Contas, Contas e mais contas: O ensino e a aprendizagem de cálculo mental, exato, aproximado e com calculadora nos anos iniciais do Ensino Fundamental1

Everaldo Gomes Leandro2 Lívia de Oliveira Vasconcelos3

À entrada do auditório, umas mocinhas da Universidade encarregam-se da venda dos livros de Torrente. Escolho uma meia dúzia deles e fico à espera de que me façam as contas e digam quanto tenho que pagar. Seis livros, seis parcelas de uma soma simples, nenhuma delas com mais de dois dígitos. A primeira tentativa falhou, a segunda não foi melhor. Eu olhava, assombrado, o modo como a rapariga ia somando, dizia sete mais seis, treze, e vai um, escrevia 3 na soma, 1 ao lado, e prosseguia, adicionando por escrito os que iam aos que estavam, como, nos velhos tempos, um estudante da primeira classe antes de aprender a usar a memória. Uma colega explicou-me com um sorriso envergonhado: “É que falta a máquina.” Diante daquela florida e ignorante juventude, senti-me, de súbito, infinitamente sábio em aritméticas: pedi o papel e o lápis e, com um ar de triunfo condescendente, rematei a soma num instante,mentalmente. As pobres pequenas ficaram esmagadas, confusas, como se, tendo-lhes faltado os fósforos no meio da selva, lhes tivesse aparecido um selvagem com dois pauzinhos secos e a arte de fazer lume sem calculadora.

(JOSÉ SARAMAGO, 1997)

José Saramago, escritor e poeta português, espantou-se com a dificuldade que as

garotas sentiram quando se depararam com uma soma, a seu ver, simples. Porém, nessa

passagem o escritor, consciente ou não disto, coloca em discussão o estado, não tão simples,

em que se encontra o ensino e a aprendizagem de cálculos aritméticos no Ensino

Fundamental, bem como as percepções existentes em relação ao uso da calculadora, do

cálculo mental e do cálculo exato.

Nesse sentido, temos por objetivo nesse artigo, mostrar o panorama em que se

encontra o ensino de cálculo mental, exato, aproximado e com calculadora nos anos iniciais

do Ensino Fundamental, almejando identificar e sugerir caminhos para o trabalho com o eixo

Números e Operações nos anos iniciais, mas especificamente com os diferentes tipos de

cálculos aritméticos (com algoritmo, com calculadora, mental: exatos e aproximados).

Começando a Conversa...

No Caderno de Apresentação do Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa

(PNAIC/FNDE) é definido como um dos direitos da criança aprender a “fazer uso do cálculo

mental, exato, aproximado e de estimativas” (BRASIL, 2014, P.42). Nas propagandas

1 Texto publicado no livro “Linguagens em Diálogo – Letramento e suas articulações no trabalho interdisciplinar”. Disponível em: http://www.leetra.ufscar.br/biblioteca 2014. 2 Formador do Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa (PNAIC/UFSCar). 3 Mestranda em Educação pelo Programa de Pós-Graduação em Educação (PPGE/UFSCar). Formadora do PNAIC.

governamentais referentes ao PNAIC, há a afirmação de que toda a criança deve saber ler,

escrever e fazer contas até os oito anos de idade. Para conseguir tais objetivos, entendemos

que tanto o processo de apropriação da leitura e da escrita, quanto à aprendizagem de

aritmética não se dá de qualquer forma. A resolução, por exemplo, de uma soma por meio do

algoritmo padrão (conta armada) não necessariamente indica que a criança domine os

conceitos do sistema de numeração decimal, nem que compreendeu a operação de adição.

Um dos aspectos que caracterizam o modo como se ensina e aprende cálculos

aritméticos atualmente, nos anos iniciais do Ensino Fundamental, é a introdução prematura do

cálculo exato, na forma escrita por meio de algoritmo, sem que os outros tipos de cálculos

aritméticos tenham sido trabalhados. O algoritmo permite encontrar as soluções facilmente,

mas podem dificultar o processo de compreensão das relações numéricas. Foi o que aconteceu

na passagem relata por Saramago: As garotas sabiam o algoritmo “[...] mais seis, treze, e vai

um, escrevia 3 na soma, 1 ao lado, e prosseguia, adicionando por escrito os que iam aos que

estavam[...]”, mas não compreendiam as relações numéricas.

O que queremos evidenciar é que a compreensão das relações numéricas, bem como o

entendimento do sistema de numeração decimal e das quatro operações (adição, subtração,

multiplicação e divisão) pode se dar por meio de propostas de trabalho com os outros tipos de

cálculos aritméticos (com calculadora, mentais: exatos e aproximados) precedendo o ensino

do cálculo por meio de algoritmo na forma exata e escrita.

Em relação aos algoritmos aprendidos na escola, Fontes (2010) complementa que

deveriam ser ensinados pelos professores mais tardiamente. Concordamos com autora quando

cita que: Quando se ‘atropela’ a aprendizagem com o ensino de algoritmos antes do domínio do cálculo, não se trabalha sua lógica, somente sua sequência e regras e, por se tratar de um conhecimento não questionado, apenas memorizado, unilateral, pode bloquear o raciocínio, não permitindo que se realize o estabelecimento de relações (FONTES, 2010, p. 36).

Deste modo, defendemos que intervenções que se proponham a ampliar os papéis

dados ao cálculo mental, ao cálculo aproximado e com calculadora nos anos iniciais do

Ensino Fundamental são necessárias para um ensino que acredita que a compreensão dos

conceitos e procedimentos é mais importante do que a memorização de sequências, regras e

algoritmos.

Nos tópicos a seguir discutiremos como se dá o ensino do cálculo exato, mental,

aproximado e com calculadora nos anos iniciais do Ensino Fundamental, almejando

identificar e sugerir caminhos para o trabalho com o eixo Números e Operações nos anos

iniciais, mas especificamente com os diferentes tipos de cálculos aritméticos.

Cálculos exatos, aproximados, “contas de cabeça” e o Cálculo Mental

Os cálculos exatos perpassam todos os anos escolares e são necessários em diferentes

conteúdos da Matemática. São ensinados principalmente por meio de algoritmos e na forma

escrita. Isso já não acontece com os cálculos aproximados, deixados de lado e julgados como

um tipo de cálculo menor, que não tem utilidade.

Em sociedade, ao contrário, os cálculos exatos, tanto quanto os aproximados têm

diversas utilidades. Assim, acreditamos que é aconselhável que estejam nos mesmos

patamares quando um professor planeja ensinar as operações básicas.

Livros didáticos (IMENES; LELLIS, 2006; LOPES, 2006) abordam os diversos tipos

de cálculo de maneira diferente de livros mais antigos. Imenes e Lellis (2006), por exemplo,

em seus livros, de sexto ao nono ano da coleção “Matemática para todos” traz os cálculos

exatos e aproximados contextualizados juntamente com propostas de ensino utilizando

calculadoras e o cálculo mental.

Percebemos também por meio dos livros didáticos que a maneira de abordar e/ou

inserir os cálculos ao longo do tempo sofreu mudanças. Lopes (1994) em seu livro didático

“Matemática Atual” da oitava série (hoje nono ano) não insere a calculadora como

instrumento para aprendizagem de cálculos, 12 anos depois, Lopes (2006) na coleção

“Matemática hoje é feita assim” aborda atividades voltadas para o uso da calculadora, bem

como trata os outros tipos de cálculos (exatos e aproximados) de maneira contextualizada.

Em relação ao cálculo mental, os primeiros indícios de sua introdução, por exemplo,

nos currículos brasileiros datam de 1891 e são encontrados em documentos do Colégio Pedro

II. Tal colégio era referência e modelo para outras escolas brasileiras até as primeiras três

décadas do século XX 4 e a concepção de educação estava direcionada para os exames

preparatórios para os estudos superiores (GOMES, 2007).

Quando nos referimos ao cálculo mental, uma das primeiras ideias que nos vem em

mente é a ideia de “fazer conta de cabeça”. Tal pensamento não está errado, mas incompleto.

4 Em 1931 surge a Reforma Francisco Campos que se torna parâmetro para as escolas da época.

Fontes (2010, p. 219), se referindo à concepção que alguns de seus sujeitos de pesquisa

tinham em relação ao cálculo mental, afirma que: As crianças não precisam pensar em cálculo mental somente de cabeça, podem escrever as etapas do cálculo mental para registrar as etapas do seu pensamento, podem voltar e conferir como pensaram e mostrar esse caminho aos outros colegas.

Outro ponto que necessita estar claro em relação ao cálculo mental é a corriqueira

confusão existente quando um sujeito resolve uma operação utilizando um algoritmo 5

mentalmente, algumas vezes escrevendo até a conta armada no ar com os dedos das mãos.

Pelos pressupostos teóricos defendidos por nós, essa ação não é considerada cálculo mental

(LEANDRO, 2014).

Assim, concordamos com Parra (1996, p.186) que uma definição única de cálculo

mental se torna difícil de ser elaborada, quando afirma que “‘cálculo mental’ é uma expressão

que pode ter muitos significados, dividindo opiniões, provocando dúvidas e expectativas”. Tal

autora nos dá algumas características do cálculo mental, cita que é: Um conjunto de procedimentos em que, uma vez analisados os dados a serem tratados, estes se articulam, sem recorrer a um algoritmo pré-estabelecido para obter resultados exatos ou aproximados (PARRA, 1996, p.189).

Deste modo, Fontes (2010) e Parra (1996), ao longo de seus escritos, nos mostram

algumas vantagens da aprendizagem de estratégias de cálculo mental, precedendo o ensino do

cálculo exato por meio de algoritmo, que indicamos a seguir:

As aprendizagens no campo do cálculo mental influem na capacidade de resolver problemas; Aumento do conhecimento no campo numérico; Habilita para uma maneira de construção do conhecimento que fornece uma melhor relação do aluno com a Matemática; Aumenta a capacidade de iniciativa do aluno; Desenvolve o pensamento flexível; Promove o sentido do número e a compreensão do sistema decimal; Encoraja a criatividade; Permite liberdade e flexibilidade na escolha do processo de solução e; Amplia o conceito de valor posicional de número.

Com o passar do tempo, enquanto as relações e o repertório de cálculo vão se

expandindo surge espaço para a memorização. Assim, alguns cálculos como, por exemplo, 1

5 Entendemos por algoritmo “uma série finita de regras a serem aplicadas em uma ordem determinada a um número finito de dados para chegar com certeza (quer dizer, sem indeterminação ou ambiguidades) e em um número finito de etapas, a determinado resultado, e isso independentemente dos dados” (Bouvier, apud Parra (1996, p.189)).

+ 1 e 10x10 são rapidamente realizados por estarem memorizados. Esse processo proporciona

o aprendizado de conceitos mais sofisticados e abstratos, fato que a aprendizagem apenas do

algoritmo seja ela da divisão, subtração, multiplicação ou adição não proporcionam.

Sendo assim, acreditamos que o desenvolvimento de intervenções pensadas no sentido

de se explorar o cálculo mental é uma possibilidade para o início do ensino de cálculos

aritméticos e das operações básicas nos anos iniciais e que a formalização proveniente do

algoritmo, na forma exata e escrita, pode ser deixada para o momento em que o professor

perceba que os conceitos aritméticos e relações estão consolidados.

Cálculo com Calculadora: Discutindo alguns mitos

As calculadoras bem como outras tecnologias não podem ser observadas como as

redentoras do ensino e da aprendizagem da Matemática, mas também não podem ser vistas

como o mal que assola a aprendizagem dessa disciplina escolar.

Dentro dos discursos existentes acerca dos malefícios dos cálculos com calculadoras

em aulas de Matemática estão alguns que abordaremos e que entendemos que estão

equivocados por se respaldarem em juízos/avaliações superficiais dessa tecnologia.

Uma das primeiras ideias que surgem é que a calculadora impossibilitará o

aprendizado dos conceitos de número, sistema decimal e suas operações. Mas, as

(im)possibilidades do aprendizado desses conceitos vão muito além da utilização ou não dessa

mídia. Se pensarmos que uma mídia influência/atrapalha no aprendizado de algum conceito,

podemos fazer a mesma analogia para o lápis e o papel, justificando que tais materiais (que

são tecnologias) são espécies de “muletas” para a construção de conhecimento. Mas isso não

acontece, e concordamos também que: sempre há uma dada mídia envolvida na produção de conhecimento. Dessa forma, essa dependência sempre existirá e estará bastante relacionada ao contexto educacional em que nos encontremos. (BORBA; PENTEADO, 2003, P. 13).

Van de Walle (2009, p.131) defende que é mais importante argumentar ou resolver

problemas do que o desempenho nas tediosas operações a mão que não envolve o pensar e,

assim deve-se ter em mente também que: a calculadora não opera por si mesma e que os alunos precisam decidir o que realizarão com o auxilio desse recurso e, assim, essa ferramenta não restringe a autonomia dos alunos em decidirem quais os procedimentos que adotarão para a resolução de determinado problema. (SELVA; BORBA, p.11, 2010)

Os computadores e as calculadoras perpassam as atividades cotidianas das pessoas.

Assim, “é importante não pensar em tecnologia como um fardo extra adicionado à lista de

coisas que você – professor – já realiza em sua sala de aula” (VAN DE WALLE, 2009,

p.130). Acreditamos que tais mídias devem estar a disposição de estudantes e professores

quando forem necessárias, por entendermos que há benefícios a serem observados, tais como:

a possibilidade de desenvolvimento de conceitos, trabalho com a exercitação, fortalecimento

da resolução de problemas e economia de tempo.

Em relação ao desenvolvimento de conceitos utilizando a calculadora, Van de Walle

(2009, p. 131), cita um exemplo: Peguemos 796/42 = 18,95348. A tarefa consiste em

determinar o resto inteiro dessa divisão. Assim acreditamos que, deste modo, o conceito de

divisão está sendo desenvolvido e tal tarefa constitui-se um problema que pode ser resolvido

de diferentes formas.

Entendemos que há a necessidade de que, com crianças menores, a utilização dessa

tecnologia seja adaptada. Indicamos, para as escolas que não têm uma grande quantidade de

calculadoras, a utilização do software PoliKalc6 , além de uma interface pensada para o

trabalho com crianças menores, é respaldado na filosofia do software livre e pode ser

acessado gratuitamente.

Considerações Finais

Por fim, entendemos que a priorização de técnicas e algoritmos em detrimento da

compreensão conceitual e procedimental se constitui como um dos principais obstáculos na

aprendizagem das quatro operações e contribuído para que, assim como as raparigas

relatadas por Saramago (1997), outros sujeitos se sintam esmagados quando se defrontam

com a necessidade de desenvolver cálculos.

Destacamos também que durante as tarefas diárias, as habilidades de cálculo exato e

aproximado são necessárias para resolver os problemas que por vezes se evidenciam. Desse

modo, ambas devem ser exploradas e valorizadas durante as aulas de Matemática a fim de

garantir que os sujeitos sejam preparados para desenvolver todas essas modalidades de

cálculo.

Para isso, faz-se necessário a utilização de mídias e ferramentas que corroboram para a

aprendizagem de cálculos aritméticos, não os encarando como “muletas”, sem as quais não se

pode caminhar, mas como um “andaime” que é uma estrutura provisória, necessária durante o

6 O software pode ser acessado pelo endereço: www.polikalc.blogspot.com.br

processo de construção conceitual e que por fim, não se faz mais necessária para segurança do

que foi construído.

Referências Bibliográficas

BRASIL, Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Apoio à Gestão Educacional. Pacto

Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: Apresentação. Brasília: MEC, SEB, 2014.

BORBA, M. de C. PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 3ª ed. Belo

Horizonte: Autêntica, 2003.

FONTES, C. G. O valor e o papel do cálculo mental nas séries iniciais. Dissertação de

Mestrado: Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, São Paulo, 2010.

GOMES, M. L. M.O cálculo mental na história da matemática escolar brasileira. In: IX

Encontro Nacional de Educação Matemática, 2007, Belo Horizonte. IX ENEM Caderno de

Resumos. Recife: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, 2007. p. 154-154.

IMENES, L. M; LELLIS, M. C. Coleção Matemática para todos. São Paulo: Scipione,

2006.

LEANDRO, E. G. PoliKalc: A criação de um Objeto de Aprendizagem para ensino de

cálculos aritméticos no Ensino Fundamental. Trabalho de Conclusão de Curso em

Licenciatura em Matemática - Universidade Federal de Lavras (UFLA). Lavras - MG: 2014.

LOPES, A. J. Matemática Atual. São Paulo: Atual, 1994.

______. Matemática hoje é feita assim. 2. ed. São Paulo: FTD, 2006.

PARRA, C.; SAIZ, I. Didática da Matemática:reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre:

Artes Médicas, 1996.

SARAMAGO, J. Cadernos de Lanzarote. São Paulo: Cia das Letras, 1997.

VAN DE WALLE, J. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e

aplicação em sala de aula. Porto Alegre: Artmed, 2009.