Upload
fatimaeng
View
190
Download
6
Embed Size (px)
Citation preview
ÁGUA NOS SOLOS
Introdução
Água nos solos:
água de constituição molecular
água adsorvida
água capilar
água livre
Capilaridade– Tensão superficial da águaComportamento diferenciado da água na superfície em contato com o ar →
orientação das moléculas
Tensão superficial (T) - trabalho necessário
para aumentar a superfície do líquido de
uma unidade infinitesimal de área
Tensão superficial da água a 20oC
→ 0,073 Nm/m2
– A teoria do tubo capilarNo contato com outras superfícies (líquidas ou sólidas) as forças químicas de
adesão geram uma curvatura na superfície livre da água → f(tipo dematerial e grau de limpeza)
NA
franja capilar
vidro limpo α ≈ 0
α
α
vidro c/ impurezas α< 40o mercúrio α > 140o
����������� ����������������������������
Em função da superfície curva, ocorre uma diferença nas pressões externa einterna da superfície ar-água.
A diferença de tensões é equilibrada pela resultante da tensão superficial.
curvatura ↑ → diferença de pressões ↑ → T para equilíbrio ↑
• Comportamento da água em tubos capilares:Quando um tubo capilar é colocado em contato com a superfície da água livre
forma-se uma superfície curva a partir do contato água-tubo. A curvatura éfunção das propriedades do material do tubo. A água sobe pelo tubocapilar até que seja estabelecido o equilíbrio das pressões interna eexterna à superfície → fenômeno de ascensão capilar
uA= uD = uF = atmosférica
uB = uC = atmosférica + γw z
uE = atmosférica - γw hc
ÁGUA NOS SOLOS
Fc
W
����������� ����������������������������
ÁGUA NOS SOLOS
A altura de ascensão capilar em um tubo de raio r pode ser calculadaigualando o peso da água no tubo acima do NA com a resultante da tensãosuperficial responsável pelo equilíbrio.
Peso de água:
Resultante da tensão superficial ao longo do perímetro:
Para o equilíbrio W = Fc cos α:
Quando é atingido o equilíbrio (máxima ascensão) α → 0. Logo:
Ex: tubo de vidro com 1 mm de diâmetro → hc = 3 cm
• O comportamento da água capilar nos solosOs vazios no solo são muito pequenos, comparáveis aos tubos capilares,
embora muito irregulares e interconectados.
A situação da água capilar no solo depende do histórico do NA.
wc2 hrW γ⋅⋅⋅π=
Tr2Fc ⋅⋅π⋅=
αγ⋅⋅= cos
r
T2h
wc
wCmáx
r
T2h
γ⋅⋅=
����������� ����������������������������
ÁGUA NOS SOLOS
- Quando um solo seco é colocado em contato com água livre, esta sobepor capilaridade até uma altura que é função do diâmetro dos vazios, esterelacionado como diâmetro das partículas. Como bolhas de ar ficamenclausuradas, o solo mantém parcial e decrescente saturação até a alturamáxima de ascensão capilar.
- O mesmo fenômeno ocorre quando do rebaixamento do NA. O solomantém continuidade da água nos vazios até a máxima altura capilar.Acima deste a coluna d’água se “rompe” e a água presente nos vazios éisolada do lençol freático.
Interrompida a coluna d’água, a água pode manter-se isolada, aprisionadaentre os grãos por efeito dos meniscos capilares, desde que seestabeleça o equilíbrio de forças
• Seqüência de fenômenos relacionados a capilaridade a partirdo umidecimento de um solo seco
1o) A água intersticial passa a incorporar a água adsorvida;
2o) A água vai sendo “armazenada” nos pontos de contato entre aspartículas. Formam-se os vasos capilares afunilados.
Em cada contato, em função da abertura do poro, tem-se certaquantidade de água que pode ser mantida em suspensão;
3o) Adicionando mais água, chega-se a um ponto que não é maispossível reter água por capilaridade. A água passa a ser livreincorporando o lençol freático.
• Relações empíricas para a altura capilarA altura de ascensão capilar está relacionada diretamente com os vazios
e diâmetro das partículas. Relações empíricas do tipo:
c - coeficiente de 0,1 a 0,5 cm2
situação
sem equilíbrio
situação de
possível equilíbrio
10Cmáx
De
ch
⋅=
����������� ����������������������������
• Alturas capilares máximas atingíveis– pedregulhos → alguns poucos centímetros;– areias → um a dois metros;– siltes → três a quatro metros;– argilas → dezenas de metros.
• A pressão negativa na água do soloA água capilar acima do NA assume poropressão negativa. Na realidade
assume valores menores que a pressão atmosférica (pressão dereferência = 100 kPa). A poropressão negativa da água nos solos devidoao efeito da capilaridade é chamada de sucção matricial.
Esta “resistência a tração” da água se limita ao zero absoluto de pressão, istoé, - 100 kPa, a partir do qual a água teoricamente entra em cavitação → oar dissolvido presente na água se instabiliza. Na prática, em condiçõesespeciais (água desaerada e em volumes muito pequenos), consegue-seatingir em laboratório pressões negativas na água inferiores a -100 kPa.
Em perfis de solos pouco saturados é possível medir pressões negativas naágua intersticial inferiores a -1000 kPa por meio de tensiômetros especiais.
Pelo conceito de tensão efetiva → para u (-) ⇒ σ’ > σ. O acréscimo de tensãoefetiva por efeito da pressão neutra negativa representa um acréscimo naforça de contato entre os grãos e como conseqüência uma parcelaadicional de resistência ao cisalhamento dos solos não saturados chamadade coesão aparente.
• Exemplos da importância no estudo da capilaridade– Construção de aterros e pavimentos - a água que sobe por
capilaridade tende a comprometer a durabilidade de pavimentos
– Sifonamento capilar em barragens - a água pode, porcapilaridade, ultrapassar barreiras impermeáveis e gerar porefeito de sifonamento percolação através do corpo da barragem
– Coesão aparente - parcela de resistência gerada pelosmeniscos capilares presentes em solos não saturados
ÁGUA NOS SOLOS
����������� ����������������������������
Permeabilidade e percolaçãoOs solos têm, com freqüência, a maior parte ou a totalidade de
seus poros ocupados por água, que, quando submetida auma diferença de potencial hidráulico, flui através dos porosinterconectados, fissuras e/ou outros caminhos preferenciais.
A facilidade com que a água flui através de um meio poroso,como o solo, constitui uma importante propriedadeconhecida como permeabilidade. A permeabilidade de umsolo é quantificada pelo coeficiente de permeabilidade.
Um termo análogo a permeabilidade é condutividadehidráulica, reservado ao fluxo em solos não saturados.
Chamamos de percolação o fluxo da água
através do solo.
O estudo do movimento da água no interior do solo é muitoimportante para diferentes obras de engenharia.
Importância do estudo da permeabilidade dos solos. Exs:– Determinação do fluxo e cálculo de vazões sob ou através de
barragens, na direção de escavações, cortinas ou poços derebaixamento;
– Determinação das forças de percolação exercidas sobreestruturas hidráulicas;
– Análise da velocidade de recalques por adensamento,associados a redução dos vazios a medida que a água dosporos é expulsa;
– Nos estudos de estabilidade, uma vez que a tensão efetiva(responsável pela resistência ao cisalhamento dos solos) éfunção da pressão neutra, que por sua vez depende dastensões provocadas pela percolação;
– No controle da erosão interna (“piping”) em solos finos.
ÁGUA NOS SOLOS
����������� ����������������������������
– Cargas hidráulicasPara estudar as forças que controlam o escoamento d’água através de um
solo é necessário avaliar as variações de energia no sistema.
No estudo do fluxo d’água nos solos é conveniente expressar as componentesde energia pelas correspondentes cargas ou alturas (energia por unidadede massa).
EQUAÇÃO DE BERNOULLI → válida p/ escoamentos em regime permanente,não viscosos, de fluídos incompressíveis. A carga total é dada pela somade três parcelas:
CARGA TOTAL = CARGA DE ALTURA + CARGA PIEZOMÉTRICA + CARGA DE VELOCIDADE
Carga de altura (ha) → diferença de cota entre o ponto considerado e qualquercota definida como referência;
Carga piezométrica (hp) → pressão neutra no ponto, expressa em altura decoluna d’água;
Carga de velocidade (hv) → nos problemas de percolação de água nos solos acarga de velocidade (ou cinética) é desprezível - velocidades muito baixas.
ÁGUA NOS SOLOS
vpa hhhH ++=hvA
hvB
hpA
haA
hpB
haB
A
B
zha =
wp
uh
γ=
g2
vh
2
v⋅
=
∆H
HA
HB
∆L
NR
����������� ����������������������������
hpA
Para que haja fluxo de A para B → HÁ > HB
Tem-se:
onde: ∆H = perda de carga hidráulica
Sempre que houver diferença de carga total entre dois pontos haverá fluxo, nadireção do ponto de maior carga ao ponto de menor carga total.
Analisemos dois casos:
caso 1: caso 2:
Como haA + hpA = haB + hpB ,
isto é HÁ = HB ⇒ não há fluxo HÁ=HB=hpA=hpB HC=HD=hpC=hpD
HB ≠ HC ⇒ há fluxo
HB > HC ⇒ há fluxo de B para C
Define-se como gradiente hidráulico (i) a taxa de dissipação da carga total emfunção da distância.
ÁGUA NOS SOLOS
HHH BA ∆+=
A
B
haA
haB
hpB
NR
NA
NAhpA=hpB
hpC=hpD
A B C D
dL
dH
Llimi
0L−=
∆∆Η−=
→∆
∆L
Hzu
zu
Bw
BA
w
A ∆++γ
=+γ
����������� ����������������������������
– Força de percolaçãoA perda de carga (∆H) é dissipada através de uma amostra de solo, deseção (A) ao longo de uma distância (L), na forma de atrito viscoso. Esteatrito provoca um esforço de arraste das partículas na direção domovimento. Esta chamada força de percolação (Fp) é dada por:
Esta força de percolação por unidade de volume (j) é:
– Tensões no solo submetido a percolaçãoAnalisemos as tensões no solo em três condições: sem fluxo, fluxo
ascendente e fluxo descendente
• Sem fluxo
As tensões na base da amostra:
ÁGUA NOS SOLOS
AHFp w ⋅γ⋅∆=
www
iL
H
LA
AHj γ⋅=γ⋅∆=
⋅⋅γ⋅∆=
γ⋅+γ⋅=σ Lz w w)Lz(u γ⋅+=
u' −σ=σLL)(' subw ⋅γ=⋅γ−γ=σ
����������� ����������������������������
• Com fluxo ascendente
As tensões na base da amostra:
Como h é a perda de carga pode-se escrever:
• Com fluxo descendente
As tensões na base da amostra:
ÁGUA NOS SOLOS
γ⋅+γ⋅=σ Lz w w)hLz(u γ⋅++=
)j(LiLL' subwsub −γ⋅=γ⋅⋅−γ⋅=σ
w)hLz(u γ⋅−+=γ⋅+γ⋅=σ Lz w
)j(LiLLh)(L' subwsubww +γ⋅=γ⋅⋅+γ⋅=γ⋅+γ−γ⋅=σ
)h()(L)hLz()Lz(' wwwwww γ⋅−γ−γ⋅=γ⋅+γ⋅+γ⋅−γ⋅+γ⋅=σ
����������� ����������������������������
– Gradiente hidráulico críticoNa condição de fluxo ascendente a tensão efetiva reduz com o aumento
no gradiente hidráulico.
Para um dado valor de gradiente hidráulico, a tensão efetiva pode seranulada → gradiente hidráulico crítico (icrít)
Como a tensão efetiva (tensão de contato grão a grão) é responsávelpela resistência ao cisalhamento de areias → perda total deresistência → comporta-se como fluído ⇒ estado de areia movediça
Para fluxo ascendente, na condição crítica:
O fenômeno de areia movediça é típico de areias finas e tem raraocorrência natural. Porém certas obras geotécnicas podem gerar estasituação. Exs:
(a) fluxo ascendente junto ao pé de jusante de barragens sobre areia fina
(b) fluxo ascendente de fundo em escavações escoradas por cortinas deestacas pranchas envolvendo areias finas
ÁGUA NOS SOLOS
0)i(L' wsub =γ⋅−γ⋅=σ
w
subcríti
γγ=
����������� ����������������������������
– Permeabilidade dos solos• A Lei de Darcy (1850)
Experimentalmente Darcy verificou os fatores que influenciam o fluxode um fluído em um meio poroso e estabeleceu que a descarga (Q)numa seção de área (A) é proporcional ao gradiente hidráulico (i) . Aequação que leva seu nome:
A constante de proporcionalidade é chamada de coeficiente depermeabilidade (K), uma medida da propriedade do solo querepresenta a facilidade do solo em permitir a percolação d’água pelosseus interstícios.
A velocidade (v), razão entre a vazão e a área da seção de fluxo, éassim representada pela Lei de Darcy:
Chama-se de velocidade de percolação (vp) a velocidade com quea água escoa nos vazios do solo, considerando a área efetiva deescoamento, isto é, a “área de vazios” (Av)
onde: n - porosidade do solo
– A validade da Lei de Darcy
A lei de Darcy á válida para fluxo laminar → no de Reynolds (R) < 2000
v - velocidade
D - diâmetro da seção de escoamento
γ - peso específico do fluído
µ - viscosidade do fluído
g - aceleração da gravidade
ÁGUA NOS SOLOS
AiKQ ⋅⋅=
n
v
nA
Q
Av
Qvp =
⋅==
iKA
Qv ⋅==
g
DvR
⋅µγ⋅⋅=
NANA
NR
HA
hpA
haAA
B HB
hpB
haB
∆H
v
A
∆L
����������� ����������������������������
• Determinação do coeficiente de permeabilidade– Ensaios de laboratório
A determinação do coeficiente de permeabilidade em laboratório érealizada principalmente em ensaios com permeâmetros. O valor de Kpode também ser obtido em células triaxiais ou indiretamente em ensaiosoedométricos de adensamento.
• Ensaios em permeâmetro de carga constante
A carga hidráulica é mantida constante durante todo o ensaio.Empregado principalmente para solos granulares.
Procedimento: Após garantida a constância de vazão, mede-se o volumed’água (V) que percola pela amostra de comprimento (L) emintervalos de tempo (t).
Pela Lei de Darcy:
• Ensaios em permeâmetro de carga variável
A carga hidráulica varia durante o ensaio. Usado para solos de baixapermeabilidade. As vazões de ensaio são pequenas.
Procedimento: Após garantida a constância da vazão, faz-se leituras dasalturas inicial e final na bureta e o tempo decorrente.
Na bureta: Na amostra:
Pela equação da continuidade:
integrando entre hi e hf e entre ti e tf:
ÁGUA NOS SOLOS
AL
hKAiKQ ⋅⋅=⋅⋅=
t
VQ =
thA
LVK
⋅⋅⋅=
dt
dhadQ
⋅−= AL
hKdQ ⋅⋅=
h
dhdt
aL
AK
dt
dhaA
L
hK =⋅
⋅⋅⇒⋅−=⋅⋅
( )hf
hilnhf lnhi lntitf
aL
AK
h
dhdt
aL
AK hf
hi
tf
ti
=−=−⋅⋅⋅⇒−=⋅
⋅⋅
∫∫
hf
hiln
)titf(A
aLK ⋅
−⋅⋅=
����������� ����������������������������
– Ensaios de campo
Realizados em poços ou furos de sondagem.
• Ensaio de bombeamento
Ensaio realizado a partir de um poço filtrante e uma série de poçostestemunhos. Empregado principalmente na determinação dapermeabilidade de camadas arenosas e pedregulhosas abaixo do NA,sujeitas ao rebaixamento do lençol freático.
Hipóteses: massa de solo homogênea e isotrópica e permeabilidademédia em todo o meio.
A partir do momento em que se tem fluxo estacionário (válida a Lei deDarcy):
Integrando:
• Ensaios de infiltração - ensaio de tubo aberto
Mede-se a velocidade com que a água escoa por um tubo e infiltra noterreno segundo superfícies esféricas concêntricas. Empregado emterrenos permeáveis.
Integrando:
Pela eq. da continuidade: Igualando:
ÁGUA NOS SOLOS
NAinicial
y2y1
x1
x2
2r
Q NT
x
y
curva de
rebaixamento
dxdy
yx2dx
dyKAiKQ ⋅⋅π⋅⋅⋅=⋅⋅=
dyyQ
2K
x
dx ⋅⋅π⋅⋅=
∫∫ ⋅⋅π⋅⋅=2
1
2
1
y
y
x
x
dyyQ
2K
x
dx
( )21
22
1
2
yyx
xlogQ3,2
K−⋅π
⋅⋅=
h
ho
h1
2R
r
r + dr
t=0t
dh
NA
NTA
QiKv =⋅=
dr
dhK
r4
Q2
⋅−=⋅π⋅ 2r
dr
K4
Qdh ⋅
⋅π⋅=−
∫∫∞
⋅⋅π⋅
=−R
2
h
h r
dr
K4
Qdh
0
1R
1
K4
Qhhh 01 ⋅
⋅π⋅==−
RhK4Q ⋅⋅⋅π⋅=
dt
dhRQ
2 ⋅⋅π=
dt
dh
h4
RK ⋅
⋅=
����������� ����������������������������
• Fatores que influenciam o coeficiente permeabilidadeSegundo a Lei de Poisseville para fluxo d’água em tubos circulares de
pequeno diâmetro:
R - raio do tubo
µ - viscosidade do fluído
Para tubos de qualquer forma:Cs - fator de forma
RH - raio hidráulico
a = seção de passagem
Particularizando para o fluxo através do solo:
A - área da seção transversal
Substituindo:
Pela Lei de Darcy:
Sendo Ds o diâmetro de uma esfera equivalente ao tamanho médio dosgrãos do solo:
Equação de Kozeny-Carman
(válida para areias e pedregulhos)
Equação empírica de Hazen
(válida para areias uniformes) D10 em cm
ÁGUA NOS SOLOS
µ⋅⋅⋅γ=
8
iRv
2w
aiRC
Q2
Hws ⋅⋅µ⋅γ= ⋅
molhado perímetro
molhada seção da áreaRH =
ASna ⋅⋅=
s
s
s
wH
A
SVe
A
V
Lp
La
água a com contato de área
fluxo para disponível volumeR
⋅⋅==⋅⋅==
( ) AiSe1
e
A
VCASni
A
SVeCQ 3
3
2s
2sws
2
s
sws ⋅⋅⋅+
⋅⋅µγ⋅=⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
µγ⋅=
AiSe1
e
A
VCAiK 3
3
2s
2sws ⋅⋅⋅
+⋅⋅
µγ⋅=⋅⋅
33
2s
2sws
Se1
e
A
VCK ⋅
+⋅⋅
µγ⋅=
6
D
D
D61
A
V s
2s
3s
s
s =⋅π
⋅π⋅=
32
s3
wsS
36
D
e1
eCK ⋅⋅
+⋅
µγ⋅=
210D100K ⋅=
����������� ����������������������������
– Fatores devido ao permeante
• peso específico do fluído;
• viscosidade do fluído;
• temperatura →influencia as duas propriedades anteriores(principalmente a viscosidade). Convenciona-se tomarcomo referência o coeficiente de permeabilidade a 20oC
– Fatores devido ao solo
• granulometria → K ∝ D2
• compacidade → (para areias)
log K ∝ e (para solos argilosos)
• composição
- minerais de argila - caulinitas (1:1) apresentampermeabilidades 100 x maiores que montmorilonitas (2:1)
• estrutura
- solos argilosos → estrutura floculada determina maiorpermeabilidade que a dispersa;
- solos compactados → pelo mesmo efeito, soloscompactados no ramo seco são mais permeáveis quequando compactados no ramo úmido, mesmo com omesmo índice de vazios;
- solos residuais → maiores permeabilidades em virtudedos macroporos (vazios entre os agregados de partículas)
• anisotropia
O solo geralmente não é isotrópico quanto apermeabilidade → principalmente solos sedimentares,solos residuais de rochas sedimentares e metamórficasxistosas ou bandeadas e solos compactados.
Kh > 5, 10 ou 15 x Kv → bastante comum nestes solos.
• grau de saturação
Como a percolação de água não remove todo o arexistente no solo, bolhas de ar são obstáculos ao fluxod’água → K ∝ S3
ÁGUA NOS SOLOS
2020 KK
µµ⋅=
e1
eK
3
+∝
����������� ����������������������������
• Valores típicos para o coeficiente de permeabilidadeOrdem de grandeza do coeficiente de permeabilidade de solos
sedimentares
K (cm/s)
pedregulhos > 10-1
areias grossas 10-1
areias médias 10-2
areias finas 10-3
areias siltosas 10-4
areias argilosas 10-5
siltes 10-4 a 10-5
argilas siltosas 10-5 a 10-7
argilas < 10-7
Para pedregulhos e mesmo em algumas areias grossas a velocidade defluxo é muito elevada e pode se ter fluxo turbulento → não é maisválida a Lei de Darcy.
Solos residuais e solos de evolução pedogenética → elevadapermeabilidade devido aos macroporos.
Ex: solo laterítico arenoso fino poroso (SP)
- estado natural → K ≈ 10-3 cm/s
- desagregado e recolocado no mesmo índice de vazios → K ≈ 10-5 cm/s
- compactado → K ≈ de 10-6 a 10-7 cm/s
ÁGUA NOS SOLOS
����������� ����������������������������
– Percolação d’água através do solos• Equação diferencial do fluxo d’água nos solosSeja um elemento de massa de solo submetido a um fluxo d’água.
– Equação da continuidade:
igualando:
ÁGUA NOS SOLOS
dx
dz
dy
x
z
y
vx
vz
vy
vx+ ∂vx/∂x
vz+ ∂vz/∂z
vy+ ∂vy/∂y
dydxvdzdxvdzdyvQ zyx)entra( ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
dydxdzz
vvdzdxdy
y
vvdzdydx
x
vvQ
zz
yy
xx)sai( ⋅⋅
⋅
∂∂++⋅⋅
⋅
∂∂++⋅⋅
⋅
∂∂+=
dydxdzz
vdzdxdy
y
vdzdydx
x
vQ
zyx ⋅⋅⋅∂∂+⋅⋅⋅
∂∂+⋅⋅⋅
∂∂=∆
)entra()sai( QQQ −=∆
t
VQ
w
∂∂=∆
sw VSeV ⋅⋅= tes cV =
( )
∂∂⋅+
∂∂⋅⋅
+=
∂∂⋅+
∂∂⋅⋅=
∂⋅∂⋅=
∂∂
t
eS
t
Se
e1
V
t
eS
t
SeV
t
eSV
t
Vss
w
∂∂⋅+
∂∂⋅⋅
+⋅⋅=
∂∂=∆
t
eS
t
Se
e1
dzdydx
t
VQ
w
∂∂⋅+
∂∂⋅⋅
+=
∂∂+
∂∂+
∂∂
t
eS
t
Se
e1
1
z
v
y
v
x
v zyx (1)
����������� ����������������������������
– Lei de Darcy
derivando a velocidade
substituindo (2) em (1)
– Considerações sobre o fluxo
• Fluxo estacionário (regime permanente)
Q(entra) = Q(sai) ⇒ e e S → constantes
Se o meio é isotrópico:
Kx = Ky = Kz = K
• Fluxo transiente Q(entra) ≠ Q(sai)
e = constante S variável ⇒ S↑ - embebição
S↓ - drenagem
S = constante e variável ⇒ e ↑ - expansão
e ↓ - adensamento
e e S variáveis ⇒ equação mais genérica (solução mais complexa)
ÁGUA NOS SOLOS
x
HKiKv xxx
∂∂⋅=⋅=
y
HKiKv yyy
∂∂⋅=⋅=
z
HKiKv zzz
∂∂⋅=⋅=
2
2
zz
z
HK
z
v
∂∂⋅=
∂∂
2
2
xx
x
HK
x
v
∂∂⋅=
∂∂
2
2
yy
y
HK
y
v
∂∂⋅=
∂∂
2
2
z2
2
y2
2
xzyx
z
HK
y
HK
x
HK
z
v
y
v
x
v
∂∂⋅+
∂∂⋅+
∂∂⋅=
∂∂+
∂∂+
∂∂
(2)
∂∂⋅+
∂∂⋅⋅
+=
∂∂⋅+
∂∂⋅+
∂∂⋅
t
eS
t
Se
e1
1
z
HK
y
HK
x
HK
2
2
z2
2
y2
2
x
Equação geral do fluxo d’água nos solos
0t
e =∂∂
0t
S =∂∂
0z
HK
y
HK
x
HK
2
2
z2
2
y2
2
x =∂∂⋅+
∂∂⋅+
∂∂⋅
Equação do fluxo d’água estacionário nos solos
0z
H
y
H
x
H2
2
2
2
2
2
=∂∂+
∂∂+
∂∂
Equação do fluxo d’água estacionário em solos isotrópicos
����������� ����������������������������
• Fluxo bidimensional estacionárioA partir da situação mais genérica, se o fluxo ao longo de uma das
direções pode ser desconsiderado, a análise passa a serbidimensional. Em relação ao fluxo unidirecional, o escoamento se dáao longo de uma trajetória curva.
É regido pela seguinte equação:
– Métodos de solução
• Método analítico
Solução analítica da equação diferencial. Simples apenasquando particularizada para fluxo unidirecional. Ex:
Equação do fluxo estacionário:
Solução:
onde C e D são constantes
Condições de contorno:
z = 0 → H = 150 e z = 50 → H = 100
Substituindo na solução tem-se:
D = 150 e C = -1
Logo:
• Método gráfico
A solução analítica da Equação de Laplace → duas famíliasde curvas ortogonais entre si → rede de fluxo.
LINHAS DE FLUXO → curvas na direção do fluxo
LINHAS EQUIPOTENCIAIS → curvas de igual carga total
• Métodos numéricos
Diferenças Finitas (MDF) e Elementos Finitos (MEF)
• Métodos analógicos
Analogias → fluxo viscoso, fluxo elétrico e fluxo de calor
• Modelos reduzidos
ÁGUA NOS SOLOS
Equação do fluxo d’água estacionáriobidimensional em solos isotrópicos -
Equação de Laplace
0y
H
x
H2
2
2
2
=∂∂+
∂∂
z
150
100
50
0
NA 0z
H2
2
=∂∂
DzCH +⋅=
z150H −=
����������� ����������������������������
– Rede de fluxo
Um dos métodos mais tradicionais na resolução de problemas defluxo bidimensional → traçado da REDE DE FLUXO ⇒representação gráfica da solução para a equação diferencialdo fluxo d’água bidimensional estacionário dos solos.
Seja um fluxo bidimensional através de uma camada de solo
A família de curvas na direção do fluxo → LINHAS DE FLUXO
A família de curvas que une pontos de mesma carga hidráulica → LINHAS EQUIPOTENCIAS
O canal formado por duas linhas de fluxo adjacentes → CANAL DE FLUXO
A diferença de carga entre duas equipotenciais → ∆Hi. A perda de carga aolongo de L é ∆H = Σ ∆Hi
ÁGUA NOS SOLOS
FLUXO
LINHAS DE FLUXO
LINHAS EQUIPOTENCIAIS
NRL
zA
hpA
zB=zC
hpB
∆HAB
hpC
zC’
hpC’
∆HBC
A
B C
C’
CANAIS DE
FLUXO
����������� ����������������������������
Dado um elemento da rede de fluxo:
A área da seção do canal de fluxo (considerando largura unitária):
A área total:
onde nf = no de canais de fluxo
O comprimento L pode ser representado por:
onde nd = no de quedas de potencial
A vazão é dada por:
Se a rede de fluxo for traçada com malha quadrada (a = b):
• Passos na obtenção da rede de fluxo(Método gráfico de Forchheimer)
a) Definir as fronteiras do fluxo (condições de contorno);
b) Traçar certo número de linhas de fluxo;
c) Traçar equipotenciais formando elementos retangulares na relação a/b, emnúmero compatível com o número de linhas de fluxo e interceptando estasa 90o. Preferencialmente busca-se malha quadrada (a/b = 1).
• Recomendações úteis no traçado das rede de fluxo
- Usar poucos canais de fluxo, mantendo seções quadradas (em geral 4 a 6canais de fluxo são suficientes);
- Verificar sempre a ortogonalidade entre as curvas e a constância na relaçãode lados;
- A rede deve ser analisada por inteiro. Não se deve deter em pequenosdetalhes enquanto a rede não está refinada;
- Usar propriedades de simetria quando possível;
- As transições entre trechos retilíneos e curvos devem ser suaves.
ÁGUA NOS SOLOS
a
b
1aA ⋅=
AnA ftotal ⋅=
bnL d ⋅=1 - iaisequipotenc de n n o
d =
1 - fluxo de linhas de n n of =
AL
HKAiK Q ⋅∆⋅=⋅⋅=
bn
anHKan
bn
HK Q
d
ff
d ⋅⋅⋅∆⋅=⋅⋅
⋅∆⋅=
d
f
n
nHK Q ⋅∆⋅=
����������� ����������������������������
• Exemplos de redes de fluxo
ÁGUA NOS SOLOS
����������� ����������������������������
• Exemplos no traçado e interpretação de redes de fluxo
a) Permeâmetro curvo
Linhas de fluxo → face interna do permeâmetro - arco AC ⇒ i = 6/12
face externa do permeâmetro - arco BD ⇒ i = 6/24
as outras linhas de fluxo são círculos concêntricos - comprimento de arco diferentes ⇒ gradientes diferentes → comoK = constante, pela Lei de Darcy as velocidades variam em cada canalde fluxo. Como se procura que os canais tenham igual vazão ⇒ as áreasde fluxo devem ser maiores da face interna a externa.
Linhas equipotenciais → ∆H = 6cm que dissipa linearmente ao longo de cadalinha de fluxo. Escolhida a análise da perda de carga em 12 intervalos de0,5cm, ao longo da face interna distam 1cm e ao longo da face interna 2cm→ as linhas euipotenciais são portanto retas convergentes que porconstrução interceptam as linhas de fluxo a 90o
Definição da rede de fluxo → Busca-se na construção atender os critérios deconstância na relação de lados da malha (preferencialmente quadrada -a/b = 1) e ortogonalidade entre LF e LE. Por força de construçãopodemos ter canais de fluxo “incompletos” ou com fluxo “excedente”. Noexemplo o canal 6 tem 70% do fluxo pelos outros canais.
Vazão → K = 10-2cm/s; ∆H = 6cm; nf = 5,7; nd = 12
Q = 2,63.10-2 cm3/s/cm
ÁGUA NOS SOLOS
d
f
n
nHK Q ⋅∆⋅=
K = 1 . 10-2 cm/s
����������� ����������������������������
b) Percolação sob pranchada (cortina de estacas-prancha) penetrante numacamada de areia sendo o NA num dos lados rebaixado por bombeamento -Análise
Linhas de fluxo → o contorno da pranchada e a superfície inferior impermeávelsão linhas de fluxo definidas pela geometria do problema. Entre estas sãotraçadas outras linhas de fluxo. A espessuras dos canais de fluxo variamao longo da distância → a seção de passagem da água sob a pranchada ébem menor que a seção de entrada no terreno → como a vazão mantém-se constante, a velocidade varia ao longo de um mesmo canal de fluxo.
Linhas equipotenciais → pela Lei de Darcy, se v varia e K = constante, ogradiente i varia → como a perda de carga entre cada LE é constante, logovaria a distância entre cada equipotencial. As superfícies livres do terrenosão equipotencias definidas pela geometria do problema.
Definição da rede de fluxo → As duas condições básicas das redes de fluxodevem ser mantidas: as LF e as LE se interceptam perpendicularmente e,em cada elemento da rede, a relação entre a distância média entre as LE ea distância média entre as LF deve ser constante.
ÁGUA NOS SOLOS
����������� ����������������������������
c) Percolação pelo solo de fundação de uma barragem de concreto - Análise ecálculos
Linhas de fluxo → o contorno submerso da barragem e a superfície inferiorimpermeável são linhas de fluxo. Entre estas são traçadas outras LF.
Linhas equipotenciais → As superfícies livres do terreno são equipotencias.Entre estas são traçadas outras LE.
Definição da rede de fluxo → As duas condições básicas das redes de fluxodevem ser atendidas: as LF e as LE se interceptam perpendicularmente e,em cada elemento da rede, a relação entre a distância média entre as LE ea distância média entre as LF deve ser constante (de preferência igual a 1)
Vazão → K = 10-4 m/s; ∆H = 15,4m; nf = 5 e nd = 14
Q = 5,5.10-4 m3/s/m de barragem
Gradientes → a diferença de carga entre LE consecutivas (∆Hi )
∆∆∆∆Hi = 15,4/14 = 1,1m
O valor de ∆Hi dividido pela distância entre LE é o gradiente no elementoda rede (ii ) No ponto A - lA= 6m ⇒ iA = 1,1/6 = 0,18
O gradiente é maior nos menores elementos (próximos a superfície dabarragem). Deve ser verificada a condição de gradiente crítico junto ao péde jusante (fluxo ascendente sob gradiente mais elevado).
Cargas e pressões → estabelecido um NR, para cada ponto temos a cargaaltimétrica e a carga total (descontando da carga inicial o somatório de ∆Hi
até o ponto). A carga piezométrica é a diferença entre cargas total ealtimétrica. A pressão neutra é carga piezométrica em termosde pressão: Ponto A: zA = 35m; HÁ = 55,4 - (8 . 1,1) = 48,8m;
hpA = 48,8 - 35 = 13,8m uA = 13,8 . 10 = 138 kPa
ÁGUA NOS SOLOS
d
f
n
nHK Q ⋅∆⋅=
di
n
HH
∆=∆
i
ii
l
Hi
∆=
zHhp −=wphu γ⋅=
K = 10-4 m/s
NR
����������� ����������������������������
d) Percolação pelo interior de barragens de terra - Análise
Neste caso tem-se uma condição de contorno indefinida → a linha de fluxosuperior não é previamente conhecida. O problema é indeterminado.
O primeiro passo é a estimativa da linha de fluxo superior - LFS (ou tambémchamada linha freática superior). Existem na literatura vários métodos paraesta estimativa → função principalmente da geometria do talude de jusantee da presença ou não de filtros.
Na análise deste caso consideram-se válidas as hipóteses de Dupuit:
- Para pequenas inclinações da LFS as linhas de fluxo podem serconsideradas horizontais e as equipotenciais verticais;
- O gradiente hidráulico é a inclinação da LFS no ponto considerado.
O traçado do restante da rede de fluxo e os cálculos decorrentes seguem osmesmos procedimentos e recomendações dos casos anteriores.
ÁGUA NOS SOLOS
����������� ����������������������������
Determinação da linha de fluxo superior (LFS) - soluções gráficas
d.1) Solução de Schaffernak e Van Iterson (β < 30o)
- Ínicio da LFS → ponto M situado no NA a montante e distante 0,3 . m doponto 2. “m” é a projeção horizontal da superfície submersa do talude demontante (linha equipotencial de entrada);
- Final da LFS → ponto 4 situado no talude de jusante (linha de saída nãosubmersa) a uma distância “a” do ponto 3.
onde:
d : distância da projeção horizontal de M até 3;
H : altura d’água a montante
- Traçado da LFS → parábola de equação:
traçada de jusante a montante.
- Correção de entrada → a LFS tem entrada no ponto 2 e deve serperpendicular a linha equipotencial de entrada (1 2). O ajuste a parábola éfeito a mão livre.
- Esboço da solução:
- Vazão →
ÁGUA NOS SOLOS
β−
β−
β=
2
2
2
2
sen
H
cos
d
cos
da
dcos
sena2Hx
cos
sena2y
22
22 ⋅
ββ⋅⋅−+⋅
ββ⋅⋅=
β⋅β⋅⋅= tansenaKQ
����������� ����������������������������
d.2) Solução de Casagrande (hipótese i = dy/ds = sen β) (30o< β < 60o)
- Ínicio da LFS → idem solução anterior;
- Final da LFS → ponto 4 situado na linha de saída não submersa a umadistância a do ponto 3.
onde:
- Traçado da LFS → parábola de equação:
onde: s → comprimento da LFS desde o ponto 4
- Correção de entrada → idem a anterior
- Esboço da solução
- Vazão →
ÁGUA NOS SOLOS
β−−=
2
22
00sen
Hssa 22
0 Hds +=
( )sssena2Hy 0222 −⋅β⋅⋅−=
β⋅⋅= 2senaKQ
����������� ����������������������������
d.3) Solução de Casagrande (hipótese de Kozeny) (60o< β < 180o)
- Ínicio da LFS → idem solução anterior;
- Final da LFS → ponto 0 situado a uma distância “a0” do ponto F. Ponto Féo foco da parábola ⇒ coincide com o início dos drenos ou pé a jusante.
- Traçado da LFS → a parábola passa por 0 e M, com foco em F.
Método prático: a) vertical por 0 e horizontal por P; b) divide-se MP e POem n trechos iguais; c) une-se 0 aos pontos de divisão de MP e traçam-sehorizontais dos pontos de divisão de PO. As intersecções determinam ospontos da parábola.
- Correção de entrada → idem a anterior
- Correção de saída → saída a uma distância “a” do ponto F.
onde: k = f(β)
a’ - distância entre F e a
intersecção da parábola
com a linha de saída
- Esboço da solução
ÁGUA NOS SOLOS
( )dHd2
1a 22
0 −+⋅=
'ak'aa ⋅−=
����������� ����������������������������
d.4) Solução de Kozeny (hipótese de Kozeny - parábolas confocais) (β = 180o)
- Ínicio da LFS → idem solução anterior;
- Final da LFS → ponto 0 situado a uma distância “a0” do início do dreno -o foco da parábola
- Traçado da LFS → a parábola passa por 0 e M, com foco em F e tambémpelo ponto situado a uma altura “y0” do início do dreno.
O traçado segue o método prático apresentado na solução anterior.
- Correção de entrada → idem a anterior
- Esboço da solução
- Vazão →
ÁGUA NOS SOLOS
( )dHd2
1a 22
0 −+⋅=
00 a2y ⋅=
0aK2Q ⋅⋅=
����������� ����������������������������
d.5) Condições de entrada e saída da LFS
ENTRADA:
SAÍDA :
ÁGUA NOS SOLOS
NA
α < 90o
NA
α = 90o
NA
α > 90o
NA
β < 90o
NA
β = 90o
NA
β > 90o
����������� ����������������������������
– Percolação em meios anisotrópicos - condição anisotrópica depermeabilidade
Com freqüência o coeficiente de permeabilidade não é igual em todas asdireções → solos compactados (Kh > Kv) , solos residuais de rochassedimentares e metamórficas (K é maior na direção da estratificação,xistosidade ou bandeamento) e solos sedimentares.
Em geral: Kh > Kv
Neste caso a equação para o fluxo d’água bidimensional estacionário nossolos fica:
A equação do fluxo deixa de ser expressa por uma equação de Laplace. Comoresultado, na solução gráfica as linhas de fluxo deixam de serperpendiculares às equipotenciais:
• Artifício para solução:
Realizar uma transformação de coordenadas de forma a ter como equaçãonovamente um Laplaciano:
onde:
Feita a transformação de coordenadas, traça-se a rede de fluxo como em meioisotrópico, utilizando para cálculo da vazão um coeficiente depermeabilidade equivalente (Keq):
A vazão é dada por:
ÁGUA NOS SOLOS
0z
H
x
H2
2
2T
2
=∂∂+
∂∂
0z
HK
x
HK
2
2
z2
2
x =∂∂⋅+
∂∂⋅
x
zT
K
Kxx ⋅=
zxeq KKK ⋅=H
n
nKQ
d
feq ∆⋅⋅=
����������� ����������������������������
• Exemplo de rede de fluxo com condição de anisotropia eaplicação do artifício de transformação de coordenadas
• Observações:
- A transformação de coordenadas consiste, em geral, numa redução nasdistâncias horizontais, pois na maioria dos casos a permeabilidadehorizontal é menor que a vertical (Kh > Kv);
- Para o cálculo do gradientes hidráulicos deve se considerar as distânciassegundo a configuração original. Logo, após traçada a rede de fluxo naseção transformada, se deve representa-la na seção natural, voltando aosistema de coordenadas original.
ÁGUA NOS SOLOS
����������� ����������������������������
– Percolação através de meios estratificados
É comum a análise de situações de fluxo ao longo de meios estratificados,como depósitos de solos sedimentares. É conveniente transformar o perfilestratificado em uma massa de solo homogênea equivalente com umaespessura L e coeficiente de permeabilidade equivalente Keq.
Analogia → circuito elétrico ⇒ as camadas de solo correspondem a resistoresem série ou em paralelo.
• Fluxo vertical (perpendicular às camadas) resist. em série
As perdas de carga em cada camada:
Por outro lado:
onde:
∆H = Σ ∆Hi e L = Σ ∆liLogo:
• Fluxo horizontal (paralelo às camadas) resist. em paralelo
Logo:
ÁGUA NOS SOLOS
∆l1
∆l3
∆l2
∆l4
L
m1
Qv
Qh
∆H1
∆H2
∆H3
∆H4
K1
K2
K3
K4
Al
HKA
l
HKA
l
HKA
l
HKAiKQ
4
44
3
33
2
22
1
11veqv ⋅
∆∆⋅=⋅
∆∆⋅=⋅
∆∆⋅=⋅
∆∆⋅=⋅⋅=
AK
lQH
AK
lQH
4
4v4
1
1v1
⋅∆⋅=∆⋅⋅⋅
⋅∆⋅=∆
AL
HKQ veqv ⋅∆⋅=
AH
LQK
vveq
⋅∆⋅=
4
4
3
3
2
2
1
1veq
K
l
K
l
K
l
K
lL
K ∆+∆+∆+∆=
)1l(iKAiKQ iiheqh ⋅∆⋅⋅∑=⋅⋅=m
Hi∆=
44332211heq lKlKlKlK(L
1K ∆⋅+∆⋅+∆⋅+∆⋅⋅=
����������� ����������������������������
– Percolação através da fronteira de solos com permeabilidadesdiferentes - aspectos referentes a construção da rede de fluxo
Quando o fluxo atravessa a fronteira entre dois solos de permeabilidadediferentes (K1 ≠ K2) as linhas de fluxo sofrem refração. Valendo-se daspremissas básicas da percolação: continuidade da vazão e perda de cargaconstante entre equipotenciais pode-se avaliar a refração do canal de fluxoe a conseqüente mudança na conformação da rede.
A vazão:
De onde:
Pela relação entre lados e ângulos:
Logo:
De onde:
ÁGUA NOS SOLOS
a
a
K1
K1c
b
β
α
Q
Q
A
B
1cb
HK1a
a
HKQ 21 ⋅⋅∆⋅=⋅⋅∆⋅=
b
c
K
K
2
1 =
β=
αβ=
α cos
c
cos
a e
sen
c
sen
a
βα⋅=
βα⋅=
cos
cosba e
sen
senca
βα⋅=
βα⋅
cos
cosb
sen
senc
2
1
K
K
b
c
tan
tan ==αβ
����������� ����������������������������
• Filtros de proteção– Emprego
Filtros de proteção são empregados em obras hidráulicas de terra ondese deseja reduzir o gradiente hidráulico com o uso de um materialque ofereça menor perda de carga (mais permeável).
A redução no gradiente é necessária para se evitar o fenômeno deareia movediça em circunstâncias de fluxo ascendente e para reduziras forças de percolação responsáveis pelo arraste de partículas ecapazes de gerar processos de erosão interna (“piping’).
erosão interna → as forças de percolação superam a força de ligaçãoentre as partículas, deslocando os grãos através do maciço de solo.O fenômeno é progressivo iniciando com o carreamento de finos echegando a formação de canais internos de grande diâmetro.
Materiais grosseiros (areias grossas e pedregulhos) determinam menorperda de carga, entretanto tem vazios muito abertos que nãooferecem barreira física a erosão interna → devem ser seguidoscritérios de seleção granulométrica dos materiais.
Na prática os filtros são construídos em camadas de granulometriacrescente.
Filtros de proteção são empregados principalmente em zonas depercolação onde há transição de materiais muito diferentes (p.ex.argila compactada e enrocamento).
– Condições para material de filtro
a) Deve ser suficientemente fino para evitar a passagem das partículas dosolo adjacente pelos seus vazios e
b) Deve ser suficientemente grosso de modo a reduzir a perda de carga.
Terzaghi propôs critérios para projetos de filtro ainda hoje muito aceitos:
1. D15 (filtro) < 4 a 5 x D85 (solo) → para evitar a erosão interna
2. D15 (filtro) > 4 a 5 x D15 (solo) → para garantir menor perda de carga
Outra recomendação devido ao U.S. Corps of Engineers para garantirredução de perda de carga:
D50 (filtro) > 25 x D50 (solo)
ÁGUA NOS SOLOS
����������� ����������������������������
– Critério de seleção de material para filtro (Terzaghi)
ÁGUA NOS SOLOS
����������� ����������������������������