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101
CARTA DE SMITH.
La Carta de Smith, es la superposición de dos diagramas; uno representa el plano complejo del
coeficiente de reflexión y sobrepuesta un malla que representa Impedancias o Admitancias Normalizadas.
Impedancia Normalizada.
Cualquier valor de Impedancia puede representarse en la Carta de Smith, la única condición es que el
valor de la Impedancia debe normalizarse; es decir, el valor de la Impedancia debe dividirse por el valor de
la impedancia característica de la línea.
Para una línea sin pérdidas = 0 .
ZL = RL + j XL (6-1)
ZN = Z
Z
L
0
= RN + j XN (6-2)
La carta se compone de dos hemisferios divididos por un eje horizontal, este representa valores normalizados
de la componente resistiva. Al centro de la carta se le asigna el valor de 1.0; los valores a la izquierda, en el
eje horizontal son para componentes resistivas normalizadas, menores que la unidad. Los valores a la derecha
son para componentes resistivas normalizadas mayores que la unidad.
El eje horizontal divide a la carta en dos hemisferios, la parte superior es para reactancias inductivas
( + j XL ) y en la parte inferior se representan reactancias capacitivas ( - j Xc ).
La escala periférica esta graduada en longitudes de onda, su recorrido es equivalente al desplazamiento en la
Línea de Transmisión. Una vuelta completa, a la Carta de Smith, es igual a un desplazamiento de en un
sistema real.
Uno de los puntos más importantes, es el que esta localizado en el extremo izquierdo de la carta, sobre el eje
horizontal ( 0 ); este punto indica el mínimo. A partir de este valor existen dos direcciones, una en sentido de
las manecillas del reloj ( hacia el generador ) y la otra en sentido contrario a las manecillas del reloj ( hacia la
carga ).
El valor del VSWR se puede leer directamente sobre el eje horizontal, en la escala de 0 a .
El punto más importante se localiza en el centro de la carta (1.0), este punto es la referencia y generalmente se
usa en la mayoría de las operaciones de la carta.
En general, para cualquier impedancia de carga ZL en la que termina una línea de transmisión, existirá una
onda reflejada con coeficiente de reflexión V y una razón de ondas estacionarias de voltaje ( VSWR =
ROE ). Dado que el coeficiente de reflexión puede tomar el valor 1, en este caso, tomaremos la magnitud;
es decir:
1
2
1
2
incidente Voltaje
reflejado Voltaje
I
I
V
VV (6-3)
Para la relación de onda estacionaria, (4-11b), tenemos:
102
V
VVSWR
1
1 (6-4)
despejando a V , tenemos:
V
VVSWR
1
1
VVVSWR 11
VVVSWRVSWR 1
VV VSWRVSWR 1
11 VSWRVSWR V
1
1
VSWR
VSWRV (6-5)
El coeficiente de reflexión es una cantidad compleja con magnitud V y ángulo de fase V. La expresión
(6-5) nos da el coeficiente de reflexión en función del VSWR. Es decir, en un sistema real podemos medir el VSWR.
VSWR, en consecuencia podemos determinar el coeficiente de reflexión v y en consecuencia la impedancia
de carga Z L.
VVV (6.6)
con:
V = 2m -
)4
1(º720
m
donde:
m = distancia desde la carga al mínimo ( m. )
longitud de onda ( m. )
Conociendo la magnitud y el ángulo de fase del coeficiente de reflexión, la impedancia de carga ZL esta
dado por (4-8), es decir:
103
V
VL
1
+ 1 0 Z= Z
(6-7)
VV
VVL ZZ
1
10 (6-8)
Entonces, una impedancia de carga desconocida puede determinarse por medio de mediciones del patrón de
onda estacionaria en una Línea de Transmisión, como veremos más adelante.
CASOS ESPECIALES, DE LA CARTA DE SMITH.
La relación del ROE ( VSWR ), Xm , V y ZL para casos especiales se ilustra en la Fig. Nº 6.1
con la variación del voltaje a lo largo de la línea, mostrado en cada caso.
CASO Nº 1. Es una LÍNEA ACOPLADA con una impedancia de carga ( 50) igual a la impedancia
característica de la línea ( 50 resistivos ). No existe onda reflejada y así v = 0 ; no hay ondas
estacionarias ( ROE = 1 ).
CASO Nº 2. Es una LÍNEA EN CIRCUITO ABIERTO ( ZL = ) de una manera que la onda reflejada es
igual en magnitud a la onda incidente 1v y el ROE = . En la carga, la onda reflejada
de voltaje esta en fase con la onda incidente de voltaje ( ZL = ); de manera que existe un máximo de voltaje
en la carga, con un mínimo de voltaje a /4 de separación ( Xm = /4 ).
CASO Nº 3. Es una LÍNEA EN CORTO CIRCUITO ( ZL = 0 ) con la onda reflejada igual en magnitud a
la onda incidente 1v y el ROE = . En la carga, la onda reflejada está en fase opuesta a la onda
incidente ( v= 180º ); de manera que existe un mínimo de voltaje en la carga y también un defasamiento de
/2 ( Xm = /2 ).
CASO Nº 4. Es una CARGA INDUCTIVA ( no resistiva ) ( ZL = j 50 ) producida por una sección de /8
de línea en corto que produce un coeficiente de reflexión 1 90º y un ROE = . El mínimo de voltaje
esta a 3/8 , a partir de la carga ( Xvm = 3/8 ).
CASO Nº 5. Es una CARGA CAPACITIVA ( no resistiva ) ( ZL = -j 50 ) producida con una sección de
/8 de línea abierta, produciendo un coeficiente de reflexión 1 90º y un ROE = . El mínimo
de voltaje esta a /8 de la carga ( Xvm = /8 ).
CASO Nº 6. Es una CARGA RESISTIVA de valor MAYOR que la IMPEDANCIA DE LÍNEA ( ZL =
100 Z0 = 50 que produce un coeficiente de reflexión 1
30º y un ROE = 2. El mínimo de
voltaje esta a /4 de la carga ( Xvm = /4 ).
104
CASO Nº 7. Es una CARGA RESISTIVA de valor MENOR que la IMPEDANCIA DE LÍNEA ( ZL = 25
Z0 = 50 que produce un coeficiente de reflexión 1
3180º y un ROE = 2. El mínimo de
voltaje está en la carga y también a /2 de ella ( Xvm = 0, /4 ).
CASO Nº 8. Es una CARGA RESISTIVA-INDUCTIVA producida al colocar una resistencia en serie de 25
en el extremo de una sección de /8 de la línea y que produce un coeficiente de reflexión de
1
390º y un ROE = 2. El mínimo de voltaje está a 3/8 de la carga ( Xvm = 3/8 ).
CASO Nº 9. Es una CARGA RESISTIVA-CAPACITIVA producida al colocar una resistencia de 100 en
el extremo de una sección /8 de la línea, que produce un coeficiente de reflexión 1
390º y un
ROE = 2. El mínimo de voltaje está a /8 de la carga ( Xvm = /8 ).
Caso Condición VSWR Xvm () v ZL () Voltaje en la Línea
1 Línea 1 0 100
acoplada
2 Línea ¼ º01
desacoplada
3 Línea en 0 y ½ º1801 0
cortocircuito
Adaptador
4 en cortocircuito 3/8 º901 j 50
(carga inductiva)
Adaptador
5 /8 abierto 1/8 º901 -j 50
(carga capacitiva)
6 Carga resistiva 2 ¼ º03
1 100
RL > R0
7 Carga 2 0 y ½ º1803
1 25
resistiva RL < R0
8 Carga 2 3/8 º903
1 80 + j60
resistiva-inductiva
9 Carga 2 1/8 º903
1 80 - j60
resistiva-capacitiva
105
En la Fig. Nº 6.2 , se muestran de una forma gráfica los anteriores casos.
1.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.2
1.4
1.6
1.8 2.0
5.03.0
4.0
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0.2
0.4
0.6
0.81.
0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.8
1.0
1.0
0.6
0.2
0.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
3.0
4.0
5.0
10
20
20
10
5.0
4.0
3.0
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.9
0.7
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
ING. JOSÉ JESÚS PEÑA CALZADA
0.05
0.06
0.07
0.08
0.4
6
00
0.4
80.4
9
0.4
7
0.4
9
0.4
8
0.05
0.45
0.44
0.06
0.43
0.07
0.08
0.42
0.09
0.41 0.10
0.40 0.11
0.39
0.12
0.38
0.13
0.37
0.14
0.36
0.2
50.2
60.2
4
0. 2
3 0.2
7
0.2
5
0.2
80.2
2
0.2
1 0.2
9
0.2
0
0.30
0.19
0.31
0.32
0.18
0.33
0.17
0.16
0.34
0.15
0.35
0.09
0.10
0.110.12
0.380.39
0.40
0.41
0.42
0.43
0.44
0.45
0.4
6
0.4
7
0.2
4
0.2
60
.27
0.2
3
0.2
8
0.2
2
0.2
9
0.2
1
0.30
0.20
0.31
0.19
0.32
0.18
0.33
0.17
0.34
0.16
0.35
0.150.36
0.14
0.37
0.13
160
150
140
130
120
110
10090
80
70
60
50
40
30
20
10
0-1
0
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80-90
-100
-110
-120
-130
-140
-150
-160
-170
COMPONENTE DE R
EACTANC
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APA
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IVA (-
j XC/Z
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A (+j X
/LZo)
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UCEPTA
NCIA C
APACITIVA (+j B
C/Yo)
CARTA DE SMITH FORMA JJPC. (10-A) E. S. I. M. E. - CULHUACAN. I. P. N. MÉXICO D. F. 1999.
TITULONOMBRE DIBUJO Nº 16B.CDR
FECHA: 28-III-99
COORDENADAS DE IMPEDANCIAS O ADMITANCIAS
O
ND
A
Esta
cio
naria
PÉ
RD
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PARÁMETROS DE LA ESCALA RADIAL
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0 20
10
5.0 4.0
3.0
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
1.1
HACIA EL GENERADOR HACIA LA CARGA
Re
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dB
. 02.0
4.0
6.0
8.0
10
1520
30
40
40
20
10
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1.0o0
en
o0
.01
.02
.04
.08
.12
.16
.20
.40
.30
.50
.60
.70
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.90
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Dire
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10
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0.1 o0
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10.
12.
14
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20.
25.
60.
0
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.30
.40
.50
.60
.70
.80
.90
1.0
20
50
50
COMPONENTE DE RESISTENCIA (R/Zo) O CONDUCTANCIA (G/Yo)
50
0.7
0.9
Caso N° 7Carga Resistiva
R < RL 0
Caso N° 6Carga Resistiva
R > RL 0
Caso N° 5Carga Capacitiva
Caso N° 4Carga Inductiva
Caso N° 3Línea en Corto
Caso N° 2Línea Abierta
Caso N° 1Línea Acoplada
Caso N° 9Carga Resistiva-Capacitiva
Caso N° 8 CargaResistiva-Inductiva
1
0
vm
v
x = 0
= 180°vm
v
x =
= 0°
vm
v
x = / 8
= - 90°
vm
v
x = 3 /8
= 90°
0.91
0.81
0.66
0.5
0.33
0.28
0.23
0.16
3
5
10
20
2
1.8
1.6
1.4
PUNTOS TÍPICOS
CÍRCULOPROHIBIDO
Fig. N° 6.2 Casos típicos en la Carta de Smith.
En la Fig. 6.2, el diagrama de Smith, se muestran la magnitud del coeficiente de reflexión v y la
relación de onda estacionaria VSWR , como distancia radial. La fase del coeficiente de reflexión y la
distancia, desde la carga, aparecen como un ángulo. Los puntos están marcados en el diagrama y
corresponden a los nueve casos diferentes, de la Tabla 6.1.
Tabla 6.1 Línea de Transmisión de 50 de resistencia característica, para nueve
terminaciones diferentes. En el diagrama se muestra la distribución relativa del voltaje, sobre
la línea.
106
Si la impedancia de la línea es Z0 = 50 ., se tiene para los nueve casos:
Caso ZN = RN + j XN ( Adimensionales ).
_______________________________________________
1 1 + j 0
2
3 0
4 0 + j 1.0
5 0 - j 1.0
6 2 + j 0
7 0.5 + j 0
8 0.8 + j 0.6
9 0.8 + j 0.6
El circulo de valor 2, es el círculo prohibido. Ya que cualquier impedancia normalizada de un
sistema, que quede dentro de este círculo, será muy difícil lograr su acoplamiento.
El diagrama de Smith puede usarse también para Admitancias, estando cada admitancia normalizada
por:
NNN
N BjGZ
Y 1
(6-9)
donde:
GN = Conductancia Normalizada = G
G0
BN = Suceptancia Normalizada = B
G0
G0 = Conductancia Característica de la línea 1
0R .
EJEMPLOS.
107
Ejemplo Nº 1 Refiriéndose a la siguiente figura, una línea de transmisión de impedancia
característica Z0 = 50 , terminada en una carga ZL = 50 + j 40 .
Determinar:
a). El VSWR del sistema,
b). La impedancia Zx, a 0.2 de la carga y
c). Las dos distancias más cortas, x 1 y x 2, para las que Zx no es reactiva.
Z g
G
José Jesús Peña Calzada
X = 0X = 0.2 L
X = 0.094
X = 0.344
L
L2
1
Fig. N° 6.3 Impedancia a 0.2 L de la carga, empleando la Carta de Smith además de los puntos puramente resistivos.
Solución:
1.- Primero normalizamos la impedancia de carga Z L, de acuerdo a (6-2), es decir:
ZN = Z
Z
L
0
= RN + j XN
8.00.150
4050j
jZN
Al depositar el valor anterior en la Carta de Smith, trazamos una línea recta que inicie en 1.0 y
pase por ZN = 1.0 + j 0.8. Al prolongar la línea recta hasta que corte el círculo periférico, podemos
leer el “Origen de ZN”, que en este caso es 0.155 L. Ver Fig. N° 6.4.
108
1.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
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0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
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0.2
0.2
0.8
1.0
1.0
0.6
0.2
0.4
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0.1
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0.8
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1.4
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0.8
0.6
0.9
0.7
0.5
0.4
0.3
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0.1
ING. JOSÉ JESÚS PEÑA CALZADA
0.05
0.06
0.07
0.08
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0.4
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9
0.4
7
0.4
9
0.4
8
0.05
0.45
0.44
0.06
0.43
0.07
0.08
0.42
0.090.41 0.10
0.40 0.11
0.39
0.12
0.38
0.13
0.37
0.14
0.36
0.2
50.2
60.2
4
0.2
3 0.2
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9
0.2
0
0.30
0.19
0.31
0.32
0.18
0.33
0.17
0.160.34
0.15
0.35
0.09
0.10
0.110.12
0.380.39
0.40
0.41
0.42
0.43
0.44
0.45
0.4
6
0.4
7
0.2
4
0.2
60
.27
0.2
3
0.2
8
0.2
2
0.2
9
0.2
1
0.30
0.20
0.31
0.19
0.32
0.18
0.33
0.17
0.34
0.16
0.35
0.150.36
0.14
0.37
0.13
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COMPONENTE DE R
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APACITIVA (+j B
C/Yo)
CARTA DE SMITH FORMA JJPC. (10-A) E. S. I. M. E. - CULHUACAN. I. P. N. MÉXICO D. F. 1999.
TITULONOMBRE DIBUJO Nº 16B.CDR
FECHA: 28-III-99
COORDENADAS DE IMPEDANCIAS O ADMITANCIAS
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PARÁMETROS DE LA ESCALA RADIAL
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Z = 1.0 + j 0.8N
“ Origen de Z “
N
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Fig. N° 6.4 “Origen de ZN”
2.- A continuación trazamos un circulo, con centro en 1.0 y que pase por ZN. El círculo anterior
corta al eje horizontal, por el lado derecho en el punto 2.15. Este valor es el VSWR del sistema.
Ver Fig. N° 6.5.
a).- VSWR = 2.15
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0.43
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CARTA DE SMITH FORMA JJPC. (10-A) E. S. I. M. E. - CULHUACAN. I. P. N. MÉXICO D. F. 1999.
TITULONOMBRE DIBUJO Nº 16B.CDR
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COMPONENTE DE RESISTENCIA (R/Zo) O CONDUCTANCIA (G/Yo)
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CÍRCULO DE VSWR
Z = 1.0 + j 0.8N
“ Origen de
ZN “
a) VSWR = 2.15
0.155 L
VSWR = 2.15
Fig. N° 6.5 Círculo de VSWR.
3.- Para determinar el valor de Zx = 0.2 L se puede desplazar, sobre el círculo periférico, una
distancia de 0.2 L desde Z N y llegamos al punto 0.356 LSe traza una línea recta que inicie en
0.356 L y llega al centro de la carta en 1.0, la intersección con el círculo de VSWR nos determina
el valor de Zx = 0.2 L. En la carta se puede leer Zx = 0.2 L = 0.9 + j 0.75. Ver Fig. N° 6.6.
b).- Zx = 0.2 L = 0.9 + j 0.75
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0.380.39
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0.2
“ Origen de
ZN “
Z = 0.91 - j 0.74N
0.2
a) VSWR = 2.15
b) Z = 0.91 - j 0.74N
0.2
VSWR = 2.15
0.155 L
Fig. N° 6.6 Impedancia a 0.2 L de la carga.
4.- Para encontrar los dos puntos donde ZN no es reactiva, nos desplazamos sobre el círculo de
VSWR hasta intersectar el eje horizontal del lado derecho, es decir en x1. Sobre el círculo
exterior, graduado en fracciones de longitud de onda, nos desplazamos desde el punto 0.155 L
hasta 0.25 L; ver la Fig. N° 6.7, es decir:
c).- El primer punto donde Zx no es reactiva es, según se lee en la carta, 0.25 , es decir:
x1 = (0.25 - 0.155 = 0.095
El segundo punto donde Zx no es reactiva, es:
x1 = (0.5 - 0.156 = 0.344
A continuación se presentan algunos trazos del problema anterior
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0.2
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0.4
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0.40 0.11
0.39
0.12
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0.2
“ Origen de
ZN “
Z = 0.91 - j 0.74N
0.2
a) VSWR = 2.15
b) Z = 0.91 - j 0.74N
0.2
c) Primer caso
x = (0.25 - 0.155)
= 0.105
Segundo caso:
x = (0.5 - 0.155)
= 0.345
Fig. N° 6.7 Puntos puramente resistivos en la Carta de Smith del Ejemplo N° 1.
Ejemplo 2
Una línea de transmisión coaxial sin pérdidas cuya impedancia característica Z0 = 50 , está
terminada en una impedancia de carga de Z L = 40 - j 70 , la frecuencia de operación es de 300
MHz. Determine:
a).- ¿ Cual es la impedancia de la línea a 0.8 L de la carga ?.
b).- El VSWR del sistema.
c).- El valor del coeficiente de reflexión, del sistema
X = 0
X =
José Jesús Peña Calzada
F.V. = 0.66
L
112
Fig. 6.8 Impedancia a 0.8 L de la carga ZL.
Solución:
1.- Normalizando la impedancia de carga Z L, de acuerdo a (6-2), es decir:
ZN = Z
Z
L
0
= RN + j XN
4.18.050
7040j
jZN
Depositamos el valor anterior en la Carta de Smith, trazamos una línea recta que inicie en 1.0 y
pase por ZN = 0.8 – j 1.4. Al prolongar la línea recta hasta que corte el círculo periférico, podemos
leer el “Origen de ZN”, que en este caso es 0.166 L. Ver Fig. N° 6.9.
“Origen de ZN” = 0.166 L
2.- En este momento trazamos un circulo, con centro en 1.0 y que pase por ZN. Este círculo corta
al eje horizontal, por el lado derecho en el punto 4.2. Este valor es el VSWR del sistema.
Ver Fig. N° 6.10.
VSWR = 4.2
113
1.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
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0.6
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0.7
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
ING. JOSÉ JESÚS PEÑA CALZADA
0.05
0.06
0.07
0.08
0.4
6
00
0.4
80.4
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0.4
7
0.4
9
0.4
8
0.05
0.45
0.44
0.06
0.43
0.07
0.08
0.42
0.09
0.41 0.10
0.40 0.11
0.39
0.12
0.38
0.13
0.37
0.14
0.36
0.2
50.2
60.2
4
0.2
3 0.2
7
0.2
5
0.2
80.2
2
0.2
1 0.2
9
0.2
0
0.30
0.19
0.31
0.32
0.18
0.33
0.17
0.16
0.34
0.15
0.35
0.09
0.10
0.110.12
0.380.39
0.40
0.41
0.42
0.43
0.44
0.45
0.4
6
0.4
7
0.2
4
0.2
60
.27
0.2
3
0.2
8
0.2
2
0.2
9
0.2
1
0.30
0.20
0.31
0.19
0.32
0.18
0.33
0.17
0.34
0.16
0.35
0.150.36
0.14
0.37
0.13
160
150
140
130
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110
10090
80
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60
50
40
30
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-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80-90
-100
-110
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CARTA DE SMITH FORMA JJPC. (10-A) E. S. I. M. E. - CULHUACAN. I. P. N. MÉXICO D. F. 1999.
TITULONOMBRE DIBUJO Nº 16B.CDR
FECHA: 28-III-99
COORDENADAS DE IMPEDANCIAS O ADMITANCIAS
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HACIA EL GENERADOR HACIA LA CARGA
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COMPONENTE DE RESISTENCIA (R/Zo) O CONDUCTANCIA (G/Yo)
50
0.7
0.9
ORIGEN DE Z
“ Origen de
ZN “
0.166 L
N
Fig. N° 6.9 Origen de Z N
Ejemplos.
114
1.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
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0.05
0.45
0.44
0.06
0.43
0.07
0.08
0.42
0.09
0.41 0.10
0.40 0.110.39
0.12
0.38
0.13
0.37
0.140.36
0.2
50.2
60.2
4
0.2
3 0.2
7
0.2
5
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80.2
2
0.2
1 0.2
9
0.2
0
0.30
0.19
0.31
0.32
0.18
0.33
0.17
0.16
0.34
0.15
0.35
0.09
0.10
0.110.12
0.380.39
0.40
0.41
0.42
0.43
0.44
0.45
0.4
6
0.4
7
0.2
4
0.2
60
.27
0.2
3
0.2
8
0.2
2
0.2
9
0.2
1
0.30
0.20
0.31
0.19
0.32
0.18
0.33
0.17
0.34
0.16
0.35
0.150.36
0.14
0.37
0.13
160
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CARTA DE SMITH FORMA JJPC. (10-A) E. S. I. M. E. - CULHUACAN. I. P. N. MÉXICO D. F. 1999.
TITULONOMBRE DIBUJO Nº 16B.CDR
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COMPONENTE DE RESISTENCIA (R/Zo) O CONDUCTANCIA (G/Yo)
50
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0.9
VSWR DEL SISTEMA
“ Origen de
ZN “
0.166 L
VSWR = 4.2
VSWR = 4.2
Fig. N° 6.10 VSWR del sistema.
3.- Para determinar el valor de Zx = 0.8 L se puede desplazar, sobre el círculo periférico una distancia
de 0.8 L, desde Z N y llegamos al punto 0.466 LSe traza una línea recta que inicie en 0.466 L
y llega al centro de la carta en 1.0, la intersección con el círculo de VSWR nos determina el valor
de Zx = 0.8 L. Ver Fig. N° 6.11, en la carta se puede leer:
Z 0.8 L = 0.24 + j 0.2
El valor anterior esta normalizado, por tanto el valor real será:
a).- 1012502.024.08.0 jjZLx
115
1.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
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0.40 0.11
0.39
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CAPACITIVA (+
j BC/Y
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CARTA DE SMITH FORMA JJPC. (10-A) E. S. I. M. E. - CULHUACAN. I. P. N. MÉXICO D. F. 1999.
TITULONOMBRE DIBUJO Nº 16B.CDR
FECHA: 28-III-99
COORDENADAS DE IMPEDANCIAS O ADMITANCIAS
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COMPONENTE DE RESISTENCIA (R/Zo) O CONDUCTANCIA (G/Yo)
50
0.7
0.9
IMPEDANCIA Z
“ Origen de
ZN “
0.166 L
VSWR = 4.2
VSWR = 4.2
Z = 0.24 - j 0.20.8
L
0.8 L
0.466 L
Z = 0.24 - j 0.20.8
L
0.8 L
Fig. N° 6.11 Impedancia Z x = 0.8 .
El VSWR del sistema, observando la Fig. N° 6.10, es:
b).- VSWR = 4.2
De (4-9) y sustituyendo valores, tenemos que:
7090
7010
507040
507040
Z+ Z
Z Z =
0L
0L
j
j
j
jV
49008100
49006300700900
7090
7090
7090
7010=
jj
j
j
j
jV
5384615385.03076923077.013000
70004000= j
jV
c).- v = 0.3076923077 - j 0.5384615385
116
Ejemplo 3
Una línea de transmisión coaxial que opera a la frecuencia de 167.2 MHz, tiene una impedancia
característica de 75 y mide 15m., según la Fig. 6.12. Considere el sistema sin pérdidas, un factor
de velocidad de 0.66 y una impedancia de carga Z L = 120 + j 45 . A la entrada de la línea, se
conecta un generador que tiene un nivel de salida de 10 V e impedancia interna de 50 .
Determine:
a).- La impedancia de entrada Z 0.186 L
b).- El VSWR, del sistema.
c).- Encuentre el coeficiente de reflexión V
X = 0
Z = 50 g
G
X = 15 m.
José Jesús Peña Calzada
V =10 V.g
F.V. = 0.66
Fig. 6.12. Sistema con una terminación ZL = 120 + j 45 .
Solución:
1.- Normalizando la impedancia de carga Z L, de acuerdo a (6-2), es decir: Líneas de Transmisión.
6.06.175
45120
0
jj
Z
ZZ L
N
Depositamos el valor anterior en la Carta de Smith, trazamos una línea recta que inicie en 1.0 y
pase por ZN = 1.6 + j 0.6. Al prolongar la línea recta hasta que corte el círculo periférico, podemos
leer el “Origen de ZN”, que en este caso es 0.207 L. Ver Fig. N° 6.13.
“Origen de ZN” = 0.207 L
2.- En este momento trazamos un circulo, con centro en 1.0 y que pase por ZN. Este círculo corta
al eje horizontal, por el lado derecho en el punto 1.92. Este valor es el VSWR del sistema.
Ver Fig. N° 6.13.
VSWR = 1.92
3.- Para determinar el valor de Zx = 0.186 L se puede desplazar, sobre el círculo periférico una
distancia de 0.186 L, desde Z N y llegamos al punto 0.413 LSe traza una línea recta que inicie
117
en 0.413 L y llega al centro de la carta en 1.0, la intersección con el círculo de VSWR nos
determina el valor de Zx = 0.186 L. Ver Fig. N° 6.13, en la carta se puede leer:
Z 0.186 L = 0.4 – j 0.65
El valor anterior esta normalizado, por tanto el valor real será:
5.32205065.04.0186.0 jjZLx
4.- El coeficiente de reflexión v se lee directamente de la Carta de Smith. Se sugiere hacer lo
siguiente: trace una línea recta vertical, que inicia en la intersección del círculo de VSWR y el eje
horizontal del lado derecho y termina en parámetros de la escala radial. Ver Fig. N° 6.13.
En esta escala obtenemos la magnitud de v y la fase se encuentra sobre el círculo periférico,
graduado en grados.
De la Fig. N° 6.13, tenemos que el coeficiente de reflexión tiene el valor:
v = 0.318 32°
A continuación se presentan algunos trazos del problema anterior
118
1.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.2
1.4
1.6
1.8 2.0
5.03.0
4.0
10
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0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.8
1.0
1.0
0.6
0.2
0.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
3.0
4.0
5.0
10
20
20
10
5.0
4.0
3.0
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1. 0
0.8
0.6
0.9
0.7
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
ING. JOSÉ JESÚS PEÑA CALZADA
0.05
0.06
0.07
0.08
0.4
6
00
0.4
80.4
9
0.4
7
0.4
9
0.4
8
0.05
0.45
0.44
0.06
0.43
0.07
0.08
0.42
0.090.41 0.10
0.40 0.11
0.39
0.12
0.38
0.13
0.37
0.14
0.36
0.2
50.2
60.2
4
0.2
3 0.2
7
0. 2
5
0.2
80.2
2
0.2
1 0.2
9
0.2
0
0.30
0.19
0.31
0.32
0.18
0.33
0.17
0.16
0.340.15
0.35
0.09
0.10
0.110.12
0.380.39
0.40
0.41
0.42
0.43
0.44
0.45
0.4
6
0.4
7
0. 2
4
0.2
60
.27
0.2
3
0.2
8
0.2
2
0.2
9
0.2
1
0.30
0.20
0.31
0.19
0.32
0.18
0.33
0.17
0.34
0.16
0.35
0.150.36
0.14
0.37
0.13
160
150
140
130
120
110
10090
80
70
60
50
40
30
20
10
0-1
0
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80-90
-100
-110
-120
-130
-140
-150
-160
-170
COMPONENTE DE R
EACTANCIA
CAPA
CIT
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UC
EPTANCIA C
APACITIVA (+j B
C/Yo)
CARTA DE SMITH FORMA JJPC. (10-A) E. S. I. M. E. - CULHUACAN. I. P. N. MÉXICO D. F. 1999.
TITULONOMBRE DIBUJO Nº 16B.CDR
FECHA: 28-III-99
COORDENADAS DE IMPEDANCIAS O ADMITANCIAS
O
ND
A
Esta
cio
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PÉ
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PARÁMETROS DE LA ESCALA RADIAL
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0 20
10
5.0 4.0
3.0
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
1.1
HACIA EL GENERADOR HACIA LA CARGA
Re
l.V
ol.
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dB
. 02.0
4.0
6.0
8.0
10
1520
30
40
40
20
10
5.0
4.0
3.0
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0o0
en
o0
.01
.02
.04
.08
.12
.16
.20
.40
.30
.50
.60
.70
.80
.90
1.0
Dire
cta
10
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.5
0.1 o0
1.0
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10.
12.
14
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20.
25.
60.
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20
50
50
COMPONENTE DE RESISTENCIA (R/Zo) O CONDUCTANCIA (G/Yo)
50
0.7
0.9
EJEMPLO 6.3
“ Origen de Z “
0.227 L
Z = 1.6 + j 0.6N
Z = 0.4 - j 0.65N
0.412 L
Z = 0.51 - j 0.47N
Impedancia a 0.186 L
0.186 L
N
0.318v
Fig. N° 6.13 Impedancia de la línea a 0.186 L, de la carga.
Si prefiere calcular el coeficiente de reflexión a través de (4-9) y sustituyendo valores, tenemos que: Líneas de Transmisión.
45195
4545
7545120
7545120
Z+ Z
Z Z =
0L
0L
j
j
j
jV
22
45195
2025877520258775
45195
45195
45195
4545=
jj
j
j
j
jV
119
1685393258.02696629213.040050
675010800
202538025
675010800= j
jjV
00538321.3293179993663.0 VV
Ejemplo 4
Determine la Admitancia normalizada YN, de ejemplo 3.
Solución:
En este caso primero normalizamos la impedancia de carga, de acuerdo a (6-2), es decir:
6.06.175
45120
0
jj
Z
ZZ L
N
Depositamos el valor anterior en la Carta de Smith, trazamos una línea recta que inicie en 1.0 y
pase por ZN = 1.6 + j 0.6. Al prolongar la línea recta hasta que corte el círculo periférico, podemos
leer el “Origen de ZN”, que en este caso es 0.207 L. Ver Fig. N° 6.14.
“Origen de ZN” = 0.207 L
2.- En este momento trazamos un circulo, con centro en 1.0 y que pase por ZN. Este círculo corta
al eje horizontal, por el lado derecho en el punto 1.92. Este valor es el VSWR del sistema.
Ver Fig. N° 6.14.
VSWR = 1.92
3.- Para determinar el valor de Y N, se desplaza sobre el círculo periférico una distancia de 0.25 L,
Ejemplos.
desde Z N y llegamos al punto 0.457 LSe traza una línea recta que inicie en 0.457 L y llega al
centro de la carta en 1.0, la intersección con el círculo de VSWR nos determina el valor de Y N.
Ver Fig. N° 6.14, en la carta se puede leer:
Y N = 0.55 – j 0.205
120
1.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.2
1.4
1.6
1.8 2.0
5.03.0
4.0
10
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0.2
0.4
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1.0
0.8
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0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.8
1.0
1.0
0.6
0.2
0.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
3.0
4.0
5.0
10
20
20
10
5.0
4.0
3.0
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1. 0
0.8
0.6
0.9
0.7
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
ING. JOSÉ JESÚS PEÑA CALZADA
0.05
0.06
0.07
0.08
0.4
6
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0.4
80.4
9
0.4
7
0.4
9
0.4
8
0.05
0.45
0.44
0.06
0.43
0.07
0.08
0.42
0.09
0.41 0.10
0.40 0.11
0.39
0.12
0.38
0.13
0.37
0.14
0.36
0.2
50.2
60.2
4
0.2
3 0.2
7
0. 2
5
0.2
80.2
2
0.2
1 0.2
9
0.2
0
0.30
0.19
0.31
0.32
0.18
0.33
0.17
0.16
0.34
0.15
0.35
0.09
0.10
0.110.12
0.380.39
0.40
0.41
0.42
0.43
0.44
0.45
0.4
6
0.4
7
0.2
4
0.2
60
.27
0.2
3
0.2
8
0.2
2
0.2
9
0.2
1
0.30
0.20
0.31
0.19
0.32
0.18
0.33
0.17
0.34
0.16
0.35
0.150.36
0.14
0.37
0.13
160
150
140
130
120
110
10090
80
70
60
50
40
30
20
10
0-1
0
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80-90
-100
-110
-120
-130
-140
-150
-160
-170
COMPONENTE DE R
EACTANCIA
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UCEPTANCIA
CAPACITIVA (+
j BC/Y
o)
CARTA DE SMITH FORMA JJPC. (10-A) E. S. I. M. E. - CULHUACAN. I. P. N. MÉXICO D. F. 1999.
TITULONOMBRE DIBUJO Nº 16B.CDR
FECHA: 28-III-99
COORDENADAS DE IMPEDANCIAS O ADMITANCIAS
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1.4
1.2
1.0
1.1
HACIA EL GENERADOR HACIA LA CARGA
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6.0
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10
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30
40
40
20
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4.0
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2.0
1.8
1.6
1.4
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.40
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3.0
2.0
1.0
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2.0
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5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.
12.
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60.
0
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1.0
20
50
50
COMPONENTE DE RESISTENCIA (R/Zo) O CONDUCTANCIA (G/Yo)
50
0.7
0.9
ADMITANCIA Y
“ Origen de Z “
0.207 L
Z = 1.6 + j 0.6N
Y = 0.55 - j 0.205N
N
Admitancia YN 0.25 L
N
0.457 L
Y = 0.55 - j 0.205
Origen de YN
N
Fig. N° 6.14 Admitancia Y N.
Líneas de Transmisión.
Ejemplo 6.5 Una Antena Yagi – Uda, con impedancia Z A = 15 +j 18 , es alimentada con una
Línea de Transmisión coaxial de impedancia característica Z 0 = 50 y de 16 m. de longitud. La
impedancia del Transmisor es Z g = 50 , la frecuencia de operación es 167.2 MHz. Considere a
línea una sin pérdidas, en el intervalo 0 x .
Determine:
a).- El VSWR del sistema.
b).- El coeficiente de reflexión V.
c).- La impedancia a una L / 8, de la carga.
d).- La impedancia a 0.5 L, de la carga.
e).- La impedancia a una L, de la carga.
121
X = 0
Z = 50 g
G
José Jesús Peña Calzada
V =10 V.g
F.V. = 0.66X = 0.5 X = L L
X = 0.125 L
Fig. N° 6.15 Impedancia en diferentes puntos
Solución:
1.- Primero normalizando la impedancia de carga Z L, de acuerdo a (6-2), es decir:
ZN = Z
Z
L
0
= RN + j XN
36.03.050
1815j
jZN
Depositamos el valor anterior en la Carta de Smith, trazamos una línea recta que inicie en 1.0 y
pase por ZN = 0.3 – j 0.36. Al prolongar la línea recta hasta que corte el círculo periférico, podemos
leer el “Origen de ZN”, que en este caso es 0.059 L. Ver Fig. N° 6.16.
“Origen de ZN” = 0.059 L
2.- En este momento trazamos un circulo, con centro en 1.0 y que pase por ZN. Este círculo corta
al eje horizontal, por el lado derecho en el punto 3.79. Este valor es el VSWR del sistema. Ver
la Fig. N° 6.16.
VSWR = 3.79 Ejemplos.
122
1.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.2
1.4
1.6
1.8 2.0
5.03.0
4.0
10
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0.8
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.8
1.0
1.0
0.6
0.2
0.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
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TITULONOMBRE DIBUJO Nº 16B.CDR
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Fig. N° 6.16. “Origen de ZN” y la impedancia a 0.125 L.
También podemos leer el coeficiente de reflexión, en forma polar:
V = 5.82 137.6°
De la gráfica anterior, observamos que la impedancia normalizada, es:
Z N 0.125 L = 1.19 + j 1.56
Desnormalizando, tenemos:
Líneas de Transmisión.
Z x = 0.125 L = Z N x = 0.125 Z 0 = ( 1.19 + j 1.56 ) 50 = 59.5 + j 78
En consecuencia, la impedancia a 0.125 L de la carga, es:
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Z x = 0.125 L = 59.5 + j 78
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0.5 N
Fig. N° 6.17. Impedancia a 0.5 L, de la carga.
De la Fig. N° 6.17 la impedancia normalizada a 0.5 L, de la carga es:
Z N 0.5 L = 1.139 - j 1.64 Ejemplos.
Desnormalizando, tenemos:
Z x = 0.5 L = Z N x = 0.5 L Z 0 = ( 1.139 - j 1.64 ) 50 = 69.5 - j 82
Por tanto, la impedancia a 0.5 L de la carga, es:
Z x = 0.5 L = 69.5 - j 82
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0.5 N
Fig. N° 6.18. Impedancia a 1.0 L, de la carga.
De la Fig. N° 6.18 la impedancia a 1.0 L, de la carga es:
Z N 1.0 L = 0.3 + j 0.36
Desnormalizando, tenemos:
Z x = 1.0 L = Z N x = 1.0 L Z 0 = ( 0.3 + j 0.36 ) 50 = 15 + j 18
En consecuencia la impedancia a 1.0 L, es:
Z x = 1.0 L = 15 + j 18
