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COMENTÁRIOS DA PROVA DE MÉTODOS QUANTITATIVOS E RAC IOCÍNIO LÓGICO BNDES 2011 ENGENHEIRO – PROF PIO

Prezados concurseiros, segue abaixo os comentários das questões de métodos quantitativos, matemática financeira e raciocínio lógico propostas pela CESGRANRIO no último concurso para o BNDES (ENGENHEIRO). Bons estudos a todos! APRENDAMOS COM NOSSOS PRÓPRIOS ERROS!!!

31) Ao medir-se a temperatura de um forno, em graus Celsius, em diversos momentos, obteve-se uma amostra com variância igual a 225. Se cada uma das medidas de temperatura for convertida para graus

Fahrenheit, utilizando-se a fórmula 32C5

9F += , o valor da nova variância amostral será

(A) 257 (B) 405 (C) 437 (D) 729 (E) 761

SOLUÇÃO

7299.81225.25

81)C(V

5

9)F(V

2

===

= .

LETRA (D) 32) As variáveis aleatórias X e Y têm variâncias iguais e possuem coeficiente de correlação igual a 0,2. O coeficiente de correlação entre as variáveis aleatórias X e 5X – 2Y é (A) – 0,35 (B) – 0,2 (C) 0,1 (D) 0,56 (E) 0,92

SOLUÇÃO Dados: ( ) 2,0Y,X);Y(DP)X(DP)Y(V)X(V =ρ=⇒= Pedido: ( )Y2X5,X −ρ

( ) ( ))Y2X5(DP.)X(DP

Y2X5,XCovY2X5,X

−−

=−ρ

Como ( ) )X(V.2,0)Y,X(Cov)Y(DP.)X(DP

)Y,X(CovY,X =⇒=ρ

)X(DP.5)X(V25)Y2X5(DP)X(V25)X(V4)X(V29

)X(V2,0.20)X(V29)Y,X(Cov20)X(V29)Y,X(Cov)2(.5.2)Y(V4)X(V25)Y2X5(V

==−⇒=−

=−=−=−++=−

( ) [ ]

[ ] [ ]

( ) )X(V6,4Y2X5,XCov)X(V6,4)X(V4,0)X(V5

)X(V2,0.2)X(V5)Y,X(Cov2)X(V5)Y(E)X(E2)Y,X(Cov2)Y(E.)X(E2)X(V5

)Y(E)X(E2)Y,X(Cov)Y(E.)X(E2)²X(E²)X(E5)Y(E)X(E2)²X(E5)XY(E2²)X(E5

))Y(E2)X(E5(.)X(E)XY2²X5(E)Y2X5(E.)X(E)Y2X5(.XEY2X5,XCov

=−⇒=−=−=−=+−−

=++−−=+−−=−−−=−−−=−

( ) ( ) ( ) ( )92,0

5

6,4

)X(V5

)X(V6,4

)X(V.5

Y2X5,XCov

)X(DP.5.)X(DP

Y2X5,XCov

)Y2X5(DP.)X(DP

Y2X5,XCovY2X5,X ===

−=

−=

−−

=−ρ

LETRA (E)

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33) A distribuição de frequências de uma certa amostra é representada no gráfico abaixo.

Sobre a média µ, a mediana m e a moda M dessa amostra, tem-se (A) m < µ < M (B) m < M < µ (C) µ < M < m (D) M < µ < m (E) M < m < µ

SOLUÇÃO Trata-se de uma distribuição com cauda se alongando para a direita, isto é, uma distribuição assimétrica positiva. Daí, M < m < µ LETRA (E) 34) Considere as afirmativas a seguir a respeito de três predicados: M, N e P. • Se algo é M então não é N. • Se algo não é M então é P. Analisando-se as afirmações acima, conclui-se que (A) se algo é N, então é P. (B) se algo é P, então é N. (C) se algo é N, então não é P. (D) se algo não é P, então é N. (E) se algo não é N, então é P

SOLUÇÃO Fazendo a contrapositiva de “Se algo é M então não é N” tem-se “Se algo é N, então não é M”. Como “Se algo não é M então é P”, conclui-se “Se algo é N, então é P”. LETRA (A) 35) Em uma urna, há um grande número de fichas de quatro tipos: quadradas brancas, quadradas vermelhas, redondas brancas e redondas vermelhas. Sabe-se que: • 70% de todas as fichas são brancas. • 25% das fichas quadradas são vermelhas. • 60% das fichas vermelhas são redondas. A porcentagem de fichas redondas e brancas nessa urna é de (A) 26% (B) 30% (C) 34% (D) 38% (E) 42%

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SOLUÇÃO

Sejam: X o número total de fichas, Q o número total de fichas quadradas e V o número total de fichas vermelhas. Seja o seguinte quadro, preenchido com as informações dadas:

Fichas Quadradas Fichas Redondas Fichas Brancas 0,75Q 0,7X – 0,75Q

Fichas Vermelhas 0,25Q = 0,4V 0,6V Como 70% de todas as fichas são brancas, conclui-se que 30% são vermelhas, isto é, V = 0,3X. Como 0,25Q = 0,4V⇒ 0,25Q = 0,4. 0,3X = 0,12X ⇒ Q = 12X/25. Portanto, a porcentagem de fichas redondas e brancas será dada por: 0,7X – 0,75Q = 0,7X – 0,75. 12X/25 = 7X/10 – 9X/25 = (35X – 18X)/50 = 17X/50 = 34X/100 = 34%X LETRA (C) 40) A taxa interna de retorno, de determinado fluxo financeiro, (A) é sempre maior que a taxa de juros de mercado. (B) é sempre única. (C) é negativa se o valor presente líquido do fluxo for negativo. (D) anula seu valor presente líquido, quando usada para descontá-lo. (E) nunca pode ser nula.

SOLUÇÃO

Definição de TIR: é a taxa que anula o valor presente líquido (VPL) de um projeto de investimento. LETRA (D). 44) Uma máquina produz comprimidos de um medicamento. Conforme indicado no rótulo do produto, cada comprimido deve pesar, em média, 0,5 g. Para testar se a máquina está regulada corretamente, foi estabelecido um procedimento para testar a hipótese H0 de que a massa média dos comprimidos produzidos é, de fato, igual a 0,5 g contra a hipótese alternativa H1 de que tal massa é inferior a 0,5 g. O procedimento de teste consistiu em pesar uma amostra de 100 comprimidos, obter a média m e o desvio padrão s das massas registradas, em gramas, e rejeitar H0 quando m < 0,5 – 0,15 s. O nível de significância do teste (ou seja, a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula caso ela seja verdadeira) é, aproximadamente, (A) 0,059 (B) 0,067 (C) 0,119 (D) 0,134 (E) 0,150

SOLUÇÃO Tem-se um teste unilateral inferior.

5,0=0μ ;

mX = ; sS = .

Como n = 100, usa-se a Distribuição Normal. Rejeita-se H0 quando Z0 < – Zα Sendo Z0 = (m – 0,5)/0,1s O problema fornece m < 0,5 – 0,15s ⇒ m – 0,5 < – 0,15s. Dividindo-se ambos os lados por 0,1s, tem-se: (m – 0,5)/0,1s < – 0,15s/0,1s ⇒ Z0 < –1,5. Consultando a tabela da normal e considerando a simetria, tem-se que α = 0,067. LETRA (B)

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53) Em uma urna, são colocadas 2 bolas brancas e 4 pretas. Alberto e Beatriz retiram bolas da urna alternadamente, iniciando-se com Alberto, até que a urna esteja vazia. A probabilidade de que a primeira bola branca saia para Alberto é (A) 1/2 (B) 3/5 (C) 5/9 (D) 7/12 (E) 8/15

SOLUÇÃO Constrói-se a seguinte tabela:

1ª Retirada

2ª Retirada

3ª Retirada

4ª Retirada

5ª Retirada

6ª Retirada

Probabilidade

Possibilidades Alberto Beatriz Alberto Beatriz Alberto Beatriz 01 branca branca preta preta preta preta 48/720 02 branca preta branca preta preta preta 48/720 03 branca preta preta branca preta preta 48/720 04 branca preta preta preta branca preta 48/720 05 branca preta preta preta preta branca 48/720 06 preta preta branca branca preta preta 48/720 07 preta preta branca preta branca preta 48/720 08 preta preta branca preta preta branca 48/720 09 preta preta preta preta branca branca 48/720

Portanto, a probabilidade final será dada por: P = 9 x 48/720 = 6/10 = 3/5. LETRA (B) 54) Em certa região, os casos de tuberculose foram monitorados ao longo de um período de 10 anos. Foi proposto um modelo de regressão linear simples, segundo o qual o número de casos decresce linearmente com o passar dos anos, a menos de um erro com distribuição normal. Ou seja, um modelo da forma Y i = β0 + β1 X i + ei , para i = 1, ... 10, onde Yi é o número de casos de tuberculose no ano Xi. Os resultados da regressão e a respectiva tabela ANOVA são dados abaixo.

Nesse contexto, considere as afirmativas a seguir.

I – A reta estimada é X72,1069,44Y^

−= ;

II – Sendo i

^

Y o valor estimado correspondente a cada valor Xi, tem-se ∑=

=

−

10

1i

2

i

^

i 45,6YY ;

III – A hipótese H0: β1 = 0 é rejeitada no nível de significância 0,01

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Está correto o que se afirma em (A) II, apenas (B) I e II, apenas (C) I e III, apenas (D) II e III, apenas (E) I, II e III

SOLUÇÃO

I – (F) A reta estimada é X06,142,27Y^

−= ; II – (V) Trata-se de SQE = 6,45; III – (V) Note que 0,01 = 1% é maior que o p-valor = 5,04x10-6, portanto rejeita-se H0. LETRA (D) 55) Na cantina de uma fábrica, o lanche constituído de sanduíche e suco custa R$ 4,00. O sanduíche custa R$ 2,40 a mais que o suco. O preço do suco, em reais, é (A) 0,80 (B) 1,00 (C) 1,20 (D) 1,40 (E) 1,60

SOLUÇÃO Seja x o preço do sanduíche e y o preço do suco. Daí, x + y = 4. x = y + 2,4; y + 2,4 + y = 4; 2y = 4 – 2,4; 2y = 1,6; y = 0,8. LETRA (A) 56) Míriam, Tereza e Vera possuem, cada uma, um pássaro de estimação. Uma delas tem um canário, outra, um periquito, e outra, um papagaio. Sabe-se que: • o periquito não pertence a Míriam; • Vera não possui o canário; • Tereza não possui o periquito; • o papagaio não pertence a Míriam. Então, é verdade que (A) Míriam possui o periquito. (B) Tereza possui o canário. (C) Vera possui o papagaio. (D) Míriam não possui o canário. (E) Tereza possui o papagaio.

SOLUÇÃO Como o periquito não pertence à Miriam e nem à Tereza, só pode ser de Vera. Como o papagaio não pertence à Miriam, só pode pertencer à Tereza. Finalmente, conclui-se que o canário pertence à Miriam. Logo: Míriam: canário Tereza: papagaio Vera: periquito LETRA (E)

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65) O diagrama abaixo mostra um fluxo financeiro composto de três recebimentos sucessivos, iguais a R$ 10,00, seguidos de um último recebimento de R$ 110,00, após quatro períodos.

Se a taxa de juros compostos usada for de 10% por período, o valor presente líquido desse fluxo de recebimentos, em reais, será de (A) 90,00 (B) 100,00 (C) 110,00 (D) 130,00 (E) 140,00

SOLUÇÃO Note que se trata de uma capitalização composta que pelo fato de termos recebimentos de R$ 10,00 se transforma em uma capitalização simples, isto é, não há capitalização de juros sobre juros. Logo, sendo a taxa de 10% por período, tem-se que VPL = R$ 100,00. LETRA (B) 67) Sérgio, Julia e Marcelo estão juntos, nessa ordem, em uma fila. Sérgio diz: “O número de pessoas que está atrás de mim é o triplo do número de pessoas que está à minha frente.” Marcelo diz: “O número de pessoas que está atrás de mim é o dobro do número de pessoas que está à minha frente.” O número de pessoas dessa fila é (A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 25 (E) 28

SOLUÇÃO

Suponha a seguinte fila: x pessoas, Sérgio, Julia, Marcelo, y pessoas. Do enunciado tem-se: y + 2 = 3x; y = 3x – 2; y = 2(x + 2); 3x – 2 = 2x + 4; x = 6; y = 16. Portanto, teremos na fila 6 + 16 + 3 = 25 pessoas. LETRA (D) Um boa sorte à todos!!! NÃO DESANIMEM!!!! Vamos em frente!!! Fiquem com DEUS!!! Um abraço, Prof Pio.