Raciocinio logico 05

Diagramas lógicos

Proposições categóricasAs proposições categóricas constituem-se num dos principais tópicos da

Lógica Formal. Desde Aristóteles, as proposições categóricas têm sido estu-dadas e inúmeras contribuições de lógicos têm sido feitas.

Preste atenção ao conceito de proposição categórica:

Uma proposição categórica é aquela formada por um quantificador asso-ciado a um sujeito (primeira classe de atributos) que se liga a um predicado (segunda classe de atributos) por meio de um elo (cópula).

Exemplos:

Todos os animais são carnívoros.

PredicadoEloSujeitoQuantificador

Alguns cremes são oleosos.


Existem apartamentos que não são modernos.

PredicadoEloPartícula de negação

Quantificador

Sujeito

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Diagramas lógicos

Nenhum anfíbio é inteligente.


Numa proposição categórica, é importante que o sujeito se relacione com o predicado de forma coerente e que a proposição faça sentido, não impor-tando se é verdadeira ou falsa. Assim, por exemplo, em “Todos os esportistas são competitivos” temos uma proposição claramente falsa, mas que é provi-da de sentido lógico.

Classificação das proposições categóricasAs proposições categóricas podem ser classificadas de acordo com dois

critérios fundamentais: qualidade e extensão ou quantidade.

Qualidade

O critério de qualidade classifica uma proposição categórica em afirmati-va ou negativa.

Exemplos:

Algumas pessoas viajam no verão. �

Todas as pessoas são ingênuas. �

As proposições são categóricas afirmativas.

Algumas pessoas não viajam no verão. �

Nenhuma pessoa é ingênua. �

As proposições são categóricas negativas.

Observe que, nesse critério, não se classifica a proposição em verdadeira ou falsa, mas, sim, em afirmativa ou negativa.


Diagramas lógicos

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Extensão

O critério de extensão ou quantidade classifica uma proposição categó-rica em universal ou particular. A classificação dependerá do quantificador que é utilizado na proposição.

Exemplos:

Todos os animais são seres vivos. �

Nenhum carro tem sete portas. �

As proposições são categóricas universais, pois os quantificadores “todos” e “nenhum” são universais.

Algumas pessoas gostam de sorvete. �

Existem animais que não gostam de água. �

As proposições são categóricas particulares, pois os quantificadores “al-gumas” e “existem” são particulares (existenciais).

Fica claro que, nesse critério, a classificação é determinada pelo quantifi-cador, não importando se a proposição é afirmativa ou negativa.

Tipos de proposições e relações entre proposições

Desde a época de Aristóteles, de acordo com a qualidade e a extensão, a Lógica Formal classifica as proposições categóricas em quatro tipos, repre-sentados pelas letras A, E, I e O.

Observe o quadro contendo tais classificações:

Tipo Qualidade Extensão Exemplo

A Afirmativa Universal Todo S é P.

E Negativa Universal Nenhum S é P.

I Afirmativa Particular Algum S é P.

O Negativa Particular Algum S não é P.


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Diagramas lógicos

Na tabela, S indica o sujeito e P indica o predicado de uma proposição categórica. Assim, de acordo com a tabela, temos:

Proposição afirmativa universal (A): Toda cidade é limpa. �

Proposição negativa universal (E): Nenhuma cidade é limpa. �

Proposição afirmativa particular (I): Alguma cidade é limpa. �

Proposição negativa particular (O): Alguma cidade não é limpa. �

Com essas classificações, pôde-se construir um quadro, denominado Quadrado Geral de Oposição, que apresenta as relações existentes entre as proposições. Tal quadro é atribuído a Aristóteles.

Quadro 1 – Quadrado Geral de Oposição

A

I

E

O

Todo S é P(SAP)

Algum S é P(SIP)

Nenhum S é P(SEP)

Contraditórias

Contraditórias

Subalternase

Superalternas

Subalternase

Superalternas

Subcontrárias

Contrárias

Algum S não é P(SOP)

Observação:

Representa-se SAP para descrever a ideia de que a sentença possui sujei-to (S) relacionado ao predicado (P) por meio de uma proposição categórica do tipo A (universal afirmativa). Da mesma forma, ocorre com SEP, SIP ou SOP. As letras S e P indicam, respectivamente, sujeito e predicado. A letra do meio identifica o tipo de proposição categórica.

Essas regras que relacionam as proposições são denominadas regras de contrariedade, contraditoriedade, subcontrariedade e subalternação. A seguir, estudaremos particularmente cada uma delas.


Diagramas lógicos

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Contrárias

As proposições são ditas contrárias quando são universais e se opõem entre si apenas pela qualidade. O sujeito em ambas é o mesmo, mas enquan-to uma afirma um predicado, a outra nega esse mesmo predicado.

A E

Todo S é P(SAP)

Nenhum S é P(SEP)

Contrárias

Duas proposições são contrárias quando ambas não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Entretanto, em alguns casos, podem ser falsas ao mesmo tempo.

Exemplo 1:

Todo homem é mortal. (A)

Nenhum homem é mortal. (E)

Observe que “todo homem é mortal” é uma sentença verdadeira, enquan-to “nenhum homem é mortal” é falsa. Não pode ocorrer de ambas serem ver-dadeiras ao mesmo tempo.

Exemplo 2:

Todo homem é professor. (A)

Nenhum homem é professor. (E)

Nesse exemplo, a proposição “todo homem é professor” é uma sentença falsa e “nenhum homem é professor” também é falsa. Ambas não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, mas podem ser falsas ao mesmo tempo.

Contraditórias

As proposições são ditas contraditórias quando se opõem tanto em qua-lidade quanto em extensão. Enquanto uma é universal, a outra é particular; enquanto uma é afirmativa, a outra é negativa.


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Diagramas lógicos

A

I

E

O

Todo S é P(SAP)

Algum S é P(SIP)

Nenhum S é P(SEP)

Contraditórias

Contraditórias


Duas proposições são contraditórias quando ambas não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, nem podem ser falsas ao mesmo tempo.

Exemplo 1:

Todo homem é mortal. (A) �

Algum homem não é mortal. (O) �

Observe que “todo homem é mortal” é uma sentença verdadeira, en-quanto “algum homem não é mortal” é falsa. Não pode ocorrer de ambas serem verdadeiras ao mesmo tempo, nem falsas ao mesmo tempo. Se uma é verdadeira, a outra, obrigatoriamente, é falsa, e vice-versa.

Exemplo 2:

Nenhum homem é professor. (E) �

Algum homem é professor. (I) �

Nesse exemplo, a proposição “nenhum homem é professor” é uma sen-tença falsa e “algum homem é professor” é verdadeira. Ambas não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, nem podem ser falsas ao mesmo tempo.

Importante:

Se duas proposições categóricas são contraditórias, uma é a negação da outra.


Diagramas lógicos

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Subcontrárias

As proposições são ditas subcontrárias quando são particulares e se opõem entre si apenas na qualidade. O sujeito em ambas é o mesmo, mas enquanto uma é afirmativa, a outra é negativa.

I O

Algum S é P(SIP)

Subcontrárias


Duas proposições são subcontrárias quando ambas não podem ser falsas ao mesmo tempo. Entretanto, em alguns casos, podem ser verdadeiras ao mesmo tempo.

Exemplo 1:

Algum homem é mortal. (I) �

Algum homem não é mortal. (O) �

Observe que “algum homem é mortal” é uma sentença verdadeira, en-quanto “algum homem não é mortal” é falsa. Não pode ocorrer de ambas serem falsas ao mesmo tempo.

Exemplo 2:

Algum homem é professor. (I) �

Algum homem não é professor. (O) �

Nesse exemplo, a proposição “algum homem é professor” é uma sentença verdadeira e “algum homem não é professor” também é verdadeira. Ambas não podem ser falsas ao mesmo tempo, mas podem ser verdadeiras ao mesmo tempo.

Subalternação e superalternação

As proposições são ditas subalternas ou superalternas quando são iguais em qualidade e se opõem entre si apenas em extensão. Enquanto uma é universal, a outra é particular.


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Diagramas lógicos

A

I

E

O

Todo S é P(SAP)

Algum S é P(SIP)

Nenhum S é P(SEP)

Subalternação


Raciocínio inválido Raciocínio válido

A

I

E

O

Todo S é P(SAP)

Algum S é P(SIP)

Nenhum S é P(SEP)

Superalternação


A � I (válida)

Se alguém diz “todos os convidados estão presentes”, logo, “algum convi-dado está presente”, está utilizando uma superalternação entre as proposi-ções (A I). O raciocínio é claramente válido e decorre da seguinte regra:

Da verdade do todo podemos inferir pela verdade das partes, mas da ver-dade das partes não podemos inferir pela verdade do todo.

I � A (indeterminada)

Se alguém diz “algum convidado está presente” e conclui que “todos os convidados estão presentes”, está utilizando uma subalternação (I A). Nesse caso, o raciocínio não é válido, pois não se pode afirmar que todos os convidados estão presentes apenas porque algum convidado está presente. Dessa forma, ocorre uma indeterminação, já que não se pode afirmar que é verdadeiro ou que é falso que “todos os convidados estão presentes” com base em “algum convidado está presente”.

E � O (válida)

Se alguém diz “nenhum convidado está presente” e conclui que “algum convidado não está presente”, está utilizando uma superalternação entre as proposições (E O). O raciocínio é válido, pois se nenhum convidado está presente, certamente algum convidado não está presente.


Diagramas lógicos

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O � E (indeterminada)

Se alguém diz “algum convidado não está presente” e conclui que “nenhum convidado está presente”, está utilizando uma subalternação entre as proposições (O E). O raciocínio não é válido, pois não se pode afirmar que nenhum convidado está presente apenas porque algum convidado não está presente. Nesse caso, ocorre uma indeterminação, pois não se pode afir-mar que é verdadeiro ou que é falso que “nenhum convidado está presente” com base em “algum convidado não está presente”.

Assim, nas proposições superalternas, o raciocínio é válido e se pode con-cluir qual é o valor lógico único da conclusão. Já nas proposições subalter-nas, o raciocínio é inválido e a conclusão é indeterminada, pois não se pode determinar o respectivo valor lógico dessa conclusão.

Para destacar, se dissermos que “algum A é B” é verdadeira, a proposição “todo A é B” será verdadeira ou será falsa?

Temos aí uma proposição indeterminada, pois fica impossível determinar um valor verdadeiro ou falso.

Observação:

A verificação da validade de argumentos categóricos pode ser efetua-da por meio de regras gerais de inferências, de premissas e de termos. Não convém aqui citá-las, pois a análise dessas regras pode ser substituída pela análise de diagramas. Utilizando apenas diagramas temos uma forma rápida e eficiente para testar os argumentos categóricos.

Diagramas lógicosOs diagramas utilizados na Teoria dos Conjuntos são importantes para

testar a validade de argumentos categóricos. Cada diagrama se baseia num dos quatro tipos de proposições categóricas (A, E, I, O).

Observe as ilustrações a seguir:


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Diagramas lógicos

Tipo

A

E

I

O

Afirmativa

Negativa

Afirmativa

Negativa

Universal Todo S é P

Nenhum S é P

Algum S é P

Algum S não é P

Universal

Particular

Particular

Qualidade Extensão Proposição Diagramas

PS

PS

PS

PS

Exemplos:

Todos os advogados são honestos. ( � A)

HonestosAdvogados

Nenhum advogado é honesto. ( � E)

Advogados Honestos

Algum advogado é honesto ou existem advogados que são honestos. � (I)

Advogados

Advogados honestos

Honestos


Diagramas lógicos

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Algum advogado não é honesto ou existem advogados que não são �honestos. (O)

HonestosAdvogados

Advogados não honestos

Quando um sujeito s tiver certa propriedade S, diremos que s S. Caso s não tenha a propriedade S, escreveremos s S. Assim, por exemplo, nas proposições “João é médico” e “Carlos não é médico”, podemos ilustrar João como um elemento do conjunto dos médicos, mas Carlos não:

Médicos

JoãoCarlos

A utilização de diagramas é útil, pois permite visualizar as premissas e a conclusão, permitindo verificar a validade de um argumento.

A seguir, analisaremos cada tipo de proposição categórica, relacionado-a com a teoria dos conjuntos, com as proposições lógicas e com a lógica de predicados (em que se faz o uso de quantificadores).

Todo S é P. (A) �

Quando dizemos, por exemplo, que um conjunto S está contido em um conjunto P, significa que a proposição “todo elemento de S é elemento de P” é verdadeira.

Em símbolos de conjuntos: S P

Na lógica proposicional: x S x P

Na lógica de predicados: ( x), (S(x) P(x)) ou (~ x), (S(x) ~P(x))

PS


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Diagramas lógicos

Nenhum S é P. (E) �

Se um conjunto S não tem elemento em comum com um conjunto P, significa que qualquer elemento que pertence a S certamente não pertence a P. Nesse caso, dizemos que S e P são conjuntos disjuntos.

Em símbolos de conjuntos: S P =

Na lógica proposicional: x S x P

Na lógica de predicados: ( x), (S(x) ~P(x)) ou (~ x), (S(x) P(x))

PS

Algum S é P. (I) �

Se algum elemento de S é elemento de P, então existe pelo menos um elemento que pertence simultaneamente a S e a P. Nesse caso, a intersecção entre S e P não é vazia, pois existe pelo menos um elemento no conjunto S P.

Em símbolos de conjuntos: S P ≠

Na lógica proposicional: x, x S x P

Na lógica de predicados: ( x), (S(x) P(x)) ou ~( x), (S(x) ~P(x))

PS

S P

Algum S não é P. (O) �

Se algum elemento de S não é elemento de P, então existe pelo menos um elemento que não pertence simultaneamente a S e a P. A consequência disso é a de que S não está contido em P. O conjunto formado pelos elemen-tos de S que não pertencem a P é representado por S – P.


Diagramas lógicos

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Em símbolos de conjuntos: S P

Na lógica proposicional: x, x S x P

Na lógica de predicados: ( x), (S(x) ~P(x)) ou ~( x), (S(x) P(x))

PS

S-P

Observação:

O conjunto formado pelos elementos que pertencem a S ou a P (ou a ambos) é o conjunto “S união P”, representado por S P.

S-P P-S

S P

S P

PS

Se for verdadeiro que “todo S é P” e que “todo P é S”, então S P e P S. Nesse caso, os conjuntos S e P são iguais, ou seja, S = P.

Silogismos categóricosUm silogismo é um argumento composto de duas premissas e uma con-

clusão. Um silogismo categórico é um argumento composto por três propo-sições categóricas nas quais existem exatamente três termos; cada um dos quais ocorre precisamente em duas das três proposições.

Uma das maneiras de verificar a validade ou não de um silogismo categó-rico é “visualizar” cada um dos predicados (conjuntos que satisfazem deter-minada condição). Se a conclusão do argumento for necessariamente ver-dadeira, supondo como verdadeira cada uma das premissas, o argumento é considerado válido, correto ou legítimo. Caso contrário, é inválido, incorreto ou ilegítimo.

Observe alguns exemplos de silogismos categóricos.


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Diagramas lógicos

Exemplo 1:

Todos os músicos são talentosos. ................. Premissa 1

Todos os talentosos são exóticos. ................. Premissa 2

Todos os músicos são exóticos. ..................... Conclusão

Exóticos

TalentososMúsicos

De acordo com os diagramas, o argumento é válido.

Os termos que determinam as categorias “músicos”, “talentosos” e “exóti-cos” aparecem em exatamente duas das três proposições do argumento. Isso é o que caracteriza um silogismo categórico.

Exemplo 2:

Todos os artistas são criativos. .................... Premissa 1

Existem homens que são artistas. ............. Premissa 2

Existem homens criativos. ............................ Conclusão

Criativos

Artistas

Homens

O argumento é válido, pois a conclusão é necessariamente verdadeira.Observe que os predicados “artistas”, “criativos” e “homens” aparecem em exatamente duas das três proposições do argumento. Trata-se, portanto, de um silogismo categórico.


Diagramas lógicos

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Exemplo 3:

Nenhum fanático é religioso. ...................... Premissa 1

Existem homens que são religiosos........... Premissa 2

Existem homens que são fanáticos............ Conclusão

Fanáticos Religiosos

Homens

O argumento é inválido, pois a conclusão não é necessariamente verdadeira.

Observe que, supondo como verdadeiro que alguns homens são religio-sos e que nenhum fanático é religioso, não há a garantia de que exista algum homem que seja fanático.

Exemplo 4:

Nenhum fanático é religioso. ............................... Premissa 1

Existem homens que são religiosos. ................. Premissa 2

Existem homens que não são fanáticos. ......... Conclusão

Fanáticos Religiosos

Homens

O argumento é válido. A conclusão é necessariamente verdadeira.

Pelos diagramas fica claro que se existem homens religiosos e nenhum fanático é religioso, necessariamente alguns homens (religiosos) não são fanáticos.


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Diagramas lógicos

Exemplo 5:

Todos os sábios são introvertidos. ..................... Premissa 1

Existem animais que são introvertidos. ........... Premissa 2

Existem animais que são sábios. ........................ Conclusão

IntrovertidosAnimais

Sábios

O argumento é inválido. A conclusão não é necessariamente verdadeira.

Observe que mesmo que todos os sábios sejam introvertidos e que existam animais que sejam introvertidos, pode ocorrer que nenhum animal seja sábio.

Exemplo 6:

Todos os sábios são introvertidos. ..................... Premissa 1

Existem animais que são introvertidos. ........... Premissa 2

Existem animais que não são sábios. ................ Conclusão

Introvertidos

Sábios

Animais

O argumento é inválido, pois a conclusão não é necessariamente verdadeira.

A ilustração é uma das possíveis configurações que se pode construir a partir da suposição da veracidade das premissas. Analisemos cada uma das premissas e a conclusão para explicar porque o argumento é inválido.


Diagramas lógicos

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Premissa 1: Todos os sábios são introvertidos.

Essa proposição categórica possui o quantificador universal “todos”. Dessa forma, deve-se destacar o conjunto dos sábios como subconjunto do con-junto dos introvertidos. Nenhuma outra possibilidade de ilustração é viável a partir da veracidade dessa premissa.

Premissa 2: Existem animais que são introvertidos.

Essa proposição categórica possui o quantificador existencial “existem”. Assim, não é possível se garantir a exata relação entre os diagramas dos conjuntos “animais” e “introvertidos”. A ilustração deve destacar que há inter-secção entre os conjuntos “animais” e “introvertidos”, mas nada impede que possamos ilustrar o conjunto “animais” como subconjunto de “introvertidos”. A premissa não é contrariada nessa situação.

Conclusão: Existem animais que não são sábios.

Inicialmente, observe que quando colocamos o conjunto “animais” como subconjunto de “introvertidos”, abrimos a possibilidade de que a conclusão possa ser falsa, uma vez que, na ilustração apresentada, todos os animais são sábios.

Lembre-se sempre que o argumento só é válido quando a conclusão é necessariamente verdadeira. Se houver alguma possibilidade de a conclusão ser falsa, mesmo mantendo a veracidade de cada uma das premissas, deve- -se classificar o argumento como inválido.

Exemplo 7:

Nenhum lógico é louco. ................................ Premissa 1

Existem bichos que são loucos. .................. Premissa 2

Existem lógicos que não são bichos. ........ Conclusão

BichosLoucosLógicos


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Diagramas lógicos

O argumento é inválido. A conclusão não é necessariamente verdadeira.

Mais uma vez, observe atentamente que a ilustração é uma das possí-veis configurações que se pode construir, supondo que as premissas sejam verdadeiras. Vamos analisar as premissas e a conclusão para constatar que o argumento é falacioso.

Premissa 1: Nenhum lógico é louco.

Essa proposição categórica possui o quantificador universal “nenhum”. Assim, o conjunto “lógicos” tem intersecção vazia com o conjunto “loucos”, não existindo outra possibilidade em relação aos conjuntos.

Premissa 2: Existem bichos que são loucos.

Essa proposição categórica possui o quantificador existencial “existem”. Logo, não é possível se garantir a exata relação entre os conjuntos “bichos” e “loucos”. A ilustração deve destacar que há intersecção entre os conjun-tos “bichos” e “loucos”. Isso não impede que ilustremos o conjunto “lógicos” como subconjunto de “bichos”. A premissa não é contrariada nessa situação.

Conclusão: Existem lógicos que não são bichos.

Observe que ao colocarmos o conjunto “lógicos” como subconjunto de “bichos”, abrimos a possibilidade de que a conclusão possa ser falsa, pois, na ilustração apresentada, todos os lógicos são bichos.

Mais uma vez lembremos que um argumento é válido apenas quando a conclusão é necessariamente verdadeira. Como nesse caso existe a possibi-lidade de a conclusão ser falsa, sem que isso contrarie qualquer premissa, concluímos que o argumento é inválido.

Validade de silogismos categóricos pelo método de Venn

Para determinar se um típico silogismo categórico é válido ou não, existe um método elaborado pelo matemático John Venn (1834-1923) que consis-te em se representar as premissas e a conclusão em três diagramas que se interceptam dois a dois. Pelo método, analisando os diagramas, as premissas e a conclusão do argumento pode-se verificar se o argumento é válido.

Considerando que os três termos de um silogismo categórico são repre-sentados pelas letras S, M e P, observe a seguinte ilustração:


Diagramas lógicos

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S

M

P

Como os três diagramas (S, M e P) interceptam-se dois a dois, podemos identificar oito diferentes regiões que determinam oito distintas classes.

S

M

P

SMP

SMPSMP

SMP

SMP

SMP SMP

SMP

Os símbolos e os correspondentes significados de cada uma dessas regiões é o seguinte:

SMP � : Elementos pertencentes a S e a P e a M.

SM � P : Elementos pertencentes a S e a M, mas não a P.

S � MP: Elementos pertencentes a S e a P, mas não a M.

S � MP: Elementos pertencentes a M e a P, mas não a S.

S � MP : Elementos pertencentes a S, mas não a M, nem a P.

S � MP: Elementos pertencentes a P, mas não a S, nem a M.

S � MP : Elementos pertencentes a M, mas não a S, nem a P.

S � MP: Elementos que não pertencem a S, nem a M, nem a P.

Observe que o traço acima da letra que representa um conjunto indica que o elemento considerado não pertence a esse conjunto. Ainda, em vez de


182

Diagramas lógicos

utilizar a barra acima da letra que representa um dado conjunto, poderíamos também representar utilizando a notação de conjunto complementar. Por exemplo, o complementar do conjunto A representa-se por Ac.

Nos próximos exemplos, observe como é o procedimento de verificação da validade de silogismos categóricos por meio do método de Venn.

Exemplo 1:

Todo homem é mortal. .................................................. Premissa 1

Existem homens que são esportistas. ...................... Premissa 2

Existem esportistas que são mortais. ....................... Conclusão

Inicialmente, construímos os diagramas, considerando H como conjunto dos homens, M como conjunto dos mortais e E como conjunto dos esportis-tas. Em seguida, se, por exemplo, uma premissa indicar que uma determina-da região é vazia, vamos sombrear a área correspondente para indicar que na região sombreada não existe qualquer elemento.

A premissa 1 afirma que “todo homem é mortal”. Logo, devemos sombre-ar as regiões formadas pelas categorias HME e HME, pois essas regiões são vazias se a premissa 1 for verdadeira.

H

E

M

HME

HME

A premissa 2 afirma que “existem homens que são esportistas”. A partir dela, não podemos sombrear alguma região específica, mas podemos co-locar um “X” na região que, necessariamente, não é vazia. Este “X” marcado garantirá que existe pelo menos um elemento na região em que ele se en-contra. Essa região é a que, de acordo com a premissa 1, não foi sombreada e que está contida nos conjuntos H e E simultaneamente. Na figura a seguir, o “X” indica que a premissa 2 é verdadeira.


Diagramas lógicos

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H

E

X

M

HMEHME

HME

A conclusão afirma que “existem esportistas que são mortais”. A presen-ça de “X” na região comum a H, E e M, garante que existe pelo menos um homem que seja mortal e esportista. Por isso, garante a veracidade de “exis-tem esportistas que são mortais”. Logo, a conclusão é verdadeira e é conse-quência das premissas. Portanto, o argumento é válido.

H

E

X

M

A presença de elementos nesta região garante que a conclusão é verdadeira.

HMEHME

HME

Exemplo 2:

Nenhum homem é louco. .............................. Premissa 1

Existem bichos que são loucos. .................... Premissa 2

Existem homens que não são bichos. ........ Conclusão

De início, vamos construir os diagramas, considerando H como conjunto dos homens, L como conjunto dos loucos e B como conjunto dos bichos. Em seguida, de acordo com as premissas, devemos sombrear a área que indica que a classe correspondente é vazia.

A primeira premissa afirma que nenhum homem é louco. Logo, a inter-secção entre os conjuntos “homens” e “loucos” é vazia. Isso será representado sombreando a região comum aos conjuntos “homens” e “loucos”.


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Diagramas lógicos

H

B

L

A segunda premissa afirma que “existem bichos que são loucos”. Assim, colocaremos um “X” na região que é comum aos conjuntos “bichos” e “loucos”. Isso identifica que a região que possui o “X” não é vazia.

H

B

L

X

A conclusão afirma que “existem homens que não são bichos”. Observe na próxima ilustração que a região exclusiva do conjunto H, formada apenas pelos elementos que são apenas homens, pode ser vazia. A consequência disso é que todos os homens seriam bichos, o que tornaria a conclusão falsa.

H

B

X

L

Se esta região for vazia, todos os homens serão bichos.


Diagramas lógicos

185

Portanto, o argumento é inválido.

Observação:

Em geral, a utilização de diagramas de Venn na verificação da validade de argumentos categóricos é eficiente nos casos em que o argumento é um silogismo, ou seja, um argumento com duas premissas, uma conclusão e a presença de três termos, cada um aparecendo duas vezes no argumento. Entretanto, para argumentos com um maior número de premissas, a análise tradicional, possibilidade por possibilidade, torna-se mais conveniente.

Ampliando seus conhecimentosO próximo texto foi extraído do livro Lógica Elementar.

Lógica Antiga(MATES, 1967, p. 257-260)

Se, com essas observações em mente, buscamos as origens de nossa ciên-cia, poderemos dizer, sem rodeios, que a história da Lógica tem início com o filósofo grego Aristóteles (384-322 a.C.). Embora, entre os historiadores, seja quase um lugar comum afirmar que as grandes conquistas intelectuais nunca se devem a uma pessoa apenas (Euclides utilizou-se, para fundar a geometria, de resultados obtidos por Eudoxo e outros; quanto à mecânica, Newton pode erguer-se sobre os ombros de Descartes, Galileu e Kepler; e assim por diante), Aristóteles, segundo todas as evidências ao nosso alcance, criou a ciência lógica inteiramente ex nihilo. Com uma franqueza que desarma, ele próprio nos diz isso, em passagem ao fim das Refutações aos Sofistas, e não há motivo para duvidar da precisão de seu relato. Muitos estudiosos afirmaram, apoia-dos em argumentos a priori, que tal ato de criação é impossível e lançaram-se ao exame das obras dos predecessores de Aristóteles, especialmente Platão, procurando encontrar pelo menos o germe da lógica aristotélica. A busca foi inteiramente infrutífera; em razão, porém, de confusões de que demos notícia nos dois parágrafos, tem-se por vezes afirmado o contrário.

Os escritos de Aristóteles a propósito da Lógica contêm-se num conjunto de tratados que épocas posteriores vieram a denominar Organon. Reúnem- -se nele seis obras: as Categoriae, De Interpretatione, Analytica Priora, Analyti-


186

Diagramas lógicos

ca Posteriora, Tópicos e Refutações aos Sofistas (os títulos provavelmente não foram dados por Aristóteles e são pouco indicativos do conteúdo). Impressos, eles correspondem a um volume de várias centenas de páginas, mas a silo-gística, ou teoria do silogismo, que é o núcleo essencial da lógica aristotélica, vem exposta em poucas páginas, ao começo da Analytica Priora. O mais que se inclui no Organon diz respeito, em maior porção, a tópicos estranhos ao campo da Lógica, embora passagens ocasionais esclareçam a terminologia utilizada na silogística ou proporcionem outras informações úteis.

Antes de nos adiantarmos, importa anotar, entre parênteses, que o leitor de Aristóteles não deve perder de vistas as vicissitudes a que os escritos de Aristóteles estiveram sujeitos ao longo dos 23 séculos de sua história. Houve mutilação de trechos, notas marginais de comentadores foram incluídas no texto, alterou-se a ordem dos livros e capítulos, perderam-se parágrafos intei-ros e obras espúrias surgiram – e tudo isso além dos erros por omissão, dupli-cação e substituição normalmente cometidos pelos copistas. O lógico dado à leitura de Aristóteles deverá também acautelar-se contra a pouca importância por ele atribuída à distinção uso-menção. Locuções da forma “toda A é B” e “A está incluído em B” são usadas indiferentemente por locuções da forma “B é predicado de todo A” e “B pertence a todo A”; com efeito, a certa altura, o autor diz redondamente: “pois é o mesmo uma primeira coisa ser incluída como um todo em outra e esta outra ser predicada de toda a primeira”. Assim, nas Cate-goriae, nos deparamos com a seguinte afirmação:

Sempre que uma coisa é predicado de outra, que é sujeito, tudo que é pre-dicado do predicado é também predicado do sujeito, e.g. homem é predicado de homem específico, e animal, de homem; assim, animal será também predi-cado de um homem específico.

Se propusermos a questão de saber se, nesse passo, Aristóteles está se referindo a palavras ou coisas ou tanto a umas quanto a outras, estaremos provavelmente fazendo uma pergunta sem resposta; isso não quer dizer, na-turalmente, que não tenha conteúdo o que ele afirma.

Silogismo, segundo Aristóteles, é uma parte do discurso na qual, sendo postas certas coisas, delas decorrem outras, necessariamente. Essa definição poderia levar a supor que Aristóteles usa o termo “silogismo” como equiva-lente aproximado de “argumento válido”, mas, na verdade, o alcance que lhe empresta é muito mais restrito. Próximo ao começo da Analytica Priora, ele re-


Diagramas lógicos

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laciona as espécies de sentença que podem ser integrantes de um silogismo. E nos diz que toda premissa ou conclusão é afirmativa ou negativa, segundo afirme ou negue algo a propósito de algo. Classificam-se as sentenças em uni-versais, particulares ou indefinidas: uma sentença universal assevera que algo pertence a todo ou a nenhum outro algo; uma sentença particular assevera que algo pertence ou não a algum ou a não todo algo diverso; e, por fim, uma sentença indefinida assevera, sem fazê-lo em geral nem em particular, que algo pertence a algo, e.g., que o prazer não é um bem. Na prática, as senten-ças indefinidas são ignoradas por Aristóteles; razão para isso, de acordo com os comentadores, está em que elas “equivalem” a correspondentes senten-ças particulares. Seja como for, as componentes do silogismo aristotélico são sempre sentenças universais ou particulares e afirmativas ou negativas; isto é, recorrendo a exemplos do próprio Aristóteles, são sentenças como “Todo homem é branco” e “Nenhum homem é branco”, “Alguns homens são brancos” e “Nem todos os homens são brancos”, sentenças posteriormente designadas como das formas A, E, I ou O, respectivamente. Expressões como “homem” e “branco” são chamadas termos. A teoria do silogismo nada diz a propósito de sentenças singulares, como “Sócrates é branco”, embora sentenças desse tipo hajam desempenhado papel relevante em descrições da chamada Lógica Tradicional.

Nem todo argumento composto de sentenças A, E, I ou O é um silogis-mo, mas apenas aqueles que apresentam exatamente duas premissas e uma conclusão e envolvem, no máximo, três termos. Assim, as duas premissas tem sempre um termo em comum, pelo menos, e esse é o chamado termo médio. O predicado da conclusão é o termo maior e o sujeito da conclusão é o termo menor.

No tratado De Interpretatione, Aristóteles menciona algumas das relações lógicas existentes entre as sentenças A, E, I ou O que tenham os mesmos termos como sujeito e predicado. As sentenças A e O são contraditórias, assim como o são as E e I; de cada par de contraditórias, diz ele, uma é verdadeira. A e E são chamadas contrárias; as contrárias não podem ser ambas verdadeiras, mas ambas podem ser falsas. Essas relações e outras foram, mais tarde, repre-sentadas esquematicamente no Quadrado de Oposição, figura encontradiça em quase todos os textos de Lógica Tradicional e que primeiro apareceu no comentário que Apuleio de Madauros (século II a. C.) escreveu a propósito de De Interpretatione.


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Diagramas lógicos

Aristóteles inicia sua exposição dedutiva da teoria estabelecendo assim as chamadas leis de conversão que, posteriormente, usa para “reduzir” uma es-pécie de silogismo a outra. Diz ele que a sentença negativa universal se con-verte em negativa universal; por exemplo, se nenhum prazer é um bem, então nenhum bem será prazer. As sentenças afirmativas particulares e universais convertem-se em afirmativas particulares; por exemplo, se todo prazer é um bem ou se algum prazer é um bem, então algum bem é prazer. A negativa particular não se converte; não é o caso de se algum animal não é homem, então algum homem não é animal. Aristóteles formula essas leis valendo-se de variáveis:

Se A pertence a não B, então B não pertence a nenhum A.

Se A pertence a todos os B, então B pertencerá a algum A.

Se A pertence a algum B, então B pertencerá a algum A.

Essa foi a primeira vez em que se fez o uso claro de variáveis em ciência.

Atividades de aplicação1. Classifique as proposições categóricas de acordo com a qualidade e a

extensão:

a) Todo animal é carnívoro.

b) Nenhum homem é cristão.

c) Alguns macacos latem.

d) Algumas ruas não são públicas.

e) Existem praias poluídas.

f) Existem motoristas sem carteira.

2. Considere a proposição categórica “Todo homem é mortal”. Escreva as correspondentes proposições: contraditória, contrária e superalterna.

3. Se for verdade que todos os alunos são estudiosos, então é necessaria-mente verdadeiro que:


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a) Nenhum aluno é estudioso?

b) Alguns alunos são estudiosos?

c) Alguns alunos não são estudiosos?

4. Se for verdade que nenhum aluno é estudioso, então é necessaria-mente verdadeiro que:

a) Todos os alunos são estudiosos?

b) Alguns alunos são estudiosos?


5. Se for verdade que alguns alunos são estudiosos, então é necessaria-mente verdadeiro que:


b) Nenhum aluno é estudioso?


6. Se for verdade que alguns alunos não são estudiosos, então é necessa-riamente verdadeiro que:


b) Nenhum aluno é estudioso?

c) Alguns alunos são estudiosos?

7. Escreva a sentença que nega cada uma das proposições categóricas abaixo:

a) Todos os marujos estão no navio.

b) Nenhum marujo está no navio.

c) Alguns marujos estão no navio.

d) Alguns marujos não estão no navio.


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Diagramas lógicos

8. Considere o silogismo categórico a seguir.

Nenhuma árvore é nativa. ......................................Premissa 1

Nenhum nativo é homem. ..................................... Premissa 2

Nenhuma árvore é homem. ................................... Conclusão

Resolva o que se pede:

a) Construa diagramas e verifique se o argumento é válido pelo mé-todo tradicional.

b) Verifique se o argumento é válido pelo método de Venn.

9. (Vunesp-adap.)Marque um “X” nos argumentos em que ocorre uma conclusão verdadeira (real) e o argumento inválido.

( ) Raulino é homem e todo homem é mortal, portanto Raulino é mortal.

( ) Toda a pedra é um homem, pois alguma pedra é um ser e todo ser é homem.

( ) Todo cachorro mia e nenhum gato mia, portanto cachorros não são gatos.

( ) Todo o pensamento é um raciocínio, portanto todo o pensamento é um movimento, visto que todos os raciocínios são movimentos.

( ) Toda cadeira é um objeto e todo objeto tem cinco pés, portanto algumas cadeiras têm só quatro pés.

10. Verifique a validade do argumento categórico:

Existem mariscos que são tóxicos.

Existem tóxicos que são úteis.

Logo, existem mariscos que são úteis.


Diagramas lógicos

191

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TELLES JR., Goffredo. Curso de Lógica Formal. 3. ed. São Paulo: Edusp, 1973. 367 p.


Diagramas lógicos

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Gabarito1.

a) Extensão: universal.

Qualidade: afirmativa.

b) Extensão: universal.

Qualidade: negativa.

c) Extensão: particular.


d) Extensão: particular.

Qualidade: negativa.

e) Extensão: particular.


f) Extensão: particular.

Qualidade: negativa (a palavra “sem” indica negação).

2. Proposição: “Todo homem é mortal”.

Contraditória: “Algum homem não é mortal”.

Contrária: “Nenhum homem é mortal”.

Superalterna: “Algum homem é mortal”.

3. Observe a ilustração que destaca a proposição “todos os alunos são estudiosos”:

Estudiosos

Alunos

A partir dessa ilustração, pode-se corretamente responder:


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Diagramas lógicos

a) Não, pois todo aluno é estudioso.

b) Sim, pois se todo aluno é estudioso, algum aluno é estudioso.

c) Não, pois todo aluno é estudioso.

4. Observe a ilustração que destaca a proposição “nenhum aluno é estu-dioso”:

EstudiososAlunos

A partir dessa ilustração, pode-se corretamente responder:

a) Não, pois nenhum aluno é estudioso.

b) Não, pois nenhum aluno é estudioso.

c) Sim, pois se nenhum aluno é estudioso, então alguns alunos não são estudiosos.

5. Observe algumas ilustrações possíveis a partir da veracidade da pro-posição “alguns alunos são estudiosos”:

Estudiosos

Alunos

EstudiososAlunos

A partir dessas ilustrações, pode-se corretamente responder:

a) Não, pois, pela primeira ilustração, é possível que existam alunos que não sejam estudiosos.

b) Não, pois, pela primeira ilustração, é possível que existam alunos que sejam estudiosos.

c) Não, pois, pela segunda ilustração, é possível que todos os alunos sejam estudiosos.


Diagramas lógicos

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6. Observe algumas ilustrações possíveis a partir da veracidade da pro-posição “alguns alunos não são estudiosos”:

EstudiososAlunos EstudiososAlunos

A partir dessas ilustrações, pode-se corretamente responder:

a) Não, pois, pela primeira ilustração, é possível que existam alunos que não sejam estudiosos.

b) Não, pois, pela primeira ilustração, é possível que existam alunos que sejam estudiosos.

c) Não, pois, pela segunda ilustração, é possível que nenhum aluno seja estudioso.

7.

a) Alguns marujos não estão no navio.

b) Alguns marujos estão no navio.

c) Nenhum marujo está no navio.

d) Todos os marujos estão no navio.

8.

a) Sejam A: conjunto das árvores, N: conjunto dos nativos e H: conjun-to dos homens. Observe uma possível ilustração de tais conjuntos:


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Diagramas lógicos

H

A

N

De acordo com as premissas, não existem elementos comuns aos conjuntos A e N, e, também, aos conjuntos N e H. Mas isso não im-pede que existam elementos comuns aos conjuntos A e H. Logo, a conclusão “nenhuma árvore é homem” pode ser verdadeira ou pode ser falsa. Assim, a conclusão não está garantida na hipótese das premissas serem verdadeiras e, portanto, o argumento não é válido.

b) Em primeiro lugar, devemos representar os três conjuntos (A, N e H) em diagramas, com intersecções dois a dois. Em seguida, analisar as premissas. A premissa 1 afirma que “nenhuma árvore é nativa”, logo devemos sombrear as regiões ANH e ANH, pois tais regiões são vazias na hipótese da premissa 1 ser verdadeira.

A

H

N

ANH

ANH

ANH

ANH

ANH

ANH ANH

ANH

A premissa 2 afirma que “nenhum nativo é homem”. Logo, as regiões ANH e ANH devem ser sombreadas, pois são vazias.


Diagramas lógicos

197

A

H

N

ANH

ANH

ANHANH

ANH

ANH

ANH ANH

A conclusão “nenhuma árvore é homem” afirma que os conjuntos A e N não têm elementos comuns. A parte comum aos conjuntos A e N é formada pelas regiões ANH e ANH. A região ANH é vazia, pois foi sombreada. Mas a região ANH pode não estar vazia, pois não foi sombreada. Como a região da conclusão do argumento não foi in-teiramente sombreada e, nesse caso, deveria ser inteiramente som-breada, concluímos que o argumento não é válido.

9. Analisando cada argumento, temos:

a)

( ) Raulino é homem. ............................ Premissa 1

Todo homem é mortal. ....................... Premissa 2

Raulino é mortal. ................................... Conclusão

Mortais

Raulino

Homens

No sentido real, a conclusão “Raulino é mortal” é verdadeira. Além disso, de acordo com a ilustração anterior, o argumento é válido.


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Diagramas lógicos

b)

( ) Alguma pedra é um ser. ......................... Premissa 1

Todo ser é homem. ....................................... Premissa 2

Toda pedra é um homem. .......................... Conclusão

Homens

Seres

Pedras

O diagrama mostra que, mesmo que alguma pedra seja um ser e mesmo que todo ser seja homem, pode ocorrer de existirem pe-dras que não são homens. Logo, o argumento é inválido. A conclu-são “toda pedra é um homem” é, no sentido real, evidentemente falsa.

c)

( ) Todo cachorro mia. .................................. Premissa 1

Nenhum gato mia. ........................................ Premissa 2

Cachorros não são gatos. ........................... Conclusão

Animais que miam

Cachorros

Gatos

De acordo com a ilustração, o argumento é válido. No sentido real, a conclusão “cachorros não são gatos” é verdadeira.

d)

( ) Todo o pensamento é um raciocínio. ................ Premissa 1


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Todos os raciocínios são movimentos. .................. Premissa 2

Todo o pensamento é um movimento. ................. Conclusão

Movimentos

Pensamentos

Raciocínios

O argumento é válido. Embora não esteja clara a extensão do sig-nificado da palavra “movimento”, no sentido real a conclusão pode ser considerada verdadeira.

e)

( X ) Toda cadeira é um objeto. ................................. Premissa 1

Todo objeto tem cinco pés. ....................................... Premissa 2

Algumas cadeiras têm só quatro pés. .................... Conclusão

Cinco pés

Cadeiras

Objetos

Da ilustração, conclui-se que todas as cadeiras têm cinco pés. A par-tir disso, concluímos ser falsa a afirmação de que “algumas cadei-ras têm só quatro pés”. Portanto, o argumento é inválido. A questão solicitava que marcássemos o argumento inválido, cuja conclusão, na realidade, é verdadeira. Observe que, no sentido real, entretan-to, quando dizemos que “algumas cadeiras têm só quatro pés”, tal conclusão é verdadeira. Ou seja, mesmo que existam cadeiras com menos que quatro pés ou mais que quatro pés, no sentido real de-vemos admitir que existem cadeiras que têm só quatro pés.


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Diagramas lógicos

10. Observe como podemos organizar os diagramas a partir das premis-sas consideradas verdadeiras:

marisco tóxicos úteis

Mesmo que existam mariscos que sejam tóxicos e que existam tóxicos que sejam úteis, não é necessariamente verdadeiro que existam maris-cos que sejam úteis. Portanto, o argumento é inválido.




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Raciocinio logico 05