Interpolação
Interpolação Polinomial
Objetivo
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), escolhida entre uma classe de funções definidas (aqui, usaremos polinômios). g(x) é usada em substituição à função f.
Problemática
A necessidade de efetuar esta substituição surge quando: Quando são conhecidos os valores numéricos da função
para um conjunto de pontos (tabelados) e é necessário calcular o valor da função em um ponto fora desse conjunto (um ponto não tabelado).
Quando há uma expressão algébrica da função e verifica-se que diferenciá-la e integrá-la, por exemplo, são tarefas demasiadamente complexas (ou impossíveis).
Um Exemplo
Temperatura( °C ) 20 25 30 35 40 45 50
Calor Específico 0,99907 0,99852 0,99826 0,99818 0,99828 0,99849 0,99878
A seguinte tabela mostra o calor específico c da água correspondente à temperatura T (ºC):
Suponhamos que se queira calcular:
o calor específico da água a 32,5 ºC a temperatura para a qual o calor específico é 0,99837
A interpolação nos ajuda a resolver este tipo de problema
Em equação
Consideremos n+1 valores distintas: x0, ..., xn (nós da interpolação) e os valores de f(x) nesses pontos: f(x0), ..., f(xn).
Queremos determinar a função g(x) tal que:
g(x0)=f(x0)
....
g(xn)=f(xn)
Graficamente
Classe de funções
Em nosso caso, consideramos a função g(x) com um elemento da classe de funções polinomiais.
Tentaremos aproximar a função f(x) a partir de um conjunto de valores com uma função do tipo: a0+a1x+...+anxn
Interpolação polinomial
Dados os n+1 pontos (x0,f(x0)), ..., (xn,f(xn)), queremos aproximar f(x) por um polinômio pn(x) de grau menor ou igual a n: f(xk)=pn(xk) ; k=0,1,...n
Questões: esse polinômio existe? Ele é único?
Interpolação polinomial
Considerando que p o polinômio escreve-se pn(x)= a0+a1x+...+anxn , a condição f(xk)=pn(xk), para k = 0,1,...,n, produz o seguinte sistema de n+1 equações e n+1 incógnitas:
0 1 0 0 0
0 1 1 1 1
0 1
... ( )
... ( )
.........
... ( )
nn
nn
nn n n n
a a x a x f x
a a x a x f x
a a x a x f x
Interpolação polinomial: matriz
A matriz do sistema é:
Essa matriz é uma matriz de Vandermonde, desde que x0, ..., xn são pontos distintos, temos det A0. Então o sistema admite uma solução única.
0 0
1 1
1 ...
1 ...
1 ... ... ...
1 ...
n
n
nn n
x x
x xA
x x
Prova
Podemos proceder da forma seguinte: O determinante pode ser considerado como um polinômio em x0:
E um polinômio de grau n com n raízes: x1 a xn, ele pode ser escrito (xi-x0); i0
0 0
21 10 1 0 2 0 0
1 ...
1 ......
1 ... ... ...
1 ...
n
nn
n
nn n
x x
x xx x x
x x
a a a a= + + + +
Determinante de Vandermonde
O determinante da matriz de Vandermonde pode ser escrito da forma seguinte:
0 0
1 1
0
1 ...
1 ...( )
1 ... ... ...
1 ...
n
n
j ii j n
nn n
x x
x xx x
x x£ < £
= -Õ
Interpolação polinomial: teorema
Em outros termos, podemos dizer que:
Existe um único polinômio pn(x) de grau n tal que pn(xk)=f(xk), k=0,1,...,n desde que xixj por jk.
Obter pn(x)
Para obter o polinômio pn(x), existem diversos métodos, o mais direto sendo a resolução do sistema linear.
A escolha do método depende de várias condições: a estabilidade do sistema, performance computacional, ...
Resolução do sistema
Vamos encontrar o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da tabela:
Considerando p2(x)=a0+a1x+a2x2. Temos o sistema:
0 1 2
0 0 1 2
0 1 2
a -a +a =47 2
a =1 a 1, a , a3 3
a +2a +4a =-1
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
Condicionamento
A determinação dos coeficientes pela resolução do sistema é um processo simples, mas o sistema pode ser mal condicionado e sua resolução com numeração a ponto flutuante pode produzir resultados errados.
Existem outros métodos para determinar os polinômios de interpolação. Como existe uma solução única, qualquer método que determina uma solução determina a solução única.
Método de LagrangeForma de Lagrange
Considerando os n+1 pontos (x0,y0=f(x0)), ..., (xn,yn= f(xn)) e o polinômio interpolador pn(x). Lagrange propôs de representar o polinômio pn(x) da forma:
pn(x)=y0L0(x)+..+ynLn(x), onde Lk(x) são polinômios de grau n e a condição pn(xi)=yi, i=0,...,n seja satisfeita.
Forma de Lagrange
A melhor forma de ter a condição: pn(xi)=yi
i=0,...,n, é impor:
Por isso, pode-se definir:
k i
1L (x )=
0
se k i
se k i
0 1 1 1
0 1 1 1
( )( )...( )( )...( )( )
( )( )...( )( )...( )k k n
kk k k k k k k n
x x x x x x x x x xL x
x x x x x x x x x x
Forma de Lagrange
O numerador de Lk(x) é um produto de n fatores em x. Logo Lk(x) é de grau n.
Podemos verificar também que:
A forma de Lagrange para o polinômio interpolador é:
k i
1L (x )=
0
se k i
se k i
0,
0
0,
( )
( ) ( ), ( )( )
n
jnj j k
n k k k nk
k jj j k
x x
p x y L x L xx x
Interpolação linear
Interpolação de dois pontos (x0,y0=f(x0)) e (x1,y1=f(x1)).
Usando a forma de Lagrange, temos:0 1 0 0 11
0 10 1 1 0 1 0
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )n
x x x x y x x yx xp x y y
x x x x x x
Exemplo
Seja a tabela:
Temos:
2 2 222 2 7 2
( ) 4 13 2 6 3 3n
x x x x x xp x x x
21 2
00 1 0 2
20 2
11 0 1 2
20 1
22 0 2 1
( )( ) ( 0)( 2) 2( )
( )( ) ( 1 0)( 1 2) 3
( )( ) ( 1)( 2) 2( )
( )( ) (0 1)(0 2) 2
( )( ) ( 1)( 0)( )
( )( ) (2 1)(2 0) 6
x x x x x x x xL x
x x x x
x x x x x x x xL x
x x x x
x x x x x x x xL x
x x x x
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
Forma de Newton
Considerando os n+1 pontos (x0,f(x0)), ..., (xn,f(xn)) e o polinômio interpolador pn(x). Newton propôs de representar o polinômio pn(x) da forma:pn(x)=d0+d1(x-x0)+d2(x-x0)(x-x1)+...+dn(x-x0)...(x-xn-1)
Os coeficientes dk, k=0,...,n são diferenças divididas de ordem k entre os pontos (xj,f(xj)), j=0,...,k
Operador diferenças divididas
f(x) é uma função tabelada em x0,...,xn.
Os operadores de diferenças divididas são definidos por:
0 0
1 00 1
1 0
1 2 0 10 1 2
2 0
1 0 10
0
[ ] ( ) 0
[ ] [ ][ , ] 1
[ , ] [ , ][ , , ] 2
[ ,..., ] [ ,..., ][ ,..., ] n n
nn
f x f x ordem
f x f xf x x ordem
x x
f x x f x xf x x x ordem
x x
f x x f x xf x x ordemn
x x-
=éê -ê =ê -ê -ê =ê -ê
-ê =ê -ë
Operador diferenças divididas
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 ... Ordem n
x0 f[x0]
f[x0,x1]
x1 f[x1] f[x0,x1,x2]
f[x1,x2]
x2 f[x2] f[x1,x2,x3]
f[x0,...,xn]
f[xn-2, xn-1, xn]
.... f[xn-1, xn]
xn f[xn]
Operador diferenças divididas
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
-1 1
0
0 1 -1/2
-1 1/6
1 0 0 -1/24
-1 0
2 -1 0
-1
3 -2
x f(x)
-1 1
0 1
1 0
2 -1
3 -2
EXEMPLO
Exemplo
p4(x)=d0+d1(x-x0)+d2(x-x0)(x-x1)+d3(x-x0)(x-x1)(x-x2)+d4(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)
p4(x)=1+0(x-(-1))+(-1/2)(x-(-1))(x-0)+(1/6)(x-(-1))(x-0)(x-1)+(-1/24)(x-(-1))(x-0)(x-1)(x-2)
p4(x)=1-(1/2)(x+1)x+(1/6)(x+1)x(x-1)-(1/24)(x+1)x(x-1)(x-2)
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
-1 1
0
0 1 -1/2
-1 1/6
1 0 0 -1/24
-1 0
2 -1 0
-1
3 -2
Forma de Newton
Podemos provar que as diferenças divididas satisfazem a propriedade seguinte:
Onde j0, ..., jk é qualquer permutação de 0, ..., k.00[ ,..., ] [ ,..., ]
kk j jf x x f x x
Forma de Newton
Forma de Newton para o polinômio interpolador: Seja uma função f(x) contínua e com tantas
derivadas contínuas necessárias num intervalo [a,b].
Sejam a=x0<x1<...<xn=b Vamos construir o polinômio pn(x) que interpola
f(x) em x0, ..., xn, construindo sucessivamente os polinômios pk(x), k=0,...,n
Forma de Newton
Considerando a tabela: x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
x Ord 0 Ord 1 Ord 2
-1 4
-3
0 1 2/3
-1
2 -1
23
2 7( ) 1
3 3p x x x= - +
Estudo do erro
A aproximar a função f(x) por um polinômio, comete-se um erro:
En(x)=f(x)-pn(x)
Estudo do erro
Teorema:
Sejam x0<...<xn, seja f(x) com derivadas até ordem (n+1) para x no intervalo [x0,xn].
Em qualquer ponto x do intervalo [x0,xn], o erro é dado por:
( 1)
0 0
( )( ) ( )....( ) , [ , ]
( 1)!
nx
n n x n
fE x x x x x onde x x
n
Estudo do erro
Do teorema precedente, podemos deduzir que:
Dois corolários: Se a derivada de ordem n+1 é contínua em [x0,xn],
Se além disso, x1-x0=x2-x1=...=xn-xn-1=h
( 1)
0 1 0 0
( )[ , ,..., , ] , [ , ], [ , ]
( 1)!
nx
n n n
ff x x x x x x x x x x
n
( 1)10 1
[ 0, ]( ) ( )....( ) , ( ( ) )
( 1)!nn
n n nx x xn
ME x x x x x M max f x
n
1
1( )4( 1)
n
n n
hE x M
n
Estudo do erro
Se a função é dada na forma de uma tabela, só podemos estimar o valor absoluto do erro.
Mas a tabela de diferencias divididas é construída até ordem n+1, podemos usar o maior valor destas diferenças como aproximação para:
Nesse caso, o valor do erro pode ser majorado com:
1
( 1)!nM
n
0 1( ) ( )...( ) max( )n n diferencias divididas de ordem nE x x x x x += - -
Interpolação inversa
Trata-se de, conhecendo um valor y de (f(x0),f(xn)), aproximar um valor de x tal que f(x)=y. Uma solução consiste em interpolar f(x) e em seguida resolver a
equação f(x)=y. No caso de graus elevados (>2), a resolução da equação pode ser difícil e não temos avaliação do erro cometido.
Uma outra solução consiste em efetuar uma interpolação inversa, ou seja determinar um polinômio interpolador de f-1(x). Com a interpolação inversa, podemos calcular uma avaliação do erro cometido.
A interpolação inversa só poder ser feita com uma função monótona.
Grau do polinômio
Trata-se de determinar o grau do polinômio para interpolar uma função em um ponto: Deve-se construir a tabela de diferenças
divididas. Se na vizinhança do ponto de interesse, as
diferenças divididas de ordem k são praticamente constantes, podemos concluir que um polinômio de grau k é suficiente.
Newton-Gregory
No caso em que os x0,...,xn são igualmente espaçados, podemos usar a forma de Gregory-Newton.
Diférenças ordinarias: f(x)=f(x+h)-f(x) f(x)=f(x+h)-f(x) f(x)=f(x+h)-f(x)..........
Newton-Gregory
Podemos construir a tabela de diferenças ordinárias da mesma forma que a tabela de diferenças divididas.
Teorema: Se: Então:
0
00
, 0,1,...,
( )[ ,..., ]
!
j
n
n n
x x jh j n
f xf x x
h n
= + =
D=
Newton-Gregory
No caso em que os x0,...,xn são igualmente espaçados, podemos escrever o polinômio interpolador:
20 0
0 0 0 1 2
00 1
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
2
( ).......... ( )....( )
!
n
n
n n
f x f xp x f x x x x x x x
h h
f xx x x x
h n-
D D= + - + - - +
D+ - -
Newton-Gregory
Usando uma mudança de variáveis:s=(x-x0)/h
Temos:(x-xj)=(s-j)h
e pn(x)=f(x0)+sf(x0)+s(s-1)f(x0)/2+...
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