Conjuntos numéricos

Números naturais NO conjunto dos números naturais é o

mais simples entre os conjuntos que iremos estudar. É com os números naturais que as crianças tem seu primeiro contato com a matemática.

Números naturais N Os números naturais são os chamados

números para contar. Costuma-se indicar o conjunto dos naturais com o símbolo N .

{ },5,4,3,2,1,0N =

Números naturais N O conjunto dos naturais é fechado

segundo as operações de soma e multiplicação, ou seja, se somarmos ( ou multiplicarmos) dois naturais seu resultado será outro número natural.

Em símbolos:

( )( )

∈⋅∈+

⇒∈∀Nba

NbaN b,a

Números naturais N A divisão só é válida se, e somente se b

for múltiplo de a e b diferente de zero. O conjunto dos naturais pode ser dividido

em infinitos subconjuntos. Muitas das propriedades que valem para

o conjunto dos naturais não é válida em alguns de seus subconjuntos.

Números inteiros Z O conjuntos dos números inteiros é uma

“extensão” dos números naturais e costuma-se representá-lo pelo símbolo Z, ou seja:

{ } ,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,Z −−−−−=

Números inteiros Z Representação através do diagrama de

Vinni

Z

N

Zem contido está N

ZN

⊂⇒

Números inteiros Z O conjuntos dos números inteiros é fechado

segundo as operações de subtração, adição e multiplicação, ou seja, se somarmos (ou multiplicarmos, ou subtrairmos) dos inteiros seu resultado será um inteiro.

Números inteiros Z Em símbolos matemáticos:

Exemplo

( )( )( )

∈⋅∈−∈+

⇒∈∀Zba

Zba

Zba

Zb,a

Z1132

Z10105.2

Z2211

∈−⇒−=−∈⇒=

∈⇒=+

Números inteiros Z

Além disso, temos: Todo número inteiro tem sucessor e

antecessor; O conjunto dos números inteiros é infinitos; Entre dois números inteiros consecutivos

não existe outro número inteiro;

Números racionais Q

O conjuntos dos racionais é dado por todo número que pode ser escrito como o quociente de dois números inteiros.

Em símbolos:

≠∈∈= 0b e Zb ,Za/

b

aQ

Números racionais QRepresentação pelo diagrama de Vinni

Z

N

Q em contido está Ze

Zem contido está NQZN

⊂⊂

⇒

Q

Números racionais Q

O conjuntos dos racionais é fechado segundo as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.

Em símbolos:

Qd

c

b

a;Q

d

c.

b

a

;Qd

c

b

a;Q

d

c

b

a0d,b/d,c,b,a

∈

÷∈

∈

−∈

+⇒≠∀

Números irracionais I

Há números cuja representação é decimal e não periódica. Podemos citar como exemplo cuja descoberta revolucionou o pensamento matemático da época.

Em símbolos:

2

{ }QpI ∉∀=

Números irracionais I Representação pelo diagrama de Vinni

Z

NI em contido está Q e

Q em contido está Ze

Zem contido está NIQZN

⊂⊂⊂

⇒

Q

I

Números irracionais Um dos instrumentos desenvolvidos para

a representação dos números irracionais é a espiral de Teodoro. Cuja construção segue abaixo:

Números irracionais

Há outros tipos de números irracionais. Exemplos:

71818,1n

11lime

n

x≅

+=

±∞→

( ) ≅+

−=π ∑∞

=1n

n

1n2

14 3,14159 26535 89793 23846...

Números reais R

Os números reais são a reunião entre os números racionais e irracionais e é denotado por R.

Em Símbolos:

IQR ∪=

Números reais R Representação pelo diagrama de

VinniI

ZN

R em contido está I e

I em contido está Q e

Q em contido está Ze

Zem contido está NRIQZN

⊂⊂⊂⊂

⇒

Q

R