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MATEMÁTICA ELEMENTAR


Carlos Alberto G. de Almeida([email protected])

17 de setembro de 2012


Introdução

Olá a todos, sejam muito bem vindos a disciplinaMatemática Elementar

Estudaremos neste tópico o seguinte conteúdo:I Teoria dos Conjuntos.

Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre oassunto descrito acima, porém, é interessante que você estudeantes a teoria.

BOM ESTUDO!


Questão 01: Dados os conjuntos A = {3,5,7,9}, B = {7,9} eC = {5,7,9}, determine (A ∩ B) ∪ C, (B ∪ C) ∩ A, ({B

C) ∩ A e{(B∩C)

A .

Solução:

I (A ∩ B) = {7,9}.Daí, teremos(A ∩ B) ∪ C = {7,9} ∪ {5,7,9} = {5,7,9} = C

I (B ∪ C) = {5,7,9}, logo(B ∪ C) ∩ A = {5,7,9} ∩ {3,5,7,9} = {5,7,9} = C

I Sabemos que {BC = C − B = {5}. Assim, temos que

({BC) ∩ A = {5} ∩ {3,5,7,9} = {5}.

I {B∩CA = A− (B ∩ C) = {3,5,7,9} − {7,9} = {3,5}


Questão 02: Determine o conjunto A tal queA ∪ {a,b, c,d} = {a,b, c,d ,e}, A ∪ {c,d} = {a, c,d ,e} eA ∩ {b, c,d} = {c}.

Solução:I De acordo com a primeira igualdade, podemos concluir

que os possíveis elementos do conjunto A são a,b,c,d oue. Porém, a única certeza é que e ∈ A

I Da segunda igualdade, concluimmos que b /∈ A e tambémque a ∈ A

I Da terceira igualdade, segue que c ∈ A e d /∈ AI Portanto, o conjunto A = {a, c,e}


Questão 03: Dados os conjuntos A = {n,u,m,e, r ,o} eB = {z,e, r ,o}, quantos são os subconjuntos de(A ∪ B)− (A ∩ B)?

Solução: Observe que:I (A ∪ B) = {n,u,m,e, r ,o, z} eI (A ∩ B) = {e, r ,o}. EntãoI (A ∪ B)− (A ∩ B) = {n,u,m, z} possui quatro elementos.I Portanto, o número de subconjuntos de (A ∪ B)− (A ∩ B)

será 24 = 16 subconjuntos.


Questão 04: Os conjuntos A e B têm, respectivamente, 16 e 8subconjuntos. Sabendo que (A ∩ B) tem dois elementos,determine o número de elementos do conjunto (A ∪ B).

Solução:I Sabemos que o número de subconjuntos do conjunto A é

dado por 2n(A). Então, segue que2n(A) = 16⇒ 2n(A) = 24 ⇒ n(A) = 4.

I De modo análogo, o número de subconjutos do conjunto Bé dado por 2n(B). Então, segue que2n(B) = 8⇒ 2n(B) = 23 ⇒ n(B) = 3.

I Mas, n(A∪B) = n(A) + n(B)− n(A∩B). Então, segue quen(A ∪ B) = 4 + 3− 2 = 5.

I Portanto, (A ∪ B) tem 5 elementos.


Questão 05: Um professor recomendou a leitura de obras doescritor Machado de Assis a um grupo de 30 jovens. Depois dealgum tempo, o professor realizou um levantamento para saberquais livros foram lidos. Verificou-se, então, que 21 alunostinham lido Dom Casmurro, 19 alunos leram Quincas Borba e 12alunos leram essas duas obras.

Solução: Vamos verificar então:I quantos leram apenas Dom Casmurro;I quantos leram apenas Quincas Borba;I quantos não leram quaisquer dessas obras.


Questão 05 (Continuação)Para obter essas informações, vamos recorrer a um diagrama.O conjunto A representa os alunos que leram Dom Casmurro eo conjunto B, os alunos que leram Qunicas Borba. Como onúmero 12 indica a quantidade de alunos que leram os doislivros, ele será colocado na interseção (figura 1).


Questão 05(Continuação)

No conjunto A, já estão colocados 12 alunos. Como eles sãoem número de 21, para saber quantos alunos leram apenasDom casmurro devemos fazer 21− 12 = 9 (figura 2).


Questão 05(Continuação)No conjunto B, já estão colocados 12 alunos. Como eles sãoem número de 19, para saber quantos alunos leram apenasQuincas Borba devemos fazer 19− 12 = 7 (figura 3).

Agora sabemos que 28 jovens desse grupo já leram algumaobra de Machado de Assis, pois 9 + 12 + 7 = 28.Consequentemente, não leram quaisquer desses livros 2jovens (30− 28).


Questão 06: Em uma cidade existem dois clubes, A e B, quetêm, juntos, 1 400 sócios. O clube A tem 600 sócios e 400 sóciospertencem aos dois clubes. Pergunta-se:

a) Quantos sócios pertencem exclusivamente aoclube A?

b) Quantos sócios pertencem ao clube B?

c) Quantos sócios pertencem exclusivamente aoclube B?

Solução: De acordo com os dados temos quen(A ∪ B) = 1 400, n(A) = 600 e n(A ∩ B) = 400.

I a) Sócios exclusivos do clube A:Observe o diagrama


Questão 06 (Continuação)

Seja x o número de sócios exclusivos do clube A, representadono diagrama pela parte hachurada. Entãon(A) = x + 400⇒ 600 = x + 400⇒ x = 200.Portanto, 200 sócios são exclusivos do clube A.


Questão 06 (Continuação)I b) Sócios do clube B:

Sabemos que n(A ∪ B) = n(A) + n(B)− n(A ∩ B).Substituindo os dados, temos1 400 = 600 + n(B)− 400⇒ n(B) = 1 200.Portanto, o clube B tem 1 200 sócios.

I c) Sócios exclusivos do clube B:Observe o diagrama



Seja y o número de sócios exclusivos do clube B, representadono diagrama pela parte hachurada. Então:y = n(A ∪ B)− n(A) = 1 400− 600⇒ y = 800ouy = n(B)− n(A ∩ B) = 1 200− 400⇒ y = 800.Portanto, 800 sócios são exclusivos do clube B.


Questão 07: Verifique se A ⊂ B nos seguintes casos:a) A = {5,7,11} e B={números primos}b) A = {x ∈ N|x + 2 < 7} e B = {x ∈ N|1 < x < 4}c) A = {x ∈ N|x2−11x +18 = 0} e B = {x ∈ N|x < 10}

a) Solução: A ⊂ B, pois todos os elementos do conjunto Asão também elementos do conjunto B.

b) Determinando os elementos do conjunto A e do conjuntoB, temos: A = {0,1,2,3,4} e B = {2,3, }. Então B ⊂ Apois todos os elementos do conjunto B estão também noconjunto A.

c) Determinando os elementos do conjunto A e do conjuntoB, temos: A = {2,9} e B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. EntãoA ⊂ B pois todos os elementos do conjunto A estãotambém no conjunto B.


Questão 08: Mostre que (A− B) ⊂ A para todo conjunto A.

Solução: Sempre que quisermos demonstrar uma fórmulaenvolvendo a inclusão entre conjuntos, isto é, fórmulas com ⊂ou ⊃, devemos considerar um elemento qualquer em um dosconjuntos, e mostrarmos que ele pertence também ao outroconjunto.Dessa forma, seja x ∈ (A− B). Então, por definição dediferença entre conjuntos, temos que x ∈ A e x /∈ B. Portantox ∈ A.Isto nos garante que todo elemento x ∈ (A− B), também éelemento do conjunto A. Ou seja

(A− B) ⊂ A.


Questão 09: Se adicionarmos 4 novos elementos a um conjuntoX , obteremos um conjunto Y . Que relação existe entre asquantidades de elementos de P(X ) e P(Y )?

Solução: Vamos supor que o conjunto X tenha n elementos.Então o conjunto Y terá n + 4 elementos.Daí, o número de elementos de P(X ) será 2n, enquanto que onúmero de elementos de P(Y ) será 2n+4.Observe que 2n+4 = 2n.24 = 16.2n.Portanto a quantidade de elementos do conjunto P(Y ) será 16vezes a quantidade de elementos de P(X ).


Questão 10: Sendo o conjunto A = {1,2, {3}, {3,4,5}}, analiseas afirmações abaixo:I a) 1 ∈ A ou {1} ∈ A?I b) {3,4,5} ∈ A ou {3,4,5} ⊂ A?I c) {1,2} ∈ A ou {1,2} ⊂ A?

Solução: Observe que o conjunto A tem quatro elementos.Vamos denotá-los por x = 1, y = 2, z = {3} e w = {3,4,5}.

I a) Daí, podemos ver claramente que x = 1 é um doselementos de A, enquanto {1} é um subconjunto de A.Portanto, 1 ∈ A está verdadeira, enquanto que {1} ∈ Aestá falsa.



I b) De modo análogo, w = {3,4,5} também é um doselementos de A, enquanto {3,4,5} não é um subconjuntode A. Logo, {3,4,5} ∈ A está verdadeira, enquanto que{3,4,5} ⊂ A está falsa. Nessa segunda parte, o corretoseria escrever {{3,4,5}} ⊂ A.

I c) A afirmação {1,2} ∈ A está falsa, pois como 1 e 2 sãoelementos de A, segue que {1,2} é subconjunto de A, eportanto a relação correta é {1,2} ⊂ A.

I É importante lembrar que os símbolos ∈ e /∈ são usadospara relacionar elemento com conjunto, chamados deRelação de Pertinência. Já a relação de inclusão, isto é,os símbolos ⊂ e ⊃ devem ser usados para relacionarconjunto com conjunto.


OBSERVAÇÕES:

I Caros alunos e alunas, é de extrema importância quevocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,estarem em dia com o conteúdo.

I Sugiro que estudem o conteúdo apresentado neste tópico,e coloquem as dúvidas que tiverem no fórum, para que eupossa tentar esclarecê-las.

BOM ESTUDO!

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