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Estudo de razão e proporção, porcentagem e regra de 3 em matemática
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Razão
É a divisão de dois números
5 1
20 4
1
2
2 1
10 5
De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática
Um dia de sol, para cada dois de chuva
De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos
RazãoComparação
3 ou 3:5
5
4,5 ou 4,5:2
2
Antecedente
Consequente
Exemplo - Razão
A Maria e o João dividiram uma pizza entre si. A Maria ficou com 4 fatias da pizza e o João ficou com 5 fatias.
Qual é a razão entre o número fatias da Maria e o número de fatias do João?
Resposta: A razão é de 4:5 (lê-se 4 para 5).
Exercícios – Razão
1. A distância entre duas cidades num mapa de escala 1:2000 é de 8,5 cm. Qual a distância real entre essas duas cidades?
2. Pedrinho resolveu 20 problemas de Matemática e acertou 18. Cláudia resolveu 30 problemas e acertou 24. Quem apresentou o melhor desempenho?
3. Uma equipe de futebol obteve, durante o ano de 2010, 26 vitórias, 15 empates e 11 derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?
Proporção
É a igualdade entre duas razões
d
c
b
a ou ( a : b = c : d )
lê-se : “a está para b, assim como c está para d ”
Proporção
d
c
b
a
MeiosExtremos
( a : b = c : d )
Meios
Extremos
Propriedade Fundamental: O produto dos meios é igual ao produto dos extremos
Exemplo - Proporção
𝑅𝑎𝑧 ã 𝑜𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠❑⇒ 16𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠
2𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠
𝑅𝑎𝑧 ã 𝑜𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 á𝑟𝑖𝑜𝑠𝑒𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠❑⇒ (16+2 )=18 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠
2𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠
182
=108𝑥
❑⇒
18 . 𝑥=108 .2❑⇒
𝑥=108 .218
❑⇒
𝑥=12𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠
162
=𝑥12
❑⇒
2 .𝑥=16 .12❑⇒
𝑥=16 .122
❑⇒
𝑥=96𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠
Numa escola a proporção entre o número de professores e o número de auxiliares é de 16 para 2.Sabendo que o número total de funcionários é de 108, quantos professores e quantos auxiliares existem na escola?
Exercícios - Proporção
1) João e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem um problema hidráulico em um prédio, serviço pelo qual receberão R$ 990,00. Como João trabalhou durante 6 horas e Pedro durante 5 horas, como eles deverão dividir com justiça os R$ 990,00 que serão pagos por essa tarefa?
2) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu 30 mil reais, o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1 ano de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for distribuído aos sócios de forma que a quantia recebida seja diretamente proporcional ao valor investido, determine quanto cada um recebeu.
Porcentagem
𝒙%=𝒙
𝟏𝟎𝟎Forma Percentual Forma Unitária
25%=25100
=14=0,25
A porcentagem depende da referência
100 + 10% = 110
110 - 10% = 99
10% de 110 = 11
10% de 100 = 10
Exercícios – Calcule:
1) 10% de 29 + 4,2% de 172) 5,3% de 18,45 – 3,4% de 2,73) 0,4% de 125 + 16% de 234,254) 4% de 1.439,25 + 30% de 17.4325) 45% de 208 – 15% de 23 + 80% de 12
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa mesma razão.
x y ou x y
ExemploGrandezas Diretamente Proporcionais
Num supermercado comum:1 pacote de biscoito = R$ 2,002 pacotes de biscoito = R$ 4,003 pacotes de biscoito = R$ 6,004 pacotes de biscoito = R$ 8,005 pacotes de biscoito = R$ 10,00
Quantidade e gasto são grandezas diretamente proporcionais
Quando aumento a quantidade, aumento o gasto
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão.
x y ou x y
ExemploGrandezas Inversamente Proporcionais
Um automóvel para percorrer 120 km, gasta:1 hora rodando a 120 km/h2 horas rodando a 60 km/h3 horas rodando a 40 km/h4 horas rodando a 30 km/h6 horas rodando a 20 km/h
Velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais
Quando aumento a velocidade, diminuo o tempo
Regra de 3 SimplesGrandezas Diretamente Proporcionais• Num certo instante do dia, um poste com
12 m de altura projeta uma sombra de 3 m no chão. Qual o comprimento da sombra de uma pessoa localizada ao lado do poste, medindo 1,6 m de altura, neste mesmo instante?
3,0 m 1,6 m
12 m x m
Continuação
Grandezas Diretamente Proporcionais• Quanto maior a altura, maior a sombra!
3,0 m 1,6 m
12 m x m
Altura do Objeto Altura da Sombra
3,0 m 12 m
1,6 m X m
31,6
=12𝑥
3. 𝑥=1,6 .12
𝑥=1,6 .123𝑥=6,4𝑚
Regra de 3 Simples
Grandezas Inversamente Proporcionais• Um avião voando a uma velocidade de 300
km/h faz o percurso entre duas cidades em 2 horas. Se aumentarmos a velocidade do avião, para 400 km/h, qual será o tempo necessário para fazer o mesmo percurso?
A BVelocidade = 300 km/h → Tempo = 2 horas
Velocidade = 400 km/h → Tempo = x horas
Continuação
• Grandezas Inversamente ProporcionaisQuanto maior a velocidade, menor será o tempo!
A BVelocidade = 300 km/h → Tempo = 2 horas
Velocidade = 400 km/h → Tempo = x horas
Velocidade do Avião Tempo da Viagem
300 km/h 2 horas
400 km/h X horas
Velocidade do Avião Tempo da Viagem
300 km/h x horas
400 km/h 2 horas
300400
=𝑥2 300.2=400. 𝑥
𝑥=1,5h𝑜𝑟𝑎𝑠
Exercícios de Regra de 3 Simples
1. Aplicando R$ 500,00 na poupança o valor dos juros em um mês seria de R$ 2,50. Caso seja aplicado R$ 2 100,00 no mesmo mês, qual seria o valor dos juros?
2. Em uma panificadora são produzidos 90 pães de 15 gramas cada um. Caso queira produzir pães de 10 gramas, quantos iremos obter?
3. Uma usina produz 500 litros de álcool com 6 000 kg de cana – de – açúcar. Determine quantos litros de álcool são produzidos com 15 000 kg de cana.
4. Uma equipe de 5 professores gastaram 12 dias para corrigir as provas de um vestibular. Considerando a mesma proporção, quantos dias levarão 30 professores para corrigir as provas?
Regra de 3 Composta
Grandezas Diretamente Proporcionais• Uma família de 8 pessoas consome 5 kg de carne em
2 dias. Quantos kg de carne essa família irá consumir em 4 dias se dois membros da família estiverem ausentes?
Quantidade Carne Pessoas na Família Dias5 Kg 8 pessoas 2 dias
X Kg 6 pessoas 4 dias
Menos pessoas, menos consumo de carne
Menos dias, menos consumo de carne
Grandezas Diretamente Proporcionais
Continuação
Quantidade Carne Pessoas na Família Dias5 Kg 8 pessoas 2 dias
X Kg 6 pessoas 4 dias
5𝑥
=86.24 5 .6 .4=𝑥 .8 .2 120=16 . 𝑥
𝑥=7,5𝑑𝑖𝑎𝑠
Regra de 3 Composta
Grandezas Inversamente Proporcionais• Quinze pessoas trabalhando 8 horas por dia durante
5 dias conseguem limpar um certo terreno. Quantas horas por dia 10 pessoas precisariam trabalhar para limpar o mesmo terreno em 6 dias?
Horas por Dia Pessoas Dias8 h / dia 15 pessoas 5 dias
X h / dia 10 pessoas 6 dias
Menos pessoas, mais horas de trabalho por dia
Menos dias, mais horas de trabalho por dia
Grandezas Inversamente Proporcionais
Continuação
Horas por Dia Pessoas Dias8 h / dia 15 pessoas 5 dias
X h / dia 10 pessoas 6 dias
8𝑥
=1015.65
Horas por Dia Pessoas Dias8 h / dia 10 pessoas 6 dias
X h / dia 15 pessoas 5 dias
8 .15 .5=𝑥 .10 .6 600=60 . 𝑥
𝑥=10h𝑜𝑟𝑎𝑠𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎
Exercícios
1. Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas.
2. Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos?
3. Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de uma maquete de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 m de uma maquete de fazenda com 120 cm largura?
4. Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias?
Quem sou eu?Prof. Milton Henrique do Couto Neto
Engenheiro Mecânico, UFFMBA em Gestão Empresarial, UVVMBA em Marketing Empresarial, UVVMestre em Administração, UFESPós-MBA em Inteligência Empresarial, FGV
http://lattes.cnpq.br/8394911895758599
Professor Universitário
2004 2011
2006
2007 2009
2011
Disciplinas Lecionadas
MarketingEmpreendedorismoAdministração de MateriaisMatemáticaMatemática FinanceiraGestão Financeira Fundamentos da AdministraçãoGestão de Processos e Empresas
miltonhcouto
miltonhenrique
miltonhcouto
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