14.12.07 resolução comentada (matemática) - etec - 1º sem - 2.015

Blog Matemática Nua & Crua

Prof. Luiz Francisco Tecnólogo em Eletrotécnica

" F e l i z a q u e l e q u e t ra n s f e re o q u e sa b e e a p ren d e o q u e en s in a " .

C o r a C o r a l i n a ( 1 . 8 8 9 + 9 6 = 1 . 9 8 5 )

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Resolução Comentada – Matemática Etec – 1° Semestre de 2.015

Apesar dos meus melhores esforços, é inevitável que surjam erros no texto ... afinal sou apaixonado pela área das exatas e redação não é o meu forte. Assim, são bem–vindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de resoluções futuras.

Questão 03 Um artista pretende pintar uma tela que tenha o formato de um retângulo áureo, por considerá-lo mais agradável esteticamente dentre todos os retângulos. Ele sabe que um retângulo é áureo quando a razão entre os comprimentos de seus lados é 1,618, aproximadamente. Assim sendo, se a medida do maior lado da tela for de 40 cm, então, a medida do menor lado será, em centímetros, aproximadamente, (A) 22,94. (B) 24,72. (C) 28,54. (D) 36,26. (E) 64,72. Solução: (B) Esta é uma questão que apresenta a relação do número áureo φ (“phi”, lê-se “fi”) no retângulo. Segundo o enunciado a razão (divisão) entre a medida de seus lados é igual a φ ≅ 1,618, lembrando que no retângulo temos lados de medidas diferentes. Isto significa que sempre dividirmos o lado maior pelo lado menor de um retângulo áureo obtém-se o valor de φ, ou seja, aproximadamente, 1,618.

Lembre que a razão áurea no retângulo é sempre:

Conforme o enunciado, devemos determinar o valor da medida do lado menor do retângulo, ou seja, por qual medida devemos dividir 40 para obter um valor de 1,618, matematicamente temos:

Nesta questão deve-se prestar a atenção nos detalhes, determinar a razão de forma

invertida , causa um erro no cálculo

e este erro está entre as alternativas:

O resulta é incoerente com o que devemos calcular, pois 64,72 é maior que 40 e estamos calculando o lado menor.




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Considere o texto e as figuras

para responder às questões de

números 30 e 31 O circo é uma expressão artística, parte da cultura popular, que traz diversão e entretenimento. É um lugar onde as pessoas têm a oportunidade de ver apresentações de vários artistas como mágicos, palhaços, malabaristas, contorcionistas e muito mais. Mas antes que a magia desse mundo se realize, há muito trabalho na montagem da estrutura do circo. A tenda de um circo deve ser montada em um terreno plano e para isso deve ser construída uma estrutura, conforme a sequência de figuras.

Nas figuras, considere que:

foram colocadas 8 estacas congruentes perpendiculares ao plano do chão;

• cada estaca tem 4 m acima do solo; as estacas estão igualmente

distribuídas, sendo que suas bases formam um octógono regular;

os topos das estacas consecutivas estão ligados por varas de 12 m de comprimento;

para imobilizar as estacas, do topo de cada uma delas até o chão há um único cabo esticado que forma um ângulo de 45° com o solo (a figura mostra apenas alguns desses cabos). Todos os cabos têm a mesma medida;

no centro do octógono regular é colocado o mastro central da estrutura, que é vertical;

do topo de cada estaca até o topo do mastro é colocada uma outra vara. Todas essas varas têm a mesma medida;

na estrutura superior, são formados triângulos isósceles congruentes entre si; e em cada um desses triângulos isósceles, a altura relativa à base é de 15 m.

Questão 30 A cobertura e as laterais da tenda descrita serão totalmente revestidas por lona. Para que isso ocorra, a quantidade mínima de lona que deverá ser usada é, em metros quadrados, igual a (A) 138. (B) 384. (C) 720. (D) 1 104. (E) 1 200.




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Solução: (D) Calculando inicialmente a área de lona utilizada para a cobertura. Sendo o enunciado: “na estrutura superior, são formados triângulos isósceles congruentes entre si; e em cada um desses triângulos isósceles, a altura relativa à base é de 15 m”, a base deste triângulo é a medida do topo entre duas estas consecutivas, que segundo o enunciado “os topos das estacas consecutivas estão ligados por varas de 12 m de comprimento”. Então devemos calcular a área de 8 triângulos com base medindo 12 metros e altura relativa a base medindo 15 metros:

A área de um triângulo mede , como a cobertura é formada por 8 triângulo iguais, basta multiplicar por 8, ou seja, a cobertura tem uma área de lona de . Calculando a área de lona utilizada para as laterais. Segundo a figura as laterais ter um forma retangular com o lado menor medindo 4 metros (igual a medida da altura) e com lado maior com medindo 12 metros. Assim como a cobertura, as laterais são formadas por 8 partes congruentes (iguais), então, devermos calcular a área de um retângulo e depois multiplicar este valor por 8:

A área de um retângulo mede , temos 8 retângulos iguais, basta multiplicar por 8, ou seja, as laterais tem uma área de lona de . Para finalizar a resolução basta somar a área de lona da cobertura com a área de lona das laterais para revestir o circo com lona:

Questão 31 A quantidade de cabo utilizada para imobilizar as oito estacas, é, em metros. Para o cálculo, considere apenas a quantidade de cabo do topo de cada estaca até o solo. Despreze as amarras.

Solução: (C) Segundo o enunciado: “para imobilizar as estacas, do topo de cada uma delas até o chão há um único cabo esticado que forma um ângulo de 45° com o solo (a figura mostra apenas alguns desses cabos). Todos os cabos têm a mesma medida”. A estaca, o solo da base da estaca até o ponto onde o cabo é fixo ao solo e o cabo, formam um triângulo retângulo [segundo o enunciado cita que: “estacas congruentes




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perpendiculares (forma um ângulo de 90°) ao plano do chão”]. Então a estaca e o solo da base da estaca até o ponto onde o cabo é fixo ao solo são os catetos e o cabo é a hipotenusa deste triângulo. O ângulo de 45° indica que este triângulo retângulo é também um triângulo isóscele, portanto a distância entre a base da estaca até o ponto onde o cabo é preso ao solo tem a mesma medida da altura da estaca, em outras palavras: os catetos tem a mesma medida de 4 m. Pelo Teorema de Pitágoras podemos calcular a medida do cabo:

Então cada cabo mede m, se temos 8 estacas, logo temos 8 cabos, então multiplicando a medida de um cabo por 8

obtemos o total de cabos, ou seja, m de cabo.

*** Uma dica, quando você tem um triângulo retângulo e isóscele (triângulo retângulo que tem dois ângulos de 45°, além do ângulo

de 90°) então os catetos tem a mesma medida. Para calcular a hipotenusa basta utilizar a equação:

Então basta multiplicar a medida do cateto por raiz quadrada de 2.




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Questão 32 A apresentação de motociclistas, dentro do globo da morte, é sempre um momento empolgante de uma sessão de circo, pois, ao atingir o ponto mais alto do globo, eles ficam de ponta cabeça. Para que, nesse momento, o motociclista não caia, é necessário que ele esteja a uma velocidade mínima (v) que se relaciona com o raio do globo (R) e a aceleração da gravidade (g) pela

expressão: , com R dado em

metros. Considere que no ponto mais alto de um globo da morte, um motociclista não caiu, pois estava com a velocidade mínima de 27 km/h. Assim sendo, o raio do globo é, aproximadamente, em metros,

(http://tinyurl.com/globo-da-morte Acesso em: 15.09.2014. Original colorido)

Adote: g = 10 m/s2 (A) 5,6. (B) 6,3. (C) 7,5. (D) 8,2. (E) 9,8. Solução: (A)

Observe que a aceleração da gravidade está em m/s, e o raio é em metros. Inicialmente devemos converter 27 km/h para metros por segundo, para isto devemos dividir a velocidade por 3,6. Logo 27 km/h equivale a 7,5 m/s. Substituindo na fórmula temos:

Então o raio da circunferência é aproximadamente 5,6 m.




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Questão 37 A mostra “Castelo Rá-Tim-Bum – A exposição” recriou o famoso castelo, em homenagem ao programa infantil da TV Cultura o qual completou 20 anos do início de sua veiculação em 2014. Essa mostra foi inaugurada em julho, no Museu da Imagem e do Som (MIS), localizado na cidade de São Paulo, obtendo enorme sucesso de público. Os ingressos, vendidos na bilheteria do Museu, são de R$ 10,00 (inteira) e R$ 5,00 (meia). Para menores de cinco anos, o ingresso é gratuito. Admita que no dia da inauguração da exposição:

• ingressaram 1 700 visitantes; • entre esses visitantes, 150 eram

menores de cinco anos; • a arrecadação total foi de R$

12.500,00; • todos os visitantes pagantes

adquiriram os ingressos exclusivamente na bilheteria do MIS; e

• com exceção das crianças menores de 5 anos, os demais visitantes pagaram ingresso.

Assim sendo, pode-se concluir que a quantidade de visitantes que pagou meia entrada nesse dia foi de (A) 600 pessoas. (B) 650 pessoas. (C) 700 pessoas. (D) 750 pessoas. (E) 800 pessoas. Solução: (A) Segundo o enunciado 150 dos visitantes era menor de 5 anos e não pagaram entrada então:

Então 1.550 pessoas pagaram entrada. Seja

, o números de pessoas que pagaram uma entra inteira e , o número de pessoas que pagaram meia entrada, então:

O total arrecado é de R$ 12.500,00, onde pessoas pagaram R$ 10,00 e pessoas pagaram R$ 5,00, então:

Obtemos um sistema de equações:

Isolando na primeira equação:

Substituindo x na segunda equação:

Então 600 visitantes pagaram meia entrada.

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