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AULA 22 ESTATÍSTICA Professor: João Alessandro PROBABILIDADE PARTE 1

Aula 22 probabilidade - parte 1

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Estatística: Probabilidade - Conceitos Iniciais, definições, exemplos e exercícios.

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Page 1: Aula 22   probabilidade - parte 1

AULA 22ESTATÍSTICA

Professor: João Alessandro

PROBABILIDADE

PARTE 1

Page 2: Aula 22   probabilidade - parte 1

PROBABILIDADE

Page 3: Aula 22   probabilidade - parte 1

PROBABILIDADEINTRODUÇÃO

• A palavra probabilidade deriva do Latim probare

(provar ou testar).

• Informalmente, provável é uma das muitas palavras

utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo

também substituída por algumas palavras como

“sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”,

dependendo do contexto.

Page 4: Aula 22   probabilidade - parte 1

1. EXPERIMENTO ALEATÓRIO

Page 5: Aula 22   probabilidade - parte 1

1.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO - EXEMPLOS

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2. CONCEITOS ESSENCIAIS2.1 Espaço Amostral

Consideremos uma experiência onde pode ocorrer n resultados possíveis. Cada um dos n resultados possíveis será chamado ponto amostral, e o conjunto S de todos os resultados possíveis, ou seja, o conjunto S de todos os pontos amostrais será chamado espaço amostral da experiência.

Page 7: Aula 22   probabilidade - parte 1

PROBABILIDADE 2.1 Espaço Amostral (continuação)

Exemplo 1: Lançamento de uma moeda: Existem dois resultados possíveis, portanto S = {“cara”, “coroa”}

Page 8: Aula 22   probabilidade - parte 1

PROBABILIDADE2.1 Espaço Amostral (continuação)

Exemplo 2: Lançamento de um dado:Existem 6 resultados possíveis, portanto: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Page 9: Aula 22   probabilidade - parte 1

3. DEFINIÇÕES

Page 10: Aula 22   probabilidade - parte 1

PROBABILIDADE3.1 Evento

Chama-se evento qualquer subconjunto A do espaço amostral S.

A está contido em S.

Page 11: Aula 22   probabilidade - parte 1

PROBABILIDADE3.1 Evento (continuação)

A está contido em S.

Exemplo 1: No lançamento de um dado, o evento “número ímpar” é A = { 1; 3; 5} 

Page 12: Aula 22   probabilidade - parte 1

PROBABILIDADE3.1.1 Evento Impossível:

O conjunto vazio também é um subconjunto de S, portanto, também é um evento;  o conjunto vazio é chamado evento impossível, pois nunca ocorre.

Exemplo: Sair o número 7 no lançamento de um dado é um evento impossível.

ou

6} 5, 4, 3, 2, {1, S

AA

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PROBABILIDADE3.1.2 Evento Certo:

O conjunto S é subconjunto de si próprio, portanto S também é um evento; S é chamado de evento certo, pois sempre acontece.

Exemplo: Sair o número 1 a 6 no lançamento de um dado é um evento certo.

6} 5, 4, 3, 2, {1,

6} 5, 4, 3, 2, {1, S

A

Page 14: Aula 22   probabilidade - parte 1

PROBABILIDADE3.1.3 Eventos Complementares:

– A.S = A que tal A evento ao

S, amostral espaço num A evento um de

arcomplement evento de se-Chama

Exemplo:No lançamento de um dado, o evento complementar do evento “número ímpar” é o evento “número par”.

6} 4, {2, =A

5} 3, 1, { =A

Page 15: Aula 22   probabilidade - parte 1

PROBABILIDADE3.1.4 Eventos Mutuamente Exclusivos:

vazio) conjunto a igual B e A :se-(lê

B A quando

exclusivos mutuamente são B e A eventos Dois

Exemplo: No lançamento de um dado: A: Sair número par.

B: Sair número ímpar.

versa.-vice e ímpar número um sair

como há não par número um sair se Pois

B A

Page 16: Aula 22   probabilidade - parte 1

PROBABILIDADE4. Probabilidade de Um Evento: É calculada pela fórmula:

)(

)()(

Sn

AnAP

S evento do elementos de número o é n(S)

Aevento do elementos de número o é n(A)

Aevento o ocorrer de adeprobabilid a é)(

:

AP

Onde

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Exercícios

Probabilidade de um Evento

Page 18: Aula 22   probabilidade - parte 1

RESOLVENDO EXERCÍCIOS

1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine a probabilidade de ocorrer:

a) A: um número primo.

Resolução:

A = { 2, 3, 5} são os números primos retirados S.

n(A) = 3 é o número de elementos do evento A.

n(S) = 6 é o número de elementos do espaço amostral.

%,)(

)(

)()(

50502

1

6

3

ouAP

Sn

AnAP

Page 19: Aula 22   probabilidade - parte 1

b) B: um número múltiplo de 3.

Resolução:

B = { 3, 6} são os números múltiplos de 3 retirados S.

n(B) = 2 é o número de elementos do evento B.

n(S) = 6 é o número de elementos do espaço amostral.

%,,)(

)(

)()(

3333303

1

6

2

ouAP

Sn

BnBP

RESOLVENDO EXERCÍCIOS

1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine a probabilidade de ocorrer:

Page 20: Aula 22   probabilidade - parte 1

2. Em uma urna há 18 bolas numeradas de 1 a 18. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de obter um múltiplo de 3?

RESOLVENDO EXERCÍCIOS

Resolução:

A = { 3, 6, 9, 12, 15, 18} são os números múltiplos de 3 retirados de S.

n(B) = 6 é o número de elementos do evento A.

n(S) = 18

%,...,)(

)(

)()(

333333303

1

18

6

ouAP

Sn

AnAP

Page 21: Aula 22   probabilidade - parte 1

PROBABILIDADE3. Soma de Probabilidades: É calculada pela fórmula:

)()()()( BAPBPAPBAP

B e A evento o ocorrer de adeprobabilid a é B) P(A

B evento o ocorrer de adeprobabilid a é P(B)

Aevento o ocorrer de adeprobabilid a é P(A)

B ou A evento o ocorrer de adeprobabilid a é) B (

:

AP

Onde

Dica esperta: Em problemas de “soma de probabilidades”

sempre encontramos a

palavra OU.

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Exercícios

SOMA DE PROBABILIDADES

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RESOLVENDO EXERCÍCIOS

Lançando-se um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, qual é a probabilidade de se obter um número par ou múltiplo de 3:

amostral. espaço do elementos de número )(

A.evento do elementos de número o é 3 n(A)

S. retirados pares números os são 6} 4, 2, { A

:par número um retirado ser : Aevento o Sendo

P(A). Calculando :1 Passo

:partes por fazer Vamos

:Resolução

oéSn 6

2

1

6

3

)(

)(

)()(

AP

Sn

AnAP

2

1)(AP

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RESOLVENDO EXERCÍCIOS

amostral. espaço do elementos de número )(

B. evento do elementos de número o é 2 n(B)

S. de retirados 3 de múltiplos números os são 6} 3, { B

:3 de múltiplo número um retirado ser :B evento o Sendo

P(B). Calculando :2 Passo

oéSn 6

3

1

6

2

)(

)(

)()(

BP

Sn

BnBP

3

1)(BP

Page 25: Aula 22   probabilidade - parte 1

RESOLVENDO EXERCÍCIOS

amostral. espaço do elementos de número )(

B. Aevento do elementos de número o é 1 B)n(A

S. de retirado 3 de múltiplo e par número o é 6} { B A

:3 de múltiplo e par número um retirado ser :B A evento o Sendo

B). P(A Calculando :3 Passo

oéSn 6

6

1

)(

)(

)()(

BAP

Sn

BAnBAP

6

1 )( BAP

Page 26: Aula 22   probabilidade - parte 1

RESOLVENDO EXERCÍCIOS

B). P(A Calculando :(FINAL) 4 Passo

6

13

1

)(

)(

2

1 P(A)

:

BAP

BP

Sendo

%,...,)(

)(

:temos operações as

fazendo e resdenominado dos mmc o tirando

)(

)()()()(

:adesprobabilid das soma a Calculando

6766666603

2

6

46

123

6

1

3

1

2

1

ouBAP

BAP

BAP

BAPBPAPBAP

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PROBABILIDADE4.PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES:

Multiplicação das probabilidades.Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra S. A e B são ditos independentes se a probabilidade de um deles ocorrer não afetar a probabilidade do outro ocorrer, isto é, se:  

)/()()( ABPxAPBAP

Aevento o

ocorrido tendo B evento o ocorrer de adeprobabilid a é P(B/A)

Aevento o ocorrer de adeprobabilid a é P(A)

B e A evento o ocorrer de adeprobabilid a é) B (

:

AP

Onde

Dica esperta: Em problemas

de “multiplicação de

probabilidades”sempre

encontramos a vogal E, escrita

ou subentendida.

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Exercício

MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES

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RESOLVENDO EXERCÍCIOS

Uma urna contém 6 bolas amarelas e 9 bolas brancas. Calcule a probabilidade de, ao retirar sucessivamente 2 bolas, sem reposição, obtermos a 1ª amarela e 2ª branca.

A.evento do elementos de número o é 6 n(A)

S. de retiradas serem de possíveis amarelas bolas as são amarelas} bolas 6 { A

amarela bola uma retirado ser : Aevento o Sendo

amostral. espaço do elementos de número )(

brancas} bolas 9 amarelas, bolas {6 S

P(A). Calculando :1 Passo

:partes por fazer Vamos

:Resolução

oéSn 15

5

2

15

6

)(

)(

)()(

AP

Sn

AnAP

5

2)(AP

Page 30: Aula 22   probabilidade - parte 1

RESOLVENDO EXERCÍCIOS

A.evento do elementos de número o é 9 n(B/A)

S. de retiradas serem de possíveis brancas bolas as são brancas} bolas 9 { B/A

amostral. espaço do elementos de número )(

amarela! bola uma retirada foi pois

,modificado foi amostral espaço o , brancas} bolas 9 amarelas, bolas {5 S

:iaConsequênc

amarela. 1ª a

retirada tendo branca, bola 2ª a retirar :B/A evento o Sendo

P(B/A). Calculando :2 Passo

oéSn 14

14

9

)(

)(

)()(

AP

Sn

AnAP

14

9)/( ABP

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RESOLVENDO EXERCÍCIOS

B). P(A Calculando :(FINAL) 3 Passo

14

9

)/(

5

2 P(A)

:

ABP

Sendo

%,,)(

:

)(

)(

)/()()(

:adesprobabilid das

çãomultiplica a Calculando

71252571035

9

70

1814

9

5

2

ouBAP

temosfraçãoandoSimplifica

BAP

xBAP

ABPxAPBAP