valor dos ativos é des rito

pelo vetor aleatório S (t) =[

S0 . . . Sn

]

′

, tomando valores em Rn+1

om t = 0, . . . , T .Considera-se uma arteira de (n + 1) ativos de ris o, i.e.,

S(t) =[

S0(t) S(t)]

′

, S(t) =[

S1(t) . . . Sn(t)]

′

,

a estratégia de investimento será denotada por H(t),

H(t) =[

H0(t) H(t)]

′

, H(t) =[

H1(t) . . .Hn(t)]

′

.

O apital no instante t é dado por

V (t) = H(t+ 1)′S(t).

A taxa de retorno é denida da seguinte maneira,

R(t) =[

R0(t) R(t)]

′

, R(t) =[

R1(t) . . .Rn(t)]

′

,

sendo,

Ri(t+ 1) =Si(t+ 1)

Si(t),

16

CAPÍTULO 3. RESULTADOS TEÓRICOS 17

similarmente omo no apitulo anterior, R(t) é expresso omo:

R(t) = η(t) + Z(t),

onde Z(t) são vetores aleatórios de média nula,

E(Z(t)) = 0.

e η(t) são vetores determinísti os que representam a média de R(t). Portanto pode-se

es rever η(t) assim:

η(t) =[

η0(t) η(t)]

′

, η(t) =[

η1(t) . . . ηn(t)]

′

.

Formulam-se as seguintes hipóteses:

Hipótese 3.1 Z(t) são vetores aleatórios independentes para t = 0, 1, . . . , T − 1.

Hipótese 3.2 E(R(t)R(t)′) > 0 (denida positiva) para t = 0, 1, . . . , T − 1.

O vetor de ontrole (vetor de investimento) é denido por,

u(t) =[

u0(t) u(t)]

′

, u(t) =[

u1(t) . . . un(t)]

′

,

tendo-se que,

ui(t) = Hi(t+ 1)Si(t).

Sob a ondição de auto-nan iabilidade e depois de algumas manipulações obtém-se que,

V (t) = u0(t) + e′u(t).

Dene-se similarmente P(t) omo,

P(t) = R(t)−R0(t)e,

De maneira similar ao apitulo anterior, a proposição seguinte é obtida (ver prova em [24).

Proposição 3.1 E(P(t)P(t)′) > 0 (matriz denida positiva).

Análogo à seção 2.3, denem-se os seguintes termos do ben hmark para o aso multi-

período

1

. Dene-se ωB(t) omo o vetor orrespondente à omposição da arteira do

ben hmark no tempo t, onde,

ωB(t) =[

ωB0 (t) ω

B(t)]

′

, ωB(t) =[

ωB1 (t) . . . ω

Bn (t)

]

′

,

assume-se que a proporção do total investido no ativo i do ben hmark, ωi i = 0, 1, ..., né xa, e também que:

ωBi ≥ 0,

n∑

i=0

ωBi = 1.

O montante de apital alo ado entre os n + 1 ativos pelo ben hmark será:

uB(t) =[

uB0 (t) uB(t)

]

′

, uB(t) =[

uB1 (t) . . . uBn (t)

]

′

,

1

Variáveis sobres ritas om a letra B orrespondem ao Ben hmark


Pode-se es rever ui(t) omo:

uBi (t) = ωBi V

B(t), (3.1)

onde V B(t) representa o valor da arteira do ben hmark no tempo t. Agora, sob a ondiçãode auto-nan iabilidade e (2.44), (2.47), (2.48), obtém-se para o ben hmark a seguinte

relação,

V B(t+ 1) = R0(t)VB(t) +P(t)′uB(t), V B(0) = v0. (3.2)

Dene-se o erro de rastreamento multi-período ERM no tempo t (ganho em apital om

respeito ao ben hmark ou ganho relativo), V (t) da seguinte maneira,

V (t) = V (t)− V B(t). (3.3)

De (2.47) e (3.2) tem-se que,

V (t + 1) = R0(t)V (t) +P(t)′u(t), V (0) = 0, (3.4)

sendo,

u(t) = u(t)− uB(t) = u(t)− V B(t)ωB. (3.5)

Denem-se também,

φ(t) = E(P(t)P(t)′),

ϕ20(t) = E(R0(t)

2),

ϕ(t) = E(R0(t)P(t)),

e,

A2(t) = ϕ20(t)− ϕ(t)′φ(t)−1ϕ(t) > 0,

A1(t) = η0(t)− (η(t)− η0(t)e)′φ(t)−1ϕ(t),

B(t) = (η(t)− η0(t)e)′φ(t)−1(η(t)− η0(t)e).

Tendo as denições anteriores, é possível agora formular os problemas de otimização a ser

resolvidos neste trabalho.

Problema 3.1 : PRE(σ2) Pré-estabele endo um nível máximo da volatilidade do ERM

σ2, maximiza-se a expe tativa do ganho de apital nal relativo ao ben hmark E(V (T )),

ou seja,

max

u

JPRE(u) = E(V (T )) sujeito a

V ar(V (T )) ≤ σ2

V (t + 1) = R0(t)V (t) +P(t)′u(t)

V (0) = 0

t = 0, 1, . . . , T − 1.

Problema 3.2 : PRV (χ) Minimiza-se a volatilidade do ERM nal, V ar(V (T )), om a

expe tativa do ganho de apital nal relativo, E(V (T )) maior que um nível pré-determinado

χ, i.e.,

min

u JPRV (u) = V ar(V (T )) sujeito a

E(V (T )) ≥ χ

V (t + 1) = R0(t)V (t) +P(t)′u(t)

V (0) = 0

t = 0, 1, . . . , T − 1.


Problema 3.3 : PREV (ρ) Pré-estabele endo um nível de aversão ao ris o ρ, maximiza-

se a relação da expe tativa do ganho de apital nal relativo E(V (T )), om a volatilidade

do ERM nal, V ar(V (T )). Mais pre isamente,

max

u

JPREV (u) = E(V (T ))−ρV ar(V (T )) sujeito a

V (t+ 1) = R0(t)V (t) +P(t)′u(t)

V (0) = 0

ρ > 0

t = 0, 1, . . . , T − 1.

As soluções dos problemas anteriores serão apresentadas na seção 3.3.

3.2 Formulação do ERM onsiderando t intermediários

na função objetivo

Seguindo o enfoque de estratégias multi-período, e dado o fato que em diversas situações

o gestor nan eiro é avaliado por seu desempenho om respeito a um índi e do mer ado

(ben hmark) em tempos intermediários, i.e., t ≤ T−1, sendo T o período de planejamento

nan eiro, onde estará sujeito a reportes (nesses t intermediários) de retorno a seus lien-

tes, Araujo generalizou o método de Roll [38 ao enário multi-período, mas maximizando

a soma da ombinação linear da rentabilidade esperada relativa para t ≤ T − 1, ondese assumem saltos markovianos nos parâmetros do mer ado. A formulação do problema

resolvido por Araujo et. al. em [3 é dado da seguinte maneira:

Problema 3.4 : PRME(σ2(t)) Maximiza-se a soma da ombinação linear da expe -

tativa do ERM para os tempos intermediários, assumindo uma volatilidade intermediária

para o ERM, V ar(V (t)), menor que um nível pré-determinado σ2(t). De maneira mais

pre isa,

max

u

JPRMEV (u) =

T−1∑

t=0

α(t)E(V (t)) sujeito a

V ar(V (t)) ≤ σ2(t)

V (t+ 1) = R0(t)V (t) +P(t)′u(t)

V (0) = 0

t = 0, 1, . . . , T − 1.

Sendo α(t) um oe iente de preferên ia estabele ido.

Observação 3.1 Observe que a formulação de Araujo, Problema 3.4, é um problema

mais geral, onde o Problema 3.1 orresponde a um aso parti ular, i.e., é derivado quando

α(T − 1) = 1 e α(t 6= T − 1) = 0.

3.3 Solução dos Problemas

Nesta seção apresentam-se as soluções dos problemas PRE(σ2), PRV (χ) e PREV (ρ)baseadas nos resultados dados em [24. Ini ialmente, onsidera-se que todos os ativos são

de ris o (subseção 3.3.1). As soluções quando é onsiderado 1 ativo sem ris o do total de

ativos são apresentadas na subseção 3.3.2.


3.3.1 Todos os Ativos de Ris o

As variáveis e termos denidos e usados para as soluções dos problemas tratados na seção

2.4 são mantidas e envolvidas também nas soluções respe tivas desta subseção e da se-

guinte (Subseção 3.3.2). As soluções dos problemas em questão são dadas no Teorema 3.1.

Similarmente ao apitulo anterior, será ne essário denir as seguintes variáveis para

t = 0, 1, . . . , T − 1 presentes na solução dos problemas estabele idos omo segue,

Γ2(t) = A2(t)Γ2(t+ 1) > 0, Γ2(T ) = 1.

Γ1(t) = A1(t)Γ1(t+ 1), Γ1(T ) = 1.

C =1

2

T−1∑

t=0

(

Γ1(t + 1)2

Γ2(t + 1)

)

B(t),

a =C2− C2.

As provas dos resultados nesta apítulo são análogas às apresentadas em [24, om dife-

rença na ondição ini ial ver Equação (3.4) e no vetor de ontrole ver Equação (3.5).

Teorema 3.1 A solução dos problemas de otimização PRE(σ), PRV (χ) e PREV (ρ), onsiderando todos os ativos de ris o é dada por:

PRE(σ): u∗(t) = −K(t)(V (t)− V B(t)) +σ√aϑ(t) + V B(t)ωB. (3.6)

PRV (χ): u∗(t) = −K(t)(V (t)− V B(t)) +χ

Cϑ(t) + V B(t)ωB. (3.7)

PRMV (ρ): u∗(t) = −K(t)(V (t)− V B(t)) +C2ρa

ϑ(t) + V B(t)ωB. (3.8)

Onde,

K(t) = φ(t)−1ϕ(t),

ϑ(t) =1

2

(

Γ1(t + 1)

Γ2(t + 1)

)

φ(t)−1(η(t)− η0(t)e),

e,

E(

V (T ))

=C2

2ρa, (3.9)

V ar(

V (T ))

=C2

4ρ2a=E2(

V (T ))

a

C2, (3.10)

sendo,

ρ =

C2σ

√a

para o problema PRE(σ) ,

C2

2aχpara o problema PRV (χ) .

(3.11)


Observação 3.2 Observe que fazendo: σ = 0 em (3.6), o que seria a situação de não

assumir ris o para o ERM; ou χ = 0 em (3.7) sem ganho esperado om respeito ao

ben hmark; ou uma aversão ao ris o innita para o ERM (equivalente a assumir ris o

nulo), ou seja, ρ → ∞ em (3.8); obtém-se que a estratégia ótima de investimento para

os três problemas segue a estratégia de investimento do ben hmark, i.e., u∗(t) = uB(t) =V B(t)ωB

.

Fazendo,

P (T ) =V (T )− v0

v0, PB(T ) =

V B(T )− vB0vB0

, P (T ) = P (T )− PB(T ).

Obtém-se,

µ(T ) = E(P (T )) =E(V (T ))

v0, (3.12)

σ2P (T ) = V ar(P (T )) =

V ar(V (T ))

v20. (3.13)

E a seguinte proposição é obtida.

Proposição 3.2 A urva no plano ris o-retorno para os problemas de otimização PRE(σ),PRV (χ) e PREV (ρ) onde onsidera-se todos os ativos de ris o, é des rita pela equação

(ver [24 om portfólio om ondição ini ial em 0 e a substituição das Equações (3.12) e

(3.13)):

µ(T ) =C√aσP (T ). (3.14)

3.3.2 1 Ativo sem Ris o e Ativos de Ris o

Nesta seção apresentam-se as soluções dos problemas estabele idos onsiderando 1 ativo

sem ris o e n ativos de ris o, mostradas no Teorema 3.2. Supõe-se agora que o ativo de

referên ia seja livre de ris o. Logo,

R0(t) = η0(t). (3.15)

Obtém-se que,

A1(t) = η0(t)(1− B(t)), A2(t) = η0(t)2(1− B(t)), Γ1(t+ 1)

Γ2(t+ 1)=

T−1∏

k=t+1

1

η0(k),

Γ1(0) =

T−1∏

t=0

η0(t)(1− B(t)), Γ2(0) =

T−1∏

t=0

η0(t)2(1− B(t)), C =

1

2

(

1−T−1∏

t=0

(1− B(t)))

,

a =1

4

T−1∏

t=0

(1− B(t))(

1−T−1∏

t=0

(1− B(t)))

, b = 2

T−1∏

t=0

η0(t), c = 0,

e,

C2ρa

=1

ρ∏T−1

t=0 (1− B(t)).


Teorema 3.2 Considerando 1 ativo livre de ris o (ativo de referên ia) e assumindo-o

omo em (3.15), tem-se que a solução ótima dos problemas em questão, é dada da se-

guinte maneira (ver [24 om portfólio om ondição ini ial em 0).

Para o problema PRE(σ):

u∗(t) = −η0(t)φ(t)−1(η(t)−η0(t)e)(V (t)−V B(t))+2σ

√

∏T−1t=0 (1− B(t))

1−∏T−1

t=0 (1− B(t))ϑ(t)+V B(t)ωB.

O ontrole ótimo do problema PRV (χ) será:

u∗(t) = −η0(t)φ(t)−1(η(t)−η0(t)e)(V (t)−V B(t))+2χ1

1−∏T−1

t=0 (1− B(t))ϑ(t)+V B(t)ωB.

PREV (ρ) tem omo solução ótima:

u∗(t) = −η0(t)φ(t)−1E(P(t))(V (t)− V B(t)) +

(

1

ρ∏T−1

t=0 (1− B(t))

)

ϑ(t)+ V B(t)ωB.

Onde,

ϑ(t) =1

2

(

T−1∏

k=t+1

1

η0(k)

)

E(P(t)P(t)′)−1E(P(t)),

e,

E(

V (T ))

=1−∏T−1

t=0 (1− B(t))2ρ∏T−1

t=0 (1− B(t)), (3.16)

V ar(

V (T ))

=1−

∏T−1t=0 (1− B(t))

4ρ2∏T−1

t=0 (1− B(t)), (3.17)

sendo,

ρ =

1

2σ

√

1−∏T−1

t=0 (1− B(t))∏T−1

t=0 (1− B(t))para o problema PRE(σ) ,

1−∏T−1t=0 (1− B(t))

2χ∏T−1

t=0 (1− B(t))para o problema PRV (χ).

tem-se a relação,

V ar(

V (T ))

=

∏T−1t=0 (1− B(t))

1−∏T−1t=0 (1− B(t))

E2(

V (T ))

. (3.18)

Observação 3.3 Note que a Observação 3.2 também apli a para as estratégias ótimas

dadas pelas equações do Teorema 3.2.

Obtém-se também a seguinte proposição.

Proposição 3.3 A urva no plano ris o-retorno para os problemas de otimização PRE(σ),PRV (χ) e PREV (ρ) onde onsidera-se 1 ativo livre de ris o do total de ativos, é des-

rita pela equação (ver [24 om portfólio om ondição ini ial em 0 e a substituição das

Equações (3.12) e (3.13)):

µ(T ) =

√

1−∏T−1t=0 (1− B(t))

∏T−1t=0 (1− B(t))

σP (T ).

Os resultados teóri os obtidos neste apítulo são apli ados e orroborados para o aso

espe í o da bolsa de valores do estado de São Paulo BMF&BOVESPA (ver apítulo 4).

Capítulo 4

Simulação dos Resultados

4.1 Preliminares

Para efeitos de simulação, es olheu-se o índi e da bolsa de valores do estado de São Paulo

IBOVESPA omo ben hmark de renda variável, dado que é o prin ipal índi e do mer ado

a ionário brasileiro, além de ter series históri as ompletas da omposição das arteiras

teóri as disponíveis. Em seguida, oletaram-se as ações que sempre tiveram parti ipação

no índi e desde junho/2010 até o presente real (novembro/2015) [9.

Supõe-se um presente tí io em setembro/2011 e avaliam-se os algoritmos obtidos dos

resultados teóri os num futuro tí io (até o presente real). Com base no anterior, se adota

omo dados históri os os preços ompreendidos entre junho/2010 e setembro/2011 para

a omposição do portfólio (es olha de ações pro essando essa informação) que deseja-se

otimizar. No apêndi e A se mostra o oe iente de orrelação dos retornos e os retornos

esperados estimados das ações que desde 2010 até o presente tiveram parti ipação no

IBOVESPA, obtidos a partir dos preços históri os disponibilizados em Yahoo! Finan e e

Google Finan e [44,45. Os preços são ajustados om respeito aos desdobramentos (splits)

ou grupamentos (inplits) de ações, tendo assim uma uniformidade na evolução temporal,

i.e., sem alteração da volatilidade e do retorno real sem saltos abruptos. Para a om-

posição do portfólio leva-se em onsideração o oe iente de orrelação dos retornos e o

retorno esperado estimado entre as ações argumento té ni o e o setor e onmi o ao

qual perten iam argumento fundamentalista, para assim obter uma arteira diversi-

ada. Na tabela 4.1 apresenta-se a arteira sele ionada om os seus orrespondentes

oe ientes de orrelação. O setor e onmi o rela ionado e retorno esperado estimado de

ada ação é mostrado na tabela 4.2.

Ação BRFS3 BRKM5 BVMF3 CCRO3 CIEL3 CMIG4 EMBR3 VALE3

BRFS3 1,00 -0,09 -0,27 0,44 0,11 -0,31 0,07 0,20

BRKM5 -0,09 1,00 0,59 0,33 -0,42 0,26 -0,16 0,20

BVMF3 -0,27 0,59 1,00 0,52 -0,28 0,35 0,02 -0,02

CCRO3 0,44 0,33 0,52 1,00 0,08 -0,02 0,35 0,41

CIEL3 0,11 -0,42 -0,28 0,08 1,00 -0,17 0,02 -0,07

CMIG4 -0,31 0,26 0,35 -0,02 -0,17 1,00 -0,18 -0,16

EMBR3 0,07 -0,16 0,02 0,35 0,02 -0,18 1,00 0,60

VALE3 0,20 0,20 -0,02 0,41 -0,07 -0,16 0,60 1,00

Tabela 4.1: Coe iente de orrelação das ações da arteira es olhida (jun/2010-set/2011).Fonte: autor.

23

CAPÍTULO 4. SIMULAÇO DOS RESULTADOS 24

Ação ri% Setor

BRFS3 2,23 Cons N Bási o / Alimentos Pro essados

BRKM5 1,61 Mats Bási os / Quími os

BVMF3 -1,53 Finan eiro e Outros/Serviços Finan eiros Diversos

CCRO3 1,87 Const e Transp / Transporte

CIEL3 0,82 Finan eiro e Outros/Serviços Finan eiros Diversos

CMIG4 0,58 Energia Elétri a

EMBR3 2,02 Bens Indls / Mat Transporte

VALE3 0,0 Mats Bási os / Mineração

Tabela 4.2: Retorno esperado estimado e setor e onmi o das ações da arteira es olhida

(jun/2010-set/2011).Fonte: autor.

Uma vez obtida a arteira, pode-se ontinuar om a apli ação dos algoritmos derivados

no apitulo anterior. Será suposto isenção dos ustos de transações impli ados, tais omo

as taxas de orretagem, emolumentos (operações de trading), ustódia, administração

(para renda xa) e a alíquota de imposto de renda IR. Também supõe-se que as ações

não geram dividendos.

Abordam-se dois asos para a omposição da arteira objetivo:

• Caso I: Todos os ativos de ris o grupo de ações das tabelas 4.1 e 4.2.

• Caso II: 1 ativo sem ris o -ativo de renda xa indexado- e ativos de ris o do item

anterior.

As series históri as dos preços das ações, assim omo as taxas de retorno do ativo

sem ris o foram tomadas mensalmente, ou seja, estabele e-se a unidade de tempo omo

1 mês. Dado também que a arteira teóri a do Ibovespa é divulgada por quadrimestres,

sendo esses janeiro-abril, maio-agosto, setembro-dezembro; avaliam-se os algoritmos para

os eventos T = 1, 2, 3, 4 nos dois asos demar ados, onde a ada evento multi-período se

repete o número de vezes ne essário até hegar ao tempo nal (nov/2015). Nos grá os aseguir, o mês 0 tempo ini ial orresponde a setembro/2011 e o mês 50 a novembro/2015.Nos dois asos, é feita uma omparativa do rendimento do método do Erro de Rastrea-

mento Multi-período (ERM) para os diversos T ; também ompara-se o rendimento do

ERM om o resultante da apli ação do modelo de Markowitz Multi-período (MM) in-

troduzido no apítulo anterior. Avaliam-se primeiro os algoritmos derivados da solução

dos problemas PV (χ) e PRV (χ) para o aso I ; sendo omparados depois os algoritmos

obtidos da solução dos problemas PE(σ) e PRE(σ) para o aso II. Na implementação

dos algoritmos, todas as variáveis e quantidades variam no tempo om ex eção do apital

ini ial v0 e os parâmetros de performan e desejados (rentabilidade mensal esperada, ris o

mensal esperado).

Para evitar posições de vendas a des oberto (quantidades de apital negativas a ser

investidas) ou short-sellings, implementou-se uma orreção no vetor de proporções ω(t)ω(t) =

[

ω0(t) . . . ωn(t)]

, da seguinte maneira. Zerou-se a omponente i onde ωi(t)fosse negativo e normalizou-se o o vetor ω(t) alterado,

ˆω(t). Dado que o somatório

dos elementos do vetor de proporções tem que ser obrigatoriamente 11.Impondo dessa

1

Trabalha-se om o vetor ω(t) alterado, mas se adota a mesma notação e não

ˆω(t), am de não

a res entar mais variáveis.


maneira um apital ou rentabilidade que não pode ser ultrapassado saturação, já que

está limitado ao aso em que todo o montante estivesse alo ado no ativo de maior retorno

( orroborado mais adiante neste apítulo).

4.2 Caso I: Ativos de Ris o

Para a otimização da arteira do aso I estabele e-se uma janela históri a móvel de 1 ano(12 amostras) para a estimação do retorno esperado, dado pela seguinte expressão:

ri(t) =1

12

t∑

k=t−11

Ri(k), i = 1, 2, . . . , 8. (4.1)

Sendo,

Ri(t) =Si(t)

Si(t− 1)− 1 = Ri(t)− 1,

onde no tempo t o preço do ativo i é onhe ido, i.e., no fe hamento do pregão; e portanto,

Ri(t) é al ulável.

Para estabele er o parâmetro desejado de performan e mensal µd, al ula-se o retorno

ríti o usando a análise de Markowitz uniperíodo em t = 0 (eq. 2.19) para garantir a

es olha de um ponto da fronteira e iente ini ial, ou seja,

µd ≥ µg ≈ 0.01,

µd ≥ 0.01.

Na tabela 4.3, mostram-se algumas diferenças entre retornos da fronteira e iente om o

seu ris o asso iado, obtido da raiz quadrada da eq. (2.18).

µef σ(≈) µef − σ

0.01 0.0200 -0.0010

0.02 0.0242 -0.0042

0.03 0.0268 0.0032

0.04 0.0273 0.0127

Tabela 4.3: Diferenças entre retornos e ientes e os ris os asso iados.

Fonte: autor.

Baseando-se na tabela 4.3, observa-se que o valor mais onveniente para µd é 0.04,já que a diferença entre µef − σ é positiva e muito maior do que a orrespondente a

µef = 0.03; om um pequeno aumento em ris o. Não são onsiderados valores maiores

para µef já que poderia representar um perl de investimento arrojado demais para um

futuro que é imprevisível.

Considerando a taxa bási a de juros SELIC (em set/2011) que é 11.90% [46, ou a

taxa de depósito interban ário DI-Cetip (em set/2011) sendo 11.89% [43, que em termos

mensais seriam:

µSELIC = 12√1 + 0.1190− 1 ≈ 0.0094,

µDI ≈ 0.0094,


on lui-se que a rentabilidade mensal es olhida pare e ser um bom parâmetro de per-

forman e dado que está bem a ima do que renderia um ativo de renda xa indexado a

alguma dessas taxas.

4.2.1 Comparação entre MM e ERM

Nesta subseção são omparados os métodos de MM e ERM, para o qual será pre iso obter

uma ompatibilidade nos respe tivos parâmetros de performan e, χ e χ, feito da seguintemaneira.

Uma vez obtido µd, que pode ser expresso da seguinte forma,

µd = E(P ),

onde P representa o retorno da arteira de um período de tempo om respeito ao imedia-

tamente anterior, e denota-se µ1, µ2, µ3 e µ4 os retornos esperados desejados para enário

multi-período quando T = 1, 2, 3 e 4, respe tivamente. E ainda, sejam χ1, χ2, χ3 e χ4 as

expe tativas dos apitais nais desejados, lembrando que χ é o parâmetro de performan e

desejado para o problema PV (χ). Deseja-se obter uma expressão para o parâmetro χbaseada no parâmetro χ equivalente para os diversos períodos. Para tal, tem-se que,

χ1 = E(

V (1))

= E(

(

1 + P (0))

V (0))

=(

1 + E(

P (0))

)

v0

= (1 + µd)v0.

Para χ2 tem-se que,

χ2 = E(

V (2))

= E(

(

1 + P (2))

V (1))

= E(

(

1 + P (0))(

1 + P (1))

)

v0,

supondo que P (k − 1) e P (k) são independentes para todo k, k = 1, 2, ..., T . Então,

χ2 =(

1 + E(

P (0))

)(

1 + E(

P (1))

)

v0

= (1 + µd)2v0.

Similarmente para χ3 e χ4, obtém-se:

χ3 = (1 + µd)3v0

χ4 = (1 + µd)4v0.

Denota-se por µd a rentabilidade relativa mensal desejada. Mais pre isamente,

µd = E(P − PB)

= E(P )−E(PB)

= E(P )− µB.

Para uma omparação homogênea om o algoritmo de Markowitz Multi-período, i.e., ter

o mesmo parâmetro de performan e,

µd = µd − µB,


mas omo PBé variante no tempo, então µB

também será, i.e.,

µd(t) = µd − µB(t), (4.2)

sendo,

µB(t) = E(

ωB(t)′(

R(t)−[

1 e′]

′)

)

= ωB(t)′η(t)− 1.

Seja χk a expe tativa do apital nal desejado para T = k. Tem-se,

χk = E(

V (T = k))

= E(

v0(

1 + P (k))

)

− vB0

= v0E(

k′=k−1∏

k′=0

(

1 + P (k′))

)

− vB0 ,

assumindo independên ia entre P (k′) e P (k′ + 1) para k′ = 0, 1, ..., k − 1, obtém-se,

χk = v0

k′=k−1∏

k′=0

(

1 + E(

P (k′))

)

− vB0 (4.3)

= v0

k′=k−1∏

k′=0

(

1 + µ(k′))

− vB0 . (4.4)

Por razões de simpli idade, supõe-se que:

k′=k−1∏

k′=0

(

1 + µ(k′))

≈(

1 + µ(i))k, i = 0, 1, ..., k − 1. (4.5)

Substituindo (4.5) em (4.4), nalmente obtém-se χk(t) para os períodos estabele idos. Demaneira mais pre isa,

χ1(t) =(

1 + µd(t))

v0 − vB0 ,

χ2(t) =(

1 + µd(t))2v0 − vB0 ,

χ3(t) =(

1 + µd(t))3v0 − vB0 ,

χ4(t) =(

1 + µd(t))4v0 − vB0 .

Em todos os grá os a seguir referidos aos problemas PV (χ) e PRV (χ), adotam-se os

parâmetros de performan e desejados χ e χ para o T orrespondente, respe tivamente.

Na Figura 4.1 ompara-se a evolução temporal do apital apli ando o método de MM e

ERM. Tem-se que V (t)SELIC representa o apital no aso em que se alo a todo o montante

num ativo de renda xa indexado à taxa SELIC

2

; V B(t) é o apital do Ben hmark, obtido

da normalização da arteira objetivo sob a omposição do IBOVESPA; e V (t)IBOV é a

evolução do IBOVESPA normalizado para t = 0.

2

Títulos do governo federal indexados à taxa SELIC são os títulos mais seguros do país, i.e., são os

ativos de menor ris o [47.


0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1 T=2 T=3 T=4V(t)

SELIC

(a)

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1 T=2 T=3 T=4

VB(t) V(t)

IBOV

(b)

Figura 4.1: Comparativa do apital em função do tempo entre MM (a) e ERM (b).

Fonte: autor.

Observa-se na Figura 4.1(a) que a estratégia de investimento de MM T = 1, 2, 3, 4 onsegue bater o investimento em renda xa para o tempo nal (t = 50), sendo a diferençaem rentabilidade 11% a mais para T = 4. Na gura 4.1(b) mostra-se que a estratégia

de ERM (estratégia proposta) onsegue obter uma boa diferença em rentabilidade om

respeito ao ben hmark (45% a mais para T = 2). Per ebe-se que V (t) mantem erta

orrelação om V B(t) para todos os períodos T = 1, 2, 3, 4 omo era de se esperar,

mas não tem muita diferença no de orrer do tempo entre os respe tivos V (t). Também

se observa que V B(t) tem uma boa orrelação om IBOVESPA, pois o oe iente de

orrelação ρ, é,ρ(V B(t), V (t)IBOV ) ≈ 43%.

Para os dois métodos, MM e ERM, V (t) apresenta grande similaridade na forma para

todos os períodos, mas MM tem um melhor desempenho em rentabilidade do que ERM.

Uma das razões é o momento de rise da e onomia brasileira dos últimos anos que on-

sequentemente é reetido no IBOVESPA, tendo dessa maneira um ben hmark de baixo

performan e.

Na gura seguinte apresenta-se a expe tativa instantânea do apital usando os métodos

de MM e ERM, sendo al ulada para ada apital respe tivo da seguinte maneira ,

V (t+ 1) = V (t)ω(t)′R(t), (4.6)

E(

V (t+ 1))

= V (t)ω(t)′η(t). (4.7)

Pode-se ver na Figura 4.2 que as urvas de ERM são similares entre todos os períodos

avaliados, e também similares às de MM para os períodos respe tivos. Con lui-se que

ERM em termos da expe tativa instantânea do apital não exibe nenhuma vantagem ou

desvantagem om respeito a MM.


0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

2

t (meses)

E(

V(t

))

T=1T=2T=3T=4

(a)

0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

2

t (meses)

E(

V(t

))

T=1T=2T=3T=4

(b)

Figura 4.2: Expe tativa instantânea do apital para MM (a) e ERM (b).

Fonte: autor.

O ris o instantâneo para o apital foi al ulado apli ando o operador variân ia na

Equação (4.6) e extraindo raiz quadrada, ou seja:

V ar(

V (t + 1))

= V (t)2ω(t)′Σ(t)ω(t), (4.8)

σ(

V (t+ 1))

= V (t)√

ω(t)′Σ(t)ω(t), (4.9)

onde,

Σ(t) = cov(

R(t), R(t)′)

.

A implementação da Equação (4.9) para ada método é mostrada na Figura 4.3, onde se

observa que o ERM exibe um maior ris o do que o MM, orroborando de maneira intuitiva

o resultado de deslo amento na variân ia dado em [38 para o enário uniperíodo, o que

leva a inferir que tem alguma equivalên ia no enário multi-período.


0 10 20 30 40 500

2

4

6

8

10

12

t (meses)

σ[V

(t)]

T=1T=2

(a)

0 10 20 30 40 500

2

4

6

8

10

12

t (meses)

σ[V

(t)]

T=1T=2

(b)

0 10 20 30 40 500

2

4

6

8

10

12

t (meses)

σ[V

(t)]

T=3T=4

( )

0 10 20 30 40 500

2

4

6

8

10

12

t (meses)

σ[V

(t)]

T=3T=4

(d)

Figura 4.3: Ris o instantâneo do apital para: MM (a) e ( ); e ERM (b) e (d).

Fonte: autor.

4.2.2 Avaliação do ERM para o PRV (µ) om diversos T

Nesta subseção avalia-se isoladamente o ERM. A Figura 4.4 apresenta o ERM para os

períodos estabele idos

3

.

0 10 20 30 40 50

−20

−10

0

10

20

t (meses)

V(t

)%

T=1T=2

(a)

0 10 20 30 40 50

−20

−10

0

10

20

t (meses)

V(t

)%

T=3T=4

(b)

Figura 4.4: ERM em função do tempo para: T = 1, 2 (a); e T = 3, 4 (b).

Fonte: autor.

3

As quantidades dadas em por entagem são relativas aos seus valores para t = 0


Cabe desta ar que o apital do ben hmark (V B(t)) usado para al ular o ERM não é

o mostrado na gura 4.1(b), já que nesse aso não teria-se um ganho a umulativo senão

onstante, o que produziria um V (t) onstantemente distan iado de V B(t). Por tal

motivo, ini ializou-se ada vB0 om o apital nal do período anterior (similarmente para

v0), i.e.,V B(t = kT ) = vB0 = V (T − 1), k = 1, 2, ..., kmT ,

onde,

50

T= kmT + d, kmT ∈ Z

+para T = 1, 2, 3, 4.

Lembrando que,

V (t = 0) = V B(t = 0) = 1.

Observa-se na Figura 4.4 que o ERM não é sempre positivo, o que quer dizer que não

onseguiu-se obter ganho do ben hmark para todo t. Mesmo assim, o ganho a umulativo

foi positivo (ver gura 4.1), o que impli a que a média do ERM foi positiva. Também

observa-se que a volatilidade do ERM aumenta onforme T aumenta, a qual é uma ausa

da orreção feita para as short-sellings e não do método ( omo se per eberá mais para

frente). Para orroborar o dito anteriormente, apresenta-se a Tabela 4.4, a qual mostra a

média amostral do ERM (V (t)) e o seu desvio padrão σ(

V (t))

para os diversos períodos.

T 1 2 3 4

V (t) 0.0086 0.0151 0.0124 0.0231

σ(

V (t))

0.0454 0.0553 0.0751 0.0776

Tabela 4.4: Média Amostral e desvio padrão do ERM.

Fonte: autor.

Na Figura 4.5(a) é apresentada a expe tativa do ERM para o nal de ada período,

E(

V (t = k(T − 1)))

. Note que E(

V (t = k(T − 1)))

deveria se manter onstante para

(k−1)(T−1) ≤ t ≤ k(T−1), mas essa quantidade foi real ulada dado que as estatísti as

dos retornos variam para ada t. Para ns de omparação entre os diferentes períodos

(ver 4.5(b)), foi feita uma equivalên ia da seguinte maneira:

P (T ) = P (T )− PB(T )

=V (T )− v0

v0− V B(T )− vB0

vB0, sendo vB0 = v0,

então tem-se,

P (T ) =1

v0

(

V (T )− V B(T )− v0 + v0

)

=V (T )

v0,

e por onsequên ia,

E(

P (T ))

=E(

V (T ))

v0.

Por m, para a equivalên ia om T = 4 se faz:

E(

V (T ))

eq= v0

(

1 + E(

P (T ))

)4

T − v0, para T = 1, 2, 3, 4. (4.10)


A Figura 4.5(b) mostra a expe tativa do ERM ao nal do período om a apli ação da

Eq.(4.10) note que E(

V (T ))

para T = 4 não teve alterações. Portanto, on lui-se que

E(

V (T ))

não apresenta grandes mudanças ou ganhos em relação ao período avaliado.

0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

25

30

35

t (meses)

E(

V(T

))

%

T=1T=2T=3T=4

(a)

0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

25

30

35

t (meses)

E(

V(T

))

%

T=1T=2T=3T=4

(b)

Figura 4.5: Expe tativa do ERM no nal de T (a); Expe tativa do ERM equivalente em

T=4 (b).

Fonte: autor.

O ris o do ERM ao nal de T é apresentado na Figura 4.6. Como feito anteriormente,

também foi real ulado em ada instante de tempo. É importante desta ar que os ris os

para ada T são a umulativos, e.g., para T = 4 orresponde o ris o a umulado de 4 meses,

sendo in omparável om T = 1 (um mês). Por tal razão, de maneira similar omo feito em

(4.10) para a equivalên ia da expe tativa em T = 4, é feito para o ris o (ris o equivalenteem T = 4). Para en ontrar uma expressão para a equivalên ia em T = 4 en ontra-se uma

expressão para σ(

P (2))

e logo se generaliza para σ(

P (k))

, ou seja,

1 + P (2) =(

1 + P (0))(

1 + P (1))

,

sendo,

X2 = 1 + P (2), X1 = 1 + P (1), X0 = 1 + P (0),

tem-se,

V ar(X2) = V ar(X0X1)

= E(

(X0X1)2)

− E2(X0X1), om Xk ⊥ Xk−1, k ≥ 1

= E(X20 )E(X

21 )− E2(X0)E

2(X1)

=(

V ar(X0) + E2(X0))(

V ar(X1) + E2(X1))

−E2(X0)E2(X1)

= V ar(X0)V ar(X1) + E2(X0)V ar(X1) + E2(X1)V ar(X0),

e dado que,

V ar(X0) = V ar(

1 + P (0))

= V ar(

P (0))

V ar(X1) = V ar(

1 + P (1))

= V ar(

P (1))

V ar(X2) = V ar(

1 + P (2))

= V ar(

P (2))

E2(X0) =(

E(

1 + P (0))

)2

=(

1 + E(

P (0))

)2

E2(X1) =(

1 + E(

P (1))

)2

,


obtém-se,

V ar(

P (2))

= V ar(

P (0))

V ar(

P (1))

+V ar(

P (1))

(

1+E(

P (0))

)2

+V ar(

P (0))

(

1+E(

P (1))

)2

,

seja σd o ris o asso iado a µd usando o método de Markowitz uniperíodo dado pela

Equação (2.18), sendo σd o ris o num período de tempo qualquer om respeito ao tempo

anterior. Pode-se es rever V ar(

P (2))

omo,

V ar(

P (2))

=(

σ2d + (1 + µd)

2)

V ar(

P (1))

+ σ2d(1 + µd)

2. (4.11)

Mantendo a mesma notação usada anteriormente, generaliza-se para k da seguinte ma-

neira,

Xk = Xk−1X0, (4.12)

onde,

Xk−1 =(

1 + P (0))(

1 + P (1))

. . .(

1 + P (k − 2))

e X0 = 1 + P (k − 1),

denotando o retorno a umulativo da arteira até o instante t omo P ′(t), tem-se:

V ar(X0) = V ar(

P (k − 1))

= V ar(

P (1))

V ar(Xk−1) = V ar(

P ′(k − 1))

,

similarmente ao feito anteriormente,

V ar(

P (k))

=V ar(

P (1))

V ar(

P ′(k − 1))

+ V ar(

P ′(k − 1))

(

1 + E(

P (1))

)2

+ V ar(

P (1))

(

1 + E(

P ′(k − 1))

)2

,

e apli ando a aproximação em (4.5),

V ar(

P ′(k))

=(

σ2d + (1 + µd)

2)

V ar(

P (k − 1))

+ σ2d(1 + µd)

2(k−1), V ar(

P (0))

= 0.

Supondo também que as estatísti as dos retornos são variantes no tempo, e denotando

V ar(

P ′(k))

omo σ2′

k k = 1, 2, 3, 4, obtém-se,

σ2′

k (t) =(

σ2d +

(

1 + µd(t))2)

σ2′

k−1(t− 1) + σ2d

(

1 + µd(t))2(k−1)

, σ2′

0 (t) = 0. (4.13)

De (??) tem-se:

σ(

V (T ))

= v0σ(

P (T ))

, (4.14)

portanto, para a equivalên ia om T = 4 al ula-se

4

:

σ(

V (T ))

eq|T=1 = v0σ

′

4, (4.15)

σ(

V (T ))

eq|T=2 = v0σ

′

2, σ2′

1 = σ2d = V ar

(

V (T ))

|T=2, µd = µd|σd, (4.16)

σ(

V (T ))

eq|T=3 = v0σ

′

2, σ2′

1 = V ar(

V (T ))

|T=3, (4.17)

σ(

V (T ))

eq|T=4 = v0σ

′

1, σd = V ar(

V (T ))

|T=4. (4.18)

Note que para T = 4, Equação (4.18), o ris o não tem alterações, i.e., σ(

V (T ))

eq|T=4 =

V ar(

V (T ))

|T=4.

4

Nas equações (4.15) e (4.17), σd orresponde ao parâmetro de performan e estabele ido anteriormente

om o seu µd asso iado.


Na Figura 4.6(a) mostra-se o ris o do ERM no tempo nal, não podendo-se omparar

os ris os asso iados para ada período. A implementação das equações anteriores , ou seja,

a equivalên ia feita para ns de omparação é representada na gura 4.6(b), podendo-se

observar o efeito multi-período, i.e., onsegue-se diminuir o ris o om o aumento de T(ampliação da janela temporal de planejamento), superando o aso uniperíodo de Roll.

0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

t (meses)

σ(

V(T

))

%

T=1T=2T=3T=4

(a)

0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

t (meses)

σ(

V(T

))

%

T=1T=2T=3T=4

(b)

Figura 4.6: Ris o do ERM no nal de T (a); ris o do ERM equivalente em T = 4 (b).

Fonte: autor.

Na Figura 4.7 mostra-se a expe tativa do ERM instantânea, om objetivo de omparar

omo as soluções em ada t reetem desde a visão de úni o período (equivalên ia em

T = 1). Sendo o al ulo efetuado da seguinte maneira:

V (t+ 1) = V (t+ 1)− V B(t+ 1) (4.19)

= V (t)ω(t)′R(t)− V B(t)ωB(t)′R(t), (4.20)

o que impli a que,

E(

V (t + 1))

= V (t)ω(t)′η(t)− V B(t)ωB(t)′η(t). (4.21)

0 10 20 30 40 50−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

t (meses)

E(

V(t

))

%

T=1T=2

(a)

0 10 20 30 40 50−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

t (meses)

E(

V(t

))

%

T=3T=4

(b)

Figura 4.7: Expe tativa instantânea do ERM para T = 1, 2 (a) e T = 3, 4 (b).

Fonte: autor.

Observa-se na Figura 4.7 que a expe tativa instantânea do ERM para T = 2, 3, 4segue as variações negativas do ERM (ver gura 4.4), e.g., em t = 1, 12, 22, 36, 43; mas


onsegue-se re ompor nos outros instantes de tempo, ontrastando om o aso de T = 1,onde se mantem os ilando positivamente em todo t.

Para en ontrar o ris o instantâneo, o seguinte ál ulo é feito. Da Eq.(4.19) tem-se

que,

V (t+ 1) =(

1 + P (t))

V (t)−(

1 + PB(t))

V B(t), (4.22)

sendo P (t) = ω(t)′R(t)− 1. Então,

V ar(

V (t+1))

= V (t)2V ar(

1+P (t))

+V B(t)2V ar(

1+PB(t))

−2cov(V (t+1), V B(t+1)),(4.23)

efetua-se o termo da ovariân ia entre V (t + 1) e V B(t+ 1),

cov(

V (t+ 1), V B(t+ 1))

= V (t)V B(t)E(

(

1 + P (t))(

1 + PB(t))

)

(4.24)

− V (t)V B(t)E(

1 + P (t))

E(

1 + PB(t))

(4.25)

= V (t)V B(t)cov(

1 + P (t), 1 + PB(t))

(4.26)

= V (t)V B(t)cov(

P (t), PB(t))

(4.27)

= V (t)V B(t)ω(t)′Σ(t)ωB(t). (4.28)

Substituindo (4.28) em (4.23) e fazendo algumas manipulações obtém-se:

V ar(

V (t+ 1))

=(

V (t)ω(t)− V B(t)ωB(t))

′

Σ(t)(


, (4.29)

e onsequentemente,

σ(

V (t+ 1))

=

√

(


′

Σ(t)(


. (4.30)

A Figura 4.8 mostra o grá o derivado da implementação de (4.30) para os diversos

períodos.

0 10 20 30 40 500

1

2

3

4

5

6

t (meses)

σ(

V(t

))

%

T=1T=2

(a)

0 10 20 30 40 500

1

2

3

4

5

6

t (meses)

σ(

V(t

))

%

T=3T=4

(b)

Figura 4.8: Ris o instantâneo do ERM para T = 1, 2 (a) e T = 3, 4 (b).

Fonte: autor.

As guras mostradas até o momento têm onsiderado a orreção para as short-sellings.

No seguinte grá o (Fig. 4.9) mostra-se a deformação introduzida nas estatísti as do ERM


quando a orreção é apli ada. Por razões de simpli idade avalia-se para T = 1, já que

neste aso não se tem que fazer nenhuma equivalên ia.

0 10 20 30 40 500

1

2

3

4

5

6

7

8

t (meses)

E(

V(t

))

| T=

1%

C/ short−sellingsS/ short−sellings

(a)

0 10 20 30 40 500

1

2

3

4

5

6

7

8

t (meses)

σ(

V(t

))

| T=

1%


(b)

Figura 4.9: Expe tativa do ERM om e sem short-sellings (T = 1) (a); ris o do ERM

om e sem short-sellings (T = 1) (b).Fonte: autor.

Observa-se na Figura 4.9(a) que a orreção feita para as short-sellings diminuem a

expe tativa do ERM em todo t, e omo é de se esperar, o ris o asso iado também diminui.

Na faixa de tempo 16 ≤ t ≤ 22 a orreção feita ausa uma operação fora da fronteira

e iente, obtendo assim uma expe tativa menor om um ris o asso iado maior.


4.2.3 Avaliação do ERM para o PRV (χ) om diversos µd e T

Apresenta-se na Figura 4.10 a evolução do apital apli ando ERM para diferentes µd.

Como era de se esperar no grá o (a), o apital segue o apital do ben hmark, i.e, obtém-

se a mesma estratégia de investimento (ω(t) = ωB(t)) em todos os períodos, dado que a

expe tativa do ERM desejado se xa em zero (µd = 0). No grá o (b) as urvas estão

apenas separadas da urva do ben hmark, devido a que o parâmetro de performan e µd é

pequeno (0.5% mensal). Nos grá os ( ) e (d) o apital toma valores maiores hegando à

saturação, mesmo que o parâmetro de performan e do grá o (d)(µd = 100%) é muito

maior do que o estabele ido no grá o ( ) (µd = 6%), os apitais respe tivos só apresentam

pequenas diferenças. Em on lusão, a estratégia ERM não onsegue ultrapassar uma

rentabilidade de saturação limitada pela orreção de short-sellings implementada, omo

apontado anteriormente, assim sejam estabele idos parâmetros de performan e µd ada

vez maiores, independentemente do T adotado.

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1,2,3,4.

VB(t)

(a)

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1T=2T=3T=4

VB(t)

(b)

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1T=2T=3T=4

VB(t)

( )

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1,2,3,4.

VB(t)

(d)

Figura 4.10: Capital em função do tempo para: µd = 0% (a); µd = 0.5% (b); µd = 6%( ); e µd = 100% (d).

Fonte: autor.


4.2.4 Avaliação do ERM para o PREV (ρ) om diversos ρ e T

Na gura seguinte o problema PREV (ρ) é abordado variando seu parâmetro de perfor-

man e, ou seja, alterando ρ (fator de aversão ao ris o). Na Figura 4.23(a) observa-se que

o apital ou rentabilidade de saturação foi atingida, dado que o fator de aversão ao ris o é

pequeno

5

, em outas palavras, deseja-se obter todo o ganho possível om um baixo re eio

ao ris o. Nos grá os (b) e ( ) é per ebido omo o apital a mais proximo do apital

a umulado pelo ben hmark onforme ρ aumenta, respe tivamente. No grá o (d), omo

esperado, o apital para os diversos períodos batem om o ben hmark, em onsequên ia

de que ρ tende a innito, o que seria equivalente ao aso de assumir rentabilidade nula

para o ERM (ver gura 4.10(a)). Com relação ao apital entre os diferentes T avaliados,

não se pode on luir nada a respeito, já que o parâmetro ρ não é equivalente para os

diversos períodos.

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1,2,3,4.

VB(t)

(a)

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1T=2T=3T=4

VB(t)

(b)

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1T=2T=3T=4

VB(t)

( )

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1,2,3,4.

VB(t)

(d)

Figura 4.11: Capital em função do tempo para: ρ = 1 (a); ρ = 102 (b); ρ = 104 ( ); e

ρ→ ∞ (d).

Fonte: autor.

5

O nível assumido de aversão ao ris o ρ, é dependente das estatísti as do portfólio.


4.3 Caso II: 1 Ativo sem Ris o e Ativos de Ris o

Neste enário adota-se a arteira do aso II, onde onsidera-se o ativo sem ris o omo

um título públi o indexado à taxa SELIC (ativo de menor ris o no Brasil). Para ompor

a arteira teóri a do ben hmark leva-se em onsideração a Figura 4.12, a qual lassi a

alguns portfólios ou pers de investimento baseado nas proporções investidas em renda

xa e variável. Adotou-se um portfólio moderadamente agressivo Figura 4.12( ), em

onsequên ia, o ben hmark é omposto omo um fundo de investimento om 65% investido

num ativo de renda xa indexado; e o restante 35% propor ionado nos ativos de ris o da

arteira teóri a do IBOVESPA do aso I. Ou seja,

ωB(t)II =[

0.65 0.35ωB(t)′I]

′

, (4.31)

R(t)II =[

R(t)SELIC R(t)′I]

′

. (4.32)

(a) (b)

( ) (d)

Figura 4.12: Modelos de portfólios: onservador (a); moderadamente onservador (b);

moderadamente agressivo ( ); agressivo ou arrojado (d).

Fonte: [13.

4.3.1 Avaliação do ERM para o PRE(σ) om diversos T

Para este enário aborda-se o problema PRE(σ), denotando por σdT o ris o mensal dese-

jado relativo ao Ben hmark parâmetro de performan e para ada T. Para a obtenção doparâmetro de performan e equivalente se apli a a Eq.(4.13), assumindo um ris o mensal,

σd = 1%. (4.33)

Na Figura 4.13 apresenta-se o apital em função do tempo para os diversos períodos.

Observa-se uma diferença notória entre o apital para T = 1 om os apitais para

T = 2, 3, 4, em ontraste om o aso I (todos os ativos de ris o, gura 4.1) em que

tinha-se um omportamento similar para os diferentes T . Con lui-se que a estratégia

ERM neste aso obtém um melhor performan e para todo t em termos de V (t) do que a


estratégia introduzida por Roll (ERM om T = 1) [38.

Nota-se também que o ben hmark evolui de forma linear om pequenas os ilações,

dada a alta proporção de renda xa, e onsequentemente, os diversos V (t) também evo-

luem om erta linearidade.

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1 T=2 T=3 T=4

VB(t)V(t)

IBOV

Figura 4.13: Capital em função do tempo.

Fonte: autor.

Mostra-se na Figura 4.14 o ERM ao longo do tempo, onde a obtenção de V B(t) é

similar à feita na geração da Figura 4.4. Observa-se que o ERM tem instantes onde é

negativo, ou seja, não se onsegue obter ganho om respeito ao ben hmark, mas o ganho

a umulativo (na média) é positivo (ver gura 4.13).

0 10 20 30 40 50

−20

−10

0

10

20

t (meses)

V(t

)%

T=1T=2

(a)

0 10 20 30 40 50

−20

−10

0

10

20

t (meses)

V(t

)%

T=3T=4

(b)

Figura 4.14: ERM em função do tempo para: T = 1, 2 (a); e T = 3, 4 (b).

Fonte: autor.


Se infere que onforme T aumenta o ERM é mais volátil (similar ao aso I), devido

às orreções para short-sellings ( omo se observará em próximos grá os). Apresenta-se

a Tabela 4.5 que orrobora o armado anteriormente.

T 1 2 3 4

V (t) 0.0009 0.0093 0.0117 0.0253

σ(

V (t))

0.0245 0.0499 0.0640 0.0753

Tabela 4.5: Média Amostral e desvio padrão do ERM.

Fonte: autor.

A expe tativa do ERM ao nal de T é apresentada na Figura 4.15(a); e a imple-

mentação de (4.10) equivalên ia para T=4 é dada pela Figura 4.15(b). Baseando-se

nesta última gura, on lui-se que a expe tativa do ERM ao nal de T tem um melhor

rendimento onforme o T avaliado aumenta, superando nesta quantidade (expe tativa) o

método de úni o período (T = 1) proposto por Roll [38.

0 10 20 30 40 500

50

100

150

200

t (meses)

E(

V(T

))

%

T=1T=2T=3T=4

(a)

0 10 20 30 40 500

50

100

150

200

t (meses)

E(

V(T

))

%

T=1T=2T=3T=4

(b)

Figura 4.15: Expe tativa do ERM no nal de T (a); expe tativa do ERM equivalente em

T=4 (b).

Fonte: autor.

Na Figura 4.16(a) mostra-se o o ris o em termos do retorno para o ERM ao nal

de T , resultante da implementação da eq.(4.13), onde se observam pequenas os ilações

para T = 2, 3, 4 produto da variação de µd no tempo, lembrando que σd é xado.

Na Figura 4.16(b) mostra-se a equivalên ia para T = 4, implementando as equações

(4.15)(4.16)(4.17)(4.18) divididas em v0, respe tivamente para ada T . Cabe desta ar

que obtém-se uma ótima equivalên ia, dado que as urvas estão próximas entre si (ris o

do retorno nal) independente do período avaliado, on ordando plenamente, já que é o

parâmetro desejado estabele ido.

As Figuras 4.16( )(d) são obtidas de maneira similar que as Figuras 4.16(a)(b) mas

para o ERM ( apital relativo), i.e., v0 vezes o retorno relativo ao nal de T . Per ebe-sena Figura 4.16(d) uma maior diferença entre os diferentes T , onsequên ia da evolução

de v0 (ver gura 4.13), lembrando que o método é apli ado repetidamente no de orrer do

tempo.


0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

2

2.5

t (meses)

σ(

P(T

))

%

T=1T=2T=3T=4

(a)

0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

2

2.5

t (meses)

σ(

P(T

))

%

T=1T=2T=3T=4

(b)

0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t (meses)

σ(

V(T

))

%

T=1T=2T=3T=4

( )

0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t (meses)

σ(

V(T

))

%

T=1T=2T=3T=4

(d)

Figura 4.16: Ris o do retorno relativo no nal de T (a); ris o do retorno relativo equiva-

lente em T=4 (b); ris o do ERM no nal de T ( ); ris o do ERM equivalente em T=4

(d).

Fonte: autor.

A expe tativa do ERM instantânea em função do tempo eq.(4.21) é apresentada

na Figura 4.17 . Onde similarmente ao aso I, as urvas da gura para T = 2, 3, 4seguem as variações negativas do ERM ( omparar om a gura 4.13), mas se re ompõem

nos seguintes instantes de tempo, produzindo uma expe tativa a umulada positiva. Em

ontrapartida, a urva respe tiva para T = 1 mantem-se positiva e om baixa os ilação

em todo o tempo.


0 10 20 30 40 50−10

−5

0

5

10

15

20

25

t (meses)

E(

V(t

))

%

T=1T=2

(a)

0 10 20 30 40 50−10

−5

0

5

10

15

20

25

t (meses)

E(

V(t

))

%

T=3T=4

(b)

Figura 4.17: Expe tativa instantânea do ERM para T = 1, 2 (a) e T = 3, 4 (b).

Fonte: autor.

Com ns puramente ilustrativos, a gura a seguir mostra o ris o instantâneo do ERM

implementação da Eq.(4.30), onde observa-se omo as soluções em ada t para os dife-

rentes períodos avaliados reetem no ris o (desde o enário de T = 1). Como era de se

esperar, a urva ótima é a urva orrespondente a T = 1.

0 10 20 30 40 500

1

2

3

4

5

6

7

t (meses)

σ(

V(t

))

%

T=1T=2

(a)

0 10 20 30 40 500

1

2

3

4

5

6

7

t (meses)

σ(

V(t

))

%

T=3T=4

(b)

Figura 4.18: Ris o instantâneo do ERM para T = 1, 2 (a) e T = 3, 4 (b).

Fonte: autor.

Na Figura 4.19(a) é apresentada a expe tativa instantânea do apital, onde se nota

uma diferença onsiderável entre a orrespondente a T = 1 (menor) om as respe tivas

de T = 2, 3, 4 (desde a visão de úni o período), mas em onsequên ia, o ris o instantâneo

(ver gura 4.19(b)) para T = 2, 3, 4 é também maior e res ente om T do que o ris o

instantâneo respe tivo a T = 1.


0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

2

2.5

t (meses)

E(

V(t

))

T=1T=2T=3T=4

(a)

0 10 20 30 40 500

1

2

3

4

5

6

7

8

t (meses)

σ(

V(t

))

%

T=1T=2T=3T=4

(b)

Figura 4.19: Expe tativa instantânea do apital (a) e ris o instantâneo do apital (b).

Fonte: autor.

De forma similar ao feito para o aso I, apresenta-se na seguinte gura o efeito da

orreção apli ada para as short-sellings nas estatísti as do ERM onsiderando T = 1.Pode-se observar na Figura 4.20(a) omo a orreção deforma a expe tativa do ERM,

diminuindo-a. Agora, tendo em onta a Figura 4.20(b) (ris o maior), on lui-se que sob

as ondições estabele idas, a orreção de short-sellings implementada faz om que se opere

fora da fronteira e iente na maioria do tempo.

0 10 20 30 40 50−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t (meses)

E(

V(t

))

| T=

1%


(a)

0 10 20 30 40 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

t (meses)

σ(

V(t

))

| T=

1%


(b)

Figura 4.20: Expe tativa do ERM om e sem short-sellings (T = 1) (a); ris o do ERM

om e sem short-sellings (T = 1) (b).Fonte: autor.


4.3.2 Avaliação ERM para PRE(σ) om diversos ben hmarks

Na Figura 4.21 apresenta-se o apital ao longo do tempo om diferentes ben hmarks.

Onde é assumido para o ben hmark os portfólios ou pers de investimento mostrados na

Figura 4.12. Nota-se que a medida que se altera (diminui) a proporção de renda xa na

arteira do ben hmark, o apital para os diversos T diminui e apresenta maior volatilidade,

tendo o melhor rendimento quando o ben hmark é omposto de 100% do ativo indexado

à SELIC, e por onseguinte, uma maior proporção é investido nesse ativo. Desta a-se

que independente do ben hmark, o ERM para T = 2, 3, 4 supera em termos de apital o

enfoque de úni o período de Roll [38 ( apital).

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1 T=2 T=3 T=4

VB(t)

(a)

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1T=2T=3T=4

VB(t)

(b)

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1 T=2 T=3 T=4

VB(t)

( )

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1 T=2 T=3 T=4

VB(t)

(d)

Figura 4.21: Capital em função do tempo para: ben hmark onservador om 100% em

SELIC (a); ben hmark moderadamente onservador om 65% em SELIC e 35% em ações

(b); ben hmark moderadamente agressivo om 35% em SELIC e 65% em ações ( ); e

ben hmark agressivo om 100% em ações (d).

Fonte: autor.


4.3.3 Avaliação ERM para PRE(σ) om diversos σd

Na gura seguinte é mostrado o apital ao longo do tempo para diferentes parâmetros de

performan e, σd. Como esperado, na Figura 4.22(a) o apital para os diversos períodos

bate om o apital a umulado pelo portfólio do ben hmark, fato que é on ordante, devido

a que não se está assumindo ris o para o ERM. Na Figura 4.22(b) assume-se um ris o

pequeno (σd = 0.05%), e por tal razão, as urvas apenas se distan iam da urva do

ben hmark. Nos grá os ( ) e (d) o apital para os diversos períodos pare em ter atingido

seu ponto de saturação, e em onsequên ia, não se onsegue ultrapassar essa rentabilidade

limite (similar ao aso I) independente do T avaliado.

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1,2,3,4.

VB(t)

(a)

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1 T=2 T=3 T=4

VB(t)

(b)

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1T=2T=3T=4

VB(t)

( )

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1,2,3,4.

VB(t)

(d)

Figura 4.22: Capital em função do tempo para: σd = 0% (a); σd = 0.05% (b); σd = 6%( ); e σd = 100% (d).

Fonte: autor.


4.3.4 Avaliação ERM para PREV (ρ) om diversos ρ e T

Agora será abordado o problema PREV (ρ) variando seu parâmetro de performan e.

Observa-se na Figura 4.23(a) que foi atingida a rentabilidade de saturação, devido a que

o nível de aversão ao ris o é baixo. Nos grá os (b) e ( ) observa-se omo o apital se

aproxima mais ao apital a umulado pelo ben hmark onforme ρ aumenta, respe tiva-

mente. No grá o (d), o apital para os diversos T batem om o ben hmark, dado que ρ onverge a innito, o que seria equivalente ao aso de assumir ris o nulo ou rentabilidade

nula para o ER (ver Figuras 4.10(a) e 4.22(a)).

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1,2,3,4.

VB(t)

(a)

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1T=2T=3T=4

VB(t)

(b)

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1T=2T=3T=4

VB(t)

( )

0 10 20 30 40 500.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t (meses)

V(t

)

T=1,2,3,4.

VB(t)

(d)

Figura 4.23: Capital em função do tempo para: ρ = 1 (a); ρ = 102 (b); ρ = 104 ( ); e

ρ→ ∞ (d).

Fonte: autor.

Capítulo 5

Con lusão

Neste trabalho foi generalizada a estratégia de investimento uniperíodo om erro de ras-

treamento proposta por Roll em [38, i.e., se derivou de forma analíti a uma políti a ótima

om erro de rastreamento no enário multi-período (ERM) para arteiras de investimento

e obteve-se uma relação explí ita entre ris o e retorno do ERM, adotando o enfoque de

média-variân ia multi-período (MM) introduzida por Li e Ng em [24. Uma omparação

entre os métodos MM e ERM foi feita, onsiderando uma arteira omposta de só ativos de

ris o para os problemas PV (µ) e PRV (µ), onde via simulações é notado que MM obtém

um apital a umulado maior do que ERM em todos os períodos avaliados (T = 1, 2, 3, 4), om similar expe tativa instantânea e menor ris o instantâneo. Avaliando o ERM isola-

damente, per ebe-se que o enário multi-período tem um melhor desempenho do que o

método de úni o período nos dois asos estabele idos em termos de rendimento em a-

pital, independentemente do parâmetro de performan e, ben hmark es olhido e período

adotado (µd, ωB(t), σd, T ). Se obteve um menor ris o do ER ao nal de T (para o aso I) e

uma maior expe tativa do ER ao nal de T ( aso II) para o método proposto om respeito

ao modelo uniperíodo de Roll. Com relação à orreção feita para evitar as short-sellings,

observou-se que sua apli ação a arreta deformações nas estatísti as do ERM, diminuindo

a expe tativa e aumentando o ris o asso iado, em outras palavras, ausando operações

fora da fronteira e iente de investimentos.

Uma evolução natural do presente trabalho seria a de derivar uma políti a ótima

multi-período sob a hipótese de dependên ia temporal entre os retornos omo um modelo

ARMA (hipótese diferente que a Hipótese 3.1); abordar outros modelos para a estimação

tanto do retorno esperado, quanto para o ris o, e.g., o modelo CAPM, CCAPM, entre

outros, om o m de obter melhores predições; derivar analiti amente um algoritmo de

orreção para as short-sellings baseado na otimização de algum ritério que mantenha uma

forte orrelação entre as estatísti as do ERM ao nal de T (solução sub-ótima), evitando

assim, operações fora da fronteira e iente de investimento ou grandes deformações nas

estatísti as do ERM.

48

Apêndi e A

Fator de Correlação e Retorno

Esperado Estimado das Ações do

IBOVESPA (jun/2010-set/2011)

Ação BBAS3 BBDC4 BRAP4 BRFS3 BRKM5 BVMF3 CCRO3 CESP6

BBAS3 1,00 0,78 0,61 0,19 0,25 0,18 0,67 0,44

BBDC4 0,78 1,00 0,61 0,12 0,20 0,05 0,53 0,59

BRAP4 0,61 0,61 1,00 0,03 0,30 0,19 0,41 0,47

BRFS3 0,19 0,12 0,03 1,00 -0,09 -0,27 0,44 0,00

BRKM5 0,25 0,20 0,30 -0,09 1,00 0,59 0,33 0,15

BVMF3 0,18 0,05 0,19 -0,27 0,59 1,00 0,52 0,20

CCRO3 0,67 0,53 0,41 0,44 0,33 0,52 1,00 0,21

CESP6 0,44 0,59 0,47 0,00 0,15 0,20 0,21 1,00

CIEL3 0,08 0,12 -0,10 0,11 -0,42 -0,28 0,08 0,24

CMIG4 0,12 0,33 0,06 -0,31 0,26 0,35 -0,02 0,44

CPLE6 0,22 0,40 0,30 -0,34 0,33 0,41 0,07 0,64

CRUZ3 0,68 0,61 0,23 -0,03 0,46 0,28 0,53 0,26

CSAN3 0,77 0,71 0,60 0,19 0,03 -0,08 0,56 0,19

CSNA3 0,69 0,66 0,67 0,40 0,44 0,19 0,61 0,35

CYRE3 0,79 0,51 0,53 0,28 0,38 0,22 0,64 0,30

EMBR3 0,52 0,46 0,56 0,07 -0,16 0,02 0,35 0,29

FIBR3 0,42 0,70 0,73 0,17 0,47 0,28 0,56 0,46

GFSA3 0,75 0,59 0,59 0,36 0,38 0,18 0,62 0,38

GGBR4 0,36 0,28 0,22 0,21 0,23 -0,09 0,23 -0,20

ITSA4 0,81 0,85 0,51 0,02 0,21 0,08 0,50 0,39

ITUB4 0,80 0,86 0,52 0,05 0,19 0,03 0,50 0,33

JBSS3 0,57 0,44 0,33 0,07 0,44 -0,09 0,24 0,18

LAME4 0,57 0,47 0,25 -0,20 0,33 0,47 0,58 0,24

MRVE3 0,77 0,47 0,38 0,11 0,56 0,45 0,64 0,44

NATU3 0,75 0,69 0,39 0,30 0,53 0,30 0,67 0,45

PETR3 0,27 0,33 0,44 0,39 0,13 -0,53 -0,03 0,08

PETR4 0,32 0,39 0,53 0,38 0,18 -0,50 0,02 0,07

USIM5 0,42 0,52 0,22 0,25 0,41 0,04 0,29 0,30

VALE3 0,66 0,52 0,91 0,20 0,20 -0,02 0,41 0,27

VALE5 0,66 0,54 0,93 0,14 0,14 0,02 0,39 0,35

49

APÊNDICE A. FATOR DE CORR. E RETORNO ESPERADO DO IBOVESPA 50

Ação CIEL3 CMIG4 CPLE6 CRUZ3 CSAN3 CSNA3 CYRE3 EMBR3

BBAS3 0,08 0,12 0,22 0,68 0,77 0,69 0,79 0,52

BBDC4 0,12 0,33 0,40 0,61 0,71 0,66 0,51 0,46

BRAP4 -0,10 0,06 0,30 0,23 0,60 0,67 0,53 0,56

BRFS3 0,11 -0,31 -0,34 -0,03 0,19 0,40 0,28 0,07

BRKM5 -0,42 0,26 0,33 0,46 0,03 0,44 0,38 -0,16

BVMF3 -0,28 0,35 0,41 0,28 -0,08 0,19 0,22 0,02

CCRO3 0,08 -0,02 0,07 0,53 0,56 0,61 0,64 0,35

CESP6 0,24 0,44 0,64 0,26 0,19 0,35 0,30 0,29

CIEL3 1,00 -0,17 -0,24 0,17 -0,04 -0,36 0,21 0,02

CMIG4 -0,17 1,00 0,64 0,07 -0,12 0,10 -0,12 -0,18

CPLE6 -0,24 0,64 1,00 0,09 0,09 0,29 -0,14 0,24

CRUZ3 0,17 0,07 0,09 1,00 0,55 0,35 0,76 0,07

CSAN3 -0,04 -0,12 0,09 0,55 1,00 0,59 0,60 0,45

CSNA3 -0,36 0,10 0,29 0,35 0,59 1,00 0,48 0,63

CYRE3 0,21 -0,12 -0,14 0,76 0,60 0,48 1,00 0,15

EMBR3 0,02 -0,18 0,24 0,07 0,45 0,63 0,15 1,00

FIBR3 0,03 0,26 0,33 0,39 0,42 0,68 0,40 0,36

GFSA3 0,10 0,18 0,06 0,63 0,63 0,57 0,83 0,11

GGBR4 -0,44 -0,10 0,05 0,41 0,58 0,59 0,29 0,28

ITSA4 0,07 0,24 0,43 0,72 0,76 0,63 0,53 0,52

ITUB4 0,08 0,22 0,38 0,68 0,74 0,64 0,51 0,55

JBSS3 -0,01 -0,27 0,11 0,73 0,59 0,47 0,62 0,23

LAME4 0,17 0,25 0,08 0,79 0,50 0,21 0,62 0,01

MRVE3 0,09 0,10 0,12 0,77 0,44 0,44 0,86 0,07

NATU3 -0,10 0,33 0,28 0,76 0,63 0,64 0,71 0,05

PETR3 -0,10 -0,13 0,06 0,08 0,45 0,50 0,20 0,23

PETR4 -0,15 -0,15 0,03 0,10 0,50 0,57 0,26 0,27

USIM5 -0,44 0,24 0,25 0,39 0,40 0,70 0,20 0,22

VALE3 -0,07 -0,16 0,13 0,17 0,67 0,67 0,56 0,60

VALE5 -0,04 -0,12 0,18 0,13 0,62 0,65 0,52 0,66


Ação FIBR3 GFSA3 GGBR4 ITSA4 ITUB4 JBSS3 LAME4 MRVE3

BBAS3 0,42 0,75 0,36 0,81 0,80 0,57 0,57 0,77

BBDC4 0,70 0,59 0,28 0,85 0,86 0,44 0,47 0,47

BRAP4 0,73 0,59 0,22 0,51 0,52 0,33 0,25 0,38

BRFS3 0,17 0,36 0,21 0,02 0,05 0,07 -0,20 0,11

BRKM5 0,47 0,38 0,23 0,21 0,19 0,44 0,33 0,56

BVMF3 0,28 0,18 -0,09 0,08 0,03 -0,09 0,47 0,45

CCRO3 0,56 0,62 0,23 0,50 0,50 0,24 0,58 0,64

CESP6 0,46 0,38 -0,20 0,39 0,33 0,18 0,24 0,44

CIEL3 0,03 0,10 -0,44 0,07 0,08 -0,01 0,17 0,09

CMIG4 0,26 0,18 -0,10 0,24 0,22 -0,27 0,25 0,10

CPLE6 0,33 0,06 0,05 0,43 0,38 0,11 0,08 0,12

CRUZ3 0,39 0,63 0,41 0,72 0,68 0,73 0,79 0,77

CSAN3 0,42 0,63 0,58 0,76 0,74 0,59 0,50 0,44

CSNA3 0,68 0,57 0,59 0,63 0,64 0,47 0,21 0,44

CYRE3 0,40 0,83 0,29 0,53 0,51 0,62 0,62 0,86

EMBR3 0,36 0,11 0,28 0,52 0,55 0,23 0,01 0,07

FIBR3 1,00 0,56 0,24 0,54 0,56 0,27 0,37 0,31

GFSA3 0,56 1,00 0,39 0,59 0,57 0,48 0,64 0,74

GGBR4 0,24 0,39 1,00 0,59 0,58 0,62 0,18 0,13

ITSA4 0,54 0,59 0,59 1,00 0,99 0,65 0,51 0,46

ITUB4 0,56 0,57 0,58 0,99 1,00 0,61 0,46 0,41

JBSS3 0,27 0,48 0,62 0,65 0,61 1,00 0,34 0,57

LAME4 0,37 0,64 0,18 0,51 0,46 0,34 1,00 0,73

MRVE3 0,31 0,74 0,13 0,46 0,41 0,57 0,73 1,00

NATU3 0,53 0,85 0,46 0,68 0,62 0,56 0,70 0,79

PETR3 0,37 0,44 0,60 0,42 0,44 0,55 -0,18 0,00

PETR4 0,45 0,46 0,59 0,43 0,47 0,56 -0,16 0,03

USIM5 0,40 0,42 0,51 0,44 0,41 0,42 0,31 0,39

VALE3 0,55 0,56 0,33 0,50 0,53 0,43 0,09 0,33

VALE5 0,54 0,50 0,22 0,48 0,51 0,35 0,07 0,32


Ação NATU3 PETR3 PETR4 USIM5 VALE3 VALE5

BBAS3 0,75 0,27 0,32 0,42 0,66 0,66

BBDC4 0,69 0,33 0,39 0,52 0,52 0,54

BRAP4 0,39 0,44 0,53 0,22 0,91 0,93

BRFS3 0,30 0,39 0,38 0,25 0,20 0,14

BRKM5 0,53 0,13 0,18 0,41 0,20 0,14

BVMF3 0,30 -0,53 -0,50 0,04 -0,02 0,02

CCRO3 0,67 -0,03 0,02 0,29 0,41 0,39

CESP6 0,45 0,08 0,07 0,30 0,27 0,35

CIEL3 -0,10 -0,10 -0,15 -0,44 -0,07 -0,04

CMIG4 0,33 -0,13 -0,15 0,24 -0,16 -0,12

CPLE6 0,28 0,06 0,03 0,25 0,13 0,18

CRUZ3 0,76 0,08 0,10 0,39 0,17 0,13

CSAN3 0,63 0,45 0,50 0,40 0,67 0,62

CSNA3 0,64 0,50 0,57 0,70 0,67 0,65

CYRE3 0,71 0,20 0,26 0,20 0,56 0,52

EMBR3 0,05 0,23 0,27 0,22 0,60 0,66

FIBR3 0,53 0,37 0,45 0,40 0,55 0,54

GFSA3 0,85 0,44 0,46 0,42 0,56 0,50

GGBR4 0,46 0,60 0,59 0,51 0,33 0,22

ITSA4 0,68 0,42 0,43 0,44 0,50 0,48

ITUB4 0,62 0,44 0,47 0,41 0,53 0,51

JBSS3 0,56 0,55 0,56 0,42 0,43 0,35

LAME4 0,70 -0,18 -0,16 0,31 0,09 0,07

MRVE3 0,79 0,00 0,03 0,39 0,33 0,32

NATU3 1,00 0,30 0,31 0,69 0,31 0,26

PETR3 0,30 1,00 0,98 0,39 0,58 0,47

PETR4 0,31 0,98 1,00 0,40 0,66 0,57

USIM5 0,69 0,39 0,40 1,00 0,13 0,09

VALE3 0,31 0,58 0,66 0,13 1,00 0,98

VALE5 0,26 0,47 0,57 0,09 0,98 1,00

Tabela A.1: Coe iente de orrelação das ações do IBOVESPA (jun/2010-set/2011).Fonte: autor.


Ação ri%

BBAS3 0,34

BBDC4 0,16

BRAP4 0,26

BRFS3 2,23

BRKM5 1,61

BVMF3 -1,53

CCRO3 1,87

CESP6 0,99

CIEL3 0,82

CMIG4 0,58

CPLE6 -0,50

CRUZ3 2,48

CSAN3 0,54

CSNA3 -3,52

CYRE3 -2,68

EMBR3 2,02

FIBR3 -3,74

GFSA3 -3,83

GGBR4 -3,45

ITSA4 -0,43

ITUB4 -0,42

JBSS3 -4,49

LAME4 1,12

MRVE3 -1,09

NATU3 -1,10

PETR3 -2,37

PETR4 -2,05

USIM5 -4,92

VALE3 0,00

VALE5 0,40

Tabela A.2: Retorno esperado estimado das ações do IBOVESPA (jun/2010-set/2011).Fonte: autor.

Bibliograa

[1 Aoki, M. Sto hasti ontrol in e onomi theory and e onomi systems. Automati

Control, IEEE Transa tions on 21, 2 (1976), 213220.

[2 Araujo, M. V., and Costa, O. L. d. V. Dis rete-time mean-varian e portfolio

optimization with markov swit hing parameters. In Ameri an Control Conferen e,

2006 (2006), IEEE, pp. 6pp.

[3 Araujo, M. V., and Costa, O. L. V. Generalized tra king error portfolio sele tion

problem with markov swit hing parameters. In X En ontro Brasileiro de Finanças

(2010).

[4 Barmish, B., and Primbs, J. A. On arbitrage possibilities via linear feedba k

in an idealized brownian motion sto k market. In De ision and Control and Euro-

pean Control Conferen e (CDC-ECC), 2011 50th IEEE Conferen e on (2011), IEEE,

pp. 28892894.

[5 Barmish, B. R. On trading of equities: a robust ontrol paradigm. In Pro eedings

of the IFAC World Congress, Seoul, Korea (2008), vol. 1, pp. 16211626.

[6 Barmish, B. R. On performan e limits of feedba k ontrol-based sto k trading

strategies. In Ameri an Control Conferen e (ACC), 2011 (2011), IEEE, pp. 3874

3879.

[7 Barmish, B. R., and Primbs, J. A. On market-neutral sto k trading arbitrage

via linear feedba k. In Ameri an Control Conferen e (ACC), 2012 (2012), IEEE,

pp. 36933698.

[8 Bemporad, A., Gabbriellini, T., Puglia, L., and Bellu i, L. S enario-

based sto hasti model predi tive ontrol for dynami option hedging. In De ision

and Control (CDC), 2010 49th IEEE Conferen e on (2010), IEEE, pp. 60896094.

[9 Bolsa de Valores do Estado de São Paulo

(BMF&BOVESPA). Série retroativa do Ibovespa. Disponível em:

<http://www.bmfbovespa. om.br/indi es/download/serie-retroativa-do-ibov-

metodologia-valida-a-partir-09-2013.pdf>. A esso em: 2015.

[10 Calafiore, G. C. Multi-period portfolio optimization with linear ontrol poli ies.

Automati a 44, 10 (2008), 24632473.

[11 Calafiore, G. C. An ane ontrol method for optimal dynami asset allo ation

with transa tion osts. SIAM Journal on Control and Optimization 48, 4 (2009),

22542274.

54

BIBLIOGRAFIA 55

[12 Calafiore, G. C., and Monastero, B. Experiments on sto k trading via feed-

ba k ontrol. In Information and Finan ial Engineering (ICIFE), 2010 2nd IEEE

International Conferen e on (2010), IEEE, pp. 494498.

[13 Carther, S. A hieving optimal asset allo ation. Disponível em:

<http://www.investopedia. om/arti les/pf/05/061505.asp>. A essado em 2015.

[14 Costa, O. L., and Araujo, M. V. A generalized multi-period meanvarian e

portfolio optimization with markov swit hing parameters. Automati a 44, 10 (2008),

24872497.

[15 Costa, O. L., and de Barros Nabholz, R. A linear matrix inequalities approa h

to robust mean-semivarian e portfolio optimization. In Computational Methods in

De ision-Making, E onomi s and Finan e. Springer, 2002, pp. 89107.

[16 Craven, B. D., and Islam, S. M. Optimization in e onomi s and nan e: Some

advan es in non-linear, dynami , multi- riteria and sto hasti models, vol. 7. Sprin-

ger S ien e & Business Media, 2005.

[17 do Valle Costa, O. L., and de Assunção, H. G. V. Análise de ris o e retorno

em investimentos nan eiros. Manole, 2005.

[18 Dombrovskii, V. V., Dombrovskii, D. V., and Lyashenko, E. A. Predi tive

ontrol of random-parameter systems with multipli ative noise. appli ation to invest-

ment portfolio optimization. Automation and remote ontrol 66, 4 (2005), 583595.

[19 Dombrovsky, V., Dombrovsky, D., and Lyashenko, E. Model predi tive

ontrol of systems with random dependent parameters under onstraints and its

appli ation to the investment portfolio optimization. Automation and remote ontrol

67, 12 (2006), 19271939.

[20 Dun an, T., and Pasik-Dun an, B. Adaptive ontrol of a ontinuous-time port-

folio and onsumption model. Journal of optimization theory and appli ations 61, 1

(1989), 4752.

[21 Herzog, F., Keel, S., Dondi, G., S humann, L. M., and Geering, H. Model

predi tive ontrol for portfolio sele tion. In Ameri an Control Conferen e, 2006

(2006), IEEE, pp. 8pp.

[22 Iwarere, S., and Barmish, B. R. A onden e interval triggering method for

sto k trading via feedba k ontrol. In Ameri an Control Conferen e (ACC), 2010

(2010), IEEE, pp. 69106916.

[23 Leippold, M., Trojani, F., and Vanini, P. A geometri approa h to multiperiod

mean varian e optimization of assets and liabilities. Journal of E onomi Dynami s

and Control 28, 6 (2004), 10791113.

[24 Li, D., and Ng, W.-L. Optimal dynami portfolio sele tion: Multiperiod mean-

varian e formulation. Mathemati al Finan e 10, 3 (2000), 387406.

[25 Malekpour, S., and Barmish, B. R. A drawdown formula for sto k trading via

linear feedba k in a market governed by brownian motion. In Control Conferen e

(ECC), 2013 European (2013), IEEE, pp. 8792.

BIBLIOGRAFIA 56

[26 Markowitz, H. Portfolio sele tion: E ient diversi ation of investments. New

York (1959).

[27 Markowiz, H. Mean-varian e analysis in portfolio hoi e and apital markets, 1990.

[28 Matulka, J., and Ne k, R. Opti on: An algorithm for the optimal ontrol of

nonlinear sto hasti models. Annals of Operations Resear h 37, 1 (1992), 375401.

[29 Meindl, P., and Primbs, J. Dynami hedging with sto hasti volatility using

re eding horizon ontrol. Pro eedings of Finan ial Engineering Appli ations (2004),

142147.

[30 Meindl, P. J. Portfolio optimization and dynami hedging with re eding horizon

ontrol, sto hasti programming, and Monte Carlo simulation. ProQuest, 2006.

[31 Meindl, P. J., and Primbs, J. A. Dynami hedging of single and multi-

dimensional options with transa tion osts: a generalized utility maximization ap-

proa h. Quantitative Finan e 8, 3 (2008), 299312.

[32 Merton, R. C. An analyti derivation of the e ient portfolio frontier. Journal of

nan ial and quantitative analysis 7, 04 (1972), 18511872.

[33 Mud hanatongsuk, S., Primbs, J. A., and Wong, W. Optimal pairs trading:

A sto hasti ontrol approa h. In Ameri an Control Conferen e, 2008 (2008), IEEE,

pp. 10351039.

[34 Phillips, A. Stabilisation poli y and the time-forms of lagged responses. The

E onomi Journal (1957), 265277.

[35 Primbs, J. A. Dynami hedging of basket options under proportional transa tion

osts using re eding horizon ontrol. International Journal of Control 82, 10 (2009),

18411855.

[36 Primbs, J. A. Lqr and re eding horizon approa hes to multi-dimensional option hed-

ging under transa tion osts. In Ameri an Control Conferen e (ACC), 2010 (2010),

IEEE, pp. 68916896.

[37 Primbs, J. A., and Sung, C. H. A sto hasti re eding horizon ontrol approa h

to onstrained index tra king. Asia-Pa i Finan ial Markets 15, 1 (2008), 324.

[38 Roll, R. A mean/varian e analysis of tra king error. The Journal of Portfolio

Management 18, 4 (1992), 1322.

[39 Rudolf, M., Wolter, H.-J., and Zimmermann, H. A linear model for tra king

error minimization. Journal of Banking & Finan e 23, 1 (1999), 85103.

[40 Rudoy, M. B., and Rohrs, C. E. A dynami programming approa h to two-stage

mean-varian e portfolio sele tion in ointegrated ve tor autoregressive systems. In

De ision and Control, 2008. CDC 2008. 47th IEEE Conferen e on (2008), IEEE,

pp. 42804285.

[41 Runggaldier, W., Trivellato, B., and Vargiolu, T. A bayesian adaptive

ontrol approa h to risk management in a binomial model. In Seminar on Sto hasti

Analysis, Random Fields and Appli ations III (2002), Springer, pp. 243258.

BIBLIOGRAFIA 57

[42 Tustin, A. The me hanism of e onomi systems: an approa h to the problem of e o-

nomi stabilization from the point of view of ontrol-system engineering. Heinemann,

1957.

[43 Ver website da Central de Custódia e de Liquidação Finan eira de Tí-

tulos CETIP. Disponível em: http://estatisti as. etip. om.br/aste /series_v05/

paginas/ web_v04_10_03_ onsulta.asp.

[44 Ver website de Google Finan e. Disponível em: <https://www.google. om/

nan e?q=indexbvmf%3aibov&ei=eogsvainnjhkebhyiigp>. A essado em 2015.

[45 Ver website de Yahoo! Finan e. Disponível em:

<http://nan e.yahoo. om/q/ p?s=%5ebvsp+ omponents>. A essado em 2015.

[46 Ver Website do Ban o Central do Brasil BCB. Disponível em:

<http://www.b b.gov.br/? opomjuros>. A essado em 2015.

[47 Ver website do Tesouro Na ional do Brasil. Disponível em:

<http://www.tesouro.fazenda.gov.br/web/stn/tesouro-direto-regras-do-tesouro-

direto>. A essado em 2015.

[48 Yamamura, E. A study on model referen e adaptive pro esses of japan's regional

development in the 1970's. Pro eedings of Japan so iety Civil Engineers IV-1, 407

(1989), 117128.

[49 Zhao, P., Liu, C., and Feng, X. Model referen e ontrol for an e onomi growth

y le model. Journal of Applied Mathemati s 2012 (2012).

[50 Zhu, S.-S., Li, D., and Wang, S.-Y. Risk ontrol over bankrupt y in dynami

portfolio sele tion: A generalized mean-varian e formulation. Automati Control,

IEEE Transa tions on 49, 3 (2004), 447457.

Documents

YEISON ANDRÉS ZABALA · YEISON ANDRÉS ZABALA Uma ulação form p or ariância média-v ulti-p m erío do para o erro de to rastreamen em carteiras to estimen v in Dissertação