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Intervalo de Con�ança: Pivot
Anselmo Alves de Sousa
July 29, 2015
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Enunciado
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Enunciado
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PIVOT
Para resolver a questão 94, vejamos a de�nição de PIVOT:
Seja f(x) uma f.d.p ou f.p que depende de um parâmetro θ. E seja X1, X2, . . . , Xn
uma correspondente amostra aleatória. Uma quantidade pivotal é uma v.a,
Q(X1, X2, . . . , Xn; θ)
que é uma função da amostra e do parâmetro θ (não é uma estatística!).
Entretatanto a distribuição de Q(X1, X2, . . . , Xn; θ) não depende de θ.
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PIVOT
Então, para qualquer γ �xo, 0 < γ < 1, existirão q1 e q2 tais que P (q1 < Q < q2) = γ.Se para cada possível amostra X1, X2, . . . , Xn, q1 < Q < q2 existe se, e somente se,
t1(X1, . . . , Xn) < τ(θ) < t2(X1, . . . , Xn)
para t1 e t2 que não dependem de θ, então (T1, T2) é um intervalo de con�ança de
100γ% para τ(θ), onde Ti(X1, . . . , Xn) = t(x1, x2, . . . , xn), i = 1, 2.
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Exemplos de PIVOT
� Estimação de µ de X ∼ N(µ, σ2), σ2 conhecido:
Q(X1, X2, . . . , Xn;µ) =X−µσ/√n∼ N(0, 1);
� Para σ2 desconhecido: Q(X1, X2, . . . , Xn;µ, σ2) = X−µ
S/√n∼ t(n−1);
� Para σ2 desconhecido: Q(X1, X2, . . . , Xn;µ, σ2) = (n−1)S2
σ2 ∼ χ2(n−1);
Observe nos exemplos que apesar da variável aleaória,
Q(X1, X2, . . . , Xn;µ, σ2), depender da amostra e do parâmetro
desconhecido, sua distribuição de probabilidade não depende. Pelos
exemplos vemos que não necessariamente as quantidades pivotais têm
distribuição normal.
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GABARITO
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52 Questões de Estatística da Banca CESPE-UNB
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