UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CFM - CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO: MATEMÁTICA – LICENCIATURA

DISCIPLINA: MTM 7105 – ÁLGEBRA LINEAR I (PCC 18HS) PROFESSORA: MARIA INEZ

ALUNOS: DJEISON MACHADO E JUCIARA GUIMARÃES CARVALHO

RENDIMENTO SUSTENTÁVEL ÓTIMO

Árvores são classificadas por altura

Altura da árvore classifica seu valor $$

A floresta cresce por um período e depois

algumas árvores, de tamanhos diferentes

podem ser cortadas

Depois do corte, as árvores não-cortadas

devem ter a mesma configuração de tamanho

da floresta original

ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS

Queremos encontrar um modelo que

proporcione o maior valor econômico possível

de todas as árvores removidas. Isto determina o

rendimento sustentável ótimo da floresta e é

o maior rendimento obtido sem dizimar a

floresta.

RENDIMENTO SUSTENTÁVEL ÓTIMO

ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS

CLASSE VALOR (R$) INTERVALO DE ALTURA

1 (muda) Nenhum [0, h1)

2 p2 [h1, h2)

3 p3 [h2, h3)

4 p4 [h3, h4)

5 p5 [h4, h5)

O MODELO

ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS

h1

h2

h3

h4

h5

0

p1=0 p2 p3 p4 p5

Seja xi (1≤i ≤ 5) o nº de árvores na i-ésima classe que

sobrevivem aos cortes

x =

𝒙𝟏

𝒙𝟐

𝒙𝟑

𝒙𝟒

𝒙𝟓

VETOR DE NÃO-CORTADAS

Após o corte, a floresta sempre deve ter a

quantidade de árvores dada pelo vetor de não-cortadas.

x1+x2+x3+x4+x5 = s

s = tamanho de terra disponível

𝐭𝐚𝐦𝐚𝐧𝐡𝐨 𝐪𝐮𝐞 𝐜𝐚𝐝𝐚 á𝐫𝐯𝐨𝐫𝐞 𝐨𝐜𝐮𝐩𝐚

ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS

Seja gi (1≤i ≤ 4) a fração percentual de

árvores que cresceram para a classe (i + 1)

Vamos supor que durante um período uma

árvore muda no máximo de uma classe

para outra

Então, temos que 1-gi é a fração de

árvores que não mudaram de classe, ou

seja, que permaneceram na classe i

ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS

Matriz de crescimento G =

𝟏 − 𝒈𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝒈𝟏 𝟏 − 𝒈𝟐 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝒈𝟐 𝟏 − 𝒈𝟑 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝒈𝟑 𝟏 − 𝒈𝟒 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝒈𝟒 𝟏

Gx=

𝟏 − 𝒈𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝒈𝟏 𝟏 − 𝒈𝟐 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝒈𝟐 𝟏 − 𝒈𝟑 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝒈𝟑 𝟏 − 𝒈𝟒 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝒈𝟒 𝟏

.

𝒙𝟏

𝒙𝟐

𝒙𝟑

𝒙𝟒

𝒙𝟓

=

𝟏 − 𝒈𝟏 𝒙𝟏

𝒈𝟏 𝒙𝟏 + 𝟏 − 𝒈𝟐 𝒙𝟐

𝒈𝟐 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝒈𝟑 𝒙𝟑

𝒈𝟑 𝒙𝟑 + 𝟏 − 𝒈𝟒 𝒙𝟒

𝒈𝟒𝒙𝟒 + 𝒙𝟓

Gx = Quantidade árvores depois do crescimento

ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS

Seja yi (1≤i ≤ 5) a quantidade de árvores que foram removidas da classe i

Então, são removidas y1+y2+y3+y4+y5=r árvores e deverão ser plantadas r mudas

Podemos definir uma matriz de resposição R =

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

, talque

Ry = r seja o vetor-coluna que mostrará a quantidade de árvores plantadas depois do corte:

Ry =

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

.

𝒚𝟏

𝒚𝟐

𝒚𝟑

𝒚𝟒

𝒚𝟓

=

𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 + 𝒚𝟑 + 𝒚𝟒 + 𝒚𝟓

𝟎𝟎𝟎𝟎

= r

ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS

y =

𝒚𝟏

𝒚𝟐

𝒚𝟑

𝒚𝟒

𝒚𝟓

VETOR DE CORTADAS

Equações que caracterizam a política sustentável,

𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂çã𝒐𝒏𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒐 𝒑𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐

𝒅𝒆 𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐

- 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆 + 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒊çã𝒐𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒅𝒂𝒔

=

𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂çã𝒐𝒏𝒐 𝒊𝒏í𝒄𝒊𝒐 𝒅𝒐 𝒑𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐

𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆

ou, matematicamente,

Gx – y + Ry = x

que pode ser reescrita como

(1 – R) y = (G – 1) x

(condição de corte sustentável)

ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS

Uma condição necessária e suficiente

para que um vetor-coluna x determine uma

configuração de floresta que permite um

corte sustentável é que as entradas de x

satisfaçam

g1x1 ≥ g2x2 ≥ g3x3 ≥ g4x4 ≥ 0

ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS

RT = rendimento total do corte

RT = p2y2 + p3y3 + p4y4 + p5y5

Podemos substituir os yi ficando com a seguinte equação

RT = p2g1x1 + (p3 – p2)g2x2 + (p4 – p3)g3x3 + (p5 – p4)g4x4

ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS

RENDIMENTO SUSTENTÁVEL ÓTIMO

PROBLEMA: Quais são os valores das entradas (não-

negativas) do vetor-coluna x que maximizam a equação

RT = p2g1x1 + (p3 – p2)g2x2 + (p4 – p3)g3x3 + (p5 – p4)g4x4

sujeito a

x1+x2+x3+x4+x5 = s

e

g1x1≥g2x2≥g3x3≥g4x4≥0

ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS

RENDIMENTO SUSTENTÁVEL ÓTIMO

TEOREMA: O rendimento sustentável ótimo é obtido

cortando as árvores de uma classe de altura específica e

nenhuma árvore de outra classe.

ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS

RENDIMENTO SUSTENTÁVEL ÓTIMO

TEOREMA: O rendimento sustentável ótimo é o maior valor

de 𝒑𝒌𝒔

𝟏𝒈𝟏

+𝟏

𝒈𝒌+ … +

𝟏𝒈𝒌 − 𝟏

onde k é o nº da classe que é completamente cortada.

Concluímos que a classe de árvores de maior preço não

deve ser cortada necessariamente, os parâmetros de

crescimento g também devem ser levados em conta para

determinar o rendimento sustentável ótimo.

A seguinte matriz de crescimento refere-se a uma

floresta de pinheiros escoceses na Escócia com período de

crescimento de seis anos. 𝟎, 𝟕𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎, 𝟐𝟖 𝟎, 𝟔𝟗 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

𝟎 𝟎, 𝟑𝟏 𝟎, 𝟕𝟓 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎, 𝟐𝟓 𝟎, 𝟕𝟕 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎, 𝟐𝟑 𝟎, 𝟔𝟑 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎, 𝟑𝟕 𝟏, 𝟎𝟎

Suponha que os preços das árvores (em unidade monetária

$) nas 5 classes de maior altura são: p2 = 50, p3 = 100, p4 =

150, p5 = 200, p6 = 250. Qual classe deveria ser

completamente cortada para obter o rendimento

sustentável ótimo e qual é o rendimento?

ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS

EXEMPLO