Aula 01 introdução - conceitos inicias

Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 1

Caro(a) concurseiro(a),

Primeiramente, gostaríamos de fazer uma breve apresentação.Prof. Alexandre Lima: Como vai? Sou Auditor-Fiscal Tributário Municipal deSão Paulo (“Fiscal do ISS/SP”) desde 1998. Além disso, sou professor deContabilidade (Geral, Avançada e de Custos), Estatística e Econometria emcursos preparatórios para concursos públicos. Servi à Marinha do Brasil, por 14anos, como oficial de carreira. Posteriormente, atuei como consultor/instrutorna área de tecnologia da informação por 8 anos. Sou Bacharel em CiênciasNavais (ênfase em Eletrônica) pela Escola Naval e em Engenharia Elétrica(ênfase em Telecomunicações) pela Escola Politécnica da Universidade de SãoPaulo. Sou Doutor em Engenharia Elétrica pela Escola Politécnica da USP.Ministro cursos de graduação e de pós-graduação na USP, PUC-SP eUniversidade Paulista (UNIP).

Prof. Moraes Junior: Tudo bem? Sou Auditor-Fiscal da Receita Federal doBrasil, aprovado em 5o lugar para as Unidades Centrais no concurso de 2005 etrabalho na Coordenação-Geral de Fiscalização. Sou professor de ContabilidadeGeral, Avançada, Análise das Demonstrações Financeiras, Contabilidade deCustos, Matemática Financeira, Estatística e Raciocínio Lógico. Além disso,trabalhei, durante 17 anos, na Marinha da Brasil, como oficial de carreira e 1ano, no Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada, como assessor dapresidência. Sou Bacharel em Ciências Navais (ênfase em Eletrônica) pelaEscola Naval e em Engenharia Elétrica (ênfase em Telecomunicações) pelaEscola Politécnica da Universidade de São Paulo.

Vamos ao nosso curso. Reforçando as palavras do Prof. Vicente Paulo, a Esafresolveu pegar muita gente pelo “pé” e vem destruindo nas provas deRaciocínio Lógico. Foi assim nas provas de Auditor-Fiscal da Receita Federal doBrasil, Analista Tributário da Receita Federal do Brasil, Analista dePlanejamento e Orçamento do MPOG, Analista da Susep. Enfim, é uma novatendência da Esaf.

Portanto, precisamos estudar esta matéria com mais calma, pois, muitosconceitos só foram vistos no segundo grau (Tudo bem, pode rir, pois somosadolescentes do século passado a, naquela época, ainda existia o segundograu. Risos. Conhecemos o Hebert Viana, dos Paralamas do Sucesso, quandoele ainda tinha topete).

Neste curso vamos ensinar Matemática, Matemática Financeira, Geometria,Trigonometria, Estatística e Raciocínio Lógico para os traumatizados da Esaf.Vamos ensinar em detalhes, explicando o que for preciso.

Portanto, vamos começar a nossa longa jornada rumo ao conhecimento doRaciocínio Lógico Quantitativo – Padrão Esaf de Qualidade. Ou seja, o curso évoltado para todos os concursos, com foco em questões da Esaf, que cobramRaciocínio Lógico Quantitativo propriamente dito e as outras vertentes daMatemática.



O curso terá uma aula por semana e terá a duração de cerca de cinco meses emeio (é para você aprender mesmo). Vamos detalhar a teoria e resolverexercícios da Esaf, relativos àquela teoria, em cada aula. Caso os exercícios daEsaf, para determinado assunto, não sejam suficientes, utilizaremos exercíciosde outras bancas ou exercícios inéditos, pois os conceitos matemáticos nãomudam. Veja o conteúdo programático: Aula Data Conteúdo 0 12/05 Introdução.1 26/05 Sinais, Frações, Decimais.2 02/06 Expoentes e Radicais.3 09/06 Fatoração.4 16/06 Aplicações da Álgebra – Equações e Inequações – Parte 1 5 23/06 Aplicações da Álgebra – Equações e Inequações – Parte 26 30/06 Conjuntos e Funções.7 07/07 Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares.8 14/07 Trigonometria.9 21/07 Geometria.10 28/07 Estruturas Lógicas: Proposições; Valores Lógicos das

Proposições; Sentenças Abertas; Número de Linhas daTabela Verdade; Conectivos; Proposições Simples;Proposições Compostas. Tautologia. Contradição.Contingência. Implicações Lógicas: Implicação entreProposições; Propriedade das Implicações Lógicas; Relaçõesentre Implicações. Equivalências Lógicas: Equivalência entreProposições; Equivalência entre Sentenças Abertas;Propriedade das Equivalências Lógicas; Operação comConjuntos.

11 04/08 Lógica de Argumentação e Diagramas Lógicos.12 11/08 Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio

de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros,conjuntos numéricos racionais e reais - operações,propriedades, problemas envolvendo as quatro operaçõesnas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricoscomplexos; números e grandezas proporcionais; razão eproporção; divisão proporcional; regra de três simples ecomposta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientaçãoespacial e temporal; formação de conceitos; discriminaçãode elementos – Parte 1

13 18/08 Compreensão e elaboração da lógica das situações por meiode: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros,conjuntos numéricos racionais e reais - operações,propriedades, problemas envolvendo as quatro operaçõesnas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricoscomplexos; números e grandezas proporcionais; razão eproporção; divisão proporcional; regra de três simples ecomposta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientaçãoespacial e temporal; formação de conceitos; discriminação



de elementos – Parte 214 25/08 Representação Gráfica de Dados Estatísticos. Distribuição de

Freqüência. Estatística Descritiva: gráficos, tabelas, medidasde Posição, medidas de dispersão, assimetria e curtose.

15 01/09 Teoria Elementar da Probabilidade.Combinações, Arranjos e Permutação.

16 08/09 Variáveis Aleatórias e Principais Distribuições deProbabilidade.

17 15/09 Esperança, Correlação e Regressão.18 22/09 Amostragem.19 29/09 Estimação de Parâmetros.20 06/10 Testes de Hipótese e Significância.

Inferência: intervalos de confiança. Testes de hipóteses paramédias e proporções.

21 13/10 Regressão Linear Simples.22 20/10 Juros Simples. Montante e juros. Descontos Simples.

Equivalência Simples de Capital. Taxa real e taxa efetiva.Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Descontos:Desconto racional simples e desconto comercial simples.

23 27/10 Juros Compostos. Montante e juros. Desconto Composto.Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitaisequivalentes. Capitalização contínua. Equivalência Compostade Capitais. Descontos: Desconto racional composto edesconto comercial composto.

24 03/11 Sistemas de Amortização25 10/11 Taxa Interna de Retorno: TIR do acionista e TIR do projeto.

Payback e Valor Presente Líquido. Metodologia deprecificação de títulos públicos e privados: títulos pré-fixados, títulos pós-fixados, títulos com pagamentos decupons, debêntures.

Finalmente, esperamos que este curso seja bastante útil para você e que possaauxiliá-lo de forma substantiva na preparação da disciplina de RaciocínioLógico Quantitativo.

As dúvidas serão sanadas por meio do fórum do curso, ao qual todos osmatriculados terão acesso. As críticas ou sugestões poderão ser enviadas paraas seguintes caixas postais:Prof. Moraes Junior: [email protected]. Alexandre Lima: [email protected].

Finalmente, gostaríamos de salientar a você, concurseiro(a): NUNCA DESISTADOS SEUS SONHOS. Deus nos deu o livre arbítrio para que possamosdeterminar nosso destino. Se você deseja ser aprovado em um concursopúblico, lute por isso, faça com dedicação, com sacrifício, sempre visando aoseu objetivo. Desta forma, você conseguirá ser aprovado!

Prof. Alexandre Lima Prof. Moraes Junior

Maio/2010



Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 00

Conceitos Iniciais – Parte 1: Sinais, Frações e Decimais.

Conteúdo 1. Introdução ................................................................................................................................ 5

1.1. Números ......................................................................................................................... 5

1.2. Outros Conceitos Iniciais Importantes ............................................................. 10

1.3. Exercícios de Fixação ............................................................................................... 14

1.4. Gabarito ........................................................................................................................ 15

1.5. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos .......................................... 16

2. Bibliografia ............................................................................................................................. 25



1. Introdução

1.1. Números

Como poderíamos falar de matemática sem os números? Impossível, não? Acada dia, por mais que você não queira, acaba falando de números.

Você precisa de um número para definir o tempo que você gasta para ir de suacasa para o seu trabalho; você precisa verificar os preços (números) deroupas, de alimentos, de ingressos de cinema, do litro da gasolina; vocêprecisa de números para falar a sua idade; você precisa de um número paradefinir as questões que você acertou em uma prova de Raciocínio Lógico.Enfim, os números estão sempre presentes em sua vida.

Como precisaremos de números em, praticamente, todo o nosso curso, vamoscomeçar, então, a aprender os tipos de números.

Os números naturais são utilizados para contar itens (pessoas, animais,coisas, ou quaisquer itens que não podem ser divididos). Caso eu perguntequal é a sua idade, você me responderá: 23 anos. Está aí um número natural.Portanto, os números naturais são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,...

Quer ver outro exemplo? Quantas pessoas foram ao último jogo de futebol doBrasil com a Argentina? 50.000 (cinqüenta mil) pessoas. Temos outro númeronatural.

Repare que o zero (0) representa um valor nulo. Se você for ao zoológico comseu filho e ele te perguntar: Pai, quantos elefantes podem ser colocados dentrode um fusca? (Risos). Se você for “sério”, responderá: Nenhum (zero).Contudo, se quiser fazer graça, dirá: 2 (dois) na frente e 3 (três) atrás. Olhaos números naturais aí!

Memorize para a prova:

Os números inteiros englobam os números naturais (inteiros positivos) eseus opostos (inteiros negativos), ou seja, são conhecidos como númerosinteiros positivos e negativos, tais como: ...-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...

Vou dar um exemplo de número inteiro negativo que foi um “fato” da minhavida de concurseiro. Comecei a estudar para concursos em 1998, ainda noséculo passado.

Números Naturais: são números utilizados para expressar quantidadesinteiras.ℕ ⇒ conjunto dos números naturais.ℕ= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} ⇒números naturais.



O primeiro concurso que fiz, ainda sem experiência alguma e com poucotempo de estudo, foi para o TCU (queria treinar e me acostumar com oambiente de prova).

A banca examinadora era o Cespe que, normalmente, faz provas por itens,onde o concurseiro deve avaliar se o item está certo ou errado. Além disso, sevocê avaliar o item de acordo com o gabarito (acertar a resposta), você ganhaum ponto. Por outro lado, a cada item que você marcar em desacordo com ogabarito (errar a resposta), você perde um ponto. Há ainda a opção de deixaro item em branco (não marcar nem certo e nem errado). Nessa situação, vocênão ganha e nem perde ponto.

Bom, como eu não sabia nada de concursos (risos), li o edital e decidi, antesde fazer a prova, que não deixaria itens em branco, ou seja, marcaria todos,seja como certo ou como errado. Para aqueles itens que eu não tivesse certezautilizaria o bom e velho “chute”.

Ainda havia uma informação do edital que determinava que o candidato seriaeliminado se ficasse com nota negativa em alguma disciplina (é issomesmo!!!). E o que aconteceu comigo? Exatamente, isso! Fui eliminado, pois,em Informática, fiquei com -4 (menos quatro). Olha o nosso número inteironegativo.

Para entender melhor este meu “trágico” exemplo da vida real, vamos fazerum exemplo com números! Exemplo: Moraes Junior, concurseiro novato, se inscreveu no concurso doTCU. Na disciplina de Informática eram 20 itens a ser analisados e MoraesJunior preencheu todos (com certo ou errado). Sabendo-se que Moraes Junioracertou 8 (oito) itens, qual será a sua nota final na disciplina considerando quecada erro elimina um acerto, ou seja, cada acerto vale 1 ponto e cada errovale -1 ponto?

Total de Itens da Prova = 20Número de Acertos = 8Número de Erros = Total de Itens – Número de Acertos = 20 – 8 = 12

Pela regra, cada acerto vale 1 (um) e cada erro vale -1 (menos um). Portanto,a nota final seria:

Nota Final na Disciplina = Acertos – Erros = 8 – 12 = -4 (menos quatro). Estafoi a minha nota: um número inteiro negativo.




Repare que o asterisco (*) sobrescrito ao símbolo que representa os inteiros(ℤ ) indica a exclusão do 0 (zero). Por outro lado, o “mais” (+) subscrito aosímbolo indica os inteiros não negativos e o “menos” indica os inteiros nãopositivos. Juntando o asterisco (*) com o “mais”, temos os inteiros positivos ejuntando o asterisco (*) com o “menos”, temos os inteiros negativos.

Os próximos números que veremos são os números racionais. Caramba, quehistória é essa de número racional? Calma, vamos ao conceito. Os númerosracionais são aqueles que podem ser descritos em forma de fração, ou seja,todos os números racionais possuem uma fração equivalente. Pode-se concluirque os números racionais englobam os números inteiros e, consequentemente,englobam os números naturais.

E o que são frações? Veja:

min

a numerador

b deno ador= (fração)

São exemplos de números racionais:3

4= 0,75;

7

5;1

10= 0,1; etc.

Repare que existem números racionais cujas casas decimais se repetem deacordo com um padrão (4,156156156.... ou 0,777777777...). Esse númerossão conhecidos como dízimas periódicas.

Vamos ver um exemplo que utilize números racionais, que é uma adaptação deum problema do livro “O Homem que Calculava”, de Malba Tahan.

Exemplo: Suponha que você possua um camelo de sua propriedade e que trêsirmãos te contrataram para dividir a herança deles, de 35 camelos, pois elesnão estavam conseguindo chegar a um acordo. De acordo com o testamentodo pai, a herança deveria ser dividida da seguinte forma: o irmão mais velhofica com a metade dos camelos, o irmão do meio com a terça parte e o irmãomais novo com a nona parte. Você não pode dividir um mesmo camelo, pois,deste modo teria que matá-lo. Assinale a alternativa que deixaria todos osirmãos felizes na partilha da herança, cumprindo o disposto no testamento:

Números Inteiros: são números que possuem as características dosnúmeros naturais, mas podem ser positivos ou negativos.

ℤ= {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...} ⇒números inteirosℤ ⇒ conjunto dos números inteiros.

+ℤ ⇒ conjunto dos números inteiros não negativos (inclui o zero).

−ℤ ⇒ conjunto dos números inteiros não positivos (inclui o zero).*

+ℤ ⇒ conjunto dos números inteiros positivos (não inclui o zero).*

−ℤ ⇒ conjunto dos números inteiros negativos (não inclui o zero).



(a) 18 camelos para o irmão mais velho; 10 camelos para o irmão do meio e 7camelos para o irmão mais novo.(b) 18 camelos para o irmão mais velho; 12 camelos para o irmão do meio e 4camelos para o irmão mais novo e 1 camelo para você.(c) 17 camelos para o irmão mais velho; 12 camelos para o irmão do meio e 6camelos para o irmão mais novo.(d) 17 camelos para o irmão mais velho; 11 camelos para o irmão do meio e 6camelos para o irmão mais novo e 2 camelos para você.(e) 17 camelos para o irmão mais velho; 11 camelos para o irmão do meio e 5camelos para o irmão mais novo e 2 camelos para você.

Resolução

Se você colocar também o seu camelo como parte da herança, teríamos:

Camelos dos irmãos = 35Seu Camelo = 1Total de Camelos = 35 + 1 = 36

Efetuando a partilha:Irmão mais velho = 36/2 = 18 camelos (deveria receber 35/2 = 17,5 camelose recebeu 18 ⇒ saiu feliz).

Irmão do meio = 36/3 = 12 camelos (deveria receber 35/3 = 11,666666...camelos e recebeu 12 ⇒ saiu feliz).

Irmão mais novo = 36/9 = 4 camelos (deveria receber 35/9 = 3,888888...camelos e recebeu 4 ⇒ saiu feliz).

Total dos Irmãos = 18 + 12 + 4 = 34 camelos (todos saíram felizes)

Você efetuaria a partilha e ainda sairia com 2 camelos (1 que já era seu) eoutro da própria herança. Isto é que é negócio da China! Risos.

E aí, qual o mistério deste problema. Como pode todos os irmãos saíremfelizes e você ainda ganhar um camelo?

É simples. Repare:Irmão mais velho = 35/2 = (17 + 1/2) = 17,5 camelosIrmão do meio = 35/3 = (11 + 2/3) = 11,66666... camelosIrmão mais novo = 35/9 = (3 + 8/9) = 3,88888... camelos

Soma = 17,5 + 11,66666... + 3,88888.. = 33,055555....

Ou seja, a soma da partilha não dá os 35 camelos da herança, pois há umasobra de quase 2 camelos. Ou seja, você percebeu isso e ainda ganhou umcamelo!GABARITO: B




O símbolo ℚ representa o conjunto de números racionais.O símbolo ∈ indica “pertence a”.O símbolo | indica “tal que”.O símbolo ≠ indica “é diferente de”.

Portanto, vamos escrever “ { | / , , , 0}x x n d n d d= = ∈ ∈ ≠ℚ ℤ ℤ ” em “português”:o conjunto dos números racionais é formado por números “x” tal que “x” éigual a uma fração (n/d), onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, dpertence ao conjunto dos números inteiros e d é diferente de zero.

Os números irracionais, como o próprio nome diz, são irracionais. Risos. Ouseja, são números não racionais, ou opostos aos números racionais, nãopodendo, por conseguinte, ser representados por frações. São conhecidoscomo dízimas não periódicas.


O símbolo π representa o número irracional “pi”.

Finalmente, os números reais! Como o próprio nome indica, os números reaisrepresentam valores reais. Os números reais podem ser representados porfrações, números inteiros, com casas decimais, sem casas decimais, pordízimas periódicas, por dízimas não periódicas.

Enfim, os números reais englobam todos os números racionais (que jáenglobam os inteiros e, consequentemente, os naturais) e irracionais.

O que são casas decimais? Casas decimais são os números localizados à direitada vírgula.

Exemplo: 3,1415 possui quatro casas decimais, que são: 1, 4, 1 e 5.

Números Racionais: { | / , , , 0}x x n d n d d= = ∈ ∈ ≠ℚ ℤ ℤ ⇒ números quepodem ser escritos na forma de fração, onde n é o numerador e d é odenominador. Exemplos: 3/4 = 0,75; 7/5; 1/10 = 0,1; 1/3 = 0,33333... (dízimaperiódica); etc.

Números Irracionais: não podem ser escritos com frações e possuem umnúmero infinito de casas decimais.

I = {x | x é uma dízima não periódica}⇒números irracionais.Exemplos: 3,01234567134....; √3 = 1,732050807...; π = 3,1415....




Repare que o asterisco (*) sobrescrito ao símbolo que representa os reais (ℝ )indica a exclusão do 0 (zero). Por outro lado, o “mais” (+) subscrito ao símboloindica os reais não negativos e o “menos” indica os reais não positivos.Juntando o asterisco (*) com o “mais”, temos os reais positivos e juntando oasterisco (*) com o “menos”, temos os reais negativos.

Portanto, poderíamos fazer a seguinte representação dos números:

Nota: Ainda há os números imaginários (fruto da nossa imaginação. Risos),mas veremos em aula posterior.

1.2. Outros Conceitos Iniciais Importantes

Uma variável representa algo que é desconhecido, ou seja, algo que vocêquer calcular em um problema, também denominada de incógnita. Portanto,uma variável sempre será a representação de um número. Normalmente, sãoutilizadas letras para representar as variáveis.

No exemplo na minha nota negativa na prova de Informática, a variável éjustamente a nota que tirei na prova, que, no caso, poderia ter chamado de“n”.

Uma operação representa uma combinação de um ou mais números gerandoum resultado. Ou seja, as operações são adição, subtração, multiplicação,divisão, raízes, expoentes, etc. Como exemplo, temos que 3 + 5 = 8.

Números Reais: representam valores reais e incluem a totalidade dosnúmeros racionais e irracionais.

ℝ= {x | x é racional ou x é irracional} ⇒números reais.ℝ ⇒ conjunto dos números reais.

+ℝ ⇒ conjunto dos números reais não negativos (inclui o zero).

−ℝ ⇒ conjunto dos números reais não positivos (inclui o zero).

*

+ℝ ⇒ conjunto dos números reais positivos (não inclui o zero).

*

−ℝ ⇒ conjunto dos números reais negativos (não inclui o zero).

ℕ ℤ ℚ

ℝ

I



Uma expressão representa qualquer combinação de valores e operações.Como exemplo, temos a expressão 3xy + 5z.

Um termo é o agrupamento de um ou mais fatores, como por exemplo, 3xy.

Uma equação demonstra a relação entre duas expressões iguais. Comoexemplo, temos a equação 3xy + 5z = 10.

Uma constante é um número que nunca muda de valor em uma equação.Uma variável também pode ser uma constante (que estranho, não?) desdeque seja definido um valor constante para tal. Como exemplo, sabemos que onúmero 10 é uma constante e as variáveis a e b na equação ax + b = 0, também são definidas como constantes.

Um expoente é um número sobrescrito a uma variável ou a um número.Como exemplo, temos 32 (2 é expoente) e x5 (5 é expoente).

Os principais símbolos utilizados em álgebra são:

+: Significa adicionar ou somar. O resultado da adição é a soma.

– : significa subtrair ou diminuir. O resultado da subtração é a diferença.

x ou . (ponto): significa multiplicar ou vezes. O resultado da multiplicação é oproduto e os valores que serão multiplicados são os multiplicadores ou fatores.

÷ ou : ou / ou –- (linha de fração): Significa dividir. O resultado é oquociente e o número que divide o dividendo é o divisor.

.a b q r= +

a = dividendo b = divisor q = quociente r = resto

min

a numerador

b deno ador=

Representando de forma diferente:

a b

r q



Exemplo: Quantas quinzenas existem em um ano de 365 dias?

Uma quinzena possui 15 dias. A variável que queremos calcular é o número dequinzenas, que chamarei de “z”.

Se montássemos a nossa estrutura: 365 = z . 15 + r

Dividindo 365 por 15, teríamos:

365 15

5 24

Ou seja, um ano de 365 dias possui 24 quinzenas e 5 dias. Se o ano fossebissexto, com 366 dias, teria 24 semanas e 6 dias.

Nota: As regras para fazer divisões serão vistas em aula posterior.

: significa raiz quadrada (será vista com mais detalhes em aula posterior).

| |: significa módulo ou valor absoluto de um número.

Exemplo: |-3| = 3; |3| = 3. Ou seja, o módulo de um número positivo é elemesmo; e o módulo de um número negativo, é a distância deste número até ozero.

= : significa que o primeiro valor é igual ao valor seguinte.

≠ ou <>: significa que o primeiro valor é diferente do valor seguinte.

≈ : significa que o primeiro valor é aproximadamente igual ao valor seguinte.

≤ : significa que o primeiro valor é menor que ou igual ao valor seguinte.

≥ : significa que o primeiro valor é maior que ou igual ao valor seguinte.

< : significa que o primeiro valor é menor que o valor seguinte.

> : significa que o primeiro valor é maior que o valor seguinte.




Para resolver problemas, você deve considerar os sinais de agrupamento, pois,caso não faça dessa maneira, não chegará ao resultado correto. Os sinais deagrupamento são:

(): parênteses

[]: colchetes

{ }: chaves

Exemplo: 10 x (5 – 2) ⇒primeiro, você deve calcular aquilo que está dentrodos parênteses, logo, 10 x 3 = 30.

Se fosse calcular da esquerda para direita, sem respeitar os parênteses,teríamos: 10 x 5 – 2 = 50 – 2 = 48, que não corresponde ao resultado correto.


+ ⇒soma– ⇒ subtração÷ ou : ou / ou ---⇒ divisãox ou . ⇒ multiplicação

⇒ raiz quadrada| | ⇒ valor absoluto ou módulo= ⇒ igual≠ou <> ⇒ diferente≈⇒ aproximadamente igual≤ ⇒menor ou igual≥ ⇒maior ou igual> ⇒ maior< ⇒ menor

Agrupamentos: ( ) ⇒ parênteses[ ] ⇒ colchetes{ } ⇒ chaves



1.3. Exercícios de Fixação Nesta aula serão poucos exercícios, pois ainda estamos na parte introdutóriada matéria. Minha intenção é fazer, em média, de 20 a 30 exercícios por aula,e todos serão comentados e resolvidos.

1.(Analista de Processos Organizacionais-Administração-Bahiagás- 2010-FCC) Sendo x e y números reais, definiremos a operação Θ tal que xΘyé igual a x−y. Partindo-se dessa definição, é correto dizer que (xΘy) Θ (yΘx) éigual a

(A) 2x(B) 2y(C) 2(x−y)(D) −2(x−y)(E) −2x 2.(Analista Judiciário-Área Administrativa-TRT/15R-2009-FCC) Do total

de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se que:2

5deveriam ser

analisados e4

7referiam-se ao atendimento ao público interno. Com essa

informação, é correto concluir que o total de projetos existentes nesse arquivoNUNCA poderia ser um número compreendido entre

(A) 10 e 50.(B) 60 e 100.(C) 110 e 160.(D) 150 e 170.(E) 180 e 220.

3.(Analista de Planejamento e Orçamento-APO-2008-Esaf) Sabe-se que

os números x, y e z são números racionais. Sabe-se, também, que2 3

3 3

xz

y

−=

−

Com essas informações, conclui-se que:

a) x. y = − 6b) x + y = 6c) x. y = 0d) x/y = 6e) x. y = 6



4.(Assistente Administrativo-Besc-2004-FGV) Em uma prova de 20questões, o candidato recebe 4 pontos por cada resposta certa e perde 1 pontopor cada questão não respondida corretamente. André obteve 20 pontos. Qualseria a nota de André, se cada resposta certa valesse 6 pontos e cada respostaerrada fizesse com que ele perdesse 2 pontos?

(A) 12(B) 16(C) 20(D) 22(E) 24

5.(AFTN-1998-Esaf) Indique qual das opções abaixo é verdadeira.

a) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e que x > 5

b) Para todo número real y, tem-se que y < 3 e que y > 2

c) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e que x2 + 5x = 0

d) Para algum número real k, tem-se que k > 5 e que k2 – 5k = 0

e) Para todo número real positivo x, tem-se que x2> x 1.4. Gabarito

1. C 2. D 3. E 4. E 5. C



1.5. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos 1.(Analista de Processos Organizacionais-Administração-Bahiagás- 2010-FCC) Sendo x e y números reais, definiremos a operação Θ tal que xΘyé igual a x−y. Partindo-se dessa definição, é correto dizer que (xΘy) Θ (yΘx) éigual a

(A) 2x(B) 2y(C) 2(x−y)(D) −2(x−y)(E) −2x Resolução Primeiramente, não precisa se assustar com símbolo Θ e outros que possamvir a aparecer em questões desse tipo. O que você precisa “tirar deinformação” da questão é qual o significado do símbolo.

No caso desta questão, o símbolo significa o “sinal de menos”. Portanto:xΘy = x−y; ou seja, Θ = – (menos).

Portanto, basta pegar a informação dada na questão, substituir na expressãoque a questão informa e calcular o resultado. Vamos lá:

(xΘy) Θ (yΘx) = (x – y) – (y – x). Beleza até aqui?

Bom, na próxima aula, veremos os sinais e as operações entre eles. Contudo,para resolver esta questão, precisamos ter este conhecimento. Então, vou falaraqui, mas repetirei na próxima aula.

Repare que, no segundo termo: – (y – x) = – (+ y – x). Se retirarmos osparênteses, teríamos: – + y – – x = – y + x. Portanto, o que temos queguardar no momento, para adição e subtração, é:

1. Normalmente, não mostramos o sinal de mais (+) no primeiro termo, ouseja, (x + y) = (+ x + y).

2. Menos (–) com mais (+) é igual a menos (–): – + = –.

3. Menos (–) com menos (–) é igual a mais (+): – – = +.

Voltando, a nossa questão, teríamos:(xΘy) Θ (yΘx) = (x – y) – (y – x) = x – y – y + x = 2x – 2y.

Como aparece o número 2 nos dois termos, podemos colocar em evidência(todos os termos estão multiplicados por 2). Logo: 2x – 2y = 2 . (x – y).GABARITO: C



2.(Analista Judiciário-Área Administrativa-TRT/15R-2009-FCC) Do total

de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se que:2

5deveriam ser

analisados e4

7referiam-se ao atendimento ao público interno. Com essa

informação, é correto concluir que o total de projetos existentes nesse arquivoNUNCA poderia ser um número compreendido entre

(A) 10 e 50.(B) 60 e 100.(C) 110 e 160.(D) 150 e 170.(E) 180 e 220.

Resolução Se consideramos que o números total de projetos é igual a “X”, sabemos que:

Projetos a serem analisados = X .2

5

Projetos relacionados ao público interno = X .4

7Repare que o número de projetos a serem analisados e o número de projetosrelacionados ao público interno devem ser números naturais, certo? Claro!Você já viu alguém analisar meio processo ou um processo negativo? Risos.

Pois é. Esta é a “informação chave” da questão, pois, se são números naturais,o número total de processos deve ser divisível por 5 e divisível por 7. Tambémfalaremos dos critérios de divisibilidade em aula posterior, mas, no momento,temos que saber que, se um número deve ser divisível por 5 e divisível por 7,ele deve ser divisível por 5 x 7 = 35. Generalizando, se um número é divisível por A e divisível por B, ele deve ser divisível por A . B (A multiplicado por B). Portanto, basta conhecer os múltiplos de 35 para verificarmos a respostacorreta. Veja:

1 x 35 = 352 x 35 = 703 x 35 = 1054 x 35 = 1405 x 35 = 1756 x 35 = 2107 x 35 = 245



Logo, o número total de projetos “X” pode ser: 35, 70, 105, 140, 175, 210,245,... Analisando as alternativas, temos que verificar em qual delas não háalgum dos números supramencionados:

(A) 10 e 50. ⇒35 está compreendido entre 10 e 50.(B) 60 e 100. ⇒70 está compreendido entre 60 e 100.(C) 110 e 160. ⇒105 e 140 estão compreendidos entre 110 e 160.(D) 150 e 170. ⇒ não há número divisível por 35 neste intervalo (E) 180 e 220. ⇒210 está compreendido entre 180 e 220.GABARITO: D

3.(Analista de Planejamento e Orçamento-APO-2008-Esaf) Sabe-se que

os números x, y e z são números racionais. Sabe-se, também, que2 3

3 3

xz

y

−=

−

Com essas informações, conclui-se que:

a) x. y = − 6b) x + y = 6c) x. y = 0d) x/y = 6e) x. y = 6 Resolução A questão informa que x, y e z são números racionais (representados porfração).

Como z pode ser representado por uma fração, não podemos ter a raizquadrada de três (que é um número irracional) no valor de z. Falaremos deraízes em aula posterior, mas, para já começar a se acostumar:

3 1,73205...=

A melhor maneira de resolver esta questão é analisando as alternativas:

a) x. y = − 6

De acordo com a alternativa: x . y = − 6. Para isolarmos o x, deve-se dividir osdois lados da equação por y. Deste modo, a igualdade não se altera. Quer verum exemplo numérico para entender melhor? Então, vamos lá:

2 x 3 = 6 (ok). Se dividirmos os dois lados da equação por 2, teríamos:

2 3 63 3

2 2

×= ⇒ = (ok).



Voltando à questão:

x . y = − 6. Dividindo os dois lados da equação por y.

. 6 6x yx

y y y

− −= ⇒ =

Substituindo o valor de x na expressão dada pelo enunciado da questão:

2 3

3 3

xz

y

−=

−⇒

62 3

3 3

yz

y

−−

=−

Repare que, para eliminar o y que é denominador de -6, debemos multiplicarpor y o numerador e o denominador de z, que a igualdade não será alterada. Vejamos:

662 3 2 3

6 2 3 2(3 3)

3 3 (3 3) (3 3) (3 3)

yy

y y y y yz

yy y y y y y y=

−−− −

− − − += = = ∉

− − − −i

i

ℚ (não é racional).

Na expressão “ 6 2 3y− − ”, como -6 é igual a -2 x 3, podemos colocar o -2 emevidência. Veja:

6 2 3 2 3 2 3 2.(3 3)y y y− − = − × − = − +

A alternativa está INCORRETA. b) x + y = 6

x + y = 6 ⇒ x = 6 – y

Aqui, para isolar x, passei o y para o outro lado da equação e, com isso, o sinalse inverte. Quer ver um exemplo numérico:

3 + 5 = 8 ⇒ 3 = 8 – 5 = 3 (ok)


2 3

3 3

xz

y

−=

−⇒

⇒(6 ) 2 3

3 3

yz

y

− −= ∉

−ℚ (não é racional). A alternativa está INCORRETA.



c) x. y = 0

Mais uma propriedade que será vista em aula posterior: Se x . y = 0, x = 0 ou y = 0 ou x = y = 0. Veja exemplos numéricos:

x = 0 e y = 4 ⇒ 0 x 4 = 0x = 3 e y = 0 ⇒ 3 x 0 = 0x = 0 e y = 0 ⇒ 0 x 0 = 0

Portanto, temos três opções para substituir na expressão dada no enunciado:x = 0; ou y = 0; ou x = y = 0

0 2 3 2 30

3 3 3 3

2 3 2 30

33 0. 3

0 2 3 2 30 0

33 0. 3

x z zy y

x xy z z

x e y z z

− −= ⇒ = ⇒ = ∉

− −

− −= ⇒ = ⇒ = ∉

−

− −= − ⇒ = ⇒ = ∉

−

ℚ

ℚ

ℚ

A alternativa está INCORRETA.

d) x/y = 6

E agora? Como faremos para isolar o x. Simples! Basta multiplicar por y nosdois lados da equação. Vamos ver um exemplo numérico:

12 126 2 6 2 12 12( )

2 2ok= ⇒ × = × ⇒ =

6 6 6x x

y y x yy y= ⇒ = ⇒ =i i


2 3

3 3

xz

y

−=

−⇒

⇒6 2 3

3 3

yz

y

−= ∉

−ℚ (não é racional). A alternativa está INCORRETA.



e) x. y = 6 x . y = 6. Dividindo os dois lados da equação por y.

. 6 6x yx

y y y= ⇒ =


2 3

3 3

xz

y

−=

−⇒


2 3

3 3

xz

y

−=

−⇒

62 3

3 3

yz

y

−

=−

Repare que, para eliminar o y que é denominador de 6, debemos multiplicarpor y o numerador e o denominador de z, que a igualdade não será alterada. Vejamos:

662 3 2 3

6 2 3 2(3 3) 2

3 3 (3 3) (3 3) (3 3)

yy

y y y y yz

y yy y y y y y y= ∈

− −− −

= = = =− − − −

i

i

ℚ (é racional).

Na expressão “6 2 3y− ”, como 6 é igual a 2 x 3, podemos colocar o 2 emevidência. Veja:

6 2 3 2 3 2 3 2.(3 3)y y y− = × − = −

Além disso, podemos “cortar” (3 3)y− , no numerador e no denominador.

Com isso, sobrará apenas2

y. Como, pela questão, y é um número racional,

2

y

também será racional. A alternativa está CORRETA.GABARITO: E



4.(Assistente Administrativo-Besc-2004-FGV) Em uma prova de 20questões, o candidato recebe 4 pontos por cada resposta certa e perde 1 pontopor cada questão não respondida corretamente. André obteve 20 pontos. Qualseria a nota de André, se cada resposta certa valesse 6 pontos e cada respostaerrada fizesse com que ele perdesse 2 pontos?

(A) 12(B) 16(C) 20(D) 22(E) 24 Resolução Caramba! Até parece o meu exemplo da vida real! Risos.

Total de Questões da Prova = 20

Regras:Questão Certa = 4 pontosQuestão Errada = -1 ponto (perde 1 ponto)Nota da Prova = 20 pontos

Se considerarmos que André acertou “C” questões, teríamos que o número dequestões erradas seria:

Questões Erradas (“E”) = Total de Questões da Prova – Questões Certas ⇒⇒E = 20 – C

A nota da prova será formada da seguinte maneira:Nota da Prova = (Questões Certas x Pontos Por Questão Certa) + (QuestõesErradas x Pontos Por Questão Errada) ⇒

Substituindo os valores, teríamos:20 = C x 4 + E x (-1) ⇒ 20 = 4C + (20 – C) x (-1) ⇒⇒ 20 = 4C – 20 + C (lembre que –C x -1 = – – C = + C) ⇒⇒ 20 + 20 = 4C + C ⇒ 5C = 40 ⇒

⇒ C =40

5⇒C = 8

Portanto, o número de questões erradas será: E = 20 – C = 20 – 8 = 12

Agora, de acordo com a questão, houve alteração da pontuação das certas edas erradas, da seguinte forma:

Questão Certa = 6 pontosQuestão Errada = -2 pontos (perde 2 pontos)



Total de Questões Certas = 8Total de Questões Erradas = 12

Nessa situação, a nota da prova será:

Nota da Prova = Questões Certas x Pontos Por Questão Certa + QuestõesErradas x Pontos Por Questão Errada

Substituindo os valores, teríamos:Nota da Prova = 8 x 6 + 12 x (-2) (lembre que +12 x -2 = + – 24 = – 24) ⇒⇒ Nota da Prova = 48 – 24 = 24 GABARITO: E

5.(AFTN-1998-Esaf) Indique qual das opções abaixo é verdadeira.





e) Para todo número real positivo x, tem-se que x2> x

Resolução Vamos analisar as alternativas:


Não há número real que seja, simultaneamente, menor que 4 e maior que 5.A alternativa está INCORRETA.


Esta alternativa não é válida para todo número real y. Por exemplo, para yigual 2,5; y é maior que 2 e é menor que 3. Contudo, para y igual 5; y émaior que 2 e não é menor que 3. A alternativa está INCORRETA.


Nós veremos equação do segundo grau e potências em aula posterior, masperceba que esta equação pode ser resolvida sem conhecer todos osconceitos. Veja:

x2 + 5x = 0



x2 é o mesmo que x vezes x, ou seja, x.x. Portanto, teríamos:

x.x + 5x = 0. Como x aparece nos dois termos à direita da equação,podemos colocá-lo em evidência:

x . (x + 5) = 0. Lembra da questão 3, alternativa “c”? x . y = 0. Qual era asolução? x = 0 ou y = 0 ou x = 0 e y = 0.

No caso dessa equação, x . (x + 5) = 0, as soluções ou raízes da equaçãoserão x = 0 e x + 5 = 0 ⇒ x = –5

Ou seja, as raízes da equação são reais (0 e –5) e são menores que 4. Logo, a alternativa está CORRETA.


Resolução da equação: k2 – 5k = 0 ⇒ k . (k – 5) = 0

Raízes: k = 0 e k – 5 = 0 ⇒ k = 5

Ou seja, uma das raízes da equação, k = 5, não é maior que 5 (k > 5) e simigual a 5. A alternativa está INCORRETA.

e) Para todo número real positivo x, tem-se que x2> x

Esta alternativa não é válida para todo número real x. Por exemplo, para xigual a 1. x2 = 12 = 1 . 1 = 1 = x. A alternativa está INCORRETA.

GABARITO: C

Espero que tenha gostado desta introdução e te aguardo na próxima aula.

Abraços e até a próxima aula,

Bons estudos,

Moraes [email protected]

Alexandre [email protected]



2. Bibliografia

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BARROS, Dimas Monteiro de, Raciocínio lógico, matemático e quantitativo. SãoPaulo. Novas Conquistas, 2001.

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Education

Aula 01 introdução - conceitos inicias